\chapter{Oscillatori sinusoidali}   \label{cap:oscillatori_sinusoidali}


\section{Introduzione}
Consideriamo un amplificatore a banda larga (vedi figura~\ref{boxes}),
seguito da un circuito (attivo o passivo) che fornisce in uscita una
frazione ($\beta$) del segnale presente al suo ingresso.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/boxes.eps,width=10.0 cm,
height=2.2 cm}}\end{center}
\caption{Amplificatore a banda larga seguito da un circuito (attivo o
  passivo) che fornisce in uscita una frazione del segnale presente al
  suo ingresso.} 
\protect\label{boxes}
\end{figure}

Avremo all'uscita: $Y(t)\:=\:A \beta X(t)$. Se il segnale presente
all'ingresso \`e sinusoidale, l'uscita $Y(t)$ sar\`a anch'essa
sinusoidale. L'effetto della funzione di trasduzione $A\beta$ \`e
quello di modificare fase ed ampiezza del segnale presente in
ingresso.

Se $A \beta$ \`e tale da non modificare, ad una certa frequenza $f_0$,
n\`e l'ampiezza n\`e la fase del segnale presente in ingresso, cio\`e
se per $f\:=\:f_0$ \`e $A \beta = 1$ (reale), allora potremo pensare
di utilizzare $Y(t)$ al posto dell'ingresso $X(t)$ ed aspettarci che
il sistema mantenga delle oscillazioni (eventualmente smorzate) di
frequenza $f_0$.

Ci\`o \`e quanto in realt\`a avviene. Il circuito descritto dalla
funzione di trasferimento $\beta$ \`e il circuito di feedback (o di
reazione). La condizione $A \beta =1$ \`e nota come ``condizione di
Barkhausen''. Essa deve essere verificata ad una sola frequenza.
\index{Barkhausen! condizione di}

Il circuito di feedback nel caso generale pu\`o esser disegnato come
in figura~\ref{twobox}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/twobox.eps,width=9.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito di feedback nel caso generale.} 
\protect\label{twobox}
\end{figure}

Avremo:
\[
e(t)\:=\:X(t)\:+\:\beta X'(t)
\]
\[
X'(t)\:=\:A e(t)\:=\:A X(t)\:+\:A \beta X'(t)
\]
da cui:
\[
X'(t)(1-A\beta)\:=\:A X(t)
\]
\begin{equation}
X'(t)\:=\:\frac{A}{1-A\beta}X(t)
\end{equation}

Se definiamo un ``guadagno con feedback'', $A_f$, come:
\begin{equation}
A_f\:=\:\frac{X'(t)}{X(t)}
\end{equation}
vediamo che:
\begin{equation}
A_f\:=\:\frac{A}{1-A\beta}
\end{equation}
che va ad infinito per $A\beta = 1$ (reale). Ci\`o implica che, con
$X(t)\:=\:0$, il sistema avr\`a un valore finito del segnale in uscita
$X'(t)$.

La condizione di Barkhausen dovr\`a essere soddisfatta ad una sola
frequenza $f_0$ (frequenza di oscillazione) che \`e quella che annulla
la parte immaginaria di $A \beta$. La condizione che $A \beta = 1$ per
$f = f_0$ (che cio\`e sia uguale ad 1 la parte reale), viene poi
adoperata per determinare gli altri parametri dell'amplificatore e
della rete di reazione.

Esaminiamo pi\`u in dettaglio il circuito con feedback, che \`e ridisegnato in figura~\ref{feed_oscillator_a}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/feed_oscillator_a.eps,width=9.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Il medesimo circuito con feedback di figura~\ref{twobox}, dove \`e stata evidenziata
la sorgente di rumore (in realt\`a interna ai componenti) che innesca le oscillazioni} 
\protect\label{feed_oscillator_a}
\end{figure}

Qui abbiamo indicato esplicitamente un componente finora ignorato, il \emph{rumore}. Rumore \`e
presente in tutti i componenti del circuito, ed esso si estende sull'intero spettro di frequenze. Per
evidenziarne la presenza lo attribuiamo ad una sorgente fittizia, esterna al circuito. Questa \`e
una schematizzazione che, come si vedr\`a nel capitolo dedicato al rumore, \`e spesso adottata.

L'amplificatore, a larga banda, amplifica tutte le componenti di Fourier presenti nel rumore in
ingresso, mentre il filtro, a banda molto stretta, consente la trasmissione, nella rete di feedback, 
di una componente soltanto. Vediamo cos\`i che solo questa pu\`o, dopo un gran numero di passaggi
attraverso la catena amplificatore-filtro, acquistare un'ampiezza apprezzabile. Notiamo che \`e solo
grazie alla presenza del rumore che il circuito pu\`o oscillare!

Ci si pu\`o chiedere se il segnale alla frequenza del filtro, $f_0$, non finir\`a con l'esser amplificato
cos\`i tanto da saturare l'amplificatore. Ci\`o non avviene grazie al carattere non lineare di un
qualsiasi amplificatore. Ci\`o significa che se il segnale all'ingresso ha ampiezza doppia, l'output non
sar\`a necessariamente raddoppiato, ma potr\`a eventualmente aumentare solo di una piccola percentuale.

Esamineremo nell'appendice~A l'effetto, sui circuiti oscillanti, della caratteristica non lineare del transistor bipolare a giunzione.


\section{Realizzazione di un oscillatore sinusoidale}
\index{Oscillatore! sinusoidale}

Per realizzare un oscillatore sinusoidale dobbiamo costruire un
circuito con retroazione positiva che, ad una ben determinata
frequenza, soddisfi le due condizioni seguenti:
\begin{itemize}
\item{lo sfasamento complessivo lungo l'intera maglia deve essere
uguale a zero o 2$\pi$;}
\item{il guadagno in tensione lungo l'intera maglia deve valere 1.}
\end{itemize}

Queste due condizioni possono poi esser ottenute in due modi diversi:
\begin{itemize}
\item[a)]{facendo uso di un amplificatore a larga banda ed una rete
passiva di reazione che abbia una buona selettivit\`a, che cio\`e
realizzi la condizione di Barkhausen alla frequenza desiderata $f_0$;}
\label{page_number_reference_a}
\item[b)]{adoperando un elemento (amplificatore o altro) che, alla
frequenza $f_0$, introduca uno sfasamento di $\pi/2$ seguito da un
secondo elemento che, alla stessa frequenza, introduca uno sfasamento
di $-\pi/2$, rispettando la condizione che il modulo di $A\beta$ sia uguale ad 1.}
\end{itemize}

Ci occuperemo, per cominciare, degli oscillatori sinusoidali del primo tipo. Questi
possono a loro volta essere suddivisi in due classi:
\begin{itemize}
\item{quelli in cui la rete passiva introduce uno sfasamento di
$\pi$; in tal caso l'amplificatore dovr\`a essere invertente;}
\item{quelli in cui la rete passiva non introduce alcuno sfasamento;
in tal caso l'amplificatore dovr\`a essere non-invertente.}
\end{itemize}

Va infine notato che la condizione $|A \beta| = 1$ non sar\`a mai
rigorosamente soddisfatta da un circuito reale. Anche se essa lo fosse
``a circuito spento'', la variazione dei parametri fisici della rete con
la temperatura potrebbe far si che la condizione non fosse pi\`u
soddisfatta a circuito acceso. Se $|A \beta|$ \`e minore di uno
l'oscillazione si estinguer\`a rapidamente. Il guadagno a catena aperta $|A \beta|$
v\`a quindi scelto maggiore di uno per evitare che le oscillazioni si smorzino.
Una buona regola \`e che $|A \beta|$ sia maggiore di uno di circa il $5\%$.
Tuttavia, perch\`e il sistema sia stabile, occorre che se l'ampiezza
del segnale generato aumenta, il guadagno diminuisca. In altre parole,
la derivata $dA/dV_0$ deve esser negativa e di valore relativamente grande.
Ci\`o pu\`o esser ottenuto in modo automatico, come accennato in precedenza, se si
utilizza come elemento attivo un transistor bipolare, intrinsecamente
non-lineare. Alternativamente si pu\`o inserire nel circuito degli elementi
non-lineari, quali dei diodi.  L'effetto della non-linearit\`a \`e quello 
di \emph{limitare} l'escursione delle oscillazioni e riportare il circuito in 
zona lineare. Su ci\`o torneremo pi\`u avanti.

Una caratteristica importante di un buon oscillatore \`e la \emph{stabilit\`a in frequenza}.
La frequenza di oscillazione potrebbe variare al variare della temperatura, a seguito
dell'invecchiamento dei componenti, etc.. Per una buona stabilit\`a in frequenza
\`e opportuno che lo sfasamento complessivo, cio\`e la fase $\phi$ di $A \beta$ sia,
in prossimit\`a della frequenza di risonanza $f_0$, una funzione rapidamente variabile 
della frequenza. Se infatti $d\phi/df|_{f_0}$ \`e grande, una piccola deviazione
della frequenza da $f_0$ dar\`a luogo ad una grande deviazione dello sfasamento
dal valore 0 o $2 \pi$, necessario per sostenere l'oscillazione.

I circuiti che analizzeremo nella prima parte di questo capitolo fanno uso di reti
di reazione costituite da elementi reattivi di tipo resistivo e capacitivo. Oscillatori
di questo tipo possono facilmente coprire il range di frequenze fino a diverse decine
di kHz. Analizzeremo successivamente circuiti oscillanti con elementi reattivi
di tipo capacitivo ed induttivo, che coprono frequenze fino a qualche MHz. Rientrano
in questa categoria gli schemi classici ''Colpitts'' e ''Hartley''.
Per frequenze ancora pi\`u alte (o semplicemente per una migliore stabilit\`a in
frequenza) si f\`a ricorso ad oscillatori a cristallo. Questi saranno discussi nell'ultima
parte del capitolo.


\section{L'oscillatore a sfasamento}
\index{Oscillatore! a sfasamento}

In tale tipo di oscillatore viene adoperato un amplificatore
invertente, seguito da tre celle RC (o RL) in cascata, tali da fornire
uno sfasamento complessivo di $180^o$. La necessit\`a di adoperare tre
celle \`e dovuta al fatto che lo sfasamento introdotto da ciascuna
cella \`e sicuramente inferiore a $90^o$.

Il circuito appare come in figura~\ref{sfasamento1}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/sfasamento1.eps,width=9.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore a sfasamento costituito da un amplificatore
  invertente seguito da tre celle RC o RL in cascata.} 
\protect\label{sfasamento1}
\end{figure}

Se ammettiamo che l'impedenza d'ingresso dell'amplificatore sia
infinitamente grande e quella d'uscita nulla, il circuito equivalente
sar\`a quello di figura~\ref{sfasamento2}, dove compare il generatore
dipendente $A_v v_1$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/sfasamento2.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente all'oscillatore a sfasamento di
  figura~\ref{sfasamento1}.} 
\protect\label{sfasamento2}
\end{figure}

Per questo circuito, con le notazioni indicate in figura, abbiamo le
seguenti equazioni:
\[
i''\:=\:\frac{v_1}{Z_2}
\]
\[
v'' \: = \: (Z_1+Z_2)i'' \:=\: (Z_1+Z_2)\frac{v_1}{Z_2}
\]
\[
i'\:=\:\frac{v''}{Z_2}\:=\:(Z_1+Z_2)\frac{v_1}{Z_2^2}
\]
\[
v'\:=\:v''+Z_1(i'+i'')\:=\:(Z_1+Z_2)\frac{v_1}{Z_2}\:+\:
\left[ \frac{Z_1+Z_2}{Z_2^2}+\frac{1}{Z_2}\right] Z_1 v_1
\]
da cui:
\[
v'\:=\:v_1\left[3\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)+\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^2
  + 1\right] 
\]
\[
i\:=\:\frac{v'}{Z_2}\:=\:\frac{v_1}{Z_2}\left[\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^2 + 3
\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)+1\right]
\]
\[
i_{Z_1}\:=\:i+i'+i''\:=\:\frac{v_1}{Z_2}\left[\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^2 + 3
\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)+ 1\right]\:+
\:\frac{v_1}{Z_1}\left[\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)+\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^2\right]\:+\:\frac{v_1}{Z_2} 
\]

Con riferimento alla figura~\ref{sfasamento2}, il feedback $\beta$
\`e nel nostro caso: $\beta=\frac{v_1}{\overline{v_1}}$. Calcoliamo
$\overline{v_1}$:
\[
\overline{v_1}\:=\:v'+Z_1 i_{Z_1}\:=\:v_1\left[\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^3 + 5
\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^2 +6 \left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)+1\right]
\]
da cui:
\[
\beta\:=\:\frac{1}{(\frac{Z_1}{Z_2})^3 + 5 (\frac{Z_1}{Z_2})^2+6
(\frac{Z_1}{Z_2})+1}
\]
e quindi:
\[
A \beta\:=\:-\frac{A_v}{(\frac{Z_1}{Z_2})^3 + 5 (\frac{Z_1}{Z_2})^2+6
(\frac{Z_1}{Z_2})+1}
\]

La condizione: $A\beta = 1 \:(reale)$ implica:
\[
-A_v\:=\:\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^3 + 5 \left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^2+6
 \left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)+1
\]
e che entrambi i membri di tale equazione siano reali (essendo $A_v$
reale). Poich\'e d'altronde $Z_1$ e $Z_2$ sono uno reale e l'altro
immaginario, ne segue che solo le potenze dispari di $Z_1/Z_2$ possono
contribuire alla parte immaginaria dell'espressione. La condizione di
risonanza \`e allora:
\[
\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^3 + 6 \left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)\:=\:0
\]
che implica:
\[
\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^2\:=\:-6
\]

Da questa si ottiene per $A_v$:
\[
-A_v\:=\: 5 \left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^2 +1\:=\:-30+1\:=\:-29
\]
\[
A_v\:=\:29
\]
cio\`e l'amplificatore invertente deve avere un guadagno pari a 29,
indipendentemente dal tipo di elemento reattivo considerato.

L'equazione:
\[
\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^2\:=\:-6
\]
ci da inoltre il valore della frequenza di oscillazione. Se ad esempio
\`e:
\[
Z_1\:=\:\frac{1}{j\omega C}
\]
\[
Z_2\:=\:R
\]
si ha:
\[
\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^2\:=\:-\frac{1}{(\omega R C)^2}\:=\:-6
\]
da cui:
\[
\omega^2\:=\:\frac{1}{6(RC)^2}
\]
\[
\omega\:=\:\frac{1}{\sqrt{6}RC}
\]

Se invece \`e:
\[
Z_1\:=\:R
\]
\[
Z_2\:=\:\frac{1}{j \omega C}
\]
si ha:
\[
\omega\:=\:\frac{\sqrt{6}}{RC}
\]

Notiamo che oscillatori di questo tipo sono convenienti finch\'e sono
trascurabili gli effetti reattivi dell'elemento attivo. Essi vengono
pertanto adoperati fino a qualche centinaio di kHz.

Un esempio di oscillatore a sfasamento che utilizza un amplificatore
operazionale \`e quello di figura~\ref{sfasamento3}.
\index{Oscillatore! a sfasamento}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/sfasamento3.eps,width=8.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore a sfasamento che utilizza un amplificatore
  operazionale.}  
\protect\label{sfasamento3}
\end{figure}

Notiamo che l'amplificatore, costituito dall'operazionale con la
resistenza di feedback $R_1$ e la resistenza d'ingresso R, ha l'uscita
collegata alla rete CR-CR-CR (la terza resistenza R \`e quella
sull'ingresso invertente dell'operazionale, che \`e una massa
virtuale).

Il guadagno dell'amplificatore indicato dal rettangolo tratteggiato
\`e: $A_v\:=\:-R_1/R$. La condizione $|A_v|\:=\:29$ richiede che sia
$R_1\:=\:29R$.  In realt\`a, come gi\`a detto, \`e bene che tale
condizione sia soddisfatta con un qualche margine (e.g. se R=1k
dovr\`a essere $R_1\simeq 31k$).

Un oscillatore a sfasamento analogo a questo \`e indicato nella
figura~\ref{sfasamento4}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/sfasamento4.eps,width=11.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore a sfasamento che utilizza un amplificatore
  operazionale.} 
\protect\label{sfasamento4}
\end{figure}

Analizziamo il funzionamento di questo circuito. La condizione di
Barkhausen \`e evidentemente: $v_1\:=\:v_2$ (a catena aperta).

Procedendo in modo analogo a quello seguito nell'analizzare il caso
generale discusso in precedenza e facendo uso della variabile
complessa s, avremo:
\[
v_2\:=\:-R_2 i'
\]
\[
v'\:=\:\frac{i'}{s C}\:=\:-\frac{v_2}{s R_2 C}
\]
\[i_2\:=\:\frac{v'}{R_1}\:=\:-\frac{v_2}{s R_1 R_2 C}
\]
\[
i''\:=\: i_2+i' \: = \: -\frac{v_2}{R_2} \left(1+\frac{1}{s R_1 C}\right)
\]
\[
v''\:=\:v'+\frac{i''}{s C}\:=\:-\frac{v_2}{s R_2 C}\left(2+\frac{1}{s R_1
C}\right)
\]
\[
i_1\:=\:\frac{v''}{R_1}\:=\:-\frac{v_2}{sR_1R_2 C}\left(2+\frac{1}{s R_1
C}\right)
\]
\[
i'''\:=\:i''+i_1\:=\:-\frac{v_2}{R_2}\left(1\:+\:\frac{3}{s R_1 C}\:
+\:\frac{1}{(s R_1 C)^2)}\right)
\]
\[
v_1\:=\:v''+\frac{i'''}{sC}\:=\:-\frac{v_2}{s R_2 C}\left(3+\frac{4}{s R_1
C}+ \frac{1}{(s R_1 C)^2}\right)
\]
imponendo la condizone che questo sia uguale a $v_2$, otteniamo:
\[
R_2\:=\:-\frac{1}{sC}\left(3 + \frac{4}{s R_1 C}+ \frac{1}{(s R_1 C)^2}\right)
\]

Poniamo ora: $s=j \omega$. La parte immaginaria dell'espressione
scritta per $R_2$ \`e:
\[
-\frac{3}{\omega C}\:+\:\frac{1}{R_1^2 C^3 \omega^3}
\]
che si annulla per:
\[
\omega \:=\:\omega_0\:\equiv\:\frac{1}{\sqrt{3}R_1 C}
\]

Per tale valore di $\omega$, $R_2$ vale:
\[
R_2\:=\:\frac{4}{\omega^2 R_1 C^2}\:=\:12 R_1
\]

In pratica si sceglier\`a un valore di $R_2$ leggermente pi\`u alto di
questo, diciamo del $5\%$, se si vuole evitare un rapido smorzamento
delle oscillazioni.  L'ampiezza di queste sar\`a limitata dal fatto
che, per effetto del feedback, il dispositivo attivo uscir\`a
rapidamente dalla zona lineare.

