\chapter{Semiconduttori: Diodi e Transistor}  \label{capitolo_semiconduttori}

\section{Introduzione}

In questo capitolo ci proponiamo di fornire i concetti che sono alla
base del funzionamento dei diodi al silicio e dei transistor
bipolari. Inizieremo con una descrizione, alquanto sommaria, del
processo di conduzione elettrica nei solidi ed in particolare nei
semiconduttori. Esamineremo poi i processi che hanno luogo
all'interfaccia tra due semiconduttori aventi conducibilit\`a diverse
e descriveremo le caratteristiche dei diodi ed alcune delle loro
applicazioni. Passeremo poi a studiare la struttura ed il
funzionamento del transistor bipolare a giunzione.
 
Prima di iniziare, val la pena di riassumere gli eventi che portarono,
nel 1940, alla scoperta del diodo a giunzione presso i laboratori Bell
di New York e successivamente, nel dicembre del 1947, alla scoperta,
presso i medesimi laboratori, del transistor.

Per molti anni gli apparecchi radio avevano fatto uso, per la
rivelazione dei segnali, di ``raddrizzatori''\index{Raddrizzatori! a
cristallo}, consistenti in un cristallo su cui veniva tenuta premuta
l'estremit\`a di un sottile filo metallico (noto in gergo come ``baffo
di gatto''). Tale tipo di rivelatore (adoperato anche da Marconi nella
sua prima trasmissione attraverso l'Atlantico il 12 Dicembre 1901) era
molto instabile ed il suo funzionamento era ben lungi dall'essere
stato compreso. Esso era stato scoperto da Munk A. Rosenhold, ma la
scoperta era passata inosservata, fino a che non fu ``riscoperto'' da
F. Braun nel 1874, ed adoperato in elettronica da Jagadis Chandra Bose
nel 1899. Si era quindi passati a rivelatori basati su valvole
termoioniche (diodi)\index{Diodo! a valvole termoioniche}. Questi
avevano per\`o l'inconveniente di avere una elevata capacit\`a tra gli
elettrodi, il che rendeva estremamente difficile il loro uso ad alte
frequenze. La seconda guerra mondiale pose il problema della
rivelazione di navi o velivoli in avvicinamento, tramite la
rivelazione di segnali di alta frequenza riflessi da tali mezzi. Ci\`o
richiedeva rivelatori (ed amplificatori) che funzionassero nella zona
delle microonde. Ci fu quindi una corsa allo sviluppo di rivelatori
che potessero sostituire le valvole, e si ritorn\`o quindi ad
esplorare la possibilit\`a di utilizzare i cristalli. Tra i cristalli
pi\`u studiati fino a quel momento vi erano il Selenio, il Germanio,
il Silicio ed altri. Il Fisico Karl Lark-Horovitz (un Viennese
divenuto Americano nel 1936) che era Professore alla Purdue
University, si era concentrato sul Germanio, ed era riuscito, nel
1942, ad ottenere dei cristalli di Germanio di elevata purezza.

Verso la fine degli anni '30 cominciava ad esser chiaro che vi erano
buone possibilit\`a di realizzare sistemi elettronici in grado di
operare ad alte frequenze facendo uso di tali cristalli. Nel 1936
Mervin Kelly, dei Laboratori Bell\index{Bell! laboratori Bell}, mise
su un gruppo di fisica dello stato solido. Nel gruppo lavoravano
William (Bill) Shockley, Russell Ohl, Jack Scaff ed altri. V\`a notato
che gi\`a nel 1938 due ricercatori Tedeschi (Pohl e Hilsch) avevano
descritto un amplificatore a stato solido che faceva uso di un
cristallo di Bromuro di Potassio, a cui avevano attaccato tre ``baffi
di gatto'' (un antenato del futuro transistor). Tuttavia questo
lavorava solo a basse frequenze e non era molto interessante.



