\chapter{Il rumore nei circuiti elettronici}  
\label{rumoreneicircuitielettronici}

\section{Introduzione}

\newcommand{\gnat}{\mbox{$\overline{w(t)^{2}}$}}

Anche in assenza di segnale applicato in ingresso, una tensione o
corrente di rumore \`{e} sempre presente all'uscita di un
amplificatore.  Tale segnale pu\`{o} aver origine nei componenti
dell'amplificatore medesimo (transistori, FET, resistenze, diodi etc.)
o pu\`{o} avere origini esterne (disturbi di natura elettromagnetica
nell'ambiente, insufficiente filtraggio della tensione di
alimentazione ottenuta dalla rete elettrica, rumore gi\`{a} presente
all'ingresso dell'amplificatore).
 
Se si osserva il segnale all'uscita dell'amplificatore con un
oscilloscopio, si vedr\`{a} una successione di impulsi di forma
irregolare, positivi e negativi, come \`e possibile vedere in
figura~\ref{noise}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/noise.eps,width=9.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Segnale di rumore visto da un oscilloscopio. Si noti che la
forma \`e del tutto irregolare, con picchi positivi e negativi.}
\protect\label{noise}
\end{figure}

L'altezza degli impulsi \`{e} spesso molto piccola e la loro
distribuzione nel tempo \`{e} nella pi\`u gran parte dei casi, casuale
(non lo sar\`a ovviamente se il rumore ha origine nella rete elettrica
a 220 V, in emissioni elettromagnetiche da parte di motori elettrici
nell'ambiente etc). 
 
Ci limiteremo qui allo studio del rumore \index{Rumore} di tipo
casuale, che ha prevalentemente origine nei componenti del circuito o
negli elementi che lo precedono.

 Lo studio del rumore \`{e} particolarmente importante in quelle
applicazioni in cui \`{e} necessario amplificare dei segnali la cui
ampiezza \`{e} molto piccola. In tali circostanze, l'ampiezza del
rumore pu\`{o} divenire una frazione apprezzabile di quella del
segnale e diviene importante adottare accorgimenti particolari per
amplificare il segnale e non il rumore.  \`{E} necessario, a tale
scopo, conoscere le caratteristiche del rumore, quali ad esempio il
suo spettro di frequenza.


 I tre tipi principali di rumore sono:
\begin{itemize}
\item {il rumore termico \index{Rumore! termico};}
\item {il rumore di tipo "shot" \index{Rumore! shot};}
\item {il rumore 1/f \index{Rumore! 1/f}. }
\end{itemize}
 
 Nei paragrafi che seguono esamineremo le caratteristiche principali
di tali tipi di rumore, cominciando con una breve descrizione dei
metodi adoperati per caratterizzarlo.
\section{Processi stocastici stazionari \index{Processi stocastici! stazionari}}

Ci occuperemo qui dei processi stocastici che si ripetono nel tempo e
che possono essere considerati, su lunghi intervalli di tempo,
stazionari.  Nella pi\`{u} gran parte dei casi essi hanno origine in
fluttuazioni che hanno luogo a livello microscopico. In tal caso
risulta opportuno affrontare il problema studiando la distribuzione di
tali processi nel tempo. Dal punto di vista sperimentale \`{e} invece
comodo effettuare misure nel dominio della frequenza.  Ci occuperemo
ora dei metodi adoperati per la caratterizzazione nel dominio
temporale. Si vedr\`{a} successivamente come le due descrizioni siano
legate l'una all'altra da utili relazioni matematiche.

\subsection{Descrizione nel dominio del tempo}
\subsubsection{Distribuzioni}

Consideriamo un sistema fisico soggetto a fluttuazioni statistiche
casuali.  Sia x(t) la grandezza della variabile che fluttua,
all'istante t, relativamente al sistema in esame. Tale variabile
potrebbe essere una tensione, una corrente, una carica, un numero di
fotoni etc.  Per caratterizzare le propriet\`a del sistema si
introducono delle opportune medie effettuate su di esso. Pi\`u
dettagliatamente, si supponga di considerare un gran numero N di
sistemi identici a quello sotto esame, ciascuno dei quali sia soggetto
alle medesime fluttuazioni, ma \emph{indipendentemente dagli altri}.
Fissato un certo istante $t_1$, sia $x_i(t_1)$ il valore che la
variabile relativa all'ie-mo sistema ha in tale istante. Sia ora
$\Delta N$ il numero dei sistemi per i quali la variabile ha,
nell'istante considerato, un valore compreso tra $x$ e $x+\Delta
x$. Per $N\rightarrow \infty$ si prenda ora il rapporto $\Delta
N/N$. Tale rapporto esprime la probabilit\`a che il sistema abbia il
valore della variabile x compreso nell'intervallo suddetto, al tempo
$t_1$. Chiameremo tale probabilit\`a $\Delta P$. Il rapporto tra tale
probabilit\`a e l'ampiezza $\Delta x$ dell'intervallo scelto per la
variabile x \`e, per $\Delta x \rightarrow 0$, la funzione
\emph{densit\`a di probabilit\`a}:
\[
\frac{dP}{dx}\:\equiv\:\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta
P}{\Delta x}=\:f(x,t_1)
\]
La probabilit\`a che il sistema abbia, all'istante $t_1$, un valore
della variabile compreso in un intervallino dx \`e esprimibile in
funzione della f(x,t):
\[
dP\:=\:f(x,t)dx
\]
Se la funzione f(x,t) \`e indipendente da t, il sistema si dice
\emph{stazionario}. \index{Sistema! stazionario} La pi\`u gran parte
dei processi di rumore che si incontrano sono stazionari.

Nota la densit\`a di probabilit\`a, \`e facile calcolare valori medi
di variabili che siano funzioni della variabile casuale x. Le medie
che si ottengono sono \emph{medie sull'insieme dei sistemi identici}
considerati. Ad esempio, si possono calcolare i \emph{momenti}:
\[
\overline{x^m}\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}{x^m f(x)dx}
\]
\index{Media} Data una generica funzione g(x) della variabile casuale
x, il suo valor medio sull'insieme \`e:
\[
\overline{g(x)}\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}{g(x) f(x)dx}
\]
Se f(x) \`e simmetrica (f(x)=f(-x)) ed x pu\`o variare tra valori
uguali ed opposti ($-x_0\:,\:+x_0$) allora il valor medio di tutte le
potenze dispari di x sar\`a nullo. Se il valor medio di x (cio\`e il
momento di ordine 1) \`e diverso da zero, si pu\`o introdurre la
grandezza:
\[
\Delta x\:=\:(x-\overline{x})
\]
il cui valor medio \`e nullo.

Si definisce la \emph{varianza} di x come:
\[
var(x)\:\equiv\:\overline{\Delta
x^2}\:=\:\overline{(x-\overline{x})^2}\:=\:
\overline{x^2}-\overline{x}^2
\]
\index{Varianza} Abbiamo fatto implicitamente l'ipotesi che la
funzione f(x) fosse normalizzata ad 1:
\[
\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}\:=\:1
\]
Se questa condizione non fosse soddisfatta, sarebbe comunque possibile
definire una nuova funzione, legata alla f(x) da una semplice
relazione di proporzionalit\`a, normalizzata ad 1.

Abbiamo finora effettuato l'operazione di media ammettendo di disporre
di un numero (teoricamente infinito) di sistemi \emph{identici a
quello che si sta studiando} e soggetti a fluttuazioni
indipendenti. Questo \`e chiaramente un artificio di calcolo. Nella
realt\`a disponiamo di un solo sistema soggetto a fluttuazioni che si
ripetono nel tempo. Ammettiamo di studiare le fluttuazioni del sistema
sull'intervallo di tempo (0-T). Sia x(t) la variabile che caratterizza
le fluttuazioni del sistema e sia g(x) una funzione della x.  Possiamo
definire il valor medio, sull'intervallo di tempo T, della g(x):
\[
<g(x)>\:=\:\lim_{T\rightarrow
\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{g(x(t))dt}
\]  
Se questa media temporale \`e uguale alla media effettuata
sull'insieme, cio\`e a $\overline{g(x)}$, allora il processo di rumore
in esame si dice \emph{ergodico}. \index{Ergodico! sistema} La pi\`u
gran parte dei processi di rumore sono ergodici.

Le considerazioni precedenti sono facilmente estendibili al caso di
pi\`u variabili.  Se infatti $x_1(t)$ ed $x_2(t)$ sono variabili
stocastiche indipendenti possiamo, analogamente a quanto fatto nel
caso di una singola variabile, definire la probabilit\`a che la
variabile $x_1$ abbia un valore compreso nell'intervallo
($x_1,x_1+dx_1$) e la variabile $x_2$ abbia un valore compreso
nell'intervallo ($x_2,x_2+dx_2$):
\[
dP\:=\:f(x_1,x_2,t) dx_1 dx_2
\]
Se tale funzione non dipende dal tempo, il sistema si dice
\emph{stazionario}. \index{Sistema! stazionario} In modo analogo a
quello seguito nel caso della funzione f(x), possiamo definire i
valori medi di funzioni delle variabili $x_1,x_2$. Ad esempio, i
momenti saranno:
\[
\overline{x_1^n x_2^m}\:=\:\int \int {x_1^n x_2^m\:f(x_1,x_2)dx_1
dx_2}
\]
Particolarmente importante \`e la \emph{correlazione}:
\index{Correlazione}
\[
\overline{x_1x_2}\:=\:\int \int {x_1 x_2\:f(x_1,x_2)dx_1 dx_2}
\] 
che \`e uguale a zero se le due variabili non sono correlate. Si
definisce poi il \emph{coefficiente di correlazione}:
\[
C\:=\:\frac{\overline{x_1 x_2}}{\sqrt{\overline {x_1^2} \:\overline
{x_2^2}}}
\]
Si pu\`o facilmente vedere che $-1\leq C\leq 1$. Basta far uso del
fatto che l'espressione:
\[
\overline{(a x_1+b x_2)^2}\: \geq \:0
\]
per tutti i valori di a e b.

Il coefficiente di correlazione vale 0 se le variabili sono non
correlate e $\pm 1$ se la correlazione \`e massima.  Se il modulo di C
\`e minore di 1 (ma non nullo) si dice che la correlazione \`e
parziale.

\subsubsection{Autocorrelazione}
\index{Autocorrelazione} Se nel calcolo della correlazione definita
sopra, facciamo uso di x(t) al posto di $x_1$ e di $x(t+\tau)$ al
posto di $x_2$, otteniamo quella che \`e nota come \emph{funzione di
autocorrelazione}
\begin{equation}
\Phi(\tau)\:=\:\overline{x(t)x(t+\tau)} \label{eq:autocorrel}
\end{equation}



La funzione di autocorrelazione fornisce una misura della durata
temporale di una fluttuazione.


Essa ha le seguenti propriet\`{a}:
\begin{itemize}
\item{$\Phi(\tau)$ \`e indipendente da t se x(t) \`e stazionaria.}
\item {$\Phi(\tau)$ \`e o continua (anche se x(t) \`e discontinua) o
\`e una funzione $\delta$ di $\tau$. Infatti, se $\Phi(\tau)$ non \`e
una funzione $\delta(\tau)$, generiche discontinuit\`a in x(t) e in
$x(t+\tau)$ avranno luogo ad istanti diversi nei diversi elementi
dell'insieme. Ne segue che tali discontinuit\`a daranno una media
finale nulla.}
\item {$\Phi(\tau) = \overline{x(t)^2}$ per $\tau = 0$, a meno che
$\Phi(\tau)$ non sia una funzione $\delta$.}
\item {$\Phi(\tau) = \Phi(-\tau)$ se x(t) \`e stazionaria.}
\end{itemize}
L'ultima relazione scritta si pu\`o dimostrare come segue:
\[
\Phi(\tau)\:\equiv\overline{x(t)x(t+\tau)}\:=\:\overline{x(u-\tau)x(u)}\:=\:
\overline{(x(u)x(u-\tau))}\:=\:\overline{x(t)x(t-\tau)}
\]
Dove il primo passaggio \`e ottenuto ponendo $u=(t+\tau)$, il secondo
scambiando i due termini che figurano nella media ed il terzo
sostituendo u con t, il che \`e consentito dal fatto che la x(t) \`e
stazionaria.


Ulteriori propriet\`a della funzione di autocorrelazione sono:
\begin{itemize}
\item{Per $\tau \rightarrow \infty $, $ \Phi(\tau)$ va a zero
abbastanza rapidamente che l'integrale:
\[\int_{-\infty}^{+\infty}{\Phi(\tau)d\tau}\] esiste. Tale condizione
pu\`o non esser verificata in alcuni casi.}
\item{Dalla correlazione si pu\`o, se $\Phi(\tau)$ non \`e una
funzione $\delta(\tau)$, ottenere il coefficiente di autocorrelazione
normalizzato:
$c(\tau)\:=\:\frac{\overline{x(t)x(t+\tau)}}{\overline{x^2}}$ }
\end{itemize}

Nel caso in cui $\Phi(\tau)$ \`{e} una funzione $\delta$:
\begin{center}
\begin{equation}
\Phi(\tau) = A \cdot \delta (\tau) \label{eq:bianco}
\end{equation}
\end{center}
il rumore si dice {\em bianco}.

