Dipartimento di Fisica “Enrico Fermi” Corso di Laurea in Fisica

Introduzione all’Elettronica

Parte 2: Elettronica Analogica

Roberto dell’Orso, Elisa Falchini, Vincenzo Flaminio Donato Nicolò, Chiara Roda, Franco Spinella

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©Copyright 2005 Edizioni ETS Piazza Carrara, 16-19, I-56126 Pisa info@edizioniets.com www.edizioniets.com

Distribuzione PDE, Via Tevere 56, I-50019 Sesto Fiorentino (Firenze)

ISBN 88-467-1173-4

Avvertenze degli autori

Questo testo affronta un argomento che difficilmente potrebbe omettere il nome di compagnie che commercializzano software o hardware nel mondo dell’elettronica. Tutti i prodotti o le tecnologie a cui si fa riferimento sono marchi registrati a nome di queste compagnie. Gli autori ringraziano anticipatamente i responsabili in questione e precisano che il materiale divulgato, anche se fa riferimento a marchi registrati, non ha carattere pubblicitario, né vuole favorire alcuno. Qualsiasi fraintendimento è da ritenersi di natura accidentale.

Prefazione

In questo volume abbiamo descritto gli argomenti trattati nel Corso di “Laboratorio di Fisica VI” tenuto da uno di noi (V.F.) negli ultimi 15 anni per gli studenti del Corso di Laurea in Fisica presso l’Università di Pisa. Esso fà seguito al volume dedicato all’elettronica digitale, che abbiamo di recente pubblicato.

Il Corso presuppone le conoscenze di base relative alle applicazioni delle leggi di Kirchhoff, dei teoremi di Thevenin e Norton, del metodo simbolico nella risoluzione di circuiti in alternata oltre a, naturalmente, l’utilizzo degli strumenti di laboratorio (oscilloscopio, tester, etc.). In questo volume si è comunque ritenuto opportuno inserire un capitolo dove questi concetti vengono richiamati, ed illustrati con alcuni semplici esempi.

Si è inserito un capitolo dedicato alle trasformate, il cui utilizzo ricorre molto spesso nel seguito, come pure uno dedicato alle linee di trasmissione. Segue una discussione elementare dei semiconduttori, diodi e transistor (bipolari e ad effetto di campo). Sono anche discusse varie applicazioni dei diodi, degli amplificatori a transistor, dei FET e degli amplificatori differenziali.

Un capitolo è dedicato alla struttura delle famiglie logiche (limitato alle più semplici tra queste).

Una parte importante del Corso è quella dedicata agli amplificatori operazionali ed alle loro applicazioni. Questi sono stati trattati in modo abbastanza dettagliato e con numerosi esempi. Abbiamo discusso in un capitolo a se il famoso “555” ed alcune sue applicazioni.

Segue una trattazione dei filtri attivi e poi del feedback negli amplificatori. Gli oscillatori sinusoidali sono discussi in un capitolo a parte, limitatamente alle strutture più semplici.

Segue una discussione dei convertitori Analogico-Digitale e Digitale-Analogico. Questi hanno oramai un utilizzo sempre più diffuso nei sistemi di trasmissione digitale. Abbiamo quindi ritenuto opportuno discutere in questo capitolo anche i concetti legati al “campionamento” ed il relativo teorema.

Un apposito capitolo è stato dedicato al rumore, ed in particolare al rumore nei circuiti elettronici.

L’ultimo capitolo, non strettamente legato al resto, ma che fa abbondante uso dei concetti illustrati nel resto del Corso ed illustra applicazioni dei vari circuiti discussi, è dedicato ai rivelatori di particelle e di radiazione ionizzante nonché alla relativa elettronica (preamplificatori ed amplificatori).

Abbiamo cercato di chiarire quanto esposto con numerosi esempi ed applicazioni. Nel far ciò abbiamo fatto abbondante ricorso alla versione “Demo” del programma di simulazione MICROCAP 7 [5]. Questo è stato adoperato anche per ottenere la \underline{iv}

gran parte dei grafici contenuti nel testo. Ringraziamo la Spectrum Software per il permesso di far uso di tale programma, il cui utilizzo consigliamo a tutti gli studenti.

Desideriamo ringraziare i numerosi Colleghi che hanno collaborato con noi in questi anni, contribuendo a sviluppare la parte pratica del Corso, assistendo gli studenti e mettendo inoltre in evidenza numerosi errori contenuti nelle prime stesure dei relativi “appunti”. In particolare desideriamo ringraziare: Antonio Bardi, Alessandro Cardini, Alessandro Cerri, Francesco Forti, Paola Giannetti.

Un ringraziamento particolare, per la dedizione e la competenza con cui hanno gestito i laboratori didattici del secondo biennio di Fisica in tutti questi anni, al Responsabile dei laboratori, Carlo Bianchi, ed ai Tecnici Fabrizio Tellini e Virginio Merlin. Grazie al loro impegno il nostro lavoro è stato reso enormemente più agevole.

Indice

Indice v

1 Richiami di teoria dei circuiti elettrici 1 1.1 Leggi di Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Teoremi di Thévenin e di Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Generatori di tensione/corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Generatori ideali e reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Generatori dipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Quadripoli. Parametri h, y, z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Teorema di Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 Circuiti RC e CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7.1 Risposta a gradini ed a rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7.2 Risposta ad onde quadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7.3 Risposta a segnali sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Riflessione di impedenze nel primario di un trasformatore . . . . . . . 19

2 Uso delle trasformate di Fourier e di Laplace 23 2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 La trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Esempi di calcolo di antitrasformate di Laplace . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Risposta di un circuito ad un’eccitazione di forma generica . . . . . . 36 2.6 Funzioni esprimibili come rapporto di polinomi . . . . . . . . . . . . . 38 2.7 Circuito LCR eccitato da un gradino unitario di tensione . . . . . . . 42 2.8 Risposta di un circuito CR ad un segnale sinusoidale . . . . . . . . . 47

3 Diagrammi di Bode e di Nyquist 49 3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Quadripoli del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4 Funzioni di trasferimento con due poli complessi coniugati . . . . . . 62 3.5 Diagrammi di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4 Linee di trasmissione 69 4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Cavi coassiali: principi generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3 Riflessioni alle estremità di una linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4 Riflessioni multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.5 Effetti resistivi nelle linee di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.6 Adattamento d’impedenza per una linea . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.7 Linee di trasmissione commerciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.8 Linea chiusa su di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5 Semiconduttori: Diodi e Transistor 85 5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2 Conduzione elettrica nei semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.3 Conduzione elettrica nei semiconduttori in presenza di impurezze . . 88 5.4 Diffusione in presenza di un gradiente di concentrazione . . . . . . . . 92 5.5 Giunzioni p-n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.6 Caratteristica I-V del diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.7 Resistenza differenziale del diodo e capacità associate alla giunzione . 103

5.7.1 Capacità associate alla giunzione . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.8 Esempi di uso di diodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.8.1 Circuiti raddrizzatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.8.2 Rettificatore ad onda intera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.8.3 Rivelatore di picco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.8.4 Circuito fissatore (Clamping) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.8.5 Duplicatore di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.8.6 Misura analogica di una frequenza d’impulsi . . . . . . . . . . 118 5.8.7 Circuito limitatore con diodi Zener . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.8.8 Interruttore a ponte di diodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.9 Il transistor bipolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.9.2 Struttura interna e funzionamento in zona attiva . . . . . . . 124 5.9.3 Caratteristiche d’uscita del transistor . . . . . . . . . . . . . . 129

5.10 Nomenclatura adoperata per diodi e transistor . . . . . . . . . . . . . 131

6 Transistor bipolari 135 6.1 Caratteristiche del transistor bipolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.2 Il transistor in zona attiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.2.1 L’effetto Early . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3 Il modello a π-ibrido (Giacoletto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.3.1 Conduttanza d’ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3.2 Conduttanza di feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3.3 Base-Spreading resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3.4 Conduttanza d’uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.4 La transconduttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.5 Le configurazioni base-comune e collettore comune . . . . . . . . . . . 150 6.6 Circuiti di polarizzazione del transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.6.1 Polarizzazione per mezzo di una sorgente di corrente costante 159 6.7 Transistor Darlington . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.8 Specchi di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7 Il modello di Ebers-Moll per i transistor bipolari 173

7.1 Basi del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.2 Il transistor in interdizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.3 Il transistor in saturazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

8 Amplificatori a transistor bipolari 183 8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.2 Inseguitore di emettitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8.2.1 Guadagno in tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.2.2 Impedenza d’ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.2.3 Impedenza d’uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.2.4 Guadagno in corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.2.5 Calcolo approssimato dei parametri . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.2.6 Emitter follower ad alta impedenza d’ingresso . . . . . . . . . 190 8.2.7 Inseguitore d’emettitore: sommario delle caratteristiche …. 190

8.3 Amplificatore ad emettitore comune (CE) . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.4 Amplificatore CE con una resistenza sull’emettitore . . . . . . . . . . 192

8.4.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.5 Amplificatori in cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.6 Amplificatore in base comune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.6.1 Guadagno in corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.6.2 Impedenza d’ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.6.3 Guadagno in tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.6.4 Impedenza d’uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.7 Relazione tra guadagno in corrente ed in tensione . . . . . . . . . . . 206

9 Caratteristiche dei FET ed amplificatori a FET 207 9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 9.2 Struttura base dei JFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 9.3 Struttura base dei MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.4 Caratteristiche dei FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.5 Circuito equivalente del FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9.6 Schemi di polarizzazione per il FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9.7 Amplificatori a FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.8 Inseguitore di source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.9 Amplificatore a FET: struttura generale . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.10 Risposta in frequenza di un amplificatore a FET . . . . . . . . . . . . 236

9.10.1 Risposta alle alte frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 9.10.2 Risposta alle basse frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.10.3 Risposta sull’intero spettro di frequenze . . . . . . . . . . . . 244

9.11 Verifica delle approssimazioni fatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9.12 Risposta dell’amplificatore ad un gradino di tensione . . . . . . . . . 247 9.13 I CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

9.13.1 I CMOS come amplificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 9.14 Appendice: funzione di trasferimento dell’amplificatore a FET …. 253

10 Amplificatori differenziali 259 10.1 Concetti generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.2 Amplificatore differenziale: schema base . . . . . . . . . . . . . . . . 261 10.3 Analisi della risposta a piccoli segnali dell’amplificatore differenziale . 265 10.4 Impedenza d’ingresso dell’amplificatore differenziale . . . . . . . . . . 271 10.5 Generatore di corrente sull’emettitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.6 Amplificatore differenziale che fa uso di transistor Darlington . . . . . 273

11 Struttura delle principali famiglie logiche 277 11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 11.2 Livelli logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 11.3 Il Fan-Out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 11.4 Circuiti in logica Diodo-Transistore (DTL) . . . . . . . . . . . . . . . 281 11.5 Circuiti in logica TTL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 11.6 Circuiti in logica CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

12 Amplificatori operazionali 295 12.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 12.2 Proprietà degli amplificatori operazionali . . . . . . . . . . . . . . . . 295

12.2.1 Ingresso differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 12.3 Applicazioni lineari degli amplificatori operazionali . . . . . . . . . . 297

12.3.1 Amplificatori invertenti e non-invertenti . . . . . . . . . . . . 298 12.3.2 Amplificatore non-invertente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 12.3.3 Amplificatore della differenza di due segnali . . . . . . . . . . 305 12.3.4 Amplificatore della somma di due o più segnali . . . . . . . . . 305 12.3.5 Integratore realizzato tramite un operazionale . . . . . . . . . 307 12.3.6 Derivatore realizzato tramite un operazionale . . . . . . . . . 312 12.3.7 Amplificatore di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 12.3.8 Tensione di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 12.3.9 Convertitori corrente-tensione e tensione-corrente . . . . . . . 319

12.4 Applicazioni non-lineari degli amplificatori operazionali . . . . . . . . 323 12.4.1 Comparatore con isteresi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 12.4.2 Multivibratore astabile (generatore di onde rettangolari) … 326 12.4.3 Multivibratore monostabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 12.4.4 Generatore di onde triangolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 12.4.5 Limitatori e rettificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 12.4.6 Rivelatori di picco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

12.5 Limiti degli amplificatori operazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

13 Il timer 555 347

13.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

13.1.1 Multivibratore astabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 13.2 Multivibratore monostabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 13.3 Trigger di Schmitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 13.4 Convertitore tensione-frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

14 Filtri attivi 357

14.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 14.1.1 Caratteristiche di risposta dei filtri . . . . . . . . . . . . . . . 357 14.2 Generalità sui filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

14.2.1 Esempi di filtri del primo e del secondo ordine . . . . . . . . . 361 14.3 Funzione biquadratica di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 14.4 Corrispondenze tra tipi diversi di filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 14.5 Il “ripple” nei filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 14.6 Conversione di impedenze tramite operazionali . . . . . . . . . . . . . 369 14.7 Filtri di Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 14.8 Filtro di Butterworth del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . 379 14.9 Filtri di Bessel e di Chebyshev: confronto tra diversi tipi di filtro … 382 14.10Filtri biquadratici ad amplificatore singolo . . . . . . . . . . . . . . . 384

14.10.1 Implementazione dei diversi tipi di filtri “biquad” . . . . . . . 387 14.11Filtri attivi a retroazione multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 14.12Filtri notch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 14.13Filtri a condensatori commutati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

15 Il feedback negli amplificatori 401 15.1 Struttura generale del feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 15.2 Altre proprietà del feedback negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

15.2.1 Stabilizzazione del guadagno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 15.2.2 Risposta in frequenza di un amplificatore . . . . . . . . . . . . 404

15.3 Le topologie di feedback negli amplificatori . . . . . . . . . . . . . . . 406

15.3.1 Classificazione degli amplificatori . . . . . . . . . . . . . . . . 406 15.4 Effetto del feedback sulle impedenze di un amplificatore . . . . . . . . 409

15.4.1 Impedenze d’ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 15.4.2 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 15.4.3 Impedenze d’uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

15.5 Analisi dei circuiti con feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 15.5.1 Individuazione del tipo di reazione . . . . . . . . . . . . . . . 415 15.5.2 Analisi quantitativa del guadagno . . . . . . . . . . . . . . . . 417

15.6 Stabilità negli amplificatori con feedback . . . . . . . . . . . . . . . . 424

16 Oscillatori sinusoidali 427 16.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 16.2 Realizzazione di un oscillatore sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . 429 16.3 L’oscillatore a sfasamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 16.4 Oscillatore a sfasamento a transistor bipolare . . . . . . . . . . . . . . 435 16.5 L’oscillatore sinusoidale in quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 16.6 Circuiti limitatori negli oscillatori sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . 439 16.7 L’oscillatore a mezzo ponte di Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 16.8 L’oscillatore a ponte di Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

16.8.1 Poli e zeri di βA per l’oscillatore a ponte di Wien . . . . . . . 444 16.8.2 Stabilità in frequenza dell’oscillatore a ponte di Wien . . . . . 447

16.9 Oscillatori utilizzanti circuiti LC: considerazioni introduttive . . . . . 450 16.9.1 Struttura generale di un oscillatore a tre punti . . . . . . . . . 454 16.9.2 Oscillatori Colpitts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 16.9.3 Oscillatori Hartley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 16.9.4 Oscillatori LC a transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 \underline{x Indice}

16.10Oscillatori al quarzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

16.10.1 Esempi di oscillatori al quarzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 16.11Risuonatori ceramici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 16.12Appendice A: Non-linearità dei dispositivi attivi adoperati . . . . . . 484 16.13Appendice B:

relazione tra Q_{0} ed il numero di oscillazioni in un tempo τ . . . . . . 487

17 Convertitori Digitale-Analogico ed Analogico-Digitale 475 17.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 17.2 Circuiti di Sample-and-Hold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 17.3 Convertitori Digitale-Analogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 17.4 Convertitori Digitale-Analogico pilotati in corrente . . . . . . . . . . 487 17.5 Convertitori Analogico-Digitale (ADC) . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

17.5.1 ADC a contatore (Counting ADC) . . . . . . . . . . . . . . . 489 17.5.2 ADC ad approssimazioni successive . . . . . . . . . . . . . . . 491 17.5.3 Convertitore ADC a rampa singola . . . . . . . . . . . . . . . 494 17.5.4 L’ADC a doppia rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 17.5.5 Flash ADC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

17.6 Caratteristiche dei DAC ed ADC commerciali . . . . . . . . . . . . . 499 17.7 ADC e campionamento dei segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 17.8 Il teorema del campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

18 Il rumore nei circuiti elettronici 509 18.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 18.2 Processi stocastici stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

18.2.1 Descrizione nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 510 18.2.2 Analisi nel dominio della frequenza . . . . . . . . . . . . . . . 516 18.2.3 Determinazione sperimentale della densità spettrale . . . . . . 520

18.3 Rumore termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

18.3.1 Metodo di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 18.4 Il rumore di tipo shot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 18.5 Rumore 1/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 18.6 Circuiti equivalenti per il rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 18.7 Rumore in un quadripolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 18.8 Dipendenza del rapporto segnale/rumore in un quadripolo dalla re-

sistenza della sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 18.9 Cifra di rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 18.10Rumore nel caso di una catena di più amplificatori in cascata . . . . . 533 18.11Espressione analitica della cifra di rumore . . . . . . . . . . . . . . . 534 18.12Temperatura di rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 18.13Esempio: Transistor bipolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 18.14Il rumore nei componenti elettronici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

18.14.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 18.14.2 Il rumore nel transistor bipolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 18.14.3 Il rumore nei FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

18.15Appendice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 18.16Appendice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 18.17Appendice C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

18.17.1 Teoremi di Campbell e di Carson . . . . . . . . . . . . . . . . 550

19 Elettronica per rivelatori di particelle 553 19.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 19.2 Caratteristiche di risposta dei rivelatori . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

19.2.1 Risoluzione energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 19.2.2 Risposta temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 19.2.3 Efficienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557 19.2.4 Tempo morto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

19.3 Rivelatori a scintillazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 19.4 Fotomoltiplicatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

19.4.1 Risoluzione energetica di un fotomoltiplicatore . . . . . . . . . 564 19.4.2 Risoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

19.5 Forma dell’impulso all’uscita del fotomoltiplicatore . . . . . . . . . . 568 19.6 Rivelatori a gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

19.6.1 Il Contatore Proporzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 19.6.2 Il modo streamer limitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

19.7 Rivelatori a semiconduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

19.7.1 Preamplificatori di carica per rivelatori a semiconduttore … 586 19.8 Struttura della catena di rivelazione ed amplificazione . . . . . . . . . 588

19.8.1 Preamplificatori e rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 19.8.2 Rumore elettronico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 19.8.3 “Formazione” dei segnali prodotti da rivelatori di particelle . . 596 19.8.4 Altri metodi di “shaping” dei segnali . . . . . . . . . . . . . . 600 19.8.5 Shaping CR − (RC)^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 19.8.6 Shaping triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 19.8.7 Spostamento della linea di zero . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 19.8.8 Deficit balistico e scelta delle costanti di tempo . . . . . . . . 604 19.8.9 Shaping e rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

Bibiografia 609

Indice Analitico 612

xii  Indice

Capitolo 1

Richiami di teoria dei circuiti elettrici

In questo capitolo saranno discussi alcuni dei teoremi che vengono frequentemente impiegati per effettuare l’analisi di circuiti elettronici composti da elementi passivi, quali resistenze, condensatori ed induttanze, insieme a generatori di tensione o di corrente.

1.1 Leggi di Kirchoff

Alla base della teoria dei circuiti elettrici troviamo le leggi di Kirchoff, che consentono di scrivere in forma consistente delle equazioni lineari da cui, note le sorgenti di tensione e/o di corrente, è possibile ottenere le correnti e le tensioni in tutti i punti della maglia.

Chiameremo “rami” della maglia gli elementi di questa attraversati da correnti determinate istante per istante dalle differenze di potenziale tra i loro estremi, che chiameremo “nodi” .

Ad esempio, nel circuito di figura 1.1, i tratti ab, bc, be, cd, de, ef, af sono rami. I punti a, b, ... f sono nodi.

Figura 1.1: Circuito a due maglie.

Nell’esempio, il ramo af ha un generatore di tensione V_{1} ed il ramo bc un generatore di corrente I_{1}. Per una definizione dei concetti di generatore di tensione e generatore di corrente si veda il paragrafo 1.4.

Nel ramo ab è inserita un’impedenza Z_{1}, nel ramo be un’impedenza Z_{3} etc.

Per il generico ramo vale ovviamente la Legge di Ohm: la differenza di potenziale tra i due nodi che lo delimitano è uguale alla corrente I, che lo attraversa, moltiplicata per l’impedenza:

V = Z I  (1.1)

Nel caso in cui Z non sia puramente resistiva, allora, nell’equazione precedente Z sarà un operatore lineare. Ad esempio, se Z è costituita da un’induttanza:

V = −L\frac{d}{dt}I  (1.2)

mentre se Z è costituita da una capacità:

V = \frac{1}{C} ∫ I dt  (1.3)

Nel caso in cui la sollecitazione (V (t), I(t) nel nostro esempio) sia sunisoidale con pulsazione ω, sappiamo come il metodo simbolico possa essere adoperato per esprimere i suddetti operatori come numeri complessi:

V = −jωL I nel caso induttivo

V = \frac{1}{jωC} I nel caso capacitivo

Vedremo nel seguito come la tecnica delle trasformate di Laplace (o di Fourier) possa essere adoperata per trasformare le equazioni (1.1), (1.2) e (1.3) in equazioni lineari a coefficienti costanti.

Le leggi di Kirchoff sono espresse come segue:

I) la somma algebrica delle correnti che convergono verso un nodo è nulla;

II) la somma algebrica delle differenze di potenziale lungo un circuito chiuso (maglia) è nulla.

La prima delle due leggi di Kirchoff esprime la conservazione della carica elettrica, la seconda la conservazione dell’energia.

Nell’applicare la seconda delle leggi di Kirchoff è conveniente introdurre le “correnti di maglia”, come mostrato in figura 1.1. Notiamo che la corrente che attraversa il ramo be è (i − i′) nel verso che va da b ad e. Con tale definizione, la seconda delle leggi di Kirchoff ci dà:

\begin{cases}V_{1} = Z_{1}i + Z_{3}(i − i′) + Z_{2}i \\ i′Z_{4} = Z_{3}(−i + i′) \end{cases}

che costituisce un sistema di due equazioni (lineari nel senso detto prima) nelle incognite i e i′. Dall’ultima equazione segue:

(Z_{4} − Z_{3})i′ = Z_{3}i

da cui:

i = \frac{Z_{4} − Z_{3}}{Z_{3}} i′ = (\frac{Z_{4}}{Z_{3}} − 1) i′

1.2 Teoremi di Thévenin e di Norton

Teorema di Thévenin

Un generico segmento di circuito, compreso tra due nodi, può essere, agli effetti del calcolo delle correnti e delle tensioni, sostituito da un generatore di tensione V_{T h} in serie con un’impedenza R_{T h}. La tensione V_{T h} è quella che si misurerebbe tra i nodi in questione aprendo il circuito. L’impedenza R_{T h} è quella che si misurerebbe tra i nodi, tenendo conto di tutti gli elementi presenti tra gli stessi e sostituendo ciascun generatore di corrente o di tensione con la sua impedenza interna.

Questo teorema viene spesso impiegato per ridurre il numero di maglie in un circuito.

Per esempio, il circuito a due maglie di figura 1.2, può essere ridotto ad una sola

Figura 1.2: Circuito a due maglie.

maglia sostituendo i componenti alla sinistra dei nodi a e b (compresa la resistenza R) con il loro equivalente di Thévenin (figura 1.3):

Figura 1.3: Circuito ad una maglia, ridotto sfruttando il Teorema di Thévenin.

R_{T h} = \frac{R R_{1}}{R + R_{1}}

V_{T h} = V_{1} \frac{R}{R + R_{1}}

La corrente i che passa attraverso R_{2} è data da:

i = \frac{V_{2} − V_{T h}}{R_{2} + R_{T h}} = (V_{2} − V_{1} \frac{R}{R + R_{1}} ) / (R_{2} + \frac{R R_{1}}{R + R_{1}} )

quindi

i = \frac{(V_{2} − V_{1})R + V_{2}R_{1}}{R(R_{1} + R_{2}) + R_{1}R_{2}}

La tensione nel punto a sarà allora:

V_{a} = V_{2} − R_{2}i

e la corrente in R:

i_{R} = \frac{V_{a}}{R} .

Possiamo dimostrare il Teorema di Thévenin come segue.

Consideriamo una rete con n rami. Indichiamo con r_{i} ed f_{i} rispettivamente la resistenza e la forza elettro-motrice (f.e.m.) del ramo i-esimo. Supponiamo di aggiungere un ramo di resistenza r_{0} tra due punti (nodi) qualsiasi della rete e che tra questi due punti esistesse, prima dell’aggiunta del nuovo ramo, una d.d.p. V. Detta R_{0} la resistenza complessiva che la rete presenta tra i due punti dati, il teorema di Thévenin dice che la corrente i_{0} nel nuovo ramo è data da:

i_{0} = V/(R_{0} + r_{0})

Per dimostrarlo supponiamo che anche nel ramo r_{0} sia inserita una f.e.m. f_{0}. La corrente i_{0} è una funzione lineare delle varie f.e.m. presenti nella maglia:

i_{0} = ∑_{k=0}^{n} A_{k}f_{k} A_{k} costanti

Eliminando tutte le f_{k} (ma non le resistenze r_{k}), cioè ponendo f_{k} = 0 per k ≠ 0, avremo:

i_{0} = A_{0}f_{0}

ma sappiamo che f_{0}/r_{0} = (r_{0} + R_{0}), quindi

\frac{1}{A_{0}} = r_{0} + R_{0}

Riportiamo ora il circuito nelle condizioni precedenti tornando ad inserire le f_{k} e diamo inoltre ad f_{0} valore pari a −V tale che sia i_{0} = 0:

0 = −V A_{0} + ∑_{k=1}^{n} A_{k}f_{k}

poiché il ramo r_{0} ora non assorbe corrente, questa V coinciderà con la d.d.p. esistente tra i due punti nel circuito primitivo.

Ponendo ora f_{0} = 0 ed utilizzando le equazioni scritte il precedenza otteniamo:

i_{0} = ∑_{k=0}^{n} A_{k}f_{k} = ∑_{k=1}^{n} A_{k}f_{k} = V A_{0} = \frac{V}{r_{0} + R_{0}}

che dimostra il teorema di Thévenin.

Teorema di Norton

Un generico segmento di circuito, compreso tra due nodi, può essere, agli effetti del calcolo delle correnti e delle tensioni, sostituito da un generatore di corrente i_{No} in parallelo con un’impedenza R_{No}. La corrente i_{No} è quella che fluirebbe tra in nodi in questione se questi fossero messi in corto circuito. L’impedenza R_{No} è quella misurata tra i medesimi nodi, tenendo conto di tutti gli elementi presenti tra gli stessi e sostituendo ciascun generatore di corrente o di tensione con la sua impedenza interna.

Esaminiamo ad esempio ancora il circuito a due maglie di figura 1.2 e sostituiamo la maglia di sinistra con il suo equivalente di Norton; esso viene quindi ridotto al circuito di figura 1.4:

Figura 1.4: Circuito equivalente a quello di figura 1.2 ottenuto sfruttando il Teorema di Norton.

i_{No} = \frac{V_{1}}{R_{1}} R_{No} = \frac{R R_{1}}{R + R_{1}}

La tensione tra i nodi a e b e la corrente attraverso la R_{2} sono date da:

V_{ab} = (i + i_{No})R_{No} i = \frac{V_{2} − V_{ab}}{R_{2}}

da cui

i = \frac{V_{2}}{R_{2}} − (i + i_{No})\frac{R_{No}}{R_{2}}

i (1 + \frac{R_{No}}{R_{2}} ) = \frac{V_{2}}{R_{2}} − i_{No} \frac{R_{No}}{R_{2}}

i(R_{2} + R_{No}) = V_{2} − R_{No}i_{No}

i = \frac{V_{2}}{R_{2} + R_{No}} − \frac{R_{No}}{R_{2} + R_{no}} i_{No}

Sostituendo in questa le espressioni di R_{No} e i_{No}:

i = V_{2}/ (R_{2} + \frac{R R_{1}}{R + R_{1}} ) − \frac{R R_{1}}{R + R_{1}} \frac{V_{1}}{R_{1}} / (R_{2} + \frac{R R_{1}}{R + R_{1}} ) =

= \frac{(V_{2} − V_{1})R + V_{2}R_{1}}{R(R_{1} + R_{2}) + R_{1}R_{2}}

cioè il medesimo risultato che si ottiene con l’applicazione del Teorema di Thévenin.

Corollario dei teoremi di Thévenin e Norton

Dai teoremi di Thévenin e Norton segue che un generatore di tensione V in serie con una resistenza R è equivalente ad un generatore di corrente I in parallelo con R, purché sia V = R I (figura 1.5).

Figura 1.5: Sinistra: generatore di tensione in serie ad una resistenza; destra: generatore di corrente in parallelo ad una resistenza. I due circuiti si equivalgono purché V = RI.

Come corollario segue quindi che “la tensione a circuito aperto è uguale alla corrente a circuito chiuso moltiplicata per la resistenza”.

Nonostante la sua semplicità, questa relazione può risultare molto utile nell’analisi dei circuiti.

1.3 Principio di sovrapposizione

In una rete lineare in cui siano presenti più sorgenti di tensione e/o corrente la risposta può essere calcolata a partire dalla risposta ottenuta in presenza di una sola delle sorgenti e sommando poi tutte le risposte. Nel calcolo della risposta ad una generica delle sorgenti occorre sostituire tutte le altre con le loro impedenze interne (cioè, ogni sorgente ideale di tensione con una resistenza nulla ed ogni sorgente ideale di corrente con una resistenza infinita).

Applichiamo il principio di sovrapposizione al circuito già esaminato di figura 1.2. Se fosse presente solo V_{2} (con V_{1} sostituito da un cortocircuito) la corrente in R_{2}

sarebbe:

i2^{′} = \frac{V_{2}}{R_{2} + \frac{R R_{1}}{R+R_{1}}} = \frac{V_{2}(R + R_{1})}{R(R_{1} + R_{2}) + R_{1}R_{2}}

Se fosse invece presente solo V_{1} (con V_{2} sostituito da un cortocircuito) la corrente in R_{2} sarebbe:

i2^{′′} = −\frac{V_{1}}{R_{2}} (1 − \frac{R_{1}(R + R_{2})}{R(R_{1} + R_{2}) + R_{1}R_{2}} ) = \frac{−V_{1}R}{R(R_{1} + R_{2}) + R_{1}R_{2}}

In presenza di entrambe le sorgenti avremo:

i_{2} = i2^{′} + i2^{′′} = \frac{(V_{2} − V_{1})R + R_{1}V_{2}}{R(R_{1} + R_{2}) + R_{1}R_{2}}

cioè nuovamente il medesimo risultato ottenuto facendo uso dei teoremi di Thévenin e Norton.

1.4 Generatori di tensione/corrente

I generatori sono componenti circuitali attivi e rappresentano dispositivi capaci di fornire energia elettrica al circuito cui sono connessi.

1.4.1 Generatori ideali e reali

I tipi di generatori ideali normalmente considerati sono due: quello di tensione e quello di corrente.

• Un generatore ideale di tensione fornisce un valore di tensione assegnato (V = V_{s}) indipendentemente dalla corrente erogata e quindi dal circuito a cui è connesso (figura 1.6 a).