Verso l'inizio del 1939, presso i Laboratori Bell, Russell Ohl era
riuscito a produrre dei cristalli di silicio con un grado di purezza
del $99.8 \%$ ed a farne funzionare alcuni come \emph{raddrizzatori}
(anche se solo a frequenze non elevate). Il 23 febbraio egli not\`o
che un particolare cristallo non possedeva, a differenza degli altri,
la propriet\`a di lasciar passare la corrente in una sola
direzione. Osservando pi\`u accuratamente il cristallo egli not\`o che
esso aveva una sottile fessura nel mezzo. Prov\`o allora a far passare
corrente attraverso il cristallo in varie condizioni sperimentali ed
osserv\`o che la corrente cambiava se il cristallo era posto vicino ad
un saldatore caldo o anche vicino ad una lampada ad incandescenza. Si
rese cos\`i conto del fatto che era la luce che, investendo il
cristallo faceva passare una corrente. Quando Ohl port\`o il cristallo
perch\'e fosse esaminato dai responsabili dei Laboratori, questi si
dimostrarono molto scettici e lo dettero a Walter Brattain perch\'e ne
rimisurasse le caratteristiche.

Ulteriori indagini furono portate avanti dallo stesso Ohl, in
collaborazione con Mervin Kelly, Walter Brattain e Joseph Becker. Si
not\`o che, collegando le due facce del cristallo ad un voltmetro ed
accendendo una torcia tascabile , il voltmetro indicava un brusco
salto di tensione, di circa mezzo Volt.  Successive misure ed
osservazioni svelarono l'arcano: i livelli di purezza del cristallo
erano diversi dai due lati della fessura; uno dei lati aveva cos\`i un
eccesso di elettroni liberi, l'altro un deficit. A causa della
diffusione, gli elettroni in eccesso da quel particolare lato della
fessura si muovevano verso il lato opposto, creando in tal modo una
distribuzione disuniforme di carica e di conseguenza una barriera di
potenziale in corrispondenza della fessura. Ci\`o costituiva un
\emph{diodo}\index{Diodo! a cristalli}, per cui la corrente elettrica
poteva fluire solo nel verso corrispondente a quello decrescente del
potenziale. Quando Ohl accendeva la lampada, l'energia dei fotoni
emessi era sufficiente ad imprimere agli elettroni l'energia cinetica
necessaria ad attraversare la barriera di potenziale, producendo
cos\`i una corrente elettrica.  Ohl, senza rendersene conto, aveva
realizzato una primordiale \emph{cella solare}, che riceve energia dal
sole e la converte in elettricit\`a. I Laboratori Bell avevano ora un
sistema per sostituire gli ingombranti e costosi tubi a vuoto con
minuscoli diodi al silicio.

 Altrettanto empirica fu l'invenzione del transistor, realizzata da
Walter Brattain, Robert Gibney, William Shockley e John Bardeen,
sempre ai Bell Labs, tra il novembre ed il dicembre 1947.

L'idea base era quella di realizzare un dispositivo che funzionasse in
modo analogo ad una valvola (triodo) termoionica, in cui una tensione
applicata all'elettrodo posto tra catodo ed anodo (la griglia)
``modula'' la corrente che fluisce nel tubo. Ora per\`o si trattava di
inserire l'analogo della griglia nella zona di semiconduttore che
separa la zona ricca di portatori di carica negativi, da quella ricca
di portatori positivi. Essendo lo spessore di tale zona dell'ordine di
qualche micron, l'operazione era tutt'altro che banale.

