\chapter{Elettronica per rivelatori di particelle}

\section{Introduzione}

Una particella elettricamente carica che attraversa un mezzo materiale
pu\`o subire perdite d'energia a causa di processi di varia
natura. Tale energia \`e depositata sotto varie forme nel mezzo
attraversato.  Tra tali processi, particolarmente importanti sono la
ionizzazione, il bremsstrahlung, la radiazione di luce
$\check{C}erenkov$\index{Luce $\check{C}erenkov$}, la radiazione di
transizione ed altri. Tale rilascio di energia, la cui natura ed
ampiezza dipendono sia dal particolare mezzo attraversato che dalla
natura ed energia della particella carica\footnote{Ci limitiamo qui a
considerare particelle cariche, ma considerazioni analoghe potrebbero
essere fatte per quelle neutre, in particolare per i fotoni.}
(elettrone, protone, mesone $\pi^{\pm}$, leptone $\mu^{\pm},\cdots$)
pu\`o esser utilizzato per rivelare la particella. In particolare si
pu\`o:
\begin{itemize}
\item[(a)] {valutare l'istante in cui la particella \`e passata nel
mezzo;}
\item[(b)] {ottenere una stima dell'energia della particella, che \`e
spesso legata all'energia che essa ha depositato nel mezzo medesimo;}
\item[(c)] {misurare la posizione della particella nell'istante in cui
essa ha attraversato il mezzo;}
\item[(d)] {``identificare'' la particella; cio\`e stabilire (entro un
predeterminato ``livello di confidenza'') se essa sia un elettrone,
$\pi$, protone... In tale tipo di applicazione sono molto utili i
rivelatori basati sull'emissione di luce $\check{C}erenkov$\index{Luce
$\check{C}erenkov$} e quelli basati sulla radiazione di transizione.}
\end{itemize}

Non intendiamo qui entrare nei dettagli dei rivelatori, ma limitarci a
studiare alcuni dei problemi che essi pongono all'elettronica di
``front end'', cio\`e ai circuiti che debbono amplificare e rivelare i
deboli segnali elettrici prodotti.  Ovviamente, i vincoli posti
sull'elettronica cambiano molto a seconda del tipo di rivelatore e del
tipo di informazione che si vuole estrarre (tempo, energia, posizione
etc.). Ci\`o vuol dire che una trattazione esauriente dei problemi
elettronici da affrontare non pu\`o esser disgiunta da una trattazione
dei diversi rivelatori. Ci limiteremo qui a discutere alcuni dei
principali problemi e ad esaminare le soluzioni comunemente adottate.
Dettagli possono essere trovati nei
riferimenti~(\cite{Kowalski}),~~(\cite{leo}),~(\cite{knoll}),~(\cite{hamamatsu}),~(\cite{philips}),
~(\cite{Green}),~(\cite{Spieler}).

Esamineremo, a titolo di esempio, la struttura di tre rivelatori: gli
scintillatori, i rivelatori a gas e quelli a semiconduttore.

\`E opportuno, prima di entrare nell'analisi dei singoli rivelatori,
esaminare i parametri che conviene ottimizzare: la risoluzione
energetica, la risoluzione temporale, l'efficienza ed il ``tempo
morto''. Nella prossima sezione ci occuperemo di un'analisi
semplificata di tali parametri.

\section{Caratteristiche di risposta dei rivelatori}

\subsection{Risoluzione energetica}

\`E spesso importante che il rivelatore fornisca una determinazione,
il pi\`u possibile precisa, dell'energia che la particella ha
depositato nell'attraversarlo. Essendo l'interazione della particella
con il materiale di cui il rivelatore \`e costituito, caratterizzata a
livello microscopico da un gran numero di processi elementari
(ionizzazione, bremsstrahlung etc.)  ciascuno dei quali ha un
carattere stocastico, \`e naturale aspettarsi una fluttuazione nel
numero di tali processi per unit\`a di spessore del materiale
attraversato. Poich\'e a ciascuno dei processi elementari corrisponde
un deposito di una piccola frazione dell'energia, segue da semplici
considerazioni statistiche che la risposta energetica del rivelatore
ad una particella di energia definita avr\`a una dispersione relativa
tanto maggiore quanto minore \`e il numero di processi elementari che
hanno avuto luogo.

Vediamo infatti che, se il numero N dei processi elementari \`e
distribuito in modo gaussiano, la dispersione nell'energia totale
depositata sar\`a proporzionale alla radice quadrata della varianza di
$N$, cio\`e a $\sqrt{N}$.

Se E \`e l'energia totale depositata (proporzionale ad N) si definisce
``risoluzione energetica'' la variabile $\Delta E$, pari alla
larghezza a met\`a altezza (Full Width at Half Maximum o FWHM) della
distribuzione delle energie rivelate quando il mezzo \`e attraversato
da un gran numero di particelle, tutte di uguale energia E (vedasi la
figura~\ref{detector_gauss_measurement}).

\begin{figure}[h!]
 \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/detector_gauss_measurement.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Distribuzione delle energie depositate da particelle di
energia $E_0$. E \`e l'energia media depositata, $\Delta$E la
larghezza a met\`a altezza della distribuzione.}
\protect\label{detector_gauss_measurement}
\end{figure}

Notiamo che, mentre $E_0$ \`e l'energia della particella, $E$ \`e
l'energia che essa rilascia in media nel rivelatore. Pur esistendo
rivelatori in cui $E \simeq E_0$, nella maggior parte dei casi
l'energia depositata $E$ \`e inferiore ad $E_0$. La particella ha in
tal caso, all'uscita dal rivelatore, un'energia pari a $E_0-E$ (a meno
di perdite dovute a processi di varia natura).

In generale si quota la \emph{risoluzione relativa}, definita come:
\[
R\;=\;\frac{\Delta E}{E}
\]
Questa, in un tipico rivelatore, migliora all'aumentare
dell'energia. Se $\epsilon$ \`e l'energia media spesa nella
generazione di un processo elementare nel rivelatore (ad esempio,
ionizzazione) allora il numero di processi elementari che avranno
luogo per un'energia totale depositata $E$, \`e dato da:
\[
N=\frac{E}{\epsilon}
\]
Ad esempio, in un rivelatore al silicio, l'energia necessaria per la
produzione di una coppia elettrone-lacuna \`e $\simeq\,3.6\;eV$. Una
particella carica, di alta energia, che attraversi un rivelatore di
questo tipo spesso $300\,\mu m$, perde mediamente circa $100.000
\,eV$, cui corrisponde un numero di coppie:
\[
N=\frac{100.000}{3.6}\simeq 28.000
\]
La fluttuazione su tale numero \`e pari a
$\sigma(N)=\sqrt{28.000}\simeq 166$. Ammettendo che la distribuzione
nel numero dN/dE dei processi elementari sia gaussiana, si ha che la
larghezza a met\`a altezza (FWHM) della distribuzione \`e legata alla
$\sigma$ della gaussiana dalla relazione:
\[
FWHM=2.36 \;\sigma
\]
La risoluzione relativa R \`e allora pari a:
\[
R=2.36 \frac{\sqrt{N}}{N}=\frac{2.36}{\sqrt{N}}=\frac{2.36}{166}\simeq
1.4 \%
\]
Tale relazione necessita di una correzione nel caso in cui l'energia
depositata $E$ coincide con l'energia totale $E_0$. In tal caso \`e
infatti necessario introdurre un fattore addizionale F minore di 1
(noto come ``fattore di Fano''\index{Fattore di Fano}), attraverso:
\[
R=2.36 \cdot F \cdot \sqrt{\frac{\epsilon}{E_0}}
\]
La risoluzione relativa in tal caso migliora rispetto al caso in cui
non tutta l'energia sia depositata nel rivelatore.

\subsubsection{Funzione di risposta del rivelatore}
Nelle considerazioni precedenti abbiamo lavorato nell'ipotesi che la
distribuzione delle energie depositate dalla particella
nell'attraversare il rivelatore sia gaussiana. Nella pi\`u gran parte
dei casi ci\`o non \`e vero, o lo \`e solo in modo approssimato.
Infatti in generale la distribuzione ha una forma che dipende
dall'energia della particella e dalle caratteristiche del
rivelatore. La forma di tale risposta, importante per valutare la
risoluzione energetica, pu\`o esser ottenuta facendo uso di tecniche
montecarlo, unitamente alla conoscenza della fisica dei processi
elementari che hanno luogo nel rivelatore.

\subsection{Risposta temporale}

Questa \`e definita dal tempo necessario perch\'e il segnale sia
disponibile all'uscita del rivelatore, dopo che questo sia stato
attraversato dalla particella.

Per rivelatori da utilizzare per definire con precisione l'istante in
cui una particella li abbia attraversati \`e necessario che questo
tempo sia il pi\`u piccolo possibile (dell'ordine del ns). L'andamento
temporale del segnale elettrico disponibile all'uscita del rivelatore
dipender\`a inoltre dall'elettronica utilizzata all'uscita del
rivelatore (elettronica di ``front-end''). Un'andamento tipico \`e
quello mostrato in figura~\ref{detector_time_signal}.

\begin{figure}[h!]
 \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/detector_time_signal.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Forma temporale tipica del segnale all'uscita del rivelatore.}
\protect\label{detector_time_signal}
\end{figure}

Per una buona risposta temporale \`e opportuno che il fronte di salita
sia il pi\`u piccolo possibile. \`E anche importante, se il
\emph{rate} di eventi \`e elevato, che la discesa sia rapida, per
evitare che l'impulso associato ad un evento si sovrapponga alla coda
di quello associato all'evento precedente (fenomeno noto come
\emph{pile-up}\index{Pile-up}).

\subsection{Efficienza}

L'efficienza di un rivelatore \`e definita come la probabilit\`a che
esso generi un segnale utilizzabile, una volta che una particella del
tipo voluto lo abbia attraversato. Essa \`e funzione sia del tipo di
rivelatore che della natura ed energia della particella. \`E
importante che tale efficienza sia alta; ancora pi\`u importante \`e
che essa sia nota con grande precisione, allo scopo di poter calcolare
dal numero di particelle rivelate il numero di quelle che hanno
attraversato il rivelatore.

\subsection{Tempo morto}

In un tipico esperimento, il segnale (impulso elettrico all'uscita del
rivelatore) viene utilizzato per generare l'informazione digitale
relativa all'istante in cui la particella \`e passata, nonch\'e quella
relativa all'altezza d'impulso del segnale (legata all'energia
depositata). Tali informazioni digitali, insieme a quelle associate
agli altri rivelatori che costituiscono l'apparato sperimentale, sono
poi trasmesse ad elaboratori elettronici e registrate su opportune
memorie.

Tale sequenza di operazioni richiede un tempo che, anche se piccolo,
pu\`o esser grande rispetto all'intervallo temporale che intercorre
tra l'arrivo di particelle successive.  Ci\`o fa si che, dopo l'arrivo
di una particella, il sistema non sia pronto a registrare l'arrivo di
nuove particelle per un certo tempo $\tau$, noto come \emph{tempo
morto}\index{Tempo morto}.  Se si vuol conoscere il numero totale di
particelle che hanno investito il rivelatore, comprensivo di quelle
non rivelate a causa del tempo morto, occorre conoscere quest'ultimo.

Se in una misura durata complessivamente $T$ secondi, sono stati
registrati $k$ eventi, il sistema sar\`a stato insensibile (morto) per
un tempo $k\,\tau$. Se $m$ \`e il numero ``vero'' di eventi al
secondo, il numero di eventi complessivamente persi nel tempo $T$
sar\`a: $m$~$k\,\tau$. Il numero totale di eventi $m$~$T$ \`e
d'altronde pari alla somma del numero $k$ di eventi registrati pi\`u
il numero $m$~$k$~$\tau$ di quelli persi. Si ha cio\`e:
\[
mT=k + m\,k\,\tau
\]
da cui, se $\tau$ \`e noto, si pu\`o, dalla misura di $k$, ricavare
$m$:
\[
m=\frac{k}{T-k \tau}=\frac{k/T}{1-k \tau/T}
\]
Per $\tau=0$ troviamo ovviamente $m=k/T$.

Un metodo per ottenere sperimentalmente $\tau$ \`e quello detto
``delle due sorgenti''.

Si effettuano cio\`e tre misure indipendenti: la prima con una
sorgente 1, la seconda con una sorgente 2 e la terza con entrambe. Se
indichiamo con $R_1$, $R_2$, $R_{12}$ i rispettivi conteggi per
unit\`a di tempo e con $n_1$, $n_2$, $n_{12}$ quelli ``veri'', avremo:

\[
n_1=\frac{R_1}{1-R_1 \tau}
\]

\[
n_2=\frac{R_2}{1-R_2 \tau}
\]

\[
n_{12}=\frac{R_{12}}{1-R_{12} \tau}
\]
 
dove deve essere:

\[
n_{12}=n_1+n_2
\]
da cui:
\[
\frac{R_1}{1-R_1 \tau}+\frac{R_2}{1-R_2 \tau}=\frac{R_{12}}{1-R_{12}
\tau}
\]
Da questa \`e poi facile ricavare $\tau$.





\section{Rivelatori a scintillazione}

Una particella carica che attraversa un mezzo materiale pu\`o
provocare dei processi di eccitazione molecolare o ionizzazione. In
alcuni tipi di sostanze le molecole eccitate decadono poi al loro
stato fondamentale con emissione di luce.

Il mezzo non \`e tuttavia trasparente alla luce emessa, poich\`e
questa, la cui frequenza cade tipicamente nell'ultravioletto, pu\`o
esser assorbita dalle molecole del mezzo medesimo
(autoassorbimento). Per ottenere un segnale ottico rivelabile \`e
necessario ridurre tale assorbimento a livelli accettabili. A tale
scopo si ricorre al processo di ``fluorescenza'', in cui il fotone
d\`a luogo ad una nuova eccitazione, mentre la successiva
diseccitazione avviene con emissione di fotoni di maggiore lunghezza
d'onda. Si aggiungono quindi al materiale primario (tipicamente una
sostanza organica) delle piccole quantit\`a di opportuni fluori, che
``spostano'' la luce primaria emessa a frequenze pi\`u basse
(\emph{wavelength shifting}), tali che a tali frequenze il materiale
risulti trasparente. \`E importante che il picco di frequenza della
luce emessa nel processo primario di ionizzazione sia ben separato dal
picco della distribuzione in frequenza della luce emessa nel processo
di fluorescenza. La separazione in lunghezza d'onda $\Delta \lambda$
tra i due picchi \`e nota come \emph{Stokes Shift}\index{Stokes
Shift}. Quanto maggiore lo Stokes Shift, tanto minore sar\`a
l'autoassorbimento.


In prima approssimazione, l'evoluzione temporale del processo di
emissione pu\`o esser descritta da un semplice termine esponenziale:
\[
N(t)dt\:=\:\frac{N_0}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}} dt
\]

dove $N(t)dt$ \`e il numero di fotoni emessi nell'intervallo di tempo
$dt$, $N_0$ il numero totale di fotoni emessi e $\tau$ la costante di
decadimento (vita media).

Il segnale consiste in un brusco impulso, caratterizzato da un ``tempo
di salita'' brevissimo, che poi scende in modo esponenziale.

In alcuni casi le costanti di tempo interessate nel processo di
decadimento sono due; in tal caso si pu\`o scrivere:
\[
N(t) dt\:=\:\left(A e^{-\frac{t}{\tau_f}}+B
e^{-\frac{t}{\tau_s}}\right) dt
\]

dove $\tau_f$ \`e la costante di tempo relativa alla componente a
breve vita media e $\tau_s$ quella della componente a vita media
lunga.

Per esser concretamente utilizzabile, uno scintillatore deve avere le
seguenti caratteristiche:
\begin{itemize}

\item[(a)] {elevata efficienza di conversione di energia in radiazione;}
\item[(b)] {trasparenza alla radiazione emessa;}
\item[(c)] {spettro di emissione adatto alla rivelazione della luce
(che tipicamente utilizza dei fotomoltiplicatori);}
\item[(d)] {breve tempo di decadimento.}
\end{itemize}


Esistono svariati tipi di materiali scintillanti che possiedono in
maggiore o minore misura tali caratteristiche. I pi\`u comunemente
usati sono degli ``scintillatori\index{Scintillatore} organici'',
costituiti da idrocarburi della serie aromatica, in soluzioni
organiche liquide o plastiche (come plastiche sono comunemente
adoperate il polistirene, il poliviniltoluene o il
polifenil-benzene). Le costanti di decadimento vanno da 1.7 a
4~ns. Essendo la costante di decadimento cos\`{\i} breve, non \`e
sempre possibile trascurare rispetto ad essa il tempo di salita. Una
parametrizzazione spesso adoperata per tener conto di ci\`o \`e una
convoluzione di una gaussiana con un termine esponenziale:
\[
N(t)\:=\:N_0 f(\sigma,t) e^{-t/\tau}
\]

dove $\sigma \approx 0.5\;ns$.

Lo spettro di emissione di queste sostanze \`e nella regione
400-500~nm.

L'efficienza di conversione \`e definita come l'energia che una
particella deve perdere in media perch\`e sia prodotto un
fotone. Negli scintillatori plastici tale energia \`e dell'ordine di
1000-3000~eV. Tale efficienza \`e piuttosto bassa rispetto a quella
che si ha in altri tipi di rivelatore. Poich\'e la risoluzione in
energia di un rivelatore \`e tanto migliore quanto pi\`u bassa \`e la
soglia minima di energia che esso pu\`o rivelare, si vede che la
risoluzione in energia di uno scintillatore non \`e molto buona. In
effetti, fatta eccezione per gli scintillatori a cristalli inorganici,
che hanno un'ottima risoluzione in energia, gli scintillatori
comunemente adoperati (liquidi e plastici) hanno principalmente il
pregio di una elevatissima velocit\`a di risposta e di un costo
contenuto.