 Consideriamo ora alcuni esempi di sorgenti di rumore. Consideriamo
una sequenza di impulsi (funzioni $\delta$) positivi e negativi,
distribuiti in modo casuale nel tempo, come mostrato in
figura~\ref{delta}; la probabilit\`{a} che un impulso abbia luogo
nell'intervallo di tempo (t, t+dt) sia cio\`{e} costante ed
indipendente da t. Sia inoltre A l'ampiezza degli impulsi, cio\`e
l'integrale di ciascuna delle funzioni $\delta$ che li descrivono.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/delta.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Sequenza di impulsi (funzioni $\delta$) positivi e negativi,
distribuiti casualmente nel tempo.} \protect\label{delta}
\end{figure}

%\begin{figure}[h!]
%  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/v(t)vst.eps,width=10.0 cm,
%height=7 cm}}\end{center}
%\caption{ }
%\protect\label{v(t)vst}
%\end{figure}



Sappiamo che in tal caso la distribuzione del numero n di impulsi in
un tempo finito T \`{e} una Poissoniana.  La funzione di
autocorrelazione $\Phi(\tau)$ sar\`{a} allora nulla per tutti i valori
di $\tau$, tranne che nel punto $\tau$=0. Pi\`u precisamente, essa
sar\`a una funzione $\delta(0)$ di ampiezza pari ad $A^2$



Se ora tale sorgente di rumore viene applicata ad un filtro
passa-basso avente una costante di tempo $\tau_{1}$, la funzione w(t)
all'uscita avr\`{a} la forma mostrata in figura~\ref{w(t)} e la
corrispondente funzione di autocorrelazione avr\`{a} la forma mostrata
in figura~\ref{correl}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/w(t).eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Segnale in uscita da un filtro passa basso a cui sia stato
applicato in ingresso il segnale mostrato in figura~\ref{delta}.}
\protect\label{w(t)}
\end{figure}


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/correl.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Autocorrelazione del segnale in uscita dal filtro.}
\protect\label{correl}
\end{figure}

Infatti la risposta di un circuito caratterizzato da una funzione di
trasferimento h(t) ad un segnale v(t) \`e data dalla convoluzione:
\begin{equation}
v_o(t)\:=\:\int_0^t{v(t-\tau)h(\tau)d\tau} \label{convoluzione}
\end{equation}
la cui trasformata di Laplace \`e:
\[
\tilde{v}_o(s)\:=\:\tilde{v}(s)\cdot \tilde{h}(s)
\]
Per dimostrare tale relazione, L-trasformiamo entrambi i membri
della~(\ref{convoluzione}):
\[
\tilde{v}_o(s)\:=\:\int_0^\infty{e^{-st}dt\int_0^t{v(t-\tau)h(\tau)d\tau}}
\]
Trasformiamo ora l'integrale interno, estendendo l'integrazione fino
ad $\infty$.  Ci\`o pu\`o esser ottenuto moltiplicando l'integrando
per la funzione gradino unitario $u(t-\tau)$, che \`e nulla per $\tau
> t$:
\[
\tilde{v}_o(s)\:=\:\int_0^\infty{e^{-st}dt\int_0^\infty{v(t-\tau)h(\tau)
u(t-\tau)d\tau}}\:=
\]
\[
=\:\int_0^\infty{h(\tau)d\tau\int_0^\infty{v(t-\tau)
u(t-\tau)e^{-st}dt}}
\]
dove nell'ultimo passaggio abbiamo scambiato l'ordine delle due
integrazioni.  L'integrale interno \`e nullo per $t<\tau$. Possiamo
quindi limitare l'integrazione fra $\tau$ ed $\infty$, dove \`e
$u(t-\tau)=1$. Ponendo $t'=t-\tau$ otteniamo:
\[
\tilde{v}_o(s)\:=\:\int_0^\infty{h(\tau)d\tau\int_0^\infty{v(t')
e^{-s(t'+\tau)}dt'}}\:=
\]
\[
=\:\int_0^\infty{h(\tau)e^{-s\tau}d\tau\int_0^\infty{v(t') e^{-s
t'}dt'}}\:=\:\tilde{h}(s)\cdot\tilde{v}(s)
\]
che \`e quanto volevamo dimostrare.  Nel nostro caso (circuito
passa-basso) la trasformata della funzione di trasferimento del
circuito (cio\`e della h(t)) \`e:
\[
\tilde{h}(s)\:=\:\frac{1}{s+a}\:\:\:\:con: a=\frac{1}{\tau_1}
\]
e la trasformata dell'eccitazione (funzione $\delta$) \`e 1. Ne segue
per la risposta:
\[
v_o(t)\:=\:e^{-t/\tau_1}
\]
Cio\`e la risposta \`e un esponenziale. Poich\'e gli impulsi hanno
luogo ad istanti casuali, ed inoltre possono essere sia positivi che
negativi, la correlazione tra impulsi diversi sar\`a nulla e l'unico
contributo che rimane all'autocorrelazione \`e quella del generico
impulso con se stesso, la cui forma \`e quella mostrata in
figura~\ref{correl}.



Come si vede $\Phi(\tau)$ \`e diverso da zero per valori di $\tau$
$\neq$0.
\subsubsection{Funzione di autocorrelazione all'uscita di un circuito}

Il procedimento formale per trovare la funzione di autocorrelazione
$\Phi_{2}(\tau)$ all'uscita di un circuito quando sia nota la funzione
di autocorrelazione $\Phi_{1}(\tau)$ all'ingresso \`{e} il
seguente. Sia h(t) la funzione che esprime la risposta del circuito ad
una funzione $\delta$(t). Definiamo allora la funzione di
autocorrelazione del circuito:
\begin{equation}
\rho(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t)*h(t+\lambda)\,dt
\label{eq:rho}
\end{equation}
che esprime la 'memoria' del circuito al tempo $\lambda$. Si dimostra
allora che $\Phi_{2}(\tau)$ \`e dato da:
\begin{equation}
\Phi_{2}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty}
\rho(\lambda)*\Phi_{1}(t-\lambda)\,d\lambda \label{eq:phi2}
\end{equation} 


\subsection{Analisi nel dominio della frequenza}
\index{Fourier} Lo sviluppo in serie di Fourier di una tensione di
rumore v(t) pu\`{o} essere effettuato su di un intervallo di tempo
definito (0-T):
\begin{equation}
v(t)\:=\:\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_{n}\exp(j \omega_{n}
t)\label{eq:fourier}
\end{equation}
dove:
\begin{equation}
a_{n}\:=\:\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t) \cdot \exp(-j \omega_{n}
t)\,dt\label{coeff}
\end{equation}
ed:

\[
\omega_{n}\,=\, \frac{2 \pi n}{T}\; , n\,=\,0,\pm 1, \pm 2 , \pm n
\]
Notiamo che dalla~(\ref{coeff}), con v(t) reale, segue che:
\[
a_n^*\:=\:a_{-n}
\]
I primi termini ($|n|\leq 2$) dello sviluppo~(\ref{eq:fourier}) sono:
\[
v(t)\:=\:a_{-2}exp(-j4\pi\frac{t}{T})+a_{-1}exp(-j2\pi\frac{t}{T})+a_0+a_1
exp(j 2\pi\frac{t}{T})+ a_2 exp(j 2\pi \frac{t}{T})
\]
Per un dato T, la componente di Fourier di pulsazione $\omega_n$ \`e:
\[
v_n(t)\:=\:a_n exp(j \omega_n t)+a_{-n}exp(-j \omega_n t)
\]
Applichiamo ora questo sviluppo separatamente a ciascun elemento di un
insieme di sistemi identici, soggetti a fluttuazioni. Calcoliamo il
valore quadratico medio di $v_n$ sugli elementi dell'insieme:
\begin{equation}
\overline{v_n^2}\:=\:\overline{a_n^2} exp(2 j \omega_n
t)+\overline{a_{-n}^2} exp(-2j \omega_n t)+ 2 \overline{a_n a_n^*}
\label{quadmedio}
\end{equation}
Notiamo che $a_n$ \`e un vettore nel piano complesso:
\[
a_n\:=\:|a_n|exp(j \phi_n)
\]
ed $a_n^2$:
\[
a_n^2\:=\:|a_n|^2 exp(2j \phi_n)
\]
I vettori che rappresentano $a_n^2$ per due diversi elementi
dell'insieme sono mostrati in figura~\ref{vectors}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/vectors.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Il valore quadratico medio della componente di Fourier di
pulsazione $\omega_n$ \`e $\overline{v_n^2}\:=\:\overline{a_n^2} exp(2
j \omega_n t)+\overline{a_{-n}^2} exp(-2j \omega_n t)+ 2 \overline{a_n
a_n^*} \label{quadmedio}$ dove $ a_n\:=\:|a_n|exp(j \phi_n) $ ed $
a_n^2\:=\:|a_n|^2 exp(2j \phi_n) $ In figura sono mostrati i vettori
nel piano complesso che rappresentano $ a_n^2 $ per due diversi valori
di $ n $.}

\protect\label{vectors}
\end{figure}



I due vettori possono avere moduli e fasi diverse. Dato per\`o il
carattere casuale della fluttuazione, dato un elemento del sistema che
ha, ad un dato istante, un certo modulo e fase, esister\`a
nell'insieme un elemento con uguale modulo e fase uguale a quella del
primo, aumentata di $\pi$. Per tale coppia di elementi, la somma dei
relativi vettori (uguali ed opposti) \`e nulla. Poich\'e ci\`o \`e
vero per qualunque valore di $a_n$, ne segue che:
\[
\overline{a_n^2}\:=\:0
\]
Analogamente si vede che \`e:
\[
\overline{a_{-n}^2}\:=\:0
\]
Invece non \`e nullo l'ultimo dei termini che compaiono
nella~(\ref{quadmedio}).  Ci\`o segue dal fatto che esso \`e reale:
\[
a_n a_n^*\:=\:|a_n|exp(j \phi_n)\:|a_n| exp(-j \phi_n)\:=\:|a_n|^2
\]
Di conseguenza, la cancellazione tra elementi diversi ora non ha
luogo. Avremo in definitiva:
\begin{equation}
\overline{v_n^2}\:=\:2 \overline{a_n a_n^*} \label{vn2}
\end{equation}

Quanto detto finora si applica sia al caso $\overline{v}=0$ che al
caso $\overline{v}\neq 0$. Poich\'e siamo comunque liberi di
ridefinire $v(t)-\overline{v}$ come la quantit\`a che fluttua, potremo
sempre assumere, senza perdere generalit\`a, che sia $\overline{v}=0$.

\subsubsection{Densit\`a spettrale}

Nello sviluppo~(\ref{eq:fourier}), alla componente di pulsazione
$\omega_n\:=\:\frac{2\pi n}{T}$ \`e associata una frequenza:
\[
f_n\:=\:\frac{n}{T}
\]
Considerando l'intervallo di frequenza:
\[
\Delta f\:\equiv f_{n+1}-f_{n}\:=\:\frac{1}{T}
\]
definiremo la \emph{densit\`a spettrale} come: \index{Densit\`a
spettrale}
\begin{equation}
S_v(f_n)\:=\:\frac{\overline{v_n^2}}{\Delta f} \label{intspett}
\end{equation}
Questa rappresenta la potenza quadratica media di rumore per unit\`a
di intervallo di frequenza, in prossimit\`a della frequenza $f_n$,
sviluppata su di una resistenza di $1 \Omega$ cui sia applicato tale
segnale di tensione.

Per $T \rightarrow \infty$ l'equazione~(\ref{intspett}) si pu\`o
riscrivere, facendo uso della~(\ref{vn2}), come:
\[
S_v(f)\:=\:\lim_{T \rightarrow \infty} 2 T \overline{a_n a_n^*}
\]






Essa esprime l'importanza delle singole componenti nello sviluppo in
serie di Fourier.

Il teorema di Wiener-Khintchine (vedi appendice A) lega la densit\`{a}
spettrale cos\`{i} definita alla funzione di autocorrelazione:
\begin{equation}
S_{v}(f)\:=\:2\int_{-\infty}^{+\infty} \overline {v(t)\, v(t+\tau)}
\exp(j \omega \tau) d\tau \:=\:4\int_{0}^{+\infty} \overline {v(t)\,
v(t+\tau)} \cos(\omega \tau) d\tau\label{wiener}
\end{equation}

Dove il termine $\overline {v(t)\, v(t+\tau)}$ \`{e} la funzione di
autocorrelazione $\Phi(\tau)$ L'ultima uguaglianza segue dal fatto che
$\exp(j \omega \tau) = \cos(\omega \tau)+j \sin(\omega \tau)$, che
$\cos(\omega \tau)$ \`{e} una funzione pari e $\sin(\omega \tau)$ una
funzione dispari di $\tau$ e che la funzione di autocorrelazione gode
della propriet\`a che: $\Phi(\tau)=\Phi(-\tau)$.  Quindi scriveremo:
\begin{equation}
S_{v}(f)\:=\:4\int_{0}^{+\infty} \Phi(\tau) \cos(\omega \tau)
d\tau\label{eq:Sv}
\end{equation}
Questa equazione pu\`{o} essere invertita, per esprimere la funzione
di autocorrelazione in termini della densit\`{a} spettrale:
\begin{equation}\Phi(\tau)\:=\:\int_{0}^{+\infty}S_{v}(f) \cos(\omega \tau) 
df\label{eq:Phi}
\end{equation}
Si vede da ci\`o che $S_{v}(f)$ e $\Phi (\tau)$ sono l'una la
trasformata di Fourier dell'altra. Attraverso queste equazioni \`{e}
possibile ricavare la densit\`{a} spettrale dalla funzione di
autocorrelazione e viceversa.  Nelle misure si determina la
densit\`{a} spettrale, da cui si ricava poi la funzione di
autocorrelazione. I calcoli forniscono invece la funzione di
autocorrelazione, da cui si ricava poi la densit\`{a} spettrale
facendo uso della~(\ref{eq:Sv}).

 Notiamo subito che nel caso di una sorgente di rumore {\em bianco},
che ha una funzione di autocorrelazione $\Phi(\tau)\,=\,A \cdot
\delta(\tau)$ (con A una costante), si trova $S_{v}(f)\:=\:2\cdot A$,
cio\`{e} la densit\`{a} spettrale \`{e} costante.

 Ponendo $\tau = 0$ la~(\ref{eq:Phi}) fornisce:
\[\Phi(0) \:=\: \int_{0}^{+\infty}S_{v}(f) df\]
e, poich\`{e} $\Phi(0)\,=\,\overline {v^2(t)}$, si trova:
\begin{equation}
\overline{v^{2}(t)}\:=\:\int_{0}^{+\infty}S_{v}(f)
df\label{eq:vquadro}
\end{equation}
Cio\`{e} il valor medio del quadrato della tensione di rumore \`{e}
dato da un'integrale sull'intero spettro di frequenze, della
densit\`{a} spettrale.  La tensione quadratica media {\em per
unit\`{a}} di intervallo di frequenza \`e semplicemente $S_{v}(f)$.

\subsubsection{Banda di rumore di un amplificatore} 
\index{Banda di rumore} Ammettiamo ora che un segnale casuale v(t) sia
 applicato all'ingresso di un generico sistema lineare, caratterizzato
 da una funzione di trasferimento g(f). Sia w(t) il segnale all'uscita
 del sistema. Siano $S_{v}(f)$ e $S_{w}(f)$ le corrispondenti
 densit\`{a} spettrali ed $a_{n}$ e $b_{n}$ i relativi coefficienti di
 Fourier. La linearit\`{a} del sistema porta a:

\[b_{n} \:=\: g(f) \cdot a_{n}\]

e quindi:

\[S_{w}(f)\:=\:S_{v}(f)\cdot \mid g(f) \mid^{2}\]
Per cui:
\[\overline{w^{2}(t)}\:=\:\int_{0}^{\infty} S_{v}(f) \cdot \mid g(f)
\mid^{2} \,df\] Se il sistema lineare \`{e} un amplificatore con una
banda passante molto stretta centrata sulla frequenza $f_{0}$, avremo:
\begin{equation}
\overline{w^{2}(t)}\:=\:S_{v}(f_{0})\cdot \int \mid g(f)
\mid^{2}\,df\:= \:S_{v}(f_{0})\cdot g_{0}^{2}\cdot B_{N}
\label{eq:ww2}
\end{equation}
dove $g_{0}$~=~g($f_{0})$ \`{e} la risposta a met\`{a} banda del
sistema lineare e $B_{N}$ \`{e} la larghezza di banda effettiva (nota
anche come {\em banda equivalente di rumore} o \emph{equivalent noise
bandwidth}), definita da:
\begin{equation}
B_{N}\:=\:\frac{1}{g_{0}^{2}}\int_{0}^{\infty}{\mid g(f) \mid}^2\,df
\label{eq:filt}
\end{equation} 

In altre parole, la banda di rumore del nostro amplificatore \`e la
larghezza di banda di un amplificatore ideale avente una risposta in
frequenza rettangolare, che fornisce in uscita la medesima potenza di
rumore dell'amplificatore reale.

Nel caso in cui il rumore sia \emph{bianco}, potremo facilmente
estendere tale risultato al caso di un amplificatore la cui banda
passante non sia necessariamente stretta, essendo in tal caso la
$S_v(f)$ una costante.

La definizione di banda equivalente di rumore \`e poi utile anche nel
caso di un filtro.  Consideriamo ad esempio un filtro passa-basso, la
cui funzione di trasferimento sia:
\[
|g(f)|^2=\frac{1}{1+(f/f_0)^2}
\]
La banda equivalente di rumore sar\`a:
\[
B_N=\int_0^{\infty}\frac{1}{1+(f/f_0)^2}df\:=\:f_0\int_0^{\infty}\frac{1}{1+u^2}du
\]
con $u=f/f_0$.