John Bardeen, il teorico che, insieme agli sperimentali Shockley e
Brattain, ebbe nel 1956 il Nobel per le ricerche che portarono
all'invenzione del transistor, nella sua ``Nobel lecture'', cos\`i
descrive questi sviluppi:

\emph{Era stata a lungo coltivata la speranza di realizzare un triodo,
o dispositivo amplificatore, facendo uso di un semiconduttore. Due
erano state le possibilit\`a suggerite. La prima scaturiva da
un'analogia tra una giunzione rettificatrice metallo-semiconduttore ed
un diodo a vuoto. Se fosse in un qualche modo stato possibile inserire
una griglia nella regione di carica spaziale in corrispondenza della
giunzione, si sarebbe riusciti a controllare il flusso di elettroni
attraverso la stessa. Una grossa difficolt\`a pratica era costituita
dal fatto che la zona di carica spaziale ha tipicamente uno spessore
di} $10^{-4}\;cm$. \emph{Che tuttavia l'idea fosse valida era stato
dimostrato da Hilsch e Pohl che avevano costruito un triodo facendo
uso di un cristallo di alogenuro alcalino, in cui lo spessore della
zona di carica spaziale era dell'ordine del cm. Poich\`e tuttavia in
tale dispositivo l'amplificazione era limitata a frequenze dell'ordine
di 1~Hz, esso non era di alcuna utilit\`a pratica in applicazioni
elettroniche.}



\emph{La seconda idea era quella di controllare la conduzione in un
film sottile o piastra di semiconduttore, tramite l'applicazione di un
campo elettrico perpendicolare alla piastra medesima (chiamato
\ttfamily{l'effetto di campo}\rmfamily). In forma semplificata, la
piastra forma una delle armature di un condensatore, di cui l'altra
armatura costituisce l'elettrodo di controllo. Quando una tensione \`e
applicata all'armatura di controllo, cariche elettriche vengono
indotte sulla piastra. Se le cariche indotte sono dei portatori
elementari liberi, la conduzione (lungo la piastra) dovrebbe cambiare
al variare della tensione applicata. Quest'idea f\`u suggerita da
Shockley; i suoi calcoli indicavano che, adottando un'opportuna
geometria e materiali adatti, l'effetto avrebbe dovuto essere
abbastanza grande da produrre un'amplificazione.}\index{Effetto di
campo}


Una serie di tentativi furono effettuati in condizioni sperimentali le
pi\`u disparate (fino ad immergere campioni di silicio in acqua per
liberare la superficie dalla condensazione !) prima di arrivare a
realizzare un dispositivo, quale il transistor, in grado di essere
adoperato come amplificatore e quindi di sostituire le ingombranti e
delicate valvole termoioniche (triodi, tetrodi, pentodi etc.). Il
primo prototipo di \emph{transistor} realizzato aveva una struttura
molto simile a quella realizzata da Pohl e Hilsch nel 1938, cio\`e era
costituito da un cristallo di Germanio, cui erano stati attaccati tre
``baffi di gatto''. Si era alla fine del 1947, ma i laboratori tennero
la cosa segreta fino all'anno successivo. Nel frattempo si
preoccuparono per\'o di brevettare l'invenzione e di convincere i
militari a non bloccare la diffusione dell'informazione !  Il 30
Giugno 1948 tennero una conferenza stampa in cui annunciavano la
scoperta. Questa pass\`o quasi inosservata. Era stato comunque
realizzato il primo \emph{transistor}, l'analogo del triodo a vuoto di
cui parla Bardeen. Il nuovo dispositivo faceva ancora uso dei contatti
metallici, ma pochi anni pi\`u tardi (1951) furono sviluppati i primi
prototipi di transistor a giunzione quali li conosciamo oggi (in
dimensioni enormemente pi\`u piccole). Si dovette attendere fino al
1954 prima di incontrare la prima seria versione commerciale, anche se
una pubblicit\`a della Raytheon del 1952 dichiara che il primo
transistor prodotto da loro (il ck703) risaliva al 1948 ! Comunque i
primi transistor prodotti (il ck703 ed il ck716 della Raytheon) non
furono un grande successo dal punto di vista commerciale. Il primo ad
essere prodotto in grandi quantit\`a f\`u invece il ck722.