Il meccanismo di emissione \`e sostanzialmente diverso negli
``scintillatori\index{Scintillatore} inorganici''. Questi sono
costituiti da cristalli di alogenuri alcalini con l'aggiunta di
piccole percentuali di ``attivatori'' che vengono indicati tra
parentesi. Tra i pi\`u usati, ricordiamo il NaI(Tl), CsI(Tl), KI(Tl),
LiI(Eu) e Cs$F_2$.

Gli scintillatori basati su cristalli inorganici, il cui uso \`e
frequente in applicazioni che richiedano una elevata risoluzione in
energia, sono caratterizzati da tempi di decadimento molto pi\`u
lunghi, il che ne sconsiglia l'uso in esperimenti ad alto rate. La
tabella~\ref{tab:scintillatori}, contenente dati tratti dalla
referenza~\cite{crystan}, mostra alcune grandezze caratteristiche di
rivelatori inorganici, confrontate alle analoghe per scintillatori
organici plastici. Le grandezze mostrate nella tabella sono: la
densit\`a $\rho$, la lunghezza di radiazione $\lambda_r$\footnote{La
lunghezza di radiazione \`e definita come la lunghezza di materiale
necessaria per attenuare l'energia della particella incidente ad 1/e
del suo valore. Essa dipende dalla densit\`a, dal numero atomico e dal
numero di massa.}, il tempo di decadimento $\tau$, il numero di fotoni
prodotti per MeV di energia depositata nel materiale, la lunghezza
d'onda $\lambda_{max}$ che corrisponde al picco dell'emissione di luce
nello scintillatore ed infine l'indice di rifrazione n. Quest'ultimo
\`e importante poich\'e, nell'accoppiare lo scintillatore alle guide
di luce, il numero di fotoni che si perdono \`e tanto minore quanto
pi\`u l'indice di rifrazione dello scintillatore \`e vicino a quello
della guida di luce.

\begin{table}
	\begin{center}
		\begin{tabular}[t]{| l | r | r | r | r | r | r |}
		\hline Materiale & $\rho \;(g/cm^3)$ & $\lambda_r$
(cm) & $\tau$ (ns) & fotoni/MeV & $\lambda_{max}$ (nm) & n \\ \hline
$BaF_2$ & 4.89 & 2.03 & 0.6-620 & 2000-6500 & 220-310 & 1.45 \\
$CsI(Tl)$ & 4.51 & 1.86 & 900 & 51800 & 570 & 1.74 \\ $CsI(Na)$ & 4.51
& 1.86 & 630 & 38500 & 420 & 1.74 \\ $CsI$ & 4.51 & 1.86 & 6-35 &
16800 & 310-420 & 1.74 \\ $NaI(Tl)$ & 3.70 & 2.59 & 230 & 37700 & 410
& 1.85 \\ BGO & 7.13 & 1.13 & 300 & 8200 & 480 & 2.15 \\ $CaF_2(Eu)$ &
3.18 & 3.5 & 1000 & 23650 & 435 & 1.43 \\ \hline \hline NE102A & 1.03
& 42.5 & 2.5 & 10000 & 425 & 1.58 \\ \hline
		\end{tabular}
	\end{center}

	\caption{Caratteristiche di alcuni scintillatori. Le grandezze
sono: la densit\`a $\rho$, la lunghezza di radiazione $\lambda_r$, il
tempo di decadimento $\tau$, il numero di fotoni prodotti per MeV di
energia depositata nel materiale, la lunghezza d'onda $\lambda_{max}$
corrispondente al picco dell'emissione di luce nello scintillatore ed
infine l'indice di rifrazione n.}
	\label{tab:scintillatori}
\end{table}


Come si vede dalla tabella, gli scintillatori organici plastici
(mostrati nell'ultima riga della tabella) hanno tempi di decadimento
molto pi\`u brevi di quelli che caratterizzano gli scintillatori
inorganici.  In compenso, questi ultimi producono un numero di fotoni,
per unit\`a di energia depositata dalla particella, molto
maggiore. Ci\`o \`e dovuto al fatto che si tratta tipicamente di
materiali ad alto numero atomico Z.

Quanto alla rapidit\`a di risposta, solo lo Ioduro di Cesio, con
$\tau$=6~ns, pu\`o esser pensato come un competitore degli
scintillatori plastici.

Come accennato, i fotoni prodotti quando una particella attraversa uno
scintillatore\index{Scintillatore}, possono essere rivelati facendo
uso di un fotomoltiplicatore. Nella prossima sezione discuteremo il
principio di funzionamento di questi.

\section{Fotomoltiplicatori}

Un fotomoltiplicatore\index{Fotomoltiplicatore} \`e un dispositivo che
converte un (debole) segnale luminoso in un impulso di corrente. Esso
\`e costituito di un tubo a vuoto, come schematizzato in
figura~\ref{pm_structure_new}, sull'interno della cui faccia frontale
\`e depositato un materiale fotosensibile, cio\`e un materiale con una
bassa soglia per l'effetto fotoelettrico.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/pm_structure_new.eps,width=10.0 cm,
height=12 cm}}\end{center}
\caption{Diagramma schematico di un tubo fotomoltiplicatore.}
\protect\label{pm_structure_new}
\end{figure}

Un certo numero di elettrodi sono posti all'interno del tubo
(dinodi\index{Dinodo}) con il compito di ``moltiplicare'' il piccolo
numero di elettroni prodotti per effetto fotoelettrico dalla
radiazione che investe il fotocatodo. Infine un ulteriore elettrodo
(anodo) raccoglie la nuvola di elettroni prodotta dalla
moltiplicazione, fornendo in uscita un breve impulso di corrente.  Il
fotocatodo \index{Fotocatodo} \`e tenuto ad un potenziale negativo
rispetto all'anodo, mentre i vari dinodi sono tenuti a potenziali
(negativi) via via decrescenti (in valore assoluto) andando dal
fotocatodo verso l'anodo\footnote{In alcuni casi \`e il fotocatodo ad
esser tenuto al potenziale di massa, mentre i dinodi e l'anodo sono
tenuti a potenziali positivi.}.

Un elettrone prodotto nel processo di interazione del fotone incidente
con il materiale che costituisce il fotocatodo, \`e accelerato verso
il primo dinodo dal potenziale applicato. Qui esso pu\`o liberare 2 o
pi\`u elettroni, che vengono accelerati verso il secondo dinodo, e
cos\`{\i} di seguito. Si ha cos\`{\i} un processo di moltiplicazione
che genera infine una ``nuvola'' di elettroni, raccolta poi
dall'anodo.

Nell'esaminare la struttura ed il funzionamento di un tipico
fotomoltiplicatore, \`e opportuno distinguere il ruolo delle parti che
lo compongono: il fotocatodo, il sistema di focalizzazione degli
elettroni emessi da questo, il sistema di moltiplicazione (costituito
nella pi\`u gran parte dei casi da ``dinodi'') con la relativa catena
di distribuzione delle tensioni tra i vari dinodi\index{Dinodo}.

a) Il fotocatodo\index{Fotocatodo}. Questo \`e costituito da un
sottile strato di una sostanza a bassa energia di estrazione,
depositata sulla faccia interna della parte del fotomoltiplicatore che
sar\`a esposta alla luce incidente. All'interno del tubo \`e praticato
il vuoto. \`E il fotocatodo che converte i fotoni incidenti in
elettroni. L'efficienza di conversione (sensibilit\`a catodica) varia
con la lunghezza d'onda della luce incidente. Tale relazione tra
sensibilit\`a catodica e lunghezza d'onda \`e nota come
\emph{caratteristica spettrale}.

La risposta spettrale pu\`o esser quotata in termini della
``sensibilit\`a luminosa'' (S) o della ``efficienza quantica''
\index{Efficienza quantica}(QE). La prima di queste grandezze \`e il
rapporto tra la corrente fotoelettrica dal fotocatodo e la potenza
luminosa incidente ad una frequenza determinata. Essa \`e espressa in
Ampere/Watt (A/W). L'efficienza quantica (QE) \`e il rapporto tra il
numero di fotoelettroni emessi dal catodo ed il numero di fotoni
incidenti. Essa \`e normalmente espressa in percento. Le due diverse
espressioni della risposta spettrale sono legate tra loro dalla
relazione:
\[
QE=\frac{S \times 1240}{\lambda} \times 100
\]
dove $\lambda$ \`e la lunghezza d'onda della luce incidente espressa
in nanometri.

La figura~\ref{pm_photocathode_qe} mostra una tipica curva di risposta
spettrale per un fotocatodo\footnote{Le curve sono quelle del
fotomoltiplicatore R1450 della Hamamatsu~\cite{hamamatsu}.} costituito
da un materiale bialcalino (Sb-Rb-Cs o Sb-K-Cs).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/pm_photocathode_qe.eps,width=10.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Efficienza quantica e sensibilit\'a luminosa di un
fotocatodo.} \protect\label{pm_photocathode_qe}
\end{figure}

Valori tipici dell'efficienza quantica \index{Efficienza quantica} al
massimo dello spettro variano tra il $10 \%$ ed il $25 \%$.

b) Lo stadio di focalizzazione o ``ottica d'ingresso''. Questo ha lo
scopo di far si che gli elettroni emessi dal fotocatodo si dirigano
verso la superficie utile del primo dinodo.  Esso pu\`o esser
costituito da uno o pi\`u elettrodi. Tale ottica determina la
cosiddetta ``efficienza di raccolta'' ($\eta$) del primo stadio,
definita come il rapporto tra il numero di elettroni che raggiungono
la superficie utile del primo dinodo ed il numero totale di elettroni
emessi dal fotocatodo. Il parametro $\eta$ dipende anche dalla
lunghezza d'onda della radiazione incidente e generalmente supera
l'$80\%$.

c) Lo stadio di moltiplicazione. Questo, come gi\`a detto, \`e
costituito da un certo numero di \emph{dinodi}\index{Dinodo}, tenuti a
potenziali progressivamente pi\`u elevati andando dal primo all'utimo
dinodo.  I fotoelettroni emessi dal fotocatodo sono accelerati dal
campo elettrico in modo da colpire il primo dinodo e produrre
elettroni per emissione secondaria.  Si definisce ``fattore di
emissione secondaria'' \index{Fattore di emissione secondaria}
($\delta$) il numero medio di elettroni emessi da un dinodo colpito da
un elettrone. Tale fattore dipende, oltre che dal materiale di cui
sono costituiti i dinodi, dal potenziale acceleratore applicato, vale
a dire dall'energia cinetica che gli elettroni prodotti acquistano per
effetto del campo. Valori tipici di $\delta$ variano tra 2 e 4.  Gli
elettroni secondari emessi dal primo dinodo sono successivamente
accelerati dal campo esistente tra primo e secondo dinodo e, colpendo
quest'ultimo, danno luogo ad un numero pi\`u elevato di elettroni. La
ripetizione di tale processo nei successivi stadi produce infine
un'elevato guadagno in corrente. Una corrente molto piccola all'uscita
del fotocatodo pu\`o cos\`{\i} dar luogo ad un'elevata corrente
dall'anodo del fotomoltiplicatore.


Il ``guadagno'' (G) di un fotomoltiplicatore, definito come la carica
all'anodo per unit\`a di carica all'uscita del fotocatodo (o
equivalentemente come il numero di elettroni che raggiungono l'anodo
per un elettrone emesso dal fotocatodo) dipende ovviamente dal fattore
di emissione secondaria e dal numero N di dinodi (numero di stadi). I
fotomoltiplicatori disponibili in commercio hanno tra 8 e 14 stadi,
con guadagni tipici di $10^7$.

Poich\'e il fattore di emissione secondaria aumenta rapidamente
all'aumentare della tensione applicata, ed essendo il guadagno in
carica del fotomoltiplicatore proporzionale ad una potenza elevata di
tale parametro, ne segue che una anche piccola variazione della
tensione applicata si traduce in un'apprezzabile variazione del
guadagno.

Il fattore di moltiplicazione secondaria $\delta$ \`e infatti
esprimibile~\cite{hamamatsu} in funzione della differenza di
potenziale $V_d$ tra dinodi consecutivi, come:
\[
\delta=A V_d^\alpha
\]
dove A \`e una costante ed $\alpha$ un coefficiente che dipende dalla
geometria e dal materiale di cui son fatti i dinodi. Valori tipici di
$\alpha$ variano tra 0.7 e 0.8.  Se $V=(N+1)V_d$ \`e la tensione
applicata tra anodo e catodo, in un fotomoltiplicatore ad N
stadi\footnote{Si \`e qui fatta l'ipotesi che tutte le $V_d$ siano
uguali.} il guadagno diviene:


\[
G=\delta^N=A^N V_d^{\alpha N}=A^N \frac{V^{\alpha N}}{(N+1)^{\alpha
N}}=k V^{\alpha N}
\]
con k una costante.

Poich\'e il numero degli stadi \`e nel range 8-14, si vede da tale
relazione che il guadagno varia molto rapidamente con la tensione
applicata V. Si ha:
\[
dG=k V^{\alpha N} \frac{\alpha N}{V} dV
\]
da cui:
\[
\frac{dG}{G}=\alpha N \frac{dV}{V}
\]

Se ad esempio \`e N=14, una variazione dello $0.1\%$ in V si traduce
in una variazione di circa l'$1\%$ nel guadagno.  Per tale motivo \`e
importante far uso di alimentatori d'alta tensione che abbiano
un'elevata stabilit\`a. \`E anche importante stabilire delle
condizioni di operazione del fotomoltiplicatore tali che la risposta
dipenda poco dalla tensione applicata (zona di \emph{plateau}).

Lo schema tipico di alimentazione dei vari elettrodi (fotocatodo,
dinodi ed anodo) \`e quello mostrato in
figura~\ref{pm_resistor_ladder}. Come si vede, esso \`e costituito da
un partitore resistivo. Per una buona stabilit\`a delle tensioni
applicate agli elettrodi \`e opportuno che la corrente che fluisce nel
partitore sia grande rispetto a quella anodica media. Lo scopo dei
condensatori posti in parallelo ai dinodi pi\`u vicini all'anodo \`e
quello di stabilizzare la tensione di questi ultimi qualora la
corrente di elettroni tra catodo ed anodo, e quindi la corrente nel
partitore, aumenti bruscamente a seguito di un improvviso aumento del
flusso luminoso in ingresso.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/pm_resistor_ladder.eps,width=12.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Schema di alimentazione di un tubo fotomoltiplicatore.}
\protect\label{pm_resistor_ladder}
\end{figure}

\subsection{Risoluzione energetica di un fotomoltiplicatore}

Una delle pi\`u importanti caratteristiche di un fotomoltiplicatore
\index{Fotomoltiplicatore} \`e la \emph{linearit\`a}. La carica $q_a$
raccolta all'anodo in un breve intervallo di tempo $\tau$ \`e
proporzionale al numero dei fotoni che in un intervallo di tempo
uguale hanno raggiunto il catodo. Questo \`e a sua volta proporzionale
all'energia che la particella ha depositato nello scintillatore.  Tale
proporzionalit\`a implica che se il fotocatodo \index{Fotocatodo} \`e
stato raggiunto da un numero di fotoni tale da dar luogo ad un singolo
fotoelettrone (tenendo conto dell'efficienza quantica $\rho$ del
fotocatodo) all'anodo debba osservarsi una certa carica $q_1$; se il
numero di fotoni, e quindi di fotoelettroni raddoppia, tale carica
dovr\`a esser doppia e cos\`{\i} via.

In realt\`a, tale proporzionalit\`a \`e vera solo \emph{in media}. La
distribuzione della carica osservata all'anodo quando al fotocatodo
\`e prodotto un singolo fotoelettrone ha una larghezza
considerevole. Analoga cosa \`e vera nel caso di due o pi\`u
fotoelettroni prodotti al catodo. Ci\`o che continua ad esser vero \`e
che i valori medi delle rispettive distribuzioni sono proporzionali al
numero di fotoelettroni prodotti.


La situazione \`e complicata ulteriormente dal fatto che, per un dato
numero $n_f$ di fotoni incidenti sul fotocatodo, il numero $n_e$ di
fotoelettroni \`e uguale a $n_f \rho$ \emph{solo in media}. Il numero
osservato in una serie di misure fluttuer\`a attorno a tale valore
secondo la statistica di Poisson:
\[
P(n_e)=\frac{\overline{n}_e^{n_e}e^{-\overline{n}_e}}{n_e !}
\]
con $\sigma_e=\sqrt{\overline{n}_e}$, e quindi:
\[
\frac{\sigma_e}{\overline{n}_e}=\frac{1}{\sqrt{\overline{n}_e}}
\]

Per piccoli valori di $\overline{n}_e$, le fluttazioni relative sono
importanti.

Un meccanismo analogo \`e quello che, nella catena di moltiplicazione,
d\`a luogo a fluttuazioni nella carica raccolta all'anodo per un
numero fissato di fotoelettroni prodotti al catodo.

Anche in tal caso infatti la moltiplicazione che ha luogo a ciascun
dinodo \`e soggetta a fluttuazioni di tipo Poissoniano. Ci\`o \`e
particolarmente importante ai primi dinodi, dove il numero di
elettroni \`e piccolo e quindi maggiore \`e la fluttuazione relativa.

Se ammettiamo che si abbiano N dinodi\index{Dinodo}, tutti
caratterizzati da un medesimo fattore di moltiplicazione $\delta$, il
guadagno $G=\delta^N$ avr\`a una varianza relativa data da:
\[
\left(\frac{\sigma_G}{G}\right)^2\,=\,\left(\frac{\sigma_{\delta}}{\delta}\right)^2+
\left(\frac{\sigma_{\delta}}{\delta}\right)^4+\cdots
\left(\frac{\sigma_{\delta}}{\delta}\right)^{2N}
\]
che si ottiene considerando indipendenti le fluttuazioni su ciascun
dinodo e sommandole quadraticamente. Essendo poi
$\sigma_{\delta}=\sqrt{\delta}$ (statistica di Poisson) otteniamo:
\[
\left(\frac{\sigma_G}{G}\right)^2=\frac{1}{\delta}+\frac{1}{\delta^2}+\cdots\frac{1}{\delta^N}
\simeq \frac{1}{\delta-1}
\]

Si vede da tali espressioni che il massimo contributo alle
fluttuazioni \`e quello dovuto ai primi stadi di moltiplicazione.