Un generatore ideale di tensione deve necessariamente avere resistenza interna nulla, altrimenti la tensione ai suoi capi sarebbe V = V_{s}−r_{s}i (dipendente dalla corrente erogata).

Un generatore reale di tensione può essere assimilato ad un generatore ideale in serie con la propria resistenza interna (figura 1.6 b).

• Un generatore ideale di corrente fornisce una corrente di valore assegnato (i = i_{s}) indipendentemente dalla tensione tra i terminali del generatore e quindi dal circuito a cui è connesso (figura 1.6 c).

Un generatore ideale di corrente deve necessariamente avere resistenza interna infinita, altrimenti la corrente erogata sarebbe pari a i = i_{s} −V/r_{s} (dipendente dalla tensione ai suoi capi).

Un generatore reale di corrente può essere assimilato ad un generatore ideale in parallelo con la propria resistenza interna (figura 1.6 d).

1.4.2 Generatori dipendenti

Un generatore dipendente eroga un segnale di tensione/corrente dipendente dalla corrente/tensione presente in un’altra parte del circuito.

Un esempio è quello di figura 1.7, nel quale il generatore dipendente α i_{1} eroga una corrente che è proporzionale, secondo la costante α, alla corrente nella maglia d’ingresso i_{1}. La corrente nella maglia d’uscita i_{2} sarà:

Figura 1.6: a): generatore ideale di tensione; b): generatore reale di tensione; c) generatore ideale di corrente; d) generatore reale di corrente.

Figura 1.7: Circuito che contiene un generatore dipendente di corrente.

i_{2} = αi_{1} + i

Un altro esempio è quello di figura 1.8, nel quale abbiamo nella maglia d’uscita un generatore di tensione che eroga una tensione proporzionale alla tensione presente tra i terminali d’ingresso V = μ V_{f}.

1.5 Quadripoli. Parametri h, y, z

Sebbene i componenti circuitali con due terminali siano quelli più comuni, esistono numerosissimi componenti circuitali con N terminali (N > 2). Il modello circuitale di un elemento con N terminali prende il nome di N-polo (N = 3 tripolo, N = 4 quadripolo).

1.5 Quadripoli. Parametri h, y, z  9

Figura 1.8: Circuito che contiene un generatore dipendente di tensione.

Nella teoria dei circuiti gli N-poli hanno un duplice ruolo. Primo, sono adoperati come modelli di parti complesse di circuiti che interagiscono con le restanti parti del circuito di cui fanno parte attraverso più di due terminali. È possibile caratterizzare il funzionamento di queste parti indipendentemente dal circuito in cui esse sono inserite. Secondo, gli elementi con più di due terminali sono adoperati come modelli per componenti complessi quali i transistor, gli amplificatori operazionali, etc.

Il funzionamento di un N-polo è definito dalle relazioni esistenti tra le intensità delle correnti che attraversano i terminali e le tensioni tra i terminali.

Un N-polo ha N intensità di corrente distinte, tante quanti sono i terminali, e N(N − 1)/2 tensioni distinte, tante quante sono le coppie di terminali senza ripetizione. Naturalmente tutte queste grandezze non sono completamente indipendenti l’una dall’altra; il numero di grandezze indipendenti necessarie per descrivere il funzionamento dell’N-polo più essere ridotto grazie alle due leggi di Kirchoff. In generale, per un componente con N terminali, solo N − 1 intensità di corrente e N − 1 tensioni sono indipendenti (descrittive). Il funzionamento di un N-polo è descritto da N − 1 relazioni tra le intensità di corrente e le tensioni descrittive; relazioni che dipendono solo dalla costituzione fisica del componente che l’elemento rappresenta.

Una coppia di terminali è detta porta se la somma delle intensità delle correnti che li attraversano è uguale a zero. A ciascuna porta è associata un’intensità di corrente ed una tensione.

Molti degli elementi circuitali che saranno introdotti in seguito in questo volume, possono essere descritti come quadripoli a due porte, o doppi bipoli (e saranno chiamati semplicemente quadripoli).

Vediamo l’esempio di figura 1.9, in esso compare una coppia di terminali d’in-

Figura 1.9: Doppio bipolo o quadripolo.

gresso (porta d’ingresso) ed una coppia di terminali d’uscita (porta d’uscita). Le intensità di corrente entranti nei quattro terminali verificano le seguenti relazioni:

i_{1} + i_{3} = 0 i_{2} + i_{4} = 0

così possiamo associare alla porta d’ingresso semplicemente l’intensità di corrente i_{1} e la tensione v_{1}, a quella d’uscita, la corrente i_{2} e la tensione v_{2}.

Il funzionamento dei quadripoli a due porte è descritto da due relazioni indipendenti tra le due intensità di corrente i_{1} e i_{2} e le due tensioni v_{1} e v_{2}; relazioni che dipendono unicamente dalla natura fisica del componente che il doppio bipolo rappresenta.

Naturalmente esiste la possibilità che due quadripoli, diversi nella composizione circuitale interna, si comportino in modo identico relativamente alla grandezze elettriche (correnti e tensioni) sui terminali. Quando questo si verifica, i due quadripoli sono detti equivalenti e possono essere scambiati tra loro senza influenzare il comportamento della rete elettrica nella quale sono inseriti.

Un quadripolo lineare non può comprendere nella sua rete generatori indipendenti di tensione o corrente; però possono essere presenti generatori dipendenti da una grandezza elettrica ai terminali o interna.

Abbiamo visto che delle quattro variabili (i_{1}, i_{2}, v_{1} e v_{2}) che descrivono il quadripolo, solo due possono essere assegnate indipendentemente, le altre sono legate alla prime da equazioni lineari. Ognuna delle differenti scelte delle possibili coppie di variabili indipendenti (i_{1}-i_{2}, i_{1}-v_{1}, etc) conduce ad una descrizione matematica diversa; poiché le possibilità sono sei, esistono sei diversi modelli matematici che descrivono un quadripolo.

Modello a parametri y

Il modello a parametri y (conduttanza) viene usato per descrivere le correnti caratteristiche del quadripolo in funzione delle tensioni ai capi dei terminali d’ingresso ed uscita:

i_{1} = f_{1}(v_{1}, v_{2})
i_{2} = f_{2}(v_{1}, v_{2})

il circuito equivalente al quadripolo che vogliamo descrivere con il modello a parametri y è quello di figura 1.10. Il sistema di equazioni lineari associate è:

Figura 1.10: Circuito equivalente a parametri y.

\begin{cases}i_{1} = y_{11}v_{1} + y_{12}v_{2} \\ i_{2} = y_{21}v_{1} + y_{22}v_{2} \end{cases}

I parametri y si possono determinare mediante i rapporti corrente-tensione imponendo la condizione che una delle due tensioni sia nulla; operativamente, quindi, devono essere chiusi in cortocircuito i terminali d’ingresso (v_{1} = 0) e di uscita (v_{2} = 0).

Modello a parametri z

Scegliendo come variabili indipendenti le correnti di ingresso e di uscita (i_{1} e i_{2}), le equazioni che descrivono il comportamento del quadripolo hanno la forma:

\begin{cases}v_{1} = z_{11}i_{1} + z_{12}i_{2} \\ v_{2} = z_{21}i_{1} + z_{22}i_{2} \end{cases}

Il modello circuitale che ne deriva è denominato modello a parametri z o parametri impedenza, dato che i coefficienti delle correnti rappresentano delle impedenze. I parametri z si possono determinare misurando i rapporti tensione-corrente avendo aperto l’opportuna coppia di terminali in modo da avere i_{1} = 0 e i_{2} = 0.

Modelli a parametri ibridi

I modelli a parametri ibridi si ottengono considerando come variabili indipendenti le grandezze i_{1} e v_{2} oppure v_{1} e i_{2}; nel primo caso il quadripolo è descritto dal modello a parametri h, nel secondo dal modello a parametri g.

Il circuito equivalente al quadripolo descritto col modello a parametri h è quello di figura 1.11, e le equazioni lineari associate sono:

Figura 1.11: Circuito equivalente a parametri h.

\begin{cases}v_{1} = h_{11}i_{1} + h_{12}v_{2} \\ i_{2} = h_{21}i_{1} + h_{22}v_{2} \end{cases}

dove i parametri h_{12} e h_{21} sono numeri puri, il parametro h_{11} ha le dimensioni di una impedenza, mentre il parametro h_{22} quelle di una conduttanza.

La determinazione sperimentale di questi parametri si effettua prima aprendo il circuito d’ingresso (i_{1} = 0) e alimentando l’uscita (si ottengono h_{12} e h_{22}) e poi cortocircuitando l’uscita (v_{2} = 0).

1.6 Teorema di Miller

Sia dato un circuito con un generico numero di nodi. Indichiamo con V_{i} il potenziale dell’i-esimo nodo. Consideriamo due di questi nodi, ad esempio quelli 1 e 2 di figura 1.12 ed ammettiamo di conoscere il rapporto tra le tensioni V_{2}/V_{1} = K. Ci chiediamo quale sarà la corrente che fluisce in un’impedenza Z inserita tra i nodi 1 e 2.

Figura 1.12: Generico circuito con N poli.

Il Teorema di Miller ci dice che la corrente erogata dal nodo 1, che attraversa 2, (e, più in generale, la risposta del circuito) può essere calcolata ricorrendo al circuito equivalente di figura 1.13, dove:

Z_{1} = \frac{Z}{1 − K} Z_{2} = −\frac{Z K}{1 − K}

Figura 1.13: Circuito equivalente a quello di figura 1.12 ottenuto grazie al Teorema di Miller.

Infatti la corrente che fluisce in Z è:

I = \frac{V_{1} − V_{2}}{Z} = V_{1} (1 − \frac{V_{2}}{V_{1}} ) \frac{1}{Z} = V_{1} \frac{1 − K}{Z} = \frac{V_{1}}{Z/(1 − K)} = \frac{V_{1}}{Z_{1}}

cioè la medesima corrente che attraversa, dal nodo 1, l’impedenza Z_{1} verso massa. Analogamente, la corrente che fluisce in Z dal nodo 2 è:

I = \frac{V_{2} − V_{1}}{Z} = V_{2} (1 − \frac{V_{1}}{V_{2}} ) \frac{1}{Z} = \frac{V_{2}(1 − 1/K)}{Z} = \frac{V_{2}(K − 1)}{K Z} = \frac{V_{2}}{Z_{2}} .

1.7 Circuiti RC e CR  13

1.7 Circuiti RC e CR

Circuiti costituiti da sole resistenze e capacità sono importanti, in quanto essi permettono di realizzare filtri senza far uso di induttanze (più complesse dal punto di vista tecnologico).

Un filtro è un circuito che lascia passare solo segnali compresi in un certo intervallo in frequenze. Si dice filtro passa-basso un circuito che lascia passare solo le frequenze più basse di una prefissata, detta frequenza di taglio. Viceversa si dice filtro passa-alto un circuito che seleziona frequenze più alte di una prefissata.

Un circuito che funzioni come filtro passa-basso si può ottenere semplicemente mettendo in serie una resistenza ed un condensatore, il segnale in ingresso si invia ai capi della serie ed il segnale in uscita si legge ai capi del condensatore (figura 1.14).

Figura 1.14: Circuito RC o passa-basso (integratore).

Per avere un filtro passa-alto sempre con un circuito formato da una serie tra un condensatore ed una resistenza, il segnale in uscita deve essere letto ai capi della resistenza, che, in questa configurazione, segue il condensatore (figura 1.15).

Figura 1.15: Circuito CR o passa-alto (derivatore).

1.7.1 Risposta a gradini ed a rampe

Vediamo prima di tutto quale è la risposta di un circuito passa-basso ad un gradino unitario in ingresso.

Sempre considerando il circuito di figura 1.14 possiamo scrivere le seguenti equazioni:

\begin{cases}v_{i} = Ri + \frac{1}{C} ∫ idt \\ i = \frac{v_{i}−v_{o}}{R} \end{cases}

sostituendo la seconda nella prima:

v_{i} = R\frac{v_{i} − v_{o}}{R} + \frac{1}{RC} ∫ v_{i}dt − \frac{1}{RC} ∫ v_{o}dt

v_{o} = \frac{1}{RC} ∫ v_{i}dt − \frac{1}{RC} ∫ v_{o}dt

RC \frac{dv_{o}}{dt} + v_{o} = v_{i}  (1.4)

la cui soluzione è data da (figura 1.16):

v_{o} = 1 − e^{−t/τ} τ ≡ RC

Figura 1.16: Risposta di un circuito RC passa-basso ad un gradino.

La risposta dello stesso circuito ad un segnale in ingresso che rappresenti una rampa (v_{i} = αt) si trova risolvendo ancora l’equazione (1.4). La soluzione dell’equazione omogenea è v_{o} = e^{−t/τ} e la soluzione particolare dell’equazione completa è v_{o} = α(t − τ); le condizioni al contorno sono le seguenti:

\begin{cases}t = 0 v_{o} = 0 \\ t = ∞ v_{o} = αt \end{cases}

quindi la risposta del circuito è data da:

v_{o} = ατ(e^{−t/τ} − 1) + αt

Considerando lo sviluppo dell’esponenziale per t << τ abbiamo:

v_{o} = ατ (−\frac{t}{τ} + \frac{t^{2}}{2τ^{2}} ...) + αt ≃ \frac{α}{τ} \frac{t^{2}}{2}

cioè, a parte il fattore 1/τ, l’integrale del segnale in ingresso. Al crescere di t, tuttavia, l’andamento diviene nuovamente lineare.

Questo tipo di risposta (l’integrale dell’ingresso per tempi piccoli rispetto ad RC) si ottiene anche per altre forme d’onda in ingresso. La caratteristica di avere in uscita un segnale corrispondente all’integrale di quello in ingresso è propria di questo tipo di circuito che, difatti, viene anche chiamato indegratore.

Consideriamo adesso il circuito di figura 1.15, il filtro-passa alto; per un gradino unitario in ingresso avremo:

v_{o} = v_{i} − v_{c} = v_{i} − v_{i}(1 − e^{−t/τ})

dove v_{c} è la tensione ai capi del condensatore, quindi il segnale in uscita è dato da (figura 1.17):

v_{o} = e^{−t/τ}  (1.5)

Figura 1.17: Risposta di un circuito CR passa-alto ad un gradino.

Questo tipo di circuito “blocca” completamente ogni segnale continuo e, più in generale, ogni segnale alle basse frequenze (di qui il nome di filtro passa-alto).

Vediamo adesso in che senso questo tipo di circuito può essere usato come derivatore. Per il circuito CR possiamo scrivere le seguenti equazioni:

\begin{cases}v_{o} = v_{i} − \frac{1}{C} ∫ idt \\ i = \frac{v_{o}}{R} \end{cases}

sostituendo la seconda nella prima avremo:

v_{o} = v_{i} − \frac{1}{RC} ∫ v_{o}dt

\frac{v_{o}}{RC} + \frac{dv_{o}}{dt} = \frac{dv_{i}}{dt}  (1.6)

Consideriamo i due casi limite: quello in cui v_{i} stia cambiando molto rapidamente e quello in cui cambi molto lentamente.

Nel primo caso, come si è già visto, poiché la differenza di potenziale ai capi del condensatore non può cambiare rapidamente, si ha che dv_{o}/dt sarà grande (come dv_{i}/dt) ed allora il termine v_{o}/RC potrà in prima approssimazione essere trascurato rispetto a dv_{o}/dt. In tal caso, quindi avremo

v_{o} = v_{i} + cost.

dove la costante dipende dalle condizioni iniziali.

Nel secondo caso v_{i} cambia molto poco in un tempo pari alla costante di tempo RC del circuito, ovvero RC << T dove T è il tempo in cui v_{i} subisce una variazione apprezzabile. Avremo:

\frac{v_{o}}{RC} >> \frac{dv_{o}}{dt}

trascurando quindi a primo membro nell’equazione (1.6) il termine dv_{o}/dt, avremo:

v_{o} = RC \frac{dv_{i}}{dt}

cioè il segnale in uscita verrà ad essere proporzionale alla derivata di quello in ingresso.

Prendiamo come esempio il caso di un segnale a rampa:

v_{i} = αt

l’equazione differenziale del circuito si scrive in tal caso:

\frac{v_{o}}{RC} + \frac{dv_{o}}{dt} = α

e la soluzione di tale equazione è:

v_{o} = αRC(1 − e^{−t/RC})

Per t << RC possiamo sostituire l’esponenziale in parentesi con il suo sviluppo in serie:

e^{−t/RC} ≃ 1 − \frac{t}{RC} + ...

quindi:

v_{o} = αt

Vediamo così che per tempi piccoli rispetto alla costante di tempo RC il segnale in uscita segue quello in ingresso. Per tempi grandi, invece, il termine esponenziale tenderà a zero ed avremo:

v_{o} ≃ αRC

Se il fronte di salita di un generico tipo di impulso può essere approssimato con una rampa, possiamo usare questo circuito come derivatore ed ottenere la pendenza attraverso la misura del valore asintotico del segnale in uscita.

1.7.2 Risposta ad onde quadre

Supponiamo di mandare in ingresso ad un circuito CR passa-alto (figura 1.15) un’onda quadra di periodo 2T ed ampiezza V.

Per t < T il segnale in uscita è quello calcolato in precedenza come risposta ad un ingresso a gradino (equazione (1.5)). A t = T il segnale in ingresso diminuisce la sua ampiezza di un valore pari a V e di conseguenza anche quello di uscita “cade” di V in quanto la differenza di potenziale ai capi di C non può cambiare improvvisamente:

⇒  t = T  v_{o} = (V e^{−T/τ} − V) < 0

A partire da tale istante l’uscita comincia a risalire verso lo zero con legge esponenziale e con la medesima costante di tempo di prima:

v_{o} = V (e^{−T/τ} − 1)e^{−(t−T)/τ}

Se vogliamo che la distorsione sia minima, occorre che la costante di tempo RC sia grande rispetto a T. Tuttavia c’è sempre una caduta alla fine del segnale in ingresso. Inoltre l’integrale della parte di segnale in uscita sopra lo zero è uguale a quello della parte negativa (figura 1.18).

Figura 1.18: Risposta ad un’onda quadra di un circuito CR passa-alto.

Riassumendo, le caratteristiche della risposta di un circuito passa-alto ad un’onda quadra periodica in ingresso sono le seguenti:

- il segnale in uscita è periodico, con lo stesso periodo di quello in ingresso;

- l’area sopra l’asse dei tempi è uguale all’area sotto; - quando l’ingresso subisce una brusca variazione, anche l’uscita subisce una brusca

variazione nello stesso verso;

- durante un qualsiasi intervallo di tempo in cui l’ingresso mantiene un livello costante, l’uscita decade esponenzialmente verso lo zero.

1.7.3 Risposta a segnali sinusoidali

Esaminiamo ora la risposta di un circuito passa-alto ad un’onda sinusoidale.

Consideriamo ancora il circuito di figura 1.15. Le impedenze del condensatore e della resistenza sono :

Z_{C} = \frac{1}{jωC} Z_{R} = R

il segnale in uscita è dato da:

v_{o} = v_{i} \frac{R}{Z_{tot}} = v_{i} \frac{R}{R + \frac{1}{jωC}} = v_{i} \frac{jωRC}{jωRC + 1} =

= v_{i} \frac{jωRC(1 − jωRC)}{1 + (ωRC)^{2}} = v_{i} \frac{jωRC + (ωRC)^{2}}{1 + (ωRC)^{2}}

da cui:

\frac{v_{o}}{v_{i}} = \frac{ωRC}{1 + (ωRC)^{2}} (ωRC + j)

quindi il segnale in ingresso viene attenuato di un fattore

A = \frac{ωRC}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

che tende ad 1 per ω che tende ad infinito, ed a ωRC per ωRC << 1. Il segnale è inoltre sfasato di un angolo θ con

tg(θ) = \frac{1}{ωRC}

Se il segnale in ingresso è un’onda sinusoidale del tipo

v_{i} = V sin(ωt)

allora il segnale in uscita è

v_{o} = AV sin(ωt + θ)

Per avere un derivatore perfetto, deve essere θ = π/2 e quindi dovremmo avere R = 0 oppure C = 0. Tuttavia, se ωRC = 0.01, allora θ = 89.4^{o} e quindi l’approssimazione è molto buona.

Esaminiamo ora, la risposta all’onda sinusoidale di un circuito passa-basso :

v_{o} = v_{i} \frac{Z_{C}}{Z_{tot}} = v_{i} \frac{1}{jωC} \frac{1}{R + \frac{1}{jωC}} =

= v_{i} \frac{1}{1 + jωRC} = v_{i} \frac{1 − jωRC}{1 + (ωRC)^{2}}

quindi in questo caso il fattore di attenuazione è pari a:

A = \frac{1}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

che tende a zero per ω che tende ad infinito. Lo sfasamento è invece dato da:

tg(θ) = −ωRC

Si può verificare il comportamento del circuito come integratore attraverso un’analisi della risposta ad un segnale sinusoidale. In tal caso infatti, se l’ingresso è una funzione del tipo cos(ωt), il segnale in uscita dovrà essere del tipo sin(ωt), ovvero

cos(\frac{π}{2} − ωt)

se lo sfasamento fosse diverso da π/2, il comportamento non sarebbe quello di un buon integratore. È, invece, possibile verificare che lo sfasamento è ≥ 89.4^{o} (invece di 90^{o}) se RC ≥ 15T, dove T è il periodo dell’onda.

Una forma d’onda sinusoidale, al passaggio attraverso una rete lineare (cioè una rete contenente i soli operatori lineari R, \frac{1}{C} ∫ dt, L\frac{d}{dt}) rimane sinusoidale. L’unico effetto che il circuito ha su di essa è quello di introdurre eventualmente uno sfasamento. Questa è una caratteristica delle sole forme d’onda sinusoidali. Ogni altra forma d’onda subisce delle modifiche nella forma. Il processo attraverso il quale la forma di un segnale non sinusoidale è alterata dalla trasmissione attraverso una rete lineare è chiamato “linear wave shaping”.

1.8 Riflessione di impedenze nel primario di un trasformatore

Se una generica impedenza Z è presente nel secondario di un trasformatore, quale ad esempio quella mostrata in figura 1.19, l’impedenza ”vista” nel primario è legata a Z ed al rapporto di trasformazione da una semplice relazione, che ora esamineremo.

Il rapporto di trasformazione per la tensione è legato al rapporto tra i numeri di spire n_{1} ed n_{2} presenti rispettivamente nel circuito primario ed in quello secondario, dalla nota relazione:

\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}}

L’analoga relazione per la corrente è:

\frac{i_{1}}{i_{2}} = \frac{n_{2}}{n_{1}}

La relazione tra corrente e tensione nel circuito secondario è d’altronde:

\frac{v_{2}}{i_{2}} = Z

Figura 1.19: Riflessione dell’impedenza Z nel primario di un trasformatore.

L’impedenza ”vista” guardando nel primario è:

Z_{in} = \frac{v_{1}}{i_{1}}

Sostituendo in questa i valori forniti dai rapporti di trasformazione per tensione e corrente, otteniamo:

Z_{in} = \frac{v_{2}n_{1}/n_{2}}{i_{2}n_{2}/n_{1}} = Z (\frac{n_{1}}{n_{2}} )^{2}  (1.7)

Se Z è una semplice resistenza R, avremo:

R_{in} = R (\frac{n_{1}}{n_{2}} )^{2}  (1.8)

Se Z è una capacità Z = 1/jωC, avremo:

C_{in} = C (\frac{n_{2}}{n_{1}} )^{2}  (1.9)

Se infine Z è un’induttanza Z = jωL, avremo:

L_{in} = L (\frac{n_{1}}{n_{2}} )^{2}  (1.10)

Il trasformatore potrebbe consistere in un autotrasformatore, quale quello mostrato in figura 1.20.

In tal caso possiamo applicare le medesime relazioni appena scritte, con l’intesa che ora n_{1} è il numero di spire nel circuito d’ingresso, mentre n_{2} và ora sostituito con il numero totale di spire presenti nel circuito secondario, n = n_{1} + n_{2}. La resistenza, capacità ed induttanza viste nel circuito primario saranno ora date da:

R_{in} = R (\frac{n_{1}}{n} )^{2}  (1.11)

C_{in} = C (\frac{n}{n_{1}} )^{2}  (1.12)

Figura 1.20: Riflessione dell’impedenza Z nel primario di un autotrasformatore.

L_{in} = L (\frac{n_{1}}{n} )^{2}  (1.13)

Filtri attivi

14.1 Introduzione

Un filtro è un dispositivo che trasmette inalterati segnali aventi frequenze entro un determinato campo (filtri passa-banda) o al di sopra di un valore determinato (filtri passa-alto) o ancora al di sotto di un valore prefissato (filtri passa-basso). Si possono anche avere filtri che lasciano passare solo segnali aventi frequenze poste al di fuori di un campo prefissato (filtri elimina-banda).

Un filtro può esser realizzato a partire da soli componenti passivi (resistenze, capacità o induttanze). In tal caso si parla di filtri passivi. É ormai comune uso adoperare, insieme ad elementi passivi, anche elementi attivi, quali transistor o amplificatori operazionali. Tale scelta offre una maggiore flessibilità nella realizzazione di filtri con particolari caratteristiche. Questi sono noti come filtri attivi.

A causa della limitata risposta in frequenza degli operazionali, i filtri attivi sono adoperati tipicamente a basse frequenze (sopratutto a frequenze audio) fino ad un massimo di qualche centinaio di kHz. É possibile, facendo uso di amplificatori operazionali veloci, realizzare filtri attivi che operano fino a diversi MHz, ma ragioni di costo ne limitano l’uso. Per frequenze elevate si fa quindi uso di filtri passivi. In questo capitolo esamineremo le caratteristiche dei principali tipi di filtri attivi, quali ad esempio quelli di Butterworth e di Bessel. Per un’analisi più approfondita dell’argomento si suggerisce di consultare le referenze citate.

Faremo ampio uso della tecnica delle trasformate di Laplace, e dei concetti connessi con la rappresentazione grafica della risposta dei circuiti (diagrammi di Bode e di Nyquist).

Si sta diffondendo in aggiunta, in questi ultimi anni, l’uso di quelli che sono noti come filtri digitali. Una trattazione dettagliata di tale tipo di filtri ci porterebbe ben oltre gli scopi di questo corso.

14.1.1 Caratteristiche di risposta dei filtri

I quattro tipi di filtro cui abbiamo accennato nella sezione precedente dovrebbero idealmente avere delle funzioni di trasferimento caratterizzate da un andamento piatto all’interno della banda passante e da una transizione infinitamente ripida verso la banda bloccata. Tale andamento ideale è schematizzato nella figura 14.1 dove sono mostrati i diagrammi di Bode per il modulo della funzione di trasferimento G(ω) relativi ai quattro tipi di filtri.

Figura 14.1: Andamento ideale della funzione di trasferimento relativa ai quattro tipi di filtro descritti. Figura (a): passa-basso, figura (b): passa alto, figura (c): passa-banda, figura (d): elimina-banda.

La figura (a) si riferisce al caso di un filtro passa-basso, la (b) a quello di un filtro passa-alto, la (c) ad un filtro passa-banda e la (d) ad uno elimina-banda.

In realtà nessun filtro reale ha funzioni di trasferimento come quelle mostrate in figura. I fronti di salita e di discesa hanno nella pratica pendenze che vanno da 6 dB/ottava a qualche decina di dB/ottava. Inoltre l’andamento all’interno della banda passante non è mai piatto, ma esibisce in genere delle oscillazioni (“ripple”) più o meno ampie. Un esempio di curva di risposta reale è quello mostrato in figura 14.2 (relativo al caso di un filtro passa-banda).

La banda passante (BW) è definita come l’intervallo di frequenze compreso tra i punti in cui il modulo del guadagno è diminuito di 3 dB rispetto al valor medio a centro banda. L’ampiezza del canale di ripple, mostrato in figura, è espresso in dB e varia tra qualche frazione di dB e 1.5-2.0 dB. La pendenza dei fronti di salita e di discesa, come già detto varia tra 6 dB/ottava e qualche decina di dB/ottava.

Il modulo della funzione di trasferimento G(f) (o equivalentemente G(ω)) non è l’unica caratteristica importante di un filtro. É altrettanto importante che lo sfasamento introdotto dal filtro aumenti linearmente all’aumentare della frequenza. Solo in tal modo, infatti, le componenti di diversa frequenza presenti nel segnale subiranno tutte il medesimo ritardo temporale e nessuno sfasamento relativo.

Consideriamo infatti due componenti di frequenze angolari (ω_{1}, ω_{2}), fasi (ϕ_{1}, ϕ_{2}) ed ampiezze (A_{1}, A_{2}):

a_{1}(t) = A_{1} cos(ω_{1}t + ϕ_{1})

Figura 14.2: Esempio della funzione di trasferimento relativa ad un filtro reale di tipo passabanda. Si notino le oscillazioni “ripple” nella curva.

a_{2}(t) = A_{2} cos(ω_{2}t + ϕ_{2})

Ammettiamo che all’interno della banda passante sia |G(ω)| costante e sia lo sfasamento introdotto dalla G(ω) dato da:

ϕ = kω

con k una costante. Le due componenti all’uscita del filtro saranno:

a′_{1}(t) = |G| A_{1} cos(ω_{1}t + ϕ_{1} + kω_{1})
a′_{2}(t) = |G| A_{2} cos(ω_{2}t + ϕ_{2} + kω_{2})

ovvero:

a′_{1}(t) = |G| A_{1} cos [ω_{1}(t + k) + ϕ_{1}]
a′_{2}(t) = |G| A_{2} cos [ω_{2}(t + k) + ϕ_{2}]

Vediamo che le due componenti hanno in uscita la stessa frequenza che esse avevano in ingresso e la stessa differenza di fase: Δϕ = ϕ_{2} − ϕ_{1}. Esse sono entrambe “ritardate” temporalmente di una medesima quantità k^{1}. Il segnale risultante dalla sovrapposizione di un gran numero di componenti di questo tipo non risulterà quindi deformato. Esiste un ulteriore tipo di filtro, noto come “passa tutto” (all-pass filter), che ha una risposta |G(ω)| indipendente dalla frequenza, ma uno sfasamento che è funzione di questa. Tali filtri vengono adoperati per compensare sfasamenti dipendenti dalla frequenza, introdotti da linee di trasmissione quali le linee telefoniche. I filtri passa-tutto sono anche noti come “correttori di fase” o “equalizzatori di ritardo”.

1anticipate se k è negativo.

Come vedremo, è possibile realizzare filtri che hanno una banda passante sufficientemente piatta, ma non una buona relazione di fase, o anche filtri con una relazione di fase lineare, ma con un certo ammontare di ripple nella banda passante.

Per un discussione esauriente dei vantaggi e dei limiti dei diversi tipi di filtri attivi, si suggerisce una lettura del capitolo 5 del libro di Horowitz- Hill [10].

14.2 Generalità sui filtri

Un generico filtro è caratterizzato da una funzione di trasferimento esprimibile come rapporto tra due polinomi nella variabile complessa s:

G(s) = \frac{a_{M}s^{M} + a_{M−1}s^{M−1} + ⋯ + a_{0}}{s^{N} + b_{N−1}s^{N−1} + ⋯ + b_{0}}

dove i coefficienti dei polinomi sono reali ed inoltre è M ≤ N.

N è noto come l’ordine del filtro.