Si trova:
\[
B_N=f_0 \left. \arctan u
\right]_0^{\infty}\:=\:\frac{\pi}{2}f_0\:\approx\:1.57 f_0
\]
cio\`e la banda equivalente di rumore \`e circa 1.57 volte la banda
passante $f_0$ del filtro.
\subsection{Determinazione sperimentale della densit\`{a} spettrale}.

La densit\`{a} spettrale $S_{v}(f)$ pu\`{o} esser misurata ad una
generica frequenza $f_{0}$, facendo uso di un filtro di cui si conosca
il guadagno a met\`{a} banda $g_{0}$ e $B_{N}$, nonch\`{e} di un
rivelatore quadratico (cio\`{e} di un rivelatore in grado di fornire
$\overline{w(t)^{2}}$ ) all'uscita del filtro.  \\La densit\`{a}
spettrale sar\`{a} ottenibile invertendo l'equazione~(\ref{eq:ww2}) :

\[S_{v}(f_{0})\:=\:\frac{\gnat}{g_{0}\cdot B_{N}}\]

Variando la frequenza $f_{0}$ del filtro si potr\`{a} in tal modo
ottenere una misura della densit\`{a} spettrale su di un ampio campo
di frequenze.  Si noti che spesso, al posto della densit\`{a}
spettrale, espressa in $V^{2}/Hz$ si fa uso della sua radice quadrata
(in $V/\sqrt{Hz}$).
\section{Rumore termico}

Il rumore termico (noto anche come rumore Johnson \index{Johnson}
\index{Rumore! termico}) \`{e} quello misurabile ai capi di una
resistenza. Se misuriamo la differenza di potenziale ai capi della
resistenza, troveremo che essa fluttua attorno allo zero, ma ha un
valore quadratico medio diverso da zero. Si pu\`{o} pensare al rumore
termico come dovuto al moto di agitazione termica degli elettroni nel
materiale di cui \`{e} fatta la resistenza. Esso \`e analogo al moto
Browniano, le cui propriet\`a erano state ottenute da Einstein nel
1906.

Il rumore osservato agli estremi della resistenza pu\`o esser
descritto come il risultato di una serie di impulsi casuali. Ciascun
impulso \`e un \emph{evento}, costituito dal transito di un elettrone
tra collisioni successive con atomi del materiale. Tale evento produce
una modifica nella distribuzione di carica all'interno del materiale,
e causa quindi una fluttuazione nella differenza di potenziale alle
estremit\`a. A tale evento segue un \emph{rilassamento}, che riporta
il sistema in equilibrio.

Segue da questa descrizione che ciascun elettrone presente produce un
treno casuale di impulsi di tensione alle estremit\`a del materiale
resistivo, via via che esso si muove nel materiale. La forma d'onda di
rumore osservata \`e la somma delle successioni di impulsi associati
al complesso degli elettroni nel dispositivo.

La distribuzione temporale degli eventi \`e casuale, nel senso che la
probabilit\`a che un evento (il moto di un elettrone) abbia luogo in
un intervallino di tempo $\delta t$ \`e indipendente dalla storia
precedente ed \`e proporzionale a $\delta t$:
\[
dP\:=\:\nu\:\delta t
\]
dove $\nu$ (numero medio di eventi per unit\`a di tempo) non dipende
da t.  Si pu\`o vedere (vedi appendice B) che la P \`e una
distribuzione di Poisson e che quindi la probabilit\`a di osservare m
collisioni in un intervallo di tempo finito t \`e data da:
\begin{equation}
P(m)\:=\:\frac{(\nu t)^m}{m!}\:e^{-\nu t} \label{poisson}
\end{equation}

Per tale distribuzione si dimostra che \`e:
\[
\overline{m}\:=\:\nu t
\]
la quale mostra che il parametro $\nu$ ha il significato del numero
medio di eventi per unit\`a di tempo. Inoltre si dimostra che la
varianza $\sigma^2$ \`e:
\[
\sigma^2\:=\:\overline{(m-\overline{m})^2}\:=\:\overline{m^2}-
\overline{m}^2\:=\:\overline{m}
\]
Cio\`e la varianza \`e uguale al valor medio. Questa \`e una
caratteristica importante della distribuzione di Poisson.



Si pu\`{o} dimostrare che lo spettro di potenza del rumore \`{e}
bianco, e pi\`{u} precisamente che la potenza di rumore in un
intervallo di frequenza df \`{e}:
\begin{equation}
W\:=\:\frac{h\,f\,df}{\exp(\frac{h\,f}{K\,T})\,-\,1}\label{eq:johnson}
\end{equation}
dove h \`{e} la costante di Planck $(h=6.6262\:10^{-34}\: J\:s)$, K
quella di Boltzmann $K=1.38\:10^{-23}\:J/^oK)$ e T la temperatura
assoluta.

A temperatura ambiente $(T=300 ^oK)$ l'esponente nel denominatore di
questa espressione vale $\approx \:1.6\:10^{-13}\:f\:(Hz)$.

Vediamo quindi che per frequenze f non troppo alte (e/o temperature
non troppo basse), l'esponente $\frac{hf}{KT}\: \ll \: 1$ e quindi:
\begin{equation}
W\:=\:K\,T\,df \label{eq:simple}
\end{equation}
Che \`{e} l'espressione comunemente adoperata nella pi\`{u} gran parte
delle applicazioni. Essa mostra che si tratta in effetti di rumore
bianco: la potenza di rumore \`{e} proporzionale all'ampiezza della
banda di frequenze scelta.  Ci\`o almeno per frequenze $\leq 10^{12}\:
Hz$, quando le deviazioni previste dalla~(\ref{eq:johnson}) da un
andamento costante cominciano a farsi sentire.

Notiamo che l'andamento dato dalla~(\ref{eq:simple}) porterebbe ad una
potenza di rumore totale (integrata su tutte le frequenze)
infinitamente grande. La correzione quantistica contenuta
nella~(\ref{eq:johnson}) rende finito l'integrale della potenza
sull'intero campo di fequenze.


Per calcolare il valor medio del quadrato della tensione di rumore,
consideriamo ora il circuito di figura~\ref{termico}, dove la
resistenza $R_{1}$ \`{e} quella che genera il rumore (schematizzato
dalla sorgente di tensione di rumore $v_{1}$) mentre la resistenza
$R_{2}$ assorbe la potenza $W_{1}$ che la prima fornisce.
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/termico.eps,width=8.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Circuito per calcolare il valore quadratico medio della
       tensione di rumore.  La resistenza $R_{1}$ \`{e} quella che
       genera il rumore (schematizzato dalla sorgente di tensione di
       rumore $v_{1}$) mentre la resistenza $R_{2}$ assorbe la potenza
       $W_{1}$ che la prima fornisce. } \protect\label{termico}
\end{figure}


 Ammettiamo che le due resistenze siano uguali, ma che la seconda sia
priva di rumore\footnote{Basta immaginare che la resistenza $R_2$ sia
stata posta in un bagno termico ad una temperatura prossima allo zero
assoluto.}. La tensione ai capi della resistenza $R_{2}$ sar\`{a}
$\frac{1}{2} v_{1}$ e la potenza media sviluppata sar\`{a}
$\frac{1}{4} \frac{v_{1}^{2}}{R}$. Poich\`{e} questa quantit\`{a} deve
uguagliare $W_{1}$, si trova:
\begin{equation}
W_{1}\:=\:\frac{1}{4} \frac{\overline{v_1^2}}{R}
\end{equation}

dove si \`{e} posto:
\[R\,=\,R_{1}\,=\,R_{2}\]
e quindi:
\[\overline{v_{1}^{2}}\:=\:4 R W_{1}\:=\:4KRT df\]
Da questo risultato si vede che il valor medio del quadrato della
tensione di rumore e quello della corrente di rumore sono dati da:
\begin{equation}
\overline{v^{2}}\:=\:4 K T R df \label{eq:v2rms}
\end{equation}
\begin{equation}
\overline{i^{2}}\:=\:\frac{4 K T df}{R} \label{eq:i2rms}
\end{equation}
Il rumore termico fu scoperto nel 1927-1928 da
Johnson~\cite{kn:johnson}, il quale osserv\`{o} che una tensione non
periodica esisteva alle estremit\`{a} di tutti i conduttori e che tale
effetto dipendeva dalla temperatura.  Successivamente
Nyquist~\cite{kn:nyquist} ne dette una spiegazione teorica, basata su
di un argomento termodinamico, che descriveremo brevemente nella
prossima sezione.

Notiamo che le propriet\`a statistiche del rumore Johnson possono
anche essere studiate seguendo un approccio basato sul comportamento
del moto degli elettroni a livello microscopico e facendo uso della
distribuzione di Poisson, che caratterizza il succedersi temporale
degli eventi elementari.  Tale metodo \`e analogo a quello seguito da
Einstein e poi da Langevin~\cite{kn:langevin}per lo studio del moto
Browniano.  Per una dimostrazione si veda il
riferimento~(\cite{buckingham}).

\subsection{Metodo di Nyquist}
\index{Nyquist} Ammettiamo di avere due resistenze identiche, alla
medesima temperatura T, connesse fra di loro da una linea di
trasmissione ideale avente impedenza caratteristica R, uguale a quella
delle resistenze~(vedi figura~\ref{nyqui}).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/nyqui.eps,width=8.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito per verificare la formula del rumore termico con il
metodo di Nyquist. Le due resistenze sono supposte identiche ed
isoterme, connesse da una linea di trasmissione ideale avente
impedenza caratteristica uguale al valore delle resistenze.}
\protect\label{nyqui}
\end{figure}


Sia L la lunghezza della linea. In condizioni di equilibrio, la prima
delle due resistenze cede alla linea una potenza W nell'intervallo di
frequenza df. Tale potenza \`{e} poi assorbita dall'altra
resistenza. Nel medesimo tempo, la seconda resistenza cede alla linea
una potenza W che \`{e} poi assorbita dalla prima. Nell'intervallo di
tempo $\Delta t = L/v$ (dove v \`{e} la velocit\`{a} di propagazione
di un'onda e.m. lungo la linea) che il segnale impiega a propagarsi
lungo la linea, quest'ultima ha ricevuto quindi una energia
\begin{equation}
2 W \Delta t = 2 W L/v \label{eq:energy}
\end{equation}
dalle resistenze, nell'intervallo di frequenza df.


Se ora, chiudendo simultaneamente i due interruttori $I_1$ ed $I_2$,
mettiamo in cortocircuito le estremit\`{a} della linea, si formeranno
onde stazionarie e l'energia rimarr\`{a} intrappolata nella linea
stessa.
 
Le onde stazionarie presenti nella linea avranno frequenze:

\[f_{1}\:=\:\frac{v}{2L}\]
\[f_{2}\:=\:2f_{1}\]
\[f_{3}\:=\:3f_{1}\]

etc.

La spaziatura tra frequenze consecutive \`{e} $\delta f =
\frac{v}{2L}$. Se L \`{e} grande, la spaziatura sar\`{a} piccola ed il
numero di modi di vibrazione in un intervallo di frequenza df
sar\`{a}:
\[\frac{df}{\delta f}\:=\:df \cdot \frac{2L}{v}\]
Per il principio di equipartizione, a ciascun modo di vibrazione
compete un'energia:
\[\overline{E}\:=\:\frac{hf}{\exp(\frac{hf}{KT}) - 1}\]
L'energia nell'intervallo di frequenza df sar\`{ a} quindi:
\[\frac{2L}{v}\cdot df \cdot 
\overline{E}\:=\:\frac{2L}{v}\frac{hf}{\exp(\frac{hf}{KT}) -1}\cdot
df\] Uguagliando questa espressione all'energia~(\ref{eq:energy})
ceduta dalle resistenze alla linea nell'intervallo di frequenza df,
cio\`{e} a:
\[2W \frac{L}{v}\]
troviamo:
\vskip 0.2cm
\[W\:=\:\frac{hf}{\exp(\frac{hf}{KT})-1}\]
\vskip 0.2 cm che \`{e} quanto intendevamo dimostrare.
\section{Il rumore di tipo \emph{shot}}
\index{Rumore! shot} Questo rumore ha origine nelle fluttuazioni
statistiche del numero di portatori di carica. \`{E} stato osservato
da Schottky in valvole termoioniche e fu da lui attribuito al fatto
che la corrente nei tubi a vuoto \`{e} costituita da un flusso
discreto di cariche elettriche.  Esso si osserva in numerosissimi
dispositivi elettronici; ad esempio nella corrente in un diodo, nella
corrente di gate in un FET, nei fotomoltiplicatori etc. In tutti
questi casi, ed in molti altri analoghi, la distribuzione temporale
del flusso delle cariche \`e, analogamente a quanto accade nel caso
del rumore termico, una Poissoniana.


Il valore che si trova per la deviazione quadratica media della
corrente dal suo valor medio, cio\`{e} per la quantit\`{a}:
\[\overline{i^{2}}\:\equiv \overline{I^{2}}-\overline{I}^{2}\]
\`{e}
\begin{equation}
\overline{i^{2}}\:=\:2\,e\,\overline{I}\,df\label{eq:shot}
\end{equation}
dove $\overline{I}$ \`{e} la corrente media.  La grandezza $2 e
\overline{I}$ \`e quindi la densit\`{a} spettrale $S_{i}(f)$ relativa
alla corrente.  Vediamo che anche in questo caso abbiamo a che fare
con un rumore bianco. \index{Rumore! bianco}

Che la fluttuazione quadratica media della corrente attorno al valor
medio ($\overline{i^2}$) sia \emph{proporzionale} al prodotto
$\overline{I}e$ pu\`o esser compreso facilmente facendo uso della
distribuzione di Poisson. Infatti la corrente media $\overline{I}$ \`e
uguale al prodotto del numero di cariche elementari che attraversano
nell'unit\`a di tempo la sezione del conduttore, per la carica
elementare:
\[
\overline{I}\:=\:\overline{n} e
\]
La fluttuazione quadratica media della corrente attorno al valor medio
\`e:
\[
\overline{(I-\overline{I})^2}\:=\:\overline{i^2}\:=\:\overline{(n-
\overline{n})^2}\:e^2\: =\: \sigma_n^2 e^2\:=\:\overline{n} e^2
\]
dove l'ultimo passaggio segue dal fatto che la distribuzione di n \`e
una Poissoniana. Da questa segue poi:
\[
\overline{i^2}\:=\:\frac{\overline{I}}{e}\:e^2\:=\:\overline{I}e
\]

Una dimostrazione completa della~(\ref{eq:shot}), che rende conto del
fattore 2, \`e la seguente.  \\Ammettiamo che un certo fenomeno sia
determinato dalla somma di un gran numero di eventi che avvengono in
modo casuale, con un rate medio $\lambda$. Sia $F(t-t_i)$ la funzione
che descrive l'evoluzione temporale di una certa variabile fisica,
originata dal verificarsi di uno degli eventi al tempo $t_i$. La
funzione Y(t) che descrive l'andamento temporale macroscopico,
risultante dal verificarsi di un numero N di eventi elementari in un
certo tempo \`e allora data dalla somma:
\[Y(t)\:=\:\sum_{i}\,F(t-t_{i})\]
dove $F(t-t_{i})$~=~0 per $t<t_{i}$ ed $F(t-t_{i})$ rappresenta
l'effetto di un evento che ha luogo nell'istante $t_{i}$. Definiamo la
trasformata di Fourier di $F(u)$ come:
\[\Psi(f)\:=\:\int_{-\infty}^{+\infty}\,F(u)\cdot\exp(-j\omega u) du\]
Si dimostra allora (teorema di Carson-vedasi appendice~C) che la
densit\`{a} spettrale $S_{y}(f)$ di $Y(t)$ \`{e} data da:
\begin{equation}
S_{y}(f)\:=\:2\,\lambda\,\mid \psi(f) \mid^{2}
\end{equation}
Applichiamo ora tale teorema al problema dell'emissione di elettroni
da parte di un catodo riscaldato, dove il numero di elettroni emessi
per unit\`{a} di tempo \`{e} una variabile Poissoniana.