I Bell Labs inziarono a vendere brevetti del transistor a giunzione
nel 1952, al prezzo di 25,000 dollari per brevetto. Un brevetto f\`u
acquistato da una compagnia di Tokyo, la ``Tokyo Tsushin Kogyo'' (che
nel 1955 divent\`o la Sony). Questa compagnia produsse le prime radio
interamente a transistor, con un'ampia diffusione commerciale. In
realt\`a gi\`a la Texas aveva prodotto radio a transistor uno o due
anni prima, ma non era stata altrettanto abile nel commercializzarla.




 




Resoconti dettagliati della cronistoria di queste invenzioni possono
esser consultati alle riferimenti~\cite{pnjunct}, \cite{miraclelemo},
\cite{transistordetails}, \cite{transistorhistory}, \cite{brinkman},
\cite{riordan}.


\section{Conduzione elettrica nei semiconduttori}

Inizieremo con alcuni brevi richiami dei concetti che sono alla base
della conduzione elettrica nei solidi\index{Conduzione elettrica! nei
solidi}, quali i semiconduttori. La densit\`a di corrente \`e definita
da:

\begin{equation}
J= n q v \label{semiconductors_1}
\end{equation}

dove n \`e il numero di cariche elementari per $cm^3$, q la carica
elementare e $v$ la velocit\`a di drift.  Quest'ultima \`e legata (per
campi elettrici non troppo elevati) al campo elettrico da una
relazione di proporzionalit\`a:

\begin{equation}
v = \mu E \label{semiconductors_2}
\end{equation}

dove $\mu$ \`e una costante (mobilit\`a)\index{Mobilit\`a}
caratteristica del materiale. Le dimensioni fisiche di tale costante
sono:

\[
\left[\mu\right] = \left[ cm^2 / (Volt \cdot s) \right]
\]

Si tratta, come si vede, di unit\`a ibride, appartenenti in parte al
sistema SI ed in parte al cgs.
 
 La densit\`a di corrente\index{Densit\`a di corrente} pu\`o, facendo
 uso delle equazioni~(\ref{semiconductors_1})
 e~(\ref{semiconductors_2}), essere espressa come:

\begin{equation}
J = n q \mu E \;=\;\sigma E \label{semiconductors_3}
\end{equation}

dove $\sigma = n q \mu $ \`e la conduttivit\`a\index{Conduttivit\`a},
che \`e l'inverso della resistivit\`a $\rho$ (notiamo che in questa
equazione $q$ \`e il \emph{modulo} della carica elettrica elementare,
a differenza del medesimo simbolo adoperato
nella~(\ref{semiconductors_1})):

\begin{equation}
	\sigma = 1/\rho \label{semiconductors_4}
\end{equation}


\section{Conduzione elettrica nei semiconduttori in presenza di impurezze}

La conduttivit\`a nei semiconduttori allo stato puro \`e estremamente
bassa, a causa dell'esiguo numero di elettroni liberi per unit\`a di
volume. In effetti, nel silicio allo stato puro i legami atomici
covalenti\index{Legami atomici! covalenti} tra atomi contigui
determinano una struttura cristallina estremamente stabile. Il
silicio, tetravalente, forma legami covalenti che possono esser
qualitativamente illustrati, in un piano, come mostrato in
figura~\ref{cystal_structure}.
 
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/cystal_structure.eps,width=7 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Schema dei legami covalenti nel silicio cristallino}
\protect\label{cystal_structure}
\end{figure}

Nella figura sono mostrati gli atomi (pallini solidi), gli elettroni
(punti) ed i legami covalenti (linee tratteggiate). Ciascun atomo ha
quattro elettroni di valenza. Nella struttura cristallina a questi
vengono ad aggiungersi quattro elettroni di valenza di altrettanti
atomi contigui, creando una struttura atomica estremamente stabile.