\section{Oscillatore a sfasamento a transistor bipolare}
\index{Oscillatore! a sfasamento! a transistor bipolare}

Sappiamo che in un amplificatore a transistor ad emettitore comune
l'uscita \`e sfasata di $180^o$ rispetto all'ingresso. Se quindi
inseriamo una rete passiva di feedback che introduca un ulteriore
sfasamento di $180^o$ e dimensioniamo opportunamente l'attenuazione
introdotta dalla rete, possiamo realizzare un oscillatore sinusoidale.

Come negli esempi precedenti, la rete passiva potr\`a essere ottenuta
tramite tre elementi CR-CR-CR, come mostrato in
figura~\ref{sfasamento_tran}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/sfasamento_tran.eps,width=11.0 cm,
height=7.0 cm}}\end{center}
\caption{Amplificatore a transistor ad emettitore comune con una rete
  passiva di feedback costituita da tre elementi CR.} 
\protect\label{sfasamento_tran}
\end{figure}

Notiamo che la resistenza associata al terzo gruppo CR \`e costituita
dalla resistenza $R'$ in serie con il parallelo di $R_b$ ed $h_{ie}$.
Ammetteremo che sia $R_b \gg h_{ie}$.  Per esaminare il comportamento
di questo circuito, sostituiamo al transistor il suo modello a
parametri h, ottenendo in tal modo il circuito equivalente mostrato
in figura~\ref{sfasamento_equiv} (dove abbiamo trascurato $h_{re}$ ed
$h_{oe}$) e dove $R\:\simeq\:R'+h_{ie}$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/sfasamento_equiv.eps,width=11.0 cm,
height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente a quello di figura~\ref{sfasamento_tran}
  ottenuto col modello a parametri $h$ per il transitor.} 
\protect\label{sfasamento_equiv}
\end{figure}

Calcoliamo la corrente i a partire da $i_b$, come fatto negli esempi
precedenti.
\[
i'''\:=\:i_b
\]
\[
v'''\:=\:(R'+h_{ie})i_b\:\approx\: R i_b
\]
\[
v''\:=\:v'''+\frac{i_b}{sC}\:=\:i_b\left[R+\frac{1}{sC}\right]
\]
\[
i_{R_2}\:=\:\frac{v''}{R}\:=\:i_b\left[1+\frac{1}{sRC}\right]
\]
\[
i''\:=\:i'''+i_{R_2}\:=\:i_b+i_{R_2}\:=\:i_b\left[2+\frac{1}{sRC}\right]
\]
\[
v'\:=\:v''+\frac{i''}{sC}\:=\:i_b\left[R+\frac{3}{sC}+\frac{R}{(sRC)^2}\right]
\]
\[
i_{R_1}\:=\:\frac{v'}{R}\:=\:i_b\left[R+\frac{3}{sRC}+\frac{1}{(sRC)^2}\right]
\]
\[
i'\:=\:i''+i_{R_1}\:=\:i_b\left[3+\frac{4}{sRC}+\frac{1}{(sRC)^2}\right]
\]
\[
v\:=\:v'+\frac{i'}{sC}\:=\:i_b\left[R+\frac{6}{sC}+\frac{5R}{(sRC)^2}+\frac{R}{(sRC)^3}\right]
\]
\[
i_{R_c}\:=\:\frac{v}{R_c}\:=\:\frac{i_bR}{R_c}\left[1+\frac{6}{sRC}+\frac{5}{(sRC)^2}+
\frac{1}{(sRC)^3}\right]
\]

La corrente nel circuito di collettore \`e allora:
\[
-h_{fe}i_b\:=\:i\:=\:i'+i_{R_c}\:=
\]
\begin{equation}
=\:i_b\left[3+\frac{4}{sRC}+\frac{1}{(sRC)^2}+ \frac{R}{R_c}+\frac{6}{sR_c
C}+\frac{5}{R_c R(sC)^2)}+\frac{1}{R_c R^2(sC)^3}\right] \label{eq:hfe}
\end{equation}

L'espressione in parentesi quadra deve, come visto in precdenza,
essere reale.

Uguagliando a zero la parte immaginaria (cio\`e la somma dei termini
che contengono potenze dispari di s), otteniamo:
\[
\frac{4}{sR}+\frac{6}{(sR_c)}+\frac{1}{s^3 R^2 R_c C^2}\:=\:0
\]
cio\`e, ponendo $s=j\omega$:
\[
\frac{4}{R\omega}+\frac{6}{R_c \omega}-\frac{1}{R_cR^2C^2
\omega^3}\:=\:0
\]
da cui si ottiene dopo qualche passaggio:
\[
\omega^2\:=\:\frac{1}{(6+4\frac{R_c}{R})R^2 C^2}
\]

La frequenza di risonanza $f_0=\omega_0/(2 \pi)$ sar\`a quindi:
\begin{equation}
f_0\:=\:\frac{1}{2 \pi RC \sqrt{6+4\frac{R_c}{R}}} \label{eq:f0}
\end{equation}
dalla~(\ref{eq:hfe}), sostituendo il valore ottenuto per $\omega_0$, si
ha:
\[
h_{fe}\:=\:-\left[3-\frac{1}{R^2C^2\omega_0^2}+\frac{R}{R_c}-\frac{5}{R_cR
C^2 \omega_0^2}\right]
\]
che, con qualche passaggio si riduce a:
\[
h_{fe}\:=\:23+29\frac{R}{R_c}+4\frac{R_c}{R}
\]

Ponendo $k\equiv \frac{R}{R_c}$, questa diventa:
\[
h_{fe}\:=\:23+29k+\frac{4}{k}
\]

Da questa possiamo ricavare k:
\[
k\:=\:\frac{R}{R_c}\:=\:\frac{h_{fe}-23}{58}\:+\:\sqrt{(\frac{23-h_{fe}}{58})^2-\frac{4}{29}}
\]

Dati $h_{fe}$ ed $\omega_0$ si pu\`o ricavare $R/R_c$ da quest'ultima
equazione e poi RC dalla~(\ref{eq:f0}).

Notiamo che, affinch\'e il radicando sia positivo occorre che sia:
\[
\left(\frac{h_{fe}-23}{58}\right)^2 > \frac{4}{29}
\]
cio\`e:
\[
h_{fe}\:>\:23+\sqrt{464}\:=\:44.6
\]

Se $h_{fe}$ \`e minore di tale valore, il circuito non potr\`a
oscillare.

Un esempio concreto di oscillatore a sfasamento a transistor bipolare
\`e quello di figura~\ref{sfasamento_darli}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/sfasamento_darli.eps,width=12.0 cm,
height=7.0 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore a sfasamento a transistor bipolare.} 
\protect\label{sfasamento_darli}
\end{figure}
\index{Oscillatore! a sfasamento! a transistor bipolare}

Notiamo che i due transistor BC107 sono adoperati nella configurazione
Darlington, con che l'impedenza d'ingresso \`e estremamente elevata.
\index{Transistor! Darlington}

\section{L'oscillatore sinusoidale in quadratura}
\index{Oscillatore! sinusoidale! in quadratura}
\index{Barkhausen! condizione di}

La condizione di Barkhausen $A\beta = 1$ (reale) implica che lo
sfasamento complessivo dell'amplificatore con reazione positiva debba
essere nullo.  Ci\`o pu\`o esser ottenuto utilizzando un amplificatore
che introduca uno sfasamento di $+90^o$ ed una rete di reazione
costituita da un secondo amplificatore che introduca uno sfasamento di
$-90^o$ (metodo b a pagina~\pageref{page_number_reference_a}). Si parla allora di \emph{oscillatore in quadratura}.

Un sistema basato su tale schema pu\`o esser realizzato facendo uso di
un integratore invertente seguito da uno non-invertente. Un
integratore non-invertente \`e quello mostrato in
figura~\ref{quadrat_1}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/quadrat_1.eps,width=9.0 cm,
height=6.0 cm}}\end{center}
\caption{Circuito integratore non-invertente.} 
\protect\label{quadrat_1}
\end{figure}

La condizione $v_-=v_+$ fornisce:
\[
\frac{\tilde{v}_1}{R_1+\frac{1}{sC_1}}\frac{1}{sC_1}\:=\:\frac{\tilde{v}_2}{R_2+\frac{1}{sC_2}}R_2
\]
dove la soprascritta $\tilde{ }$ sta ad indicare la trasformata di
Laplace. Da questa segue:
\[
\tilde{v}_2\:=\:\frac{\tilde{v}_1(1+s C_2 R_2)}{s C_2 R_2(1+s C_1
R_1)}
\]
che, per $R_1 C_1\:=\:R_2 C_2$ ci d\`a:
\[
\tilde{v}_2\:=\:\left(\frac{1}{C_2 R_2}\right)\frac{\tilde{v}_1}{s}
\]
che \`a appunto la trasformata della risposta di un integratore
non-invertente.

Se ora a tale circuito facciamo seguire un integratore invertente,
otteniamo il circuito di figura~\ref{quadrat_2} che, come vedremo, si
comporta da oscillatore sinusoidale.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/quadrat_2.eps,width=12.0 cm,
height=7.0 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore sinusoidale \index{Oscillatore! sinusoidale}
  ottenuto con un integratore non-invertente seguito da uno invertente.} 
\protect\label{quadrat_2}
\end{figure}

L'operazionale A, con le capacit\`a $C_1, C_2$ e le resistenze $R_1,
R_2$, costituisce un integratore non invertente. Questo \`e
\emph{alimentato} dall'integratore invertente costituito
dall'operazionale B con la capacit\`a $C_3$ e la resistenza
$R_3$. Poich\'e la funzione di trasduzione dell'integratore invertente
\`e data da:
\[
\tilde{v}_1\:=\:-\frac{1}{C_3 R_3}\frac{\tilde{v}_0}{s}
\]
la funzione di trasduzione della maglia sar\`a:
\[
\tilde{v}_1\:=\:-\frac{1}{s C_3 R_3}\frac{1+s C_2 R_2}{1+s C_1
R_1}\frac{1}{s C_2 R_2} \tilde{v}_1
\]

Ponendo $C_1=C_2=C_3=R, R_1=R_2=R_3=R$ e quindi:
\[
C_1 R_1 \:=\:C_2 R_2\:=C_3 R_3\:=C R
\]
segue:
\[
\frac{1}{\omega^2 C^2 R^2}\:=\:1
\]
dove si \`e fatto uso della sostituzione $s=j\omega$.  Si ottiene in
tal modo per la frequenza angolare di oscillazione:
\[
\omega \:=\:\frac{1}{RC}
\]

Nella pratica \`e necessario che $R_2 C_2$ sia maggiore di $R_1 C_1$
se si vuole che le oscillazioni persistano.

\section{Circuiti limitatori negli oscillatori sinusoidali}
\index{Oscillatore! sinusoidale}

In tutti gli esempi visti si \`e accennato all'opportunit\`a che $|A
\beta|$ sia leggermente maggiore di 1, per evitare un rapido
smorzamento delle oscillazioni.  Ci\`o potrebbe per\`o causare una
rapida uscita degli amplificatori dalla loro zona lineare, con che le
oscillazioni sarebbero fortemente deformate.

Per ovviare a tale inconveniente \`e opportuno inserire nella rete di
reazione un elemento che riporti il sistema in zona lineare.

Ci\`o pu\`o esser ottenuto in vari modi. Un metodo spesso adoperato
\`e quello di sostituire una resistenza (ad esempio, nell'oscillatore
a sfasamento di figura~\ref{sfasamento3}, la resistenza R posta
all'ingresso invertente dell'operazionale) con una resistenza che
abbia un coefficiente di temperatura positivo (cio\`e un
\emph{sensistore}\footnote{cio\`e una resistenza il cui valore aumenti
all'aumentare della temperatura e quindi all'aumentare della corrente che
l'attraversa. Un esempio di sensistore \`e una lampadina ad incandescenza}). 
In tal modo, se il guadagno dell'amplificatore
aumenta, aumenter\`a la corrente in R con un conseguente aumento del valore di questa e diminuzione
del guadagno $G=R_1/R$. Si potrebbe alternativamente aggiungere in serie ad R
una resistenza di piccolo valore ma avente un coefficiente di temperatura
positivo.

Un'alternativa all'uso del sensistore \`e quella di inserire una
coppia di Zener contrapposti, in serie con una  resistenza di valore
inferiore ad $R_1$, in parallelo ad $R_1$, come mostrato in
figura~\ref{limita}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/limita.eps,width=9.0 cm,
height=6.0 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore sinusoidale con $|A\beta|>1$ a cui \`e stata
  aggiunta una coppia di diodi Zener contrapposti in serie ad una
  resistenza nella rete di reazione per mantenere il sistema in zona
  lineare.}  
\protect\label{limita}
\end{figure}


In questo circuito, se $v_{out}$ \`e inferiore a $v_z+v_{\gamma}$ i diodi Zener sono interdetti ed il guadagno dell'amplificatore sar\`a uguale a $R_1/R$. Se $v_{out}$ aumenta oltre $v_z+v_{\gamma}$, i diodi conducono e la resistenza di feedback diviene ora $R_2 \parallel R_1$ (inferiore quindi
ad $R_1$) con che il guadagno diminuisce fino a $\left(R_2 \parallel R_1\right)/R$.

Un ramo analogo a quello
contenente i diodi in figura~\ref{limita}
pu\`o essere utilizzato, nel circuito di figura~\ref{quadrat_1}, in
serie con la capacit\`a $C_2$.

\section{L'oscillatore a mezzo ponte di Wien}
\index{Oscillatore! a mezzo ponte di Wien}
\index{Ponte di Wien}

Questo adopera un amplificatore non-invertente, come indicato in
figura~\ref{wien1}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/wien1.eps,width=7.0 cm,
height=6.0 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore a mezzo ponte di Wien.} 
\protect\label{wien1}
\end{figure}

Se facciamo l'ipotesi che l'impedenza d'ingresso dell'amplificatore
sia infinita e quella d'uscita sia nulla, possiamo far uso del
circuito equivalente di figura~\ref{wien2} per verificare il
funzionamento

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/wien2.eps,width=7.0 cm,
height=3.5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente all'oscillatore a mezzo ponte di Wien.} 
\protect\label{wien2}
\end{figure}

Da tale circuito si ottiene facilmente:
\[
v_1\:=\:(A_v v_1)\frac{Z_p}{Z_p+Z_s}
\]
dove $Z_s$ \`e l'impedenza-serie e $Z_p$ quella parallelo di R e C:
\[
Z_p\:=\:\frac{R/sC}{R+1/sC}
\]
\[
Z_s\:=\:R+1/sC
\]

Si ottiene in tal modo:
\[
A_v\:=\:\frac{(sRC)^2+3(sRC)+1}{sRC}
\]

La parte immaginaria di tale espressione si annulla per:
\[
sRC\:+\:\frac{1}{sRC}\:=\:0
\]
cio\`e:
\[
(sRC)^2\:=\:-1
\]
e quindi, ponendo $s=j\omega$, per:
\[
\omega\:=\:\frac{1}{RC}
\]

Per tale valore di $\omega$ si ha $A_v=3$. Questo dovr\`a quindi
essere il guadagno dell'amplificatore.

\section{L'oscillatore a ponte di Wien}
\index{Oscillatore! a ponte di Wien}
\index{Ponte di Wien}

In tale tipo di oscillatore un ponte bilanciato (vedi
figura~\ref{wien3}) viene adoperato come circuito di feedback.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/wien3.eps,width=9.0 cm,
height=7.5 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore a ponte di Wien.} 
\protect\label{wien3}
\end{figure}

I quattro rami del ponte sono costituiti dalle impedenze $R_1, R_2,
Z_1, Z_2$. L'input del ponte \`e l'uscita $v_0$ dell'operazionale e
l'output del ponte tra i nodi 1 e 2 fornisce l'input differenziale
all'amplificatore operazionale (vedi figura~\ref{wien4}).  Se il ponte
\`e bilanciato, avremo $v_{1-2}=0$, con un valore finito di
$v_0$. Ci\`o richiede che la tensione nel punto 2, determinata dal
partitore $R_1-R_2$, sia uguale a quella nel punto 1, determinata dal
partitore $Z_1-Z_2$, cio\`e che sia:
\[
\frac{R_1}{R_2}\:=\:\frac{Z_1}{Z_2}
\] 

In definitiva, nel circuito di figura~\ref{wien3}, se il ponte \`e
bilanciato, la differenza di potenziale tra l'ingresso invertente e
quello non invertente dell'operazionale, sar\`a nulla. Ci\`o richiede
che il feedback negativo introdotto dal ramo $R_1-R_2$ bilanci quello
positivo introdotto dal ramo $Z_1-Z_2$. Quest'ultimo \`e dato da:
\[
\beta=\frac{v_1}{v_0}=\frac{v_f'}{v_0}=\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}
\]
mentre il primo \`e:
\[
\frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{1}{A}
\]
dove con $A$ abbiamo indicato il guadagno dell'amplificatore non invertente:
\[
A=1+\frac{R_1}{R_2}
\]


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/wien4.eps,width=6.0 cm,
height=5.0 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente all'oscillatore a ponte di Wien di
  figura~\ref{wien3}.} 
\protect\label{wien4}
\end{figure}

Il guadagno dell'anello \`e $\beta A$:

\begin{equation}
\beta A\:=\:\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}(1+\frac{R_1}{R_2})    \label{betatimesA}
\end{equation}
cio\`e:
\[
\beta A\:=\:\frac{\alpha}{3\alpha -j(1-\alpha^2)}(1+\frac{R_1}{R_2})
\]
dove: $\alpha\equiv\omega RC$. La condizione di Barkhausen: $A\beta=1$ (reale)
impone che sia:
\[
1-\alpha^2\:=\:0
\]
cio\`e $\alpha=\omega R C=1$. Se tale condizione \`e soddisfatta,
l'ulteriore vincolo:
\[
\beta A \:=\: 1 \:=\: \frac{1}{3}\left(1 + \frac{R_1}{R_2}\right)
\]
porta a:
\[
1+\frac{R_1}{R_2}\:=\:3
\]
cio\`e:
\[
\frac{R_1}{R_2}\:=\:2
\]

\`E possibile cambiare con continuit\`a la frequenza di risonanza
cambiando simultaneamente il valore dei due condensatori C. \`E
possibile poi modificare il range di frequenza (in modo discontinuo)
cambiando i valori delle due resistenze (uguali) R.