Se $V_a$ \`e il potenziale dell'anodo (il catodo sia a potenziale
nullo), d la distanza catodo-anodo, $\tau$ il tempo di transito
dell'elettrone dal catodo all'anodo, si ha:
\[
\tau\:=\:\frac{2d}{v_a}\:=\:\frac{2d}{\sqrt{2eV_a/m}}
\]
dove m \`e la massa dell'elettrone, \emph{e} la sua carica e $v_a$ la
velocit\`a massima che esso raggiunge (all'anodo).  La corrente i(t)
associata ad un singolo elettrone emesso all'istante $t_i$ \`e:
\[
i(t)\:=\:\frac{2e(t-t_i)}{\tau^2} \:\:\:\:(t_i\leq t \leq t_i + \tau)
\]
La correttezza di questa equazione \`e facilmente verificabile:
\[
\int_0^{\infty}{i(t)dt}\:=\:\int_{t_i}^{t_i+\tau}{\frac{2e(t-
t_i)}{\tau^2}dt}\:=\: \frac{2e}{\tau^2}\int_{0}^{\tau}{t' dt'}\:=\:e
\]
Quindi:
\[
\Psi_i(f)\:=\:\int_o^{\tau}{\frac{2eu}{\tau^2}\:e^{j\omega
u}\:du}\:=\:e \Phi(j\omega \tau)
\]
con:
\[
\Phi(j\omega \tau)\:=\:\frac{2}{(j\omega \tau)^2} [1-e^{-j\omega
\tau}-j\omega \tau e^{-j \omega \tau}]
\]
Ne segue che, essendo:
\[
\overline{I}\:=\:\overline{n}e
\]
dove $\overline{n}$ \`e il numero medio di elettroni emessi per
unit\`a di tempo:
\[
S_I(f)\:=\:2 \overline{n}\:|\Psi_i(f)|^2\:=\:\frac{2
\overline{I}}{e}|\Psi_i(f)|^2 \:=\:\frac{2 \overline{I}{e}}e^2
|\Phi|^2
\]
Poich\'e $\tau$ \`e dell'ordine di $10^{-9}\: s$ e $|\Phi|^2$ \`e
dell'ordine di 1 per $\omega \tau < \pi$, ne segue che:
 \[
 S_I(f)\:=\:2 e \overline{I}
 \] 
 per frequenze fino a qualche centinaio di MHz (teorema di Schottky)
\index{Schottky} \\ Lo shot noise si riscontra non soltanto nelle
valvole termioniche, ma anche nei semiconduttori, quando la corrente
\`{e} dovuta a portatori minoritari ed a condizione che
l'intrappolamento e la ricombinazione siano trascurabili. Questo \`{e}
ad esempio il caso di una giunzione pn con polarizzazione
inversa. Ci\`{o} continua ad esser vero in polarizzazione diretta, ma
a basse tensioni dirette comincia ad essere apprezzabile l'effetto
delle ricombinazioni nella zona di svuotamento.

Lo shot-noise \`e ridotto quando un qualche meccanismo intervenga a
ridurre le fluttuazioni nel numero dei portatori di carica. Ad
esempio, in un tubo termoio\-nico in cui si formi una zona di carica
spaziale tra catodo ed anodo, questa agisce da \emph{buffer},
smussando le fluttuazioni nel flusso delle cariche verso l'anodo e
quindi riducendo lo shot-noise.

\section{Rumore 1/f}
\index{Rumore! 1/f} \index{Flicker noise} Questo \`e un tipo di rumore
che \`e presente in un'ampia variet\`a di sistemi (elettronici,
biologici, musicali, geologici etc.) ed in particolare nei dispositivi
a semiconduttore, dove \`e stato ampiamente studiato, ma solo
parzialmente compreso. Nel caso dei transistor tale rumore \`{e}
legato ad imperfezioni delle superfici delle giunzioni.  Esso \`e noto
sotto vari nomi: ``rumore 1/f'', ``flicker-noise'', ``contact-noise'',
``excess-noise''.  La denominazione ``1/f'' \`e legata al fatto che la
sua densit\`a spettrale varia come $1/f^{\alpha}$ con $\alpha$ nel
range 0.8-1.5.
 
Tale dipendenza \`e stata osservata fino a frequenze bassissime
($10^{-6} Hz$).  Si noti che l'andamento 1/f non pu\`o continuare fino
a frequenza zero, poich\'e in tal caso la potenza totale di rumore
risulterebbe divergente.

A frequenze molto alte il suo effetto \`e mascherato dalla presenza di
altre sorgenti di rumore, quali quello termico.  Scriveremo in
generale, per questo tipo di rumore:

\[
\overline{v^2}\:=\:A_f \frac{df}{f^{\alpha}}
\]
con $A_f$ una costante, dipendente dal particolare dispositivo.  Una
immediata conseguenza dell'andamento come 1/f di questo tipo di
rumore, \`e quella che la potenza di rumore in ciascuna decade di
frequenza \`e la stessa.  In altra parole, la potenza di rumore nella
banda compresa tra 10 e 100~Hz \`e uguale a quella nella banda tra
0.01 e 0.1~Hz.
 


\section{Circuiti equivalenti per il rumore}
\index{Circuiti equivalenti per il rumore} Agli effetti del rumore
Johnson una resistenza reale alla temperatura T pu\`{o} essere
sostituita da una ideale (cio\`{e} priva di rumore) in serie con un
generatore di tensione di rumore la cui f.e.m. sia quella del rumore
termico:
\[\overline{v^{2}}\:=\:4 K T R \Delta f \]
dove $\Delta f$ \`e l'intervallo di frequenza su cui si effettua la
misura.

Ne segue per la tensione di rumore:
\[v_{n}\:=\:\sqrt{\overline{v^{2}}} \:=\: \sqrt{4 K T R \Delta f}\]
Come mostrato in figura~\ref{rnoise}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/rnoise.eps,width=3.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Generatore equivalente di rumore. Agli effetti del rumore
termico una resistenza reale alla temperatura T pu\`o essere
sostituita con una resistenza ideale R seguita da un generatore di
tensione la cui f.e.m sia quella del rumore termico.}
\protect\label{rnoise}
\end{figure}


Si pu\`{o} anche, facendo uso del teorema di Norton, assimilare tale
resistenza ad una ideale in parallelo con un generatore di corrente
$i_{n}$, con:
\[i_{n}\:=\:\frac{v_{n}}{R} \:=\: \sqrt{\frac{4KT\Delta f}{R}}\]
Un sistema di due resistenze in serie, $R_{1}$ ed $R_{2}$ potr\`{a}
essere assimilata ad una resistenza di valore $R_{1}+R_{2}$ in serie
con un generatore di tensione di rumore pari a
$v_{n}\,=\,v_{n1}+v_{n2}$.  Il quadrato del valore efficace sar\`{a}:
\[
\overline{v_{n}^{2}}\:=\:\overline{(v_{n1}+v_{n2})^2}\,=\,\overline{v_{n1}^2}+
\overline{v_{n2}^2}\,=\,2\cdot \overline{v_{n1}\cdot v_{n2}}\]
Poich\`{e} $v_{n1}$ e $v_{n2}$ sono indipendenti, avremo:
\[\overline{v_{n1}\cdot v_{n2}}\:=\:\overline{v_{n1}}\cdot\overline{v_{n2}}\]
che \`{e} nullo, poich\`{e} sono nulli i singoli valori medi. Quindi:
\[\overline{v_{n}^{2}}\:=\:\overline{v_{n1}^{2}}+\overline{v_{n2}^2}\:=\:4KT
\Delta f \cdot(R_{1}+R_{2})\] Nel caso di due resistenze in parallelo
si pu\`{o} analogamente verificare che la corrente quadratica media di
rumore \`{e} data da:
\[\overline{i_{n}^{2}}\:=\:4KT\Delta f \cdot (\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}})\]

Il rumore presente ai capi di un diodo pu\`o, in modo analogo, esser
descritto introducendo un generatore di corrente di rumore (shot) in
parallelo al diodo (supposto privo di rumore) tale che la corrente
quadratica media di rumore sia:
\[
\overline{i_n^2}\:=\:2 e I \Delta f
\]
dove I \`e la corrente nel diodo, \emph{e} la carica dell'elettrone e
$\Delta f$ l'intervallo di frequenza.

Pi\`u in generale, dato un generico dispositivo a due terminali alla
temperatura T, il rumore (qualunque la sua origine) pu\`o esser
descritto introducendo una f.e.m. ai suoi capi, in serie con la sua
impedenza Z=R+jX, di valore:
\begin{equation}
\overline{v_n^2}\:=\:4 K T R_n \Delta f \label{serie}
\end{equation}
Ad $R_n$ si da il nome di ``resistenza equivalente di rumore''
(equivalent noise resistence) del dispositivo. Se abbiamo a che fare
con un circuito passivo in cui le sorgenti di rumore siano
esclusivamente termiche a temperature T, allora:
\[
R_n \:=\:R
\]
Se sono presenti altre sorgenti di rumore, $R_n$ pu\`o differire da R.

Alternativamente possiamo descrivere il rumore ai capi di un
dispositivo a due terminali, di ammettenza $Y=1/Z=g+jb$, introducendo
un generatore di corrente di rumore in parallelo ad Y:
\begin{equation}
\overline{i_n^2}\:=\:4 K T g_n \Delta f \label{parallelo}
\end{equation}
dove $g_n$ \`e la \emph{conduttanza equivalente di rumore} (equivalent
noise conductance) del dispositivo.

Se il rumore ha origine esclusivamente termica, allora $g_n=g$, mentre
se altre sorgenti di rumore sono presenti, $g_n$ pu\`o differire da g.

Un concetto che appare comunemente nella letteratura \`e quello di
``temperatura di rumore equivalente'' (equivalent noise temperature).
\index{Temperatura di rumore} Questa esprime il rumore come se esso
fosse puramente termico e fosse generato da una resistenza pari a
quella del dispositivo, ma ad una temperatura $T_n \neq T$. Il rumore
risulta espresso in termini di tale temperatura come:
\begin{equation}
\overline{v_n^2}\:=\:4 K T_n R \Delta f \label{vequivalent}
\end{equation}

Si pu\`o alternativamente esprimere il rumore come una corrente in
parallelo al dispositivo, di valore pari alla corrente di rumore
generata da una resistenza pari alla resistenza del dispositivo, alla
temperatura $T_n$:
\begin{equation}
\overline{i_n^2}\:=\:4 K T_n g \Delta f \label{iequivalent}
\end{equation}
confrontando la~(\ref{serie}) con la~(\ref{vequivalent}) e
la~(\ref{parallelo}) con la~(\ref{iequivalent}) si ottiene nei due
casi, rispettivamente:
\[
T_n\:=\:\frac{R_n}{R} T
\]
\[
T_n \: = \: \frac{g_n}{g} T
\]
Sul concetto di temperatura di rumore e di resistenza equivalente di
rumore \index{Temperatura di rumore} torne\-remo quando discuteremo del
rumore negli amplificatori.

\section{Rumore in un quadripolo}
\index{Quadripolo} \index{Rumore! nel quadripolo} Il rumore
prodotto\index{Rumore! in un quadripolo} in un quadripolo \`{e}
convenzionalmente descritto tramite un gene\-ratore di tensione di
rumore $v_n$ in serie alla maglia d'ingresso e da un generatore di
corrente di rumore $i_n$ in parallelo alla medesima maglia.  \\Il
primo render\`{a} conto del rumore presente in uscita quando
l'ingresso \`{e} in cortocircuito, il secondo del rumore presente ad
ingresso aperto.  La configurazione \`{e} illustrata in
figura~\ref{quadri1}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/quadri1.eps,width=8.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Sorgenti di rumore in un quadripolo.  Il rumore prodotto in
un quadripolo \`{e} convenzionalmente descritto tramite un generatore
di tensione di rumore $v_n$ in serie alla maglia d'ingresso e da un
generatore di corrente di rumore $i_n$ in parallelo alla medesima
maglia.}  \protect\label{quadri1}
\end{figure}

Poich\`{e} il rumore nell'amplificatore \`{e} determinato
prevalentemente da processi di un determinato tipo, le due sorgenti
$i_{n}$ e $v_{n}$ non sono del tutto indipendenti. Per tener conto di
questo fatto si introduce un coefficiente di correlazione $\gamma$. Un
valore zero per questo parametro vuol dire che le due sorgenti sono
totalmente non correlate; $\gamma\,=\,1$ vuol dire che esse sono
massimamente correlate.