Nel caso in cui, come spesso accade, il primo stadio abbia un fattore
di moltiplicazione $\delta_1$ pi\`u elevato, ed indicando con $\eta$
l'efficienza di raccolta di tale stadio, si dimostra~\cite{philips}
che tale espressione diviene:
\[
\left(\frac{\sigma_G}{G}\right)^2=\sigma_{\eta}^2 +
\frac{1}{\eta}\frac{1}{\delta_1}\frac{\delta}{\delta-1}
\]
dove $\sigma_{\eta}^2$ \`e la varianza relativa al fattore $\eta$.

Se si ammette che $\eta$ sia uguale ad 1, questa si semplifica in:
\[
\left(\frac{\sigma_G}{G}\right)^2=\frac{1}{\delta_1}\frac{\delta}{\delta-1}
\]

Complessivamente l'effetto delle fluttuazioni nel fattore di
moltiplicazione e di quelle nell'emissione di fotoelettroni sulla
varianza relativa nel numero di fotoelettroni che arrivano all'anodo
in un piccolo intervallo di tempo $\tau$ \`e dato
da~\cite{lombard-martin}:
\[
\left(\frac{\sigma_n}{n}\right)^2=\frac{1}{\overline{n}_f \rho
\tau}\left(1+\frac{\sigma_{G}}{G}\right)^2
\]
dove $n=n_f \rho G$ \`e il numero di elettroni che nel tempo $\tau$
arrivano all'anodo, $\overline{n}_f$ il numero medio di fotoni che
colpiscono il fotocatodo nell'unit\`a di tempo e $\rho$ l'efficienza
quantica del fotocatodo.

La risoluzione relativa R diventa allora:
\[
R=\frac{\Delta E}{E}=2.36
\frac{\sigma_n}{n}=\frac{2.36}{\sqrt{\overline{n}_f \rho
\tau}}\left(1+\frac{\sigma_G}{G}\right)
\]
dove possiamo assumere che sia:
\[
\frac{\sigma_G}{G}=\frac{\delta}{\delta_1(\delta-1)}
\]
Ammettiamo ad esempio che sia:
\[
\overline{n}_f \tau = 100
\]
\[
\rho=0.2
\]
\[
\delta_1=7\;\;\;\;,\;\delta=4
\]
Troveremo allora:
\[
R=\frac{2.36}{\sqrt{20}}\left(1+\frac{4}{21}\right)=62.5 \%
\]

Il risultato di tali fluttuazioni si traduce in distribuzioni di
carica raccolta all'anodo che hanno, al posto di picchi molto stretti
corrispondenti ad 1, 2, 3,..  fotoelettroni, dei massimi in
distribuzioni del tipo di quella mostrata in
figura~\ref{photomultiplier_pulse_height_distr1}, relativa al
fotomoltiplicatore Hamamatsu~M16, analizzata nella
referenza~\cite{adamson}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/photomultiplier_pulse_height_distr1.eps,width=12.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Distribuzione della carica raccolta all'anodo del
fotomoltiplicatore Hamamatsu M16.}
\protect\label{photomultiplier_pulse_height_distr1}
\end{figure}


Qui si nota un ``piedistallo'' a circa 80 conteggi ADC, corrispondente
ad un numero di fotoelettroni uguale a zero, seguito da un massimo a
circa 220 conteggi, corrispondente ad un singolo fotoelettrone, un
ulteriore massimo a circa 370 conteggi, corrispondente a due
fotoelettroni, e ad un continuo in cui non si distinguono gli altri
massimi.  Sottraendo dal numero di conteggi relativi ad 1 e 2
fotoelettroni, quello relativo al piedistallo, si trova che il massimo
corrispondente ad 1 fotoelettrone ha 140 conteggi ADC e quello
corrispondente a 2 fotoelettroni 290 conteggi ADC. Vediamo quindi che,
entro gli errori, le posizioni dei due massimi sono nel corretto
rapporto di 2 ad 1. Vediamo anche che la larghezza del secondo massimo
\`e maggiore di quella corrispondente al primo. Si potrebbe verificare
che le larghezze $\sigma_2/\sigma_1$ stanno nel rapporto
$\sqrt{2}$. La figura~\ref{photomultiplier_pulse_height_distr2} mostra
il risultato ottenuto per il fotomoltiplicatore
\index{Fotomoltiplicatore} Hamamatsu~M64, analizzato nella medesima
referenza, caratterizzato da una migliore risoluzione energetica.
Vediamo che ora si distingue chiaramente anche il picco corrispondente
a 3 fotoelettroni ed inoltre che i picchi corrispondenti ad 1 e 2
fotoelettroni sono nettamente pi\`u stretti.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/photomultiplier_pulse_height_distr2.eps,width=12.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Distribuzione della carica raccolta all'anodo del
fotomoltiplicatore Hamamatsu M64.}
\protect\label{photomultiplier_pulse_height_distr2}
\end{figure}

\subsection{Risoluzione temporale}

In misure di brevi impulsi luminosi, associati al passaggio di
particelle attraverso lo scintillatore, il segnale anodico dovrebbe
riprodurre fedelmente la distribuzione temporale del segnale luminoso
in ingresso. Tale riproducibilit\`a \`e per\`o notevolmente
influenzata dal cosiddetto \emph{tempo di transito} \index{Tempo di
transito} (TT) degli elettroni nel tubo, dal tempo di salita del
segnale anodico e dallo spread nel tempo di transito (TTS).

Come mostrato in figura~\ref{pm_anode_signal} il tempo di transito \`e
l'intervallo tra l'arrivo dell'impulso luminoso (ipotizzato come
infinitamente stretto, in pratica di durata inferiore a 50~ps) al
fotocatodo e l'istante in cui il segnale anodico raggiunge il suo
valore massimo. Il tempo di salita del segnale anodico \`e definito
come il tempo richiesto perch\`e esso passi dal $10\%$ al $90\%$ del
valore di picco, quando il fotocatodo \index{Fotocatodo} sia
illuminato uniformemente da un segnale luminoso di durata inferiore a
50~ps. Valori tipici di tale tempo sono di 1-2~ns.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/pm_anode_signal.eps,width=11.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Rappresentazione grafica del tempo di transito in uno
scintillatore.} \protect\label{pm_anode_signal}
\end{figure}

Il tempo di transito fluttua tra un impulso e l'altro. Il valore RMS
della distribuzione dei tempi di transito per un gran numero di
impulsi di durata ugualmente breve \`e noto come ``Transit Time
Spread'' (TTS). Il TTS \`e di grande importanza in misure che
richiedano una risoluzione temporale spinta.  Valori tipici del TT
sono di 20-40 ns; quelli del TTS sono di una frazione di ns.


\section{Forma dell'impulso all'uscita del fotomoltiplicatore}

Il segnale all'uscita del fotomoltiplicatore
\index{Fotomoltiplicatore} \`e un breve impulso di corrente, il cui
integrale \`e la carica totale, proporzionale al numero di
fotoelettroni liberati al catodo del fotomoltiplicatore.  Tale impulso
di corrente \`e tipicamente convertito in un impulso di tensione,
facendo uso di una resistenza $R_L$ posta tra anodo e massa, come
mostrato in figura~\ref{pm_resistor_ladder_readout}.

Qui la capacit\`a C rappresenta l'effetto combinato della capacit\`a
dell'anodo rispetto agli altri elettrodi e delle capacit\`a dei cavi
di collegamento. L'operazionale, non sempre presente, \`e utilizzato
come adattatore d'impedenza.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/pm_resistor_ladder_readout.eps,width=12.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Schema elettrico di un fotomoltiplicatore con lo stadio di
uscita.} \protect\label{pm_resistor_ladder_readout}
\end{figure}


Il fotomoltiplicatore \index{Fotomoltiplicatore} pu\`o cio\`e esser
considerato, con ottima approssimazione, un generatore di corrente, in
parallelo con la capacit\`a vista dall'anodo guardando verso massa e
con una resistenza R, come schematizzato in
figura~\ref{photomultiplier_rc_integral}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/photomultiplier_rc_integral.eps,width=5.0 cm,
height=3 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente di un fotomoltiplicatore.}
\protect\label{photomultiplier_rc_integral}
\end{figure}


Esaminiamo ora l'andamento del segnale all'uscita del
fotomoltiplicatore. Ammettendo che il segnale luminoso al fotocatodo
sia quello emesso dallo scintillatore e che questo si possa
approssimare con una singola costante di tempo, la corrente anodica
sar\`a data da:
\[
i(t)\:=\:G \frac{N_e e}{\tau_s} e^{-t/\tau_s}
\]

dove G \`e il guadagno del fotomoltiplicatore; $N_e$ il numero di
fotoelettroni emessi dal catodo; $e$ la carica dell'elettrone;
$\tau_s$ la costante di decadimento dello scintillatore.  L'equazione
del nostro circuito \`e:
\[
\tilde{v}\:=\:\tilde{i}\tilde{Z}\:=\:A\frac{R/sC}{R +
1/sC}\;\frac{1}{s + 1/\tau_s}\:=\:
\frac{R}{\tau}\,\frac{A}{(s+1/\tau)(s+1/\tau_s)}
\]
con:
\[
A\:=\:G \frac{N_e e}{\tau_s}
\]

e $\tau=RC$.

Se $\tau \ne \tau_s$, l'antitrasformata pu\`o esser calcolata con
facilit\`a facendo uso della relazione~(\ref{polisingoli}) a
pagina~\pageref{polisingoli}.

Si trova:
\[
v\:=\:\frac{R
A}{\tau}\left\{\left[\frac{e^{st}}{s+1/\tau_s}\right]_{s=-1/\tau}\;+\;
\left[\frac{e^{st}}{s+1/\tau}\right]_{s=-1/\tau_s}\right\}\:=
\]
\[=
\frac{R A}{\tau}\left\{\frac{e^{-t/\tau}}{1/\tau_s-1/\tau}\;+\;
\frac{e^{-t/\tau_s}}{1/\tau-1/\tau_s}\right\}\:=\:\frac{G N_e e
R}{\tau- \tau_s}\left\{e^{-t/\tau}-e^{-t/\tau_s}\right\}\:=
\]
\[
=\:\frac{Q}{C}\frac{\tau}{\tau-\tau_s}
\left\{e^{-t/\tau}-e^{-t/\tau_s}\right\}
\]
dove $Q=G N_e e$ \`e la carica totale liberata all'anodo.

Se $\tau=\tau_s$, cio\`e se la costante di tempo del circuito \`e
uguale a quella dello scintillatore, l'antitrasformata di Laplace si
pu\`o calcolare facendo uso della~(\ref{polidoppi}) a
pagina~\pageref{polidoppi}. Si ha in tal caso:
\[
\tilde{v}\:=\:\frac{R A}{\tau}\frac{1}{(s+1/\tau)^2}
\]
da cui:
\[
v(t)\:=\:\frac{R A}{\tau}t e^{-t/\tau}\:=\:\frac{R G N_e e}{\tau^2} t
e^{-t/\tau}\:=\:\frac{Q}{C \tau}t e^{-t/\tau}
\]


L'andamento della $v(t)$ \`e qualitativamente mostrato in
figura~\ref{uscita_pm_polodoppio}, nel caso in cui sia $\tau\ne\tau_s$
ed in figura~\ref{uscita_pm_polodoppio_a} nel caso $\tau\ = \tau_s$:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/uscita_pm_polodoppio.eps,width=9.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Andamento dell'impulso all'uscita del fotomoltiplicatore
($\tau \ne \tau_s$).} \protect\label{uscita_pm_polodoppio}
\end{figure}

Si pu\`o verificare che l'ampiezza $v_{max}$ nel primo caso \`e data
da:
\[
v_{max}=\frac{Q}{C}\frac{\tau}{\tau-\tau_s}\left\{\left[\frac{\tau}{\tau_s}\right]^{\frac{\tau_s}{\tau-\tau_s}}-\left[\frac{\tau}{\tau_s}\right]^{\frac{\tau}{\tau-\tau_s}}\right\}
\]
e si ha per:
\[
t=\frac{\tau \tau_s}{\tau - \tau_s} \ln \frac{\tau_s}{\tau}
\]


L'andamento in funzione del rapporto $r=\tau/\tau_s$ \`e mostrato in
figura~\ref{photomultiplier_out_vmax_vs_r}. Si vede che l'ampiezza \`e
massima quando la costante di tempo del circuito $\tau$ \`e molto
maggiore di quella dello scintillatore $\tau_s$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/photomultiplier_out_vmax_vs_r.eps,width=9.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Andamento dell'ampiezza del segnale di un fotomoltiplicatore
in funzione del rapporto $\tau/\tau_s$.}
\protect\label{photomultiplier_out_vmax_vs_r}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/uscita_pm_polodoppio_a.eps,width=9.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Andamento dell'impulso all'uscita del fotomoltiplicatore
($\tau=\tau_s$).} \protect\label{uscita_pm_polodoppio_a}
\end{figure}

Nel caso $\tau=\tau_s$ il massimo si ha per $t=\tau$ ed esso vale:
\[
v_{max}=\frac{Q}{C e}
\]

Nel caso in cui \`e $\tau \ll \tau_s$ l'ampiezza del segnale \`e
ridotta, ma essa riproduce fedelmente la forma del segnale dallo
scintillatore. Il tempo di salita \`e rapido ed \`e determinato
essenzialmente dalla costante di tempo $\tau$ del circuito. Quello di
discesa \`e invece determinato da $\tau_s$.  In tali condizioni si
dice che si lavora nel ``modo corrente'', poich\`e $v(t)$ in tali
condizioni \`e una replica della corrente attraverso la resistenza R.

Per $\tau \gg \tau_s$ l'ampiezza del segnale aumenta, ma
contemporaneamente l'impulso si allunga.  La durata dell'impulso in
tali condizioni \`e determinata essenzialmente dalla costante di tempo
del circuito. Il tempo di salita \`e invece determinato da $\tau_s$,
ed \`e quindi breve.  Si dice che si lavora nel ``modo tensione'',
poich\'e ora $v(t)$ \`e essenzialmente la differenza di potenziale ai
capi di C, che ``integra'' la corrente.

In genere si preferisce lavorare nel modo tensione, poich\'e in tali
circostanze si hanno impulsi pi\`u elevati ($\approx 1\,V$). Il prezzo
che si paga \`e che gli impulsi sono molto pi\`u lunghi e che, come
conseguenza, ad elevati rate di conteggio si pu\`o avere
sovrapposizione di impulsi generati da arrivi successivi di particelle
sul rivelatore. Tale fenomeno \`e noto come ``pile-up''
\index{Pile-up} e su di esso torneremo in seguito.

Lavorando nel modo corrente si pu\`o eliminare tale inconveniente e si
ha inoltre il vantaggio di un segnale che riproduce la forma del
segnale emesso dalla scintillatore (che \`e utile in alcune
applicazioni particolari). Il prezzo che si paga \`e quello di un
segnale di pochi mV, quindi fortemente influenzato dal rumore.


Per una trattazione esauriente dei rivelatori a scintillazione e dei
fotomoltiplicatori si consultino le
referenze~\cite{leo},~\cite{philips},~\cite{hamamatsu}.



\section{Rivelatori a gas}

Tra la fine del 1930 e gli inizi del 1940 furono sviluppati tre nuovi
tipi di rivelatori di particelle, che avrebbero poi giocato un ruolo
sempre pi\`u importante, insieme agli scintillatori che gi\`a
esistevano, in Fisica Subnucleare. Questi erano: la \emph{camera a
ionizzazione}, il \emph{contatore proporzionale} ed il \emph{contatore
di Geiger-Mueller}. Questi rivelatori erano tutti basati sul medesimo
principio: la ionizzazione prodotta da particelle cariche nei
gas. Schematicamente, essi sono costituiti da un recipiente sigillato
contenente una miscela di gas inerti, all'interno del quale sono
presenti due elettrodi tra cui \`e applicata una elevata differenza di
potenziale.

Una particella che attraversi la zona occupata dal gas, pu\`o liberare
delle cariche (elettroni e ioni) lungo il proprio cammino. Per effetto
della differenza di potenziale applicata, nascer\`a una corrente di
drift degli elettroni verso l'elettrodo tenuto a potenziale positivo e
degli ioni verso quello tenuto a potenziale negativo. Su tali
elettrodi si avr\`a quindi una corrente, proporzionale al numero di
ioni-elettroni prodotti e quindi all'energia che la particella ha
perduto nell'attraversare il mezzo\footnote{Ricordiamo che una
particella carica che attraversi un gas perde all'incirca 30~eV per
ogni coppia elettrone-ione prodotta.}.

Il pi\`u antico dei rivelatori a gas, la camera a
ionizzazione\index{Camera a ionizzazione}, ha ora un limitato campo di
applicazioni. Essa ha tipicamente come elettrodi due armature
conduttrici parallele, come mostrato in
figura~\ref{ionization_chamber_layout}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/ionization_chamber_layout.eps,width=11.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Schema di camera a ionizzazione a facce piane e parallele.}
\protect\label{ionization_chamber_layout}
\end{figure}

Il campo elettrico costante esistente nella zona compresa tra le
armature fa si che elettroni e ioni migrino verso di esse, generando
un segnale di corrente rivelabile. Occorre che il campo elettrico sia
sufficientemente elevato da impedire che elettroni e ioni possano
ricombinarsi prima di raggiungere le rispettive armature. Anche se gli
elettroni, durante il moto di drift, subiscono molti urti con gli
atomi del gas, la loro energia cinetica non \`e sufficientemente
elevata da causare ulteriori ionizzazioni del gas. Questo \`e il
tipico funzionamento della camera a ionizzazione, in cui il segnale
raccolto \`e giusto la ionizzazione primaria prodotta dalla
particella. Poich\'e il numero delle coppie elettrone-ione prodotte
\`e tipicamente 120/cm, il segnale ottenuto \`e di modesta entit\`a.