L'uscita di tale circuito, se montato senza ulteriori precauzioni,
potrebbe facilmente saturare al livello alto o a quello basso
dell'A.O., o esibire instabilit\`a nelle oscillazioni. \`E possibile
renderlo stabile, come accennato in precedenza, con l'aggiunta di
opportuni diodi. Un esempio \`e quello mostrato in
figura~\ref{wien_diodi}. I due diodi servono a ``bypassare'' la
resistenza $R_3$ e quindi a ridurre il guadagno (dato nell'esempio da
$1+(R_1+R_3+f\cdot X)/(R_2+(1-f) \cdot X)$, con f il fattore di
regolazione del potenziometro $X$) non appena l'uscita tenda a
divenire troppo alta in valore assoluto.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/wien_diodi.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore a ponte di Wien stabilizzato grazie alla presenza
di due diodi in parallelo con una resistenza $R_3$.} 
\protect\label{wien_diodi}
\end{figure}

\subsection{Poli e zeri di $\beta A$ per l'oscillatore a ponte di Wien}

\`E interessante analizzare la funzione che descrive il guadagno di maglia $\beta A$ per l'oscillatore a ponte di Wien. In
termini della variabile s, la~(\ref{betatimesA}), con:
\[
Z_1=\frac{1+sCR}{sC}
\]
\[
Z_2=\frac{R}{1+sCR}
\]
\[
A=1+\frac{R_1}{R_2}
\]

diventa:

\begin{equation}
\beta A\:=\:A\,\frac{s \tau}{s^2 \tau^2 + 3 s \tau + 1}     \label{betatimesA_s}
\end{equation}

dove $\tau=RC$.

Questa descrive un filtro passa-banda di ordine 2. Confrontando il denominatore con l'espressione standard gi\`a incontrata
nel capitolo~\ref{cap:filtriattivi}:
\[
s^2 + \frac{\omega_0}{Q_0} s + \omega_0^2
\]
troviamo la corrispondenza:
\[
\omega_0 \Leftrightarrow \frac{1}{\tau}
\]
\[
Q_0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}
\]
Se poi si vuole che anche il numeratore acquisti la forma standard: $s \omega_0/Q_0$, \`e facile vedere che il guadagno
A deve valere 3. Con tale scelta $\beta A$ acquista la forma standard del filtro passa banda, con frequenza di centro banda
pari ad $\omega_0$ ed inoltre essa soddisfa automaticamente la condizione $\beta A = 1$ per $\omega = \omega_0$, come \`e immediato verificare.

Vediamo cosa accade se $A \ne 3$. Per un generico valore di A\footnote{esamineremo anche il caso A=0, impossibile con
la configurazione adottata per l'amplificatore, in cui il guadagno $A=1+\frac{R_1}{R_2}$ \`e sicuramente maggiore di 1} e con la corrispondenza tra coefficienti gi\`a vista, la~(\ref{betatimesA_s}) diventa:

\[
\beta A \:=\:\frac{A s \omega_0}{s^2 + \frac{\omega_0}{Q_0}s + \omega_0^2}
\]
dove $Q_0=1/3$.

Imponiamo la condizione che questa sia uguale ad 1. Troviamo:

\[
s^2 + s \omega_0 \left[\frac{1}{Q_0}-A\right]+\omega_0^2=0
\]
cio\`e:
\begin{equation}
s^2 + s \omega_0 \left(3-A\right) + \omega_0^2 = 0    \label{wien_poli_zeri_vs_A_1}
\end{equation}

Studiamo la variazione degli zeri di questa funzione o, equivalentemente, dei poli di:
\begin{equation}
H(s)\:=\:\frac{1}{s^2 + s \omega_0 \left(3-A\right) + \omega_0^2}    \label{wien_poli_zeri_vs_A_2}
\end{equation}
al variare del guadagno $A$.

Per $A=0$ troviamo:

\[
s_{1,2}=\frac{\omega_0}{2}\left[3\pm\sqrt{5}\right]
\]
cio\`e:
\[
s_1=-2.62 \omega_0; \;\;\;\;\;\;s_2=-0.38 \omega_0
\]

Per $A=1$:
\[
s_1=s_2=-\omega_0
\]

Per $A=5$:

\[
s_1=s_2=\omega_0
\]

Per $A=3$ troviamo, come si \`e gi\`a visto, $s_1=-j\omega_0$, $s_2=+j\omega_0$.
I poli della funzione~(\ref{wien_poli_zeri_vs_A_2}) sono mostrati in figura~\ref{wien_poli_zeri} per i diversi valori di $A$ esaminati.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/wien_poli_zeri.eps,width=12.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Posizioni dei poli della funzione $H(s)$ data dalla~(\ref{wien_poli_zeri_vs_A_2}), per diversi
valori del guadagno $A$.} 
\protect\label{wien_poli_zeri}
\end{figure}

Si vede come la posizione dei poli cambi al cambiare del guadagno $A$. Vediamo anche che la soluzione $A=3$ \`e
quella che fornisce una coppia di poli immaginari coniugati, cui corrisponde un comportamento oscillante. Per ciascuno
degli altri valori di $A$ esaminati, il comportamento \`e smorzato (\`e il caso in cui $A=0$ o $A=1$) o instabile
(per $A=5$).

Notiamo infine che l'equazione~(\ref{wien_poli_zeri_vs_A_2}) \`e formalmente identica a quella ottenibile per un oscillatore
armonico smorzato, quale quello che descrive il moto di una massa $m$ sottoposta ad una forza elastica di richiamo, in 
presenza di una forza d'attrito proporzionale alla velocit\`a. Se infatti $k$ \`e la costante elastica e $\gamma$ la
costante che descrive l'attrito, l'equazione del moto sar\`a:

\[
m \ddot{x} + \gamma \dot{x} + k x\:=\:0
\]

La trasformata di Laplace di questa \`e:

\[
m s^2 X(s) - m s x(0) - m \dot{x}(0) + \gamma s X(s) - \gamma x(0) + k X(s)=0
\]
dove $X(s)$ \`e la trasformata della $x(t)$ e $x(0)$, $\dot{x}(0)$ sono la posizione e velocit\`a dell'oggetto al
tempo $t=0$. Se ammettiamo che sia $x(0)=0$ ed indichiamo con $v$ la velocit\`a per $t=0$, questa diventa:

\[
\left(m s^2 + \gamma s + k\right) X(s)\:=\:0
\]
da cui:
\[
X(s)=\frac{m v}{m s^2 + \gamma s + k}
\]
ovvero, a meno di una costante moltiplicativa $v$:
\[
X(s)=\frac{1}{s^2+\frac{\gamma}{m} s + \frac{k}{m}}
\]

Questa \`e formalmente identica alla~(\ref{wien_poli_zeri_vs_A_2}), con la corrispondenza:

\[
3-A \Leftrightarrow \gamma \frac{1}{\sqrt{k m}}
\]
\[
\omega_0 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{k}{m}}
\]

Anche in questo caso il moto \`e puramente oscillatorio se $\gamma = 0$, che equivale alla condizione da noi
trovata: $A=3$.

\subsection{Stabilit\`a in frequenza dell'oscillatore a ponte di Wien}

Le considerazioni che svolgeremo in questa sezione, anche se relative all'oscillatore a ponte di Wien, sono facilmente
applicabili ad altri tipi di oscillatori sinusoidali. 

Il problema che principalmente influenza la stabilit\`a in frequenza
di un oscillatore sinusoidale \`e legato alle capacit\`a parassite presenti nei componenti attivi adoperati. Tali
capacit\`a sono tipicamente non lineari, il che f\`a s\`i che esse cambino al cambiare dei parametri ambientali,
nonch\`e con l'invecchiamento dei dispositivi. Come risultato il guadagno dell'elemento attivo, la cui fase si
vorrebbe uguale a $0^0$ o $180^0$ pu\`o divenire qualsiasi. Poich\`e l'oscillazione pu\`o aversi solo a quella frequenza
a cui lo sfasamento introdotto dalla rete di reazione compensa quello dovuto all'elemento attivo, accadr\`a che
la frequenza d'oscillazione cambier\`a ed acquister\`a quel valore a cui i due sfasamenti si compensano. Ne segue che
la frequenza d'oscillazione potr\`a cambiare, ad esempio, con la temperatura.

Il problema pu\`o esser risolto facendo ricorso ad un blocco di reazione avente una caratteristica di fase con una forte
dipendenza dalla frequenza. In tal modo infatti, se lo sfasamento introdotto dall'elemento attivo cambia ed acquista un valore
$-\Delta \phi$, diverso da zero, la rete di reazione render\`a possibile l'oscillazione ad una nuova frequenza $\omega'$ molto
poco diversa da quella iniziale $\omega$. Ci\`o \`e possibile poich\`e alla frequenza $\omega'$, poco diversa da $\omega$
corrisponder\`a (per l'ipotesi fatta di una forte dipendenza dello sfasamento da $\omega$) uno sfasamento $\Delta \phi$
abbastanza grande da poter compensare $-\Delta \phi$. Reti passive con la caratteristica richiesta sono quelle basate su
circuiti risonanti $RLC$, o ancor pi\`u su cristalli piezoelettrici.

Considerazioni simili possono essere svolte relativamente all'oscillatore a ponte di Wien.
Anche in questo caso potr\`a aversi una buona stabilit\`a in frequenza se, ad una variazione apprezzabile di sfasamento corrisponde una
piccola variazione della frequenza d'oscillazione.

Si definisce un \emph{fattore di stabilit\`a in frequenza} $S_f$ come:
\begin{equation}
S_f=\frac{d\phi}{d(f/f_0)}\:=\:f_0 \frac{d\phi}{df}\:=\:\omega_0 \frac{d \phi}{d \omega}  \label{fattore_stabilita_oscilla}
\end{equation}

Un oscillatore avr\`a una buona stabilit\`a se $S_f$ ha un valore elevato (in modulo).

Consideriamo ad esempio l'oscillatore a ponte di Wien di figura~\ref{wien3}, che possiamo ridisegnare
schematicamente come mostrato in figura~\ref{wien_bridge_new}, dove sono indicati solo gli ingressi
(+) e (-) dell'amplificatore operazionale, nonch\`e l'uscita $v_0$ del medesimo. 

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/wien_bridge_new.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Schematizzazione dell'oscillatore a ponte di Wien. Sono indicati solo i componenti passivi presenti
nella rete di feedback e gli ingressi (+) e (-) dell'operazionale.} 
\protect\label{wien_bridge_new}
\end{figure}


Come si \`e visto, la reazione 
negativa $\beta_-$ associata al partitore $R_1-R_2$ deve, alla frequenza di risonanza, uguagliare quella
positiva $\beta_+$ associata alla rete di reazione $C-R-R-C$. Quest'ultima \`e data da:
\[
\beta_+=\frac{v_+}{v_0}=\frac{sCR}{s^2 C^2 R^2 + 3 s C R + 1}=\frac{1}{s C R + 3 + 1/(s C R)}
\]
La frequenza di risonanza \`e $\omega_0=1/RC$, per cui, ponendo $s=j\omega$, l'ultima espressione diventa:
\begin{equation}
\beta_+  = \frac{1}{3+j\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)}   \label{oscillator_stability_a}
\end{equation}
Questa, alla frequenza di risonanza $\omega_0$, fornisce $\beta_+=1/3$. Perch\`e il ponte sia bilanciato
occorre che sia $\beta_+=\beta_-=1/3$, cio\`e:
\begin{equation}
\beta_-=\frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{1}{3}    \label{oscillator_stability_b}
\end{equation}

Ammettiamo ora che il ponte non sia esattamente bilanciato, cio\`e che $\beta_-$ differisca, anche se poco, da $1/3$. Scriveremo:

\begin{equation}
\beta_-=\frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{\delta}     \label{oscillator_stability_c}
\end{equation}

Ora, la funzione di trasferimento complessiva, tra l'input del ponte (cio\`e $v_0$) e l'output differenziale (cio\`e
$v_+-v_-$) \`e data da:
\begin{equation}
\beta=\beta_+-\beta_-=\beta_+-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{\delta}\right)   \label{oscillator_stability_d}
\end{equation}

Lo sfasamento associato a tale funzione di trasferimento dipende, oltre che da $\delta$, dalla frequenza $\omega$.
Per $\omega=\omega_0$ avremo $\beta_+=\frac{1}{3}$ e quindi $\beta=\frac{1}{\delta}$. Ci\`o implica che il guadagno
dell'amplificatore dovr\`a essere $A=\delta$, in modo che sia $A \beta=1$.

Lo sfasamento associato a $\beta$ \`e ora facilmente ottenibile dalle equazioni~(\ref{oscillator_stability_a}) e~(\ref{oscillator_stability_d}). Si trova:

\[
\beta=\beta_+-\beta_-=\frac{1}{3+j\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)}-\frac{1}{3}+\frac{1}{\delta}= \frac{1-\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{\delta}\right]\left[3+j\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)\right]}{3+j\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)}=
\]
\[
=-\frac{9+j\left(\delta-3\right)\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)}{\delta\left[9+3j\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)\right]}
\]

Lo sfasamento \`e allora:
\begin{equation}
\phi=tan^{-1}\left[\frac{3-\delta}{9}\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)\right]-tan^{-1}\left[\frac{1}{3}\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)\right]    \label{oscillator_stability_e}
\end{equation}

Il fattore di stabilit\`a in frequenza \`e dato dalla~(\ref{fattore_stabilita_oscilla}), cio\`e da:

\begin{equation}
S_f = \frac{d\phi}{d\left(\omega/\omega_0\right)}=\frac{\frac{3-\delta}{9}\left[1+\left(\frac{\omega_0}{\omega}\right)^2\right]}{1+\left(\frac{3-\delta}{9}\right)^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)^2}-  
\frac{\frac{1}{3}\left[1+\left(\frac{\omega_0}{\omega}\right)^2\right]}{1+\frac{1}{9}\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)^2}  \label{oscillator_stability_f}
\end{equation}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/funzione_stabilita_oscillatori_vs_x.eps,width=12.0 cm,
height=11 cm}}\end{center}
\caption{Fattore di stabilit\`a per l'oscillatore a ponte di Wien, dato dalla~(\ref{oscillator_stability_f}), in
funzione del rapporto $\omega/\omega_0$, calcolato per tre diversi valori dello \emph{sbilanciamento} $\delta$.} 
\protect\label{funzione_stabilita_oscillatori_vs_x}
\end{figure}

L'andamento di questa funzione di $\omega/\omega_0$ \`e mostrato in figura~\ref{funzione_stabilita_oscillatori_vs_x}
per tre diversi valori dello \emph{sbilanciamento} del ponte, $\delta$.

Vediamo che la stabilit\`a in frequenza per l'oscillatore a ponte di Wien \`e tanto maggiore quanto
maggiore \`e lo sbilanciamento $\delta$.

Per $\omega=\omega_0$, la~(\ref{oscillator_stability_f})fornisce:
\[
S_f=\frac{2}{9}\left(3-\delta\right)-\frac{2}{3}=-\frac{2}{9} \delta
\]
che per $\delta=300$ \`e uguale a -66.67.

Per questo valore di $\delta$, e con $R_1=20 k\Omega$, troviamo:
\[
1+\frac{R_1}{R_2}=\frac{3 \delta}{\delta-3}=3.030
\]
da cui:
\[
\frac{R_1}{R_2}=2.030
\]
e quindi $R_2=9.85\;k\Omega$.


\section{Oscillatori utilizzanti circuiti LC: considerazioni introduttive}

Per realizzare oscillatori in grado di raggiungere frequenze pi\`u elevate di quelle ottenibili con i circuiti
discussi finora, si ricorre a sistemi che utilizzano elementi reattivi di tipo capacitivo ed induttivo.
A causa dei limiti imposti dallo slew-rate degli operazionali, molto spesso questi circuiti adottano, come elementi
attivi, dei transistor bipolari o dei FET.

Questo tipo di oscillatori sono basati sul carattere ''risonante'' di un circuito LC, quale quello
mostrato in figura~\ref{rlc-resonator}. Come sappiamo, in un circuito $LC$, si ha una periodica trasformazione
dell'energia immagazzinata nell'induttanza, sotto forma di energia magnetica, in energia elettrostatica
del condensatore, e viceversa. Tale ''oscillazione dell'energia'' \`e analoga a quanto avviene nel caso dell'altalena,
in cui energia potenziale viene periodicamente convertita in energia cinetica e viceversa. Sia nel caso del circuito $LC$ che nel caso
dell'altalena, effetti dissipativi fanno s\`i che l'oscillazione si smorzi. Nel caso dell'altalena \`e per\`o
sufficiente che una persona dia periodicamente una leggera spinta, perch\`e l'oscillazione continui. Analogamente,
nel caso del circuito $LC$ \`e sufficiente, come vedremo, che un dispositivo attivo fornisca, in fase con l'oscillazione,
una piccola corrente (o tensione) perch\`e si abbia un oscillazione persistente.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/rlc-resonator.eps,width=7.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito oscillante RLC.} 
\protect\label{rlc-resonator}
\end{figure}

Esaminiamo in dettaglio il circuito di figura. Ammettiamo che $v_{in}$ sia un segnale sinusoidale del tipo:

\[
v_{in}\:=\:A \sin \omega t
\]
e calcoliamo $v_{out}$.