Ammettiamo ora che l'ingresso del quadripolo sia chiuso su di una
resistenza R come mostrato in figura~\ref{quadri2}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/quadri2.eps,width=12.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Quadripolo con l'ingresso chiuso su una resistenza R. Se tale
resistenza non genera rumore, la tensione di rumore complessiva
all'ingresso del quadripolo sar\`{a}:
$v_{ne}\,=\,v_{n}\,+\,R\,i_{n}$. Tale tensione va sotto il nome di
\emph{tensione di rumore in eccesso}.} \index{Tensione di rumore in
eccesso} \protect\label{quadri2}
\end{figure}



Se tale resistenza non genera rumore, la tensione di rumore
complessiva all'ingresso del quadripolo sar\`{a}:
$v_{ne}\,=\,v_{n}\,+\,R\,i_{n}$. Tale tensione va sotto il nome di
\emph{tensione di rumore in eccesso} poich\`{e} rappresenta la
tensione di rumore che occorre sommare a quella $v_{ns}$ della
sorgente (di resistenza R) per ottenere il rumore totale:
\[
v_{nt}\:=\:v_{ns}\,+\,v_{ne}\: = \: v_{ns}\,+\,v_{n}\,+\,i_{n}\,R
\]
Il valore quadratico medio di $v_{ne}$ vale:
\[
\overline{v_{ne}^{2}}\:=\:\overline{v_n^2}\,+\,R^{2}\overline{i_n^2}\,
+ \, 2 R \, \overline{v_{n} i_{n}}
\]
L'ultimo termine in questa espressione dipende da $\gamma$ e si
annulla per $\gamma = 0$. Per $\gamma \ne 0$ esso vale:
\[
2R\gamma\sqrt{\overline{v_{n}^{2}}}\sqrt{\overline{i_{n}^{2}}}\,=
\,2R\gamma I_{n}\,V_{n}
\]
Con ovvio significato dei nuovi simboli $I_{n}$ e $V_{n}$. Quindi:
\[\overline{v_{ne}^{2}}\:=\:V_{n}^{2}\,+\,R^{2}I_{n}^{2}\,+\,
2 R\,\gamma\,V_{n}\,I_{n}\] Vediamo che se R=0,
$\overline{v_{ne}^{2}}\,=\,\overline{v_{n}^{2}}$. Se R \`{e} grande
dominer\`{a} invece l'effetto di $I_{n}$ ed avremo:
\[\overline{v_{ne}^{2}}\,=\,R^{2}I_{n}^{2}\]
In definitiva avremo per il rumore totale:
\[
\overline{v_{nt}^2}\:=\:\overline{v_{ns}^2} + \overline{v_n^2} + R^2
\overline{i_n^2}+2 R \overline{v_n i_n}
\]


\section{Dipendenza del rapporto segnale/rumore in un quadripolo 
dalla resistenza della sorgente} \index{Rumore! nel quadripolo}
Consideriamo dapprima il caso di una sorgente costituita da un
generatore di tensione $v_{s}$ in serie con la propria resistenza
$R_{s}$. Ammettiamo che un generatore in serie $v_{ns}$ renda conto
del rumore introdotto dalla sorgente. Lo schema \`{e} quello di
figura~\ref{dipsorg1}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/dipsorg1.eps,width=9.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Quadripolo alimentato con un generatore di tensione reale,
schematizzato in figura come un generatore di tensione $v_{s}$ in
serie con la propria resistenza $R_{s}$ e con in serie anche il
generatore $v_{ns}$ che schematizza il rumore introdotto dal
generatore reale stesso.} \protect\label{dipsorg1}
\end{figure}

Il rapporto segnale-rumore (riferito all'ingresso) sar\`{a}:
\[\frac{S}{N}\:=\:\frac{\overline{v_{s}^{2}}}{\overline{v_{nt}^{2}}}\:=\:\frac
{\overline{v_{s}^{2}}}{\overline{v_{ns}^{2}}+\overline{v_{n}^{2}}+\overline
{i_{n}^{2}}R_{s}^{2}}\] avendo trascurato i termini di correlazione.
\\Vediamo che il rapporto $\frac{S}{N}$ diminuisce all'aumentare di
$R_{s}$, poich\`{e} aumenta il termine
$\overline{i_{n}^{2}}R_{s}^{2}$.  \\ Consideriamo ora il caso di un
generatore di corrente $i_{s}$ in parallelo con $R_{s}$. Anche in
questo caso continueremo a parametrizzare il rumore introdotto dalla
sorgente mediante un generatore di tensione di rumore $v_{ns}$ in
serie, come mostrato in figura~\ref{dipsorg2}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/dipsorg2.eps,width=9.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Quadripolo alimentato con un generatore di corrente reale. In
questo caso il generatore pu\`o essere schematizzato come un
generatore di corrente $i_{s}$ in parallelo con $R_{s}$. Il rumore
introdotto dalla sorgente pu\`o essere schematizzato mediante un
generatore di tensione di rumore $v_{ns}$ in serie.}
\protect\label{dipsorg2}
\end{figure}

In questo caso avremo:
\[\frac{S}{N}\:=\:\frac{\overline{i_{s}^{2}}R_{s}^{2}}
{\overline{v_{nt}^{2}}}\:=\:\frac{\overline{i_{s}^{2}}}
{\frac{\overline{v_{ns}^{2}}+\overline{v_{n}^{2}}}{R_{s}^{2}}+\overline{i_{n}^{2
}}}\] Vediamo che ora, all'aumentare di $R_{s}$ il rapporto
$\frac{S}{N}$ aumenta.  Al limite di $R_{s}\rightarrow \infty$ esso
tende a:
\[\frac{S}{N}\:=\:\frac{\overline{i_{s}^{2}}}{\overline{i_{n}^{2}}}\]
che dipende solo dalla sorgente di corrente di rumore.






\section{Cifra di rumore}
\index{Cifra di rumore} Se indichiamo con $G_{P}$ il guadagno in
potenza di un amplificatore, con $S_{0}$ la potenza del segnale
presente in uscita, in una stretta banda di frequenza df, con $S_{i}$
quella presente in ingresso nella medesima banda di frequenza, avremo:
\index{Spot-noise}
\begin{equation}
S_{0}\:=\:G_{P}\,S_{i} \label{eq:signal}
\end{equation}
Se ora applichiamo in ingresso, al posto di $S_i$, un segnale di
rumore di potenza $N_{i}$ (nella medesima banda di frequenza), il
segnale di rumore $N_{o}$ all'uscita sar\`{a} ottenibile da una
relazione analoga:
\[N_{0}\:=\:G'_{P}\,N_{i}\]
dove per\`o $G'_P>G_P$, poich\'e l'amplificatore introduce di suo un
ulteriore contributo al rumore in uscita.

Si scrive in generale:

\begin{equation}
N_{o}\:=\:F\,G_{P}\,N_{i} \label{eq:noise}
\end{equation}

dove F \`{e} un fattore sicuramente maggiore di 1. Ad F si da il nome
di \emph{figura di rumore puntiforme} alla frequenza f (spot-noise
figure).  Tenendo conto delle relazioni scritte possiamo definire F
come: \index{Spot noise figure}
\begin{equation}
F\:=\:\frac{S_{i}/N_{i}}{S_{o}/N_{o}} \label{eq:signoise}
\end{equation}

F \`e in generale funzione, oltre che della frequenza, della
resistenza d'uscita del generatore.

Dalla~(\ref{eq:noise}) segue anche che:

\[
F\:=\:\frac{N_o}{G_P N_i}
\]

Sia ora:
\[
N_o\:=\:G_P(N_i+N_d)
\]
dove $N_i$ \`e la potenza di rumore in ingresso nell'intervallo df ed
$N_d$ \`e la potenza di rumore introdotta dall'amplificatore, nella
medesima banda di frequenza df, \emph{riportata in ingresso}.

Si ha quindi:
\[
F\:=\:\frac{G_P(N_i+N_d)}{G_P N_i}\:=\:1+\frac{N_d}{N_i}
\]
e quindi:
\[
N_d\:=\:N_i(F-1)
\]
La grandezza $F_e\:=\:F-1$ \`e detta \emph{cifra di rumore in
eccesso}.  \index{Cifra di rumore in eccesso} Dall'ultima relazione
scritta si vede che il rumore $N_d$ introdotto dall'amplificatore \`e
uguale a quello presente in ingresso, moltiplicato per la cifra di
rumore in eccesso.  \index{Cifra di rumore} La cifra di rumore (NF)
espressa in dB \`{e} poi:
\[NF\:=\:10\,\log F\:=\:10\,\log \frac{N_{o}}{G_{P}\,N_{i}}\]

Dalla~(\ref{eq:signoise}) si ha poi:

\begin{equation}NF\:=\:10\,\log 
{\frac{N_{o}/S_{o}}{N_{i}/S_{i}}}\label{eq:sinoisdb}
\end{equation}

Come si vede, la cifra di rumore esprime l'aumento del rapporto
rumore/segnale ($\frac{N}{S}$) passando dall'ingresso all'uscita del
quadripolo, cio\`{e} fornisce una misura del contributo che al rumore
ha aggiunto il quadripolo.

\section{Rumore nel caso di una catena di pi\`u amplificatori in cascata}

Se pi\`u amplificatori sono collegati in serie, allo scopo di ottenere
un maggior guada\-gno, si pu\`o facilmente vedere che il contributo al
rumore portato dai diversi elementi della catena pu\`o essere molto
diverso. Infatti, il rumore introdotto dal primo amplificatore della
catena sar\`a amplificato dai successivi elementi; quello introdotto
dall'ultimo elemento della catena avr\`a un'importanza decisamente
inferiore. \`E quindi critico scegliere per i primi amplificatori
della catena degli elementi a basso rumore.

Calcoliamo la cifra di rumore relativa ad una catena di pi\`u
amplificatori.  Ammetteremo che l'impedenza d'uscita di ciascun
amplificatore sia uguale all'impedenza d'ingresso del successivo;
ci\`o assicura il massimo trasferimento di potenza tra elementi
consecutivi.  \index{Cifra di rumore} Abbiamo definito la cifra di
rumore F nel caso di un amplificatore come il rapporto tra la potenza
di rumore presente in uscita (per unit\`a di intervallo di frequenza,
come sar\`a sempre sottinteso nel seguito), divisa per il guadagno
$G_P$ dell'amplificatore, e quella ($N_i$) presente in ingresso:
\begin{equation}
F\:=\:(\frac{N_o}{G_P})/N_i \label{fdef}
\end{equation}
Il numeratore di questa espressione (il rumore totale presente in
uscita, ``traslato'' all'ingresso) \`e la somma del rumore $N_i$
presente in ingresso e di quello introdotto dall'amplificatore, che
chiameremo $N_o^e/G_P$ (rumore in eccesso, traslato all'ingresso
dell'amplificatore):
\[
\frac{N_o}{G_P}\:=\:N_i+\frac{N_o^e}{G_P}
\]
Possiamo quindi riscrivere la~(\ref{fdef}) nella forma:
\begin{equation}
F\:=\:1+\frac{N_o^e}{G_P}/N_i\:=\:1+F_e \label{feccess}
\end{equation}
dove compare la \emph{cifra di rumore in eccesso} $F_e$ gi\`a
introdotta:
\[
F_e\:=\:\frac{N_o^e}{G_P}/ N_i
\]
Se immaginiamo che $N_i$ sia unitario (1 W/Hz) le
equazioni~(\ref{fdef}) e~(\ref{feccess}) si scrivono rispettivamente:
\[
F\:=\:\frac{N_o}{G_P}\:=\:1+F_e
\]
\[
F_e\:=\:\frac{N_o^e}{G_P}
\]
La prima di queste ci dice che la cifra di rumore \`e pari alla
potenza di rumore totale presente in uscita, divisa per il guadagno
dell'amplificatore, per unit\`a di rumore in ingresso. La seconda ci
dice che la cifra di rumore in eccesso \`e il rumore introdotto
dall'amplificatore diviso per il guadagno del medesimo.

Esaminiamo ora il caso di due amplificatori collegati in serie. Siano
$F_1$ ed $F_2$ le rispettive cifre di rumore; siano analogamente
$F_{e1}$ ed $F_{e2}$ le corrispondenti cifre di rumore in eccesso. Il
rumore all'ingresso del primo amplificatore, dovuto a questo soltanto,
\`e $F_{e1}$.  Il rumore totale all'ingresso del medesimo \`e:
$F_{e1}+1\:=\:F_1$. Il rumore introdotto dal secondo stadio
\emph{riportato all'ingresso di questo} \`e $F_{e2}\:=\:F_2-1$. Questo
stesso rumore, traslato all'ingresso del primo stadio \`e:
\[
\frac{F_{e2}}{G_{P1}}\:=\:\frac{F_2-1}{G_{P1}}
\]
Abbiamo quindi per il rumore totale (sempre riportato all'ingresso del
primo stadio):
\[
F\:=\:F_1+\frac{F_2-1}{G_{P1}}
\]
Questa \`e quindi la cifra di rumore relativa al caso considerato.

\`E facile estendere le considerazioni svolte al caso di un numero
generico di amplificatori. Ad esempio, nel caso di una catena di tre
amplificatori, avremo:
\[
F\:=\:F_1+\frac{F_2-1}{G_{P1}}+\frac{F_3-1}{G_{P1}G_{P2}}
\]
Questa \`e nota come \emph{formula di Friiss}. \index{Formula di
Friiss}

\section{Espressione analitica della cifra di rumore}

\index{Cifra di rumore} \index{Rumore! nel quadripolo} Possiamo far
uso dei generatori $v_{n}$ ed $i_{n}$ che descrivono il rumore
introdotto dal quadripolo, per calcolare la cifra di rumore F.
\\Calcoliamo $N_{i}$, potenza di rumore in ingresso, ammettendo che
siano:
\begin{itemize}
\item {$R_{s}$ resistenza d'uscita della sorgente di rumore;}
\item {$v_{ns}$ tensione efficace di rumore della sorgente;}
\item {$R_{i}$ resistenza d'ingresso del quadripolo.}
\end{itemize} 
Con riferimento alla figura~\ref{quadri3} avremo:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/quadri3.eps,width=8.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito per il calcolo analitico della cifra di rumore F,
dove $R_{s}$ rappresenta la resistenza d'uscita della sorgente di
rumore, $v_{ns}$ la tensione efficace di rumore della sorgente e
$R_{i}$ resistenza d'ingresso del quadripolo.} \protect\label{quadri3}
\end{figure}


\[v_{in}\:=\:v_{ns}\,\frac{R_{i}}{(R_{s}+R_{i})}\]
per cui la potenza di rumore in ingresso $N_i$ \`e:

\[
N_i\:=\:\frac{\overline{v_{in}^{2}}}{R_{i}}\:=\:\frac{\overline{v_{ns}^{2}}}
{R_{i}}\,
\frac{R_{i}^{2}}{(R_{s}+R_{i})^{2}}\:=\:\overline{v_{ns}^{2}}
\frac{R_{i}}{(R_{s}+R_{i})^{2}}
\]

Calcoliamo ora la potenza di rumore complessiva facendo uso
dell'espressione gi\`{a} ricavata per $\overline{v_{nt}^2}$ (tensione
quadratica media di rumore all'ingresso):
\[\overline{v_{nt}^{2}}\:=\:\overline{v_{ns}^{2}}\,+\,\overline{v_{n}^{2}}\,+
\,R_{s}^{2} \overline{i_{n}^{2}}\,+\,2 R_{s}\overline{ v_{n}i_{n}}\]
Troviamo in tal modo:
\[N_{o}\:=\:\overline{v_{nt}^{2}} \frac{R_{i}}{(R_{s}+R_{i})^{2}}\,G_{P}\]
Sostituendo in questa espressione quella di $\overline{v_{nt}^{2}}$ e
dividendo poi $N_{o}$ per $G_{P}N_{i}$, trovia\-mo:
\begin{equation}
F\:=\:\frac{N_{o}}{G_{P} N_{i}}\:=\:\frac{\overline{v_{nt}^{2}}}
{\overline{v_{ns}^{2}}}\:=\:1\,+\,\frac{\overline{v_{n}^{2}}\,+
\,R_{s}^{2} \overline{i_{n}^{2}}\,+\,2 R_{s}\overline{ v_{n}i_{n}}}
{\overline{v_{ns}^{2}}}
\end{equation}
\index{Cifra di rumore} Il secondo termine nell'ultima espressione
scritta \`{e} il rapporto tra la potenza di rumore dovuta al solo
quadripolo e quella in ingresso.  Esso \`e quindi la {\em cifra di
rumore in eccesso} $F_{e}$:
\[F_{e}\:=\:F\,-\,1\]
Ammettendo che la tensione di rumore all'ingresso sia quella dovuta
alla resistenza $R_{s}$ (data da $\sqrt{4KTR_{s}\Delta f}$, avremo:
\begin{equation}
F\:=\:1\,+\,\frac{1}{4KT\Delta f}\,(\frac{V_{n}^{2}}{R_{s}}\,+\, R_{s}
I_{n}^{2}\,+\,2 \gamma V_{n} I_{n}) \label{eq:FvsR}
\end{equation}
Il valore fornito da tale equazione per una frequenza determinata \`e
la {\em cifra di rumore puntiforme}. Esso dipende dalla frequenza se
non si tratta di rumore bianco.