Se indichiamo con q la carica di ionizzazione (elettrone o ione)
prodotta in un punto posto a distanza x dall'armatura positiva del
rivelatore ed assimiliamo questo ad un condensatore a facce piane e
parallele separate da una distanza d, il lavoro compiuto dal campo
elettrico nello spostamento della carica q di un trattino dx \`e:
\[
dW=E q dx = \frac{V}{d} q dx
\]
Questa variazione di energia deve esser compensata da un lavoro
compiuto dal generatore, che deve mantenere costante la differenza di
potenziale V fornendo una certa carica dQ. L'energia spesa dal
generatore \`e:
\[
dW_g=d\left(\frac{Q^2}{2C}\right)=\frac{Q dQ}{C}
\]
Uguagliando questa a $dW$ si ottiene:
\[
\frac{Q dQ}{C}=\frac{V}{d}q dx
\]
\[
dQ=\frac{C V}{Q} q \frac{dx}{d}=q \frac{dx}{d}
\]
In un tempo dt avremo quindi, per gli elettroni:
\[
dQ_e=\frac{q}{d} \frac{dx_e}{dt}dt=\frac{q}{d}v_e dt
\]
dove $v_e=dx_e/dt$ \`e la velocit\`a di drift degli elettroni nel
campo elettrico E.

Analogamente avremo, per gli ioni:
\[
dQ_i=\frac{q}{d}v_i dt
\]
dove $v_i$ \`e la velocit\`a di drift degli ioni.

La velocit\`a di drift \`e legata al campo elettrico dalla relazione:
\[
v=\frac{\mu E}{P}
\]
dove $P$ \`e la pressione del gas ed il coefficiente $\mu$ vale
all'incirca:
\[
\mu \equiv \mu_e \simeq 10^3\;cm^2 V^{-1} s^{-1}
\]
per gli elettroni, e:
\[
\mu \equiv \mu_i \simeq 1 \; cm^2 V^{-1} s^{-1}
\]
per gli ioni.

Per campi elettrici di $10^3\;V/cm$, valori tipici delle velocit\`a di
drift nei gas a pressione atmosferica sono:
\[
v_e \simeq 10^6\;cm/s
\]
e:
\[
v_i \simeq 10^3 \;cm/s
\]
Se prendiamo ad esempio: d=1~cm ed integriamo il segnale su $1 \,\mu
s$, otteniamo allora:

\[
dQ_i=10^{-3} q
\]
\[
dQ_e=q
\]
Vediamo quindi che il segnale dovuto agli elettroni \`e $10^3$ volte
quello dovuto agli ioni.


Con campi elettrici di circa 100~V/cm, in una camera a ionizzazione
spessa 1~cm il tempo di drift \`e $\simeq 10 \mu s$ per gli elettroni
e $\simeq 10 ms$ per gli ioni. Si tratta quindi di un rivelatore
intrinsecamente lento.

Se l'intensit\`a del campo elettrico vien portata a valori abbastanza
pi\`u elevati, gli elettroni possono acquistare un'energia cinetica
sufficiente a causare ulteriori processi di ionizzazione e dar quindi
luogo ad un processo a valanga (scarica Townsend\index{Townsend}).
Questa \`e la zona di funzionamento schematicamente indicata in
figura~\ref{pulse_height_vs_potential}.

Nella figura, le due diverse curve sono relative rispettivamente a
particelle $\alpha$ (curva superiore) e ad elettroni (curva
inferiore). La curva relativa a particelle $\alpha$, che producono un
numero di coppie/cm molto pi\`u elevato, \`e circa due ordini di
grandezza pi\`u in alto (almeno per potenziali applicati inferiori a
circa 700~V). Notiamo, in entrambe le curve, il tratto iniziale, in
cui una gran parte delle coppie prodotte si ricombinano, il che fa si
che l'altezza d'impulso osservata sia molto piccola. Segue un tratto
(\emph{plateau della regione di ionizzazione}) dove l'altezza
d'impulso \`e costante al variare del potenziale. Qui la
ricombinazione non ha pi\`u luogo e la carica totale raccolta coincide
con quella prodotta dalla ionizzazione. Questa \`e la zona di
funzionamento di una camera a ionizzazione\index{Camera a
ionizzazione}.

Continuando ad aumentare il potenziale applicato, il campo elettrico
comincia ad essere abbastanza elevato che ciascun elettrone prodotto
acquista un'energia cinetica sufficiente a ionizzare a sua volta altri
atomi, producendo una minuscola valanga.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/pulse_height_vs_potential.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Ampiezza d'impulso misurata in un rivelatore a gas, al
variare della tensione applicata. La curva superiore \`e relativa a
particelle $\alpha$, quella inferiore ad elettroni.}
\protect\label{pulse_height_vs_potential}
\end{figure}

Questa regione di funzionamento si raggiunge per valori tipici del
potenziale di un centinaio di~Volt. Questa \`e la zona di
funzionamento detta ``proporzionale''.

A tensioni ancora pi\`u elevate (diverse centinaia di~Volt), l'effetto
di moltiplicazione aumenta rapidamente ma, con l'aumentare del numero
di valanghe prodotte, queste cominciano ad interagire tra loro; si
entra nella zona nota come ``di proporzionalit\`a limitata''. Se il
potenziale vien fatto aumentare ulteriormente, la carica raccolta
diviene indipendente dalla ionizzazione che l'ha prodotta. In questa
zona, come si vede dalla figura, la curva relativa alle particelle
$\alpha$ viene a coincidere con quella relativa agli elettroni e forma
un \emph{plateau} all'aumentare della tensione. Questa \`e nota come
``regione di Geiger-Mueller''. I rivelatori che operano in questa
zona, noti comunemente come \emph{contatori Geiger}\index{Contatore!
Geiger}, sono molto usati in misure di radioattivit\`a.



Ci concentreremo ora su quello che \`e oggi il pi\`u adoperato dei
rivelatori a gas, quello che opera nella zona di
``proporzionalit\`a'', noto appunto come \emph{contatore
proporzionale}.


\subsection{Il Contatore Proporzionale}

Un notevole progresso nello sviluppo dei rivelatori a gas si \`e avuto
con la realizzazione dei \emph{contatori
proporzionali}\index{Contatore! proporzionale}, il cui prototipo,
mostrato in figura~\ref{contatore_proporzionale}, \`e costituito da un
cilindro metallico, avente un diametro dell'ordine del centimetro,
costituente il catodo del rivelatore.

Si costruiscono oramai strutture costituite dall'equivalente di
migliaia di contatori proporzionali \index{Contatore! proporzionale}
assemblati in geometrie planari. Queste, note come \emph{Camere
Proporzionali a Fili}, consentono di determinare con buona precisione
il punto in cui una o pi\`u particelle hanno attraversato la
struttura.
  
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/contatore_proporzionale.eps,width=9.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Prototipo di contatore proporzionale.}
\protect\label{contatore_proporzionale}
\end{figure}


Lungo l'asse del cilindro \`e tenuto sotto una leggera tensione un
sottile filamento metallico avente un diametro di poche decine di $\mu
m$, isolato elettricamente dalle pareti del cilindro. Questo
costituisce l'anodo del rivelatore.

Il cilindro \`e chiuso alle estremit\`a e riempito con un gas a
pressione atmosferica. In genere si adopera un gas nobile (Argon) con
l'aggiunta di una piccola percentuale ($\approx\,10\%$) di un gas
quale $CO_2$ o $CH_4$.  La differenza di potenziale applicata tra il
filamento centrale (anodo) e l'involucro metallico (catodo) \`e di
diverse centinaia di Volt.  Gli elettroni liberati dal passaggio di
una particella nel rivelatore sono accelerati verso l'anodo dal campo
elettrico:
\begin{equation}
E(r)=\frac{V_0}{r \ln(\frac{r_c}{r_w})} \label{espressione_del_campo}
\end{equation}
dove r \`e la distanza dall'anodo, $V_0$ il potenziale applicato,
$r_c$ il raggio del contenitore ed $r_w$ quello del filo. In
prossimit\`a di quest'ultimo, dove il campo acquista valori
estremamente elevati, gli elettroni hanno ormai acquistato abbastanza
energia da ionizzare a loro volta, producendo altri elettroni che sono
nuovamente accelerati. Il processo si ripete molte volte fino a
generare una carica apprezzabile che \`e poi raccolta dall'anodo. Gli
ioni positivi prodotti migreranno invece verso il catodo producendo un
impulso di tensione~\footnote{In realt\`a il moto delle cariche verso
gli elettrodi induce un segnale in corrente. Questo \`e per\`o
integrato dalla capacit\`a del rivelatore, producendo cos\`{\i} un
segnale in carica, e quindi una tensione ai capi di tale capacit\`a.}
all'uscita (anodo nell'esempio) del rivelatore. I segnali prodotti
sono proporzionali alla ionizzazione iniziale. Questo tipo di
rivelatore pu\`o quindi fornire informazioni sull'energia depositata
dalla particella nell'attraversarlo.

Notiamo che, a causa della moltiplicazione nel numero di elettroni
causato dall'elevato campo elettrico, il dispositivo in questione ha
un \emph{guadagno intrinseco} elevato (valori tipici vanno da qualche
centinaio a diverse migliaia). Ci\`o implica, oltre a segnali di
ampiezza apprezzabile, basse ``fluttuazioni'' e quindi un'ottima
risoluzione energetica e temporale.

Se un elettrone \`e generato in un certo punto posto a distanza r dal
filo, indicando con q la carica ottenuta nel processo di
moltiplicazione (con $q$ negativa per gli elettroni, positiva per gli
ioni) ed ammettendo che tale carica si sposti nel campo elettrico di
un trattino $dr$ in un tempo $dt$, il lavoro compiuto dal campo
sar\`a:
\[
dW=q E(r) dr
\]
Il generatore che alimenta il contatore dovr\`a fornire, per mantenere
costante il potenziale $V_0$, una carica dQ tale da compensare questo
lavoro. Il lavoro fatto dal generatore \`e:
\[
dW_g=d\left(\frac{Q^2}{2C}\right)=\frac{Q}{C} dQ
\]
dove $C$ \`e la capacit\`a del rivelatore (condensatore cilindrico di
raggio interno $r_w$ ed esterno $r_c$).

Uguagliando le due espressioni dell'energia, troviamo:
\[
dQ=\frac{C}{Q}q E(r) dr
\]
da cui, facendo uso dell'espressione del campo
elettrico~(\ref{espressione_del_campo}):
\begin{equation}
dQ=\frac{Cq}{Q} \frac{V_0}{r \ln(r_c/r_w)} dr\;=\;\frac{q}{\ln
(r_c/r_w)}\frac{dr}{r} \label{espressione_della_carica_indotta}
\end{equation}
 
Notiamo che la carica $q_e$, uguale in modulo a $q_i$, si sviluppa,
come questa, nelle immediate vicinanze del filo (anodo) dove il campo
elettrico raggiunge valori molto elevati. Ne segue che il moto di
drift degli elettroni (verso l'anodo) sar\`a estremamente breve,
mentre quello degli ioni, che debbono raggiungere la parete esterna
del rivelatore (catodo) dovendo attraversare una zona di campo molto
meno intenso e con una minore mobilit\`a\index{Mobilit\`a}, durer\`a
molto pi\`u a lungo.

La carica totale indotta sul catodo dagli ioni \`e per\`o molto
maggiore di quella indotta sull'anodo dagli elettroni. Per calcolare
la prima, integriamo
l'espressione~(\ref{espressione_della_carica_indotta}) tra il punto dove
la carica si \`e sviluppata, a distanza r dall'asse, ed il punto di
raccolta degli ioni, ad un raggio $r_c$:
\[
Q_i=\int_r^{r_c} \frac{q}{\ln(r_c/r_w)}
\frac{dr'}{r'}=\frac{q}{\ln(r_c/r_w)} \ln(r_c/r)
\]
La carica indotta sull'anodo dal moto degli elettroni \`e invece:
\[
Q_e=\int_r^{r_w} \frac{-q}{\ln(r_c/r_w)}
\frac{dr'}{r'}=\frac{q}{\ln(r_c/r_w)} \ln(r/r_w)
\]

Il rapporto delle due \`e:
\[
\frac{Q_e}{Q_i}=\frac{\ln(r/r_w)}{\ln(r_c/r)}
\]
dove, per quanto detto, si ha tipicamente:
\[
\frac{r}{r_w} \le 2
\]
\[
\frac{r_c}{r} \simeq 1000
\]
Ne segue:
\[
\frac{Q_e}{Q_i} < 0.1
\]
Gli elettroni danno quindi un contributo minore alla carica indotta.

L'intensit\`a della corrente associata agli elettroni \`e per\`o, nei
primi istanti dopo la produzione della carica, molto maggiore di
quella associata agli ioni, che dura peraltro molto pi\`u a lungo.

La prima di queste \`e infatti data da:
\[
i_e=\frac{dQ_e}{dt}=\frac{dQ_e}{dr'} \frac{dr'}{dt}
\]
dove:
\[
Q_e(r')=\frac{q}{\ln(r_c/r_w)}\int_r^{r'}
\frac{d\rho}{\rho}=\frac{q}{\ln(r_c/r_w)}\ln(r'/r)
\]
e quindi:
\[
\frac{dQ_e}{dr'}=\frac{q}{\ln(r_c/r_w)} \frac{1}{r'}
\]
\`E poi:
\[
\frac{dr'}{dt}=v_e(r')=\mu_e E(r')=\mu_e \frac{V_0}{r' \ln(r_c/r_w)}
\]
Si ha pertanto:
\[
i_e(r')=\frac{q}{\ln(r_c/r_w)} \frac{1}{r'}\mu_e \frac{V_0}{r'
\ln(r_c/r_w)}\;=\; \frac{q V_0}{\ln^2(r_c/r_w)} \frac{\mu_e}{r'^2}
\]
Analogamente troviamo:
\[
i_i(r')=\frac{q V_0}{\ln^2(r_c/r_w)}\frac{\mu_i}{r'^2}
\]
In queste espressioni la variabile $r'$ \`e la distanza dall'asse a
cui \`e calcolata la corrente. Nel caso degli elettroni tale distanza
\`e limitata a $\simeq \,40\,\mu m$, mentre nel caso degli ioni essa
arriva fino a $\approx \,cm$. Essendo inoltre la mobilit\`a
\index{Mobilit\`a} degli elettroni $ \approx \, 10^3$ volte quella
degli ioni, vediamo che il rapporto delle correnti $i_e/i_i$, nel
(brevissimo) intervallo di tempo in cui quella dovuta agli elettroni
\`e finita, \`e dell'ordine di $10^9$.

Si vede cos\`{\i} che il segnale di corrente ha una componente veloce,
ma di grande ampiezza, dovuta agli elettroni, sovrapposta ad una
componente che \`e pi\`u lunga di molti ordini di grandezza, ma di
ampiezza molto minore, dovuta agli ioni.



Analizzando in dettaglio il segnale generato da una particella carica
che attraversa il rivelatore depositando una carica q, si pu\`o
dimostrare che la forma dell'impulso di tensione generato dagli ioni
\`e data da:
\[
v(t)\:=\:-\frac{q}{4 \pi \epsilon L} \ln \left(1 + \frac{\mu C
V_0}{\pi \epsilon r_c^2}t\right)
\]

dove:
\begin{itemize}
\item L = lunghezza del rivelatore
\item $\epsilon$ = costante dielettrica del gas
\item $C=\frac{2 \pi \epsilon}{\ln(\frac{r_c}{r_w})}$ = capacit\`a per
unit\`a di lunghezza del condensatore cilindrico.
\item $\mu$ = mobilit\`a degli ioni nel gas
\item $V_0$ = potenziale applicato
\item q = carica prodotta dalla ionizzazione primaria
\item $r_c$ = raggio del cilindro
\item $r_w$ = raggio del conduttore interno (filo)
\item t = tempo (misurato a partire dall'istante in cui la particella
\`e passata)
\end{itemize}

L'andamento tipico della $v(t)$ \`e mostrato in
figura~\ref{rivelatore_gas_output_a}:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/rivelatore_gas_output_a.eps,width=12.0 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Andamento del segnale all'uscita di un contatore
proporzionale.} \protect\label{rivelatore_gas_output_a}
\end{figure}



Il segnale \`e intrinsecamente lungo. Occorrer\`a quindi
differenziarlo, ad esempio utilizzando un circuito CR. Il segnale
risultante dalla differenziazione \`e mostrato nella stessa figura.

A causa del processo di moltiplicazione a valanga che ha luogo nel
gas, e del fatto che \`e possibile realizzare rivelatori in cui la
zona di gas attraversata dalla particella \`e relativamente spessa
($\approx \;cm$), l'ampiezza dei segnali prodotti da tale tipo di
rivelatore \`e intrinsecamente elevata e pone quindi richieste di non
grande entit\`a sull'elettronica posta a valle.

\subsection{Il modo streamer limitato}

Segnali di ampiezza ancora pi\`u elevata si ottengono nel modo di
funzionamento a \emph{streamer limitato}\index{Streamer limitato},
usato prevalentemente in camere multifilo sensibili alla posizione di
passaggio delle particelle cariche (tubi di Iarocci).  Anche in questo
tipo di rivelatori la carica di ionizzazione primaria che si forma
lungo la traiettoria della particella incidente subisce
un'amplificazione per la formazione di valanghe di
Townsend\index{Townsend}, ma le modalit\`a con cui tali valanghe si
propagano attraverso il gas sono diverse.  La differenza \`e dovuta in
particolare al modo in cui sono trattati i fotoni ultravioletti emessi
dagli atomi del gas eccitati dalle collisioni degli elettroni durante
l'evoluzione della valanga stessa.  Tali fotoni possono infatti
provocare a loro volta ulteriori ioni\-zzazioni di atomi.  Nel modo
proporzionale, il processo a valanga viene soppresso dall'aggiunta di
un gas cosiddetto di \emph{quenching}\index{Quenching}, ad esempio
isobutano, il quale \`e in grado di assorbire i fotoni ultravioletti
senza ulteriore rilascio di elettroni.