In tali condizioni la conduzione pu\`o solo aver luogo a causa della
rottura di qualcuno dei legami chimici covalenti\index{Legami chimici!
covalenti}, causata dall'agitazione termica.
 
Se, a causa di tale agitazione, un elettrone viene liberato, esso, in
presenza di un campo elettrico, contribuir\`a alla corrente elettrica.
 
Notiamo che, se $n$ \`e il numero di elettroni resi
liberi\index{Elettroni! di conduzione} per unit\`a di volume, essi
lasciano dietro di s\`e un ugual numero di lacune\index{Lacune}
libere, cio\`e di siti atomici dove i legami chimici richiederebbero
un elettrone. Tali lacune si comportano come cariche positive libere:
sotto l'azione di un campo elettrico esse si muovono nella direzione
del campo dando un proprio contributo alla corrente. Tale contributo
si somma a quello dovuto agli elettroni. Ci\`o \`e stato verificato
sperimentalmente facendo uso dell'effetto Hall\index{Hall! effetto
Hall}.
 
Se indichiamo con $p$ la concentrazione delle cariche positive
libere\index{Lacune! concentrazione intrinseca delle}, avremo per il
loro contributo alla densit\`a di corrente:

\begin{equation}
	J_p=p \mu_p q E \label{semiconductors_5}
\end{equation}
 
 
dove $\mu_p$ \`e la mobilit\`a delle lacune\index{Lacune! mobilit\`a
delle}. Questa differisce da quella degli elettroni
$\mu_n$\index{Elettroni! mobilit\`a degli}:

\begin{equation}
\mu_p \simeq 500 \left[cm^2/V s \right] \label{semiconductors_6}
\end{equation}
\begin{equation}
\mu_n \simeq 1300 \left[cm^2/V s \right] \label{semiconductors_7}
\end{equation}
  
  
La densit\`a di corrente complessiva sar\`a:

\begin{equation}
	J=n \mu_n q E+p \mu_p q E\;=\;\left(n \mu_n + p \mu_p\right) q
	E \;=\;\sigma E \label{semiconductors_8}
\end{equation}
   
cio\`e:

\begin{equation}
\sigma = (n \mu_n + p \mu_p) q \label{semiconductors_9}
\end{equation}
   
Come accennato, i moti d'agitazione termica liberano un ugual numero
di elettroni e lacune per unit\`a di volume:

\begin{equation}
n=p \equiv n_i \label{semiconductors_10}
\end{equation}
 
$n_i$ \`e nota come la \emph{concentrazione intrinseca} di
elettroni\index{Elettroni! concentrazione intrinseca degli} (lacune)
nel silicio allo stato puro.
  
Si noti per\`o che se un qualche meccanismo interviene a modificare
una delle due concentrazioni (e l'introduzione di opportune impurezze
\`e un tale meccanismo) quella dell'altro componente cambia in verso
opposto, in modo tale che sia sempre:

\begin{equation}
n p = n_i^2 \label{semiconductors_11}
\end{equation}
   
Tale relazione \`e nota come \emph{legge dell'azione di
massa}\index{Legge dell'azione di massa}.
    
Il parametro $n_i$ dipende dalla temperatura ed \`e esprimibile come:

\begin{equation}
n_i = A_0 T^3 e^{-E_{G_0}/kT} \label{semiconductors_12}
\end{equation}

dove T \`e la temperatura assoluta, k la costante di Boltzmann (in
$eV/^oK$), $A_0$ \`e una costante ed $E_{G_0}$ \`e l'energia
necessaria a rompere un legame covalente a $0 \,^oC$.
  
 
Per il silicio a $300\;^oK$ si ha:

\[
n_i \simeq 1.5 \cdot 10^{10} /cm^3
\]
  
  
mentre il numero di atomi/$cm^3$ \`e all'incirca $10^{22}$. La
dipendenza di $E_G$ dalla temperatura \`e approssimativamente:

\[
E_G(T) \sim \,10^{-4} T
\]
  
   
A temperatura ambiente: $E_{G_0} \simeq 1.1 eV$.
    