La cifra di rumore espressa in decibel \`e poi:
\[
NF\:=\:10 \:log F
\]

 L'andamento (qualitativo) del NF in funzione di $R_{s}$ descritto
dalla~(\ref{eq:FvsR}) \`{e} mostrato in figura~\ref{nfrs}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/nfrs.eps,width=10.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{Andamento qualitativo della figura di rumore in funzione di
$R_{s}$ relativa al circuito di figura~\ref{quadri3}.}
\protect\label{nfrs}
\end{figure}



Per bassi valori di $R_{s}$ domina il termine $V_{n}^{2}/R_{s}$ e
quindi la sorgente di tensione di rumore. Per grandi valori di $R_{s}$
domina invece l'effetto del generatore di corrente.  Si pu\`{o}
facilmente vedere, derivando la~(\ref{eq:FvsR}) rispetto ad $R_{s}$
che il NF \`{e} minimo quando ciascun generatore contribuisce in ugual
misura al rumore complessivo.  \\Ci\`o avviene per:
\[R_{s}\:=\:\frac{V_{n}}{I_{n}}\]
che fornisce il valore ottimale della resistenza $R_{s}$. Il
corrispondente valore della cifra di rumore F \`{e}:
\[F_{min}\:=\:1\,+\,(1+\gamma)\frac{V_{n}I_{n}}{2KT\Delta f}\]
L'equazione: $NF\,=\,10\,\log F$ ci dice che per un valore di 5 del
parametro NF il contributo del rumore all'uscita del quadripolo \`{e}
3.2~volte quello della sorgente. All'altro estremo, un NF di 0.4 ci
dice che il contributo della tensione di rumore all'uscita \`{e} 1.05
volte quello della sorgente, che ha quindi aggiunto un modesto 5\% (in
tensione efficace).

\section{Temperatura di rumore}
\index{Temperatura di rumore} Sappiamo che una resistenza ad una
temperatura assoluta $T_s$ \`{e} sorgente di rumore Johnson (termico)
con densit\`{a} spettrale data da:
\[
S_{v}(f)\:=\:4KT_sR
\]
cio\`{e}:
\[\overline{v^{2}}\:=\:4KT_sR\Delta f\]
nell'intervallo di frequenza $\Delta f$.  \\Se una resistenza R \`{e}
collegata all'ingresso di un amplificatore avente cifra di rumore in
eccesso $F_{e}$ e quindi cifra di rumore $F=F_{e}+1$, il rumore
effettivo all'ingresso dell'amplificatore (privo di rumore, essendosi
"traslato" il rumore all'ingresso) sar\`{a}:
\[\overline{w^{2}}\:=\:F \overline{v^{2}}\]
Spesso conviene, per motivi pratici, ragionare come se l'amplificatore
fosse del tutto esente da rumore e l'intero rumore fosse attribuibile
alla medesima resistenza R, ora per\`{o} ad una temperatura $T_n$,
tale che:
\[4KT_n R\Delta f\:=\:\overline{w^{2}}\]
Dalle equazioni scritte segue:
\[\overline{w^{2}}\:=\:(F_{e}+1)\,\overline{v^{2}}\:=\:F_{e}\overline
{v^{2}}+\overline{v^{2}}\:=\]
\[=\:\:4 F_{e} K T_{s} R \Delta f\,+\,4K T_{s} R \Delta f\:
=\:4 K R (F_{e} T_{s}) \Delta f\,+\,4K R T_{s} \Delta f\:=\]
\[=\:4KRT_{n}\Delta f+4KRT_{s}\Delta f\]
Alla quantit\`{a} $T_{n} = F_{e}T_{s}$ si da il nome di {\em
temperatura di rumore} \index{Temperatura di rumore}
dell'amplificatore.  L'equazione:
\[T_{n}\:=\:F_{e}T_{s}\:=\:(F-1)T_{s}\]
ci da poi:
\[F\:=\:1\,+\,\frac{T_{n}}{T_{s}}\]
Da questa, nota la temperatura della sorgente e la temperatura di
rumore, si pu\`{o} facilmente ricavare la cifra di rumore.
\index{Cifra di rumore}





\section{Esempio: Transistor bipolare}
\index{Rumore! nel transistor bipolare} Ricordiamo il modello a
parametri h in cui si trascuri $h_{re}$. Questo \`{e} mostrato in
figura~\ref{bipol1}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/bipol1.eps,width=7.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Modello a parametri h del transistor bipolare in cui si
trascura $h_{re}$.} \protect\label{bipol1}
\end{figure}


Esso pu\`{o} essere trasformato nello schema di figura~\ref{bipol2}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/bipol2.eps,width=7.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Modello equivalente di quello a parametri h in cui si
utilizza un generatore a transconduttanza $g_{m}\,v$.}
\protect\label{bipol2}
\end{figure}


Basta infatti scrivere:

\[i_{c}\,=\,h_{fe}i_{b}\,=\,\frac{h_{fe}}{h_{ie}}\,(h_{ie}\,i_{b})\,=\,
        \frac{h_{fe}}{h_{ie}}\,v\,\equiv\,g_{m}\,v\]

con:
\[g_{m}\equiv\,\frac{h_{fe}}{h_{ie}}\]

Il generatore di corrente $h_{fe}i_{b}$ viene cos\`{i} sostituito da
un generatore a transconduttanza $g_{m}\,v$.  \\Si ha:
\[
h_{ie} \equiv r_{\pi}\equiv\,\frac{h_{fe}}{g_{m}}
\]

Introduciamo in tale circuito la sorgente di corrente di rumore
$i_{nb}$ nella maglia d'ingresso e quella $i_{nc}$ nella maglia
d'uscita, come mostrato in figura~\ref{bipol3}.

Queste sorgenti di rumore hanno origine nelle fluttuazioni nel numero
di portatori di carica attraverso la giunzione base-emettitore
($i_{nb}$) e collettore-emettitore ($i_{nc}$). Esse sono attribuibili
in larga misura al rumore shot, per cui:
\[
\overline{i_{nb}^2}\:=\:2 e I_b \Delta f
\]

\[
\overline{i_{nc}^2}\:=\:2 e I_c \Delta f
\]
dove $I_b$ ed $I_c$ sono rispettivamente le correnti (quiescenti) di
base e di collettore.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/bipol3.eps,width=9.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Modello con introdotte le correnti di rumore: la sorgente di
corrente di rumore $i_{nb}$ nella maglia d'ingresso e quella $i_{nc}$
nella maglia d'uscita.} \protect\label{bipol3}
\end{figure}

Determiniamo ora i parametri del quadripolo equivalente, cio\`{e}
$v_{n}$ e $i_{n}$.  Co\-minciamo con il determinare il generatore di
tensione $v_{n}$. Ricordiamo che questo \`{e} l'unico ad avere un
effetto sulla tensione di rumore in uscita, quando l'ingresso sia in
cortocircuito.  \\Se ammettiamo quindi di aver cortocircuitato
l'ingresso e supponendo che l'uscita sia chiusa su di un carico
$R_{p}$, avremo per la tensione di uscita:

\[v^{'}_{o}\:=\:(g_{m}v\,+\,i_{nc})\;R_{eq}\]
con:
\[R_{eq}\,=\,R_{p}//r_{o}\]
dove $v=0$ (i morsetti d'ingresso nel circuito di
figura~\ref{bipol3} sono in cortocircuito).

Quindi:

\[v^{'}_{o}\:=\:i_{nc}\,R_{eq}
\]

Nel corrispondente quadripolo con terminali d'ingresso in
cortocircuito avremmo:
\[v^{'}_{o}\:=\:A_{v}\,v_{n}\]
Quindi:
\[v_{n}\:=\:\frac{R_{eq}}{A_{v}}\,i_{nc}\]
Rimane da determinare $A_{v}$ nel nostro amplificatore a parametri
h. Abbiamo:
\[v_{o}\:=\:g_{m}\,R_{eq}\,v\]
da cui:
\[A_{v}\:\equiv \frac{v_{o}}{v}\:=\:g_{m}\,R_{eq}\]
Ne segue:

\[v_{n}\:=\:\frac{R_{eq}i_{nc}}{g_{m}R_{eq}}\:=\:\frac{i_{nc}}{g_{m}}\]
Determiniamo ora $i_{n}$. A tale scopo supponiamo che i terminali
d'ingresso siano aperti. In tal modo il generatore di tensione di
rumore nel quadripolo non potr\`{a} dare alcun contributo. Avremo:
\[v^{"}_{o}\:=\:(g_{m} v + i_{nc})\,R_{eq}\]
con:
\[v\:=\:i_{nb}\,r_{\pi}\]
Da cui:
\[v^{"}_{o}\:=\:(g_{m}i_{nb}r_{\pi}\,+\,i_{nc})\,R_{eq}\:=\:
(h_{fe}i_{nb}\,+\,i_{nc})\,R_{eq}\] Nel caso del quadripolo con gli
ingressi aperti, avremmo:
\[v^{"}_{o}\:=\:A_{i}i_{n}R_{eq}\]

Dove $A_{i}$ \`{e} l'amplificazione in corrente che nel nostro caso
vale $h_{fe}$. Quindi:
\[v^{"}_{o}\:=\:h_{fe}i_{n}R_{eq}\:=\:(h_{fe}i_{nb}\,+\,i_{nc})\,R_{eq}\]
da cui:
\[i_{n}\:=\:i_{nb}\,+\,\frac{i_{nc}}{h_{fe}}\]
Sostituendo ora ai due generatori di rumore $(i_{n},v_{n})$ presenti
all'ingresso del quadripolo un unico generatore in serie con la
resistenza $R_{s}$ del generatore (facendo uso del teorema di
Thevenin):
\[v_{ne}\:=\:v_{n}\,+R_{s}i_{n}\]
troviamo:
\[v_{ne}\:=\:\frac{i_{nc}}{g_{m}}\,+\,R_{s}\,(i_{nb}+\frac{i_{nc}}{h_{fe}})\:
=\:\frac{i_{nc}}{g_{m}}\,+\,R_{s}\,(i_{nb}+\frac{i_{nc}}{g_{m}r_{\pi}})\:=\:
\frac{i_{nc}}{g_{m}}\,(1+\frac{R_{s}}{r_{\pi}})\,+\,R_{s}\,i_{nb}\] da
cui:
\[\overline{v_{ne}^{2}}\:=\:\overline{i_{nc}^{2}}\,\frac{1}{g_{m}^{2}}\,
(1+\frac{R_{s}}{r_{\pi}})^{2}\,+\,R_{s}^{2}\,\overline{i_{nb}^{2}}\]
dove $\overline{i_{nb}^{2}}$ ed $\overline{i_{nc}^{2}}$ sono date dal
rumore shot:
\[\overline{i_{n}^{2}}\:=\:2eI\Delta f\]
dove e \`{e} la carica dell'elettrone, I~la corrente nel circuito (di
base o di collettore) e $\Delta f$ la banda di frequenza. Quindi:

\[\overline{v_{ne}^{2}}\:=\:(1\,+\,\frac{R_{s}}{r_{\pi}})^{2}\cdot\frac{1}
{g_{m}^{2}}\cdot 2 e I_{C} \Delta f\;+\:R_{s}^{2} \cdot 2 e \cdot
I_{b}\cdot \Delta f
\]
Poich\`{e} inoltre \`{e} $I_{c}\,=\,h_{FE}\,I_{b}$ , segue:
\[\overline{v_{ne}^{2}}\:=\:[(1+\frac{R_{s}}{r_{\pi}})^{2}\;\frac{1}
{g_{m}^{2}}\;+\;\frac{R_{s}^{2}}{h_{FE}}]\cdot 2 e I_{c} \Delta f\]
Utilizziamo ora le relazioni\footnote{La transconduttanza $g_m$ \`e
definita come
\[g_m\:=\:dI_c/dV_{BE}\] dove, per il diodo base-emettitore in zona attiva \`e: 
\[I_c=I_0[exp(e\: V_{BE}/KT)\:-1] \] Ne segue: \[g_m\:=\:dI_c/dV_{BE}\:=\:I_c 
e/KT\].}:
\[I_{c}\:=\:g_{m}V_{T}\:=\:g_{m}\frac{KT}{e}\]
ed otteniamo:
\begin{equation}
\overline{v_{ne}^{2}}\:=\:[(1+\frac{R_{s}}{r_{\pi}})^{2}\;\frac{1}
{g_{m}}\;+\;\frac{R_{s}^{2}}{h_{FE}}\,g_{m}]\cdot 2 K T \Delta f
\label{vn2excess}
\end{equation}
Determiniamo ora il valore ottimale di $R_{s}$, cio\`{e} quello che
rende minimo il rumore. Questo, come gi\`{a} visto \`{e} dato da:

\[(R_{s}^{opt})^{2}\:=\:\frac{\overline{ v_{n}^{2}}}{\overline{ i_{n}^{2}}}\]

Sostituendo in questa i valori trovati per $\overline{ v_{n}^{2}}$ ed
$\overline{ i_{n}^{2}}$, si trova:

\[
(R_{s}^{opt})^{2}\:=\:
\frac{\frac{\overline{i_{nc}^2}}{g_{m}^2}}{\overline{
i_{nb}^2}+\frac{\overline{i_{nc}^2}}{h_{fe}^2}}\:=\:
\frac{\frac{1}{g_{m}^2}}{\frac{\overline{i_{nb}^2}}
{\overline{i_{nc}^2}}+\frac{1}{h_{fe}^2}}\:=\:\frac{\frac{1}{g_{m}^2}}
{\frac{I_b}{I_c}+\frac{1}{h_{fe}^2}}\:=\: \frac{1}
{g_{m}^2}\frac{1}{\frac{1}{h_{FE}}+\frac{1}{h_{fe}^2}}\approx\:\frac
{h_{FE}}{g_{m}^2}\]

dove si \`{e} fatto uso delle relazioni:
\[\overline{i_{nb}^{2}}\:=\:2 e I_{b} \Delta f\]
\[\overline{i_{nc}^{2}}\:=\:2 e I_{c} \Delta f\]
Vediamo che il valore ottimale della resistenza $R_{s}$ dipende da
$h_{FE}$ e da $g_{m}$.

Utilizziamo ora il risultato ottenuto~(\ref{vn2excess}) per la
tensione quadratica media in eccesso $(\overline{v_{ne}^{2}})$ per il
transistor bipolare, per ottenere la corrispondente temperatura di
rumore:
\[T_{n}\:=\:F_{e}T_{s}\]
dove:
\[F_{e}\:=\:\frac{\overline{v_{ne}^{2}}}{\overline{v_{ns}^{2}}}\:=\:\frac{
[(1+\frac{R_{s}}{r_{\pi}})^{2}\;\frac{1}{g_{m}}\;
+\;\frac{R_{s}^{2}}{h_{FE}}\,g_{m}]}{2 R_{s}}\] Otteniamo:
\[\frac{T_{n}}{T_{s}}\:=\:\frac{
[(1+\frac{R_{s}}{r_{\pi}})^{2}\;\frac{1}{g_{m}}\;
+\;\frac{R_{s}^{2}}{h_{FE}}\,g_{m}]}{2 R_{s}}\]

cio\`e:

\[
\frac{T_{n}}{T_{s}}\:=\:\frac{1}{2g_{m}R_{s}}+\frac{1}{h_{fe}}+\frac{R_{s}}
{2}(\frac{g_{m}}{h_{FE}}+\frac{g_{m}}{h_{fe}^{2}})
\]
Trascurando l'ultimo termine in parentesi:
\[\frac{T_{n}}{T_{s}}\:=\:\frac{1}{2g_{m}R_{s}}+\frac{1}{h_{fe}}+\frac{R_{s}g_{m
}} {2 h_{FE}}\] Per
$R_{s}\,=\,R_{s}^{opt}\,=\,\frac{\sqrt{h_{FE}}}{g_{m}}$ si trova:
\[\frac{T_{n}}{T_{s}}^{min}\:=\:\frac{1}{\sqrt{h_{FE}}}+\frac{1}
{h_{fe}}\:\approx\:\frac{1}{\sqrt{h_{FE}}}\] Per $h_{FE}=100$ questa
fornisce:
\[T_{n}^{min}\:=\:\frac{T_{s}}{10}\]
che, alla temperatura ambiente ($27^{o}C=300^{o}K$) vuol dire una
temperatura di rumore di $30^{o}K$.