Se indichiamo con z_{1}, z_{2}, ⋯ z_{M} le radici del polinomio a numeratore e con p_{1}, p_{2}, ⋯ p_{N} quelle del polinomio a denominatore, e ricordiamo che tali radici sono o reali o, se complesse, presenti con le complesse coniugate, la funzione di trasferimento potrà esser messa nella forma:

G(s) = \frac{a_{M}(s − z_{1})(s − z_{2}) ⋯ (s − z_{M})}{(s − p_{1})(s − p_{2}) ⋯ (s − p_{N})}

i valori z_{1}, z_{2}, ⋯ z_{M} sono gli zeri della funzione di trasferimento, p_{1}, p_{2}, ⋯ p_{N} i poli. Nel piano complesso s = σ ÷ jω, gli zeri possono esser dovunque, i poli possono esser presenti solo nel semipiano sinistro (σ ≤ 0). Se tale condizione non fosse soddisfatta, il sistema non sarebbe stabile.

Gli zeri debbono corrispondere a frequenze poste nella zona di “banda bloccata”. Se vogliamo ottenere la risposta in frequenza del filtro, dobbiamo sostituire alla

variabile s il valore jω.

In molti casi possiamo, da un semplice esame della funzione di trasferimento, capire se il filtro sia un passa-basso, passa-alto, etc. Ad esempio, la funzione di trasferimento:

G(s) = \frac{as}{s^{2} + 5s + 3}

con la sostituzione s = jω, ha modulo e fase dati rispettivamente da:

|G(ω)| = \frac{aω}{\sqrt{(3 − ω^{2})^{2} + 25ω^{2}}}

tan ϕ(ω) = \frac{3 − ω^{2}}{5ω}

Vediamo che il modulo di G(ω) per ω → ∞ tende a zero come 1/ω. Si esprime ciò dicendo che la G(ω) ha uno zero semplice all’infinito. Inoltre, per ω → 0 essa tende a zero. Cioè la G(ω) ha uno zero semplice nell’origine. Si tratta in definitiva di un filtro che taglia ad alta ed a bassa frequenza, cioè di un filtro passa-banda.

Nell’esempio appena fatto, il fatto che |G(ω)| decresca al crescere di ω come 1/ω implica che, nel diagramma di Bode l’andamento sia di -20 dB per decade (o -6 dB per ottava).

Nel caso generale di un filtro passa-basso, se la decrescita di |G(ω)| và come 1/ω^{n}, essa sarà caratterizzata nel diagramma di Bode da una pendenza di −n 20 dB/decade. In tal caso il sistema ha n zeri all’infinito. In generale il numero degli zeri all’infinito, come si può facilmente vedere, è dato da N-M. Infatti, per s → ∞ la G(s) tende ad a_{M}/s^{N−M}.

Può accadere che non vi siano valori finiti della frequenza, in corrispondenza ai quali l’attenuazione sia infinita. Ciò accade se nella G(s) tutti gli zeri sono all’infinito, come nel caso di:

G(s) = \frac{a_{M}}{s^{N} + b_{N−1}s^{N−1} + ⋯ + b_{0}}

Si parla allora di un filtro con solo poli (“all-pole filter”).

14.2.1 Esempi di filtri del primo e del secondo ordine

Conosciamo i più semplici dei filtri passivi: il circuito RC passa-basso e quello passa-alto, mostrati in figura 14.3, le cui funzioni di trasferimento, nello spazio delle frequenze, sono date da:

|G_{LP} (ω)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{ω}{ω_{0}} )^{2}}}

Φ_{LP} (ω) = −arctan (\frac{ω}{ω_{0}} )

|G_{HP} (ω)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{ω_{0}}{ω})^{2}}}

Φ_{HP} (ω) = arctan (\frac{ω_{0}}{ω} )

con: ω_{0} = 1/RC

Figura 14.3: Esempi di filtri del primo ordine. Il circuito RC di sinistra è di tipo passa-basso, mentre quello di destra è di tipo passa-alto.

Il filtro passa-basso è caratterizzato da una frequenza di taglio superiore (frequenza alla quale il guadagno si riduce di un fattore \sqrt{2} rispetto al valore che esso ha a basse frequenze) pari a f_{0} = ω_{0}/2π. La curva asintotica che descrive |G(ω)| a frequenze angolari ω ≫ ω_{0} ha inoltre, come è facile verificare, una pendenza (negativa) di 6 dB/ottava (20 dB/decade).

Analogamente il filtro passa-alto è caratterizzato da una frequenza di taglio inferiore f_{0} = ω_{0}/2π. La curva che descrive l’andamento di |G(ω)| a frequenze angolari ω ≪ ω_{0} ha una pendenza (positiva) di 6 dB/ottava (20 dB/decade). Un filtro passabanda può essere ottenuto mettendo in serie un filtro passa-basso ed uno passa-alto, come mostrato in figura 14.4.

Figura 14.4: Esempio di filtro passa-banda ottenuto mettendo in cascata un filtro passa-basso ed un filtro passa-alto del primo ordine.

Nel progettare un tale filtro occorrerà naturalmente far si che la frequenza di taglio f_{max} della sezione passa-basso sia maggiore della frequenza di taglio f_{min} della sezione passa-alto.

Quelli ora descritti sono tutti filtri del primo ordine: la funzione di trasferimento del filtro passa-basso, scritta in termini della variabile complessa s:

G(s) = \frac{ω_{0}}{s + ω_{0}}

ha un polo semplice (reale) in s = −ω_{0}.

Analogamente, la funzione di trasferimento del filtro passa-alto, scritta in termini della variabile complessa s è:

G(s) = \frac{s}{s + ω_{0}}

ed ha uno zero nell’origine ed un polo semplice in s = −ω_{0}.

La pendenza di ±20 dB/decade nei rispettivi diagrammi di Bode per il modulo è in entrambi i casi legata appunto alla presenza di un solo polo. Se si vuole una transizione più netta tra la banda passante e la banda bloccata, occorre ricorrere a filtri di ordine più elevato.

La forma generale della funzione di trasferimento per un filtro del primo ordine:

G(s) = \frac{a_{1}s + a_{0}}{s + ω_{0}}

è caratterizzata da un polo in s = −ω_{0}, uno zero in s = −a_{0}/a_{1} ed un guadagno ad alte frequenze che tende ad a_{1}. Vediamo che il denominatore determina la regione di frequenze di interesse, mentre il numeratore determina il tipo di filtro (passa-basso, passa alto, etc.). È infatti immediato vedere che se è a_{1} = 0, si ha un filtro passabasso, se a_{0} = 0 si ha un filtro passa-alto, se sia a_{1} che a_{0} sono diversi da zero, si ha un filtro passa-banda. Nel piano complesso, questi tre diversi tipi di filtri sono caratterizzati dalle configurazioni poli-zeri, mostrate in figura 14.5.

Figura 14.5: Diagrammi poli-zeri per i tre semplici filtri del primo ordine discussi: a sinistra, passa-basso; al centro, passa-alto; a destra, passa-banda.

Notiamo che un filtro (passivo) passa-basso con buone caratteristiche (taglio in frequenza abbastanza netto) può essere ottenuto utilizzando un circuito LRC come quello di figura 14.6(a).

Figura 14.6: Esempi di filtri passivi di tipo RLC. (a): filtro passa-basso, (b): filtro passa-banda.

La funzione di trasferimento di questo circuito è:

G(s) = \frac{1/LC}{s^{2} + (1/RC)s + 1/LC}  (14.1)

Confrontando questa con l’equazione tipica di una funzione di trasferimento con due poli (vedi capitolo 3):

G(s) = \frac{A_{0}ω_{0}^{2}}{s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s + ω_{0}^{2}}  (14.2)

troviamo la corrispondenza:

ω_{0} → \frac{1}{\sqrt{LC}}

Q_{0} → ω_{0}RC → R\sqrt{\frac{C}{L}}

Potrà aversi un picco nella risposta se Q_{0} > 1/\sqrt{2}, cioè:

R > \sqrt{\frac{L}{2C}}

Come visto a pagina (63), il picco diventa tanto più accentuato quanto più elevato è il valore di Q_{0}. L’andamento tipico della curva di risposta (plot di Bode per il modulo) è mostrato in figura 14.7 per il caso Q_{0} = 1.

Figura 14.7: Diagramma di Bode del modulo della risposta del filtro RLC descritto nel testo, nel caso Q_{0} = 1.

Il massimo si ha per:

ω_{max}^{2} = ω_{0}^{2} (1 − \frac{1}{2Q_{0}^{2}} )

cioè:

ω_{max}^{2} = \frac{1}{LC} − \frac{1}{2C^{2}R^{2}}

In modo analogo, dall’analisi del circuito RCL di figura 14.6(b), ricaviamo la seguente funzione di trasferimento:

G(s) = \frac{s/RC}{s^{2} + (1/RC)s + 1/LC}  (14.3)

che realizza un filtro passa-banda di ordine 2. I filtri attivi eliminano alcuni inconvenienti presenti nei filtri passivi:

a) l’uso di induttanze, che sono ingombranti, ed inoltre risentono dei disturbi elettromagnetici inevitabilmente presenti;

b) l’attenuazione legata all’impedenza del filtro passivo;

c) la dipendenza della risposta dalle impedenze d’ingresso e d’uscita degli amplificatori cui il filtro è accoppiato. L’elevata impedenza d’ingresso e la bassa impedenza d’uscita di un operazionale rende agevole l’accoppiamento di più filtri diversi. Ciò è importante poiché consente di realizzare filtri di ordine più elevato (cioè con un maggior numero di poli nella funzione di trasferimento) ponendo in cascata più filtri di ordine inferiore.

14.3 Funzione biquadratica di trasferimento

Come abbiamo visto, la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso LRC ha la forma (equazione (14.2)):

G(s) = \frac{A_{0}ω_{0}^{2}}{s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s + ω_{0}^{2}}

del rapporto tra un termine costante ed un polinomio di secondo grado in s. Si può facilmente verificare che la funzione di trasferimento di un generico filtro del secondo ordine (passa-alto, passa-basso, passa-banda, elimina-banda) può essere espressa come il rapporto tra due polinomi di secondo grado in s:

G(s) = \frac{a_{2}s^{2} + a_{1}s + a_{0}}{s^{2} + b_{1}s + b_{0}}  (14.4)

Se infatti i termini a_{2} ed a_{1} sono nulli, possiamo facilmente vedere che siamo in presenza di un filtro passa-basso: al tendere di |s| = ω ad ∞ la |G(ω)| tende a 0.

Se a_{2} ed a_{0} sono nulli ed a_{1} è diverso da 0, la |G(ω)| tenderà a 0 sia per ω → ∞ che per ω → 0. Abbiamo cioè un filtro passa-banda.

Se a_{2} è l’unico coefficiente diverso da 0, vediamo che |G(ω)| → 0 per ω → 0. Abbiamo cioè un filtro passa-alto.

Se infine a_{1} è l’unico coefficiente nullo, vediamo che la |G(ω)| tende a valori finiti per ω → 0 e per ω → ∞. Abbiamo così un filtro elimina-banda.

La funzione biquadratica (14.4) è più convenientemente scritta nella forma (analoga alla (14.2) relativa al filtro passa-basso):

G(s) = \frac{k_{2}s^{2} + k_{1}(ω_{0}/Q_{0})s + k_{0}ω_{0}^{2}}{s^{2} + (ω_{0}/Q_{0})s + ω_{0}^{2}}  (14.5)

Nel caso dei quattro tipi di filtro descritti in precedenza, questa acquista la forma indicata nella corrispondente riga della tabella 14.1.

tipo di filtro k_{2} k_{1} k_{0}  G(s)
passa-basso 0 0 1 \frac{ω_{0}^{2}}{s^{2}+ \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s+ω_{0}^{2}}
passa-alto  1 0 0 \frac{s^{2}}{s^{2}+ \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s+ω_{0}^{2}}

passa-banda 0 1 0 \frac{\frac{ω_{0}}{Q_{0}} s}{s^{2}+ \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s+ω_{0}^{2}}

elimina-banda 1 0 1 \frac{s^{2}+ω_{0}^{2}}{s^{2}+ \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s+ω_{0}^{2}}

Tabella 14.1: Funzioni di trasferimento per alcuni tipi di filtri del secondo ordine

La larghezza di banda (BW) è definita, per un filtro passa-banda, come l’ampiezza del campo di frequenze che si estende fino a quei valori in corrispondenza a cui il guadagno si riduce di 3 dB rispetto al valore che esso ha a centro banda. Si può facilmente vedere che nel caso del filtro passa banda la BW è data da:

BW = \frac{ω_{0}}{Q_{0}}  (14.6)

Per dimostrarlo, partiamo dall’espressione della |G(ω)| per il filtro passa-banda:

|G(ω)| = \frac{(ω_{0}/Q_{0})ω}{\sqrt{(ω_{0}^{2} − ω^{2})^{2} + ω^{2}ω_{0}^{2}/Q_{0}^{2}}}  (14.7)

che per ω = ω_{0} vale 1. Indichiamo con ω′ ed ω′′ i due valori rispettivamente minore e maggiore di ω_{0},

nei quali sia: |G(ω′)|=|G(ω′′)| = 1/\sqrt{2}.

Per un generico valore di ω, la condizione che sia |G(ω)| = 1/\sqrt{2} porta a:

(ω_{0}^{2} − ω^{2})^{2} = \frac{ω^{2}ω_{0}^{2}}{Q_{0}^{2}}

cioè:

ω_{0}^{2} − ω^{2} = ±\frac{ωω_{0}}{Q_{0}}

dove andrà scelto il segno (+) se ω < ω_{0} (cioè nel caso di ω′); andrà invece scelto il segno (-) nel caso di ω′′.

Nel primo caso l’equazione diventa:

ω^{′2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} ω′ − ω_{0}^{2} = 0

la cui soluzione (positiva) è:

ω′ = \frac{ω_{0}}{2Q_{0}} [\sqrt{1 + 4Q_{0}^{2}} − 1]  (14.8)

Nel secondo caso avremo invece l’equazione:

ω^{′′2} − \frac{ω_{0}}{Q_{0}} ω′′ − ω_{0}^{2} = 0

la cui soluzione (positiva) è:

ω′′ = \frac{ω_{0}}{2Q_{0}} [\sqrt{1 + 4Q_{0}^{2}} + 1]  (14.9)

Vediamo che la larghezza di banda, espressa in termini della frequenza angolare, è:

BW = ω′′ − ω′ = \frac{ω_{0}}{Q_{0}}

Ovviamente la larghezza di banda in termini della frequenza sarà:

BW = \frac{ω_{0}}{2πQ_{0}}

Vediamo che la larghezza della banda passante non ha ugual valore nella zona a sinistra ed a destra di ω_{0}. Abbiamo infatti:

ω_{0} − ω′ = \frac{ω_{0}}{2Q_{0}} [1 + (2Q_{0} − \sqrt{1 + 4Q_{0}^{2}})]

mentre:

ω′′ − ω_{0} = \frac{ω_{0}}{2Q_{0}} [1 − (2Q_{0} − \sqrt{1 + 4Q_{0}^{2}})]

Ad esempio, per ω_{0} = 1000 rad/s e Q_{0} = 10 avremo:

ω_{0} − ω′ = \frac{1000}{20} (1 − \sqrt{401} + 20] = 48.75 rad/s

ω′′ − ω_{0} = \frac{1000}{20} [1 + \sqrt{401} − 20] = 51.25 rad/s

Ovviamente, la differenza tra ω_{0} − ω′ e ω′′ − ω_{0} diviene tanto minore quanto maggiore è il valore di Q_{0}.

Analogamente, per un filtro elimina-banda, la banda-bloccata è quella compresa tra i valori ω′ ed ω′′ in corrispondenza ai quali il modulo della funzione di trasferimento è ridotto di 3 dB rispetto al valore che esso ha a frequenze molto basse o molto alte. Si può facilmente vedere che, per questo tipo di filtro l’ampiezza della banda-bloccata è data dalla stessa espressione che fornisce la banda passante nel caso appena esaminato.

ω′′ − ω′ = \frac{ω_{0}}{Q_{0}}

Partiamo infatti dall’espressione della G(ω) per tale filtro:

G(ω) = \frac{ω^{2} − ω_{0}^{2}}{ω_{0}^{2} − ω^{2} + jω \frac{ω_{0}}{Q_{0}}}

il cui modulo è:

|G(ω)| = \frac{|ω^{2} − ω_{0}^{2}|}{\sqrt{(ω_{0}^{2} − ω^{2})^{2} + \frac{ω^{2}ω_{0}^{2}}{Q_{0}^{2}}}}

È facile vedere che questo vale 1 sia per ω → 0 che per ω → ∞. Per determinare la larghezza di banda dobbiamo quindi individuare i valori ω′ ed ω′′ (con ω′ < ω_{0} < ω′′) in corrispondenza ai quali tale modulo vale 1/\sqrt{2}.

Da tale condizione segue:

Q_{0}^{2} (ω_{0}^{2} − ω^{2})^{2} = ω^{2}ω_{0}^{2}

cioè:

Q_{0} (ω_{0}^{2} − ω^{2}) = ±ωω_{0}

dove và scelto il segno (+) se ω_{0} > ω, quello (-) se ω_{0} < ω.

Nel primo caso (ω = ω′) scriveremo quindi:

ω_{0}^{2} − ω^{′2} = ω′ω_{0}/Q_{0}

nel secondo (ω = ω′′):

ω_{0}^{2} − ω^{′′2} = −ω′′ω_{0}/Q_{0}

Sottraendo membro a membro queste due equazioni, si ottiene:

ω_{0}^{2} − ω^{′2} − ω_{0}^{2} + ω^{′′2} := (ω′ + ω′′) ω_{0}/Q_{0}

da cui:

ω′′ − ω′ = ω_{0}/Q_{0}

Si vede inoltre con facilità, facendo uso delle equazioni scritte, che le espressioni di ω′ ed ω′′ sono le stesse (formule (14.8) e (14.9)) già ottenute per il filtro passa-banda.

14.4 Corrispondenze tra tipi diversi di filtri

Sappiamo che un filtro RC passa-basso del primo ordine può esser trasformato nell’analogo passa-alto scambiando la resistenza con la capacità. Ciò può esser facilmente formalizzato come segue. La funzione di trasferimento del filtro passa-basso è:

G(s) = \frac{1}{1 + s/ω_{0}}  (14.10)

con ω_{0} = RC. Il circuito che si ottiene da questo scambiando R con C ha come funzione di trasferimento:

G(s) = \frac{s/ω_{0}}{1 + s/ω_{0}}  (14.11)

che è quella di un filtro passa-alto.

Vediamo che è possibile trasformare la (14.10) nella (14.11) con la corrispondenza:

\frac{s}{ω_{0}} → \frac{ω_{0}}{s}  (14.12)

É possibile verificare che ciò è vero anche per filtri di ordine più elevato. Ad esempio, il filtro passa-basso la cui funzione di trasferimento è mostrata nella prima riga della tabella data in sezione 14.3 diventa, in seguito all’applicazione della corrispondenza (14.12), il filtro passa-alto la cui funzione di trasferimento è data dalla seconda riga della medesima tabella.

Analoghe corrispondenze possono essere adoperate per trasformare un filtro passa-basso in uno passa-banda o elimina-banda.

Per ulteriori dettagli si suggerisce di consultare la referenza [11].

14.5 Il “ripple” nei filtri

Se in un filtro del secondo ordine è Q_{0} > 1/\sqrt{2}, la curva di risposta (diagramma di Bode per il modulo) comincia a sviluppare un massimo di cui abbiamo calcolato al capitolo 3 la posizione ω_{max} ed il valore:

G(ω_{max}) = \frac{A_{0}Q_{0}}{\sqrt{1 − 1/(4Q_{0}^{2})}}

Si definisce “ripple” la deformazione della curva di risposta in prossimità di ω_{max} e si definisce “larghezza del ripple” la quantità:

ϵ = |G_{max}/A_{0}| = \frac{Q_{0}}{\sqrt{1 − \frac{1}{4Q_{0}^{2}}}}

Si definisce poi “lunghezza del canale di ripple” la pulsazione ω_{c} oltre la quale risulta |G| < |A_{0}|. Per la definizione delle variabili ϵ ed ω_{c} si veda la figura 14.8. Dall’equazione (3.18), nel capitolo 3, notiamo che ponendo:

|G|^{2} = A_{0}^{2}

si trova:

ω_{c}^{2} = ω_{0}^{2} (2 − \frac{1}{Q_{0}^{2}} )

cioè:

\frac{ω_{c}}{ω_{0}} = \sqrt{2 − \frac{1}{Q_{0}^{2}}}

Vediamo da quest’equazione che la lunghezza del canale di ripple dipende da Q_{0}. Inoltre:

ω_{max}^{2} = \frac{ω_{c}^{2}}{2}

indipendentemente dal valore di Q_{0} (purché sia Q_{0} > 1/\sqrt{2}).

Per Q_{0} = 0.86 troviamo ω_{c} = 0.80ω_{0} ed ϵ = 1.06

Per Q_{0} = 0.96 troviamo ω_{c} = 0.95ω_{0} ed ϵ = 1.12

Un quadripolo avente Q_{0} > 1/\sqrt{2} viene detto di Chebyshev se il ripple ϵ è compreso tra 0.5dB e 3dB (cioè tra 1.06 e 1.41).

14.6 Conversione di impedenze tramite operazionali

Abbiamo visto come sia possibile realizzare filtri di ordine 2, facendo uso di elementi passivi R,L,C. In pratica è poco conveniente far uso di induttanze, a causa del loro ingombro e sensibilità al rumore. Si può invece “simulare” l’induttanza facendo uso di amplificatori operazionali ed elementi resistivi e capacitivi. Cominceremo col far vedere che un operazionale può modificare la natura dell’impedenza vista dalla sorgente del segnale. Consideriamo ad esempio il circuito di figura 14.9:

370  Capitolo 14. Filtri attivi

Figura 14.8: Esempio di possibile funzione di trasferimento per un filtro passa-basso del secondo ordine. La definizione delle quantità ω_{c} e ϵ descritte nel testo è facilmente deducibile dal grafico.

Figura 14.9: Il circuito, basato su operazionale, è utilizzato per invertire il segno di una impedenza. La sorgente, applicata all’ingresso invertente, vede infatti una impedenza pari a −Z. È noto come NIC: Negative Impedance Converter.

La corrente i vale:

i = \frac{v_{+} − v_{o}}{R}  (14.13)

con:

v_{+} = v_{−} = v_{o} \frac{Z}{R + Z}  (14.14)

da cui:

v_{o} = v_{−} \frac{R + Z}{Z} = v_{i} \frac{R + Z}{Z}

e:

v_{i} = v_{o} \frac{Z}{R + Z}  (14.15)

Dalle (14.13) e (14.14) si ha poi:

i = \frac{v_{o}}{R} (\frac{Z}{Z + R} − 1) = −\frac{v_{o}}{Z + R}  (14.16)

L’impedenza vista all’ingresso dell’operazionale è allora ottenibile dalle (14.15) e (14.16):

Z_{i} = \frac{v_{i}}{i} = −Z

Vediamo cioè che l’operazionale “trasforma” l’impedenza Z nel suo opposto - Z. Se Z è un’impedenza capacitiva: Z = 1/jωC, l’impedenza trasformata sarà 1/jω(−C), cioè è come se la capacità fosse diventata negativa. Un circuito come quello analizzato è designato con il simbolo “NIC” (Negative Impedance Converter).

Vediamo ora come, facendo uso di questo, possiamo realizzare un circuito che converte un’impedenza Z nel suo reciproco 1/Z. Questo è noto come “gyrator”. Esaminiamo l’esempio di figura 14.10:

Figura 14.10: Circuito giratore, ottenuto connettendo come in figura due circuiti NIC e tre resistenze. Esso è in grado di trasformare un’impedenza Z nel suo reciproco 1/Z, quindi un condensatore in una induttanza e viceversa.

Poiché ciascun NIC cambia di segno l’impedenza che lo segue, possiamo ridisegnare il circuito come mostrato in figura 14.11.

Figura 14.11: Circuito giratore, dopo aver ridotto uno dei circuiti NIC.

L’impedenza vista all’uscita del primo NIC è ora:

Z′ = R + \frac{−(R + Z)R}{R + Z − R} = R − \frac{R^{2} + ZR}{Z} = −\frac{R^{2}}{Z}

Poiché il primo NIC cambia ulteriormente il segno di tale impedenza, avremo:

Z_{in} = \frac{R^{2}}{Z}

e se Z è una capacità, avremo:

Z_{in} = \frac{R^{2}}{1/jωC} = jR^{2}ωC = jωL

con:

L = R^{2}C

Che dimostra quanto asserito. Facendo quindi uso di resistenze, capacità ed operazionali possiamo realizzare l’equivalente di filtri RLC. Come già accennato, il limite all’utilizzo di tali circuiti è posto dallo slew-rate degli operazionali, che consiglia, a frequenze elevate, l’uso di circuiti passivi. Un circuito di largo uso, che consente di sostituire un’induttanza con operazionali, è quello dovuto ad A. Antoniou [6], mostrato in figura 14.12.

Si può infatti dimostrare che il rapporto tra la tensione applicata v_{1} e la corrente i_{1} è data da:

Z_{in} = \frac{v_{1}}{i_{1}} = sC_{4}R_{1}R_{3}R_{4}/R_{2}

che è l’impedenza di un’induttanza L, con:

L = C_{4}R_{1}R_{3}R_{4}/R_{2}

Per dimostrarlo basta tener presente che, a causa del feedback negativo, la differenza di potenziale ai capi di ciascun operazionale è nulla. Con riferimento alla figura 14.13 segue che:

v_{1} = v_{a} = v_{e}

14.6 Conversione di impedenze tramite operazionali  373

Figura 14.12: Elegante implementazione del circuito giratore dovuta a A. Antoniou. L’induttanza vista in ingresso a R_{1} è di tipo induttivo.

Figura 14.13: Circuito del giratore di Antoniou, con raffigurati i vettori corrente.

La corrente in R_{4}:

i_{5} = \frac{v_{1}}{R_{4}}

è uguale a quella in C_{4}:

i_{4} = i_{5} = \frac{v_{1}}{R_{4}}

La tensione nel punto d:

v_{d} = v_{1} + \frac{i_{4}}{sC_{4}} = v_{1} + \frac{v_{1}}{sC_{4}R_{4}} = v_{01}

Essendo poi v_{c} = v_{1}, la corrente in R_{3} sarà:

i_{3} = \frac{v_{d} − v_{c}}{R_{3}} = \frac{(v_{1} + \frac{v_{1}}{sC_{4}R_{4}} − v_{1})}{R_{3}} = \frac{v_{1}}{sC_{4}R_{3}R_{4}}

La corrente in R_{2} inoltre uguaglia quella in R_{3}. Ne segue:

v_{02} = v_{b} = v_{c} − R_{2}i_{3} = v_{1} − \frac{R_{2}v_{1}}{sC_{4}R_{3}R_{4}}

La corrente in R_{1} è allora:

i_{1} = \frac{v_{1} − v_{b}}{R_{1}} = \frac{R_{2}}{sC_{4}R_{1}R_{3}R_{4}} v_{1}

L’impedenza d’ingresso sarà quindi:

Z_{in} = \frac{v_{1}}{i_{1}} = s\frac{C_{4}R_{1}R_{3}R_{4}}{R_{2}}

che è quanto asserito.

Si può poi vedere facilmente che questo circuito si comporta da induttanza anche se lo si “guarda” dal lato di R_{4}, cioè se si collega a massa l’estremo sinistro e si applica la sorgente di segnale all’estremità inferiore di R_{4}.

Un esempio di un filtro passa-basso di ordine 2, in cui l’induttanza è sostituita da un “giratore” di Antoniou, è quello mostrato in figura 14.14.

Figura 14.14: Filtro passa-basso di ordine 2 ottenuto sostituendo l’induttanza con un giratore di Antoniou. L’utilizzo delle induttanze è sconsigliato nella pratica, a causa del costo e dell’ingombro elevato. L’utilizzo di questo circuito permette di ottenere la stessa risposta di un filtro RLC utilizzando solamente componenti di tipo R e C oltre ad i componenti attivi.

Qui l’induttanza è sostituita dalla parte di circuito delineata dal rettangolo. L’amplificatore non invertente posto in alto a sinistra, è necessario per prelevare il segnale in uscita senza alterare il funzionamento del circuito. Tale amplificatore ha un guadagno in tensione dato da: 1 + R_{7}/R_{6}.

In modo analogo è possibile realizzare filtri passa-banda, passa alto, notch etc.

14.7 Filtri di Butterworth

Nelle sezioni precedenti abbiamo incontrato filtri caratterizzati da funzioni di trasferimento con un singolo polo (filtri del primo ordine) e con un polo doppio (filtri del secondo ordine). In generale, il numero dei poli nella funzione di trasferimento determina la rapidità dei fronti di discesa (o di salita, nel caso dei filtri passa-alto o passa-banda) del filtro.

Una classe importante di filtri è quella di Butterworth. Questi sono caratterizzati da funzioni di trasferimento il cui modulo quadro, per un filtro passa-basso di ordine n, è dato da:

|G_{n}(ω)|^{2} = \frac{1}{[1 + (\frac{ω}{ω_{0}} )^{2n}]}

cioè:

|G_{n}(ω)| = \frac{1}{[1 + (\frac{ω}{ω_{0}} )^{2n}]^{1/2}}

Andamenti tipici sono mostrati in figura 14.15, per valori dell’ordine n variabile tra 1 e 10. Notiamo che tutte le curve hanno la medesima attenuazione di 3 dB per ω = ω_{0}. Quando si riporta il guadagno in funzione di ω/ω_{0} si dice che si studia il suo andamento in funzione della frequenza normalizzata.

Queste curve hanno le seguenti caratteristiche:

• |G_{n}(0)|=1 per tutti gli n;

• |G_{n}(ω_{0})| = 1/\sqrt{2} ≈ 0.707 per tutti gli n (cioè il guadagno diminuisce di 3 dB per ω = ω_{0});

• per ω ≫ ω_{0} il guadagno scende con una pendenza di 6n dB/ottava, per un filtro di ordine n;

• le prime (n-1) derivate del modulo della funzione di trasferimento G(ω) sono nulle; ciò implica che la risposta nella banda passante è massimamente piatta, cioè ha un massimo per ω = 0 e rimane all’incirca costante fino ad ω = ω_{0}.

Si può facilmente verificare che un filtro è di Butterworth se i poli sono ottenibili dividendo una circonferenza situata nel piano complesso, con centro nell’origine, in un numero 2n (quindi pari) di punti distribuiti uniformemente.

Ovviamente essi dovranno essere disposti in modo simmetrico rispetto all’asse reale ed inoltre solo quelli situati nel semipiano sinistro potranno rappresentare poli della funzione G(s). Ad esempio, per n=1 e per n=2 abbiamo le situazioni mostrate nelle figure 14.16 ed 14.17.

Nel caso n=2 le radici s_{1} ed s_{2} (i poli della funzione G(s)) saranno:

s_{1} = α(j − 1)
s_{2} = −α(j + 1)

Figura 14.15: Funzione di trasferimento normalizzata per filtri di Butterworth, per valori dell’ordine n compreso tra 1 e 10. La curva inferiore è quella relativa ad n=1, la superiore ad n=10. Le curve intermedie sono ottenute per valori di n compresi tra 2 e 9.