Introducendo nel materiale piccole quantit\`a di impurezze
(\emph{drogaggio})\index{Drogaggio! di un semiconduttore}, la
conduttivit\`a pu\`o variare di molti ordini di grandezza. Le
impurezze comunemente adoperate sono atomi pentavalenti (come
l'arsenico)\index{Drogaggio! con arsenico} o trivalenti (come il
boro)\index{Drogaggio! con Boro}. Nel primo caso l'atomo che viene a
sostituire, nella struttura cristallina, un atomo di silicio, ha un
elettrone che risulter\`a pi\`u debolmente legato e contribuir\`a alla
concentrazione di elettroni liberi. Gli atomi che costituiscono tale
tipo di impurezze sono noti come \emph{donori}\index{Donori}. Nel caso
in cui il \emph{drogaggio} venga effettuato con una sostanza
trivalente, l'atomo che, nella struttura cristallina, viene a
sostituire un atomo di silicio ha un elettrone in meno (dal punto di
vista chimico) ed \`e quindi in grado di \emph{catturare} un elettrone
libero. Si parla in tal caso di un atomo
\emph{accettore}\index{Accettori}.  Nel primo caso si dice che il
drogaggio \`e di tipo $n$, nel secondo di tipo $p$.  Se indichiamo,
nel caso pentavalente, con $N_D$ la concentrazione dei donori avremo,
nell'ipotesi che sia $N_D \gg n_i$:

\[
n = N_D
\]

\[
p \cdot n = p \cdot N_D = n_i^2
\]
  
da cui:
\[
p = \frac{n_i^2}{N_D}=\frac{n_i}{N_D} n_i \;\ll\;n_i
\]
 
cio\`e la concentrazione di lacune sar\`a fortemente ridotta. Si dice
che in tal caso gli elettroni sono i \emph{portatori
maggioritari}\index{Portatori di carica! maggioritari}, le lacune i
\emph{portatori minoritari}\index{Portatori di carica!
minoritari}. L'opposto ovviamente avviene se il drogaggio \`e di tipo
$p$.
  
Esaminiamo un esempio. La conduttivit\`a del silicio allo stato puro:
\[
\sigma = n_i q \left(\mu_n + \mu_p \right)
\]
 
facendo uso dei valori numerici:

\[
n_i = 1.5 \cdot 10^{10} \;cm^{-3}
\]
\[
q = 1.6 \cdot 10^{-19}\; C
\]
\[
\mu_n = 1300 \;cm^2 V^{-1} s^{-1}
\]
\[
\mu_p = 500 \;cm^2 V^{-1} s^{-1}
\]


\`e uguale a:

\[
\sigma = 4.32 \cdot 10^{-6} \;\Omega^{-1} cm^{-1}
\]

 
 
da cui:
\[
\rho=2.31 \cdot 10^5 \;\Omega cm
\]

Ammettiamo ora di aggiungere un donore per ogni $10^8$ atomi di
silicio. Avremo per il numero di donori/$cm^3$:

\[
N_D = \frac{\it{N_{Av}} d}{P} \;10^{-8}
\]
  
 
 
 
Dove $N_{Av}$ \`e il numero di Avogadro, $d$ la densit\`a e P il peso
molecolare.

Sostituendo i valori numerici:

\[
N_{Av}=6.02 \;10^{23}
\]
\[
P=28.1
\]
\[
d=2.33 \;g \,cm^{-3}
\]
 


troviamo:

\[
n=N_D = 4.99 \;10^{14} \;cm^{-3}
\]
 
mentre la concentrazione delle lacune diviene, per la legge
dell'azione di massa, del tutto trascurabile.
 