\section{Il rumore nei componenti elettronici}

\subsection{Introduzione}
Ci siamo gi\`{a} occupati del rumore termico nelle resistenze. Questa
\`{e} la principale sorgente di rumore nei componenti
passivi. Condensatori ed induttanze non sono sorgente di rumore se non
per quel che concerne la loro componente resistiva.  \\Un'altra
componente di rumore \`{e} dovuta ai contatti tra componenti ed alle
giunzioni interne dei diodi e/o transistor. Si tratta di un rumore
$1/f$ La corrente di rumore per unit\`{a} di radice quadrata di
larghezza di banda \`{e}:
\[\frac{I_{f}}{\sqrt{\Delta f}}\:=\:\frac{kI}{\sqrt{f}}\]
dove I \`{e} la corrente media, f la frequenza, $\Delta f$ la
larghezza di banda centrata sulla frequenza f e k una costante che
dipende dai materiali e dalla geometria.

Ricordiamo che il rumore $1/f$ continua fino frequenze bassissime,
dell'ordine di pochi cicli/giorno.  \\In aggiunta al rumore termico, a
quello shot ed a quello $1/f$, una ulteriore variet\`{a}, chiamato
"popcorn noise" \`{e} stato osservato \index{Popcorn noise} nei diodi
a semiconduttore e nei circuiti integrati. Se esso \`{e} amplificato
ed inviato ad un altoparlante si sente un rumore simile al
caratteristico scoppiettare del granturco, da cui il nome.  Questo
tipo di rumore \`{e} dovuto a difetti di fabbricazione e pu\`{o}
essere eliminato con opportuni accorgimenti nel processo di
produzione.  \\Anche questo tipo di rumore ha uno spettro del tipo
$1/f^n$ con n tipicamente uguale a 2. L'ampiezza \`{e} compresa tra 2
e 10 volte quella del rumore termico nel medesimo dispositivo.  \\Ci
occuperemo ora del rumore nei transistor a giunzione e successivamente
di quello nei FET.

\subsection{Il rumore nel transistor bipolare}
\index{Rumore! nel transistor bipolare} La figura di rumore per un
tipico transistor bipolare \`{e} mostrata in \index{Figura di rumore}
figura~\ref{fig16}.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/fig16.eps,width=9.0 cm,
height=6.0 cm}}\end{center}
\caption{Figura di rumore per un tipico transistor bipolare. La zona a
basse frequenze \`e dominata dal rumore $1/f^n$, quella centrale dal
rumore termico della resistenza di base e dal rumore shot delle giunzioni, mentre
il rumore alle alte frequenze \`e legato al fatto che il guadagno del
transistor diminuisce con la frequenza mentre il rumore della giunzione
rimane costante.  } \protect\label{fig16}
\end{figure}



Si ha una regione di basse frequenze, in cui il rumore dominante \`{e}
quello $1/f$. Tale regione si estende fino a frequenze $f_1$ che
variano, a seconda del tipo di transistor, tra 1 e 50 KHz. Si ha poi
una regione di rumore bianco, costituito da rumore termico nella
resistenza della base e rumore shot nelle giunzioni, che si estende
fino a frequenze di circa 1 MHz. Si ha infine una regione di frequenze
pi\`{u} elevate (superiori ad un certo valore $f_2$) in cui il rumore
aumenta come $f^2$.  Questo aumento del NF \`{e} legato alla
diminuzione del guadagno del transistor alle alte frequenze ed al
fatto che il rumore prodotto alla giunzione di collettore rimane
costante.  \\Alcuni speciali transistor, prodotti per essere adoperati
ad alte frequenze, hanno un valore di $f_2$ molto pi\`{u} elevato.
\\Sono stati sviluppati modelli che, partendo dal circuito a parametri
h o da altri analoghi, ed aggiungendo sorgenti di rumore nei rami del
circuito, consentono di calcolare con ragionevole accuratezza il
rumore nel transistor bipolare nel campo di frequenze di
interesse~\cite{kn:Ott}.  Le caratteristiche di rumore dei transistor
sono fornite generalmente dalle case costruttrici.  \\Ricordiamo che
il noise-factor F \`{e} definito come: \index{Noise-factor} \small
\[
F\:=
\]
\[=\:\frac{Potenza\;di\;rumore\;in\;uscita}{Guadagno\;in\;potenza\;\times
\;Potenza\;di\;rumore\;dovuto\;alla\;resistenza\;della\;sorgente}
\]
\normalsize Se indichiamo con $R_s$ la resistenza della sorgente, con
$i_n$ ed $e_n$ i generatori di rumore nel quadripolo equivalente
gi\`{a} incontrato e con $\Delta f$ la banda passante, avremo:

\newcommand{\nameit}{\overline{i_{t}^{2}}}

\newcommand{\nameir}{\overline{i_{R_{s}}^{2}}}

\newcommand{\kt}{4KT \Delta f}

\newcommand{\nameen}{\overline{e_{n}^2}}

\newcommand{\namein}{\overline{i_{n}^{2}}}

\[F\:=\:\frac{{\nameit}}{{\nameir}}\]

dove $i_t$ \`{e} la corrente totale di rumore ai terminali d'ingresso
ed $i_{R_s}$ quella dovuta alla sola resistenza $R_s$. Quest'ultima
vale:
\[{\nameir}\:=\:\frac{{\kt}}{R_s}\]
Quindi avremo, come gi\`{a} visto in precedenza:
\[{\nameit}\:=\:\frac{{\kt}}{R_s}\,+\,\frac{{\nameen}}{R_s}\,+\,{\namein}\]
da cui:
\[F\:=\:1\,+\,\frac{{\nameen}}{{\kt} R_s}\,+\,\frac{{\namein R_s}}{{\kt}}\]
Ponendo ora:
\[R_{eq}\:=\:\frac{{\nameen}}{{\kt}}\]
\[I_{eq}\:=\:\frac{{\namein}}{2e\Delta f}\]
dove e \`{e} la carica dell'elettrone, l'ultima equazione scritta
diventa:
\[F\:=\:1\,+\,\frac{R_{eq}}{R_s}\,+\,\frac{2eI_{eq}}{4KT}R_s\]
e, poich\`{e} $\frac{e}{2KT}=20~V^{-1}$ alla temperatura di $290^{o}K$
avremo:
\begin{equation}
F\:=\:1\,+\,\frac{R_{eq}}{R_s}\,+\,20I_{eq}R_{s}\label{eq:Fbipol}
\end{equation}
Il valore ottimale di $R_s$, cio\`{e} quello per cui la cifra di
rumore \`{e} minima, si ottiene derivando quest'espressione rispetto
ad $R_s$. Si trova:
\begin{equation}
R_{s(opt)}^2\:=\:\frac{R_{eq}}{20I_{eq}}\,=\,
\frac{{\nameen}}{{\namein}}\label{eq:rsopt}
\end{equation}
da cui:
\[F_{opt}\:=\:1\,+\,2 \sqrt{20 R_{eq} I_{eq}}\]
Facciamo ora uso delle ultime due equazioni per esprimere $R_{eq}$ ed
$I_{eq}$ in funzione di $F_{opt}$ ed $R_{s(opt)}$. Si trova:
\[R_{eq}\:=\:\frac{1}{2}(F_{opt}-1)\,R_{s(opt)}\]
\[I_{eq}\:=\:\frac{1}{2} \frac{(F_{opt}-1)}{20 R_{s(opt)}}\]
Sostituendo questa nella~(\ref{eq:Fbipol}), si trova:
\[F\:=\:1\,+\,\frac{1}{2}(F_{opt}-
1)\,[\frac{R_{s(opt)}}{R_s}\,+\,\frac{R_s}{R_{s(opt)}}]\] Si vede da
questa espressione che, noti $F_{opt}$ ed $R_{s(opt)}$, si pu\`{o}
ottenere il NF per una generica resistenza $R_s$.  \\ Definendo un
fattore K:
\begin{equation}
K\:=\:\frac{1}{2}\,[\frac{R_{s(opt)}}{R_s}\,+\,\frac{R_s}{R_{s(opt)}}]
\label{eq:kvalue}
\end{equation}
L'ultima equazione si pu\`{o} riscrivere come:
\[F\:=\:1\,+\,K\,[F_{opt}-1]\]
Ammettiamo ora di sapere che $F_{opt} = 1.4$ e che $R_{s(opt)}=1
k\Omega$. Ci chiediamo quale sar\`{a} F in un circuito in cui la
resistenza $R_s$ valga $8k\Omega$. Vediamo che
$\frac{R_s}{R_{s(opt)}}=8$ e quindi, dalla~(\ref{eq:kvalue}) si vede che
$K\cong 4$. Quindi F sar\`{a}:
\[F\:=\:1\,+\,4(1.4-1)\:=\:2.6\]
ed il noise factor NF varr\`a:
\[NF\:=\:4.1 dB\]
I valori di ${\nameen}$ ed ${\namein}$ sono poi entrambi funzioni
della corrente di collettore e crescono al crescere di
questa. Tuttavia ${\namein}$ cresce pi\`{u} rapidamente di
${\nameen}$. Di conseguenza $R_{s(opt)}$ diminuisce al crescere della
corrente di collettore. Ne segue che, come si pu\`{o} vedere in
figura~\ref{nfvsrtran}, la curva che descrive l'andamento della
cifra di rumore al variare di $R_{s}$ cambia, spostandosi \index{Cifra
di umore} verso sinistra (cio\`{e} verso valori decrescenti di $R_s$)
all'aumentare di $I_c$.
  
\begin{figure}[h!]
\begin{center}\mbox{\epsfig{file=rumore/nfvsrtran.eps,width=12.0 cm,
height=7.5 cm}}\end{center}
\caption{Andamento della cifra di rumore nel transistor bipolare al
variare di $R_s$. Si noti che la curva si sposta verso sinistra
all'aumentare di $I_c$.} \protect\label{nfvsrtran}
\end{figure}

\subsection{Il rumore nei FET}
\index{Rumore! nel FET} L'andamento complessivo della cifra di rumore
in un FET in funzione della frequenza \`{e} qualitativamente simile a
quello dei transistor bipolari.  Si ha cio\`{e} una regione di rumore
$1/f$ alle basse frequenze, seguita da una regione di rumore bianco a
frequenze intermedie ed infine da una zona di alta frequenza in cui il
rumore cresce al crescere di f.  \\ Il rumore $1/f$ \`{e} molto
pi\`{u} elevato nei MOSFET che nei FET.  \\ Ci occuperemo ora del
rumore in questi ultimi. Le principali sorgenti di rumore in essi
sono:
\begin{itemize}
\item {rumore termico nella resistenza di polarizzazione del gate $R_g$;}
\item {rumore shot associato alla corrente di gate $I_g$ (diodo
Gate-Source con polarizzazione inversa);}
\item {rumore termico nel canale;}
\item {rumore shot nel canale;}
\item {rumore $1/f$ nel canale.}
\end{itemize}


Tra questi contributi, il penultimo \`{e} fortemente soppresso a causa
della elevata densit\`{a} di cariche nel canale. Discutiamo ora in
dettaglio gli altri contributi.


{\bf Rumore termico nella resistenza di gate}


La corrente quadratica media di rumore nell'intervallo di frequenza df
in $R_g$ \`{e}:
\[\overline{i^2_{R}}\:=\:\frac{4 K T df}{R_g}\]
Se indichiamo con $C_{in}$ la capacit\`{a} d'ingresso del FET, la
tensione quadratica media ai capi di questa sar\`{a}:

\newcommand{\namevr}{\overline{v_{R}^2}} \newcommand{\namezc}{Z_{c}^2}
\newcommand{\namecin}{C_{in}^2}

\[{\namevr}\:=\:{\nameir}{\namezc}\:=\:\frac{4KTdf}{R_{g}}\,\frac{1}{\omega^{2}
{\namecin}}\:=\:\frac{2KT}{\pi R_{g} {\namecin}}
\frac{d\omega}{\omega^2}\] Vediamo che la tensione di rumore \`{e}
tanto pi\`{u} piccola quanto pi\`{u} \`{e} grande $R_g$.

{\bf Rumore di tipo shot associato alla corrente di gate}


Esso \`{e} dato da:
\[\overline{i^2}\:=\:2 e I_{g} df\]
con ovvio significato dei simboli. Tale corrente scorre in $C_{in}$ se
$R_{g}$ \`{e} molto grande. La tensione quadratica media ai capi di
$C_{in}$ sar\`{a}:
\[\overline{v_{g}^2}\:=\:\frac{2eI_{g} df}{\omega ^{2} C_{in}^{2}}\:=\:\frac{e 
I_{g} d\omega} {\pi \omega^{2} C_{in}^{2}}\]

{\bf Rumore termico nel canale}


La corrente di rumore associata a questo \`{e}:
\[\overline{i_{c}^{2}}\:=\:\frac{4KT df}{R_{0}}\]
dove $R_{0}$ \`{e} la resistenza del canale nella parte iniziale delle
caratteristiche (cio\`{e} nella zona ohmica). La corrispondente
tensione $\overline{v_{c}^{2}}$ al gate (l'ingresso, cui riferiamo
tutte le sorgenti di rumore) \`{e}:
\[\overline{v_{c}^{2}}\:=\:\frac{\overline{i_{c}^{2}}}{g_m^2}\]
dove $g_m$ \`{e} la transconduttanza del FET.  \\ Si trova quindi:
\[\overline{v_{c}^{2}}\:=\:\frac{2KT}{\pi R_{0} g_{m}^{2}} d\omega\]
Ponendo:
\[R_{eq}=\frac{1}{R_{0}g_{m}^{2}}\]
questa si scrive:
\[\overline{v_{c}^{2}}\:=\:2KT R_{eq} \frac{d \omega}{\pi}\]
dove si pu\`{o} dimostrare che $g_{m}=\frac{1}{R_{0}}$, con che:
\[R_{eq}\:=\:\frac{1}{g_{m}}\]

{\bf Rumore 1/f nel canale}


Questo \`{e} dato da:
\[\overline{v_{F}^{2}}\:=\:A_{f} \frac{d \omega}{\omega}\]


{\bf Rumore complessivo}


Questo sar\`{a} la somma dei contributi elencati sopra, cio\`{e}:
\begin{equation}
\overline{v_{t}^2}\:=\:\frac{2KT}{\pi R_{g} {\namecin}}
\frac{d\omega}{\omega^2}+\:\frac{e I_{g} d\omega} {\pi \omega^{2}
C_{in}^{2}}+\:2KT R_{eq} \frac{d \omega}{\pi}+\:A_{f} \frac{d
\omega}{\omega} \label{rumore_totale}
\end{equation}
Il rumore totale nell'amplificatore a FET pu\`o ora esser calcolato,
moltiplicando ciascuno dei precedenti contributi per la funzione
$f(\omega)$ che descrive la risposta in frequenza dell'amplificatore,
integrando su $\omega$ da 0 ad $\infty$ e sommando infine tutti i
contributi. La funzione $f(\omega)$ rappresenta il guadagno \emph{in
potenza} dell'amplificatore, legato al guadagno in tensione $A_v$ da:
$f(\omega)\:=\:|A_v|^2$.