Il denominatore della G(s) sarà:

(s − s_{1})(s − s_{2}) = s^{2} + 2αs + 2α^{2}

Per cui:

G_{2}(s) = \frac{1}{s^{2} + 2αs + 2α^{2}} = \frac{(1/2α^{2})}{s/2α^{2} + s/α + 1} = \frac{(1/2α^{2})}{(s^{2}/2α^{2}) + \sqrt{2}s/\sqrt{2}α + 1}

La grandezza ω_{0}, distanza delle radici dall’origine, è data da:

ω_{0}^{2} = 2α^{2}

Cioè:

ω_{0} = \sqrt{2}α
α = ω_{0}/\sqrt{2}

Introduciamo ora la variabile s′, ottenuta da s normalizzandola ad ω_{0}:

s′ = s/ω_{0} = s/\sqrt{2}α

Figura 14.16: Rappresentazione dei poli di un filtro di Butterworth del primo ordine. Solamente il polo di sinistra può rappresentare un polo della funzione di trasferimento G(s), il polinomio di Butterworth sarà quindi del tipo s + 1.

Con ciò l’ultima espressione scritta diventa:

G_{2}(s′) = \frac{1/ω_{0}^{2}}{s^{′2} + \sqrt{2}s′ + 1}

Il denominatore di quest’espressione è il polinomio di Butterworth di ordine n=2 (B_{2}(s′)).

grado del polinomio(n) B_{n}(s)
1  s + 1
2  s^{2} + 1.414s + 1
3  (s + 1)(s^{2} + s +1)
4  (s^{2} + 0.765s + 1)(s^{2} + 1.848s + 1)
5  (s + 1)(s^{2} + 0.618s + 1)(s^{2} + 1.618s + 1)

Come già visto, nel caso generale il modulo del polinomio di ordine n vale:

|B_{n}(s)| = \sqrt{1 + (\frac{ω}{ω_{0}} )^{2n}}

Si definisce “fattore di smorzamento” la metà del coefficiente di s in ciascuno dei fattori quadratici che compaiono in tali espressioni. Ad esempio, per n=2 il fattore

Figura 14.17: Rappresentazione dei poli di un filtro di Butterworth del secondo ordine. Solamente i due poli di sinistra possono rappresentare un polo della funzione di trasferimento G(s), sono inoltre complessi coniugati, quindi il polinomio di Butterworth corrispondente (normalizzato) è di tipo s^{2} + 1.414s + 1.

di smorzamento vale 1.414/2 = \sqrt{2}/2 = 1/\sqrt{2} = 0.707. Per n=3 il fattore di smorzamento è 0.5; per n=4 si hanno due fattori di smorzamento:

k_{1} = \frac{0.765}{2} = 0.383

k_{2} = \frac{1.848}{2} = 0.924

Ricordando che si è posta la corrispondenza s ↔ s/ω_{0}, le funzioni di trasferimento per n=1 e per n=2 possono essere scritte nella forma:

P_{1}(s) = \frac{1}{s/ω_{0} + 1}

P_{2}(s) = \frac{1}{(s/ω_{0})^{2} + 2k(s/ω) + 1}

con k = 1/\sqrt{2}.

Un semplice circuito RC, posto sull’ingresso non invertente di un operazionale adoperato in configurazione non invertente, come mostrato in figura 14.18, realizza un filtro di Butterworth di ordine 1.

Infatti abbiamo:

v_{−} = v_{o} \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}}

Figura 14.18: Semplice circuito che realizza un filtro di Butterworth del primo ordine. Si ottiene ponendo un circuito RC all’ingresso di un amplificatore operazionale montato in configurazione non invertente.

i = \frac{v_{s}}{R + 1/sC}

v_{+} = Z_{c}i = \frac{1}{sC} \frac{v_{s}}{R + 1/sC}

e, poiché è v_{+} = v_{−}, otteniamo:

v_{o} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}} \frac{v_{s}}{1 + sRC}

da cui:

G(s) = \frac{v_{o}}{v_{s}} = A_{v_{o}} \frac{1}{1 + sRC} = \frac{A_{v_{o}}}{1 + s/ω_{0}}

dove:

A_{v_{o}} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}}

è l’amplificazione a bassa frequenza e:

ω_{0} = \frac{1}{RC}

Abbiamo quindi un filtro di Butterworth di ordine 1, con una frequenza di taglio (superiore) pari a ω_{0} = 1/RC. Si può facilmente vedere che da tale filtro passa-basso si può ottenere un filtro passa-alto invertendo i ruoli di R e C.

Poiché si può ottenere un filtro passa-alto a partire da uno passa-basso scambiando C ed R, è chiaro che sarà possibile ottenere un filtro passa-banda a partire da due filtri di Butterworth. Il primo di questi potrebbe essere un filtro passa-alto del secondo ordine, con una frequenza di taglio f_{min}; il secondo un filtro passa-basso del medesimo ordine, con una frequenza di taglio f_{max} > f_{min}.

14.8 Filtro di Butterworth del secondo ordine

Un filtro di Butterworth del secondo ordine può esser realizzato facendo uso dello schema mostrato in figura 14.19. Questo è noto come “schema di Sallen e Key”.

Figura 14.19: Configurazione circuitale nota come configurazione di Sallen-Key. Questo tipo di circuito può essere utilizzato, con una opportuna scelta del valore dei componenti passivi, per realizzare filtri passa-basso di Butterworth del secondo ordine.

Un’amplificatore operazionale è montato in una configurazione non-invertente. Il segnale presente in uscita è riportato tra le resistenze R_{1} ed R_{2} tramite il condensatore C_{1}.

Per studiare la risposta di questo circuito, facciamo uso del circuito equivalente mostrato in figura 14.20, dove è V_{x} = V_{0}/A, con A = 1 + R_{4}/R_{3}.

Figura 14.20: Circuito equivalente della configurazione di Sallen-key, in cui l’amplificatore non invertente viene sostituito da un amplificatore e da un generatore di tensione V_{0} con uscita pari a quella dell’amplificatore. Tale circuito equivalente è utilizzato per calcolare il valore dei componenti passivi.

Si possono facilmente verificare le seguenti relazioni:

I_{x} = sC_{2}V_{x} = sC_{2} \frac{V_{0}}{A}

V_{y} = V_{x} + R_{2}I_{x} = \frac{V_{0}}{A} (1 + sC_{2}R_{2})

I_{y} = \frac{V_{y} − V_{0}}{1/sC_{1}} = sC_{1}V_{0} [\frac{1 + sC_{2}R_{2}}{A} − 1] = sC_{1} \frac{V_{0}}{A} [1 − A + sC_{2}R_{2}]

Da cui segue:

I_{i} = I_{x} + I_{y} = s\frac{V_{0}}{A} (C_{2} + C_{1} − C_{1}A + sC_{1}C_{2}R_{2}) =

= \frac{V_{0}}{A} [sC_{2} + sC_{1}(1 − A) + s^{2}C_{1}C_{2}R_{2}]

La tensione d’ingresso V_{i} sarà allora:

V_{i} = R_{1}I_{i} + V_{y} = \frac{V_{0}}{A} [sR_{1}C_{2} + sR_{1}C_{1}(1 − A) + s^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2} + 1 + sC_{2}R_{2}]

= \frac{V_{0}}{A} [1 + s^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2} + s (C_{2}(R_{1} + R_{2}) + R_{1}C_{1}(1 − A))]

La funzione di trasferimento è quindi:

G(s) = \frac{V_{0}}{V_{i}} = \frac{A}{1 + s^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2} + s [C_{2}(R_{1} + R_{2}) + R_{1}C_{1}(1 − A)]}  (14.17)

Confrontando questa con l’equazione (14.2) vediamo che:

\frac{ω_{0}}{Q_{0}} → \frac{C_{2}(R_{1} + R_{2}) + R_{1}C_{1}(1 − A)}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}

ω_{0}^{2} → \frac{1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}

Da queste equazioni segue:

Q_{0} = \frac{\sqrt{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}(R_{1} + R_{2}) + R_{1}C_{1}(1 − A)}

Se poniamo R_{1} = R_{2} = R e C_{1} = C_{2} = C otteniamo:

Q_{0} = \frac{RC}{2RC + RC(1 − A)} = \frac{1}{3 − A}  (14.18)
ω_{0} = 1/RC

Si può quindi scegliere il valore desiderato di Q_{0} con un’opportuna scelta del valore di A. La G(s) può esser espressa in termini delle variabili R, C ed A, come:

G(s) = \frac{A}{(RC)^{2}s^{2} + RC(3 − A)s + 1}  (14.19)

Il guadagno a basse frequenze è ovviamente A.

É interessante confrontare la risposta ottenuta con quella relativa al filtro LCR. Le due sono uguali se è:

LC = (R_{0}C_{0})^{2}
RC = (R_{0}C_{0})(3 − A)

dove abbiamo indicato con le sottoscritte “0′′ i componenti relativi al circuito di figura 14.19, e senza sottoscritte quelli relativi al circuito LCR.

Tali equazioni sono soddisfatte se è:

C_{0} = C
C_{0}R_{0}^{2} = L
R_{0}(3 − A) = R

Una scelta suggerita per il valore di Q_{0} è quella che rende il più possibile ripida la caduta al di sopra della frequenza di taglio superiore, senza determinare un picco. Ciò si ottiene, come visto nel capitolo sulla rappresentazione grafica delle funzioni di trasferimento, per:

Q_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}

che nel nostro caso, come si vede facendo uso dell’equazione (14.18), richiede:

A = 3 − \sqrt{2} ≈ 1.6

Un filtro che soddisfi tale condizione è un filtro di Butterworth (del secondo ordine).

Un esempio concreto di filtro di Butterworth si ottiene dal circuito di figura 14.19, con la seguente scelta dei valori dei componenti:

R_{1} = R_{2} = 15kΩ
C_{1} = C_{2} = 10nF
R_{3} = 47kΩ
R_{4} = 27kΩ

14.9 Filtri di Bessel e di Chebyshev: confronto tra diversi tipi di filtro

Come accennato in precedenza, i parametri di un filtro che maggiormente interessano sono:

(a) la “piattezza” della risposta all’interno della banda passante, e quindi l’assenza di ripple;

(b) la rapidità della transizione tra banda passante e banda bloccata, normalmente espressa in dB/ottava;

(c) la “nettezza” del ginocchio tra la banda passante e l’inizio del fronte di transizione;

(d) la linearità della risposta in fase, essenziale per non avere distorsioni.

Il progetto di un filtro è sempre un compromesso tra queste esigenze, normalmente in conflitto tra loro. Il punto (b) è essenzialmente determinato dal numero di poli della funzione di trasferimento.

I tipi di filtro comunemente adoperati sono, oltre a quello di Butterworth, quelli noti come filtri di Bessel e di Chebyshev.

Ciascuno di questi è progettato per ottimizzare un parametro differente tra quelli elencati sopra. Il grado di ottimizzazione è poi determinato dal numero di poli e di zeri della funzione di trasferimento, legati a loro volta alla complessità del circuito. Un determinato tipo di filtro, caratterizzato da una certa funzione di trasferimento e quindi da una certa risposta in frequenza, può esser realizzato fisicamente in molti modi diversi. Ad esempio, un filtro di Bessel del sesto ordine può esser realizzato in un gran numero di modi differenti, che portano però a risposte uguali.

Il circuito base di Sallen-Key, adoperato per illustrare il filtro di Butterworth del secondo ordine, è alla base di filtri di vario tipo. Il circuito base per un filtro di ordine 2 è mostrato in figura 14.19. Se poniamo:

R = R_{1} = R_{2}
R_{f} = R_{4}
R′ = R_{3}
C = C_{1} = C_{2}

I valori dei componenti per un filtro passa-basso possono essere calcolati attraverso le relazioni:

R = \frac{k_{1}}{Cf_{0}}

R_{f} = R_{1}k_{2}

dove f_{0} è la frequenza di taglio e dove i valori di C e di R_{1} possono essere scelti liberamente (ed esempio R_{1}=10k, C = 0.01μF) mentre le costanti k_{1} e k_{2} valgono:

k_{1} = 0.1251 ; k_{2} = 0.268 per un filtro di Bessel
k_{1} = 0.1592 ; k_{2} = 0.586 per un filtro di Butterworth
k_{1} = 0.1293 ; k_{2} = 0.842 per un filtro di Chebyshev

Filtri di ordine più elevato possono essere ottenuti mettendo in serie più filtri di ordine 2, con valori dei componenti passivi ottenibili da relazioni analoghe.

Il filtro di Butterworth, su cui abbiamo concentrato la nostra attenzione, è quello che ha la massima “piattezza” di risposta all’interno della banda passante, ma un “ginocchio” meno netto di quello di altri tipi di filtro ed una linearità di fase non brillante. Gli altri tipi di filtro (vedasi per una discussione esauriente il libro di Horowitz) hanno delle caratteristiche che ottimizzano l’uno o l’altro dei parametri menzionati, a spese della piattezza di risposta nella banda. Ad esempio, il filtro di Bessel ha un’ottima linearità di fase, ma un “ginocchio” meno netto di quello del filtro di Butterworth. Il filtro di Chebyshev ha un ginocchio ben netto, ma un discreto ammontare di ripple nella banda passante ed una linearità di fase peggiore di quella del filtro di Butterworth.

14.10 Filtri biquadratici ad amplificatore singolo

Esiste una classe di filtri basati sull’uso di un singolo amplificatore operazionale dove, nel circuito di reazione, è inserita un’opportuna rete RC.

Anche se tali filtri sono limitati nelle prestazioni dalla banda passante e dallo slew-rate dell’operazionale, essi sono molto diffusi, a causa della loro semplicità consumo e costo. Sono noti in letteratura come SAB’s (Single Amplifier Biquads).

Per comprendere il funzionamento di tali filtri, esaminiamo il circuito di figura 14.21, in cui una rete passiva RC è inserita nel circuito di feedback di un amplificatore avente guadagno A (teoricamente infinito).

Figura 14.21: Configurazione circuitale relativa al filtro biquadratico. Viene ottenuta inserendo una opportuna rete RC nel circuito di reazione di un amplificatore operazionale.

Sia t(s) la funzione di trasferimento della rete RC:

t(s) = \frac{v_{a}}{v_{b}}

Questa può, al solito, essere espressa come un rapporto tra polinomi:

t(s) = \frac{N(s)}{D(s)}

Le radici del polinomio a numeratore, cioè gli zeri di t(s), possono esser situati in un qualsivoglia punto del piano complesso s, mentre le radici di D(s), cioè i poli di t(s) debbono, per un circuito passivo RC, esser situati sull’asse reale negativo (σ < 0).

Vediamo ora come, con l’introduzione della rete RC nel circuito di feedback dell’amplificatore, i ruoli dei poli e degli zeri vengano ad essere scambiati, ciò che potrà dar luogo, come desiderato, a poli complessi coniugati che, con un’opportuna scelta della rete, potranno esser situati nel semipiano sinistro.

Infatti, indicando con A il guadagno dell’amplificatore, il guadagno a catena aperta del sistema amplificatore operazionale-rete passiva è:

G(s) = At(s) = A\frac{N(s)}{D(s)}

Essendo l’amplificatore invertente, il guadagno a catena chiusa è dato da:

\frac{A}{1 + At(s)}

I poli di questa funzione sono gli zeri del denominatore. Se ora richiediamo che la t(s) sia realizzata in modo tale che per determinati valori s_{p} di s sia 1 + At(s) = 0, cioè:

t(s_{p}) = −\frac{1}{A}

troviamo, con A → ∞:

t(s_{p}) = \frac{N(s_{p})}{D(s_{p})} = 0

Vediamo cioè che i poli dell’amplificatore con feedback sono gli zeri della funzione di trasferimento della rete RC.

Se vogliamo che il filtro abbia coppie di poli complessi coniugati dobbiamo quindi partire da una rete RC che abbia coppie di zeri complessi coniugati. Un esempio di rete RC con tale proprietà è la rete a T di figura 14.22(a), o anche quella complementare, mostrata nella parte (b) della medesima figura.

Figura 14.22: Reti RC poste nel circuito di feedback di amplificatori invertenti hanno la caratteristica che i poli relativi alla rete diventano gli zeri della funzione di guadagno dell’amplificatore stesso. È quindi necessario scegliere reti RC che abbiano coppie di zeri complessi coniugati, quali la rete a T in (a) o quella complementare mostrata in (b).

Esaminiamo la funzione di trasferimento della rete (a).

Immaginiamo che il nodo a sia aperto e che nel nodo b sia applicato un segnale di tensione v_{b}. In tali condizioni, la corrente i_{r} in R_{3} è uguale in modulo a quella che attraversa C_{2}. Avremo allora:

i = i_{1} + i_{r}

e, indicando con x il nodo comune alla resistenza R_{4} ed ai condensatori C_{1} e C_{2}:

v_{x} = v_{b} − \frac{i_{1}}{sC_{1}} = v_{a} − \frac{i_{r}}{sC_{2}} = R_{4}i

Da questa otteniamo le equazioni:

v_{b} − \frac{i_{1}}{sC_{1}} = R_{4}(i_{1} + i_{r})  (14.20)

v_{a} − \frac{i_{r}}{sC_{2}} = R_{4}(i_{1} + i_{r})  (14.21)

È inoltre:

v_{a} = v_{b} − R_{3}i_{r}  (14.22)

da cui:

i_{r} = \frac{v_{b} − v_{a}}{R_{3}}  (14.23)

Sostituendo questa nelle (14.20) e (14.21), si ottiene:

v_{b} − i_{1} (R_{4} + \frac{1}{sC_{1}} ) = R_{4} \frac{v_{b} − v_{a}}{R_{3}}  (14.24)

v_{a} − R_{4}i_{1} = (R_{4} + \frac{1}{sC_{2}} ) \frac{v_{b} − v_{a}}{R_{3}}  (14.25)

Ricaviamo ora i_{1} dalla (14.25) e sostituiamo nella (14.24):

i_{1} = \frac{v_{a}}{R_{4}} − (1 + \frac{1}{sC_{2}R_{4}} ) \frac{v_{b} − v_{a}}{R_{3}}

v_{b} − (R_{4} + \frac{1}{sC_{1}} ) \frac{v_{a}}{R_{4}} + (R_{4} + \frac{1}{sC_{1}} ) (1 + \frac{1}{sC_{2}R_{4}} ) \frac{v_{b} − v_{a}}{R_{3}} = \frac{R_{4}}{R_{3}} (v_{b} − v_{a})

Da quest’ultima equazione si ottiene poi, con facili passaggi, la relazione cercata tra v_{b} e v_{a}:

\frac{v_{a}}{v_{b}} = \frac{s^{2}C_{1}C_{2}R_{3}R_{4} + s(C_{1}R_{4} + C_{2}R_{4}) + 1}{s^{2}C_{1}C_{2}R_{3}R_{4} + s[C_{2}R_{3} + (C_{1} + C_{2})R_{4}] + 1}

Dividendo infine numeratore e denominatore per C_{1}C_{2}R_{3}R_{4}, otteniamo:

t(s) = \frac{v_{a}}{v_{b}} = \frac{s^{2} + s (\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} ) \frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{C_{1}C_{2}R_{3}R_{4}}}{s^{2} + s [(\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} ) \frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{C_{1}R_{4}} ] + \frac{1}{C_{1}C_{2}R_{3}R_{4}}}

I poli del filtro attivo avente la rete RC di figura 14.22(a) nel circuito di feedback corrispondono agli zeri del numeratore in tale espressione. Confrontando tale numeratore con la forma tipica di un filtro di ordine 2:

s^{2} + s\frac{ω_{0}}{Q_{0}} + ω_{0}^{2}

otteniamo la corrispondenza^{2}:

2È opportuno richiamare l’attenzione sul fatto che la rete passiva di figura 14.22(a) ha il medesimo valore di ω_{0} = \frac{1}{\sqrt{C_{1}C_{2}R_{3}R_{4}}} caratteristico del filtro attivo, ma un diverso valore di Q_{0}. Infatti Q_{0} è determinato dal coefficiente che moltiplica il termine lineare in s nel denominatore della t(s), attraverso la relazione: \frac{ω_{0}}{Q_{0}} = (\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} )\frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{C_{1}R_{4}} .

ω_{0}^{2} = \frac{1}{C_{1}C_{2}R_{3}R_{4}}

Q_{0} = \sqrt{\frac{R_{3}C_{1}C_{2}}{R_{4}}} \frac{1}{C_{1} + C_{2}}

I valori delle capacità e delle resistenze possono quindi essere scelti, facendo uso di tali relazioni, in modo da realizzare il tipo di filtro desiderato.

È spesso conveniente, per comodità, scegliere due condensatori di uguale capacità:

C_{1} = C_{2} = C

Con ciò le espressioni precedenti divengono:

ω_{0} = \frac{1}{C\sqrt{R_{3}R_{4}}}

Q_{0} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{R_{3}}{R_{4}}}

Vediamo da tali espressioni che la frequenza angolare ω_{0} è determinata, oltre che da C, dal prodotto delle due resistenze, mentre il valore di Q_{0}, indipendente dalla capacità C, è determinato dal loro rapporto.

La quantità ω_{0}/Q_{0}, legata alla larghezza di banda, è poi data da:

\frac{ω_{0}}{Q_{0}} = \frac{2}{CR_{3}}

14.10.1 Implementazione dei diversi tipi di filtri “biquad”

Nella precedente sezione abbiamo discusso in termini del tutto generali, il problema della realizzazione di un sistema di ordine 2 che abbia due poli complessi coniugati, adatti alla costruzione di filtri attivi. Dobbiamo ora discutere il modo in cui il circuito dovrà concretamente esser costruito, allo scopo di ottenere, a seconda dei casi, filtri passa-basso, passa-banda etc.

A seconda del tipo di filtro che vogliamo realizzare, dovremo immettere il segnale d’ingresso in un diverso punto del circuito. Nel farlo teniamo presente che il generatore del segnale da filtrare sarà con molta probabilità un generatore di tensione, la cui impedenza d’uscita, nel caso di un generatore ideale, è nulla. Ciò è importante, poiché questo vuol dire che l’inserimento del generatore in corrispondenza ad uno dei punti di massa non altera i poli e gli zeri del sistema rispetto a quelli calcolati in precedenza. In figura 14.23 il punto a della rete passiva di figura 14.22 è collegato all’ingresso invertente dell’operazionale (impedenza infinita) mentre il punto b è collegato all’uscita (impedenza quasi nulla). Con ciò i poli e gli zeri della rete passiva non vengono alterati. Possiamo quindi, con tale struttura, ottenere un filtro attivo.

La funzione di trasferimento di tale filtro è il reciproco di quella del filtro passivo analizzato. Essa è data da:

Figura 14.23: Filtri di tipo diverso dal passa-basso possono essere ottenuti dalle configurazioni circuitali mostrate in precedenza iniettando il segnale in punti diversi del circuito. In figura il segnale viene iniettato sull’ingresso non invertente dell’amplificatore operazionale, ottenendo un filtro passa-banda.

G(s) = \frac{s^{2} + s [(\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} ) \frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{C_{1}R_{4}} ] + \frac{1}{C_{1}C_{2}R_{3}R_{4}}}{s^{2} + s (\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} ) \frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{C_{1}C_{2}R_{3}R_{4}}}

Confrontando il denominatore di questa espressione con la funzione quadratica caratteristica di un filtro di ordine 2:

s^{2} + s\frac{ω_{0}}{Q_{0}} + ω_{0}^{2}

si ha, come sopra:

ω_{0}^{2} = \frac{1}{C_{1}C_{2}R_{3}R_{4}}

Q_{0} = [\frac{\sqrt{C_{1}C_{2}R_{3}R_{4}}}{R_{3}} (\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} )]^{−1}

e, ponendo C ≡ C_{1} = C_{2}:

ω_{0}^{2} = \frac{1}{C^{2}R_{3}R_{4}}

Q_{0} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{R_{3}}{R_{4}}}

Con i valori di C, R_{3} ed R_{4} mostrati in figura 14.24, si trova:

ω_{0}^{2} = 5.508 10^{7}

Q_{0} = 8.2

\frac{ω_{0}}{Q_{0}} ≅ 905

Figura 14.24: Esempio di filtro passa-banda biquadratico con definito il valore dei componenti. Si ottiene un filtro con picco a 1181 Hz e larghezza di banda di 144 Hz.

Cioè:

f_{0} = \frac{ω_{0}}{2π} = 1181 Hz

La funzione di trasferimento acquisterà la forma:

G(s) = \frac{s^{2} + 1.228 10^{5} s + 5.508 10^{7}}{s^{2} + 905 s + 5.508 10^{7}}

Vediamo che si tratta di un filtro passa-banda (con la risposta che tende ad 1 per s → 0 e per s → ∞, e con un picco attorno a 1181 Hz). La larghezza di banda è: Δf = ω_{0}/(2πQ_{0}) = 144 Hz.

Il risultato della simulazione di tale filtro, facendo uso di microcap è mostrato in figura 14.25. Da un’analisi dei grafici si vede che la fase passa da circa +80^{o} a −80^{o} quando si attraversa il valore f_{0}, in corrispondenza al quale si ha un picco nel modulo della risposta.

Un collegamento alternativo, che realizza ancora una volta un filtro passa-banda, è quello mostrato in figura 14.26.

Calcoliamo, facendo uso dei simboli per tensioni e correnti indicati nella figura, la funzione di trasferimento di tale circuito.

Ricordando che è v_{−} = v_{+} = 0 abbiamo:

v_{x} = v_{i} − ri_{i} = Ri_{R}  (14.26)

dove:

i_{R} = i_{i} − i_{0}

Per cui:

v_{x} = Ri_{i} − Ri_{0}

Figura 14.25: Risultato della simulazione del filtro reale biquadratico descritto nel testo. Grafico in alto: sfasamento dell’uscita rispetto all’ingresso, grafico centrale: guadagno espresso in Decibel, grafico in basso: guadagno espresso in scala lineare, il tutto in funzione della frequenza.

Figura 14.26: Esempio di configurazione alternativa, in cui il segnale viene iniettato tramite una resistenza nel punto di congiunzione dei due condensatori in parallelo.

da cui:

i_{0} = i_{i} − \frac{v_{i}}{R} + r\frac{i_{i}}{R} = i_{i}(1 + \frac{r}{R}) − \frac{v_{i}}{R}  (14.27)

È poi anche:

v_{x} = \frac{i_{2}}{sC_{2}} = −\frac{i_{2} − i_{0}}{sC_{1}} + v_{0}  (14.28)

nonché:

v_{0} = −R_{3}i_{2}  (14.29)
i_{2} = −\frac{v_{0}}{R_{3}}  (14.30)

Dalle equazioni (14.26) e (14.28) si ottiene:

\frac{i_{2}}{sC_{2}} = v_{i} − ri_{i}  (14.31)

Sostituendo in questa ad i_{2} l’espressione ottenuta dalla (14.30), otteniamo poi:

−\frac{v_{0}}{sC_{2}R_{3}} = v_{i} − ri_{i}  (14.32)

Dalle (14.28) e (14.26) si ha poi:

v_{0} + \frac{i_{0}}{sC_{1}} − \frac{i_{2}}{sC_{1}} = Ri_{i} − Ri_{0}

cioè:

v_{0} + \frac{i_{0}}{sC_{1}} + \frac{v_{0}}{sC_{1}R_{3}} = Ri_{i} − Ri_{0}

da cui:

v_{0} (1 + \frac{1}{sC_{1}R_{3}} ) = Ri_{i} − i_{0} (R + \frac{1}{sC_{1}} )  (14.33)

Sostituendo in questa, ad i_{0} l’espressione (14.27), si ottiene:

v_{0} (1 + \frac{1}{sC_{1}R_{3}} ) = Ri_{i} − (R + \frac{1}{sC_{1}} ) i_{i} (1 + \frac{r}{R}) + (R + \frac{1}{sC_{1}} ) \frac{v_{i}}{R}

dove, come segue dalla (14.32):

i_{i} = \frac{v_{i}}{r} + \frac{v_{0}}{sC_{2}R_{3}r}

Si ottiene quindi:

v_{0} \frac{1 + sC_{1}R_{3}}{sC_{1}R_{3}} = \frac{R}{r}v_{i} + \frac{Rv_{0}}{sC_{2}R_{3}r}−

−\frac{sRC_{1} + 1}{sC_{1}} (1 + \frac{r}{R}) \frac{v_{i}}{r} − \frac{sRC_{1} + 1}{sC_{1}} (1 + \frac{r}{R}) \frac{v_{0}}{sC_{2}R_{2}r}+

+\frac{sRC_{1} + 1}{sC_{1}} \frac{v_{i}}{R}

Questa equazione fornisce la relazione cercata tra v_{i} e v_{0}. Si trova:

G(s) = \frac{v_{0}}{v_{i}} = −\frac{s/rC_{1}}{s^{2} + 2s\frac{C_{1}+C_{2}}{C_{1}C_{2}} \frac{1}{R_{3}} + \frac{r+R}{C_{1}C_{2}rRR_{3}}}

Se le resistenze r ed R sono ottenute dalla divisione di un’unica resistenza R_{4} in due elementi in parallelo:

R = \frac{R_{4}}{1 − α}

r = \frac{R_{4}}{α}

si ottiene:

G(s) = −\frac{sα/C_{1}R_{4}}{s^{4} + 2s (\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} ) \frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{C_{1}C_{2}R_{3}R_{4}}}

14.11 Filtri attivi a retroazione multipla

I filtri che abbiamo fin qui esaminato fanno uso di una rete RC o CR all’ingresso non invertente di un amplificatore e di una ulteriore rete CR o RC all’ingresso invertente. In quest’ultima uno degli elementi passivi è collegato all’uscita dell’amplificatore, fornendo in tal modo un feedback.

I filtri a retroazione multipla utilizzano due feedback separati ed un amplificatore invertente. Un esempio di filtro passa-basso a retroazione multipla è mostrato in figura 14.27.

Figura 14.27: Esempio di configurazione circuitale relativa ad un filtro a retroazione multipla. Si notino gli elementi R_{3} e C_{2} che determinano la retroazione.

Per ottenere la funzione di trasduzione di questo circuito, applichiamo il teorema di Kirchoff al nodo indicato con A.

\frac{v_{i} − v_{A}}{R_{1}} + \frac{v_{o} − v_{A}}{R_{3}} − \frac{v_{A}}{Z_{C_{1}}} − \frac{v_{A}}{R_{2}} = 0

Dove si è fatto uso della condizione v_{+} = v_{−} = 0. Da questa si ottiene:

v_{A} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + sC_{1}) = \frac{v_{i}}{R_{1}} + \frac{v_{o}}{R_{3}}

Applicando la medesima equazione di Kirchoff al nodo B (ingresso invertente dell’A.O.), troviamo:

v_{A} = −sC_{2}R_{2}v_{o}

Da queste equazioni si trova poi:

\frac{v_{o}}{R_{3}} = −\frac{v_{i}}{R_{1}} − sC_{2}R_{2}v_{o} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + sC_{1})

A_{v} = \frac{v_{o}}{v_{i}} = −\frac{1}{R_{1}} \frac{1}{\frac{1}{R_{3}} + sC_{2}R_{2}(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} ) + s^{2}C_{1}C_{2}R_{2}}

A_{v} = \frac{−1}{[C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}] [s^{2} + s\frac{1}{C_{1}} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} ) + \frac{1}{C_{1}C_{2}R_{2}R_{3}} ]}

Dal confronto di questa con la funzione caratteristica del filtro passa-basso:

G(s) = \frac{A_{0}ω_{0}^{2}}{s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s + ω_{0}^{2}}

si trova:

ω_{0} = \frac{1}{\sqrt{C_{1}C_{2}R_{2}R_{3}}}

\frac{ω_{0}}{Q_{0}} = \frac{1}{C_{1}} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} )

Da queste si ottiene poi:

\frac{1}{Q_{0}} = \sqrt{\frac{C_{2}}{C_{1}}} [\sqrt{\frac{R_{2}}{R_{3}}} + \sqrt{\frac{R_{3}}{R_{2}}} + \sqrt{\frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}}} ]

A_{0} = −\frac{R_{3}}{R_{1}}

Vediamo che il guadagno alle basse frequenze è quello di un amplificatore invertente realizzato con le sole resistenze R_{1} ed R_{3}. La pulsazione di taglio ω_{0} non dipende invece dalla resistenza R_{1}.