L'impedenza del parallelo $LC$ \`e data da:

\[
Z\:=\:\frac{Z_C Z_L}{Z_C+Z_L}\:=\:\frac{\left(1/sC\right)\left(sL\right)}{\left(1/sC\right)+sL}\:=\:\frac{1}{C}\frac{s}{s^2+1/LC}
\]

Ponendo ora:
\[
\omega_0^2=1/LC
\]
questa potr\`a esser scritta nella forma\footnote{Notiamo che ponendo nella~(\ref{lcoscillators_a_1}) $s=j \omega$ \`e facile vedere che per $\omega \gg \omega_0$ l'impedenza
diviene $1/j\omega C$, cio\`e di tipo capacitivo. Viceversa, per $\omega \ll \omega_0$ essa diviene di tipo induttivo: $j \omega L$}:
\begin{equation}
Z(s)\:=\:\frac{1}{C}\frac{s}{s^2+\omega_0^2}    \label{lcoscillators_a_1}
\end{equation}

La forma matematica di tale impedenza pu\`o esser confrontata con quella del filtro passa-banda~(tabella(\ref{tabella_filtri_secondo_ordine})):

\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{\frac{\omega_0}{Q_0}s}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s +
 \omega_0^2}    \label{lcoscillators_a_2}
\end{equation}

La~(\ref{lcoscillators_a_1}) \`e ottenibile dalla~(\ref{lcoscillators_a_2}) ponendo $Q_0 \rightarrow \infty$, il che
implica una larghezza di banda infinitamente piccola. L'impedenza $Z$ diviene infinitamente grande per $\omega=\omega_0$, mentre acquista valori finiti per $\omega \ne \omega_0$.

La relazione tra $v_{in}$ e $v_{out}$ nel circuito di figura \`e:

\[
\frac{v_{out}}{v_{in}}\:=\:\frac{Z}{R+Z}\:=\:\frac{s/\left(s^2+\omega_0^2\right)}{\tau\left(s^2+\omega_0^2\right)+s}
\]
dove $\tau=RC$. Da questa si ottiene:

\begin{equation}
\frac{v_{out}}{v_{in}}\:=\:\frac{\frac{s}{\tau}}{s^2+\frac{s}{\tau}+\omega_0^2}   \label{lcoscillators_a_3}
\end{equation}

Questa ha ancora la forma della~(\ref{lcoscillators_a_2}), con la corrispondenza:
\[
\frac{\omega_0}{Q_0}  \leftrightarrow \frac{1}{\tau}\:=\:\frac{1}{RC}
\]
da cui:
\[
Q_0\:=\:\frac{RC}{\sqrt{LC}}\:=\:R\sqrt{\frac{C}{L}}
\]
Vediamo da questa che $Q_0$, e quindi la larghezza del picco di risonanza (che v\`a come l'inverso di $Q_0$) \`e determinato dai valori di $R$, $C$ ed $L$. L'espressione ottenuta mostra che, se si vuole un picco molto stretto occorre, a parit\`a dei
valori di $L$ e $C$, scegliere una resistenza di valore elevato\footnote{Si pu\`o dimostrare che il valore di $Q_0$ \`e una misura del
numero di oscillazioni che il circuito, eccitato da un gradino unitario, effettua in un tempo pari a $\tau$. Per una dimostrazione si veda
l'appendice~B}.

Esaminiamo un esempio numerico:

\[
L=0.1\;\mu H
\]
\[
C=10\;\mu F
\]
\[
R=100\;\Omega
\]
Troviamo:
\[
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=10^6 \;rad/s
\]
\[
f_0=\frac{\omega_0}{2 \pi}=0.159\;MHz
\]
\[
Q_0=100 \sqrt{10^2}=1000
\]
Questo valore di $Q_0$ corrisponde ad una larghezza di banda data da:

\[
\omega''-\omega'=\frac{\omega_0}{Q_0}=159\;rad/s
\]
o, in termini della frequenza $f$:
\[
\delta=f''-f'=25\;Hz
\]

Il risultato ottenuto ci d\`a un'idea della grande selettivit\`a in frequenza che un circuito $LC$ pu\`o avere. Nell'esempio fatto, tutte le frequenze presenti all'uscita del generatore, situate al di fuori del range $f_0\pm\delta$
saranno fortemente soppresse, quelle situate in prossimit\`a di $f_0$ saranno presenti.

\`E altrettanto importante esaminare lo sfasamento introdotto dal circuito. Dalla~(\ref{lcoscillators_a_3}), ponendo
$s=j \omega$, troviamo:

\[
\frac{v_{out}}{v_{in}}\:=\:\frac{j \omega/ \tau}{\omega_0^2-\omega^2 + j\omega/\tau}\:=\:\frac{\omega^2/\tau^2 + j\left(\omega_0^2-\omega^2\right)\omega/\tau}{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+\omega^2/\tau^2}
\]
da cui otteniamo lo sfasamento $\phi$:

\[
\phi=tan^{-1}\frac{\tau}{\omega}\left(\omega_0^2-\omega^2\right)
\]
Vediamo che lo sfasamento \`e nullo alla risonanza ($\omega=\omega_0$) mentre esso si discosta sensibilmente da zero
appena fuori dalla risonanza. Ad esempio, nel caso numerico esaminato sopra, con $\omega_0=10^6\;rad/s$ e $\tau=1\: ms$,
se $\omega$ differisce da $\omega_0$ per appena 159~$rad/s$ (25~Hz), troviamo:
\[
\phi=17.6^o
\]

Un'implementazione di un circuito oscillante che f\`a uso di un circuito $LC$ nella rete di reazione di un amplificatore
a transistor \`e quella mostrata in figura~\ref{lc_transistor_oscillator}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/lc_transistor_oscillator.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Circuito oscillante che adopera un LC nel circuito di collettore di un amplificatore a transistor bipolare,
con feedback sull'emettitore.} 
\protect\label{lc_transistor_oscillator}
\end{figure}

Alla risonanza il carico effettivamente presente sul collettore, costituito dal parallelo $LC$, subir\`a un notevole
aumento. Di conseguenza aumenter\`a il guadagno dell'amplificatore, e quindi il segnale sul collettore del medesimo. A causa del feedback sull'emettitore (feedback positivo) il segnale alla frequenza di risonanza viene amplificato
ulteriormente. In un gran numero di cicli, un sia pur piccolo segnale presente (a causa del rumore) nel circuito, viene
amplificato in modo apprezzabile. La non linearit\`a dell'amplificatore impedisce che l'effetto mandi in saturazione
l'amplificatore stesso. I segnali presenti a frequenze diverse da quella di risonanza non subiscono l'amplificazione.

Notiamo che il feedback \`e ottenuto prelevando da un punto intermedio dell'induttanza $L$, una opportuna frazione del
segnale presente nel circuito oscillante ed inviandolo all'emettitore attraverso il condensatore d'accoppiamento
$C_c$. La tensione di base viene invece mantenuta costante attraverso il partitore $R_1$-$R_2$ ed il condensatore
$C_b$. La configurazione indicata \`e nota come \emph{oscillatore Hartley}. In realt\`a questo \`e un caso
particolare di oscillatore Hartley. Riservandoci di tornare pi\`u avanti su tale tipo di oscillatore, passeremo
ora a svolgere alcune considerazioni di carattere pi\`u generale sugli oscillatori basati su circuiti $LC$.

\subsection{Struttura generale di un oscillatore a tre punti}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/general_sinusoidal_structure.eps,width=7.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Struttura generale di un oscillatore ''a tre punti''.} 
\protect\label{general_sinusoidal_structure}
\end{figure}

Gli oscillatori sinusoidali che utilizzano circuiti $LC$ rientrano nella categoria generale degli oscillatori
''a tre punti'' del tipo mostrato in figura~\ref{general_sinusoidal_structure}.

Qui abbiamo un'amplificatore invertente di guadagno $A$ ($A < 0$) ed una catena di feedback costituita da tre
elementi passivi, inserita tra l'uscita dell'amplificatore e l'ingresso invertente e con un nodo intermedio
della catena collegato a massa. L'amplificatore potrebbe essere in generale un semplice amplificatore a transistor
o FET, o anche un operazionale. Faremo per il momento l'ipotesi semplificatrice che l'impedenza d'ingresso
dell'amplificatore sia infinitamente grande, e che infinitamente grande sia anche il carico (non indicato in
figura) presente in uscita. Le impedenze $Z_1$, $Z_2$ e $Z_3$ possono essere, per il momento, generiche.

Se indichiamo con $Z_L$ l'impedenza equivalente all'insieme delle tre, vista tra $v_0$ e massa, troviamo:

\[
Z_L\:=\:Z_2 \parallel \left(Z_1+Z_3\right) \:=\:\frac{Z_2 \left(Z_1+Z_3\right)}{Z_1+Z_2+Z_3}
\]
avremo:

\[
v_0\:=\:v'_0 \frac{Z_L}{R_0+Z_L}
\]
e quindi:

\[
v'\:=\:v_0 \frac{Z_1}{Z_1+Z_3}\:=\:v'_0 \frac{Z_L}{R_0+Z_L} \frac{Z_1}{Z_1+Z_3}
\]

Da questa, con facili passaggi, si ottiene:

\[
v'\:=\:v'_0 \frac{Z_1 Z_2}{\left(Z_1+Z_2+Z_3\right)R_0+Z_2\left(Z_1+Z_3\right)}
\]

Il fattore di feedback $\beta$ \`e dato da:

\begin{equation}
\beta\:=\:\frac{v'}{v'_0}\:=\:\frac{Z_1 Z_2}{\left(Z_1+Z_2+Z_3\right)R_0+Z_2\left(Z_1+Z_3\right)}  \label{lcoscillators_b_1}
\end{equation}

Se le impedenze $Z_i$ sono di tipo induttivo o capacitivo, potremo scrivere:
\[
Z_i\:=\:j X_i \;\;\;\;(i=1\dots 3)
\]
dove $X_i=\omega L$, se $Z_i$ \`e un'induttanza, mentre $X_i=-1/\omega C$ se $Z_i$ \`e una capacit\`a.

Con ci\`o la~(\ref{lcoscillators_b_1}) diviene:

\begin{equation}
\beta\:=\:-\frac{X_1 X_2}{j \left(X_1+X_2+X_3\right)R_0-X_2\left(X_1+X_3\right)}  \label{lcoscillators_b_2}
\end{equation}

Da questa otteniamo poi:

\begin{equation}
A \beta\:=\:-A \frac{X_1 X_2}{j \left(X_1+X_2+X_3\right)R_0-X_2\left(X_1+X_3\right)}  \label{lcoscillators_b_3}
\end{equation}

Imponiamo ora che $A \beta$ sia reale; ci\`o richiede che sia nullo il termine che moltiplica l'unit\`a immaginaria
nella~(\ref{lcoscillators_b_3}), e quindi:

\begin{equation}
X_1+X_2+X_3\:=\:0  \label{lcoscillators_b_4}
\end{equation}

Con ci\`o la~(\ref{lcoscillators_b_3}) diviene:

\begin{equation}
A \beta\left(\omega_0\right)\:=\:A \frac{X_1}{X_1+X_3}  \label{lcoscillators_b_5}
\end{equation}
dove abbiamo indicato con $\omega_0$ la frequenza d'oscillazione. Dalle~(\ref{lcoscillators_b_4}) e~(\ref{lcoscillators_b_5}) otteniamo poi:

\begin{equation}
A \beta\left(\omega_0\right)\:=\:-A \frac{X_1}{X_2}  \label{lcoscillators_b_6}
\end{equation}

Poich\`e $A \beta(\omega_0)$ deve esser positivo ed $A$ \`e negativo, ne segue che $X_1$ ed $X_2$ debbono avere il
medesimo segno, il che implica che i corrispondenti elementi debbono essere o entrambi di tipo capacitivo o
entrambi di tipo induttivo. Segue allora dalla~(\ref{lcoscillators_b_4}) che se $X_1$ ed $X_2$ sono di tipo
capacitivo, $X_3$ deve essere di tipo induttivo e viceversa.

Se $X_1$ ed $X_2$ sono di tipo capacitivo ed $X_3$ \`e di tipo induttivo, si ha a che fare con un \emph{oscillatore Colpitts}. Se $X_1$ ed $X_2$ sono di tipo induttivo ed $X_3$ \`e di tipo capacitivo, si ha a che fare con un \emph{oscillatore Hartley}. Nel primo caso la~(\ref{lcoscillators_b_4}) porta a:

\[
\frac{1}{\omega C_1}+\frac{1}{\omega C_2} - \omega L\:=\:0
\]
da cui:

\begin{equation}
\omega^2\:=\:\omega_0^2\:=\:\frac{C_1+C_2}{L\left(C_1 C_2\right)}  \label{lcoscillators_b_7}
\end{equation}
mentre la~(\ref{lcoscillators_b_6}) porta a:

\begin{equation}
A \beta\left(\omega_0\right)\:=\:-A \frac{C_2}{C_1}  \label{lcoscillators_b_8}
\end{equation}

La condizione $A \beta = 1$ porta allora a:

\begin{equation}
-A \:=\: \frac{C_1}{C_2}  \label{lcoscillators_b_9}
\end{equation}

Nel caso di un oscillatore Hartley, la~(\ref{lcoscillators_b_4}) porta a:

\[
\omega L_1 + \omega L_2 -\frac{1}{\omega C}\:=\:0
\]
da cui:

\begin{equation}
\omega^2 \:=\: \omega_0^2 \:=\: \frac{1}{C\left(L_1 + L_2\right)}  \label{lcoscillators_b_10}
\end{equation}

La condizione $A \beta=1$, insieme alla~(\ref{lcoscillators_b_6}) implica poi:

\begin{equation}
-A \:=\: \frac{L_2}{L_1}  \label{lcoscillators_b_11}
\end{equation}

Nella pratica, perch\`e si abbiano delle oscillazioni persistenti occorre che il guadagno $|A|$ dell'amplificatore sia maggiore dei valori
indicati dalle~(\ref{lcoscillators_b_9}) e~(\ref{lcoscillators_b_11}).

Nelle prossime sezioni esamineremo alcuni esempi concreti di oscillatori dei due tipi ora descritti.

\subsection{Oscillatori Colpitts}

Esaminiamo ora in dettaglio un oscillatore Colpitts che fa uso di un operazionale in configurazione invertente. Faremo
ci\`o tenendo anche conto del carico che l'oscillatore dovr\`a alimentare. Il circuito \`e quello mostrato in figura~\ref{colpitts_opamp_oscillator_a}, dove il carico \`e costituito dalla resistenza $R_L$. Una frazione $\beta$ della
tensione $v'_0$ presente all'uscita dell'operazionale \`e la tensione $v_f$ applicata all'ingresso dell'amplificatore.
Il coefficiente di feedback $\beta$ (funzione della frequenza $\omega$) \`e dato dal rapporto $v_f/v'_0$. Il procedimento
che seguiremo sar\`a quello di calcolare $\beta(\omega)$ ed imporre poi la condizione che il prodotto $A \beta(\omega)$
sia uguale ad uno.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/colpitts_opamp_oscillator_a.eps,width=7.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore sinusoidale Colpitts che fa uso di un amplificatore operazionale in configurazione invertente.} 
\protect\label{colpitts_opamp_oscillator_a}
\end{figure}

Per calcolare $\beta$ possiamo far ricorso al circuito equivalente mostrato in figura~\ref{colpitts_opamp_oscillator_b},
dove \`e:
\[
v'_0\:=\:-A v_f\:=\:-\frac{R_2}{R_1} v_f
\]


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/colpitts_opamp_oscillator_b.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Schema equivalente adoperato per calcolare la risposta dell'oscillatore sinusoidale di 
 figura~\ref{colpitts_opamp_oscillator_a}. Si \`e tenuto conto del fatto che l'estremit\`a destra della resistenza
 $R_1$ nel circuito iniziale \`e una massa virtuale.} 
\protect\label{colpitts_opamp_oscillator_b}
\end{figure}

Il coefficiente di feedback \`e facilmente ottenibile dallo schema di figura. Indicando infatti con $Z'$ l'impedenza
costituita dal parallelo di $C_1$ ed $R_1$ e con $Z$ il parallelo di $C_2$ con la serie ($Z'$-$L$), \`e immediato verificare che si ha:


\begin{equation}
v_0\:=\:v'_0 \frac{Z}{Z+R_L}        \label{colpitts_oscillators_a_1}
\end{equation}
come pure:

\begin{equation}
v_f\:=\:v_0 \frac{Z'}{Z'+j \omega L}        \label{colpitts_oscillators_a_2}
\end{equation}
dove:

\begin{equation}
Z'\:=\:\frac{R_1}{j \omega R_1 C_1 + 1}        \label{colpitts_oscillators_a_3}
\end{equation}

\`E poi anche:

\begin{equation}
Z\:=\:\frac{\left(j \omega L+Z'\right) \frac{1}{j \omega C_2}}{j \omega L +Z'+\frac{1}{j \omega C_2}}\:=\:\frac{\left(R_1-\omega^2 L C_1 R_1\right)+j \omega L}{\left(1 - \omega^2 L C_2\right) + j\left(\omega R_1 \left(C_1+C_2\right)-\omega^3 L R_1 C_1 C_2 \right)}        \label{colpitts_oscillators_a_0}
\end{equation}