Nei contatori Geiger \index{Contatore! Geiger} i fotoni emessi in una
valanga si propagano per tutta la lunghezza del filamento.  Il
processo quindi si arresta solo quando le valanghe secondarie,
prodotte dai fotoni stessi, hanno occupato l'intero volume del gas,
generando un segnale saturato che non dipende dal numero di coppie di
ioni iniziali.

Nei rivelatori a streamer limitato l'uso di particolari miscele di gas
in grado di assorbire i fotoni ultravioletti fa s\`{\i} che il
processo di moltiplicazione avvenga in modo controllato e solo in
prossimit\`a della regione di ionizzazione primaria.  In questo modo
le valanghe si sviluppano in forma di stretti ``streamer'' che si
estendono solo per pochi millimetri, in direzione radiale, a partire
dal filo anodico.  Lo streamer termina quando il campo elettrico, di
intensit\`a decrescente mano a mano che ci si allontana dall'anodo,
non \`e pi\`u in grado di generare ulteriori valanghe.

Nel modo di funzionamento a streamer limitato \index{Streamer
limitato} si ottengono i vantaggi di un elevato guadagno intrinseco
tipico del contatore Geiger, ma senza i lunghi tempi morti che
caratterizzano quest'ultimo a causa della carica spaziale che si
produce per tutta la lunghezza del filo, la quale schermando il campo
elettrico nella regione di moltiplicazione rende il rivelatore stesso
inutilizzabile per circa 100 $\mu$s.

\section{Rivelatori a semiconduttore}

In un normale diodo a semiconduttore realizzato mediante una giunzione
p-n si ha una corrente apprezzabile solo se la polarizzazione
applicata \`e diretta. L'applicazione invece di una polarizzazione
inversa dar\`a luogo ad una corrente molto piccola (la corrente
inversa $I_0$) dovuta alla generazione termica di coppie
elettrone-lacuna nella zona p ed in quella n (vedi
figura~\ref{struttura_diodo}). Attorno alla giunzione si forma quella
che \`e nota come ``zona di svuotamento''\index{Zona di svuotamento},
dove \`e presente un accumulo di cariche negative sul lato ``p'' della
giunzione e positive sul lato ``n''.  Notiamo che le cariche presenti
in tale regione sono ``legate''; esse non contribuiscono alla
conducibilit\`a che, in tale zona, \`e estremamente bassa. Di qui il
termine ``zona di svuotamento''.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/struttura_diodo.eps,width=11.0 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Principio di funzionamento di un rivelatore a semiconduttore
e andamento del potenziale in prossimit\`a della giunzione.}
\protect\label{struttura_diodo}
\end{figure}


Se una particella ionizzante attraversa la zona di svuotamento, essa
liberer\`a coppie elettrone-lacuna lungo il percorso.  Come mostrato
in figura, gli elettroni generati nella zona di svuotamento sul lato p
saranno allora accelerati dal potenziale esterno V applicato e
fluiranno verso la zona n. Analogamente, le lacune generate nella zona
n in prossimit\`a della giunzione saranno accelerate dal potenziale V
e si muoveranno verso la zona p.

Si avr\`a in tal modo un improvviso aumento della corrente inversa
attraverso il diodo.  La misura di tale corrente pu\`o essere
utilizzata per rivelare il passaggio della particella ed eventualmente
per valutare l'energia che essa ha depositato nell'attraversare il
mezzo (cio\`e la zona di svuotamento\index{Zona di svuotamento}).

La generazione di coppie elettrone-lacuna in una giunzione p-n
attraversata da una particella carica \`e, per molti rispetti, simile
alla produzione di coppie elettrone-ione nei rivelatori a gas, con una
importante differenza. Mentre nel caso dei rivelatori a gas l'energia
necessaria a produrre una coppia era $\approx 30$~eV, nel caso di un
semiconduttore sono sufficienti 3-4~eV, cio\`e un ordine di grandezza
meno. Poich\'e la risoluzione in energia del rivelatore \`e tanto
migliore quanto maggiore il numero di coppie prodotte, ne segue un
indubbio vantaggio nel caso dei rivelatori a
semiconduttore\index{Rivelatore! a semiconduttore}.  A ci\`o
contribuisce anche la maggior densit\`a del materiale nel caso di un
semiconduttore, rispetto al caso del gas. Per farci un'idea del
segnale che possiamo aspettarci in un tipico rivelatore, consideriamo
ad esempio il caso di un rivelatore al silicio \index{Rivelatore! al
silicio} dello spessore di 300~$\mu m$.  Una particella
ultrarelativistica (particella ioniz\-zante al minimo o MIP) che
attraversa tale spessore, deposita un'energia di circa
116~KeV. Poich\'e bastano circa 3.6~eV per produrre una coppia
elettrone-lacuna, il numero di coppie prodotte sar\`a:
\[
n_p\:=\:\frac{116}{3.6}\cdot 1000\:\approx 32200
\]
corrispondenti ad una carica di:
\[
32200 \cdot 1.6 \,10^{-19}\;C\:=\:5.16 \; 10^{-15}\;C
\]
cio\`e circa 5~fC.
 

I materiali adoperati per realizzare i diodi da usare come rivelatori
sono principalmente il silicio ed il germanio. Rivelatori al germanio
\index{Rivelatore! al germanio} sono adoperati in misure che
richiedano una elevata risoluzione energetica (fino a 150-200
eV). Ci\`o \`e possibile grazie al fatto che si riesce a produrre Ge
con elevatissime purezze (concentrazioni di impurezze che scendono
fino a $10^{10}$~$atomi/cm^3$), il che consente di realizzare diodi al
Ge che possono operare con tensioni inverse molto elevate e
conseguentemente con zone di svuotamento molto ampie (fino a
$\approx\,10\,mm$). Purtroppo, tali rivelatori debbono essere operati
a bassissime temperature ($\approx\, 80\,^oK$) a causa della
bassissima (0.7~eV) differenza di energia tra banda di conduzione e
banda di valenza nel Ge. Se un rivelatore al Ge fosse adoperato a
temperatura ambiente, la corrente inversa risultante sarebbe
inaccettabilmente elevata.

Un uso molto pi\`u diffuso hanno i rivelatori al Si, che possono
essere adoperati a temperatura ambiente.  I diodi utilizzati come
rivelatori in fisica nucleare e subnucleare sono di regola drogati in
modo fortemente sbilanciato: un materiale di tipo p viene fortemente
drogato n da un lato (o viceversa). Inoltre, lo spessore del materiale
di tipo p \`e molto maggiore di quello di tipo n. In tali condizioni
la zona di svuotamento verr\`a ad estendersi in profondit\`a nel lato
p (quello di maggiore spessore), come mostrato in
figura~\ref{silicon_diode}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/silicon_diode.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Schema di alimentazione di un rivelatore a semiconduttore.}
\protect\label{silicon_diode}
\end{figure}


La zona di svuotamento si estender\`a tanto pi\`u in profondit\`a
all'interno della zona p quanto pi\`u elevata sar\`a la polarizzazione
inversa applicata.  Si pu\`o dimostrare (ref.~\cite{leo}, pag. 217,
\cite{knoll}, pag. 357, \cite{Green} pag. 181) che la profondit\`a
della zona di svuotamento \index{Zona di svuotamento} \`e data da:
\[
d\:\simeq\:\sqrt{\frac{2 \epsilon V_0}{e N_A}}
\]


dove $V_0$ \`e la tensione inversa applicata, $N_A$ la concentrazione
degli accettori (nell'ipotesi $N_D \gg N_A$) ed $\epsilon$ la costante
dielettrica del materiale.

Come vediamo, la profondit\`a della zona di svuotamento cresce con la
radice quadrata della tensione inversa applicata.  Se il rivelatore
\`e di piccolo spessore sar\`a facile raggiungere una tensione tale da
far si che la larghezza della zona svuotata, d, divenga praticamente
uguale allo spessore del detector.  Si dice che il rivelatore \`e
allora \emph{completamente svuotato}. Nei rivelatori comunemente
adoperati, il completo svuotamento si raggiunge per tensioni di
50-100~V.

Questa condizione di lavoro \`e quella quasi sempre adoperata.

Si pu\`o facilmente vedere che, per un rivelatore completamente
svuotato, il campo elettrico decresce linearmente in funzione della
distanza x dalla giunzione. Se la tensione inversa applicata \`e
maggiore di quella che corrisponde al completo svuotamento, il campo
elettrico sar\`a la somma di quello uniforme dovuto a tale ``tensione
in eccesso'' e di quello linearmente decrescente che corrisponde al
completo svuotamento. Se la tensione inversa vien fatta aumentare
ulteriormente, il termine costante diverr\`a quello dominante. Useremo
nel seguito tale modello.

Dobbiamo ora esaminare i processi che hanno luogo nel rivelatore
quando questo \`e attraversato da una particella carica. Sono
possibili due situazioni estreme:
\begin{itemize}
\item[(a)] {la particella deposita tutta la sua energia in un punto ben
preciso, caratterizzato da un determinato valore di x;}
\item[(b)] {la particella attraversa tutto il rivelatore, depositando
energia a tutti i possibili valori di x.}
\end{itemize}

Calcoleremo la risposta temporale del rivelatore nel caso a).  La
risposta nel caso b) potr\`a poi essere ottenuta, effettuando una
opportuna integrazione, a partire da quella relativa al caso a), dove
si intenda per ``energia depositata'' quella della singola coppia
elettrone-lacuna, nel dato punto del campo presente all'interno del
diodo.

Notiamo che il diodo svuotato pu\`o essere assimilato ad un
condensatore piano, di spessore pari alla larghezza d della zona di
svuotamento che, nel caso in esame, coincide in pratica con lo
spessore fisico del rivelatore.

Esaminiamo l'effetto che il moto di drift delle cariche (elettroni e
lacune) liberate nella zona di svuotamento, ha sulla carica presente
sulle ``armature'' del condensatore-diodo.  La capacit\`a del
condensatore \`e:

\[
C\:=\:\epsilon \frac{A}{d}
\]

dove A \`e la superficie delle ``armature'' ed $\epsilon$ la costante
dielettrica.

Se la differenza di potenziale ai capi del ``condensatore'' \`e V, la
sua energia sar\`a:
\[
\mathcal{E}\:=\:\frac{1}{2} C V^2 \:=\:\frac{Q^2}{2 C}
\]

Una carica elementare q (elettrone o lacuna), posta ad una distanza x
dalla giunzione, avr\`a un'energia:
\[
\mathcal{E}\:=\:q x E(x)\:=\:q x E
\]

dove E \`e il campo elettrico, che nel caso in esame non dipende da x.
Essendo poi $E=V/d$, avremo:

\[
\mathcal{E}\:=\:q x E\:=\:q x \frac{V}{d}
\]

Se ora la carica si sposta di un tratto infinitesimo dx, la
conseguente variazione della sua energia (cio\`e il lavoro che il
campo avr\`a fatto su di essa) sar\`a:
\begin{equation}
d\mathcal{E}\:=\:q \frac{V}{d} dx \label{rivelatori_deq}
\end{equation}


A questa dovr\`a corrispondere una variazione dell'energia totale del
condensatore:
\begin{equation}
d\left(\frac{Q^2}{2C}\right)\:=\:\frac{Q}{C} dQ
\label{rivelatori_decondensa}
\end{equation}

Uguagliando le espressioni~(\ref{rivelatori_deq})
e~(\ref{rivelatori_decondensa}) si trova:
\[
\frac{Q}{C} dQ\:=\:\frac{q}{d} V dx
\]
da cui:
\[
dQ\:=\:\frac{q}{d} dx
\]

Nel caso in esame, le cariche che si spostano per effetto del campo
elettrico sono l'elettrone e la lacuna prodotta nel punto di ascissa
x. Esse si muoveranno in versi opposti ma, avendo cariche opposte, i
loro effetti saranno concordi.

L'elettrone si muover\`a in direzione opposta a quella del campo
elettrico (cio\`e verso destra nella figura), la lacuna nella
direzione del campo.

Le rispettive velocit\`a di drift \index{Velocit\`a ! di drift} $v_e$
e $v_h$ (costanti se il campo \`e costante) sono date da:
\[
v_e\:=\:\mu_e E
\]
\[
v_h\:=\:\mu_h E
\]

dove $\mu_e$ e $\mu_h$ sono le rispettive mobilit\`a
\index{Mobilit\`a} (che, per il silicio a temperatura ambiente,
valgono: $\mu_e \simeq 1350 cm^2/(V s)$ e $\mu_h \simeq 480 cm^2/(V
s)$).

La carica totale indotta dal moto dell'elettrone al tempo t sar\`a
allora:
\[
Q_e(t)\:=\:\frac{q}{d} v_e t
\]

Se indichiamo con $N_e$ il numero di elettroni prodotti nel punto x,
la relativa corrente sar\`a:
\[
I_e(t)\:=\:\frac{N_e q}{d} v_e
\]

al tempo $t=x/v_e$ l'elettrone avr\`a raggiunto la giunzione (che, nel
modello in esame, rappresenta una delle armature del condensatore). La
carica finale indotta dal moto di un singolo elettrone sar\`a quindi:
\[
Q_e\left(t=\frac{x}{v_e}\right)\:=\:\frac{q}{d} x
\]

Analogamente, la carica indotta dal moto di una singola lacuna al
tempo t sar\`a:

\[
Q_h(t)\:=\:\frac{q}{d} v_h t
\]

e la relativa corrente, per un numero $N_h$ di lacune prodotte nel
punto x, sar\`a:

\[
I_h(t)\:=\:\frac{N_h q}{d} v_h
\]

Questa sar\`a diversa da zero fino all'istante:
\[
t'\:=\:\frac{d-x}{v_h}
\]

A tale istante la carica $Q_h$ avr\`a raggiunto l'altra armatura.  La
carica finale indotta dal moto di una singola lacuna sar\`a allora:
\[
Q\left(t=\frac{d-x}{v_h}\right)\:=\:q \frac{d-x}{d}
\]

La carica complessiva raccolta sar\`a:
\[
\frac{q}{d} x + \frac{q}{d}(d-x)\:=\:q
\]

Se la radiazione incidente perde tutta la propria energia appena al di
l\`a della giunzione, $x$ sar\`a molto piccolo ed il contributo degli
elettroni sar\`a trascurabile (la relativa corrente si annulla in
tempi molto brevi). Sopravvive in tal caso il solo contributo delle
lacune.

Riassumendo, i contributi alla carica raccolta al tempo t sono dati
da:
\[
Q_e(t)\:=\:\frac{q}{d}v_e t \;\;(0<t<\frac{x}{v_e})
\]
\[
Q_h(t)\:=\:\frac{q}{d}v_h t \;\;(0<t<\frac{d-x}{v_h})
\]

\[
Q(t)\:=\:\frac{q}{d}(v_e + v_h) t \;\;(0<t<\frac{x}{v_e})
\]

\[
Q(t)\:=\:\frac{q}{d} v_h t \;\;(\frac{x}{v_e}<t<\frac{d-x}{v_h})
\]

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/carica_raccolta.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Forma dell'impulso di carica in un rivelatore a
semiconduttore con campo elettrico costante.}
\protect\label{carica_raccolta}
\end{figure}

L'andamento temporale della carica raccolta sar\`a allora quello
indicato in figura~\ref{carica_raccolta} dove si \`e fatta l'ipotesi
che sia:

\[
\frac{d-x}{v_h} > \frac{x}{v_e}
\]


Ci\`o \`e vero nell'ipotesi che la polarizzazione inversa applicata al
diodo sia sufficientemente elevata da poter considerare il campo
elettrico costante nell'intera zona attiva.

Qualora invece la polarizzazione applicata fosse giusto quella
sufficiente ad ottenere il completo svuotamento del rivelatore, il
campo avrebbe un andamento linearmente decrescente andando dalla
giunzione (valore massimo del campo) all'estremit\`a della zona attiva
del rivelatore (campo nullo). In tal caso le formule ottenute vanno
modificate. Il risultato (vedasi~\cite{leo} e~\cite{knoll}) \`e:

\[
Q_e(t)\:=\: \frac{q}{d} x \left(1 - e^{\mu_e t/\mu_h
\tau}\right)\;\;(t<\tau\frac{\mu_h}{\mu_e})
\]
\[
Q_e(t)\:=\:\frac{q}{d}x(1-e)\;\;\;(t\ge\tau\frac{\mu_h}{\mu_e})
\]

\[
Q_h(t)\:=\:-\frac{q}{d} x \left(1 - e^{-t/\tau}\right)
\]


dove $\tau=\epsilon/\sigma$; $\epsilon$ \`e la costante dielettrica,
$\sigma$ la conducibilit\`a e $\mu_e$ e $\mu_h$ indicano
rispettivamente le mobilit\`a degli elettroni e delle lacune.  Inoltre
x \`e la distanza dalla giunzione del punto dove la coppia \`e stata
prodotta.

La forma del corrispondente impulso di carica \`e quella mostrata in
figura~\ref{silicon_detector_real_response}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/silicon_detector_real_response.eps,width=11.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Forma dell'impulso di carica in un rivelatore a
semiconduttore con campo elettrico linearmente decrescente.}
\protect\label{silicon_detector_real_response}
\end{figure}

Il parametro $\tau$ determina ora il tempo di salita del segnale. In
silicio abbiamo $\tau=\rho \,10^{-12}\;s$, con la resistivit\`a $\rho$
espressa in $\Omega \,cm$. Quindi, per $\rho\simeq 1000\, \Omega
\,cm$, $\tau= 1\;ns$.

Notiamo che $Q_h(t)$ satura asintoticamente al valore $-q x/d$, mentre
$Q_e(t)$ satura al valore $(q/d) x (1-e)$.