\section{Appendice A}
\index{Teorema di Wiener-Khintchine} Dimostriamo ora il teorema di
Wiener-Khintchine. A tale scopo premettiamo alcuni semplici teoremi,
che trovano ampia applicazione nello studio del rumore.  Siano
$x_1(t)$ ed $x_2(t)$ due funzioni del tempo, ed indichiamo con
$F_1(\omega)$ ed $F_2(\omega)$ le rispettive trasformate di
Fourier. Si dimostra allora che:
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty}{x_1(t)x_2^*(t)dt}\:=\:\frac{1}{2\pi}\int_{-
\infty}^{+\infty} {X_1(\omega)X_2^*(\omega)d\omega} \label{parseval}
\end{equation}
(teorema di Parseval).


Per dimostrarlo, sostituiamo a primo membro di questa equazione, ad
$x_2^*(t)$ la sua antitrasformata, ottenendo:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}{x_1(t)x_2^*(t)dt}\:=\:\frac{1}{2\pi}
\int_{-\infty}^{+\infty}dt\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega x_1(t)
X_2^*(\omega)e^{-j\omega t}
\]
scambiamo ora l'ordine di integrazione sulle variabili t ed $\omega$ a
secondo membro:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}{x_1(t)x_2^*(t)dt}\:=\:\frac{1}{2\pi}
\int_{-\infty}^{+\infty}X_2^*(\omega) d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dt
x_1(t)e^{-j\omega t}
\]
che \`e uguale a:
\[
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{X_1(\omega)X_2^*(\omega)d\omega}
\]
Questo \`e appunto il secondo membro della~(\ref{parseval}).

Applichiamo ora questo teorema alla funzione di correlazione
$\Phi(\tau)$:
\[
\Phi(\tau)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}{v(t)v(t+\tau)dt}
\]
dove $v(t)$ \`e la tensione di rumore.  Troviamo in tal modo:
\begin{equation}
\Phi(\tau)\:=\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{|V(\omega)|^2
e^{j\omega \tau}d\omega} \label{plancherel}
\end{equation}
che per $\tau=0$ ci da:
\[
\Phi(0)\:=\:\int_{-\infty}^{+\infty}{|v(t)|^2 dt}\:=\:
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{|V(\omega)|^2 d\omega}
\]
che \`e noto come teorema di Plancherel \index{Teorema di Plancherel}
o teorema dell'energia.  Il termine a destra di questa equazione
rappresenta l'energia totale sviluppata, sull'intero spettro di
frequenze. Ne segue che $|V(\omega)|^2$ pu\`o essere interpretato come
la densit\`a di energia per unit\`a di intervallo di frequenza. La
potenza media \`e l'energia totale divisa per T, o meglio il limite di
tale rapporto per $T\rightarrow \infty$:
\[
\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{+\infty}{|v(t)|^2
dt}\:=\: \lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2
\pi}\int_0^{\infty}\frac{2 |V(\omega)|^2}{T}d\omega
\]
dove si \`e modificato il limite inferiore d'integrazione nel membro
destro dell'equazione (da $-\infty$ a 0) e si \`e moltiplicato per 2,
poich\'e si ammette che $|V(\omega)|^2$ sia una funzione pari di
$\omega$. Abbiamo cos\`i per la densit\`a spettrale di potenza:
\[
S_v(\omega)\:=\:\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{2 |V(\omega)|^2}{T}
\]
Notiamo la differenza tra l'ultima equazione scritta e
la~(\ref{intspett}).  Questa aveva un T a fattore moltiplicativo,
mentre l'ultima equazione scritta ha T a denominatore. Ci\`o deriva
dal fatto che nella~(\ref{intspett}) avevamo fatto uso della serie di
Fourier, dove i coefficienti $a_n$ hanno un T a denominatore, mentre
nella trasformata di Fourier:
\[
F(\omega)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j \omega t}dt
\]
il T a denominatore \`e assente.

Dalla~(\ref{plancherel}), dividendo entrambi i membri per T,
effettuando una media su di un insieme (infinito) di sistemi identici
e prendendo poi il limite per $T\rightarrow \infty$, si ottiene:
\[
\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-
\infty}^{\infty}\overline{v(t)v(t+\tau)} d\tau \:=\:\lim_{T\rightarrow
\infty}\frac{1}{2
\pi}\int_{0}^{\infty}{2\frac{\overline{|V(\omega)|^2}}{T} cos(\omega
\tau) d\omega}
\]
dove abbiamo fatto uso della simmetria della $|V(\omega)|^2$.

Il termine a sinistra di questa equazione \`e la funzione di
autocorrelazione $\Phi(\tau)$. Invertendo nel termine a destra il
limite con l'integrazione, otteniamo:
\[
\Phi(\tau)\:=\:\frac{1}{2 \pi}\int_0^{\infty}{S_v(\omega) cos(\omega
\tau) d\omega} \:=\:\int_0^{\infty}{S_v(f) cos(\omega \tau) df}
\]
Questa \`e una trasformata di Fourier, la cui inversa \`e:
\[
S_v(f)\:=\:4 \int_0^{\infty}{\Phi(\tau) cos(\omega \tau) d\tau}
\]
Le ultime equazioni scritte costituiscono il teorema di
Wiener-Khintchine.  


\section{Appendice B}
Ci proponiamo in questa appendice di studiare la funzione di
distribuzione temporale relativa ad eventi elementari che avvengano in
modo casuale ed indipendente. Un esempio \`e quello di un elettrone
che si muove in un materiale conduttore, subendo urti con gli atomi
che incontra.  Ciascun urto \`e un \emph{evento} casuale, intendendosi
con ci\`o il fatto che la probabilit\`a che un evento abbia luogo in
un piccolo intervallo di tempo compreso tra t e $t+\delta t$ \`e
piccola ed indipendente da t. Quando diciamo ``piccola'' intendiamo
che la probabilit\`a di osservare due eventi nell'intervallo di tempo
considerato \`e trascurabile. Chiamando $\nu \delta t$ la
probabilit\`a che un evento abbia luogo nell'intervallo di tempo
suddetto, ci proponiamo di calcolare la probabilit\`a $p(m,t)$che
esattamente m eventi abbiano luogo in un intervallo di tempo finito t.

Per calcolare tale probabilit\`a, partiamo dalla considerazione che vi
sono solo due modi per ottenere esattamente m eventi nell'intervallo
di tempo (0-t). Potremo cio\`e avere (m-1) eventi nell'intervallo di
tempo $(0,t-\delta t)$ ed uno nell'intervallo $\delta t$ o m eventi
nell'intervallo di tempo $(0,t-\delta t)$ e nessuno nell'intervallino
$\delta t$. In formule:
\[
p(m,t)\: = \: p(m-1,t-\delta t) \nu \delta t \: + \: p(m,t-\delta
t)(1-\nu \delta t)
\]
Sviluppando i termini a secondo membro di questa espressione in serie
di Taylor, otteniamo:
\[
p(m-1,t-\delta t)\nu \delta t\:=\:p(m-1,t)\nu \delta t-\frac{\partial
p(m- 1,t)}{\partial t} \nu (\delta t)^2
\]
\[
p(m,t-\delta t)\cdot(1-\nu \delta t)\:=\:p(m-1,t) \nu \delta t+p(m,t)-
\]
\[
- \frac{\partial p(m,t)}{\partial t} \delta t\:-p(m,t) \nu \delta
t+....(\delta t)^2
\]

Per cui l'ultima espressione scritta si pu\`o scrivere:
\[
p(m,t)\:=\:p(m-1,t)\nu \delta t+ p(m,t) -\frac{\partial
p(m,t)}{\partial t} \delta t -p(m,t)\nu \delta t
\]
da cui segue:
\begin{equation}
\lim_{\delta t \rightarrow 0}\frac{dp(m,t)}{\delta
t}\:=\:\frac{dp(m,t)}{dt}\:=\: \nu [p(m-1,t)+p(m,t)] \label{general}
\end{equation}
Per m=0 questa \`e (essendo p(-m,t)=0):
\[
\frac{dp(0,t)}{dt}\:=\:\nu p(0,t)
\]
che ha come soluzione:
\[
p(0,t)\:=\:e^{-\nu t}
\]
Per m generico possiamo riscrivere la~(\ref{general}) come:
\[
e^{-\nu t}\frac{d}{dt}[e^{\nu t}p(m,t)]\:=\:\nu p(m-1,t)
\]
che, integrata tra i limiti (0,t) (con p(0,0)=1), ci da:
\[
e^{\nu t} p(m,t)\:=\:\nu \int_0^t{e^{\nu t} p(m-1,t)dt}
\]
Questa \`e una formula di ricorrenza che ci consente di calcolare
p(m,t) a partire da p(m-1,t). Conoscendo p(0,t) otteniamo cos\`i:
\[
e^{\nu t} p(1,t)\:=\:\nu \int_0^t e^{\nu t}e^{-\nu t} dt\:=\:\nu t
\]
da cui:
\[
p(1,t)\:=\:\nu t e^{-\nu t}
\]
Si trova in generale:
\[
p(m,t)\:=\:\frac{(\nu t)^m e^{-\nu t}}{n!}
\]
Possiamo da questa calcolare la distribuzione della distanza temporale
tra due eventi successivi. La probabilit\`a che due eventi abbiano
luogo separati da un tempo t \`e pari alla probabilit\`a che, dato un
evento, nessun evento abbia luogo per un tempo pari a t ed un evento
abbia luogo nel successivo intervallino temporale $\delta t$. Cio\`e:
\[
f(t)\:=\:p(0,t) \nu \delta t
\]
dove:
\[
p(0,t)\:=\:e^{-\nu t}
\]
e quindi:
\[
f(t)\:=\:\nu e^{-\nu t} \delta t
\]

Il valor medio di m (cio\`e il momento di ordine 1 della
distribuzione)\`e:
\[
\overline{m}\:=\:\sum_{m=0}^{\infty}m p(m,t)\:=\:e^{-\nu t}\nu t[1 +
\frac{\nu t}{1} +\frac{(\nu t)^2}{2!} +\frac{(\nu t)^3}{3!}+....]\:=
\]
\[=\:e^{-\nu t} \nu t e^{\nu 
t}\:=\: \nu t
\]

Analogamente si pu\`o dimostrare che il momento di ordine 2 (la
varianza) \`e:
\[
\sigma ^2\:=\:\overline{(m-\overline{m})^2}\:=\:\sum_{m=0}^{\infty}m^2
p(m,t)- \overline{m}^2 \:=\: \overline{m}
\]

\section{Appendice C}
\subsection{Teoremi di Campbell e di Carson}

Consideriamo un rumore casuale, originato da un gran numero di eventi
indipendenti.  Ciascun evento produca un impulso di una certa forma,
descritta da una funzione (uguale per tutti) $f(t-t_1)$, dove $t_i$
\`e l'istante in cui si \`e verificato l'evento i-esimo.  L'evento
potr\`a essere generico: un elettrone che urta con un atomo, una
goccia di pioggia che cade, un soffio di vento durante un temporale,
la ricombinazione di una coppia elettrone-lacuna in un semiconduttore,
etc. La f(t) \`e la funzione che descrive la conseguenza percettibile
dell'evento, funzione del tempo.  Ci\`o che in realt\`a percepiamo \`e
la risultante di un gran numero di eventi indipendenti. Essa pu\`o
esser descritta facendo uso del principio di sovrapposizione:
\[
x(t)\:=\:\sum_{k=1}^{N}{a_k f(t-t_k)}
\]
dove $a_k$ rappresenta l'ampiezza dell'ie-mo evento, $t_k$ \`e
l'istante in cui tale evento ha avuto luogo, N \`e il numero totale di
eventi nel tempo di osservazione T e la funzione f(t) \`e nulla per
$t<0$. Faremo l'ipotesi che la funzione f(t) sia diversa da zero solo
per tempi molto minori del tempo di osservazione T.

Poich\'e gli eventi sono indipendenti, la distribuzione dei tempi
$t_k$ soddisfa alla statistica di Poisson, con un numero medio di
eventi al secondo dato da:
\[
\nu\:=\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{N}{T}
\]
Il valore medio aspettato per la variabile x(t) \`e allora:
\begin{equation}
\overline{x(t)}\:=\:\nu \overline{a}\int_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt}
\label{eq:camp1}
\end{equation}
dove $\overline{a}$ \`e il valor medio dell'ampiezza $a_k$.  Il
risultato espresso dalla~(\ref{eq:camp1}) \`e noto come \emph{teorema di
Campbell del valor medio}.

La trasformata di Fourier della x(t) \`e:
\[
X(j\omega)\:=\:\sum_{k=1}^{N}[a_k e^{-j\omega
t_k}\:F(j\omega)]\:=\:F(j\omega) \sum_{k=1}^{N} a_k e^{-j\omega t_k}
\]La densit\`a spettrale della potenza \`e:
\[
\overline{S_x(\omega)}\:=\:\lim_{T\rightarrow \infty}
\frac{\overline{|X(j\omega)|^2}}{T}\:=\:\lim_{T\rightarrow \infty}
\frac{2|F(j \omega)|^2}{T}\sum_{k,m=1}^{N}\overline{a_k a_m
e^{-j\omega(t_k- t_m)}}
\]
La sommatoria a secondo membro di questa espressione pu\`o essere
riscritta, separandola nella parte con $k=m$ e in quella con $k\neq
m$.  Quest'ultima, essendo gli $a_k$ indipendenti tra loro ed
indipendenti da $t_k$, pu\`o esser riscritta come:
\[
\sum_{k \neq m=1}^{N}\overline{a_k a_m}
e^{-j\omega(t_k-t_m)}\:=\:\overline{a}^2 \sum_{k \neq
m=1}^{N}e^{-j\omega(t_k-t_m)}
\]
avendo posto:
\[
\overline{a_k a_m}\:=\:\overline{a}^2
\]
Se la distribuzione delle ampiezze $a_k$ \`e simmetrica attorno a
zero, il termine in questione si annulla, poich\'e
$\overline{a}=0$. Ne segue che in tal caso \`e:
\[
\overline{S_x(\omega)}\:=\:2\nu \overline{a^2}\:|F(j\omega)|^2
\]
dove $\overline{a^2}$ \`e il valore quadratico medio delle
$a_k$. Questo \`e il teorema di Carson. \index{Teorema di Carson}

Se i coefficienti $a_k$ non sono distribuiti simmetricamente attorno
allo zero, il termine prima ignorato sar\`a presente. In tal caso si
pu\`o dimostrare che \`e:
\[
\overline{x^2(t)}-\overline{x(t)}^2\:=\:\nu \overline{a^2}\int_{-
\infty}^{\infty}f^2(t) dt
\]
Questo \`e il teorema di Campbell \index{Teorema di Campbell} del
valor quadratico medio.