Dalle~(\ref{colpitts_oscillators_a_1}) e~(\ref{colpitts_oscillators_a_2}) otteniamo:

\begin{equation}
v_f\:=\:v'_0 \frac{Z}{Z+R_L}\frac{Z'}{Z'+j \omega L}        \label{colpitts_oscillators_a_4}
\end{equation}
e quindi:

\begin{equation}
\beta\:=\:\frac{v_f}{v'_0}\:=\: \frac{Z Z'}{ZZ'+ j \omega L Z + j \omega L R_L + Z' R_L}    \label{colpitts_oscillators_a_5}
\end{equation}

La condizione $\beta A = 1$ porta allora a:

\begin{equation}
Z Z' A\:=\: ZZ'+ j \omega L Z + j \omega L R_L + Z' R_L    \label{colpitts_oscillators_a_6}
\end{equation}
da cui:
 
\begin{equation}
Z\left(A Z' - Z' - j \omega L\right)\:=\: R_L \left(Z'+ j \omega L \right)    \label{colpitts_oscillators_a_7}
\end{equation}

Questa porta poi a:

\begin{equation}
\frac{1}{Z}\:=\:\frac{A Z'}{R_L\left(Z'+ j \omega L \right)} - \frac{1}{R_L}   \label{colpitts_oscillators_a_8}
\end{equation}

Sostituendo in questa l'espressione di $Z$ data dalla~(\ref{colpitts_oscillators_a_3}), otteniamo:

\begin{eqnarray}
\frac{\left(1 - \omega^2 L C_2\right) + j\omega R_1\left(\left(C_1+C_2\right)-\omega^2 L C_1 C_2 \right)}{R_1\left(1-\omega^2 L C_1\right)+j \omega L}\:= \nonumber \\
=\:\frac{A R_1}{R_L\left(R_1+j \omega L\left(1 + j \omega R_1 C_1\right)\right)} -\frac{1}{R_L}       \label{colpitts_oscillators_a_9}
\end{eqnarray}

Da questa, con facili passaggi, si ottiene poi:

\begin{eqnarray}
R_L \left(1 - \omega^2 L C_2\right) + R_1 \left[\left(1 - \omega^2 L C_1\right)-A\right] + \nonumber \\ 
+j \omega \left[L + R_1 R_L \left(C_1+C_2\right)-\omega^2 R_1 R_L L C_1 C_2\right]\:=\:0       \label{colpitts_oscillators_a_10}
\end{eqnarray}

Imponendo ora la condizione che si annulli il coefficiente dell'unit\`a immaginaria in quest'ultima equazione, otteniamo:

\begin{equation}
\omega^2\:=\:\frac{L + R_1 R_L \left(C_1 + C_2\right)}{R_1 R_L L C_1 C_2}      \label{colpitts_oscillators_a_11}
\end{equation}

Per grandi valori di $R_L$ questa pu\`o esser approssimata con:

\begin{equation}
\omega^2\:=\:\frac{C_1 + C_2}{L C_1 C_2}      \label{colpitts_oscillators_a_12}
\end{equation}

Imponendo che si annulli la parte reale della~(\ref{colpitts_oscillators_a_10}) si trova poi:

\[
A R_1 \:=\: \left(R_L+R_1\right) - \omega^2 L \left(R_1 C_1 + R_L C_2\right)\:=
\]
\[
=\:\left(R_L+R_1\right)-\frac{L + R_1 R_L \left(C_1+C_2\right)}{R_1 R_L C_1 C_2} \left(R_1 C_1 + R_L C_2\right)
\]

Da questa si ottiene poi per il guadagno $A$:

\begin{equation}
A\:=\:\frac{R_L+R_1}{R_1}-\frac{R_1 C_1 + R_L C_2}{R_1}\left[\frac{1}{R_1 R_L C_1 C_2}+\frac{C_1+C_2}{C_1 C_2}\right]     \label{colpitts_oscillators_a_13}
\end{equation}

Il guadagno $A$ dell'amplificatore, dato da $-R_2/R_1$ deve quindi uguagliare quest'espressione se si vuole che sia
soddisfatta la condizione di Barkhausen. In realt\`a, come gi\`a accennato in precedenza, \`e buona regola che
il guadagno abbia un valore superiore a quello richiesto dalla~(\ref{colpitts_oscillators_a_13}).

Sostituendo questa espressione di $A$ nella~(\ref{colpitts_oscillators_a_13}), otteniamo:

\begin{equation}
\frac{R_2}{R_1}\:=\:-\frac{R_L+R_1}{R_1}+\frac{R_1 C_1 + R_L C_2}{R_1}\left[\frac{1}{R_1 R_L C_1 C_2}+\frac{C_1+C_2}{C_1 C_2}\right]     \label{colpitts_oscillators_a_14}
\end{equation}

Abbiamo gi\`a visto che per grandi valori del carico $R_L$ la frequenza angolare di risonanza, il cui quadrato
\`e dato dalla~(\ref{colpitts_oscillators_a_11}), acquista la forma ''standard'' data dalla~(\ref{colpitts_oscillators_a_12}). Possiamo vedere che, in tali condizioni, il vincolo dato dalla~(\ref{colpitts_oscillators_a_14}) acquista una forma molto pi\`u semplice. Dalla~(\ref{colpitts_oscillators_a_14})
infatti si ottiene:

\[
R_2\:=\: -\left(R_L+R_1\right)+\left(R_1 C_1 + R_L C_2 \right) \left[\frac{1}{R_1 R_L C_1 C_2}+\frac{C_1+C_2}{C_1 C_2}\right] 
\]
da cui segue:

\[
\frac{R_2}{R_L}=-1-\frac{R_1}{R_L}+\frac{R_1 C_1 + R_L C_2}{R_L}\left[\frac{1}{R_1 R_L C_1 C_2}+\frac{C_1+C_2}{C_1 C_2}\right]
\]

Da questa, con facili passaggi, si ottiene:

\begin{equation}
\frac{R_2}{R_L}\:=\:\frac{1}{R_L^2C_2} + \frac{1}{C_1 R_1 R_L} + \frac{R_1 C_1}{R_L C_2} + \frac{C_2}{C_1}  \label{colpitts_oscillators_a_neglect}
\end{equation}

Se nel secondo membro di questa espressione possiamo trascurare i termini contenenti $R_L$ a denominatore, otteniamo:


\begin{equation}
\frac{R_2}{R_L}\:=\:\frac{C_2}{C_1}   \label{colpitts_oscillators_a_15}
\end{equation}

Esaminiamo ad esempio il caso in cui sia:

\[
C_1=0.01 \mu F,\;\;\;C_2=0.1 \mu F ,\;\;\;L=100 \mu H,\;\;\;R_1=100 k \Omega,\;\;\;R_2=1 M\Omega,\;\;\;R_L=100 k\Omega
\]
cui corrisponde una frequenza angolare di oscillazione:

\[
\omega\:=\:\sqrt{\frac{C_1 + C_2}{L C_1 C_2}}\:=\:1.049\:10^6\;rad/s
\]

Vediamo che per tale scelta dei valori dei componenti il rapporto $C_2/C_1$ vale 10 ed \`e uguale al rapporto $R_2/R_L$.

\`E anche facile verificare che tali valori dei componenti sono compatibili con la scelta fatta di trascurare alcuni dei termini presenti nella~(\ref{colpitts_oscillators_a_neglect}): in effetti i tre termini trascurati a secondo termine di
tale espressione valgono, nell'ordine $0.001$, $0.01$ e $0.1$.

\subsection{Oscillatori Hartley}

Esaminiamo ora in dettaglio un oscillatore Hartley che fa uso di un operazionale in configurazione invertente. Come nel caso
dell'analogo oscillatore Colpitts, faremo ci\`o tenendo anche conto del carico che l'oscillatore dovr\`a alimentare. Il circuito \`e quello mostrato in figura~\ref{hartley_opamp_oscillator_a}, dove il carico \`e costituito dalla resistenza $R_L$. Una frazione $\beta$ della
tensione $v'_0$ presente all'uscita dell'operazionale \`e la tensione $v_f$ applicata all'ingresso dell'amplificatore.
Il coefficiente di feedback $\beta$ (funzione della frequenza $\omega$) \`e dato dal rapporto $v_f/v'_0$. Il procedimento
che seguiremo sar\`a quello di calcolare $\beta(\omega)$ ed imporre poi la condizione che il prodotto $A \beta(\omega)$
sia uguale ad uno.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/hartley_opamp_oscillator_a.eps,width=7.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore sinusoidale Hartley che fa uso di un amplificatore operazionale in configurazione invertente.} 
\protect\label{hartley_opamp_oscillator_a}
\end{figure}

Il procedimento che seguiremo \`e identico a quello seguito nel caso dell'oscillatore Colpitts. Lo schema equivalente adoperato
per il calcolo del fattore di feedback \`e mostrato in figura~\ref{hartley_opamp_oscillator_b}. Le impedenze $Z'$ e $Z$
sono date da:

\begin{equation}
Z'\:=\:\frac{j \omega L_1 R_1}{R_1+j \omega L_1}\label{hartley_oscillators_a_1}
\end{equation}

\begin{equation}
Z\:=\:\frac{j \omega L_2 \left(\frac{1}{j \omega C}+Z'\right)}{Z'+j \omega L_2 + \frac{1}{j \omega C}}\label{hartley_oscillators_a_2}
\end{equation}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/hartley_opamp_oscillator_b.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Schema equivalente adoperato per calcolare la risposta dell'oscillatore sinusoidale di 
 figura~\ref{hartley_opamp_oscillator_a}. Si \`e tenuto conto del fatto che l'estremit\`a destra della resistenza
 $R_1$ nel circuito iniziale \`e una massa virtuale.} 
\protect\label{hartley_opamp_oscillator_b}
\end{figure}

La tensione di feedback $v_f$ \`e poi data da:

\begin{equation}
v_f\:=\:\frac{v_0 Z'}{Z'+\frac{1}{j \omega C}} \label{hartley_oscillators_a_3}
\end{equation}
dove:

\begin{equation}
v_0\:=\:\frac{v'_0 Z}{Z+R_L} \label{hartley_oscillators_a_4}
\end{equation}

Dalle~(\ref{hartley_oscillators_a_3}) e~(\ref{hartley_oscillators_a_4}) si ottiene poi:

\begin{equation}
v_f\:=\:\frac{v'_0 Z Z'}{\left(Z'+\frac{1}{j \omega C}\right)\left(R_L+Z\right)} \label{hartley_oscillators_a_5}
\end{equation}
da cui si ottiene $\beta$:

\begin{equation}
\beta \:=\: \frac{v_f}{v'_0}\:=\:\frac{Z Z'}{\left(Z'+\frac{1}{j \omega C}\right)\left(R_L+Z\right)} \label{hartley_oscillators_a_6}
\end{equation}

Imponendo ora la condizione $\beta A=1$, si ottiene:

\[
Z Z' A \:=\: R_L Z' + Z Z' + \frac{R_L}{j \omega C} + \frac{Z}{j \omega C}
\]
da cui:

\[
\frac{1}{Z}\:=\:\frac{j \omega C Z'\left(A-1\right)-1}{R_L\left(1+j\omega  C Z'\right)}
\]

Il calcolo del medesimo rapporto, effettuato a partire dalle~(\ref{hartley_oscillators_a_1}) e~(\ref{hartley_oscillators_a_2}), porta a:

\[
\frac{1}{Z}\:=\:\frac{1+j\omega C Z'-\omega^2 L_2 C}{j \omega L_2\left(1+j\omega C Z'\right)}
\]

Uguagliando queste due espressioni di $1/Z$ troviamo:

\[
\omega^2 L_2 C \left[R_L-Z'\left(A-1\right)\right]-R_L\:=\:j \omega \left(R_L C Z' + L_2\right)
\]

Sostituendo in questa l'espressione di $Z'$ data dalla~(\ref{hartley_oscillators_a_1}) troviamo, dopo semplici passaggi:

\begin{eqnarray}
j \omega^3\left[C R_L L_1 L_2 - C R_1 L_1 L_2 \left(A-1\right)\right] & + & \nonumber \\
\omega^2 \left[C R_1 R_L L_2 + C R_1 R_L L_1 + L_1 L_2\right] & - & \nonumber \\
j \omega \left[L_1 R_L + R_1 L_2\right] & - & \nonumber \\
R_L R_1 \:=\: 0  \label{hartley_oscillators_a_7}
\end{eqnarray}

Imponendo ora che si annulli la parte reale di questa, otteniamo:

\begin{equation}
\omega^2\:=\:\frac{R_L R_1}{C R_1 R_L \left(L_1+L_2\right)+L_1 L_2}\:=\:\frac{1}{C\left(L_1+L_2\right)+\frac{L_1 L_2}{R_1 R_L}}  \label{hartley_oscillators_a_8}
\end{equation}

Per $C\left(L_1+L_2\right) \gg L_1 L_2/\left(R_1 R_L\right)$, otteniamo da questa:

\begin{equation}
\omega^2\:=\:\frac{1}{C \left(L_1+L_2\right)}  \label{hartley_oscillators_a_9}
\end{equation}
identica alla~(\ref{lcoscillators_b_10}) della precedente sezione.

Imponendo che si annulli la parte immaginaria della~(\ref{hartley_oscillators_a_7}), troviamo poi:

\[
\omega^2 C L_1 L_2 \left[R_L-R_1\left(A-1\right)\right]\:=\:R_L L_1 + R_1 L_2
\]
sostituendo in questa l'espressione di $\omega^2$ data dalla~(\ref{hartley_oscillators_a_9}) e facendo uso dell'espressione
del guadagno dell'amplificatore: $A=-R_2/R_1$ troviamo poi:

\[
\omega^2 C L_1 L_2 \left(R_L + R_1 + R_2\right)\:=\:\frac{1}{L_1+L_2} L_1 L_2 \left(R_L + R_1 + R_2\right) \:=\:R_L L_1 + R_1 L_2
\]
da cui segue:

\[
R_2 L_1 L_2 \:=\:R_L L_1^2 + R_1 L_2^2
\]

Se in questa equazione il secondo termine a secondo membro pu\`o esser trascurato rispetto al primo, da questa
segue poi:

\begin{equation}
\frac{R_2}{R_L}\:=\:\frac{L_1}{L_2}     \label{hartley_oscillators_a_10}
\end{equation}

\subsection{Oscillatori LC a transistor}

Esaminiamo ora alcuni esempi di oscillatori $LC$ a transistor, inziando dall'oscillatore Colpitts di figura~\ref{colpitts_transistor_osci}. Esaminiamo alcune caratteristiche di questo circuito. L'effetto del condensatore di emettitore $C_e$ \`e quello di far s\`i che l'emettitore
sia a massa per il segnale. La tensione oscillante nel circuito $LC$ \`e inviata, come segnale di feedback, alla base del transistor attraverso
il condensatore d'accoppiamento $C_c$. La presenza dell'induttanza $L_c$  sul collettore impedisce che la componenente variabile venga
cortocircuitata a massa attraverso l'alimentatore. Tale induttanza \`e spesso presente in questo tipo di oscillatori, ed \`e nota in gergo
come ''choke''.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/colpitts_transistor_osci.eps,width=9.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore Colpitts a transistor. Il circuito di polarizzazione di base \`e stato schematizzato tramite la
resistenza $R_b$ in serie con un alimentatore $V_{bb}$. L'induttanza $L_c$ \`e utilizzata per far s\`i che il
segnale oscillante presente sul collettore non venga ''cortocircuitato'' a massa attraverso l'alimentazione $V_{cc}$.
I condensatori $C_c$ e $C_e$ saranno scelti di valore abbastanza elevato da poter esser considerati dei corto circuiti.} 
\protect\label{colpitts_transistor_osci}
\end{figure}

Il circuito equivalente adoperato per calcolare la frequenza d'oscillazione \`e quello di figura~\ref{colpitts_transistor_osci_equiv}. Il transistor \`e descritto attraverso i parametri $h_{ie}$ ed $h_{fe}$
del modello a parametri $h$. I restanti parametri $h_{re}$ ed $h_{oe}$ sono stati trascurati.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/colpitts_transistor_osci_equiv.eps,width=9.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente adoperato per calcolare la frequenza d'oscillazione dell'oscillatore Colpitts
a transistor di figura~\ref{colpitts_transistor_osci}. La configurazione \`e quella di un ''emettitore comune''.
Il segnale presente ai capi del condensatore $C_2$ costituisce il segnale di feedback inviato alla
base del transistor.} 
\protect\label{colpitts_transistor_osci_equiv}
\end{figure}

Con riferimento alle correnti indicate nel circuito equivalente, avremo:

\begin{eqnarray}
i_1\:&=&\:i_c+i_L   \nonumber \\
i\:&=&\:i_L+i_2       \label{colpitts_transistor_equation_1}
\end{eqnarray}
dove:
\[
i_c\:=\:h_{fe} i_b
\]
da queste si ottiene:

\begin{equation}
i_L\:=\:i_1-h_{fe} i_b     \label{colpitts_transistor_equation_2}
\end{equation}

Indicando inoltre con $v_1$ la tensione su $C_1$ e con $v_2$ quella su $C_2$, la~(\ref{colpitts_transistor_equation_2}) porta a:

\begin{equation}
i_L\:=\:-v_1 s C_1 - h_{fe} i_b    \label{colpitts_transistor_equation_3}
\end{equation}
mentre \`e anche:

\begin{equation}
i_2\:=\:-v_2 s C_2    \label{colpitts_transistor_equation_4}
\end{equation}

La corrente $i_L$ \`e anche esprimibile come:

\begin{equation}
i_L\:=\:\frac{v_1-v_2}{s L}   \label{colpitts_transistor_equation_5}
\end{equation}
da cui:

\begin{equation}
\frac{v_1}{s L}\:=\:s L i_L + v_2   \label{colpitts_transistor_equation_6}
\end{equation}

Dall'ultima equazione, insieme alla~(\ref{colpitts_transistor_equation_3}),  otteniamo:

\begin{equation}
i_L\:=\:-\left(s L i_L + v_2\right) s C_1 - h_{fe} i_b  \label{colpitts_transistor_equation_7}
\end{equation}
da cui:

\begin{equation}
i_L\left(1+s^2 L C_1\right) \:=\:-\left(s C_1 v_2 + h_{fe} i_b\right)\:=\: i_2 \frac{C_1}{C_2} - h_{fe} i_b  \label{colpitts_transistor_equation_8}
\end{equation}
dove si \`e fatto uso della~(\ref{colpitts_transistor_equation_4}).