Notiamo poi che, non essendo presente nel caso dei rivelatori a
semiconduttore \index{Rivelatore! a semiconduttore} alcun processo di
moltiplicazione come quello incontrato nel caso dei tubi proporzionali
e degli scintillatori accoppiati a fotomoltiplicatori, il segnale
prodotto da un rivelatore a semiconduttore \`e relativamente piccolo.
Si dovr\`a quindi ricorrere ad una preamplificazione del segnale prima
di ogni ulteriore elaborazione/trasmissione dello stesso.  Si dovr\`a
quindi trasformare il segnale in carica in un segnale in tensione ed a
tale scopo si ricorrer\`a ad un preamplificatore di carica, come
discusso qui di seguito.

\subsection{Preamplificatori di carica per rivelatori a semiconduttore}

Un tipico preamplificatore \`e illustrato nella
figura~\ref{rivelatori_semic_ampl_carica}(a). Supporremo che
l'amplificatore invertente indicato abbia un guadagno $A$ indipendente
dalla frequenza.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/rivelatori_semic_ampl_carica.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Amplificatore di carica per rivelatore a semiconduttori.}
\protect\label{rivelatori_semic_ampl_carica}
\end{figure}

In questo circuito $C_d$ schematizza la capacit\`a associata al
detector pi\`u eventuali cavetti di collegamento con l'amplificatore,
in parallelo alla capacit\`a d'ingresso del preamplificatore. Poich\'e
$C_d$ pu\`o cambiare con la temperatura, scelta del punto di lavoro
etc., \`e importante realizzare un circuito che fornisca una risposta
indipendente da tale capacit\`a. Ci\`o \`e quanto avviene nel circuito
di figura.  Per vederlo, ammettiamo che il segnale in ingresso sia un
impulso di corrente:
\[
i(t)\:=\:Q \delta(t)
\]
con:
\[
\int_0^{\infty} i(t) dt \:=\:Q
\]

Facendo uso del teorema di Miller, trasformiamo il circuito in quello
mostrato in figura~\ref{rivelatori_semic_ampl_carica}(b), dove \`e:
\[
Z'\:=\:\frac{Z}{1+A}
\]
con A il modulo del guadagno dell'amplificatore e Z il parallelo di R
con l'impedenza capacitiva associata a C:
\[
Z\:=\:\frac{1}{C(s + 1/RC)}\:=\:\frac{1}{C(s + 1/\tau)}
\]
dove $\tau=RC$.

Quindi:
\[
Z'\:=\:\frac{1}{C(1+A)(s+1/\tau)}
\]

La trasformata dell'impedenza del parallelo di $Z'$ e $Z_{C_d}$ \`e:
\[
\frac{1}{C(1+A)/\tau + \left[C(1+A) + C_d\right]s}
\]

La risposta sar\`a, come richiesto, indipendente da $C_d$ se \`e:
\[
C_d \ll C(1+A)
\]

In tal caso, l'espressione precedente diventa:
\[
\frac{1}{C(1+A)}\frac{1}{s+1/\tau}\:\equiv \:Z_{Tot}
\]

La trasformata della tensione all'ingresso dell'amplificatore sar\`a
ora:
\[
\tilde{v}_{in}\:=\:Z_{Tot} \cdot \tilde{i}(s)\:=\:Z_{Tot} \,Q
\]

dove $\tilde{i}(s)$ \`e la trasformata della $i(t)$.

L'ultima uguaglianza segue dal fatto che la trasformata di Laplace di
$i(t)=Q \delta(t)$ \`e giusto Q.

Da questa, antitrasformando, si ottiene:
\[
v_{in}\:=\:\frac{Q}{C(1+A)} e^{-t/\tau}
\]

e quindi:

\[
v_{out}\:=\:\frac{A Q}{C(1+A)} e^{-t/\tau} \:\approx \:\frac{Q}{C}
e^{-t/\tau}
\]

Quindi la risposta di tale amplificatore dipende solo dalla capacit\`a
di feedback C. Il tempo di caduta del segnale dipende dal prodotto
$\tau=RC$.

Notiamo ancora che il guadagno dell'amplificatore, cio\`e il rapporto
tra tensione in uscita e carica in ingresso per $t=0$ \`e uguale ad
$1/C$, con $C$ la capacit\`a di feedback.






\section{Struttura della catena di rivelazione ed amplificazione}

La funzione principale di un amplificatore di impulsi in fisica
nucleare/subnucleare \`e quella di trasformare il debole segnale
generato dal rivelatore, dopo averlo amplificato ed opportunamente
riformato, in un impulso pi\`u adatto per la successiva
elaborazione. Il primo passo di tale elaborazione consiste
nell'immagazzinamento (sample and hold) del segnale analogico e nella
successiva conversione dell'altezza dell'impulso in un numero
(conversione analogico-digitale mediante ADC) ed eventualmente del
tempo associato al fronte di salita del segnale in un numero
(conversione tempo-digitale mediante un TDC).

In tale processo, il rivelatore ha il compito di convertire l'energia
depositata in una carica elettrica, che pu\`o dar luogo ad un segnale
in corrente, se la costante di tempo associata al preamplificatore \`e
piccola rispetto alla durata del processo che d\`a luogo al deposito
di energia nel rivelatore; ad un segnale in carica nel caso opposto.

Il rivelatore \`e seguito da un preamplificatore, che converte il
segnale di carica (o di corrente) in un segnale di tensione, con un
minimo contributo di rumore. Questo \`e seguito da un
amplificatore-formatore e dalla catena di lettura.

L'informazione contenuta nell'impulso iniziale deve essere preservata
in tale pro\-cesso.  A tale scopo il sistema
preamplificatore-formatore-amplificatore deve esser tale da fornire
una relazione lineare tra l'ampiezza del segnale prodotto dal
rivelatore e quella del segnale all'uscita dell'amplificatore,
conservando al medesimo tempo l'informazione temporale.  Forma,
ampiezza e contenuto in rumore del segnale che il preamplificatore
fornisce all'amplificatore sono determinati dal rivelatore e dal
preamplificatore. Notiamo che l'energia depositata dalla particella
nel rivelatore \`e proporzionale alla carica totale depositata sulla
capacit\`a d'ingresso del preamplificatore, cio\`e a:
\[
\int_0^{\infty} i(t) dt
\]

Se tuttavia la forma dell'impulso di corrente \`e \emph{costante} tra
segnali successivi, allora \emph{l'altezza} dell'impulso \`e anch'essa
proporzionale all'energia depositata e pu\`o quindi esser adoperata
come una misura di questa. Di qui la terminologia di
\emph{pulse-height analysis}.


La carica totale generata da ciascuna particella assorbita nel
rivelatore \`e direttamente proporzionale all'energia che essa ha
perduto. Si tratta di cariche molto piccole, che variano tra
$10^{-15}$ e $10^{-10}$ Coulomb/impulso (cio\`e tra 1~fC e 100~pC).

La durata dell'impulso varia a seconda del rivelatore e, per un dato
rivelatore, pu\`o variare con il tipo di particella e con la sua
energia.  La durata pi\`u breve si ha nel caso dei rivelatori a
scintillazione e nei rivelatori a semiconduttore \index{Rivelatore! a
semiconduttore} aventi una zona di svuotamento poco profonda. In tali
casi, le durate tipiche variano tra 0.1 e 10~ns. Le durate pi\`u
lunghe si hanno nel caso dei rivelatori a gas (10~ns-5~$\mu$s).

Per ci\`o che concerne l'energia convertita in carica, i fattori di
conversione ($\epsilon$) nel caso dei rivelatori a semiconduttore sono
3.6 eV/coppia elettrone-lacuna nel silicio e 2.9~eV nel caso del
Germanio. Non si ha moltiplicazione.

Nei rivelatori a scintillazione il valore effettivo di $\epsilon$
varia tra 3 e 30 eV/elettrone, con guadagni dell'ordine di $10^7$ nel
fotomoltiplicatore.

Nei rivelatori a gas i fattori di conversione valgono
25-35~eV/coppia~elettrone-ione. I fattori di moltiplicazione sono
dell'ordine di $10^4$ nel caso dei contatori proporzionali.

Notiamo ancora che, anche nei casi in cui il segnale all'uscita del
rivelatore \`e una corrente, \`e l'integrale di questa, cio\`e la
carica, che \`e direttamente legata all'energia rilasciata nel
rivelatore. \`E quindi necessario in tal caso integrare il segnale.

Se la costante di tempo degli elementi presenti all'uscita del
rivelatore \`e piccola rispetto alla durata della corrente, la forma
del segnale in uscita sar\`a preservata ed avremo un segnale del tipo
``current-mode''.  Se viceversa la costante di tempo \`e grande, il
segnale in corrente sar\`a integrato dal preamplificatore ed avremo in
uscita un segnale di tensione: V=Q/C, dove Q \`e la carica totale
rilasciata nel detector e C \`e la capacit\`a d'uscita.  L'impulso di
tensione avr\`a poi un decadimento esponenziale con costante di tempo
determinata dal rivelatore. Il tempo di salita sar\`a invece
coincidente con il tempo di salita dell'impulso di corrente e non
dipender\`a dalla costante di tempo del circuito.

Nella scelta di un sistema di
preamplificazione-amplificazione-shaping, \`e necessario tener conto
di diversi fattori. Tra questi i pi\`u importanti sono:

\begin{enumerate}
\item {il rumore introdotto dagli amplificatori;}
\item {la risposta temporale, legata al problema del ``pile-up'';}
\item {la linearit\`a.}
\end{enumerate}

Di alcuni di questi problemi ci occuperemo nelle prossime sezioni.

\subsection{Preamplificatori e rumore}

Se il segnale all'uscita del rivelatore \`e di piccola ampiezza, il
rumore elettronico introdotto dal preamplificatore diviene
importante. \`E questo il caso dei rivelatori a
semiconduttore\index{Rivelatore! a semiconduttore}, ma anche di altri
(ad esempio quelli ad Argon liquido) che non possiedono un meccanismo
interno di moltiplicazione della carica, quale quello presente ad
esempio nei tubi proporzionali.

Val la pena di ricordare che la risoluzione in energia \`e determinata
sia dalla risoluzione intrinseca del rivelatore che dai limiti posti
dal rumore associato ai preamplificatori-amplificatori che seguono il
rivelatore. A sua volta, la risoluzione intrinseca del rivelatore \`e
determinata dalle fluttuazioni nel numero di coppie elettrone-ione nel
caso dei rivelatori a gas, dal numero di coppie elettrone-lacuna nel
caso di quelli a semiconduttore, ed infine dal numero di fotoelettroni
che arrivano ai primi dinodi del fotomoltiplicatore nel caso di uno
scintillatore.

Se indichiamo con $\Delta E_{flutt}$ il contributo alla risoluzione da
parte delle fluttuazioni e con $\Delta E_{elec}$ quello dovuto al
rumore degli amplificatori, la risoluzione sar\`a:
\[
\Delta E = \sqrt{\Delta E_{flutt}^2 + \Delta E_{elec}^2}
\]
A seconda del tipo di rivelatore, potr\`a risultare dominante l'uno o
l'altro dei due contributi.  Ad esempio, in un rivelatore a
scintillazione sar\`a in genere dominante $\Delta E_{flutt}$; in un
rivelatore a semiconduttore basato sul Ge sar\`a dominante il rumore
elettronico.

Poich\'e il segnale di tensione all'uscita del preamplificatore
corrisponde ad una carica all'uscita del rivelatore (la carica
accumulata sul condensatore d'ingresso del preamplificatore), il
rumore osservato in uscita, cio\`e il valore quadratico medio
$v_{rms}$ della tensione in uscita, pu\`o essere espresso come quella
carica che, se presente all'uscita del rivelatore, darebbe all'uscita
del preamplificatore una tensione pari a $v_{rms}$.  Questa \`e nota
come ``carica equivalente di rumore'' (Equivalent Noise Charge o
ENC\index{Equivalent Noise Charge}).  Notiamo che la \emph{carica
media di rumore} \`e nulla, mentre \`e diverso da zero il suo valore
quadratico medio.
 
Anche se la carica depositata nel corso di ogni singolo evento fosse
costante, il valor medio osservato all'uscita dell'amplificatore
fluttuerebbe come conseguenza del rumore introdotto dall'amplificatore
stesso. Poich\'e l'energia depositata \`e proporzionale alla carica
depositata, ci\`o implica un limite sulla risoluzione energetica.

Se indichiamo con $C_{in}$ la capacit\`a d'ingresso del
preamplificatore, con $A_0$ l'amplificazione e con $Q_n=ENC$ la
``equivalent noise charge'', avremo:
\[
ENC\:=\:Q_n\:=\:C_{in} \frac{v_{rms}}{A_0}
\]


Le dimensioni della ENC sono Coulomb. \`E per\`o uso comune quello di
quotarla in ``numero di elettroni'', dividendo il valore in Coulomb
per la carica dell'elettrone ($1.6\;10^{-19}$ Coulomb).

Esaminiamo ad esempio il legame tra ENC \index{Equivalent Noise
Charge} e risoluzione in energia nel caso di un rivelatore al
silicio. Per produrre una coppia elettrone-lacuna nel silicio sono
necessari in media 3.66~eV. Se osserviamo un gran numero di eventi in
ciascuno dei quali una particella di energia E deposita (per
produzione di coppie elettrone-lacuna) tutta la sua energia nel
materiale, il numero di coppie sar\`a:
\begin{equation}
n_p\:=\:\frac{E\; (eV)}{3.66} \label{numero_di _coppie}
\end{equation}

La carica all'uscita del detector sar\`a:
\begin{equation}
q\:=\:n_p \,1.6 \;10^{-19}\:=\:\frac{1.6\;10^{-19}\;E}{3.66}
\;(C)\:=\: 0.437 \,10^{-19}\;E\;(C) \label{carica_in_uscita}
\end{equation}

e la tensione all'uscita del preamplificatore:
\begin{equation}
v\:=\:\frac{q}{C_{in}}A_0\:=\:E \frac{A_0}{C_{in}}\;0.437
\;10^{-19}\;(Volt)\label{tensione_in_uscita}
\end{equation}

Se possono essere trascurate le fluttuazioni statistiche sul numero
$n_p$ di coppie, la tensione in uscita dovr\`a avere un valore ben
definito, uguale per tutti gli eventi. La distribuzione sar\`a cio\`e
una funzione $\delta(v)$.  Il rumore del preamplificatore altera
questa situazione.  Non avremo pi\`u una funzione $\delta$ ma una
gaussiana, la cui larghezza a met\`a altezza \`e legata al rumore
introdotto dall'amplificatore.

Se indichiamo con $Q$ la carica totale depositata in un evento, con
$Q_n$ la \emph{carica di rumore} nel medesimo evento e con $Q_t$ la
carica effettiva totale, avremo:
\[
Q_t=Q+Q_n
\]
\[
\overline{Q_t^2}\:=\:\overline{Q^2}+\overline{Q_n^2}\:=\:Q^2+\overline{Q_n^2}
\]
poich\'e stiamo facendo l'ipotesi che la carica depositata sia sempre
la medesima.

D'altronde, poich\'e la carica $Q_n$ fluttua con valor medio zero,
avremo:
\[
\overline{Q_t}\:=\:Q
\]
Lo scarto quadratico medio della carica totale sar\`a allora:
\[
\sigma_Q^2\:=\:\overline{Q_t^2}-\overline{Q_t}^2\:=\:\overline{Q_n^2}\:=\:ENC^2
\]
La fluttuazione sull'energia misurata sar\`a allora:
\[
\sigma_E\:=\:\sigma_Q\;/0.437 \;10^{-19} \;\;(eV)
\]
la larghezza a met\`a altezza della distribuzione in energia sar\`a
poi data da:
\begin{equation}
\Gamma \:=\:FWHM\:=\:\sigma_E \;2.36
\end{equation}
dove il fattore 2.36 \`e quello che lega la larghezza a met\`a altezza
alla $\sigma$ della distribuzione.

Ad esempio, una ENC di 500 elettroni, corrispondente ad una carica di
$8\cdot 10^{-17}$ (C), corrisponde ad una FWHM per l'energia di
1.83~KeV.

La ENC \index{Equivalent Noise Charge} dipende sia dalle
caratteristiche del preamplificatore, che dalla capacit\`a d'uscita
del rivelatore e di quella associata ai cavi di collegamento. Si pu\`o
far vedere (vedi sezione~\ref{shapingerumore}) che essa \`e
esprimibile come:
\[
ENC\:=k_1+k_2 C_{ext}
\]
dove $C_{ext}$ contiene l'effetto delle capacit\`a associate ai cavi
ed al rivelatore, mentre il contributo della capacit\`a d'ingresso del
preamplificatore \`e contenuto nel termine $k_1$. Le costanti $k_1$ e
$k_2$, dipendenti dal preamplificatore, sono normalmente fornite dal
costruttore.

\subsection{Rumore elettronico}

Abbiamo visto come il rumore dovuto al rivelatore ed all'elettronica
di amplificazione influisca sulla risoluzione energetica. Ci
proponiamo ora di analizzare con maggior dettaglio tale problema. Per
una trattazione approfondita dell'argomento si consultino le
referenze~\cite{gatti-manfredi} e~\cite{Spieler}.

Inizieremo con l'analizzare l'effetto che sul rumore ha la capacit\`a
$C_{det}$ del rivelatore.

Occorre per\`o premettere alcune considerazioni sulle possibili
sorgenti di rumore e sui loro effetti, ricordando che stiamo parlando
di rumore prodotto all'interno dell'amplificatore, anche se, seguendo
la consuetudine, parliamo di rumore riferito all'ingresso
dell'amplificatore. Molte delle considerazioni che faremo sono gi\`a
state discusse nel capitolo~\ref{rumoreneicircuitielettronici}.