La conduttivit\`a diviene allora:
\[
\sigma \simeq n q \mu_n = 0.1 \;\left(\Omega cm\right)^{-1}
\]
 

e quindi:
\[
\rho = 9.6 \; \left(\Omega cm\right)
\]


Il rapporto tra il nuovo valore della resistivit\`a e quello relativo
al silicio allo stato puro diviene allora:

\[
R_{\rho}=\frac{9.6}{2.31 \; 10^5} \;=\;4.16 \;10^{-5}
\]


cio\`e una diminuzione di un fattore 24,000.

Ci\`o \`e in ultima analisi legato al fatto che la percentuale
($10^{-8}$) di atomi aggiunti significa $5 \;10^{14}$ donori/$cm^3$,
da confrontare con $1.5 \;10^{10}$ elettroni nel silicio allo stato
puro.


\section{Diffusione in presenza di un gradiente di concentrazione}

Se un semiconduttore, quale il silicio, \`e drogato in modo non
uniforme, inizia ad aver luogo un processo di
diffusione\index{Diffusione! in un semiconduttore} dei portatori
liberi\index{Portatori liberi} (elettroni o lacune) da quelle regioni
dove la concentrazione \`e pi\`u elevata verso zone di minor
concentrazione. Il processo ha un'origine puramente statistica ed \`e
analogo alla diffusione di un gas da regioni di maggior densit\`a
verso quelle dove la densit\`a \`e minore.

Consideriamo infatti un lungo tubo rettilineo pieno di un gas con
concentrazione $n(x)$ non uniforme e sia l'asse x parallelo alla
direzione del tubo~(figura~\ref{diffusione_gas}).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diffusione_gas.eps,width=10 cm,
height=3 cm}}\end{center}
\caption{Diffusione in un tubo pieno di gas con concentrazione non
uniforme} \protect\label{diffusione_gas}
\end{figure}



Se S \`e la sezione del tubo, $J(x)$ la densit\`a di corrente (cio\`e
il numero di molecole che nell'unit\`a di tempo attraversano l'unit\`a
di superficie nella posizione di ascissa x) l'incremento per unit\`a
di tempo del numero di particelle nello strato tratteggiato in figura
\`e dato da:

\[
S\left[J(x)-J(x+dx)\right]=-S\frac{dJ(x)}{dx} dx
\]

 
Se indichiamo con $n(x,t)$ il numero di atomi per unit\`a di volume,
tale incremento, nel punto di ascissa $x$, \`e anche dato da:

\[
S dx \frac{dn}{dt}
\]
 
Per cui si ha :
\[
\frac{dJ}{dx}=-\frac{dn}{dt}
\]


ovvero:

\[
dJ=-\frac{dn}{dt}dx = - \frac{dn}{dx} \frac{dx}{dt} dx
\]


cio\`e:

\begin{equation}
J=-D \frac{dn}{dx} \label{semiconductors_13}
\end{equation}

Questa equazione ci dice che la densit\`a di corrente \`e
proporzionale al gradiente della densit\`a, cambiato di segno.

Il parametro $D$ \`e noto come \emph{coefficiente di
diffusione}\index{Diffusione! coefficiente di}.
 
Un fenomeno identico ha luogo nel caso della diffusione dei portatori
di carica in una barretta di un semiconduttore ove sia stato
effettuato un drogaggio non uniforme\index{Drogaggio! non uniforme}.
  
Scriveremo quindi in tal caso per la densit\`a di corrente
elettrica\index{Densit\`a di corrente}:

\begin{equation}
J_p(x)=-q D_p \frac{dp}{dx} \label{semiconductors_14}
\end{equation}

nel caso di un drogaggio non uniforme di portatori
positivi\index{Drogaggio! non uniforme di lacune} (lacune).  Qui $D_p$
\`e il coefficiente di diffusione per le lacune e $p(x)$ il gradiente
di concentrazione delle stesse.
 