Da questa otteniamo:

\begin{equation}
i_L\:=\:\frac{i_2\left(C_1/C_2\right) - h_{fe} i_b}{1 + s^2 L C_1}  \label{colpitts_transistor_equation_9}
\end{equation}

La~(\ref{colpitts_transistor_equation_1}) porta allora a:

\begin{eqnarray}
i\:=\:i_L+i_2\:=\:i_2\left[1+\frac{C_1/C_2}{1+s^2 L C_1}\right]-\frac{h_{fe} i_b}{1+s^2 L C_1}\:= \nonumber \\
\:=\:-v_2 s C_1\left[1+\frac{C_1/C_2}{1+s^2 L C_1}\right]-\frac{h_{fe} i_b}{1+s^2 L C_1} \label{colpitts_transistor_equation_10}
\end{eqnarray}

La tensione $v_2$ \`e uguale a quella $v_b$ sulla base. Il rapporto tra $i$ e la corrente che entra in base $i_b$
\`e dato da:

\begin{equation}
\frac{i}{i_b}\:=\:\frac{h_{ie}}{R_b\parallel h_{ie}}\:=\:\frac{R_b+h_{ie}}{R_b}  \label{colpitts_transistor_equation_11}
\end{equation}

\`E anche:

\[
v_b\:=\:h_{ie} i_b
\]

Sostituendo questa nella~(\ref{colpitts_transistor_equation_10}), otteniamo:

\begin{equation}
i\:=\:=\:-h_{ie} i_b s C_1\left[1+\frac{C_1/C_2}{1+s^2 L C_1}\right]-\frac{h_{fe} i_b}{1+s^2 L C_1} \label{colpitts_transistor_equation_12}
\end{equation}
da cui:

\begin{equation}
i\:=\:-i_b\frac{\left[h_{ie} s C_1 + h_{ie} s^3 L C_1^2 + h_{ie} s \frac{C_1^2}{C_2}+h_{fe}\right]}{1+s^2 L C_1} \label{colpitts_transistor_equation_13}
\end{equation}

Il fattore di feedback $\beta$ pu\`o, in questo schema, esser definito in termini di un rapporto tra correnti: la corrente
di feedback $i$ e quella d'ingresso $i_b$. Otteniamo allora:

\begin{equation}
\beta\:=\:\frac{i}{i_b}\:=\:\frac{-h_{ie} C_1\left[s^3 L C_1 + s \left(1+\frac{C_1}{C_2}\right)\right]-h_{fe}}{1+s^2 L C_1} \label{colpitts_transistor_equation_14}
\end{equation}

Il guadagno di maglia pu\`o ora essere espresso come il prodotto di $\beta$ per il ''guadagno'' associato
al nodo d'ingresso, dato dal rapporto tra $i_b$ ed $i$. Ponendo quindi:
\[
A \equiv i_b/i
\]
e facendo uso della~(\ref{colpitts_transistor_equation_11}), otteniamo:

\begin{equation}
A\:=\:\frac{i_b}{i}\:=\:\frac{R_b}{R_b+h_{ie}} \label{colpitts_transistor_equation_15}
\end{equation}

Facciamo ora uso delle~(\ref{colpitts_transistor_equation_14}) e~(\ref{colpitts_transistor_equation_15}) per ottenere
il prodotto $\beta A$ ed imponiamo che questo valga 1. Otteniamo:

\begin{equation}
\left(1+s^2 L C_1\right)\left(R_b+h_{ie}\right)\:=\:- R_b h_{ie} C_1\left[s^3 L C_1 + s \left(1+\frac{C_1}{C_2}\right)\right]-R_b h_{fe} \label{colpitts_transistor_equation_16}
\end{equation}

Ponendo ora $s=j \omega$, questa fornisce:

\begin{equation}
\left(1-\omega^2 L C_1\right)\left(R_b+h_{ie}\right)\:=\: R_b h_{ie} C_1\left[j \omega^3 L C_1 - j\omega \left(1+\frac{C_1}{C_2}\right)\right]-R_b h_{fe} \label{colpitts_transistor_equation_17}
\end{equation}

La somma dei termini immaginari in questa equazione fornisce:


\begin{equation}
R_b h_{ie} L C_1^2 \omega^2\:=\:R_b h_{ie} C_1 \left(1+\frac{C_1}{C_2}\right) \label{colpitts_transistor_equation_18}
\end{equation}
da cui si ottiene facilmente:

\begin{equation}
\omega^2\:=\:\frac{C_1+C_2}{L C_1 C_2} \label{colpitts_transistor_equation_19}
\end{equation}

La parte reale della~(\ref{colpitts_transistor_equation_17}) fornisce poi:

\begin{equation}
\left(1-\omega^2 L C_1\right) \left(R_b+h_{ie}\right)\:=\: -R_b h_{fe} \label{colpitts_transistor_equation_20}
\end{equation}
da cui, sostituendo l'espressione fornita dalla~(\ref{colpitts_transistor_equation_19}) per $\omega^2$ segue:

\begin{equation}
\frac{C_1}{C_2}\left(R_b+h_{ie}\right)\:=\:R_b h_{fe} \label{colpitts_transistor_equation_21}
\end{equation}

Se poi \`e $R_b \gg h_{ie}$, si ottiene infine:

\begin{equation}
h_{fe} \:=\:\frac{C_1}{C_2}\label{colpitts_transistor_equation_22}
\end{equation}
che \`e al solito da intendersi come una disuguaglianza.

Passiamo ora ad esaminare un oscillatore Hartley a transistor, quale quello mostrato in figura~\ref{hartley_transistor_osci}. Il condensatore $C_2$
sar\`a normalmente scelto di valore sufficientemente elevato da poter esser considerato un corto circuito alle frequenze d'interesse. La resistenza
di polarizzazione di base $R_1$ pu\`o esser considerata un circuito aperto per il segnale. Inoltre, la resistenza di polarizzazione sul
collettore $R_2$ sar\`a in genere di valore sufficientemente piccolo da poter essere ignorata, con che la configurazione adottata diviene
quella di \emph{collettore comune}. 


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/hartley_transistor_osci.eps,width=6.0 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore Hartley a transistor. La polarizzazione di base \`e fornita dalla
resistenza $R_1$. Il condensatore $C_2$ andr\`a scelto di valore abbastanza elevato da poter esser considerato un corto circuito.} 
\protect\label{hartley_transistor_osci}
\end{figure}

Se ignoriamo tutte le resistenze di polarizzazione, l'alimentazione ed il condensatore $C_2$, il circuito
si semplifica nel modo mostrato in figura~\ref{hartley_transistor_osci_equi_a}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/hartley_transistor_osci_equi_a.eps,width=6.0 cm,
height=7.2 cm}}\end{center}
\caption{Schema semplificato dell'oscillatore Hartley a transistor. Sono state omesse le resistenze
di polarizzazione e l'alimentazione.} 
\protect\label{hartley_transistor_osci_equi_a}
\end{figure}


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/hartley_transistor_osci_equi_b.eps,width=6.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Schema semplificato dell'oscillatore Hartley a transistor, ottenuto da quello di figura~\ref{hartley_transistor_osci_equi_a}
sostituendo l'induttanza L con un trasformatore.} 
\protect\label{hartley_transistor_osci_equi_b}
\end{figure}

L'induttanza $L$, nell'ipotesi di uno stretto accoppiamento tra le spire, pu\`o esser assimilata ad un autotrasformatore, come mostrato in
figura~\ref{hartley_transistor_osci_equi_a}. In tale autotrasformatore le spire del primario sono quelle ($n_1$) comprese tra i nodi
b e c; quelle del secondario sono tutte le spire dell'induttanza ($n_1+n_2$). Possiamo allora semplificare ulteriormente il circuito,
sostituendo all'autotrasformatore un normale trasformatore, come mostrato in figura~\ref{hartley_transistor_osci_equi_b}.
Il trasformatore ha $n_1$ spire primarie ed $n_1+n_2$ spire secondarie.

Facciamo ora uso del modello a parametri h per descrivere il funzionamento del transistor, Nella configurazione adottata, di collettore
comune, i parametri rilevanti sono $h_{ic}$ ed $h_{fc}$ (trascurando gli altri due parametri $h_{oc}$ ed $h_{rc}$). Il circuito diviene allora
quello di figura~\ref{hartley_transistor_osci_equi_c}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/hartley_transistor_osci_equi_c.eps,width=7.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Schema equivalente adoperato per il calcolo della frequenza d'oscillazione dell'oscillatore Hartley a transistor, 
ottenuto da quello di figura~\ref{hartley_transistor_osci_equi_b}. Si \`e fatto uso del modello a parametri h del transistor per la
configurazione collettore-comune.} 
\protect\label{hartley_transistor_osci_equi_c}
\end{figure}

Adottiamo ora la tecnica discussa nel primo capitolo, di \emph{riflettere} i componenti connessi al primario del trasformatore nel circuito
del secondario. Nel nostro caso, l'unico componente connesso al primario \`e il generatore di corrente $h_{fc} i_b$. Il circuito si semplifica
allora ulterioremente in quello di figura~\ref{hartley_transistor_osci_equi_d}, dove il suddetto generatore \`e stato moltiplicato per il fattore
$n_1/(n_1+n_2)$ ed inserito nel circuito secondario (cio\`e in parallelo ad $L-C$ ed alla resistenza $h_{ic}$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/hartley_transistor_osci_equi_d.eps,width=8.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Schema semplificato ottenuto da quello di figura~\ref{hartley_transistor_osci_equi_c}. Si \`e fatto uso del modello a parametri h del transistor per la
configurazione collettore-comune.} 
\protect\label{hartley_transistor_osci_equi_d}
\end{figure}

L'ammettenza del parallelo dei tre componenti $C$, $L$ ed $1/h_{ie}$ \`e data da:

\begin{equation}
Y\:=\:sC+\frac{1}{h_{ic}}+\frac{1}{sL} \:=\:\frac{s^2 L C h_{ic}  + s L + h_{ic}}{s L h_{ic}}   \label{hartley_transistor_equation_1}
\end{equation}

Con ci\`o la differenza di potenziale ai loro capi \`e:

\begin{equation}
V\:=\:\frac{I}{Y}    \label{hartley_transistor_equation_2}
\end{equation}
dove:
\[
I\:=\:h_{fc} \frac{n_1}{n_1+n_2} i_b
\]

La corrente in $h_{ic}$ \`e quindi:

\begin{equation}
i_b\:=\:\frac{V}{h_{ic}}\:=\:\frac{h_{fc} n_1/(n_1+n_2) i_b}{h_{ic}} \frac{1}{Y}\:=\:\frac{h_{fc} n_1/(n_1+n_2) s L}{s^2 L C h_{ic}+ s L  +h_{ic}} i_b    \label{hartley_transistor_equation_3}
\end{equation}

Da questa si ottiene poi (per $i_b \ne 0$):

\begin{equation}
s^2 L C h_{ic}+ s L \left[1-h_{fc} \frac{n_1}{n_1+n_2}\right] + h_{ic} \:=\:0    \label{hartley_transistor_equation_4}
\end{equation}

Poniamo ora $s=j \omega$ ed imponiamo che si annulli la parte reale della~(\ref{hartley_transistor_equation_4}), ottenendo:


\begin{equation}
\omega^2\:=\:\frac{1}{LC}  \label{hartley_transistor_equation_5}
\end{equation}

Imponendo invece che si annulli la parte immaginaria otteniamo:

\begin{equation}
h_{fc}\:=\:1+\frac{n_2}{n_1}  \label{hartley_transistor_equation_6}
\end{equation}
e, tenendo conto del fatto che \`e: $h_{fc}=h_{fe}+1$:

\begin{equation}
h_{fe}\:=\:\frac{n_2}{n_1}  \label{hartley_transistor_equation_7}
\end{equation}
da intendersi, al solito, come una disuguaglianza.

In figura~\ref{hartley_transistor_microcap_circuit} \`e mostrato un oscillatore Hartley del tipo appena descritto. I valori scelti per
i componenti sono indicati nella figura e sono tali da fornire una frequenza d'oscillazione di 7.12~kHz. La simulazione effettuata facendo
uso della versione DEMO del programma MICROCAP8 porta al risultato mostrato in figura~\ref{hartley_transistor_microcap_out_1}. Nella
figura \`e riportato l'andamento della tensione ai capi del circuito oscillante $LC$ nei primi 10~ms dall'avvio. Si vede come l'oscillazione
parta con ampiezza molto ridotta, per poi crescere fino ad un valore di diversi Volt e quindi stabilizzarsi.
In figura~\ref{hartley_transistor_microcap_out_2} \`e invece mostrato in dettaglio l'andamento del segnale quando questo si \`e stabilizzato.
Si vede dalla figura che la frequenza d'oscillazione \`e in effetti all'incirca uguale a quella attesa.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/hartley_transistor_microcap_circuit.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Esempio di oscillatore Hartley a transistor. Sono indicati i valori dei componenti adoperati per effettuare la simulazione
con MICROCAP} 
\protect\label{hartley_transistor_microcap_circuit}
\end{figure}



\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/hartley_transistor_microcap_out_1.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Risultato della simulazione del circuito di figura~\ref{hartley_transistor_microcap_circuit}. La forma d'onda mostrata \`e quella
ai capi del circuito $LC$, nei primi 10 ms. La simulazione \`e stata effettuata facendo uso della versione DEMO del programma MICROCAP.} 
\protect\label{hartley_transistor_microcap_out_1}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/hartley_transistor_microcap_out_2.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Risultato della simulazione del circuito di figura~\ref{hartley_transistor_microcap_circuit}. La forma d'onda mostrata \`e quella
ai capi del circuito $LC$ in regime stazionario (tra 16 e 18 ms). La simulazione \`e stata effettuata facendo uso della versione DEMO del programma MICROCAP.} 
\protect\label{hartley_transistor_microcap_out_2}
\end{figure}


\section{Oscillatori al quarzo}

I circuiti oscillanti realizzati utilizzando componenti induttivi o capacitivi, se da un lato possono raggiungere frequenze relativamente
elevate, offrono per\`o una modesta stabilit\`a in frequenza, legata al fatto che perdite ohmiche nell'induttanza fanno s\`i che il massimo
Q raggiungibile non superi alcune centinaia.

Valori di Q decisamente pi\`u elevati e di conseguenza stabilit\`a in frequenza non ottenibili con circuiti convenzionali, sono raggiungibili
facendo uso di cristalli piezoelettrici, tipicamente di quarzo. Questi consentono di ottenere valori di Q che vanno da alcune decine di
migliaia fino a quasi $10^6$, consentendo stabilit\`a in frequenza altrimenti impensabili, e frequenze fino a centinaia di Mhz.

La piezoelettricit\`a \`e quel fenomeno in virt\`u del quale se una lamina, opportunamente ''tagliata'', di cristallo, viene compressa in una certa direzione, si sviluppa al suo interno una separazione di cariche, e nasce di conseguenza un campo elettrico, in una direzione
perpendicolare a quella di compressione. L'effetto opposto \`e altres\`i  presente: se tra due facce opposte di una lamina del cristallo
viene applicata una certa differenza di potenziale, nascono all'interno della lamina delle intense forze che possono, a seconda
dei casi, cambiarne lo spessore, la larghezza o causare flessioni. Se la differenza di potenziale \`e alternata essa induce nella lamina
delle oscillazioni meccaniche. Essendo le perdite per attriti interni praticamente assenti, se ne ha che le oscillazioni meccaniche che
ne risultano hanno un bassissimo coefficiente di smorzamento. Se poi la frequenza della tensione sinusoidale applicata \`e uguale alla
frequenza propria di vibrazione meccanica della lamina, si avr\`a una risonanza. Tale risonanza sar\`a caratterizzata da un valore di Q estremamente elevato, a causa del bassissimo livello delle perdite nel cristallo. La stabilit\`a in frequenza, elevatissima, \`e normalmente
espressa in parti per milione (ppm).

Il fenomeno della piezoelettricit\`a e del suo inverso, furono scoperti da Pierre e Jacques Curie nel 1880. Trascorsero per\`o diversi anni
prima che se ne vedessero applicazioni pratiche: tra queste ricorderemo la produzione di segnali sonori monocromatici di alta frequenza, attraverso l'utilizzo di lastre di quarzo eccitate da tensioni sinusoidali. Nel 1917 Paul Langevin invent\`o, con l'utilizzo di tale
strumento, il \emph{sonar} per la rivelazioni di sottomarini. Cristalli piezoelettrici furono utilizzati nelle prime radio attorno al
1920 e poi dalla Motorola, per la produzione di ricetrasmettitori in grado di operare in condizioni estreme di temperatura, tra il 1935
ed il 1940.