I tipi di rumore che conosciamo sono:
\begin{enumerate}
\item{ {\bf rumore termico}\index{Rumore! termico}. Questo \`e caratterizzato
da uno spettro di potenza dato da:
\[
\frac{dP_{noise}}{df}=4 K T
\]
o equivalentemente da una tensione quadratica media di rumore:
\[
e_n^2=\frac{dV^2_{noise}}{df}=4 K T R
\]
o da una corrente quadratica media:
\[
i_n^2 = \frac{dI^2_{noise}}{df}=\frac{4 K T}{R}
\]
}
\item{ {\bf shot noise}\index{Shot noise}.  Questo \`e caratterizzato da una
corrente quadratica media:
\[
i_n^2=\frac{dI^{2}_{noise}}{df}=2 q_e I
\]
dove $q_e$ \`e la carica dell'elettrone ed I la corrente costante.}

\item{ {\bf rumore 1/f}\index{Rumore! 1/f}. La potenza di rumore per unit\`a
di intervallo di frequenza \`e:
\[
\frac{dP_{noise}}{df}=\frac{1}{f^{\alpha}}
\]
con $\alpha \simeq 0.5 \div 2.0$ }
\end{enumerate}

Il rumore totale dipende dalla larghezza di banda del sistema. Ad
esempio, la tensione totale di rumore all'uscita di un amplificatore
di tensione avente un guadagno $A_v(f)$ \`e data da:
\[
v_{on}^2 = \int_0^{\infty} e_n^2 A_v^2(f) df
\]
Occorre tener presente la distinzione tra la ``larghezza di banda''
(signal bandwidth) dell'amplificatore e la ``larghezza di banda di
rumore'' (noise bandwidth) del medesimo.

Ammettiamo infatti che il guadagno dell'amplificatore sia espresso
come:
\[
A(f)=A_0 G(f)
\]
con $A_0$ il valore massimo del guadagno e $G(f)$ l'andamento in
funzione della frequenza.

La larghezza di banda $\Delta f_s$ dell'amplificatore \`e definita
come:
\[
\Delta f_s=f_{max} - f_{min}
\]
dove $f_{max}$ ed $f_{min}$ sono rispettivamente la frequenza di
taglio superiore ed inferiore.

La larghezza di banda di rumore $\Delta f_n$ \`e definita dalla
relazione:
\[
v_{no}=\sqrt{\int_0^{\infty}e_{ni}^2 |A_0 G(f)|^2 df}=e_{ni} A_0
\sqrt{\int_0^{\infty} G^2(f) df}=e_{ni}A_0 \sqrt{\Delta f_n}
\]
dove $v_{no}$ \`e la tensione di rumore all'uscita dell'amplificatore
ed $e_{ni}$ quella all'ingresso e dove si suppone che il rumore sia
\emph{bianco}.

Consideriamo come esempio il semplice amplificatore a transistor di
figura~\ref{banda_rumore_ampli_tran}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/banda_rumore_ampli_tran.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Amplificatore a transistor adoperato nel calcolo della banda
di rumore.} \protect\label{banda_rumore_ampli_tran}
\end{figure}

Il guadagno \`e dato da:
\[
A_v=g_m R_L \frac{1}{1 + j \omega R_L C_0}
\]
dove $g_m$ \`e la transconduttanza del transistor.

Ponendo in questa:
\[
g_m R_L \equiv A_0
\]
\[
G(f)=\frac{1}{1 + j(2 \pi f R_L C_0}
\]
Si ottiene con semplici passaggi:
\[
\Delta f_n=\int_0^{\infty} G^2(f) df = \int_0^{\infty} \frac{df}{1+4
\pi^2 (R_L C_0)^2 f^2}= \frac{1}{4 R_L C_0}
\]
Mentre la banda passante dell'amplificatore, come si pu\`o facilmente
vedere \`e:
\[
\Delta f_s=\frac{1}{2 \pi R_L C_0}
\]
Vediamo cos\`{\i} che le due grandezze: ``noise bandwidth'' e ``signal
bandwidth'', non sono in genere uguali.

Esaminiamo ora la dipendenza del rapporto segnale/rumore dalla
capacit\`a del rivelatore e dalla capacit\`a d'ingresso del
preamplificatore, distinguendo tra i tre possibili tipi di
preamplificatore: di \emph{tensione}, di \emph{carica} e di
\emph{corrente}.

Se l'amplificatore \`e di tensione, e la sua costante di tempo \`e
abbastanza grande da integrare il segnale di corrente rilasciato dal
rivelatore, la tensione in ingresso sar\`a data da:
\[
v_{in}=\frac{Q_{det}}{C}=\frac{\int i(t) dt}{C}
\]
dove $C$ \`e la somma della capacit\`a del rivelatore, di quella dei
cavetti di collegamento e di quella d'ingresso del
preamplificatore. Trascurando quella dei cavetti, chiameremo $C_{det}$
la capacit\`a del rivelatore e $C_{in}$ quella del preamplificatore.

Per una data tensione di rumore $v_n$ all'ingresso del
preamplificatore avremo per il rapporto segnale/rumore (S/N):
\[
\frac{S}{N}=\frac{v_{in}}{v_n} \propto \frac{1}{C}
\]
Vediamo che il rapporto segnale/rumore aumenta al diminuire di $C$. Se
inoltre \`e $C_{det} \ll C_{in}$ il rapporto S/N diviene indipendente
da $C_{det}$.

Esaminiamo ora il caso di un amplificatore di
carica\index{Amplificatore! di carica}, come quello di
figura~\ref{amplificatore_di_carica_rumore}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/amplificatore_di_carica_rumore.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Amplificatore di carica.}
\protect\label{amplificatore_di_carica_rumore}
\end{figure}

Lo schema \`e simile a quello gi\`a visto, con l'unica differenza che
ora la resistenza in parallelo a $C_f$ \`e assente. Il guadagno in
tensione dell'amplificatore senza feedback \`e:
\[
A=-\frac{dv_0}{dv_i}
\]
Per il guadagno in carica dell'amplificatore con feedback si pu\`o
facilmente verificare che esso \`e dato da:
\[
A^Q_f\equiv \frac{dv_0}{dQ_i}=\frac{1}{C_f}
\]
Infatti la differenza di potenziale ai capi di $C_f$ \`e data da:
\[
v_f=(A+1) v_i
\]
La carica depositata su $C_f$ sar\`a:
\[
Q_f=C_f v_f = C_f(A+1) v_i
\]
Questa deve uguagliare $Q_i$ poich\'e l'impedenza d'ingresso
dell'amplificatore \`e molto grande. Ne segue:
\[
\frac{Q_i}{v_i}=(A+1)C_f
\]
Questa \`e quindi la capacit\`a d'ingresso del nostro
amplificatore. Il guadagno in carica \`e allora:
\[
A_f^Q=\frac{v_0}{Q_i}=\frac{A v_i}{C_i v_i}=\frac{A}{(A+1) C_f} \simeq
\frac{1}{C_f}
\]
Come visto, la capacit\`a d'ingresso: $(A+1) C_f$ \`e molto grande ed
in genere \`e molto maggiore di $C_{det}$. Ne segue che la tensione
d'uscita \`e indipendente da $C_{det}$.

Cosa possiamo dire per ci\`o che riguarda il rumore ? Notiamo che
questo nasce \emph{all'interno} dell'amplificatore. Non esiste un
segnale di rumore all'ingresso.  Tuttavia, la presenza del feedback fa
si che una parte del rumore in uscita sia riportato in
ingresso. Essendo il guadagno in carica uguale a $1/C_f$, un segnale
di rumore $v_{n0}$ in uscita implica all'ingresso una carica di rumore
data da:
\[
Q_{ni}=\frac{v_{n0}}{A_f^Q}=v_{n0} C_f
\]
Il rumore $v_{ni}$ ora \`e dovuto esclusivamente a $v_{n0}$ attraverso
il partitore capacitivo costituito da $C_{det}$ e $C_f$. Si ha quindi:
\[
v_{ni}=v_{n0}\frac{Z_{C_{det}}}{Z_{C_{det}}+Z_{C_f}}=v_{n0}\frac{C_f}{C_f+C_{det}}
\]
Pertanto:
\[
Q_{ni}=v_{n0}C_f=v_{ni}(C_f+C_{det})
\]
Il rapporto segnale/rumore sar\`a allora:
\[
\frac{Q_s}{Q_{ni}}=\frac{Q_s}{v_{ni}(C_{det}+C_f)}=\frac{Q_s}{v_{ni}}\frac{1}{C}
\]
Cio\`e ancora una volta il rapporto va come l'inverso della
capacit\`a. Notiamo per\`o che ora il segnale $Q_s$ \`e costante al
variare di C, mentre il rumore \`e proporzionale a C.

Si pu\`o infine vedere che se il preamplificatore \`e di corrente, il
risultato \`e uguale a quello ottenuto nei due casi precedenti.


\subsection{``Formazione'' dei segnali prodotti da rivelatori di particelle}

Da quanto si \`e visto nei paragrafi precedenti, il segnale all'uscita
del rivelatore \`e nella pi\`u gran parte dei casi un segnale in
carica che, opportunamente integrato, fornisce un segnale in
tensione. Tale segnale ha in genere un piccolo tempo di salita
(determinato dalla piccola costante di tempo del rivelatore) ma un
tempo di decadimento molto lungo (qualche decina di $\mu s$). In prima
approssimazione possiamo rappresentare il segnale come mostrato in
figura~\ref{detector_pile_up}(a). L'altezza del segnale \`e
proporzionale all'energia rilasciata.

Il problema che qui si incontra \`e costituito dal fatto che,
lavorando a rate elevati, i successivi impulsi vengono a sommarsi, di
modo che l'altezza di un impulso \`e la somma di questo e delle code
di quelli che lo hanno preceduto, come illustrato in
figura~\ref{detector_pile_up}(b). Tale fenomeno \`e noto come
``pile-up''\index{Pile-up}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/detector_pile_up.eps,width=10.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Forma dei segnali all'uscita di un rivelatore di particelle.}
\protect\label{detector_pile_up}
\end{figure}



Per risolvere tale problema occorre trasformare il segnale originale
in uno abbastanza stretto da evitare il problema del pile-up,
conservando per\`o l'informazione sull'altezza d'impulso.  Un metodo
spesso adoperato a tale scopo \`e quello noto come CR-RC
shaping\index{CR-RC shaping}, tramite un circuito che effettua prima
una differenziazione e poi un'integrazione del segnale.  Un circuito
che realizza tale funzione \`e mostrato in figura~\ref{cr_rc_shaping},
dove gli inseguitori di tensione con amplificazione unitaria fungono
da adattatori d'impedenza.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/cr_rc_shaping.eps,width=10.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito formatore CR-RC.} \protect\label{cr_rc_shaping}
\end{figure}


La funzione di trasferimento del circuito \`e:

\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{s C_1 R_1}{1 + R_1 C_1 s}\;\frac{1}{1 + R_2 C_2
s}\:=\:\frac{1}{\tau_2}\frac{s}{(s + 1/\tau_1)(s + 1/\tau_2)}
\label{cr_rc_transfun_a}
\end{equation}

Se l'impulso di tensione all'uscita del rivelatore \`e un esponenziale
caratterizzato da una costante di tempo molto grande, possiamo
schematizzarlo approssimativamente con un gradino di tensione di
altezza A. Ricordando che la trasformata del gradino unitario \`e
$1/s$, la tensione in uscita dal formatore sar\`a data
dall'antitrasformata di:

\begin{equation}
\tilde{v}_{out}\:=\:A \frac{1}{\tau_2(s + 1/\tau_1)(s + 1/\tau_2)}
\label{cr_rc_transfun_b}
\end{equation}

L'antitrasformata pu\`o essere ricavata seguendo il procedimento
adottato in precedenza in questo capitolo.  Si trova:

a) per $\tau_1 \ne \tau_2$:

\begin{equation}
v_{out}(t)\:=\:\frac{A \tau_1}{\tau_1 -
\tau_2}\left[e^{-t/\tau_1}-e^{-t/\tau_2}\right]
\label{cr_rc_transfun_c}
\end{equation}

b) per $\tau_1 = \tau_2\:\equiv\:\tau$:

\begin{equation}
v_{out}(t)\:=\:\frac{A}{\tau} t e^{-t/\tau} \label{cr_rc_transfun_d}
\end{equation}

La forma di tali impulsi, simile nei due casi indicati, \`e
qualitativamente indicata in figura~\ref{cr_rc_shaping_out}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/cr_rc_shaping_out.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Andamento del segnale all'uscita di un circuito CR-RC.}
\protect\label{cr_rc_shaping_out}
\end{figure}

Nella figura, la curva (a) \`e stata ottenuta facendo uso di valori
$\tau_1=1\,\mu s$, $\tau_2=2\,\mu s$; la (b) per $\tau_1=2\,\mu s$,
$\tau_2=1\,\mu s$ e la (c) per $\tau_1=\tau_2=1 \mu s$.

Notiamo che nel caso $\tau_1 \ne \tau_2$, il massimo si ha per:
\[
t(v_{max})\:=\:\frac{\tau_1 \tau_2}{\tau_2 - \tau_1}\ln
\frac{\tau_2}{\tau_1}
\]
Il corrispondente valore di $v_{max}$ pu\`o facilmente essere ottenuto
dalla~(\ref{cr_rc_transfun_c}).  Ponendo $r=\tau_2/\tau_1$, troviamo:
\[
v_{max}\:=\:\frac{A}{1-r}\left[\frac{1}{r^{r/(r-1)}}-\frac{1}{r^{1/(r-1)}}\right]
\]

Per $\tau_1=\tau_2=\tau$ troviamo invece:
\[
t(v_{max})\:=\:\tau
\]
e
\[
v_{max}\:=\:\frac{A}{e}
\]

La scelta delle costanti di tempo dipende in primo luogo dalla
costante di tempo del rivelatore, cio\`e dal tempo necessario per la
raccolta della carica.  Se si vuol ridurre il pile-up \`e desiderabile
scegliere dei valori il pi\`u possibile piccoli, in modo da assicurare
un rapido ritorno allo zero del segnale in uscita.  D'altro canto, il
risultato che abbiamo ottenuto era basato sull'ipotesi che il segnale
all'ingresso del formatore CR-RC fosse molto lungo, in modo da poterlo
approssimare con un gradino.

Se il tempo di decadimento del segnale \`e invece corto, la funzione
di trasferimento continuer\`a ad esser data
dall'equazione~(\ref{cr_rc_transfun_a}), ma la trasformata dell'input
(che \`e un esponenziale) sar\`a ora:
\[
\frac{1}{s+1/\tau}
\]

e la trasformata dell'output sar\`a:
\begin{equation}
\tilde{v}_{out}\:=\:A \frac{s}{\tau_2 (s +
1/\tau)(s+1/\tau_1)(s+1/\tau_2)} \label{cr_rc_transfun_e}
\end{equation}

Si pu\`o risolvere tale equazione e far vedere che la soluzione \`e:


\begin{eqnarray*}
v(t)& = & A \tau \tau_1 [\frac{-1}{\left[(\tau-\tau_1)(\tau
  -\tau_2)\right]}\cdot e^{-t/\tau}+\\ & + &
  \frac{1}{\left[(\tau_1-\tau_2)(\tau -\tau_1)\right]}\cdot
  e^{-t/\tau_1}- \\ & - & \frac{1}{\left[(\tau_1-\tau_2)(\tau
  -\tau_2)\right]}\cdot e^{-t/\tau_2}]
\end{eqnarray*} 


Questa ha l'aspetto mostrato in figura~\ref{cr_rc_out_short_tau}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/cr_rc_out_short_tau.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Forma dell'impulso all'uscita di un circuito CR-RC per un
segnale con tempo di decadimento breve.}
\protect\label{cr_rc_out_short_tau}
\end{figure}


Si vede che il segnale raggiunge un massimo, ridiscende fino a
raggiungere valori negativi e poi risale lentamente verso lo
zero. Tale discesa a valori negativi causa un pile-up di segnali
(questa volta il successivo segnale ``siede'' sulla coda di un impulso
negativo) ed \`e un difetto da correggere~\footnote{Questo \`e noto
come ``undershoot''.}.

Notiamo per inciso che la ``coda'' \`e dovuta alla costante di tempo
$\tau$ dell'amplificatore.

La~(\ref{cr_rc_transfun_e}) ha uno zero a numeratore e tre poli in
$s=-1/\tau$, $s=-1/\tau_1$, $s=-1/\tau_2$.  Se si riesce a
trasformarla in una funzione priva di zeri e con solo due poli (come
era la~(\ref{cr_rc_transfun_b})), il problema sar\`a risolto.

La soluzione \`e stata trovata da Nowlin e Blankenship (Review of
Scientific Instruments, 36, 1830 (1965)) ed \`e nota come ``pole-zero
cancellation''\index{Pole-zero cancellation}.

La modifica da apportare al circuito consiste nel porre una resistenza
in parallelo al condensatore che effettua la differenziazione, come
mostrato in figura~\ref{cr_rc_pole_zero}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/cr_rc_pole_zero.eps,width=10.0 cm,
height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito formatore CR-RC con ``pole-zero cancellation''.}
\protect\label{cr_rc_pole_zero}
\end{figure}

La funzione di trasferimento \`e ora:
\[
G(s)\:=\:\frac{R_1 (1+R C_1 s)}{R_1(1+R C_1 s) + R} \cdot \frac{1}{s
C_2 R_2 +1}
\]

che, ponendo:
\[
\tau'\:=\:R C_1 \;\;,\;\;\tau''=\tau'
\frac{R_1}{R_1+R}\;\;,\;\;\tau_2=R_2 C_2
\]


pu\`o essere messa nella forma:
\[
G(s)\:=\:\frac{1}{\tau_2}\frac{s + 1/\tau'}{s+1/\tau''}\frac{1}{s +
1/\tau_2}
\]

La trasformata della risposta all'esponenziale:
\[
v_{in}(t)\:=\:A e^{-t/\tau}
\]
sar\`a:
\[
\tilde{v}_{out}\:=\:\frac{A}{\tau_2} \frac{1}{s+1/\tau} \frac{s +
1/\tau'}{s+1/\tau''}\frac{1}{s + 1/\tau_2}
\]

Scegliendo ora R e $C_1$ in modo tale che $\tau'=\tau$, si ottiene:
\[
\tilde{v}_{out}\:=\:\frac{A}{\tau_2}\frac{1}{(s+1/\tau'')(s+1/\tau_2)}
\]


Cio\`e abbiamo una risposta del tipo desiderato.