La figura 14.28 mostra l’andamento del guadagno di un tale circuito in funzione della frequenza, con la seguente scelta del valore dei componenti: R_{1} = 1.5MΩ, R_{2} = 1.2MΩ, R_{3} = 3.3MΩ, C_{1} = 47nF e per valori di C_{2} variabili tra 22 nF (curva 1) e 220 nF (curva 11). A tale scelta di valori corrispondono valori di ω_{0} e Q_{0} che variano tra gli estremi dati da:

• per C_{1} = 22 nF → ω_{0} ≈ 16 Hz , Q_{0} ≈ 0.19

• per C_{1} = 220 nF → ω_{0} ≈ 5 Hz , Q_{0} ≈ 0.61

Figura 14.28: Andamento del guadagno del filtro passa-basso a retroazione multipla descritto nel testo. Le curve sono ottenute variando linearmente il valore di C_{1} da 22 nF (curva 1) a 220 nF (curva 11).

Figura 14.29: Configurazione circuitale relativa al filtro notch, ossia un tipo di filtro eliminabanda molto stretto. Questa particolare configurazione, puramente passiva, si basa sul circuito RC a doppia T.

14.12 Filtri notch

Spesso è necessario realizzare dei filtri che eliminino segnale compresi in un intervallo di frequenze molto stretto. Questi sono noti come filtri “notch”.

L’idea su cui il più noto dei filtri di questo tipo è basata, è quella del circuito RC a doppia T, mostrato in figura 14.29.

Si può vedere che questo circuito taglia le frequenze corrispondenti alla risonanza:

f_{0} = \frac{1}{2πRC}

In corrispondenza a tale frequenza il ramo superiore A-X-B e quello inferiore A-Y-B introducono sfasamenti uguali ed opposti. Ne segue che in B il segnale risultante si annulla. Ciò è mostrato in figura 14.30. I diagrammi di Bode per il modulo (grafico superiore) e la fase (grafico inferiore) della funzione di trasferimento di tale circuito confermano quanto asserito. Come si vede, il diagramma di Bode per il modulo ha una brusca caduta (intaglio o “notch”) alla frequenza di risonanza. In corrispondenza a tale frequenza la fase subisce un’improvvisa variazione di +π.

Figura 14.30: Diagrammi di Bode relativi al filtro notch passivo descritto nel testo. Grafico in alto: guadagno, grafico in basso: sfasamento in funzione della frequenza.

Il circuito mostrato nella figura 14.31 è una implementazione di tale filtro con l’ausilio di un amplificatore operazionale.

La funzione di trasferimento di questo circuito è:

G(s) = \frac{A_{v}(s^{2} + ω_{0}^{2})}{s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s + ω_{0}^{2}}

Figura 14.31: Implementazione del filtro notch con l’ausilio di un amplificatore operazionale.

con:

A_{v} = 1 + \frac{R_{b}}{R_{a}}

ω_{0} = \frac{1}{RC}

Q_{0} = \frac{1}{2(2 − A_{v})}

Il Q_{0} del sistema è determinato dal guadagno A_{v} dell’amplificatore. Notiamo che A_{v} deve essere minore di 2 se si vuole un circuito stabile.

La figura 14.32 mostra un esempio di plot di Bode (modulo e fase) per tale circuito.

In tale esempio i valori dei componenti sono tali che RC = 1000, A_{v} = 0.5, e quindi: f_{0} = 159 Hz e Q_{0} = 0.333.

Filtri notch sono disponibili in commercio nella forma di moduli pronti all’uso, con frequenze che vanno da 1 Hz a 50 kHz, con “profondità” del notch di circa 60 dB.

Un filtro notch, regolabile su di un intervallo di frequenze più ampio di quello del filtro a T, è quello ([14]) mostrato in figura 14.33.

Per questo circuito la frequenza di risonanza è:

f_{0} = \frac{1}{2πC\sqrt{3R_{1}R_{2}}}

con:

R_{1} = R_{1A} + R_{1B}

ed:

R_{6} = 6(R_{1} + R_{2})

Una tipica funzione di trasferimento di questo circuito è mostrata in figura 14.34.

14.12 Filtri notch  397

Figura 14.32: Diagrammi di Bode relativi al filtro notch basato su amplificatore operazionale descritto nel testo. Grafico in alto: guadagno, grafico in basso: sfasamento in funzione della frequenza.

Figura 14.33: Esempio di configurazione circuitale che implementa un filtro Notch facente ricorso ad una rete RC e ad un follower basato su operazionale. Si noti che questo genere di circuito può essere utilizzato in scale di frequenze molto più elevate del circuito Notch a doppio T.

Figura 14.34: Diagrammi di Bode relativi al filtro notch descritto nel testo. Grafico in alto: guadagno, grafico in basso: sfasamento in funzione della frequenza.

14.13 Filtri a condensatori commutati

Negli ultimi anni hanno avuto larga diffusione filtri in cui le resistenze sono sostituite da condensatori che vengono, con l’applicazione di opportuni impulsi, rapidamente caricati e scaricati. Questi sono noti come Switched-Capacitor Filters (Filtri a condensatori commutati). Esistono vari motivi per tale scelta. Un primo motivo, di ordine pratico, è nel fatto che nella realizzazione di un filtro sotto forma di circuito integrato è opportuno limitare l’uso di resistenze che, oltre ad essere poco precise, occupano sul chip uno spazio notevole. É facile invece, come vedremo tra poco, simulare una resistenza mediante un condensatore commutato.

Un secondo motivo di tale scelta è nel fatto che un filtro a condensatori commutati può, modificando semplicemente la frequenza degli impulsi di clock che caricano e scaricano il condensatore, fornire la frequenza di taglio ω_{0} desiderata, senza alcuna modifica degli elementi passivi presenti.

Per capire come un condensatore commutato possa simulare una resistenza, si consideri il circuito di figura 14.35

Gli interruttori S_{1} ed S_{2} (implementati con transistor FET sul chip) sono complementari: quando S_{1} è chiuso, S_{2} è aperto e viceversa. Con S_{1} chiuso la tensione (variabile) presente all’ingresso V_{i} carica il condensatore C. La carica del condensatore è:

q = V_{i} C

tale carica si accumula nel tempo T/2 durante il quale S_{1} è chiuso. Nel successivo

Figura 14.35: Configurazione circuitale a condensatori commutati. Gli interruttori sono supposti essere complementari: quando uno è aperto l’altro è chiuso e viceversa ed il loro comando avviene tramite un segnale esterno di frequenza nota f_{c}k.

intervallo T/2, S_{1} è aperto, S_{2} chiuso ed il condensatore si scarica. La corrente media nel tempo T sarà quindi:

\overline{I} = \overline{I}_{out} = \overline{I}_{in} = \frac{q}{T} = \frac{V_{i}C}{T} = V_{i}C f_{ck}

con: f_{ck} = 1/T.

La resistenza equivalente vista dalla sorgente V_{in} è allora:

R = \frac{V_{i}}{\overline{I}} = \frac{1}{Cf_{ck}}

Vediamo quindi che R è una funzione di C e di f_{ck}. Fissato C, la resistenza può esser modificata semplicemente modificando la frequenza f_{ck}.

Notiamo che le variazioni di V_{in} debbono avvenire in tempi molto più lunghi di T. Nella pratica, se f_{max} è la massima frequenza contenuta in V_{in}, si sceglie valori di f_{ck} compresi tra 50 e 100 volte f_{max}.

Un esempio dell’uso di un condensatore commutato per realizzare un integratore è mostrato nella figura 14.36.

L’invertitore D_{1} ha lo scopo di chiudere S_{2} quando il segnale di clock apre S_{1}. La resistenza associata al condensatore commutato C_{1} è, come visto:

R = \frac{1}{C_{1}f}

dove f è la frequenza del clock.

Il segnale in uscita sarà quindi:

V_{out} = −\frac{1}{RC_{2}} ∫ V_{in}dt = −f \frac{C_{1}}{C_{2}} ∫ V_{in}dt

Vediamo che la costante che moltiplica l’integrale di V_{in} dipende dalla frequenza e dal rapporto delle capacità. Ciò è un importante vantaggio rispetto all’utilizzo di un

Figura 14.36: Esempio di circuito integratore ottenuto utilizzando una configurazione a condensatore commutato. L’invertitore D_{1} ha lo scopo di chiudere S_{2} quando S_{1} è aperto. Questo circuito presenta il vantaggio che la costante di integrazione è proporzionale alla frequenza del clock di commutazione, e quindi risulta molto semplice adattare il circuito alle varie esigenze senza dover cambiare i valori dei componenti passivi.

integratore che utilizza una resistenza ed una capacità poiché, mentre non è facile realizzare in un integrato un condensatore (o una resistenza) preciso e stabile, è molto più agevole realizzare due capacità il cui rapporto lo sia. Il risultato di ciò è che sono disponibili in commercio filtri a condensatori commutati il cui costo è molto inferiore a quello di filtri convenzionali. Un secondo vantaggio dei filtri di questo tipo è, come accennato, nel fatto che essi consentono di regolare la frequenza di taglio (quella superiore in filtri passa-basso, quella inferiore in filtri passa-alto etc), con la semplice modifica della frequenza f del segnale di clock. Infatti, come visto, tale modifica equivale a cambiare la resistenza equivalente R e quindi la costante che moltiplica l’integrale di V_{in}. Filtri a condensatori commutati sono disponibili in commercio sia in versioni dedicate, in cui la configurazione (passa-basso, passa-alto, passa-banda etc.) è fissata, che in versioni “universali”, che possono essere adattate a realizzare il filtro che si desidera aggiungendo esternamente i componenti opportuni. Un problema che è presente nei filtri a condensatori commutati è l’influenza del segnale di clock su quello in uscita. Ammettiamo ad esempio di voler realizzare un filtro passa-basso, con una frequenza di taglio superiore di 1 kHz e di utilizzare un filtro a condensatori commutati con una frequenza di clock di 100 kHz. Se il segnale che si vuol filtrare ha componenti di Fourier nella zona 99-101 kHz, osserveremo all’uscita del filtro un segnale spurio, non attenuato, con frequenze inferiori ad 1 kHz. A tale fenomeno si da il nome di aliasing.

Oscillatori sinusoidali

16.1 Introduzione

Consideriamo un amplificatore a banda larga (vedi figura 16.1), seguito da un circuito (attivo o passivo) che fornisce in uscita una frazione (β) del segnale presente al suo ingresso.

Figura 16.1: Amplificatore a banda larga seguito da un circuito (attivo o passivo) che fornisce in uscita una frazione del segnale presente al suo ingresso.

Avremo all’uscita: Y (t) = AβX(t). Se il segnale presente all’ingresso è sinusoidale, l’uscita Y (t) sarà anch’essa sinusoidale. L’effetto della funzione di trasduzione Aβ è quello di modificare fase ed ampiezza del segnale presente in ingresso.

Se Aβ è tale da non modificare, ad una certa frequenza f_{0}, nè l’ampiezza nè la fase del segnale presente in ingresso, cioè se per f = f_{0} è Aβ = 1 (reale), allora potremo pensare di utilizzare Y (t) al posto dell’ingresso X(t) ed aspettarci che il sistema mantenga delle oscillazioni (eventualmente smorzate) di frequenza f_{0}.

Ciò è quanto in realtà avviene. Il circuito descritto dalla funzione di trasferimento β è il circuito di feedback (o di reazione). La condizione Aβ = 1 è nota come “condizione di Barkhausen”. Essa deve essere verificata ad una sola frequenza.

Il circuito di feedback nel caso generale può esser disegnato come in figura 16.2. Avremo:

e(t) = X(t) + βX′(t)
X′(t) = Ae(t) = AX(t) + AβX′(t)

da cui:

X′(t)(1 − Aβ) = AX(t)
X′(t) = \frac{A}{1 − Aβ} X(t)  (16.1)

Figura 16.2: Circuito di feedback nel caso generale.

Se definiamo un “guadagno con feedback”, A_{f}, come:

A_{f} = \frac{X′(t)}{X(t)}  (16.2)

vediamo che:

A_{f} = \frac{A}{1 − Aβ}  (16.3)

che va ad infinito per Aβ = 1 (reale). Ciò implica che, con X(t) = 0, il sistema avrà un valore finito del segnale in uscita X′(t).

La condizione di Barkhausen dovrà essere soddisfatta ad una sola frequenza f_{0} (frequenza di oscillazione) che è quella che annulla la parte immaginaria di Aβ. La condizione che Aβ = 1 per f = f_{0} (che cioè sia uguale ad 1 la parte reale), viene poi adoperata per determinare gli altri parametri dell’amplificatore e della rete di reazione.

Esaminiamo più in dettaglio il circuito con feedback, che è ridisegnato in figura 16.3.

Figura 16.3: Il medesimo circuito con feedback di figura 16.2, dove è stata evidenziata la sorgente di rumore (in realtà interna ai componenti) che innesca le oscillazioni

Qui abbiamo indicato esplicitamente un componente finora ignorato, il rumore. Rumore è presente in tutti i componenti del circuito, ed esso si estende sull’intero spettro di frequenze. Per evidenziarne la presenza lo attribuiamo ad una sorgente fittizia, esterna al circuito. Questa è una schematizzazione che, come si vedrà nel capitolo dedicato al rumore, è spesso adottata.

L’amplificatore, a larga banda, amplifica tutte le componenti di Fourier presenti nel rumore in ingresso, mentre il filtro, a banda molto stretta, consente la trasmissione, nella rete di feedback, di una componente soltanto. Vediamo così che solo questa può, dopo un gran numero di passaggi attraverso la catena amplificatorefiltro, acquistare un’ampiezza apprezzabile. Notiamo che è solo grazie alla presenza del rumore che il circuito può oscillare!

Ci si può chiedere se il segnale alla frequenza del filtro, f_{0}, non finirà con l’esser amplificato così tanto da saturare l’amplificatore. Ciò non avviene grazie al carattere non lineare di un qualsiasi amplificatore. Ciò significa che se il segnale all’ingresso ha ampiezza doppia, l’output non sarà necessariamente raddoppiato, ma potrà eventualmente aumentare solo di una piccola percentuale.

Esamineremo nell’appendice A l’effetto, sui circuiti oscillanti, della caratteristica non lineare del transistor bipolare a giunzione.

16.2 Realizzazione di un oscillatore sinusoidale

Per realizzare un oscillatore sinusoidale dobbiamo costruire un circuito con retroazione positiva che, ad una ben determinata frequenza, soddisfi le due condizioni seguenti:

• lo sfasamento complessivo lungo l’intera maglia deve essere uguale a zero o 2π;

• il guadagno in tensione lungo l’intera maglia deve valere 1.

Queste due condizioni possono poi esser ottenute in due modi diversi:

a) facendo uso di un amplificatore a larga banda ed una rete passiva di reazione che abbia una buona selettività, che cioè realizzi la condizione di Barkhausen alla frequenza desiderata f_{0};

b) adoperando un elemento (amplificatore o altro) che, alla frequenza f_{0}, introduca uno sfasamento di π/2 seguito da un secondo elemento che, alla stessa frequenza, introduca uno sfasamento di −π/2, rispettando la condizione che il modulo di Aβ sia uguale ad 1.

Ci occuperemo, per cominciare, degli oscillatori sinusoidali del primo tipo. Questi possono a loro volta essere suddivisi in due classi:

• quelli in cui la rete passiva introduce uno sfasamento di π; in tal caso l’amplificatore dovrà essere invertente;

• quelli in cui la rete passiva non introduce alcuno sfasamento; in tal caso l’amplificatore dovrà essere non-invertente.

Va infine notato che la condizione |Aβ| = 1 non sarà mai rigorosamente soddisfatta da un circuito reale. Anche se essa lo fosse “a circuito spento”, la variazione dei parametri fisici della rete con la temperatura potrebbe far si che la condizione non fosse più soddisfatta a circuito acceso. Se |Aβ| è minore di uno l’oscillazione si estinguerà rapidamente. Il guadagno a catena aperta |Aβ| và quindi scelto maggiore di uno per evitare che le oscillazioni si smorzino. Una buona regola è che |Aβ| sia maggiore di uno di circa il 5%. Tuttavia, perchè il sistema sia stabile, occorre che se l’ampiezza del segnale generato aumenta, il guadagno diminuisca. In altre parole, la derivata dA/dV_{0} deve esser negativa e di valore relativamente grande. Ciò può esser ottenuto in modo automatico, come accennato in precedenza, se si utilizza come elemento attivo un transistor bipolare, intrinsecamente non-lineare. Alternativamente si può inserire nel circuito degli elementi non-lineari, quali dei diodi. L’effetto della non-linearità è quello di limitare l’escursione delle oscillazioni e riportare il circuito in zona lineare. Su ciò torneremo più avanti.

Una caratteristica importante di un buon oscillatore è la stabilità in frequenza. La frequenza di oscillazione potrebbe variare al variare della temperatura, a seguito dell’invecchiamento dei componenti, etc.. Per una buona stabilità in frequenza è opportuno che lo sfasamento complessivo, cioè la fase ϕ di Aβ sia, in prossimità della frequenza di risonanza f_{0}, una funzione rapidamente variabile della frequenza. Se infatti dϕ/df|_{f_{0}} è grande, una piccola deviazione della frequenza da f_{0} darà luogo ad una grande deviazione dello sfasamento dal valore 0 o 2π, necessario per sostenere l’oscillazione.

I circuiti che analizzeremo nella prima parte di questo capitolo fanno uso di reti di reazione costituite da elementi reattivi di tipo resistivo e capacitivo. Oscillatori di questo tipo possono facilmente coprire il range di frequenze fino a diverse decine di kHz. Analizzeremo successivamente circuiti oscillanti con elementi reattivi di tipo capacitivo ed induttivo, che coprono frequenze fino a qualche MHz. Rientrano in questa categoria gli schemi classici ”Colpitts” e ”Hartley”. Per frequenze ancora più alte (o semplicemente per una migliore stabilità in frequenza) si fà ricorso ad oscillatori a cristallo. Questi saranno discussi nell’ultima parte del capitolo.

16.3 L’oscillatore a sfasamento

In tale tipo di oscillatore viene adoperato un amplificatore invertente, seguito da tre celle RC (o RL) in cascata, tali da fornire uno sfasamento complessivo di 180^{o}. La necessità di adoperare tre celle è dovuta al fatto che lo sfasamento introdotto da ciascuna cella è sicuramente inferiore a 90^{o}.

Il circuito appare come in figura 16.4.

Se ammettiamo che l’impedenza d’ingresso dell’amplificatore sia infinitamente grande e quella d’uscita nulla, il circuito equivalente sarà quello di figura 16.5, dove compare il generatore dipendente A_{v}v_{1}.

Per questo circuito, con le notazioni indicate in figura, abbiamo le seguenti equazioni:

i′′ = \frac{v_{1}}{Z_{2}}

v′′ = (Z_{1} + Z_{2})i′′ = (Z_{1} + Z_{2})\frac{v_{1}}{Z_{2}}

Figura 16.4: Oscillatore a sfasamento costituito da un amplificatore invertente seguito da tre celle RC o RL in cascata.

Figura 16.5: Circuito equivalente all’oscillatore a sfasamento di figura 16.4.

i′ = \frac{v′′}{Z_{2}} = (Z_{1} + Z_{2})\frac{v_{1}}{Z_{2}^{2}}

v′ = v′′ + Z_{1}(i′ + i′′) = (Z_{1} + Z_{2})\frac{v_{1}}{Z_{2}} + [\frac{Z_{1} + Z_{2}}{Z_{2}^{2}} + \frac{1}{Z_{2}} ] Z_{1}v_{1}

da cui:

v′ = v_{1} [3 (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 1]

i = \frac{v′}{Z_{2}} = \frac{v_{1}}{Z_{2}} [(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 3 (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + 1]

i_{Z_{1}} = i + i′ + i′′ = \frac{v_{1}}{Z_{2}} [(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 3 (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + 1] + \frac{v_{1}}{Z_{1}} [(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2}] + \frac{v_{1}}{Z_{2}}

Con riferimento alla figura 16.5, il feedback β è nel nostro caso: β = \frac{v_{1}}{\overline{v_{1}}} . Calcoliamo \overline{v_{1}}:

\overline{v_{1}} = v′ + Z_{1}i_{Z_{1}} = v_{1} [(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{3} + 5 (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 6 (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + 1]

da cui:

β = \frac{1}{(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{3} + 5(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 6(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + 1}

e quindi:

Aβ = −\frac{A_{v}}{(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{3} + 5(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 6(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + 1}

La condizione: Aβ = 1 (reale) implica:

−A_{v} = (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{3} + 5 (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 6 (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + 1

e che entrambi i membri di tale equazione siano reali (essendo A_{v} reale). Poiché d’altronde Z_{1} e Z_{2} sono uno reale e l’altro immaginario, ne segue che solo le potenze dispari di Z_{1}/Z_{2} possono contribuire alla parte immaginaria dell’espressione. La condizione di risonanza è allora:

(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{3} + 6 (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) = 0

che implica:

(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} = −6

Da questa si ottiene per A_{v}:

−A_{v} = 5 (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 1 = −30 + 1 = −29

A_{v} = 29

cioè l’amplificatore invertente deve avere un guadagno pari a 29, indipendentemente dal tipo di elemento reattivo considerato.

L’equazione:

(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} = −6

ci da inoltre il valore della frequenza di oscillazione. Se ad esempio è:

Z_{1} = \frac{1}{jωC}

Z_{2} = R

si ha:

(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} = −\frac{1}{(ωRC)^{2}} = −6

da cui:

ω^{2} = \frac{1}{6(RC)^{2}}

ω = \frac{1}{\sqrt{6}RC}

Se invece è:

Z_{1} = R

Z_{2} = \frac{1}{jωC}

si ha:

ω = \frac{\sqrt{6}}{RC}

Notiamo che oscillatori di questo tipo sono convenienti finché sono trascurabili gli effetti reattivi dell’elemento attivo. Essi vengono pertanto adoperati fino a qualche centinaio di kHz.

Un esempio di oscillatore a sfasamento che utilizza un amplificatore operazionale è quello di figura 16.6.

Figura 16.6: Oscillatore a sfasamento che utilizza un amplificatore operazionale.

Notiamo che l’amplificatore, costituito dall’operazionale con la resistenza di feedback R_{1} e la resistenza d’ingresso R, ha l’uscita collegata alla rete CR-CR-CR (la terza resistenza R è quella sull’ingresso invertente dell’operazionale, che è una massa virtuale).

Il guadagno dell’amplificatore indicato dal rettangolo tratteggiato è: A_{v} = −R_{1}/R. La condizione |A_{v}| = 29 richiede che sia R_{1} = 29R. In realtà, come già detto, è bene che tale condizione sia soddisfatta con un qualche margine (e.g. se R=1k dovrà essere R_{1} ≃ 31k).

Un oscillatore a sfasamento analogo a questo è indicato nella figura 16.7.

Analizziamo il funzionamento di questo circuito. La condizione di Barkhausen è evidentemente: v_{1} = v_{2} (a catena aperta).

Procedendo in modo analogo a quello seguito nell’analizzare il caso generale discusso in precedenza e facendo uso della variabile complessa s, avremo:

v_{2} = −R_{2}i′

v′ = \frac{i′}{sC} = −\frac{v_{2}}{sR_{2}C}

Figura 16.7: Oscillatore a sfasamento che utilizza un amplificatore operazionale.

i_{2} = \frac{v′}{R_{1}} = −\frac{v_{2}}{sR_{1}R_{2}C}

i′′ = i_{2} + i′ = −\frac{v_{2}}{R_{2}} (1 + \frac{1}{sR_{1}C} )

v′′ = v′ + \frac{i′′}{sC} = −\frac{v_{2}}{sR_{2}C} (2 + \frac{1}{sR_{1}C} )

i_{1} = \frac{v′′}{R_{1}} = −\frac{v_{2}}{sR_{1}R_{2}C} (2 + \frac{1}{sR_{1}C} )

i′′′ = i′′ + i_{1} = −\frac{v_{2}}{R_{2}} (1 + \frac{3}{sR_{1}C} + \frac{1}{(sR_{1}C)^{2})})

v_{1} = v′′ + \frac{i′′′}{sC} = −\frac{v_{2}}{sR_{2}C} (3 + \frac{4}{sR_{1}C} + \frac{1}{(sR_{1}C)^{2}} )

imponendo la condizone che questo sia uguale a v_{2}, otteniamo:

R_{2} = −\frac{1}{sC} (3 + \frac{4}{sR_{1}C} + \frac{1}{(sR_{1}C)^{2}} )

Poniamo ora: s = jω. La parte immaginaria dell’espressione scritta per R_{2} è:

−\frac{3}{ωC} + \frac{1}{R_{1}^{2}C^{3}ω^{3}}

che si annulla per:

ω = ω_{0} ≡ \frac{1}{\sqrt{3}R_{1}C}

Per tale valore di ω, R_{2} vale:

R_{2} = \frac{4}{ω^{2}R_{1}C^{2}} = 12R_{1}

In pratica si sceglierà un valore di R_{2} leggermente più alto di questo, diciamo del 5%, se si vuole evitare un rapido smorzamento delle oscillazioni. L’ampiezza di queste sarà limitata dal fatto che, per effetto del feedback, il dispositivo attivo uscirà rapidamente dalla zona lineare.

16.4 Oscillatore a sfasamento a transistor bipolare

Sappiamo che in un amplificatore a transistor ad emettitore comune l’uscita è sfasata di 180^{o} rispetto all’ingresso. Se quindi inseriamo una rete passiva di feedback che introduca un ulteriore sfasamento di 180^{o} e dimensioniamo opportunamente l’attenuazione introdotta dalla rete, possiamo realizzare un oscillatore sinusoidale.

Come negli esempi precedenti, la rete passiva potrà essere ottenuta tramite tre elementi CR-CR-CR, come mostrato in figura 16.8.

Figura 16.8: Amplificatore a transistor ad emettitore comune con una rete passiva di feedback costituita da tre elementi CR.

Notiamo che la resistenza associata al terzo gruppo CR è costituita dalla resistenza R′ in serie con il parallelo di R_{b} ed h_{ie}. Ammetteremo che sia R_{b} ≫ h_{ie}. Per esaminare il comportamento di questo circuito, sostituiamo al transistor il suo modello a parametri h, ottenendo in tal modo il circuito equivalente mostrato in figura 16.9 (dove abbiamo trascurato h_{re} ed h_{oe}) e dove R ≃ R′ + h_{ie}.

Figura 16.9: Circuito equivalente a quello di figura 16.8 ottenuto col modello a parametri h per il transitor.

Calcoliamo la corrente i a partire da i_{b}, come fatto negli esempi precedenti.

i′′′ = i_{b}

v′′′ = (R′ + h_{ie})i_{b} ≈ Ri_{b}

v′′ = v′′′ + \frac{i_{b}}{sC} = i_{b} [R + \frac{1}{sC} ]

i_{R_{2}} = \frac{v′′}{R} = i_{b} [1 + \frac{1}{sRC} ]

i′′ = i′′′ + i_{R_{2}} = i_{b} + i_{R_{2}} = i_{b} [2 + \frac{1}{sRC} ]

v′ = v′′ + \frac{i′′}{sC} = i_{b} [R + \frac{3}{sC} + \frac{R}{(sRC)^{2}} ]

i_{R_{1}} = \frac{v′}{R} = i_{b} [R + \frac{3}{sRC} + \frac{1}{(sRC)^{2}} ]

i′ = i′′ + i_{R_{1}} = i_{b} [3 + \frac{4}{sRC} + \frac{1}{(sRC)^{2}} ]

v = v′ + \frac{i′}{sC} = i_{b} [R + \frac{6}{sC} + \frac{5R}{(sRC)^{2}} + \frac{R}{(sRC)^{3}} ]

i_{R_{c}} = \frac{v}{R_{c}} = \frac{i_{b}R}{R_{c}} [1 + \frac{6}{sRC} + \frac{5}{(sRC)^{2}} + \frac{1}{(sRC)^{3}} ]

La corrente nel circuito di collettore è allora:

−h_{fe}i_{b} = i = i′ + i_{R_{c}} =
= i_{b} [3 + \frac{4}{sRC} + \frac{1}{(sRC)^{2}} + \frac{R}{R_{c}} + \frac{6}{sR_{c}C} + \frac{5}{R_{c}R(sC)^{2})} + \frac{1}{R_{c}R^{2}(sC)^{3}} ] (16.4)

L’espressione in parentesi quadra deve, come visto in precdenza, essere reale. Uguagliando a zero la parte immaginaria (cioè la somma dei termini che con-

tengono potenze dispari di s), otteniamo:

\frac{4}{sR} + \frac{6}{(sR_{c})} + \frac{1}{s^{3}R^{2}R_{c}C^{2}} = 0

cioè, ponendo s = jω:

\frac{4}{Rω} + \frac{6}{R_{c}ω} − \frac{1}{R_{c}R^{2}C^{2}ω^{3}} = 0

da cui si ottiene dopo qualche passaggio:

ω^{2} = \frac{1}{(6 + 4\frac{R_{c}}{R})R^{2}C^{2}}

La frequenza di risonanza f_{0} = ω_{0}/(2π) sarà quindi:

f_{0} = \frac{1}{2πRC\sqrt{6 + 4\frac{R_{c}}{R}}}  (16.5)

dalla (16.4), sostituendo il valore ottenuto per ω_{0}, si ha:

h_{fe} = − [3 − \frac{1}{R^{2}C^{2}ω_{0}^{2}} + \frac{R}{R_{c}} − \frac{5}{R_{c}RC^{2}ω_{0}^{2}} ]

che, con qualche passaggio si riduce a:

h_{fe} = 23 + 29\frac{R}{R_{c}} + 4\frac{R_{c}}{R}

Ponendo k ≡ \frac{R}{R_{c}}, questa diventa:

h_{fe} = 23 + 29k + \frac{4}{k}

Da questa possiamo ricavare k:

k = \frac{R}{R_{c}} = \frac{h_{fe} − 23}{58} + \sqrt{(\frac{23 − h_{fe}}{58} )^{2} − \frac{4}{29}}

Dati h_{fe} ed ω_{0} si può ricavare R/R_{c} da quest’ultima equazione e poi RC dalla (16.5).

Notiamo che, affinché il radicando sia positivo occorre che sia:

(\frac{h_{fe} − 23}{58})^{2} > \frac{4}{29}

cioè:

h_{fe} > 23 + \sqrt{464} = 44.6

Se h_{fe} è minore di tale valore, il circuito non potrà oscillare.

Un esempio concreto di oscillatore a sfasamento a transistor bipolare è quello di figura 16.10.

Notiamo che i due transistor BC107 sono adoperati nella configurazione Darlington, con che l’impedenza d’ingresso è estremamente elevata.