Pur costituendo il quarzo ($Si O_2$) circa il $14 \%$ del materiale della crosta terrestre, non \`e frequente trovarlo in forma di cristalli
e, anche in tal caso, non sempre sotto forma di cristalli adatti all'utilizzo negli oscillatori. Cristalli che posseggono le caratteristiche
volute sono prodotti industrialmente, attraverso processi di crescita a partire da opportuni ''semi'' in apposite autoclavi. Un tipico cristallo
si presenta come mostrato in figura~\ref{xtal_crystal_structure}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/xtal_crystal_structure.eps,width=7.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Struttura cristallografica di un tipico quarzo.} 
\protect\label{xtal_crystal_structure}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/xtal_crystal_structure_cut.eps,width=8.0 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Schema dei diversi modi in cui un cristallo di quarzo pu\`o esser tagliato per ottenere una lamina adatta a realizzare
un oscillatore.} 
\protect\label{xtal_crystal_structure_cut}
\end{figure}

Per ottenere lamine adatte ad esser adoperate in oscillatori, il cristallo viene tagliato secondo opportune direzioni, riferite agli
assi cristallografici, come mostrato in figura~\ref{xtal_crystal_structure_cut}. A seconda della direzione si ottengono cristalli le cui vibrazioni meccaniche possono essere di tipo ''flessorio'',
''longitudinale'', ''di deformazione superficiale'' o ''di taglio''. Tipici modi di vibrazione sono mostrati nelle figure~\ref{xtal_modi_flessionale_estensionale} e~\ref{xtal_modi_scorrimento}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/xtal_modi_flessionale_estensionale.eps,width=9.0 cm,
height=3.0 cm}}\end{center}
\caption{Modi di vibrazione flessorio (sinistra) e longitudinale (destra) di una lamina di quarzo.} 
\protect\label{xtal_modi_flessionale_estensionale}
\end{figure} 

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/xtal_modi_scorrimento.eps,width=9.0 cm,
height=3.0 cm}}\end{center}
\caption{Modi di vibrazione di deformazione superficiale (sinistra) e di taglio (destra) di una lamina di quarzo.} 
\protect\label{xtal_modi_scorrimento}
\end{figure} 

Ai diversi modi corrispondono poi diversi campi di frequenza. Al modo flessorio corrispondono frequenze comprese tra 0.4 e 100~kHz; al modo
longitudinale frequenze comprese tra 40~kHz e~15~MHz; al modo di~taglio frequenze comprese tra~100~kHz e~125~MHz.


Il taglio di gran lunga pi\`u utilizzato \`e quello noto come ''AT'', poich\`e \`e quello che offre una minore dipendenza della frequenza di
oscillazione dalla temperatura ed il pi\`u ampio campo di frequenze. Questo taglio \`e disponibile, ad esempio, in cristalli prodotti dalla Cal Crystal Lab. a frequenze che vanno
da circa 1 MHz a 29 MHz nella frequenza fondamentale e fino a circa 180 MHz nelle ''overtone''. Esiste un'ampia variet\`a di produttori
di cristalli, come anche di oscillatori basati su cristalli.

La frequenza $\nu$ della vibrazione fondamentale \`e legata allo spessore $d$ della lamina prodotta, dalla relazione:
\[
d(mm)\:=\:\frac{1660}{\nu (kHz)}
\]
Ad esempio, per ottenere una frequenza di 1~MHz occorre uno spessore di 1.66~mm.


Un cristallo \`e progettato per operare nel suo modo fondamentale o in uno dei modi ''overtone''. I modi overtone sono l'analogo delle armoniche, con la differenza che essi non occorrono a multipli interi della frequenza fondamentale, ma a multipli che differiscono, spesso di poco, da interi. Nel caso dei cristalli di quarzo, la particolare struttura molecolare f\`a s\`i che gli overtone pari siano assenti. Gli overtone occorrono a frequenze prossime a multipli dispari della frequenza fondamentale. 

In elettronica un cristallo si dice ''overtone'' se ha lo spessore che corrisponde alla frequenza fondamentale, ma ha il massimo della sua 
attivit\`a ad una frequenza overtone. \`E possibile costruire cristalli overtone modificando l'angolo di taglio, la finitura e curvatura
della superficie.

Per esempio un cristallo la cui frequenza fondamentale sia 15 MHz osciller\`a anche a circa 45~MHz sul terzo overtone,
a circa 75~MHz sul quinto, a circa 105~MHz sul settimo, etc..Un esempio \`e un particolare cristallo che ha la frequenza fondamentale a 15~MHz;
questo ha il terzo overtone a 45.020949~MHz, il quinto a 75.041899~MHz, etc..

L'utilizzo di cristalli overtone \`e utile poich\`e esso consente di lavorare con lamine non eccessivamente sottili (e quindi fragili) quali
sarebbero necessarie se si volesse realizzare un cristallo avente la fondamentale ad una frequenza elevata.

Un tipico quarzo \`e costituito da una lamina di cristallo piezoelettrico sulle cui due facce sono stati depositati due elettrodi metallici, come 
mostrato in figura~\ref{xtal_structure}. Il simbolo adoperato in elettronica per tale quarzo \`e mostrato in figura~\ref{quartz_crystal_symbol}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/xtal_structure.eps,width=6.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Schema che illustra in modo sommario il montaggio di un cristallo di quarzo tra i due contatti metallici. In realt\`a i montaggi
adoperati sono alquanto pi\`u complessi.} 
\protect\label{xtal_structure}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/quartz_crystal_symbol.eps,width=4.0 cm,
height=3 cm}}\end{center}
\caption{Simbolo adoperato in elettronica per un quarzo.} 
\protect\label{quartz_crystal_symbol}
\end{figure}

Una caratteristica di grande importanza \`e la dipendenza della frequenza di risonanza dalla temperatura. Andamenti tipici delle deviazioni (in ppm) della frequenza da quella misurata a $27\,^oC$ sono mostrati in figura~\ref{xtal_at_cut_temperature_dependence}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/xtal_at_cut_temperature_dependence.eps,width=11.0 cm,
height=8.5 cm}}\end{center}
\caption{Deviazioni (in ppm) della frequenza di risonanza di un cristallo AT da quella misurata a $T=27\,^oC$ in funzione della temperatura. Le tre diverse curve si riferiscono
a tagli che differiscono da quello standard AT di pochi secondi d'arco.} 
\protect\label{xtal_at_cut_temperature_dependence}
\end{figure}

Le propriet\`a elettriche di un quarzo possono esser analizzate facendo uso di un circuito equivalente quale quello mostrato in figura~\ref{quartz_crystal_equiv}. Tale circuito equivalente pu\`o esser adoperato per definire in maniera esatta il comportamento elettrico
del cristallo, ed \`e adoperato nella progettazione matematica di alcuni tipi di cristalli prima che essi vengano prodotti.

L'induttanza $L$ corrisponde, in termini fisici, alla massa inerziale del cristallo; la capacit\`a $C$ all'elasticit\`a e la resistenza $R$ alle perdite
per attriti interni. La capacit\`a $C_0$ \`e quella tra gli elettrodi esterni. Un tipico cristallo potrebbe avere $L=2\;H$, $C=10\;fF$,
$R=50 \;\Omega$. Il valore di $C_0$ \`e normalmente molto maggiore di $C$. Un tale cristallo avrebbe una frequenza d'oscillazione $f=1/(2 \pi \sqrt{LC})=1.125\;MHz$ ed un valore di $Q=\omega L/R\:=\:141,400$, cui corrisponde una larghezza del picco di risonanza di appena $8\;Hz$.
Il cristallo HC49U ha $C_0=5.5\;pF$, $C=20.8\;fF$, $L=3.1\;mH$, $R=6.1\;\Omega$. A questi valori corrisponde una frequenza di risonanza $f=19.82\;MHz$ ed un $Q=65,600$.

Analizziamo in dettaglio il circuito equivalente di figura.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/quartz_crystal_equiv.eps,width=8.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente adoperato comunemente per descrivere le caratteristiche elettriche di un cristallo di quarzo.} 
\protect\label{quartz_crystal_equiv}
\end{figure}

L'impedenza del circuito equivalente \`e data dal parallelo tra quella $Z_s$ del ramo $LCR$ e quella associata a $C_0$. Avremo quindi:

\begin{equation}
Z\:=\:Z_s \parallel Z_{C_0}\:=\:\frac{Z_s Z_{C_0}}{Z_s+Z_{C_0}}    \label{crystal_oscillators_equation_1}
\end{equation}
dove:
\[
Z_s\:=\:R+\frac{1}{sC}+sL
\]
\[
Z_{C_0}\:=\:\frac{1}{s C_0}
\]

Da queste equazioni si ottiene:

\begin{equation}
Z(s)\:=\:\frac{s^2 LC + s CR + 1}{\left(s^2 LC + s RC +1\right)s C_0 + s C}    \label{crystal_oscillators_equation_2}
\end{equation}

Ponendo in questa $s=j \omega$ troviamo:

\begin{equation}
Z(\omega)\:=\:\frac{1 - \omega^2 LC + j \omega RC}{C_0\left[-j \omega^3 LC - \omega^2 RC + j \omega \right] + j \omega C}    \label{crystal_oscillators_equation_3}
\end{equation}

Se in questa ammettiamo di poter trascurare $R$, otteniamo:

\begin{equation}
Z(\omega)\:=\:\frac{1 - \omega^2 LC}{j \omega C_0\left[1 - \omega^2 LC \right] + j \omega C}\:=\:\frac{1 - \omega^2 LC}{j \omega C_0 \left[\frac{C_0+C}{C_0} - \omega^2 LC \right]}    \label{crystal_oscillators_equation_4}
\end{equation}

Dividendo in questa numeratore e denominatore per $LC$:

\begin{equation}
Z(\omega)\:=\:\frac{\frac{1}{LC} - \omega^2}{j \omega C_0 \left[\frac{C_0+C}{C_0 LC } - \omega^2\right]}    \label{crystal_oscillators_equation_5}
\end{equation}


Poniamo ora:

\[
\omega_s\:=\:\frac{1}{\sqrt{LC}}
\]

\[
\omega_p\:=\:\sqrt{\frac{C_0+C}{C_0 L C}}
\]
dove \`e immediato verificare che \`e sempre $\omega_s < \omega_p$ e che la differenza tra le due \`e sempre estremamente piccola, tenendo conto dei valori tipici dei componenti.

Con ci\`o la~(\ref{crystal_oscillators_equation_5}) diventa:

\begin{equation}
Z(\omega)\:=\:\frac{\omega_s^2 - \omega^2}{j \omega C_0 \left(\omega_p^2 - \omega^2\right)}    \label{crystal_oscillators_equation_6}
\end{equation}

La~(\ref{crystal_oscillators_equation_6}) ha uno zero per $\omega=\omega_s$, un polo per $\omega=\omega_p$.

\`E immediato verificare che l'impedenza \`e di tipo capacitivo per:

\[
\frac{\omega_s^2 - \omega^2}{\omega_p^2 - \omega^2}\: > \:0
\]
cio\`e per $\omega < \omega_s$ e per $\omega > \omega_p$. Invece essa \`e di tipo induttivo per $\omega$ compreso nell'intervallo $\omega_s \div \omega_p$.

L'andamento di $Z$ in funzione di $\omega$ \`e qualitativamente illustrato in figura~\ref{xtal_lcr_impedance}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/xtal_lcr_impedance.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Andamento qualitativo dell'impedenza associata al circuito equivalente di figura~\ref{quartz_crystal_equiv} in funzione di $\omega$.
Si noti che il grafico \`e stato fortemente espanso lungo l'asse $\omega$ e che in realt\`a le due frequenze angolari $\omega_s$ ed $\omega_p$
differiscono pochissimo.} 
\protect\label{xtal_lcr_impedance}
\end{figure}

Alle frequenze:
\[
f_s\:=\:\frac{\omega_s}{2 \pi}\:=\:\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}
\]
\[
f_p\:=\:\frac{\omega_p}{2 \pi}\:=\:\frac{1}{2 \pi \sqrt{\frac{C_0+C}{C_0 L C}}}
\]
si d\`a rispettivamente il nome di \emph{frequenza di risonanza serie} e \emph{frequenza di risonanza parallelo}. 


Vediamo che l'impedenza si annulla per $\omega=\omega_s$ e rimane molto piccola nella zona appena al di sopra di $\omega_s$. In pratica, tenendo conto anche di $R$, vediamo che per di $\omega=\omega_s$ essa acquista
un valore minimo. Ci si riferisce ad un cristallo adoperato in tale zona come un utilizzo nel \emph{modo serie}. Se si lavora invece nella zona
compresa tra $\omega_s$ e $\omega_p$, in cui l'impedenza \`e di tipo induttivo, si dice che si utilizza il cristallo nel \emph{modo parallelo}.
Il motivo di tali denominazioni \`e nel fatto che nel primo caso l'impedenza \`e sostanzialmente determinata dalla ''gamba'' $LCR$, nel secondo
caso essa \`e determinata dal parallelo tra tale gamba e quella contenente $C_0$.

Nella pratica \`e conveniente lavorare nel modo parallelo, dove l'induttanza, di tipo induttivo, ha una forte dipendenza da $\omega$ ed il
cristallo offre quindi un'ottima stabilit\`a in frequenza.
Nelle relazioni precedenti abbiamo trascurato l'effetto della resistenza $R$. \`E facile verificare che tenendone conto le espressioni di
$\omega_s$ ed $\omega_p$ differiscono poco da quelle date e che il $Q$ del circuito \`e dato da:
\begin{equation}
Q\:=\:\omega_p \frac{L}{R} \approx \omega_s \frac{L}{R}  \label{crystal_oscillators_equation_7}
\end{equation}

Esamineremo nella prossima sezione alcuni esempi di oscillatori al quarzo, operanti nei due modi ora descritti.



\subsection{Esempi di oscillatori al quarzo}

Come accennato, un oscillatore che adoperi il quarzo nel ''modo serie'', lavora alla frequenza $f_s$, dove l'impedenza, di tipo resistivo, diventa
estremamente piccola. In tali circuiti non sono presenti capacit\`a nella rete di feedback e l'elemento attivo \`e del tipo non invertente. Circuiti di questo tipo sono spesso adoperati per
motivi di semplicit\`a, poich\`e essi richiedono un minimo numero di componenti. 
Un esempio di oscillatore in cui il cristallo lavora nel modo serie \`e quello di figura~\ref{xtal_jfet_oscillator}, in cui si adopera un
amplificatore a FET, con un feedaback tra drain e gate applicato tramite un cristallo.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/xtal_jfet_oscillator.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore a J-fet che utilizza un cristallo nel modo serie.} 
\protect\label{xtal_jfet_oscillator}
\end{figure}

La frequenza scelta per il cristallo nell'esempio \`e 50~kHz. Un condensatore di disaccoppiamento \`e stato aggiunto in serie al quarzo. L'induttanza nel circuito di collettore ha lo scopo di disaccoppiare, alla frequenza del segnale, il collettore medesimo dall'alimentazione.

Nel caso in cui il cristallo venga fatto lavorare nel modo parallelo, si fa uso di condensatori per realizzare un circuito accordato, spesso del
tipo Colpitts. In questo modo di funzionamento l'elemento attivo dovr\`a essere di tipo invertente. Un esempio \`e quello mostrato in figura~\ref{cmos_invert_crystal_oscillator}. 

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/cmos_invert_oscillator.eps,width=7.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore a quarzo che utilizza un inverter CMOS.} 
\protect\label{cmos_invert_crystal_oscillator}
\end{figure}


In questo circuito, noto con il nome di ''oscillatore
Pierce''\footnote{Inventato da George W. Pierce, che ottenne il relativo brevetto nel 1923. Pierce si era occupato a lungo di antenne radio, piezoelettricit\`a, magnetostrizione e loro applicazioni. Negli ultimi anni della sua vita si occup\`o del suono emesso da insetti e pipistrelli e
pubblic\`o nel 1948 un libro dal titpolo "`the Song of insects''.} , si f\`a uso di un invertitore CMOS e di una rete di feedback costituita da due capacit\`a $C_1$ e $C_2$ che, insieme al quarzo, costituiscono
un circuito accordato\footnote{Le caratteristiche fornite dai costruttori per un cristallo da adoperare nel modo parallelo specificano di regola
i valori minimi e massimi della ''capacit\`a di carico'' $C_L$, costituita dalla serie dei due condensatori $C_1$ e $C_2$. Pi\`u precisamente, si pu\`o vedere che al cambiare di $C_L$ lo scostamento della frequenza di risonanza $f_L$ da quella relativa al modo seriale ($f_s$) cambia come segue:
\[
\frac{f_L-f_s}{f_s}=\frac{C}{2\left(C_L+C_0\right)} \times 10^6 (in\;ppm)
\]
dove $C$ e $C_0$ sono le capacit\`a che figurano nel circuito equivalente del quarzo. Occorre evitare valori troppo grandi o troppo piccoli di $C_L$, cio\`e di $C_1$ e $C_2$. Per ulteriori dettagli si consulti la referenza~\cite{ramon_cerda}.}.  Analizziamo in dettaglio questo circuito ed, a tale scopo, ridisegnamo la rete di feedback come mostrato in figura~\ref{quartz_cmos_oscillator_equiv}, dove $Z$ indica l'impedenza associata al quarzo, data dalla~(\ref{crystal_oscillators_equation_6}).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/quartz_cmos_oscillator_equiv.eps,width=4.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente adoperato per calcolare il coefficiente di feedback del circuito oscillante di figura~\ref{cmos_invert_crystal_oscillator}.} 
\protect\label{quartz_cmos_oscillator_equiv}
\end{figure}

Chiamiamo $v_{out}$ la tensione all'uscita dell'invertitore, $v_2$ \ quella su $C_2$ e $v_1$ quella su $C_1$. L'impedenza della rete di feedback, misurata tra
quest'ultimo punto e massa \`e data da:

\begin{equation}
Z_f\:=\:\frac{\frac{1}{j \omega C_1} \left(Z+\frac{1}{j \omega C_2} \right)}{\frac{1}{j \omega C_1}+Z+\frac{1}{j \omega C_2}}\:=\:\frac{1}{j \omega} \times \frac{1 + j \omega C_2 Z}{\left(C_1+C_2\right) + j \omega Z C_1 C_2}  \label{quarz_cmos_oscillator_equiv_1}
\end{equation}

Questa ha un polo per:
\[
j \omega \:=\:-\frac{1}{Z} \frac{C_1+C_2}{C_1 C_2}
\]  

Sostituendo in questa l'espressione di $Z(\omega)$ data dalla~(\ref{crystal_oscillators_equation_6}) otteniamo:

\begin{equation}
j \omega \:=\: \frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2} \frac{j \omega C_0 \left(\omega^2 - \omega_p^2\right)}{\omega_s^2 - \omega^2}  \label{quarz_cmos_oscillator_equiv_2}
\end{equation}
da cui:
\[
\omega^2-\omega_p^2\:=\:\frac{C_1 C_2}{C_0\left(C_1+C_2\right)} \left(\omega_s^2 - \omega^2\right)
\]


Poniamo ora:
\[
\alpha \:=\: \frac{C_1 C_2}{C_0 \left(C_1+C_2\right)}
\]

Con ci\`o dalla~(\ref{quarz_cmos_oscillator_equiv_2}) si ottiene:

\begin{equation}
\omega^2\:=\: \omega_p^2 - \frac{\alpha}{1+\alpha} \left(\omega_p^2 - \omega_s^2\right)  \label{quarz_cmos_oscillator_equiv_3}
\end{equation}
la quale mostra che la frequenza alla quale l'impedenza $Z_f$ diviene infinitamente grande \`e compresa tra $\omega_s$ ed $\omega_p$, cio\`e viene
a cadere nella zona in cui l'impedenza del quarzo \`e induttiva. Facciamo ora uso dei valori tipicamente adoperati in questo tipo di circuiti per
verificare quanto la frequenza fornita dalla~(\ref{quarz_cmos_oscillator_equiv_3}) differisca da $f_s$ e quanto da $f_p$. 