Possiamo scegliere ancora $R_1$ in modo tale che $\tau''$ sia uguale
al vecchio valore di $\tau_1$, ed il risultato sar\`a esattamente
quello voluto.

Notiamo che con il procedimento adottato abbiamo ``spostato'' la
posizione dello zero della funzione di trasferimento iniziale in uno
zero nel punto $1/\tau'$ ed abbiamo fatto in modo che $\tau'$ fosse
giusto uguale alla costante di tempo $\tau$ dell'esponenziale in
ingresso, in modo tale da ``cancellare'' lo zero con il polo in
$s=-1/\tau$.  Di qui l'origine del nome.


\subsection{Altri metodi di ``shaping'' dei segnali}

Esistono molti altri metodi per la formazione (shaping dei
segnali). Dettagli possono esser trovati nelle
referenze:~\cite{Kowalski} (pagg. 91 e seguenti),~\cite{leo}
(pagg. 272-275), ~\cite{knoll} (pagg. 564-582).

Ci limiteremo qui ad accennare sommariamente ad alcuni dei metodi
seguiti.

\subsection{Shaping $CR-(RC)^n$}

Questo \`e anche noto come ``shaping gaussiano''\index{Shaping!
gaussiano}.

Se facciamo seguire ad un singolo circuito CR (differenziatore) n
circuiti RC (integratori) si ottiene un impulso in uscita che \`e, con
buona approssimazione, una gaussiana. Se tutte le costanti di tempo
sono uguali a $\tau$, la soluzione \`e:
\[
v_{out}\:=\:v_0 \left(\frac{t}{\tau}\right)^n e^{-t/\tau}
\]

In pratica, un circuito $CR-(RC)^4$ da gi\`a dei buoni risultati.

In tale circuito, il tempo necessario perch\'e il segnale raggiunga il
suo valore massimo \`e $n\tau$, ed \`e quindi pi\`u lungo di quello
ottenibile con un semplice circuito CR-RC.  Tuttavia la discesa a zero
\`e molto pi\`u rapida ed il pileup \`e quindi ridotto. Il metodo
dello shaping gaussiano ha anche il vantaggio di migliorare il
rapporto segnale/rumore.

\subsection{Shaping triangolare}

\`E stato dimostrato che l'ottimo dal punto di vista del rapporto
segnale-rumore \`e ottenibile con un circuito che fornisca un segnale
triangolare. \`E possibile approssimare tale comportamento facendo uso
di filtri attivi.


\subsection{Spostamento della linea di zero}

Con tale termine si intende il fatto che un segnale periodico (o
all'incirca periodico) il cui valor medio sia diverso da zero,
acquista un valor medio zero se lo si fa passare attraverso un
condensatore. Ci\`o \`e legato al fatto che un condensatore non pu\`o
trasmettere una componente continua. Poich\'e i formatori (shapers)
che abbiamo descritto utilizzano tutti dei condensatori in serie per
effettuare la differenziazione del segnale, questo sar\`a
inevitabilmente spostato in modo che il valor medio sia nullo (vedi
figura~\ref{baseline_shift}).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/baseline_shift.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Andamento del segnale a valor medio nullo all'uscita di un
circuito formatore.} \protect\label{baseline_shift}
\end{figure}

Tale fenomeno (comunemente indicato come ``baseline
shift''\index{Baseline shift}) causa un'alte\-razione dell'ampiezza dei
singoli impulsi, normalmente riferita allo zero. Si pu\`o ino\-ltre
vedere che lo spostamento dipende dalla frequenza di arrivo degli
impulsi, il che lo rende ancora pi\`u fastidioso, in quanto, essendo
nella pi\`u gran parte dei casi tale frequenza variabile in modo
casuale, l'altezza d'impulso risulter\`a alterata in modo altrettanto
aleatorio, con conseguente allargamento dello spettro misurato.

Si pu\`o ovviare a tale problema essenzialmente con due tecniche
diverse.  La prima di queste, nota come ``baseline restoration''
\index{Baseline restoration} consiste nell'utilizzo di appositi
circuiti che ``riportano'' il segnale a zero dopo ciascun impulso.
Per dettagli, si vedano le referenze~\cite{Kowalski} e~\cite{knoll}.

La seconda tecnica consiste nel trasformare l'impulso unipolare come
quello fin qui ipotizzato, in un impulso bipolare. Questo ha gi\`a un
valor medio nullo e non subisce quindi alcuno ``shift''
nell'attraversare un condensatore. L'impulso bipolare \`e ottenuto da
quello unipolare facendo in modo che questo subisca una
``riflessione'' e facendo poi seguire al segnale iniziale quello
riflesso, come qualitativamente indicato in
figura~\ref{impulso_bipolare_a} nel caso di un impulso rettangolare.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/impulso_bipolare_a.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Impulso bipolare ottenuto dalla riflessione di un impulso
unipolare.} \protect\label{impulso_bipolare_a}
\end{figure}

Il metodo pi\`u ovvio per realizzare tale riflessione dell'impulso \`e
quello di ricorrere ad una linea di ritardo cortocircuitata ad
un'estremit\`a.  Il coefficiente di riflessione $\rho$ di una linea
avente impedenza caratteristica $Z$, chiusa su di una resistenza R
\`e:
\[
\rho\:=\:\frac{R-Z}{R+Z}
\]

Si vede che per R=0 si ha $\rho=-1$.  Un gradino sar\`a quindi
trasformato in un segnale rettangolare di durata pari al doppio del
ritardo caratteristico della linea.  Uno schema tipico \`e mostrato in
figura~\ref{transmission_line_shaping}. Anche in questo caso gli
amplificatori indicati (con guadagno unitario) fungono da adattatori
d'impedenza.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/transmission_line_shaping.eps,width=12.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito formatore con doppia linea di ritardo.}
\protect\label{transmission_line_shaping}
\end{figure}

Se alla prima riflessione se ne fa seguire una seconda, come mostrato
nella parte destra della figura, si ottiene un impulso
bipolare. Questo non presenta pi\`u il pro\-blema del ``baseline
shift'', ma ha l'inconveniente di uno spettro di Fourier molto ampio,
con conseguente necessit\`a di amplificatori ad ampia banda passante
il che introduce un elevato livello di rumore.  Per ovviare a tale
inconveniente conviene integrare il segnale all'uscita della seconda
linea di ritardo, ottenendo in tal modo un segnale triangolare, come
mostrato in figura~\ref{impulso_bipolare_integrato}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/impulso_bipolare_integrato.eps,width=10.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{Segnale bipolare ottenuto per integrazione.}
\protect\label{impulso_bipolare_integrato}
\end{figure}


Il segnale cos\`{\i} ottenuto \`e nuovamente positivo e presenta
quindi nuovamente il problema del ``baseline shift''\index{Baseline
shift}. Una seconda differenziazione con una ``delay line'' lo
trasformer\`a nuovamente in un segnale bipolare, conservando la forma
triangolare, che \`e molto buona dal punto di vista del rumore.

Un metodo alternativo per ottenere un impulso bipolare \`e quello di
effettuare una seconda differenziazione dopo la prima formazione
CR-RC. Si adoperer\`a cio\`e un sistema CR-RC-CR. Questo schema \`e
mostrato in figura~\ref{cr_rc_cr_shaping}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/cr_rc_cr_shaping.eps,width=11.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito formatore CR-RC-CR.} \protect\label{cr_rc_cr_shaping}
\end{figure}

La forma d'onda che ne risulta, per un impulso esponenziale in
ingresso, \`e mostrata in figura~\ref{cr_rc_cr_shaping_out}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/cr_rc_cr_shaping_out.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Forma del segnale all'uscita di un formatore CR-RC-CR.}
\protect\label{cr_rc_cr_shaping_out}
\end{figure}

Vediamo che ora lo spostamento dallo zero \`e meno severo di quello
che si ha con segnali unipolari.  Tuttavia le aree sopra e sotto
l'asse non sono esattamente uguali, quindi un piccolo spostamento
dello zero \`e sempre presente.


\subsection{Deficit balistico e scelta delle costanti di tempo}

Il segnale ottenuto facendo uso di uno shaping CR-RC ha un andamento
temporale dato dalla~(\ref{cr_rc_transfun_c}), che possiamo riscrivere
nella forma:
\begin{equation}
v_{out}(t)\:=\:A\frac{\tau_F}{\tau_F+\tau_R}\left(e^{-t/\tau_F}-e^{-t/\tau_R}\right)
\label{deficit_a}
\end{equation}

dove abbiamo posto:
\[
\tau_F = \tau_1 \;\;,\;\;\tau_R=\tau_2
\]

Possiamo vedere che $\tau_F$ \`e legato al tempo di discesa del
segnale e $\tau_R$ a quello di salita.  Vediamo infatti che per
$\tau_F\rightarrow \infty$, l'espressione in parentesi diventa:
\[
1-e^{-t/\tau_R}
\]

che descrive un esponenziale crescente con costante di tempo $\tau_R$.

Analogamente, per $\tau_R\rightarrow 0$ l'espressione in parentesi si
riduce a :
\[
e^{-t/\tau_F}
\]

cio\`e ad un esponenziale decrescente con costante di tempo $\tau_F$.

Ammettiamo ora che il tempo di salita $\tau_R$ sia quello
caratteristico del rivelatore medesimo. L'altezza dell'impulso
associato al segnale \`e proporzionale all'energia rilasciata dalla
particella nel rivelatore. Il segnale di tensione tenderebbe a
divenire asintoticamente uguale a tale valore, se il termine
$exp(-t/\tau_F)$ non intervenisse a farlo scendere verso lo
zero. Ci\`o \`e illustrato in figura~\ref{deficit_balistico_fig}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/deficit_balistico_fig.eps,width=9.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Andamento di un segnale con deficit balistico.}
\protect\label{deficit_balistico_fig}
\end{figure}

Alla differenza tra il valore asintotico che il segnale tenderebbe ad
acquistare per effetto dell'integrazione ed il valore massimo che esso
effettivamente raggiunge prima di ricominciare a scendere per effetto
della differenziazione, si d\`a il nome di ``deficit
balistico''\index{Deficit balistico}.

Si potrebbe pensare di ridurre il deficit balistico scegliendo un
valore di $\tau_F$ molto grande.  Tale scelta va per\`o contro
l'esigenza di avere dei segnali corti, per evitare il fenomeno del
``pile-up''.

In figura~\ref{deficit_balistico_fig_a} \`e mostrato l'andamento
ottenuto facendo uso della~(\ref{deficit_a}) (con A=1) fissando $\tau_R$
a $1\,\mu s$ e per i valori di $\tau_F$ indicati in figura.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/deficit_balistico_fig_a.eps,width=9.0 cm,height=9 cm}}\end{center}
\caption{Confronto di segnali con diverso deficit balistico.}
\protect\label{deficit_balistico_fig_a}
\end{figure}


\subsection{Shaping e rumore}    \label{shapingerumore}

Abbiamo visto al capitolo~\ref{rumoreneicircuitielettronici} che la
potenza di rumore in un amplificatore a FET \`e data, nel dominio
della frequenza, dall'espressione~(\ref{rumore_totale}), che riscriviamo
per comodit\`a:



\begin{equation}
\overline{v_{N}^2}\:=\:
\frac{d\omega}{\omega}\left\{A_f+\frac{2KT}{\pi R_{g}
{C_{in}^2}\omega} +\:\frac{e I_{g}}{\pi \omega C_{in}^{2}}+\:\frac{2KT
\omega}{\pi g_m}\right\} \label{rumore_totale_riscritto}
\end{equation}

dove $g_m$ \`e la transconduttanza del FET, $C_{in}$ la capacit\`a
parassita all'ingresso dello stesso, $I_g$ la corrente di gate, $R_g$
la resistenza di gate ed $A_f$ una costante che rende conto del rumore
$1/f$.

La potenza di rumore all'uscita di un circuito di shaping dipender\`a
dalla funzione di trasferimento $f(\omega)$ che lo caratterizza. Si
dimostra che lo shaping ottimale dal punto di vista del rapporto
segnale/rumore \`e quello che fornisce in uscita un segnale a cuspide,
come quello di figura~\ref{shaping_cuspide}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori/shaping_cuspide.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Segnale a cuspide.} \protect\label{shaping_cuspide}
\end{figure}

Uno shaping di questo tipo non \`e realizzabile nella pratica. Dei
segnali che costituiscono delle ragionevoli approssimazioni a quello
ideale sono quello triangolare e quello gaussiano.  Esamineremo qui lo
shaping triangolare\index{Shaping! triangolare}. Questo pu\`o essere
ottenuto facendo uso di una funzione di trasferimento del tipo di
quella discussa nel capitolo~\ref{amplificatoriafet}
(equazione~(\ref{fet_eq_33}) con $\omega_L=\omega_U=1/\tau$) cio\`e:
\[
G(\omega)=\frac{A_0(\omega \tau)}{(1+\omega^2 \tau^2)}
\]
La tensione quadratica media di rumore all'uscita dell'amplificatore
sar\`a allora:
\[
\overline{w_N^2}\:=\:\int_0^{\infty}|G(\omega)|^2 \overline{v_N^2}
d\omega
\]

Da cui:

\begin{equation}
\overline{w_N^2} \:=\:A_0^2 \left(\frac{KT}{2
R_g}\frac{\tau}{C_{in}^2}+\frac{e I_g}{4}\frac{\tau}{C_{in}^2}
+\frac{KT}{2 g_m \tau} + \frac{A_f}{2}\right) \label{noise_shaping_a}
\end{equation}

Ammettiamo ora che Q sia la carica che il rivelatore deposita sulla
capacit\`a d'ingresso dell'amplificatore ($C_{in}$). Se $A_0$ \`e il
guadagno dell'amplificatore, il segnale in uscita sar\`a:

\[
v'_{out}\:=\:A_0 \frac{Q}{C_{in}}
\]

Tuttavia, in presenza di uno shaping triangolare, con tempi di salita
e di discesa del segnale $\tau_r=\tau_f=\tau$, il guadagno \`e ridotto
di un fattore \emph{e}. Cio\`e:
\begin{equation}
v_{out}\:=\:\frac{A_0}{e}\frac{Q}{C_{in}} \label{noise_shaping_b}
\end{equation}

La ENC si ottiene uguagliando la~(\ref{noise_shaping_a}) ed il quadrato
della~(\ref{noise_shaping_b}):
\[
\frac{A_0^2}{e^2}\frac{Q^2}{C_{in}^2}\:=\:A_0^2 \left(\frac{KT}{2
R_g}\frac{\tau}{C_{in}^2}+\frac{e
I_g}{4}\frac{\tau}{C_{in}^2}+\frac{KT}{2 g_m \tau} +
\frac{A_f}{2}\right)
\]

da cui si ha:
\begin{equation}
(ENC)^2=Q^2\:=\:e^2\left\{\frac{KT}{2 R_g}\tau + \frac{e I_g}{4}\tau +
\frac{KT C_{in}^2}{2 g_m \tau} + \frac{A_f C_{in}^2}{2}\right\}
\label{ENC_Q2}
\end{equation}

I primi due termini non dipendono da $C_{in}$, i restanti due ne
dipendono.

Ci\`o \`e legato al fatto che per i primi due termini la sorgente di
rumore, come il segnale, pu\`o esser considerata in parallelo alla
capacit\`a $C_{in}$, mentre per i rimanenti due la sorgente di rumore
\`e in serie.

Esaminiamo ora la dipendenza del rumore dalla costante di tempo
$\tau$.  Riscriviamo a tale scopo la~(\ref{ENC_Q2}) nella forma:
\begin{equation}
\left(ENC\right)^2\:=\:L\tau + \frac{M}{\tau}C_{in}^2+NC_{in}^2
\label{ENC_Ltau}
\end{equation}

Questa ha un minimo quando si annulla la derivata prima, cio\`e:
\[
L-\frac{M}{\tau^2}C_{in}^2\:=\:0
\]
da cui:
\[
\tau_{min}^2=\frac{M}{L}C_{in}^2
\]
\[
\tau_{min}=\sqrt{\frac{M}{L}}C_{in}
\]

(notiamo che la derivata seconda \`e positiva: $2MC_{in}^2/\tau^3 >
0$).

Sostituendo questa espressione di $\tau_{min}$ nella~(\ref{ENC_Ltau}) si
trova il minimo valore della ENC:
\[
(ENC)^2_{min}=\sqrt{LM} C_{in}+\sqrt{LM} C_{in}+NC_{in}^2
\]

Vediamo che con questa scelta i primi due termini contribuiscono in
ugual misura. Essi corrispondono rispettivamente al rumore termico
nella resistenza di gate ed allo shot noise nella corrente di gate.

Sostituendo valori numerici tipici si trova che $\tau$ deve essere
almeno dell'ordine dei $\mu s$.  Questo valore \`e troppo alto se si
lavora a rate elevati.  Scegliendo valori di $\tau$ molto minori di
quello ottimale, il contributo del rumore termico nel canale diviene
dominante sui primi due.  Se il rumore 1/f pu\`o essere trascurato, il
rumore complessivo diviene:
\[
(ENC)^2\approx M \frac{C_{in}^2}{\tau}=e^2 \frac{KT C_{in}^2}{2 g_m
\tau}
\]

o \index{Equivalent Noise Charge} anche:
\[
ENC\approx \sqrt{\frac{M}{\tau}}C_{in}
\]

Inoltre $C_{in}$ pu\`o esser divisa in due pezzi: la capacit\`a
esterna ($C_{ext}$) all'amplificatore (cavi, rivelatore, etc.) e
quella ($C_0$) del FET, per cui:
\[
ENC=\sqrt{\frac{M}{\tau}}\left(C_0+C_{ext}\right)\:=\:k_1+k_2 C_{ext}
\]

Nel caso dei preamplificatori commerciali, i produttori quotano le
costanti $k_1$ e $k_2$ (per valori dati di $\tau$), in opportune
unit\`a.