16.5 L’oscillatore sinusoidale in quadratura

La condizione di Barkhausen Aβ = 1 (reale) implica che lo sfasamento complessivo dell’amplificatore con reazione positiva debba essere nullo. Ciò può esser ottenuto utilizzando un amplificatore che introduca uno sfasamento di +90^{o} ed una rete di reazione costituita da un secondo amplificatore che introduca uno sfasamento di −90^{o} (metodo b a pagina 429). Si parla allora di oscillatore in quadratura.

Un sistema basato su tale schema può esser realizzato facendo uso di un integratore invertente seguito da uno non-invertente. Un integratore non-invertente è quello mostrato in figura 16.11

La condizione v_{−} = v_{+} fornisce:

\frac{ṽ_{1}}{R_{1} + \frac{1}{sC_{1}}} \frac{1}{sC_{1}} = \frac{ṽ_{2}}{R_{2} + \frac{1}{sC_{2}}} R_{2}

Figura 16.10: Oscillatore a sfasamento a transistor bipolare.

Figura 16.11: Circuito integratore non-invertente.

dove la soprascritta˜ sta ad indicare la trasformata di Laplace. Da questa segue:

ṽ_{2} = \frac{ṽ_{1}(1 + sC_{2}R_{2})}{sC_{2}R_{2}(1 + sC_{1}R_{1})}

che, per R_{1}C_{1} = R_{2}C_{2} ci dà:

ṽ_{2} = (\frac{1}{C_{2}R_{2}} ) \frac{ṽ_{1}}{s}

che à appunto la trasformata della risposta di un integratore non-invertente.

Se ora a tale circuito facciamo seguire un integratore invertente, otteniamo il circuito di figura 16.12 che, come vedremo, si comporta da oscillatore sinusoidale.

L’operazionale A, con le capacità C_{1}, C_{2} e le resistenze R_{1}, R_{2}, costituisce un integratore non invertente. Questo è alimentato dall’integratore invertente costituito

Figura 16.12: Oscillatore sinusoidale ottenuto con un integratore non-invertente seguito da uno invertente.

dall’operazionale B con la capacità C_{3} e la resistenza R_{3}. Poiché la funzione di trasduzione dell’integratore invertente è data da:

ṽ_{1} = −\frac{1}{C_{3}R_{3}} \frac{ṽ_{0}}{s}

la funzione di trasduzione della maglia sarà:

ṽ_{1} = −\frac{1}{sC_{3}R_{3}} \frac{1 + sC_{2}R_{2}}{1 + sC_{1}R_{1}} \frac{1}{sC_{2}R_{2}} ṽ_{1}

Ponendo C_{1} = C_{2} = C_{3} = R, R_{1} = R_{2} = R_{3} = R e quindi:

C_{1}R_{1} = C_{2}R_{2} = C_{3}R_{3} = CR

segue:

\frac{1}{ω^{2}C^{2}R^{2}} = 1

dove si è fatto uso della sostituzione s = jω. Si ottiene in tal modo per la frequenza angolare di oscillazione:

ω = \frac{1}{RC}

Nella pratica è necessario che R_{2}C_{2} sia maggiore di R_{1}C_{1} se si vuole che le oscillazioni persistano.

16.6 Circuiti limitatori negli oscillatori sinusoidali

In tutti gli esempi visti si è accennato all’opportunità che |Aβ| sia leggermente maggiore di 1, per evitare un rapido smorzamento delle oscillazioni. Ciò potrebbe però causare una rapida uscita degli amplificatori dalla loro zona lineare, con che le oscillazioni sarebbero fortemente deformate.

Per ovviare a tale inconveniente è opportuno inserire nella rete di reazione un elemento che riporti il sistema in zona lineare.

Ciò può esser ottenuto in vari modi. Un metodo spesso adoperato è quello di sostituire una resistenza (ad esempio, nell’oscillatore a sfasamento di figura 16.6, la resistenza R posta all’ingresso invertente dell’operazionale) con una resistenza che abbia un coefficiente di temperatura positivo (cioè un sensistore^{1}). In tal modo, se il guadagno dell’amplificatore aumenta, aumenterà la corrente in R con un conseguente aumento del valore di questa e diminuzione del guadagno G = R_{1}/R. Si potrebbe alternativamente aggiungere in serie ad R una resistenza di piccolo valore ma avente un coefficiente di temperatura positivo.

Un’alternativa all’uso del sensistore è quella di inserire una coppia di Zener contrapposti, in serie con una resistenza di valore inferiore ad R_{1}, in parallelo ad R_{1}, come mostrato in figura 16.13.

Figura 16.13: Oscillatore sinusoidale con |Aβ| > 1 a cui è stata aggiunta una coppia di diodi Zener contrapposti in serie ad una resistenza nella rete di reazione per mantenere il sistema in zona lineare.

In questo circuito, se v_{out} è inferiore a v_{z} + v_{γ} i diodi Zener sono interdetti ed il guadagno dell’amplificatore sarà uguale a R_{1}/R. Se v_{out} aumenta oltre v_{z} + v_{γ}, i diodi conducono e la resistenza di feedback diviene ora R_{2} ∥ R_{1} (inferiore quindi ad R_{1}) con che il guadagno diminuisce fino a (R_{2} ∥ R_{1}) /R.

Un ramo analogo a quello contenente i diodi in figura 16.13 può essere utilizzato, nel circuito di figura 16.11, in serie con la capacità C_{2}.

16.7 L’oscillatore a mezzo ponte di Wien

Questo adopera un amplificatore non-invertente, come indicato in figura 16.14.

Se facciamo l’ipotesi che l’impedenza d’ingresso dell’amplificatore sia infinita e quella d’uscita sia nulla, possiamo far uso del circuito equivalente di figura 16.15 per verificare il funzionamento

1cioè una resistenza il cui valore aumenti all’aumentare della temperatura e quindi all’aumentare della corrente che l’attraversa. Un esempio di sensistore è una lampadina ad incandescenza

Figura 16.14: Oscillatore a mezzo ponte di Wien. Figura 16.15: Circuito equivalente all’oscillatore a mezzo ponte di Wien.

Da tale circuito si ottiene facilmente:

v_{1} = (A_{v}v_{1})\frac{Z_{p}}{Z_{p} + Z_{s}}

dove Z_{s} è l’impedenza-serie e Z_{p} quella parallelo di R e C:

Z_{p} = \frac{R/sC}{R + 1/sC}

Z_{s} = R + 1/sC

Si ottiene in tal modo:

A_{v} = \frac{(sRC)^{2} + 3(sRC) + 1}{sRC}

La parte immaginaria di tale espressione si annulla per:

sRC + \frac{1}{sRC} = 0

cioè:

(sRC)^{2} = −1

e quindi, ponendo s = jω, per:

ω = \frac{1}{RC}

Per tale valore di ω si ha A_{v} = 3. Questo dovrà quindi essere il guadagno dell’amplificatore.

16.8 L’oscillatore a ponte di Wien

In tale tipo di oscillatore un ponte bilanciato (vedi figura 16.16) viene adoperato come circuito di feedback.

Figura 16.16: Oscillatore a ponte di Wien.

I quattro rami del ponte sono costituiti dalle impedenze R_{1}, R_{2}, Z_{1}, Z_{2}. L’input del ponte è l’uscita v_{0} dell’operazionale e l’output del ponte tra i nodi 1 e 2 fornisce l’input differenziale all’amplificatore operazionale (vedi figura 16.17). Se il ponte è bilanciato, avremo v_{1−2} = 0, con un valore finito di v_{0}. Ciò richiede che la tensione nel punto 2, determinata dal partitore R_{1} − R_{2}, sia uguale a quella nel punto 1, determinata dal partitore Z_{1} − Z_{2}, cioè che sia:

\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

In definitiva, nel circuito di figura 16.16, se il ponte è bilanciato, la differenza di potenziale tra l’ingresso invertente e quello non invertente dell’operazionale, sarà nulla. Ciò richiede che il feedback negativo introdotto dal ramo R_{1} − R_{2} bilanci quello positivo introdotto dal ramo Z_{1} − Z_{2}. Quest’ultimo è dato da:

β = \frac{v_{1}}{v_{0}} = \frac{v′_{f}}{v_{0}} = \frac{Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}}

mentre il primo è:

\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{1}{A}

dove con A abbiamo indicato il guadagno dell’amplificatore non invertente:

A = 1 + \frac{R_{1}}{R_{2}}

Figura 16.17: Circuito equivalente all’oscillatore a ponte di Wien di figura 16.16.

Il guadagno dell’anello è βA:

βA = \frac{Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}} (1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} )  (16.6)

cioè:

βA = \frac{α}{3α − j(1 − α^{2})}(1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} )

dove: α ≡ ωRC. La condizione di Barkhausen: Aβ = 1 (reale) impone che sia:

1 − α^{2} = 0

cioè α = ωRC = 1. Se tale condizione è soddisfatta, l’ulteriore vincolo:

βA = 1 = \frac{1}{3} (1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} )

porta a:

1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} = 3

cioè:

\frac{R_{1}}{R_{2}} = 2

È possibile cambiare con continuità la frequenza di risonanza cambiando simultaneamente il valore dei due condensatori C. È possibile poi modificare il range di frequenza (in modo discontinuo) cambiando i valori delle due resistenze (uguali) R.

L’uscita di tale circuito, se montato senza ulteriori precauzioni, potrebbe facilmente saturare al livello alto o a quello basso dell’A.O., o esibire instabilità nelle oscillazioni. È possibile renderlo stabile, come accennato in precedenza, con l’aggiunta di opportuni diodi. Un esempio è quello mostrato in figura 16.18. I due diodi servono a “bypassare” la resistenza R_{3} e quindi a ridurre il guadagno (dato nell’esempio da 1+(R_{1} +R_{3} +f ·X)/(R_{2} +(1−f)·X), con f il fattore di regolazione del potenziometro X) non appena l’uscita tenda a divenire troppo alta in valore assoluto.

Figura 16.18: Oscillatore a ponte di Wien stabilizzato grazie alla presenza di due diodi in parallelo con una resistenza R_{3}.

16.8.1 Poli e zeri di βA per l’oscillatore a ponte di Wien

È interessante analizzare la funzione che descrive il guadagno di maglia βA per l’oscillatore a ponte di Wien. In termini della variabile s, la (16.6), con:

Z_{1} = \frac{1 + sCR}{sC}

Z_{2} = \frac{R}{1 + sCR}

A = 1 + \frac{R_{1}}{R_{2}}

diventa:

βA = A \frac{sτ}{s^{2}τ^{2} + 3sτ + 1}  (16.7)

dove τ = RC.

Questa descrive un filtro passa-banda di ordine 2. Confrontando il denominatore con l’espressione standard già incontrata nel capitolo 14:

s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s + ω_{0}^{2}

troviamo la corrispondenza:

ω_{0} ⇔ \frac{1}{τ}

Q_{0} ⇔ \frac{1}{3}

Se poi si vuole che anche il numeratore acquisti la forma standard: sω_{0}/Q_{0}, è facile vedere che il guadagno A deve valere 3. Con tale scelta βA acquista la forma standard del filtro passa banda, con frequenza di centro banda pari ad ω_{0} ed inoltre essa soddisfa automaticamente la condizione βA = 1 per ω = ω_{0}, come è immediato verificare.

Vediamo cosa accade se A ≠ 3. Per un generico valore di A^{2} e con la corrispondenza tra coefficienti già vista, la (16.7) diventa:

βA = \frac{Asω_{0}}{s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s + ω_{0}^{2}}

dove Q_{0} = 1/3.

Imponiamo la condizione che questa sia uguale ad 1. Troviamo:

s^{2} + sω_{0} [\frac{1}{Q_{0}} − A] + ω_{0}^{2} = 0

cioè:

s^{2} + sω_{0} (3 − A) + ω_{0}^{2} = 0  (16.8)

Studiamo la variazione degli zeri di questa funzione o, equivalentemente, dei poli di:

H(s) = \frac{1}{s^{2} + sω_{0} (3 − A) + ω_{0}^{2}}  (16.9)

al variare del guadagno A.

Per A = 0 troviamo:

s_{1,2} = \frac{ω_{0}}{2} [3 ± \sqrt{5}]

cioè:

s_{1} = −2.62ω_{0}; s_{2} = −0.38ω_{0}

Per A = 1:

s_{1} = s_{2} = −ω_{0}

Per A = 5:

s_{1} = s_{2} = ω_{0}

Figura 16.19: Posizioni dei poli della funzione H(s) data dalla (16.9), per diversi valori del guadagno A.

Per A = 3 troviamo, come si è già visto, s_{1} = −jω_{0}, s_{2} = +jω_{0}. I poli della funzione (16.9) sono mostrati in figura 16.19 per i diversi valori di A esaminati.

Si vede come la posizione dei poli cambi al cambiare del guadagno A. Vediamo anche che la soluzione A = 3 è quella che fornisce una coppia di poli immaginari coniugati, cui corrisponde un comportamento oscillante. Per ciascuno degli altri valori di A esaminati, il comportamento è smorzato (è il caso in cui A = 0 o A = 1) o instabile (per A = 5).

Notiamo infine che l’equazione (16.9) è formalmente identica a quella ottenibile per un oscillatore armonico smorzato, quale quello che descrive il moto di una massa m sottoposta ad una forza elastica di richiamo, in presenza di una forza d’attrito proporzionale alla velocità. Se infatti k è la costante elastica e γ la costante che descrive l’attrito, l’equazione del moto sarà:

mẍ + γẋ + kx = 0

La trasformata di Laplace di questa è:

ms^{2}X(s) − msx(0) − mẋ(0) + γsX(s) − γx(0) + kX(s) = 0

dove X(s) è la trasformata della x(t) e x(0), ẋ(0) sono la posizione e velocità dell’oggetto al tempo t = 0. Se ammettiamo che sia x(0) = 0 ed indichiamo con v la velocità per t = 0, questa diventa:

(ms^{2} + γs + k) X(s) = 0

2esamineremo anche il caso A=0, impossibile con la configurazione adottata per l’amplificatore, in cui il guadagno A = 1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} è sicuramente maggiore di 1

da cui:

X(s) = \frac{mv}{ms^{2} + γs + k}

ovvero, a meno di una costante moltiplicativa v:

X(s) = \frac{1}{s^{2} + \frac{γ}{m}s + \frac{k}{m}}

Questa è formalmente identica alla (16.9), con la corrispondenza:

3 − A ⇔ γ \frac{1}{\sqrt{km}}

ω_{0} ⇔ \sqrt{\frac{k}{m}}

Anche in questo caso il moto è puramente oscillatorio se γ = 0, che equivale alla condizione da noi trovata: A = 3.

16.8.2 Stabilità in frequenza dell’oscillatore a ponte di Wien

Le considerazioni che svolgeremo in questa sezione, anche se relative all’oscillatore a ponte di Wien, sono facilmente applicabili ad altri tipi di oscillatori sinusoidali.

Il problema che principalmente influenza la stabilità in frequenza di un oscillatore sinusoidale è legato alle capacità parassite presenti nei componenti attivi adoperati. Tali capacità sono tipicamente non lineari, il che fà sì che esse cambino al cambiare dei parametri ambientali, nonchè con l’invecchiamento dei dispositivi. Come risultato il guadagno dell’elemento attivo, la cui fase si vorrebbe uguale a 0^{0} o 180^{0} può divenire qualsiasi. Poichè l’oscillazione può aversi solo a quella frequenza a cui lo sfasamento introdotto dalla rete di reazione compensa quello dovuto all’elemento attivo, accadrà che la frequenza d’oscillazione cambierà ed acquisterà quel valore a cui i due sfasamenti si compensano. Ne segue che la frequenza d’oscillazione potrà cambiare, ad esempio, con la temperatura.

Il problema può esser risolto facendo ricorso ad un blocco di reazione avente una caratteristica di fase con una forte dipendenza dalla frequenza. In tal modo infatti, se lo sfasamento introdotto dall’elemento attivo cambia ed acquista un valore −Δϕ, diverso da zero, la rete di reazione renderà possibile l’oscillazione ad una nuova frequenza ω′ molto poco diversa da quella iniziale ω. Ciò è possibile poichè alla frequenza ω′, poco diversa da ω corrisponderà (per l’ipotesi fatta di una forte dipendenza dello sfasamento da ω) uno sfasamento Δϕ abbastanza grande da poter compensare −Δϕ. Reti passive con la caratteristica richiesta sono quelle basate su circuiti risonanti RLC, o ancor più su cristalli piezoelettrici.

Considerazioni simili possono essere svolte relativamente all’oscillatore a ponte di Wien. Anche in questo caso potrà aversi una buona stabilità in frequenza se, ad una variazione apprezzabile di sfasamento corrisponde una piccola variazione della frequenza d’oscillazione.

Si definisce un fattore di stabilità in frequenza S_{f} come:

S_{f} = \frac{dϕ}{d(f/f_{0})} = f_{0} \frac{dϕ}{df} = ω_{0} \frac{dϕ}{dω}  (16.10)

Un oscillatore avrà una buona stabilità se S_{f} ha un valore elevato (in modulo). Consideriamo ad esempio l’oscillatore a ponte di Wien di figura 16.16, che pos-

siamo ridisegnare schematicamente come mostrato in figura 16.20, dove sono indicati solo gli ingressi (+) e (-) dell’amplificatore operazionale, nonchè l’uscita v_{0} del medesimo.

Figura 16.20: Schematizzazione dell’oscillatore a ponte di Wien. Sono indicati solo i componenti passivi presenti nella rete di feedback e gli ingressi (+) e (-) dell’operazionale.

Come si è visto, la reazione negativa β_{−} associata al partitore R_{1} − R_{2} deve, alla frequenza di risonanza, uguagliare quella positiva β_{+} associata alla rete di reazione C − R − R − C. Quest’ultima è data da:

β_{+} = \frac{v_{+}}{v_{0}} = \frac{sCR}{s^{2}C^{2}R^{2} + 3sCR + 1} = \frac{1}{sCR + 3 + 1/(sCR)}

La frequenza di risonanza è ω_{0} = 1/RC, per cui, ponendo s = jω, l’ultima espressione diventa:

β_{+} = \frac{1}{3 + j (\frac{ω}{ω_{0}} − \frac{ω_{0}}{ω} )}  (16.11)

Questa, alla frequenza di risonanza ω_{0}, fornisce β_{+} = 1/3. Perchè il ponte sia bilanciato occorre che sia β_{+} = β_{−} = 1/3, cioè:

β_{−} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{1}{3}  (16.12)

Ammettiamo ora che il ponte non sia esattamente bilanciato, cioè che β_{−} differisca, anche se poco, da 1/3. Scriveremo:

β_{−} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{1}{3} − \frac{1}{δ}  (16.13)

Ora, la funzione di trasferimento complessiva, tra l’input del ponte (cioè v_{0}) e l’output differenziale (cioè v_{+} − v_{−}) è data da:

β = β_{+} − β_{−} = β_{+} − (\frac{1}{3} − \frac{1}{δ})  (16.14)

Lo sfasamento associato a tale funzione di trasferimento dipende, oltre che da δ, dalla frequenza ω. Per ω = ω_{0} avremo β_{+} = \frac{1}{3} e quindi β = \frac{1}{δ}. Ciò implica che il guadagno dell’amplificatore dovrà essere A = δ, in modo che sia Aβ = 1.

Lo sfasamento associato a β è ora facilmente ottenibile dalle equazioni (16.11) e (16.14). Si trova:

β = β_{+} − β_{−} = \frac{1}{3 + j (\frac{ω}{ω_{0}} − \frac{ω_{0}}{ω} )} − \frac{1}{3} + \frac{1}{δ} = \frac{1 − [\frac{1}{3} − \frac{1}{δ}] [3 + j (\frac{ω}{ω_{0}} − \frac{ω_{0}}{ω} )]}{3 + j (\frac{ω}{ω_{0}} − \frac{ω_{0}}{ω} )} =

= −\frac{9 + j (δ − 3) (\frac{ω}{ω_{0}} − \frac{ω_{0}}{ω} )}{δ [9 + 3j (\frac{ω}{ω_{0}} − \frac{ω_{0}}{ω} )]}

Lo sfasamento è allora:

ϕ = tan^{−1} [\frac{3 − δ}{9} (\frac{ω}{ω_{0}} − \frac{ω_{0}}{ω} )] − tan^{−1} [\frac{1}{3} (\frac{ω}{ω_{0}} − \frac{ω_{0}}{ω} )]  (16.15)

Il fattore di stabilità in frequenza è dato dalla (16.10), cioè da:

S_{f} = \frac{dϕ}{d (ω/ω_{0})} = \frac{\frac{3−δ}{9} [1 + (\frac{ω_{0}}{ω} )^{2}]}{1 + (\frac{3−δ}{9})^{2} (\frac{ω}{ω_{0}} − \frac{ω_{0}}{ω} )^{2}} − \frac{\frac{1}{3} [1 + (\frac{ω_{0}}{ω} )^{2}]}{1 + \frac{1}{9} (\frac{ω}{ω_{0}} − \frac{ω_{0}}{ω} )^{2}}  (16.16)

L’andamento di questa funzione di ω/ω_{0} è mostrato in figura 16.21 per tre diversi valori dello sbilanciamento del ponte, δ.

Vediamo che la stabilità in frequenza per l’oscillatore a ponte di Wien è tanto maggiore quanto maggiore è lo sbilanciamento δ.

Per ω = ω_{0}, la (16.16)fornisce:

S_{f} = \frac{2}{9} (3 − δ) − \frac{2}{3} = −\frac{2}{9}δ

che per δ = 300 è uguale a -66.67.

Per questo valore di δ, e con R_{1} = 20kΩ, troviamo:

1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{3δ}{δ − 3} = 3.030

da cui:

\frac{R_{1}}{R_{2}} = 2.030

e quindi R_{2} = 9.85 kΩ.

Figura 16.21: Fattore di stabilità per l’oscillatore a ponte di Wien, dato dalla (16.16), in funzione del rapporto ω/ω_{0}, calcolato per tre diversi valori dello sbilanciamento δ.

16.9 Oscillatori utilizzanti circuiti LC: considerazioni introduttive

Per realizzare oscillatori in grado di raggiungere frequenze più elevate di quelle ottenibili con i circuiti discussi finora, si ricorre a sistemi che utilizzano elementi reattivi di tipo capacitivo ed induttivo. A causa dei limiti imposti dallo slew-rate degli operazionali, molto spesso questi circuiti adottano, come elementi attivi, dei transistor bipolari o dei FET.

Questo tipo di oscillatori sono basati sul carattere ”risonante” di un circuito LC, quale quello mostrato in figura 16.22. Come sappiamo, in un circuito LC, si ha una periodica trasformazione dell’energia immagazzinata nell’induttanza, sotto forma di energia magnetica, in energia elettrostatica del condensatore, e viceversa. Tale ”oscillazione dell’energia” è analoga a quanto avviene nel caso dell’altalena, in cui energia potenziale viene periodicamente convertita in energia cinetica e viceversa. Sia nel caso del circuito LC che nel caso dell’altalena, effetti dissipativi fanno sì che l’oscillazione si smorzi. Nel caso dell’altalena è però sufficiente che una persona dia periodicamente una leggera spinta, perchè l’oscillazione continui. Analogamente, nel caso del circuito LC è sufficiente, come vedremo, che un dispositivo attivo fornisca, in fase con l’oscillazione, una piccola corrente (o tensione) perchè si abbia un oscillazione persistente.

Figura 16.22: Circuito oscillante RLC.

Esaminiamo in dettaglio il circuito di figura. Ammettiamo che v_{in} sia un segnale sinusoidale del tipo:

v_{in} = A sin ωt

e calcoliamo v_{out}.

L’impedenza del parallelo LC è data da:

Z = \frac{Z_{C}Z_{L}}{Z_{C} + Z_{L}} = \frac{(1/sC) (sL)}{(1/sC) + sL} = \frac{1}{C} \frac{s}{s^{2} + 1/LC}

Ponendo ora:

ω_{0}^{2} = 1/LC

questa potrà esser scritta nella forma^{3}:

Z(s) = \frac{1}{C} \frac{s}{s^{2} + ω_{0}^{2}}  (16.17)

La forma matematica di tale impedenza può esser confrontata con quella del filtro passa-banda (tabella(14.1)):

G(s) = \frac{\frac{ω_{0}}{Q_{0}} s}{s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s + ω_{0}^{2}}  (16.18)

La (16.17) è ottenibile dalla (16.18) ponendo Q_{0} → ∞, il che implica una larghezza di banda infinitamente piccola. L’impedenza Z diviene infinitamente grande per ω = ω_{0}, mentre acquista valori finiti per ω ≠ ω_{0}.

La relazione tra v_{in} e v_{out} nel circuito di figura è:

\frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{Z}{R + Z} = \frac{s/ (s^{2} + ω_{0}^{2})}{τ (s^{2} + ω_{0}^{2}) + s}

dove τ = RC. Da questa si ottiene:

\frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{\frac{s}{τ}}{s^{2} + \frac{s}{τ} + ω_{0}^{2}}  (16.19)

3Notiamo che ponendo nella (16.17) s = jω è facile vedere che per ω ≫ ω_{0} l’impedenza diviene 1/jωC, cioè di tipo capacitivo. Viceversa, per ω ≪ ω_{0} essa diviene di tipo induttivo: jωL

Questa ha ancora la forma della (16.18), con la corrispondenza:

\frac{ω_{0}}{Q_{0}} ↔ \frac{1}{τ} = \frac{1}{RC}

da cui:

Q_{0} = \frac{RC}{\sqrt{LC}} = R\sqrt{\frac{C}{L}}

Vediamo da questa che Q_{0}, e quindi la larghezza del picco di risonanza (che và come l’inverso di Q_{0}) è determinato dai valori di R, C ed L. L’espressione ottenuta mostra che, se si vuole un picco molto stretto occorre, a parità dei valori di L e C, scegliere una resistenza di valore elevato^{4}.

Esaminiamo un esempio numerico:

L = 0.1 μH
C = 10 μF
R = 100 Ω

Troviamo:

ω_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}} = 10^{6} rad/s

f_{0} = \frac{ω_{0}}{2π} = 0.159 MHz

Q_{0} = 100\sqrt{10^{2}} = 1000

Questo valore di Q_{0} corrisponde ad una larghezza di banda data da:

ω′′ − ω′ = \frac{ω_{0}}{Q_{0}} = 159 rad/s

o, in termini della frequenza f:

δ = f′′ − f′ = 25 Hz

Il risultato ottenuto ci dà un’idea della grande selettività in frequenza che un circuito LC può avere. Nell’esempio fatto, tutte le frequenze presenti all’uscita del generatore, situate al di fuori del range f_{0} ± δ saranno fortemente soppresse, quelle situate in prossimità di f_{0} saranno presenti.

È altrettanto importante esaminare lo sfasamento introdotto dal circuito. Dalla (16.19), ponendo s = jω, troviamo:

\frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{jω/τ}{ω_{0}^{2} − ω^{2} + jω/τ} = \frac{ω^{2}/τ^{2} + j (ω_{0}^{2} − ω^{2}) ω/τ}{(ω_{0}^{2} − ω^{2})^{2} + ω^{2}/τ^{2}}

da cui otteniamo lo sfasamento ϕ:

ϕ = tan^{−1} \frac{τ}{ω} (ω_{0}^{2} − ω^{2})

l’appendice B

4Si può dimostrare che il valore di Q_{0} è una misura del numero di oscillazioni che il circuito, eccitato da un gradino unitario, effettua in un tempo pari a τ. Per una dimostrazione si veda

Vediamo che lo sfasamento è nullo alla risonanza (ω = ω_{0}) mentre esso si discosta sensibilmente da zero appena fuori dalla risonanza. Ad esempio, nel caso numerico esaminato sopra, con ω_{0} = 10^{6} rad/s e τ = 1 ms, se ω differisce da ω_{0} per appena 159 rad/s (25 Hz), troviamo:

ϕ = 17.6^{o}

Un’implementazione di un circuito oscillante che fà uso di un circuito LC nella rete di reazione di un amplificatore a transistor è quella mostrata in figura 16.23.

Figura 16.23: Circuito oscillante che adopera un LC nel circuito di collettore di un amplificatore a transistor bipolare, con feedback sull’emettitore.

Alla risonanza il carico effettivamente presente sul collettore, costituito dal parallelo LC, subirà un notevole aumento. Di conseguenza aumenterà il guadagno dell’amplificatore, e quindi il segnale sul collettore del medesimo. A causa del feedback sull’emettitore (feedback positivo) il segnale alla frequenza di risonanza viene amplificato ulteriormente. In un gran numero di cicli, un sia pur piccolo segnale presente (a causa del rumore) nel circuito, viene amplificato in modo apprezzabile. La non linearità dell’amplificatore impedisce che l’effetto mandi in saturazione l’amplificatore stesso. I segnali presenti a frequenze diverse da quella di risonanza non subiscono l’amplificazione.

Notiamo che il feedback è ottenuto prelevando da un punto intermedio dell’induttanza L, una opportuna frazione del segnale presente nel circuito oscillante ed inviandolo all’emettitore attraverso il condensatore d’accoppiamento C_{c}. La tensione di base viene invece mantenuta costante attraverso il partitore R_{1}-R_{2} ed il condensatore C_{b}. La configurazione indicata è nota come oscillatore Hartley. In realtà questo è un caso particolare di oscillatore Hartley. Riservandoci di tornare più avanti su tale tipo di oscillatore, passeremo ora a svolgere alcune considerazioni di carattere più generale sugli oscillatori basati su circuiti LC.

16.9.1 Struttura generale di un oscillatore a tre punti

Figura 16.24: Struttura generale di un oscillatore ”a tre punti”.

Gli oscillatori sinusoidali che utilizzano circuiti LC rientrano nella categoria generale degli oscillatori ”a tre punti” del tipo mostrato in figura 16.24.

Qui abbiamo un’amplificatore invertente di guadagno A (A < 0) ed una catena di feedback costituita da tre elementi passivi, inserita tra l’uscita dell’amplificatore e l’ingresso invertente e con un nodo intermedio della catena collegato a massa. L’amplificatore potrebbe essere in generale un semplice amplificatore a transistor o FET, o anche un operazionale. Faremo per il momento l’ipotesi semplificatrice che l’impedenza d’ingresso dell’amplificatore sia infinitamente grande, e che infinitamente grande sia anche il carico (non indicato in figura) presente in uscita. Le impedenze Z_{1}, Z_{2} e Z_{3} possono essere, per il momento, generiche.