Ad esempio, la Fairchild fornisce~\cite{fairchild_semiconductor_application_note_340}, come valori tipici per un quarzo da 200~kHz:
\[
L=27H; \;\;R=2\,k\Omega; \;\;C=0.024\,pF; \;\;C_0=9\,pF
\]
Con questi valori troviamo per le frequenze di risonanza $f_s$ e $f_p$:
\[
f_s=1.977118 \times 10^5\;Hz;\;\;f_p=1.97975258 \times 10^5\;Hz
\]
ed una differenza tra le due frequenze di appena 263.44.2~Hz. Se ora facciamo variare il valore (comune) delle due capacit\`a $C_1$ e $C_2$ tra
1~pF e 400~pF, la frequenza d'oscillazione del circuito di Pierce cambier\`a come mostrato in figura~\ref{quartz_frequency_cap_dependance}.
Nella figura sono riportate due diverse curve: quella a tratto solido rappresenta la differenza (in Hz) della frequenza ottenuta da $f_s$; quella
a punti rappresenta l'analoga differenza da $f_p$. Vediamo che per piccoli valori delle capacit\`a la frequenza \`e molto vicina
a quella parallela $f_p$; al crescere del valore delle capacit\`a essa si avvicina sempre pi\`u a $f_s$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/quartz_frequency_cap_dependance.eps,width=9.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Dipendenza dal valore comune delle capacit\`a $C_1$ e $C_2$ della deviazione della frequenza di lavoro $f$ dalla frequenza
serie $f_s$ (curva a tratto continuo) e dalla frequenza parallelo $f_p$ (curva a punti).} 
\protect\label{quartz_frequency_cap_dependance}
\end{figure}

Alla frequenza di risonanza, l'impedenza $Z_f$ diviene molto grande, il che ci dice che la corrente che fluisce nella resistenza $R_2$
sar\`a mediamente piccola. La tensione nel punto 1 sar\`a determinata di fatto dal partitore $R_2 \div C_1$. \`E consigliabile scegliere i valori
dei componenti in modo che, alla frequenza di lavoro l'impedenza capacitiva di $C_1$ uguagli $R_2$. In tal caso avremo $v_2=v_{out}/2$. Calcoliamo ora il fattore di feedback, cio\`e il rapporto tra $v_2$ e $v_{out}$. Poich\`e
l'impedenza d'ingresso dell'invertitore, come pure la resistenza $R_1$ sono molto grandi, potremo considerare la serie $Z \div C_2$ come un partitore
e scrivere:

\[
v_2\:=\: \frac{v_{1}}{j \omega Z C_2 + 1}\:=\:\frac{v_{1}}{\frac{C_2}{C_0}\frac{\omega_s^2 - \omega^2}{\omega_p^2-\omega^2}+1}\:=\:\frac{v_{1}}{1-\frac{C_2}{C_0}\frac{\omega^2 - \omega_s^2}{\omega_p^2-\omega^2}}\:=\:\frac{v_{out}}{2\left[1-\frac{C_2}{C_0}\frac{\omega^2 - \omega_s^2}{\omega_p^2-\omega^2}\right]}
\]

Da questa otteniamo poi, facendo uso della~(\ref{quarz_cmos_oscillator_equiv_3}) e della definizione di $\alpha$:

\[
\beta\:=\:\frac{v_2}{v_{out}}\:=\:\frac{1}{2\left(1-\frac{C_1+C_2}{C_1}\right)}\:=\:-\frac{C_1}{2 C_2} \;< 0
\]
che nel nostro esempio vale -1/2.

Vediamo cos\`i che il feedback \`e negativo, come deve essere se si vuole che lo sfasamento complessivo lungo l'intera maglia sia nullo, tenendo
conto del fatto che l'elemento attivo in questo circuito \`e invertente. Il guadagno dell'amplificatore a CMOS \`e poi abbastanza elevato da far
s\`i che il modulo del guadagno dell'anello sia maggiore di 1.

Si pu\`o poi facilmente verificare, facendo uso della~(\ref{quarz_cmos_oscillator_equiv_3}) e dell'espressione di $\alpha$ che \`e:

\begin{equation}
\omega^2\:=\: \frac{1}{LC}\left[1+\frac{C}{C_0+C_L}\right]  \label{quarz_cmos_oscillator_equiv_4}
\end{equation}

dove:

\[
C_L\:=\:\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}
\]

La frequenza d'oscillazione \`e quindi data da:

\begin{equation}
f\:=\: f_s\times \sqrt{1+\frac{C}{C_0+C_L}}  \label{quarz_cmos_oscillator_equiv_5}
\end{equation}

La forma d'onda ottenuta all'uscita del circuito in esame facendo uso del programma di simulazione MICROCAP \`e mostrata in figura~\ref{cmos_invert_crystal_oscillator_out}. Si pu\`o vedere dal grafico che la frequenza \`e di circa 100~kHz, molto vicina a
quella del quarzo adoperato. 


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/cmos_invert_crystal_oscillator_out.eps,width=9.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Forma d'onda all'uscita dell'oscillatore a CMOS inverter di figura~\ref{cmos_invert_crystal_oscillator}.} 
\protect\label{cmos_invert_crystal_oscillator_out}
\end{figure}

Un ulteriore variante del circuito di Pierce \`e quella di figura~\ref{crystal_pierce_bjt_oscillator}. Qui l'invertitore a CMOS \`e
sostituito da un transistor bipolare.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/crystal_pierce_bjt_oscillator.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Oscillatore al quarzo a transistor bipolare. La configurazione \`e quella di Pierce.} 
\protect\label{crystal_pierce_bjt_oscillator}
\end{figure}

\section{Risuonatori ceramici}

Questi sono simili a quelli al quarzo, ma hanno una minore stabilit\`a in frequenza, a cui si contrappone un costo decisamente inferiore. La
loro stabilit\`a in frequenza varia tra lo $0.3\%$ ed il $3\%$.

Si tratta anche in questo caso di dispositivi piezoelettrici che possono esser analizzati facendo uso del medesimo circuito equivalente
adoperato nel caso del quarzo. Valori tipici dei parametri dei componenti presenti nel circuito equivalente, ad 8~MHz, sono: $L=0.092\,mH$,
$C=4.6\,pF$, $R=7\,\Omega$, $C_0=40\,pF$.

I circuiti che possono esser realizzati facendo uso dei risuonatori ceramici utilizzano schemi molto simili a quelli analizzati nel caso
dei quarzi.

\newpage




\section{Appendice A: Non-linearit\`a dei dispositivi attivi adoperati}

Abbiamo accennato al fatto che la non-linearit\`a nella risposta degli elementi attivi contribuisce ad impedire
la saturazione. Ci\`o \`e vero per tutti gli elementi attivi adoperati nella realizzazione di oscillatori. Nel
seguito limiteremo la nostra analisi al caso dei transistor bipolari.

La non-linearit\`a ha come effetto, oltre quello di controllare l'ampiezza del segnale, anche quello di
controllare l'importanza relativa delle varie armoniche presenti nel segnale che alimenta il circuito
oscillante, fornendogli l'energia necessaria a mantenere l'oscillazione.

La figura~\ref{oscillatori_appendice_fig1} mostra la tipica caratteristica esponenziale corrente-tensione associata al diodo base-emettitore
del transistor.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/oscillatori_appendice_fig1.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Caratteristica corrente-tensione associata alla giunzione base-emettitore di un transistor bipolare. \`E mostrata anche
una forma d'onda sinusoidale $v_i$ di ampiezza $v_1$ in ingresso ed il corrispondente segnale di corrente prodotto quando $v_i$ supera $V_{\gamma}$.} 
\protect\label{oscillatori_appendice_fig1}
\end{figure}


La forma d'onda di ampiezza $v_1$ rappresenta il segnale sinusoidale che il circuito oscillante fornisce alla giunzione. Se l'ampiezza
del segnale supera la tensione di soglia $V_{\gamma}$ del diodo, la corrente risultante consister\`a in una serie periodica di
impulsi, la cui ampiezza \`e determinata dalle caratteristiche del dispositivo. Il \emph{contenuto armonico} di questa serie di
impulsi si ottiene facendone lo sviluppo in serie di Fourier. Nello sviluppo apparir\`a, oltre alla frequenza fondamentale $\omega$, una
serie di armoniche multiple di essa. Esse sono una conseguenza inevitabile del carattere non lineare del dispositivo. Se infatti
questo fosse lineare, ad un segnale sinusoidale in ingresso corrisponderebbe in uscita un segnale anch'esso sinusoidale il cui
sviluppo in serie di Fourier conterrebbe la sola frequenza fondamentale.

Notiamo che nel dispositivo non lineare considerato gli impulsi di corrente sono tanto pi\`u stretti ed alti quanto maggiore \`e
l'ampiezza $v_1$. Ne segue che il contenuto armonico (cio\`e il contributo delle armoniche superiori) aumenta all'aumentare di $v_1$.
Vediamo quantitativamente come ci\`o avvenga. 

La corrente nel diodo polarizzato direttamente \`e data dalla nota equazione:

\begin{equation}
i\:=\: I_s  e^{v/V_{\gamma}}  \label{oscillatori_appendice_eq1}
\end{equation}
dove $I_s$ \`e la corrente di saturazione e $V_{\gamma}=kT/q \approx 26 mV$. La tensione $v$ che figura nella~(\ref{oscillatori_appendice_eq1}) \`e la somma di un contributo continuo e di un termine sinusoidale:

\begin{equation}
v \:=\:V+v_1 \cos (\omega t)  \label{oscillatori_appendice_eq2}
\end{equation}

Sostituendo questa nella~(\ref{oscillatori_appendice_eq1}), otteniamo:

\begin{equation}
i=I_s e^{\frac{V}{V_{\gamma}}}  e^{\frac{v_1}{V_{\gamma}} \cos (\omega t)}  \label{oscillatori_appendice_eq3}
\end{equation}

Porremo $I_{DC}$ uguale al termine non dipendente dal tempo: $I_s e^{V/V_{\gamma}}$.

Il ''livello di conduzione'' $x$ \`e definito come il rapporto tra $v_1$ e $V_{\gamma}$:

\begin{equation}
x \:=\: \frac{v_1}{V_{\gamma}}  \label{oscillatori_appendice_eq4}
\end{equation}

Cos\`i, se \`e $v_1=260\;mV$ avremo $x=10$.
 
Poich\`e il termine $exp\left[x \cos(\omega t)\right]$ \`e periodico, esso pu\`o esser sviluppato in serie di Fourier. Il risultato dello
sviluppo \`e:

\begin{equation}
e^{x \cos(\omega t)} \:=\: \sum_n a_n(x) \cos(n \omega t)  \label{oscillatori_appendice_eq5}
\end{equation}
dove:

\begin{equation}
a_0\:=\:\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi}e^{x \cos(\omega t)} d(\omega t) \:=\:I_0(x) \label{oscillatori_appendice_eq6}
\end{equation}
che \`e la funzione di Bessel modificata di ordine zero, e:

\begin{equation}
a_n(x)|_{n>0}\:=\:\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} e^{x \cos(\omega t)} \cos(n \omega t) d(\omega t) \:=\:2 I_n(x) \label{oscillatori_appendice_eq7}
\end{equation}
dove $I_n(x)$ \`e il doppio della funzione di Bessel modificata di ordine $n$.

Sostituendo le~(\ref{oscillatori_appendice_eq5}), (\ref{oscillatori_appendice_eq6}) e~(\ref{oscillatori_appendice_eq7}) nella~(\ref{oscillatori_appendice_eq4}), si ottiene:

\begin{equation}
i\:=\:I_s e^{\frac{V}{V_{\gamma}}} \left[I_0(x)+\sum_n 2 I_n(x) \cos(n \omega t)\right]  \label{oscillatori_appendice_eq8}
\end{equation}
che pu\`o esser riscritta nella forma:

\begin{equation}
i\:=\:I_{DC} \left[1+\sum_n \frac{2 I_n(x)}{I_0(x)} \cos(n \omega t)\right]  \label{oscillatori_appendice_eq9}
\end{equation}
con:
\[
I_{DC}\:=\:I_s e^{\frac{V}{V_{\gamma}}}
\]

La funzione espressa dalla~(\ref{oscillatori_appendice_eq8}) \`e mostrata, in funzione di $x$ per $n=1,2,3,4$. Si pu\`o vedere che l'importanza
relativa delle diverse armoniche dipende da $x$ e che per valori di $x$ molto piccoli domina nettamente l'armonica fondamentale (di ordine zero). Per grandi valori di $x$ le armoniche da quella di ordine uno in su, tendono ad acquistare tutte il medesimo peso. Se si desidera che l'armonica di ordine zero sia dominante, occorre che il valore di $x$ sia il pi\`u piccolo possibile. Ci\`o tuttavia non \`e compatibile
con l'esigenza che l'oscillazione non si smorzi.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=oscillatori/non_linearity_oscillators_bessel.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Rapporto tra il contributo delle armoniche di ordine 1, 2, 3, 4 e quello dell'armonica fondamentale, in funzione
della variabile $x=v_1/v_{\gamma}$ definita nel testo.} 
\protect\label{non_linearity_oscillators_bessel}
\end{figure}

\newpage

\section{Appendice B:\\ relazione tra $Q_0$ ed il numero di oscillazioni in un tempo $\tau$}

Riscriviamo la~(\ref{lcoscillators_a_3}):

\begin{equation}
\frac{v_{out}}{v_{in}}\:=\:\frac{\frac{s}{\tau}}{s^2+\frac{s}{\tau}+\omega_0^2}   \label{lcoscillators_appendiceB_1}
\end{equation}

La risposta ad un gradino unitario (trasformata $1/s$) \`e:

\begin{equation}
v_{out}(s)\:=\:\frac{1}{s}\frac{\frac{s}{\tau}}{s^2+\frac{s}{\tau}+\omega_0^2}  \:=\:\frac{1}{\tau}\frac{1}{s^2+\frac{s}{\tau}+\omega_0^2} \label{lcoscillators_appendiceB_2}
\end{equation}
dove abbiamo la corrispondenza:
\[
\frac{\omega_0}{Q_0} \leftrightarrow \frac{1}{\tau}
\]

I poli di questa funzione sono dati dalle soluzioni dell'equazione:

\[
s^2+\frac{s}{\tau}+\omega_0^2\:=\:0
\]
cio\`e da:

\begin{equation}
s_{1,2}\:=\:-\frac{\omega_0}{2 Q_0} \left(1 \pm \sqrt{1-4 Q_0^2}\right)   \label{lcoscillators_appendiceB_3}
\end{equation}

Proponendoci di studuare l'andamento delle soluzioni per grandi valori di $Q_0$, terremo presente che la radice potr\`a essere espressa
nella forma:

\[
\sqrt{1-4 Q_0^2}\:=\:j \sqrt{|1-4 Q_0^2|}\:\equiv\:j \alpha
\]

I poli $s_{1,2}$ saranno quindi complessi coniugati e la soluzione della~(\ref{lcoscillators_appendiceB_2}) pu\`o, facendo uso della~(\ref{polisingoli}), esser scritta come:

\begin{equation}
\frac{1}{\tau}\left\{\frac{1}{s_1-s_1^*}e^{s_1 t} + \frac{1}{s_1^*-s_1}e^{s_1^* t}\right\}   \label{lcoscillators_appendiceB_4}
\end{equation}
dove:
\[
s_1\:=\:-\frac{\omega_0}{2 Q_0}\left(1+j \alpha\right)
\]
\[
s_1^*\:=\:-\frac{\omega_0}{2 Q_0}\left(1-j \alpha\right)
\]
per cui:
\[
s_1-s_1^*\:=\:-\frac{j \omega_0}{Q_0} \alpha
\]

La~(\ref{lcoscillators_appendiceB_4}) acquista allora la forma:


\begin{equation}
v_{out}(t)\:=\:\frac{j}{\alpha}e^{-\frac{\omega_0}{2 Q_0}t} \left\{e^{-j \frac{\omega_0}{2 Q_0}\alpha t}-e^{j \frac{\omega_0}{2 Q_0}\alpha t}\right\} \:=\:\frac{1}{\alpha}e^{-\frac{\omega_0}{2Q_0}t} \left[2 \sin \frac{\omega_0}{2 Q_0} \alpha t\right]  \label{lcoscillators_appendiceB_5}
\end{equation}

Per grandi valori di $Q_0$ questa diventa:

\begin{equation}
v_{out}(t)\:=\:\frac{2}{\alpha}e^{-\frac{\omega_0}{2Q_0}t} \sin (\omega_0 t)  \label{lcoscillators_appendiceB_6}
\end{equation}

Questa descrive un moto oscillatorio smorzato, con tempo di decadimento dato da:

\[
T=\frac{2 Q_0}{\omega_0}
\]
In tale intervallo di tempo la funzione $\sin(\omega_0 t)$ si annulla un numero di volte dato da:

\[
n\:=\:\frac{2 Q_0}{\pi}
\]

Vediamo quindi che il numero di oscillazioni entro una costante di tempo \`e una misura di $Q_0$.