Se indichiamo con Z_{L} l’impedenza equivalente all’insieme delle tre, vista tra v_{0} e massa, troviamo:

Z_{L} = Z_{2} ∥ (Z_{1} + Z_{3}) = \frac{Z_{2} (Z_{1} + Z_{3})}{Z_{1} + Z_{2} + Z_{3}}

avremo:

v_{0} = v′_{0} \frac{Z_{L}}{R_{0} + Z_{L}}

e quindi:

v′ = v_{0} \frac{Z_{1}}{Z_{1} + Z_{3}} = v′_{0} \frac{Z_{L}}{R_{0} + Z_{L}} \frac{Z_{1}}{Z_{1} + Z_{3}}

Da questa, con facili passaggi, si ottiene:

v′ = v′_{0} \frac{Z_{1}Z_{2}}{(Z_{1} + Z_{2} + Z_{3}) R_{0} + Z_{2} (Z_{1} + Z_{3})}

Il fattore di feedback β è dato da:

β = \frac{v′}{v′_{0}} = \frac{Z_{1}Z_{2}}{(Z_{1} + Z_{2} + Z_{3}) R_{0} + Z_{2} (Z_{1} + Z_{3})}  (16.20)

Se le impedenze Z_{i} sono di tipo induttivo o capacitivo, potremo scrivere:

Z_{i} = jX_{i} (i = 1 … 3)

dove X_{i} = ωL, se Z_{i} è un’induttanza, mentre X_{i} = −1/ωC se Z_{i} è una capacità. Con ciò la (16.20) diviene:

β = −\frac{X_{1}X_{2}}{j (X_{1} + X_{2} + X_{3}) R_{0} − X_{2} (X_{1} + X_{3})}  (16.21)

Da questa otteniamo poi:

Aβ = −A\frac{X_{1}X_{2}}{j (X_{1} + X_{2} + X_{3}) R_{0} − X_{2} (X_{1} + X_{3})}  (16.22)

Imponiamo ora che Aβ sia reale; ciò richiede che sia nullo il termine che moltiplica l’unità immaginaria nella (16.22), e quindi:

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 0  (16.23)

Con ciò la (16.22) diviene:

Aβ (ω_{0}) = A\frac{X_{1}}{X_{1} + X_{3}}  (16.24)

dove abbiamo indicato con ω_{0} la frequenza d’oscillazione. Dalle (16.23) e (16.24) otteniamo poi:

Aβ (ω_{0}) = −A\frac{X_{1}}{X_{2}}  (16.25)

Poichè Aβ(ω_{0}) deve esser positivo ed A è negativo, ne segue che X_{1} ed X_{2} debbono avere il medesimo segno, il che implica che i corrispondenti elementi debbono essere o entrambi di tipo capacitivo o entrambi di tipo induttivo. Segue allora dalla (16.23) che se X_{1} ed X_{2} sono di tipo capacitivo, X_{3} deve essere di tipo induttivo e viceversa.

Se X_{1} ed X_{2} sono di tipo capacitivo ed X_{3} è di tipo induttivo, si ha a che fare con un oscillatore Colpitts. Se X_{1} ed X_{2} sono di tipo induttivo ed X_{3} è di tipo capacitivo, si ha a che fare con un oscillatore Hartley. Nel primo caso la (16.23) porta a:

\frac{1}{ωC_{1}} + \frac{1}{ωC_{2}} − ωL = 0

da cui:

ω^{2} = ω_{0}^{2} = \frac{C_{1} + C_{2}}{L (C_{1}C_{2})}  (16.26)

mentre la (16.25) porta a:

Aβ (ω_{0}) = −A\frac{C_{2}}{C_{1}}  (16.27)

La condizione Aβ = 1 porta allora a:

−A = \frac{C_{1}}{C_{2}}  (16.28)

Nel caso di un oscillatore Hartley, la (16.23) porta a:

ωL_{1} + ωL_{2} − \frac{1}{ωC} = 0

da cui:

ω^{2} = ω_{0}^{2} = \frac{1}{C (L_{1} + L_{2})}  (16.29)

La condizione Aβ = 1, insieme alla (16.25) implica poi:

−A = \frac{L_{2}}{L_{1}}  (16.30)

Nella pratica, perchè si abbiano delle oscillazioni persistenti occorre che il guadagno |A| dell’amplificatore sia maggiore dei valori indicati dalle (16.28) e (16.30).

Nelle prossime sezioni esamineremo alcuni esempi concreti di oscillatori dei due tipi ora descritti.

16.9.2 Oscillatori Colpitts

Esaminiamo ora in dettaglio un oscillatore Colpitts che fa uso di un operazionale in configurazione invertente. Faremo ciò tenendo anche conto del carico che l’oscillatore dovrà alimentare. Il circuito è quello mostrato in figura 16.25, dove il carico è costituito dalla resistenza R_{L}. Una frazione β della tensione v′_{0} presente all’uscita dell’operazionale è la tensione v_{f} applicata all’ingresso dell’amplificatore. Il coefficiente di feedback β (funzione della frequenza ω) è dato dal rapporto v_{f}/v′_{0}. Il procedimento che seguiremo sarà quello di calcolare β(ω) ed imporre poi la condizione che il prodotto Aβ(ω) sia uguale ad uno.

Per calcolare β possiamo far ricorso al circuito equivalente mostrato in figura 16.26, dove è:

v′_{0} = −Av_{f} = −\frac{R_{2}}{R_{1}} v_{f}

Il coefficiente di feedback è facilmente ottenibile dallo schema di figura. Indicando infatti con Z′ l’impedenza costituita dal parallelo di C_{1} ed R_{1} e con Z il parallelo di C_{2} con la serie (Z′-L), è immediato verificare che si ha:

v_{0} = v′_{0} \frac{Z}{Z + R_{L}}  (16.31)

come pure:

v_{f} = v_{0} \frac{Z′}{Z′ + jωL}  (16.32)

16.9 Oscillatori utilizzanti circuiti LC: considerazioni introduttive  457

Figura 16.25: Oscillatore sinusoidale Colpitts che fa uso di un amplificatore operazionale in configurazione invertente.

Figura 16.26: Schema equivalente adoperato per calcolare la risposta dell’oscillatore sinusoidale di figura 16.25. Si è tenuto conto del fatto che l’estremità destra della resistenza R_{1} nel circuito iniziale è una massa virtuale.

dove:

Z′ = \frac{R_{1}}{jωR_{1}C_{1} + 1}  (16.33)

È poi anche:

Z = \frac{(jωL + Z′) \frac{1}{jωC_{2}}}{jωL + Z′ + \frac{1}{jωC_{2}}} = \frac{(R_{1} − ω^{2}LC_{1}R_{1}) + jωL}{(1 − ω^{2}LC_{2}) + j (ωR_{1} (C_{1} + C_{2}) − ω^{3}LR_{1}C_{1}C_{2})} (16.34)

Dalle (16.31) e (16.32) otteniamo:

v_{f} = v′_{0} \frac{Z}{Z + R_{L}} \frac{Z′}{Z′ + jωL}  (16.35)

e quindi:

β = \frac{v_{f}}{v′_{0}} = \frac{ZZ′}{ZZ′ + jωLZ + jωLR_{L} + Z′R_{L}}  (16.36)

La condizione βA = 1 porta allora a:

ZZ′A = ZZ′ + jωLZ + jωLR_{L} + Z′R_{L}  (16.37)

da cui:

Z (AZ′ − Z′ − jωL) = R_{L} (Z′ + jωL)  (16.38)

Questa porta poi a:

\frac{1}{Z} = \frac{AZ′}{R_{L} (Z′ + jωL)} − \frac{1}{R_{L}}  (16.39)

Sostituendo in questa l’espressione di Z data dalla (16.33), otteniamo:

\frac{(1 − ω^{2}LC_{2}) + jωR_{1} ((C_{1} + C_{2}) − ω^{2}LC_{1}C_{2})}{R_{1} (1 − ω^{2}LC_{1}) + jωL} =

= \frac{AR_{1}}{R_{L} (R_{1} + jωL (1 + jωR_{1}C_{1}))} − \frac{1}{R_{L}}  (16.40)

Da questa, con facili passaggi, si ottiene poi:

R_{L} (1 − ω^{2}LC_{2}) + R_{1} [(1 − ω^{2}LC_{1}) − A] +
+jω [L + R_{1}R_{L} (C_{1} + C_{2}) − ω^{2}R_{1}R_{L}LC_{1}C_{2}] = 0  (16.41)

Imponendo ora la condizione che si annulli il coefficiente dell’unità immaginaria in quest’ultima equazione, otteniamo:

ω^{2} = \frac{L + R_{1}R_{L} (C_{1} + C_{2})}{R_{1}R_{L}LC_{1}C_{2}}  (16.42)

Per grandi valori di R_{L} questa può esser approssimata con:

ω^{2} = \frac{C_{1} + C_{2}}{LC_{1}C_{2}}  (16.43)

Imponendo che si annulli la parte reale della (16.41) si trova poi:

AR_{1} = (R_{L} + R_{1}) − ω^{2}L (R_{1}C_{1} + R_{L}C_{2}) =

= (R_{L} + R_{1}) − \frac{L + R_{1}R_{L} (C_{1} + C_{2})}{R_{1}R_{L}C_{1}C_{2}} (R_{1}C_{1} + R_{L}C_{2})

Da questa si ottiene poi per il guadagno A:

A = \frac{R_{L} + R_{1}}{R_{1}} − \frac{R_{1}C_{1} + R_{L}C_{2}}{R_{1}} [\frac{1}{R_{1}R_{L}C_{1}C_{2}} + \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1}C_{2}} ]  (16.44)

Il guadagno A dell’amplificatore, dato da −R_{2}/R_{1} deve quindi uguagliare quest’espressione se si vuole che sia soddisfatta la condizione di Barkhausen. In realtà, come già accennato in precedenza, è buona regola che il guadagno abbia un valore superiore a quello richiesto dalla (16.44).

Sostituendo questa espressione di A nella (16.44), otteniamo:

\frac{R_{2}}{R_{1}} = −\frac{R_{L} + R_{1}}{R_{1}} + \frac{R_{1}C_{1} + R_{L}C_{2}}{R_{1}} [\frac{1}{R_{1}R_{L}C_{1}C_{2}} + \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1}C_{2}} ]  (16.45)

Abbiamo già visto che per grandi valori del carico R_{L} la frequenza angolare di risonanza, il cui quadrato è dato dalla (16.42), acquista la forma ”standard” data dalla (16.43). Possiamo vedere che, in tali condizioni, il vincolo dato dalla (16.45) acquista una forma molto più semplice. Dalla (16.45) infatti si ottiene:

R_{2} = − (R_{L} + R_{1}) + (R_{1}C_{1} + R_{L}C_{2}) [\frac{1}{R_{1}R_{L}C_{1}C_{2}} + \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1}C_{2}} ]

da cui segue:

\frac{R_{2}}{R_{L}} = −1 − \frac{R_{1}}{R_{L}} + \frac{R_{1}C_{1} + R_{L}C_{2}}{R_{L}} [\frac{1}{R_{1}R_{L}C_{1}C_{2}} + \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1}C_{2}} ]

Da questa, con facili passaggi, si ottiene:

\frac{R_{2}}{R_{L}} = \frac{1}{R_{L}^{2}C_{2}} + \frac{1}{C_{1}R_{1}R_{L}} + \frac{R_{1}C_{1}}{R_{L}C_{2}} + \frac{C_{2}}{C_{1}}  (16.46)

Se nel secondo membro di questa espressione possiamo trascurare i termini contenenti R_{L} a denominatore, otteniamo:

\frac{R_{2}}{R_{L}} = \frac{C_{2}}{C_{1}}  (16.47)

Esaminiamo ad esempio il caso in cui sia:

C_{1} = 0.01μF, C_{2} = 0.1μF, L = 100μH, R_{1} = 100kΩ, R_{2} = 1MΩ, R_{L} = 100kΩ

cui corrisponde una frequenza angolare di oscillazione:

ω = \sqrt{\frac{C_{1} + C_{2}}{LC_{1}C_{2}}} = 1.049 10^{6} rad/s

Vediamo che per tale scelta dei valori dei componenti il rapporto C_{2}/C_{1} vale 10 ed è uguale al rapporto R_{2}/R_{L}.

È anche facile verificare che tali valori dei componenti sono compatibili con la scelta fatta di trascurare alcuni dei termini presenti nella (16.46): in effetti i tre termini trascurati a secondo termine di tale espressione valgono, nell’ordine 0.001, 0.01 e 0.1.

16.9.3 Oscillatori Hartley

Esaminiamo ora in dettaglio un oscillatore Hartley che fa uso di un operazionale in configurazione invertente. Come nel caso dell’analogo oscillatore Colpitts, faremo ciò tenendo anche conto del carico che l’oscillatore dovrà alimentare. Il circuito è quello mostrato in figura 16.27, dove il carico è costituito dalla resistenza R_{L}. Una frazione β della tensione v′_{0} presente all’uscita dell’operazionale è la tensione v_{f} applicata all’ingresso dell’amplificatore. Il coefficiente di feedback β (funzione della frequenza ω) è dato dal rapporto v_{f}/v′_{0}. Il procedimento che seguiremo sarà quello di calcolare β(ω) ed imporre poi la condizione che il prodotto Aβ(ω) sia uguale ad uno.

Figura 16.27: Oscillatore sinusoidale Hartley che fa uso di un amplificatore operazionale in configurazione invertente.

Il procedimento che seguiremo è identico a quello seguito nel caso dell’oscillatore Colpitts. Lo schema equivalente adoperato per il calcolo del fattore di feedback è mostrato in figura 16.28. Le impedenze Z′ e Z sono date da:

Z′ = \frac{jωL_{1}R_{1}}{R_{1} + jωL_{1}}  (16.48)

Z = \frac{jωL_{2} (\frac{1}{jωC} + Z′)}{Z′ + jωL_{2} + \frac{1}{jωC}}  (16.49)

Figura 16.28: Schema equivalente adoperato per calcolare la risposta dell’oscillatore sinusoidale di figura 16.27. Si è tenuto conto del fatto che l’estremità destra della resistenza R_{1} nel circuito iniziale è una massa virtuale.

La tensione di feedback v_{f} è poi data da:

v_{f} = \frac{v_{0}Z′}{Z′ + \frac{1}{jωC}}  (16.50)

dove:

v_{0} = \frac{v′_{0}Z}{Z + R_{L}}  (16.51)

Dalle (16.50) e (16.51) si ottiene poi:

v_{f} = \frac{v′_{0}ZZ′}{(Z′ + \frac{1}{jωC} ) (R_{L} + Z)}  (16.52)

da cui si ottiene β:

β = \frac{v_{f}}{v′_{0}} = \frac{ZZ′}{(Z′ + \frac{1}{jωC} ) (R_{L} + Z)}  (16.53)

Imponendo ora la condizione βA = 1, si ottiene:

ZZ′A = R_{L}Z′ + ZZ′ + \frac{R_{L}}{jωC} + \frac{Z}{jωC}

da cui:

\frac{1}{Z} = \frac{jωCZ′ (A − 1) − 1}{R_{L} (1 + jωCZ′)}

Il calcolo del medesimo rapporto, effettuato a partire dalle (16.48) e (16.49), porta a:

\frac{1}{Z} = \frac{1 + jωCZ′ − ω^{2}L_{2}C}{jωL_{2} (1 + jωCZ′)}

Uguagliando queste due espressioni di 1/Z troviamo:

ω^{2}L_{2}C [R_{L} − Z′ (A − 1)] − R_{L} = jω (R_{L}CZ′ + L_{2})

Sostituendo in questa l’espressione di Z′ data dalla (16.48) troviamo, dopo semplici passaggi:

jω^{3} [CR_{L}L_{1}L_{2} − CR_{1}L_{1}L_{2} (A − 1)] +
ω^{2} [CR_{1}R_{L}L_{2} + CR_{1}R_{L}L_{1} + L_{1}L_{2}] −
jω [L_{1}R_{L} + R_{1}L_{2}] −
R_{L}R_{1} = 0  (16.54)

Imponendo ora che si annulli la parte reale di questa, otteniamo:

ω^{2} = \frac{R_{L}R_{1}}{CR_{1}R_{L} (L_{1} + L_{2}) + L_{1}L_{2}} = \frac{1}{C (L_{1} + L_{2}) + \frac{L_{1}L_{2}}{R_{1}R_{L}}}  (16.55)

Per C (L_{1} + L_{2}) ≫ L_{1}L_{2}/ (R_{1}R_{L}), otteniamo da questa:

ω^{2} = \frac{1}{C (L_{1} + L_{2})}  (16.56)

identica alla (16.29) della precedente sezione.

Imponendo che si annulli la parte immaginaria della (16.54), troviamo poi:

ω^{2}CL_{1}L_{2} [R_{L} − R_{1} (A − 1)] = R_{L}L_{1} + R_{1}L_{2}

sostituendo in questa l’espressione di ω^{2} data dalla (16.56) e facendo uso dell’espressione del guadagno dell’amplificatore: A = −R_{2}/R_{1} troviamo poi:

ω^{2}CL_{1}L_{2} (R_{L} + R_{1} + R_{2}) = \frac{1}{L_{1} + L_{2}} L_{1}L_{2} (R_{L} + R_{1} + R_{2}) = R_{L}L_{1} + R_{1}L_{2}

da cui segue:

R_{2}L_{1}L_{2} = R_{L}L_{1}^{2} + R_{1}L_{2}^{2}

Se in questa equazione il secondo termine a secondo membro può esser trascurato rispetto al primo, da questa segue poi:

\frac{R_{2}}{R_{L}} = \frac{L_{1}}{L_{2}}  (16.57)

16.9.4 Oscillatori LC a transistor

Esaminiamo ora alcuni esempi di oscillatori LC a transistor, inziando dall’oscillatore Colpitts di figura 16.29. Esaminiamo alcune caratteristiche di questo circuito. L’effetto del condensatore di emettitore C_{e} è quello di far sì che l’emettitore sia a massa per il segnale. La tensione oscillante nel circuito LC è inviata, come segnale di feedback, alla base del transistor attraverso il condensatore d’accoppiamento C_{c}. La presenza dell’induttanza L_{c} sul collettore impedisce che la componenente variabile venga cortocircuitata a massa attraverso l’alimentatore. Tale induttanza è spesso presente in questo tipo di oscillatori, ed è nota in gergo come ”choke”.

Figura 16.29: Oscillatore Colpitts a transistor. Il circuito di polarizzazione di base è stato schematizzato tramite la resistenza R_{b} in serie con un alimentatore V_{bb}. L’induttanza L_{c} è utilizzata per far sì che il segnale oscillante presente sul collettore non venga ”cortocircuitato” a massa attraverso l’alimentazione V_{cc}. I condensatori C_{c} e C_{e} saranno scelti di valore abbastanza elevato da poter esser considerati dei corto circuiti.

Il circuito equivalente adoperato per calcolare la frequenza d’oscillazione è quello di figura 16.30. Il transistor è descritto attraverso i parametri h_{ie} ed h_{fe} del modello a parametri h. I restanti parametri h_{re} ed h_{oe} sono stati trascurati.

Con riferimento alle correnti indicate nel circuito equivalente, avremo:

i_{1} = i_{c} + i_{L}
i = i_{L} + i_{2}  (16.58)

dove:

i_{c} = h_{fe}i_{b}

da queste si ottiene:

i_{L} = i_{1} − h_{fe}i_{b}  (16.59)

Figura 16.30: Circuito equivalente adoperato per calcolare la frequenza d’oscillazione dell’oscillatore Colpitts a transistor di figura 16.29. La configurazione è quella di un ”emettitore comune”. Il segnale presente ai capi del condensatore C_{2} costituisce il segnale di feedback inviato alla base del transistor.

Indicando inoltre con v_{1} la tensione su C_{1} e con v_{2} quella su C_{2}, la (16.59) porta a:

i_{L} = −v_{1}sC_{1} − h_{fe}i_{b}  (16.60)

mentre è anche:

i_{2} = −v_{2}sC_{2}  (16.61)

La corrente i_{L} è anche esprimibile come:

i_{L} = \frac{v_{1} − v_{2}}{sL}  (16.62)

da cui:

\frac{v_{1}}{sL} = sLi_{L} + v_{2}  (16.63)

Dall’ultima equazione, insieme alla (16.60), otteniamo:

i_{L} = − (sLi_{L} + v_{2}) sC_{1} − h_{fe}i_{b}  (16.64)

da cui:

i_{L} (1 + s^{2}LC_{1}) = − (sC_{1}v_{2} + h_{fe}i_{b}) = i_{2} \frac{C_{1}}{C_{2}} − h_{fe}i_{b}  (16.65)

dove si è fatto uso della (16.61).

Da questa otteniamo:

i_{L} = \frac{i_{2} (C_{1}/C_{2}) − h_{fe}i_{b}}{1 + s^{2}LC_{1}}  (16.66)

La (16.58) porta allora a:

i = i_{L} + i_{2} = i_{2} [1 + \frac{C_{1}/C_{2}}{1 + s^{2}LC_{1}} ] − \frac{h_{fe}i_{b}}{1 + s^{2}LC_{1}} =

= −v_{2}sC_{1} [1 + \frac{C_{1}/C_{2}}{1 + s^{2}LC_{1}} ] − \frac{h_{fe}i_{b}}{1 + s^{2}LC_{1}}  (16.67)

La tensione v_{2} è uguale a quella v_{b} sulla base. Il rapporto tra i e la corrente che entra in base i_{b} è dato da:

\frac{i}{i_{b}} = \frac{h_{ie}}{R_{b} ∥ h_{ie}} = \frac{R_{b} + h_{ie}}{R_{b}}  (16.68)

È anche:

v_{b} = h_{ie}i_{b}

Sostituendo questa nella (16.67), otteniamo:

i = = −h_{ie}i_{b}sC_{1} [1 + \frac{C_{1}/C_{2}}{1 + s^{2}LC_{1}} ] − \frac{h_{fe}i_{b}}{1 + s^{2}LC_{1}}  (16.69)

da cui:

i = −i_{b} \frac{[h_{ie}sC_{1} + h_{ie}s^{3}LC_{1}^{2} + h_{ie}s\frac{C_{1}^{2}}{C_{2}} + h_{fe}]}{1 + s^{2}LC_{1}}  (16.70)

Il fattore di feedback β può, in questo schema, esser definito in termini di un rapporto tra correnti: la corrente di feedback i e quella d’ingresso i_{b}. Otteniamo allora:

β = \frac{i}{i_{b}} = \frac{−h_{ie}C_{1} [s^{3}LC_{1} + s (1 + \frac{C_{1}}{C_{2}} )] − h_{fe}}{1 + s^{2}LC_{1}}  (16.71)

Il guadagno di maglia può ora essere espresso come il prodotto di β per il ”guadagno” associato al nodo d’ingresso, dato dal rapporto tra i_{b} ed i. Ponendo quindi:

A ≡ i_{b}/i

e facendo uso della (16.68), otteniamo:

A = \frac{i_{b}}{i} = \frac{R_{b}}{R_{b} + h_{ie}}  (16.72)

Facciamo ora uso delle (16.71) e (16.72) per ottenere il prodotto βA ed imponiamo che questo valga 1. Otteniamo:

(1 + s^{2}LC_{1}) (R_{b} + h_{ie}) = −R_{b}h_{ie}C_{1} [s^{3}LC_{1} + s (1 + \frac{C_{1}}{C_{2}} )] − R_{b}h_{fe} (16.73)

Ponendo ora s = jω, questa fornisce:

(1 − ω^{2}LC_{1}) (R_{b} + h_{ie}) = R_{b}h_{ie}C_{1} [jω^{3}LC_{1} − jω (1 + \frac{C_{1}}{C_{2}} )] − R_{b}h_{fe} (16.74)

La somma dei termini immaginari in questa equazione fornisce:

R_{b}h_{ie}LC_{1}^{2}ω^{2} = R_{b}h_{ie}C_{1} (1 + \frac{C_{1}}{C_{2}} )  (16.75)

da cui si ottiene facilmente:

ω^{2} = \frac{C_{1} + C_{2}}{LC_{1}C_{2}}  (16.76)

La parte reale della (16.74) fornisce poi:

(1 − ω^{2}LC_{1}) (R_{b} + h_{ie}) = −R_{b}h_{fe}  (16.77)

da cui, sostituendo l’espressione fornita dalla (16.76) per ω^{2} segue:

\frac{C_{1}}{C_{2}} (R_{b} + h_{ie}) = R_{b}h_{fe}  (16.78)

Se poi è R_{b} ≫ h_{ie}, si ottiene infine:

h_{fe} = \frac{C_{1}}{C_{2}}  (16.79)

che è al solito da intendersi come una disuguaglianza.

Passiamo ora ad esaminare un oscillatore Hartley a transistor, quale quello mostrato in figura 16.31. Il condensatore C_{2} sarà normalmente scelto di valore sufficientemente elevato da poter esser considerato un corto circuito alle frequenze d’interesse. La resistenza di polarizzazione di base R_{1} può esser considerata un circuito aperto per il segnale. Inoltre, la resistenza di polarizzazione sul collettore R_{2} sarà in genere di valore sufficientemente piccolo da poter essere ignorata, con che la configurazione adottata diviene quella di collettore comune.

Se ignoriamo tutte le resistenze di polarizzazione, l’alimentazione ed il condensatore C_{2}, il circuito si semplifica nel modo mostrato in figura 16.32.

L’induttanza L, nell’ipotesi di uno stretto accoppiamento tra le spire, può esser assimilata ad un autotrasformatore, come mostrato in figura 16.32. In tale autotrasformatore le spire del primario sono quelle (n_{1}) comprese tra i nodi b e c; quelle del secondario sono tutte le spire dell’induttanza (n_{1} + n_{2}). Possiamo allora semplificare ulteriormente il circuito, sostituendo all’autotrasformatore un normale trasformatore, come mostrato in figura 16.33. Il trasformatore ha n_{1} spire primarie ed n_{1} + n_{2} spire secondarie.

Facciamo ora uso del modello a parametri h per descrivere il funzionamento del transistor, Nella configurazione adottata, di collettore comune, i parametri rilevanti sono h_{ic} ed h_{fc} (trascurando gli altri due parametri h_{oc} ed h_{rc}). Il circuito diviene allora quello di figura 16.34.

Adottiamo ora la tecnica discussa nel primo capitolo, di riflettere i componenti connessi al primario del trasformatore nel circuito del secondario. Nel nostro caso,

Figura 16.31: Oscillatore Hartley a transistor. La polarizzazione di base è fornita dalla resistenza R_{1}. Il condensatore C_{2} andrà scelto di valore abbastanza elevato da poter esser considerato un corto circuito.

Figura 16.32: Schema semplificato dell’oscillatore Hartley a transistor. Sono state omesse le resistenze di polarizzazione e l’alimentazione.

l’unico componente connesso al primario è il generatore di corrente h_{fc}i_{b}. Il circuito si semplifica allora ulterioremente in quello di figura 16.35, dove il suddetto generatore è stato moltiplicato per il fattore n_{1}/(n_{1} + n_{2}) ed inserito nel circuito secondario (cioè in parallelo ad L − C ed alla resistenza h_{ic}.

L’ammettenza del parallelo dei tre componenti C, L ed 1/h_{ie} è data da:

468  Capitolo 16. Oscillatori sinusoidali

Figura 16.33: Schema semplificato dell’oscillatore Hartley a transistor, ottenuto da quello di figura 16.32 sostituendo l’induttanza L con un trasformatore.

Figura 16.34: Schema equivalente adoperato per il calcolo della frequenza d’oscillazione dell’oscillatore Hartley a transistor, ottenuto da quello di figura 16.33. Si è fatto uso del modello a parametri h del transistor per la configurazione collettore-comune.

Y = sC + \frac{1}{h_{ic}} + \frac{1}{sL} = \frac{s^{2}LCh_{ic} + sL + h_{ic}}{sLh_{ic}}  (16.80)

Con ciò la differenza di potenziale ai loro capi è:

V = \frac{I}{Y}  (16.81)

dove:

I = h_{fc} \frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}} i_{b}

La corrente in h_{ic} è quindi:

Figura 16.35: Schema semplificato ottenuto da quello di figura 16.34. Si è fatto uso del modello a parametri h del transistor per la configurazione collettore-comune.

i_{b} = \frac{V}{h_{ic}} = \frac{h_{fc}n_{1}/(n_{1} + n_{2})i_{b}}{h_{ic}} \frac{1}{Y} = \frac{h_{fc}n_{1}/(n_{1} + n_{2})sL}{s^{2}LCh_{ic} + sL + h_{ic}} i_{b}  (16.82)

Da questa si ottiene poi (per i_{b} ≠ 0):

s^{2}LCh_{ic} + sL [1 − h_{fc} \frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}} ] + h_{ic} = 0  (16.83)

Poniamo ora s = jω ed imponiamo che si annulli la parte reale della (16.83), ottenendo:

ω^{2} = \frac{1}{LC}  (16.84)

Imponendo invece che si annulli la parte immaginaria otteniamo:

h_{fc} = 1 + \frac{n_{2}}{n_{1}}  (16.85)

e, tenendo conto del fatto che è: h_{fc} = h_{fe} + 1:

h_{fe} = \frac{n_{2}}{n_{1}}  (16.86)

da intendersi, al solito, come una disuguaglianza.

In figura 16.36 è mostrato un oscillatore Hartley del tipo appena descritto. I valori scelti per i componenti sono indicati nella figura e sono tali da fornire una frequenza d’oscillazione di 7.12 kHz. La simulazione effettuata facendo uso della versione DEMO del programma MICROCAP8 porta al risultato mostrato in figura 16.37. Nella figura è riportato l’andamento della tensione ai capi del circuito oscillante LC nei primi 10 ms dall’avvio. Si vede come l’oscillazione parta con ampiezza molto ridotta, per poi crescere fino ad un valore di diversi Volt e quindi stabilizzarsi. In figura 16.38 è invece mostrato in dettaglio l’andamento del segnale quando questo si è stabilizzato. Si vede dalla figura che la frequenza d’oscillazione è in effetti all’incirca uguale a quella attesa.

470  Capitolo 16. Oscillatori sinusoidali

Figura 16.36: Esempio di oscillatore Hartley a transistor. Sono indicati i valori dei componenti adoperati per effettuare la simulazione con MICROCAP

Figura 16.37: Risultato della simulazione del circuito di figura 16.36. La forma d’onda mostrata è quella ai capi del circuito LC, nei primi 10 ms. La simulazione è stata effettuata facendo uso della versione DEMO del programma MICROCAP.

16.10 Oscillatori al quarzo

I circuiti oscillanti realizzati utilizzando componenti induttivi o capacitivi, se da un lato possono raggiungere frequenze relativamente elevate, offrono però una modesta stabilità in frequenza, legata al fatto che perdite ohmiche nell’induttanza fanno sì che il massimo Q raggiungibile non superi alcune centinaia.

Figura 16.38: Risultato della simulazione del circuito di figura 16.36. La forma d’onda mostrata è quella ai capi del circuito LC in regime stazionario (tra 16 e 18 ms). La simulazione è stata effettuata facendo uso della versione DEMO del programma MICROCAP.

Valori di Q decisamente più elevati e di conseguenza stabilità in frequenza non ottenibili con circuiti convenzionali, sono raggiungibili facendo uso di cristalli piezoelettrici, tipicamente di quarzo. Questi consentono di ottenere valori di Q che vanno da alcune decine di migliaia fino a quasi 10^{6}, consentendo stabilità in frequenza altrimenti impensabili, e frequenze fino a centinaia di Mhz.

La piezoelettricità è quel fenomeno in virtù del quale se una lamina, opportunamente ”tagliata”, di cristallo, viene compressa in una certa direzione, si sviluppa al suo interno una separazione di cariche, e nasce di conseguenza un campo elettrico, in una direzione perpendicolare a quella di compressione. L’effetto opposto è altresì presente: se tra due facce opposte di una lamina del cristallo viene applicata una certa differenza di potenziale, nascono all’interno della lamina delle intense forze che possono, a seconda dei casi, cambiarne lo spessore, la larghezza o causare flessioni. Se la differenza di potenziale è alternata essa induce nella lamina delle oscillazioni meccaniche. Essendo le perdite per attriti interni praticamente assenti, se ne ha che le oscillazioni meccaniche che ne risultano hanno un bassissimo coefficiente di smorzamento. Se poi la frequenza della tensione sinusoidale applicata è uguale alla frequenza propria di vibrazione meccanica della lamina, si avrà una risonanza. Tale risonanza sarà caratterizzata da un valore di Q estremamente elevato, a causa del bassissimo livello delle perdite nel cristallo. La stabilità in frequenza, elevatissima, è normalmente espressa in parti per milione (ppm).

Il fenomeno della piezoelettricità e del suo inverso, furono scoperti da Pierre e Jacques Curie nel 1880. Trascorsero però diversi anni prima che se ne vedessero applicazioni pratiche: tra queste ricorderemo la produzione di segnali sonori monocromatici di alta frequenza, attraverso l’utilizzo di lastre di quarzo eccitate da tensioni sinusoidali. Nel 1917 Paul Langevin inventò, con l’utilizzo di tale strumento, il sonar per la rivelazioni di sottomarini. Cristalli piezoelettrici furono utilizzati nelle prime radio attorno al 1920 e poi dalla Motorola, per la produzione di ricetrasmettitori in grado di operare in condizioni estreme di temperatura, tra il 1935 ed il 1940.

Pur costituendo il quarzo (SiO_{2}) circa il 14% del materiale della crosta terrestre, non è frequente trovarlo in forma di cristalli e, anche in tal caso, non sempre sotto forma di cristalli adatti all’utilizzo negli oscillatori. Cristalli che posseggono le caratteristiche volute sono prodotti industrialmente, attraverso processi di crescita a partire da opportuni ”semi” in apposite autoclavi. Un tipico cristallo si presenta come mostrato in figura 16.39.

Figura 16.39: Struttura cristallografica di un tipico quarzo.

Per ottenere lamine adatte ad esser adoperate in oscillatori, il cristallo viene tagliato secondo opportune direzioni, riferite agli assi cristallografici, come mostrato in figura 16.40. A seconda della direzione si ottengono cristalli le cui vibrazioni meccaniche possono essere di tipo ”flessorio”, ”longitudinale”, ”di deformazione superficiale” o ”di taglio”. Tipici modi di vibrazione sono mostrati nelle figure 16.41 e 16.42.

Ai diversi modi corrispondono poi diversi campi di frequenza. Al modo flessorio corrispondono frequenze comprese tra 0.4 e 100 kHz; al modo longitudinale frequenze comprese tra 40 kHz e 15 MHz; al modo di taglio frequenze comprese tra 100 kHz e 125 MHz.

Il taglio di gran lunga più utilizzato è quello noto come ”AT”, poichè è quello che offre una minore dipendenza della frequenza di oscillazione dalla temperatura ed il più ampio campo di frequenze. Questo taglio è disponibile, ad esempio, in cristalli prodotti dalla Cal Crystal Lab. a frequenze che vanno da circa 1 MHz a 29 MHz nella frequenza fondamentale e fino a circa 180 MHz nelle ”overtone”. Esiste un’ampia varietà di produttori di cristalli, come anche di oscillatori basati su cristalli.

La frequenza ν della vibrazione fondamentale è legata allo spessore d della lamina

16.10 Oscillatori al quarzo  473

Figura 16.40: Schema dei diversi modi in cui un cristallo di quarzo può esser tagliato per ottenere una lamina adatta a realizzare un oscillatore.

Figura 16.41: Modi di vibrazione flessorio (sinistra) e longitudinale (destra) di una lamina di quarzo.

Figura 16.42: Modi di vibrazione di deformazione superficiale (sinistra) e di taglio (destra) di una lamina di quarzo.

prodotta, dalla relazione:

d(mm) = \frac{1660}{ν(kHz)}

Ad esempio, per ottenere una frequenza di 1 MHz occorre uno spessore di 1.66 mm.

Un cristallo è progettato per operare nel suo modo fondamentale o in uno dei modi ”overtone”. I modi overtone sono l’analogo delle armoniche, con la differenza che essi non occorrono a multipli interi della frequenza fondamentale, ma a multipli che differiscono, spesso di poco, da interi. Nel caso dei cristalli di quarzo, la particolare struttura molecolare fà sì che gli overtone pari siano assenti. Gli overtone occorrono a frequenze prossime a multipli dispari della frequenza fondamentale.

In elettronica un cristallo si dice ”overtone” se ha lo spessore che corrisponde alla frequenza fondamentale, ma ha il massimo della sua attività ad una frequenza overtone. È possibile costruire cristalli overtone modificando l’angolo di taglio, la finitura e curvatura della superficie.

Per esempio un cristallo la cui frequenza fondamentale sia 15 MHz oscillerà anche a circa 45 MHz sul terzo overtone, a circa 75 MHz sul quinto, a circa 105 MHz sul settimo, etc..Un esempio è un particolare cristallo che ha la frequenza fondamentale a 15 MHz; questo ha il terzo overtone a 45.020949 MHz, il quinto a 75.041899 MHz, etc..

L’utilizzo di cristalli overtone è utile poichè esso consente di lavorare con lamine non eccessivamente sottili (e quindi fragili) quali sarebbero necessarie se si volesse realizzare un cristallo avente la fondamentale ad una frequenza elevata.

Un tipico quarzo è costituito da una lamina di cristallo piezoelettrico sulle cui due facce sono stati depositati due elettrodi metallici, come mostrato in figura 16.43. Il simbolo adoperato in elettronica per tale quarzo è mostrato in figura 16.44.

Figura 16.43: Schema che illustra in modo sommario il montaggio di un cristallo di quarzo tra i due contatti metallici. In realtà i montaggi adoperati sono alquanto più complessi.

Una caratteristica di grande importanza è la dipendenza della frequenza di risonanza dalla temperatura. Andamenti tipici delle deviazioni (in ppm) della frequenza da quella misurata a 27^{o}C sono mostrati in figura 16.45.

Le proprietà elettriche di un quarzo possono esser analizzate facendo uso di un circuito equivalente quale quello mostrato in figura 16.46. Tale circuito equivalente può esser adoperato per definire in maniera esatta il comportamento elettrico del cristallo, ed è adoperato nella progettazione matematica di alcuni tipi di cristalli prima che essi vengano prodotti.

L’induttanza L corrisponde, in termini fisici, alla massa inerziale del cristallo; la

Figura 16.44: Simbolo adoperato in elettronica per un quarzo.

Figura 16.45: Deviazioni (in ppm) della frequenza di risonanza di un cristallo AT da quella misurata a T = 27^{o}C in funzione della temperatura. Le tre diverse curve si riferiscono a tagli che differiscono da quello standard AT di pochi secondi d’arco.

capacità C all’elasticità e la resistenza R alle perdite per attriti interni. La capacità C_{0} è quella tra gli elettrodi esterni. Un tipico cristallo potrebbe avere L = 2 H, C = 10 fF, R = 50 Ω. Il valore di C_{0} è normalmente molto maggiore di C. Un tale cristallo avrebbe una frequenza d’oscillazione f = 1/(2π\sqrt{LC}) = 1.125 MHz ed un valore di Q = ωL/R = 141, 400, cui corrisponde una larghezza del picco di risonanza di appena 8 Hz. Il cristallo HC49U ha C_{0} = 5.5 pF, C = 20.8 fF, L = 3.1 mH, R = 6.1 Ω. A questi valori corrisponde una frequenza di risonanza f = 19.82 MHz ed un Q = 65, 600.

Analizziamo in dettaglio il circuito equivalente di figura.

L’impedenza del circuito equivalente è data dal parallelo tra quella Z_{s} del ramo LCR e quella associata a C_{0}. Avremo quindi:

Z = Z_{s} ∥ Z_{C_{0}} = \frac{Z_{s}Z_{C_{0}}}{Z_{s} + Z_{C_{0}}}  (16.87)

Figura 16.46: Circuito equivalente adoperato comunemente per descrivere le caratteristiche elettriche di un cristallo di quarzo.

dove:

Z_{s} = R + \frac{1}{sC} + sL

Z_{C_{0}} = \frac{1}{sC_{0}}

Da queste equazioni si ottiene:

Z(s) = \frac{s^{2}LC + sCR + 1}{(s^{2}LC + sRC + 1) sC_{0} + sC}  (16.88)

Ponendo in questa s = jω troviamo:

Z(ω) = \frac{1 − ω^{2}LC + jωRC}{C_{0} [−jω^{3}LC − ω^{2}RC + jω] + jωC}  (16.89)

Se in questa ammettiamo di poter trascurare R, otteniamo:

Z(ω) = \frac{1 − ω^{2}LC}{jωC_{0} [1 − ω^{2}LC] + jωC} = \frac{1 − ω^{2}LC}{jωC_{0} [\frac{C_{0}+C}{C_{0}} − ω^{2}LC]}  (16.90)

Dividendo in questa numeratore e denominatore per LC:

Z(ω) = \frac{\frac{1}{LC} − ω^{2}}{jωC_{0} [\frac{C_{0}+C}{C_{0}LC} − ω^{2}]}  (16.91)

Poniamo ora:

ω_{s} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

ω_{p} = \sqrt{\frac{C_{0} + C}{C_{0}LC}}

dove è immediato verificare che è sempre ω_{s} < ω_{p} e che la differenza tra le due è sempre estremamente piccola, tenendo conto dei valori tipici dei componenti.

Con ciò la (16.91) diventa:

Z(ω) = \frac{ω_{s}^{2} − ω^{2}}{jωC_{0} (ω_{p}^{2} − ω^{2})}  (16.92)

La (16.92) ha uno zero per ω = ω_{s}, un polo per ω = ω_{p}.

È immediato verificare che l’impedenza è di tipo capacitivo per:

\frac{ω_{s}^{2} − ω^{2}}{ω_{p}^{2} − ω^{2}} > 0

cioè per ω < ω_{s} e per ω > ω_{p}. Invece essa è di tipo induttivo per ω compreso nell’intervallo ω_{s} ÷ ω_{p}.

L’andamento di Z in funzione di ω è qualitativamente illustrato in figura 16.47.

Figura 16.47: Andamento qualitativo dell’impedenza associata al circuito equivalente di figura 16.46 in funzione di ω. Si noti che il grafico è stato fortemente espanso lungo l’asse ω e che in realtà le due frequenze angolari ω_{s} ed ω_{p} differiscono pochissimo.

Alle frequenze:

f_{s} = \frac{ω_{s}}{2π} = \frac{1}{2π\sqrt{LC}}

f_{p} = \frac{ω_{p}}{2π} = \frac{1}{2π\sqrt{\frac{C_{0}+C}{C_{0}LC}}}

si dà rispettivamente il nome di frequenza di risonanza serie e frequenza di risonanza parallelo.

Vediamo che l’impedenza si annulla per ω = ω_{s} e rimane molto piccola nella zona appena al di sopra di ω_{s}. In pratica, tenendo conto anche di R, vediamo che per di ω = ω_{s} essa acquista un valore minimo. Ci si riferisce ad un cristallo adoperato in tale zona come un utilizzo nel modo serie. Se si lavora invece nella zona compresa tra ω_{s} e ω_{p}, in cui l’impedenza è di tipo induttivo, si dice che si utilizza il cristallo nel modo parallelo. Il motivo di tali denominazioni è nel fatto che nel primo caso l’impedenza è sostanzialmente determinata dalla ”gamba” LCR, nel secondo caso essa è determinata dal parallelo tra tale gamba e quella contenente C_{0}.

Nella pratica è conveniente lavorare nel modo parallelo, dove l’induttanza, di tipo induttivo, ha una forte dipendenza da ω ed il cristallo offre quindi un’ottima stabilità in frequenza. Nelle relazioni precedenti abbiamo trascurato l’effetto della resistenza R. È facile verificare che tenendone conto le espressioni di ω_{s} ed ω_{p} differiscono poco da quelle date e che il Q del circuito è dato da:

Q = ω_{p} \frac{L}{R} ≈ ω_{s} \frac{L}{R}  (16.93)

Esamineremo nella prossima sezione alcuni esempi di oscillatori al quarzo, operanti nei due modi ora descritti.

16.10.1 Esempi di oscillatori al quarzo

Come accennato, un oscillatore che adoperi il quarzo nel ”modo serie”, lavora alla frequenza f_{s}, dove l’impedenza, di tipo resistivo, diventa estremamente piccola. In tali circuiti non sono presenti capacità nella rete di feedback e l’elemento attivo è del tipo non invertente. Circuiti di questo tipo sono spesso adoperati per motivi di semplicità, poichè essi richiedono un minimo numero di componenti. Un esempio di oscillatore in cui il cristallo lavora nel modo serie è quello di figura 16.48, in cui si adopera un amplificatore a FET, con un feedaback tra drain e gate applicato tramite un cristallo.

Figura 16.48: Oscillatore a J-fet che utilizza un cristallo nel modo serie.

La frequenza scelta per il cristallo nell’esempio è 50 kHz. Un condensatore di disaccoppiamento è stato aggiunto in serie al quarzo. L’induttanza nel circuito di collettore ha lo scopo di disaccoppiare, alla frequenza del segnale, il collettore medesimo dall’alimentazione.

Nel caso in cui il cristallo venga fatto lavorare nel modo parallelo, si fa uso di condensatori per realizzare un circuito accordato, spesso del tipo Colpitts. In questo

16.10 Oscillatori al quarzo  479

modo di funzionamento l’elemento attivo dovrà essere di tipo invertente. Un esempio è quello mostrato in figura 16.49.

Figura 16.49: Oscillatore a quarzo che utilizza un inverter CMOS.

In questo circuito, noto con il nome di ”oscillatore Pierce”^{5} , si fà uso di un invertitore CMOS e di una rete di feedback costituita da due capacità C_{1} e C_{2} che, insieme al quarzo, costituiscono un circuito accordato^{6}. Analizziamo in dettaglio questo circuito ed, a tale scopo, ridisegnamo la rete di feedback come mostrato in figura 16.50, dove Z indica l’impedenza associata al quarzo, data dalla (16.92).

Chiamiamo v_{out} la tensione all’uscita dell’invertitore, v_{2} quella su C_{2} e v_{1} quella su C_{1}. L’impedenza della rete di feedback, misurata tra quest’ultimo punto e massa è data da:

Z_{f} = \frac{\frac{1}{jωC_{1}} (Z + \frac{1}{jωC_{2}} )}{\frac{1}{jωC_{1}} + Z + \frac{1}{jωC_{2}}} = \frac{1}{jω} × \frac{1 + jωC_{2}Z}{(C_{1} + C_{2}) + jωZC_{1}C_{2}}  (16.94)

Questa ha un polo per:

jω = −\frac{1}{Z} \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1}C_{2}}

5Inventato da George W. Pierce, che ottenne il relativo brevetto nel 1923. Pierce si era occupato a lungo di antenne radio, piezoelettricità, magnetostrizione e loro applicazioni. Negli ultimi anni della sua vita si occupò del suono emesso da insetti e pipistrelli e pubblicò nel 1948 un libro dal titpolo ‘the Song of insects”.

6Le caratteristiche fornite dai costruttori per un cristallo da adoperare nel modo parallelo specificano di regola i valori minimi e massimi della ”capacità di carico” C_{L}, costituita dalla serie dei due condensatori C_{1} e C_{2}. Più precisamente, si può vedere che al cambiare di C_{L} lo scostamento della frequenza di risonanza f_{L} da quella relativa al modo seriale (f_{s}) cambia come segue:

\frac{f_{L} − f_{s}}{f_{s}} = \frac{C}{2 (C_{L} + C_{0})} × 10^{6}(in ppm)

dove C e C_{0} sono le capacità che figurano nel circuito equivalente del quarzo. Occorre evitare valori troppo grandi o troppo piccoli di C_{L}, cioè di C_{1} e C_{2}. Per ulteriori dettagli si consulti la referenza [12].

Figura 16.50: Circuito equivalente adoperato per calcolare il coefficiente di feedback del circuito oscillante di figura 16.49.

Sostituendo in questa l’espressione di Z(ω) data dalla (16.92) otteniamo:

jω = \frac{C_{1} + C_{2}}{C_{1}C_{2}} \frac{jωC_{0} (ω^{2} − ω_{p}^{2})}{ω_{s}^{2} − ω^{2}}  (16.95)

da cui:

ω^{2} − ω_{p}^{2} = \frac{C_{1}C_{2}}{C_{0} (C_{1} + C_{2})} (ω_{s}^{2} − ω^{2})

Poniamo ora:

α = \frac{C_{1}C_{2}}{C_{0} (C_{1} + C_{2})}

Con ciò dalla (16.95) si ottiene:

ω^{2} = ω_{p}^{2} − \frac{α}{1 + α} (ω_{p}^{2} − ω_{s}^{2})  (16.96)

la quale mostra che la frequenza alla quale l’impedenza Z_{f} diviene infinitamente grande è compresa tra ω_{s} ed ω_{p}, cioè viene a cadere nella zona in cui l’impedenza del quarzo è induttiva. Facciamo ora uso dei valori tipicamente adoperati in questo tipo di circuiti per verificare quanto la frequenza fornita dalla (16.96) differisca da f_{s} e quanto da f_{p}.

Ad esempio, la Fairchild fornisce [13], come valori tipici per un quarzo da 200 kHz:

L = 27H; R = 2 kΩ; C = 0.024 pF; C_{0} = 9 pF

Con questi valori troviamo per le frequenze di risonanza f_{s} e f_{p}:

f_{s} = 1.977118 × 10^{5} Hz; f_{p} = 1.97975258 × 10^{5} Hz

ed una differenza tra le due frequenze di appena 263.44.2 Hz. Se ora facciamo variare il valore (comune) delle due capacità C_{1} e C_{2} tra 1 pF e 400 pF, la frequenza d’oscillazione del circuito di Pierce cambierà come mostrato in figura 16.51. Nella figura sono riportate due diverse curve: quella a tratto solido rappresenta la differenza (in Hz) della frequenza ottenuta da f_{s}; quella a punti rappresenta l’analoga differenza da f_{p}. Vediamo che per piccoli valori delle capacità la frequenza è molto vicina a quella parallela f_{p}; al crescere del valore delle capacità essa si avvicina sempre più a f_{s}.

Figura 16.51: Dipendenza dal valore comune delle capacità C_{1} e C_{2} della deviazione della frequenza di lavoro f dalla frequenza serie f_{s} (curva a tratto continuo) e dalla frequenza parallelo f_{p} (curva a punti).

Alla frequenza di risonanza, l’impedenza Z_{f} diviene molto grande, il che ci dice che la corrente che fluisce nella resistenza R_{2} sarà mediamente piccola. La tensione nel punto 1 sarà determinata di fatto dal partitore R_{2}÷C_{1}. È consigliabile scegliere i valori dei componenti in modo che, alla frequenza di lavoro l’impedenza capacitiva di C_{1} uguagli R_{2}. In tal caso avremo v_{2} = v_{out}/2. Calcoliamo ora il fattore di feedback, cioè il rapporto tra v_{2} e v_{out}. Poichè l’impedenza d’ingresso dell’invertitore, come pure la resistenza R_{1} sono molto grandi, potremo considerare la serie Z ÷ C_{2} come un partitore e scrivere:

v_{2} = \frac{v_{1}}{jωZC_{2} + 1} = \frac{v_{1}}{\frac{C_{2}}{C_{0}} \frac{ω_{s}^{2}−ω^{2}}{ω_{p}^{2}−ω^{2}} + 1} = \frac{v_{1}}{1 − \frac{C_{2}}{C_{0}} \frac{ω^{2}−ω_{s}^{2}}{ω_{p}^{2}−ω^{2}}} = \frac{v_{out}}{2 [1 − \frac{C_{2}}{C_{0}} \frac{ω^{2}−ω_{s}^{2}}{ω_{p}^{2}−ω^{2}} ]}

Da questa otteniamo poi, facendo uso della (16.96) e della definizione di α:

β = \frac{v_{2}}{v_{out}} = \frac{1}{2 (1 − \frac{C_{1}+C_{2}}{C_{1}} )} = −\frac{C_{1}}{2C_{2}} < 0

che nel nostro esempio vale -1/2.

Vediamo così che il feedback è negativo, come deve essere se si vuole che lo sfasamento complessivo lungo l’intera maglia sia nullo, tenendo conto del fatto che l’elemento attivo in questo circuito è invertente. Il guadagno dell’amplificatore a CMOS è poi abbastanza elevato da far sì che il modulo del guadagno dell’anello sia maggiore di 1.

Si può poi facilmente verificare, facendo uso della (16.96) e dell’espressione di α che è:

ω^{2} = \frac{1}{LC} [1 + \frac{C}{C_{0} + C_{L}} ]  (16.97)

dove:

C_{L} = \frac{C_{1}C_{2}}{C_{1} + C_{2}}

La frequenza d’oscillazione è quindi data da:

f = f_{s} × \sqrt{1 + \frac{C}{C_{0} + C_{L}}}  (16.98)

La forma d’onda ottenuta all’uscita del circuito in esame facendo uso del programma di simulazione MICROCAP è mostrata in figura 16.52. Si può vedere dal grafico che la frequenza è di circa 100 kHz, molto vicina a quella del quarzo adoperato.

Figura 16.52: Forma d’onda all’uscita dell’oscillatore a CMOS inverter di figura 16.49.

Un ulteriore variante del circuito di Pierce è quella di figura 16.53. Qui l’invertitore a CMOS è sostituito da un transistor bipolare.

16.11 Risuonatori ceramici

Questi sono simili a quelli al quarzo, ma hanno una minore stabilità in frequenza, a cui si contrappone un costo decisamente inferiore. La loro stabilità in frequenza varia tra lo 0.3% ed il 3%.

Figura 16.53: Oscillatore al quarzo a transistor bipolare. La configurazione è quella di Pierce.

Si tratta anche in questo caso di dispositivi piezoelettrici che possono esser analizzati facendo uso del medesimo circuito equivalente adoperato nel caso del quarzo. Valori tipici dei parametri dei componenti presenti nel circuito equivalente, ad 8 MHz, sono: L = 0.092 mH, C = 4.6 pF, R = 7 Ω, C_{0} = 40 pF.

I circuiti che possono esser realizzati facendo uso dei risuonatori ceramici utilizzano schemi molto simili a quelli analizzati nel caso dei quarzi.

16.12 Appendice A: Non-linearità dei dispositivi attivi adoperati

Abbiamo accennato al fatto che la non-linearità nella risposta degli elementi attivi contribuisce ad impedire la saturazione. Ciò è vero per tutti gli elementi attivi adoperati nella realizzazione di oscillatori. Nel seguito limiteremo la nostra analisi al caso dei transistor bipolari.

La non-linearità ha come effetto, oltre quello di controllare l’ampiezza del segnale, anche quello di controllare l’importanza relativa delle varie armoniche presenti nel segnale che alimenta il circuito oscillante, fornendogli l’energia necessaria a mantenere l’oscillazione.

La figura 16.54 mostra la tipica caratteristica esponenziale corrente-tensione associata al diodo base-emettitore del transistor.

Figura 16.54: Caratteristica corrente-tensione associata alla giunzione base-emettitore di un transistor bipolare. È mostrata anche una forma d’onda sinusoidale v_{i} di ampiezza v_{1} in ingresso ed il corrispondente segnale di corrente prodotto quando v_{i} supera V_{γ}.

La forma d’onda di ampiezza v_{1} rappresenta il segnale sinusoidale che il circuito oscillante fornisce alla giunzione. Se l’ampiezza del segnale supera la tensione di soglia V_{γ} del diodo, la corrente risultante consisterà in una serie periodica di impulsi, la cui ampiezza è determinata dalle caratteristiche del dispositivo. Il contenuto armonico di questa serie di impulsi si ottiene facendone lo sviluppo in serie di Fourier. Nello sviluppo apparirà, oltre alla frequenza fondamentale ω, una serie di armoniche multiple di essa. Esse sono una conseguenza inevitabile del carattere non lineare del dispositivo. Se infatti questo fosse lineare, ad un segnale sinusoidale in ingresso corrisponderebbe in uscita un segnale anch’esso sinusoidale il cui sviluppo in serie di Fourier conterrebbe la sola frequenza fondamentale.

Notiamo che nel dispositivo non lineare considerato gli impulsi di corrente sono tanto più stretti ed alti quanto maggiore è l’ampiezza v_{1}. Ne segue che il contenuto armonico (cioè il contributo delle armoniche superiori) aumenta all’aumentare di v_{1}. Vediamo quantitativamente come ciò avvenga.

La corrente nel diodo polarizzato direttamente è data dalla nota equazione:

i = I_{s}e^{v/V_{γ}}  (16.99)

dove I_{s} è la corrente di saturazione e V_{γ} = kT/q ≈ 26mV. La tensione v che figura nella (16.99) è la somma di un contributo continuo e di un termine sinusoidale:

v = V + v_{1} cos(ωt)  (16.100)

Sostituendo questa nella (16.99), otteniamo:

i = I_{s}e^{\frac{V}{Vγ}} e^{\frac{v_{1}}{Vγ} cos(ωt)}  (16.101)

Porremo I_{DC} uguale al termine non dipendente dal tempo: I_{s}e^{V/V_{γ}}.

Il ”livello di conduzione” x è definito come il rapporto tra v_{1} e V_{γ}:

x = \frac{v_{1}}{V_{γ}}  (16.102)

Così, se è v_{1} = 260 mV avremo x = 10.

Poichè il termine exp [x cos(ωt)] è periodico, esso può esser sviluppato in serie di Fourier. Il risultato dello sviluppo è:

e^{x cos(ωt)} = ∑_{n} a_{n}(x) cos(nωt)  (16.103)

dove:

a_{0} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{x cos(ωt)}d(ωt) = I_{0}(x)  (16.104)

che è la funzione di Bessel modificata di ordine zero, e:

a_{n}(x)|_{n>0} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} e^{x cos(ωt)} cos(nωt)d(ωt) = 2I_{n}(x)  (16.105)

dove I_{n}(x) è il doppio della funzione di Bessel modificata di ordine n.

Sostituendo le (16.103), (16.104) e (16.105) nella (16.102), si ottiene:

i = I_{s}e^{\frac{V}{Vγ}} [I_{0}(x) + ∑_{n} 2I_{n}(x) cos(nωt)]  (16.106)

che può esser riscritta nella forma:

i = I_{DC} [1 + ∑_{n} \frac{2I_{n}(x)}{I_{0}(x)} cos(nωt)]  (16.107)

con:

I_{DC} = I_{s}e^{\frac{V}{Vγ}}

La funzione espressa dalla (16.106) è mostrata, in funzione di x per n = 1, 2, 3, 4. Si può vedere che l’importanza relativa delle diverse armoniche dipende da x e che per valori di x molto piccoli domina nettamente l’armonica fondamentale (di ordine zero). Per grandi valori di x le armoniche da quella di ordine uno in su, tendono ad acquistare tutte il medesimo peso. Se si desidera che l’armonica di ordine zero sia dominante, occorre che il valore di x sia il più piccolo possibile. Ciò tuttavia non è compatibile con l’esigenza che l’oscillazione non si smorzi.

Figura 16.55: Rapporto tra il contributo delle armoniche di ordine 1, 2, 3, 4 e quello dell’armonica fondamentale, in funzione della variabile x = v_{1}/v_{γ} definita nel testo.

16.13 Appendice B: relazione tra Q_{0} ed il numero di oscillazioni in un tempo τ

487

16.13 Appendice B:

relazione tra Q_{0} ed il numero di oscillazioni in un tempo τ

Riscriviamo la (16.19):

\frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{\frac{s}{τ}}{s^{2} + \frac{s}{τ} + ω_{0}^{2}}  (16.108)

La risposta ad un gradino unitario (trasformata 1/s) è:

v_{out}(s) = \frac{1}{s} \frac{\frac{s}{τ}}{s^{2} + \frac{s}{τ} + ω_{0}^{2}} = \frac{1}{τ} \frac{1}{s^{2} + \frac{s}{τ} + ω_{0}^{2}}  (16.109)

dove abbiamo la corrispondenza:

\frac{ω_{0}}{Q_{0}} ↔ \frac{1}{τ}

I poli di questa funzione sono dati dalle soluzioni dell’equazione:

s^{2} + \frac{s}{τ} + ω_{0}^{2} = 0

cioè da:

s_{1,2} = −\frac{ω_{0}}{2Q_{0}} (1 ± \sqrt{1 − 4Q_{0}^{2}})  (16.110)

Proponendoci di studuare l’andamento delle soluzioni per grandi valori di Q_{0}, terremo presente che la radice potrà essere espressa nella forma:

\sqrt{1 − 4Q_{0}^{2}} = j\sqrt{|1 − 4Q_{0}^{2}|} ≡ jα

I poli s_{1,2} saranno quindi complessi coniugati e la soluzione della (16.109) può, facendo uso della (2.14), esser scritta come:

\frac{1}{τ} \{\frac{1}{s_{1} − s_{1}^{∗}} e^{s_{1}t} + \frac{1}{s_{1}^{∗} − s_{1}} e^{s_{1}^{∗}t}\}  (16.111)

dove:

s_{1} = −\frac{ω_{0}}{2Q_{0}} (1 + jα)

s_{1}^{∗} = −\frac{ω_{0}}{2Q_{0}} (1 − jα)

per cui:

s_{1} − s_{1}^{∗} = −\frac{jω_{0}}{Q_{0}} α

La (16.111) acquista allora la forma:

v_{out}(t) = \frac{j}{α}e^{− \frac{ω_{0}}{2Q_{0}} t} \{e^{−j \frac{ω_{0}}{2Q_{0}} αt} − e^{j \frac{ω_{0}}{2Q_{0}} αt}\} = \frac{1}{α}e^{− \frac{ω_{0}}{2Q_{0}} t} [2 sin \frac{ω_{0}}{2Q_{0}} αt] (16.112)

Per grandi valori di Q_{0} questa diventa:

v_{out}(t) = \frac{2}{α}e^{− \frac{ω_{0}}{2Q_{0}} t} sin(ω_{0}t)  (16.113)

Questa descrive un moto oscillatorio smorzato, con tempo di decadimento dato da:

T = \frac{2Q_{0}}{ω_{0}}

In tale intervallo di tempo la funzione sin(ω_{0}t) si annulla un numero di volte dato da:

n = \frac{2Q_{0}}{π}

Vediamo quindi che il numero di oscillazioni entro una costante di tempo è una misura di Q_{0}.

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Indice analitico

N-polo, 8

Aliasing, 400 Antoniou

circuito di, 372

Banda passante, 358 Barkhausen

condizione di, 427, 437 Bessel

filtro di, 382 Butterworth

filtro di, 375

Chebyshev filtro, 369 filtro di, 382

Circuito CR, 13 Circuito RC, 13

Derivatore, 13, 15, 16, 18

Filtro, 13, 357 a condensatori commutati, 398 a retroazione multipla, 392 attivo, 357 biquadratico, 384, 389 elimina-banda, 357 passa-alto, 13, 15–18, 357 passa-banda, 357, 362 passa-basso, 13, 14, 18, 357 passa-tutto, 359 passivo, 357 RLC, 363

Funzione biquadaratica di trasferimento, 365

Generatore, 7 di corrente, 7 di tensione, 7 dipendente, 7 ideale, 7

reale, 7 Giratore, 371, 372

Integratore, 13, 15, 19

Legge di Kirchoff, 2 Legge di Ohm, 2

Maglia correnti di, 2 nodo della, 1 ramo della, 1 Modello a parametri g, 11 Modello a parametri h, 11 Modello a parametri y, 10 Modello a parametri z, 11 Modello a parametri ibridi, 11

Negative Impedance Converter, 369

Oscillatore a mezzo ponte di Wien, 440 a ponte di Wien, 442 a sfasamento, 430, 433

a transistor bipolare, 435, 437 sinusoidale, 429, 439 in quadratura, 437

Ponte di Wien, 440, 442

Porta, 9

Principio di sovrapposizione, 6

Quadripolo, 9

Ripple nei filtri, 369

Teorema di Miller, 12 Teorema di Norton, 5 Teorema di Thévenin, 3–5 Transistor

Darlington, 437