Analogamente, nel caso di un drogaggio di tipo $n$
(elettroni)\index{Drogaggio! non uniforme di elettroni} avremo:

\begin{equation}
J_n(x)=q D_n \frac{dn}{dx} \label{semiconductors_15}
\end{equation}

dove $D_n$ \`e il coefficiente di diffusione per gli elettroni e dove
l'assenza del segno (-) presente nella~(\ref{semiconductors_14}) \`e
legato al fatto che ora la carica dei portatori \`e negativa (q \`e il
modulo della carica elettrica).


Sussiste la seguente relazione (nota come equazione di
Einstein)\index{Einstein! equazione di} tra i coefficienti di
diffusione e le mobilit\`a:

\begin{equation}
\frac{D_p}{\mu_p}=\frac{D_n}{\mu_n} \equiv V_T = \frac{\overline{k}
T}{q} \simeq \frac{T}{11600} \label{semiconductors_16}
\end{equation}
 


dove $\overline{k}$ \`e la costante di Boltzmann in $Joule/^ok$ e T la
temperatura assoluta.


Il parametro $V_T$ nel sistema SI \`e esprimibile in Volt e, a
temperatura ambiente, vale approssimativamente 26 mV.

In presenza di un campo elettrico diretto lungo l'asse x, alla
corrente di diffusione viene a sommarsi quella dovuta al campo, data
dalle equazioni~(\ref{semiconductors_3})
e~(\ref{semiconductors_5}). La corrente totale sar\`a allora data da:

\begin{equation}
J_p(x)=q \mu_p p E - q D_p \frac{dp}{dx} \label{semiconductors_17}
\end{equation}
 


nel caso di un gradiente di concentrazione di lacune\index{Gradiente
di concentrazione}, e da:
 
\begin{equation}
J_n(x)=q \mu_n n E + q D_n \frac{dn}{dx} \label{semiconductors_18}
\end{equation} 
 
se \`e presente un gradiente di concentrazione di elettroni.
 
In condizioni stazionarie, a circuito aperto, la densit\`a di corrente
totale deve annullarsi.  Avremo cio\`e :

\[
\mu_p p E = D_p \frac{dp}{dx}
\]


da cui, con E legato al potenziale da:

\[
E=-\frac{dV}{dx}
\]


si ottiene:

\[
\frac{D_p}{\mu_p} \frac{dp}{dx}=-p \frac{dV}{dx}
\]

  
cio\`e :

\[
dV=-V_T \frac{dp}{p}
\]

che, integrata fra due generici punti 1 e 2, fornisce:

\begin{equation}
V_{12}\equiv V_2 - V_1 = V_T \ln \frac{p(x_1)}{p(x_2)}=V_T \ln
\frac{p_1}{p_2} \label{semiconductors_19}
\end{equation}

o anche:

\begin{equation}
p_1=p_2 e^{V_{21}/V_T} \label{semiconductors_20}
\end{equation}

la~(\ref{semiconductors_20}) \`e nota come equazione di
Boltzmann\index{Boltzmann! equazione di}.  L'analoga equazione per le
lacune \`e:

\begin{equation}
n_1=n_2 e^{-V_{21}/V_T} \label{semiconductors_21}
\end{equation}


Moltiplicando membro a membro le equazioni~(\ref{semiconductors_20})
e~(\ref{semiconductors_21}), riotteniamo la legge dell'azione di
massa:
\[
n_1 p_1 = n_2 p_2
\]
 
 
\section{Giunzioni p-n}

Se in una barretta di silicio viene effettuato un drogaggio di tipo p
in una met\`a e di tipo n nell'altra, come mostrato in
figura~\ref{silicon_semiconductor_junction_ab}, si avr\`a in un tempo
brevissimo una diffusione di lacune da sinistra verso destra ed
un'analoga diffusione di elettroni da destra verso sinistra.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_semiconductor_junction_ab.eps,width=8 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Schema di una giunzione p-n. Grafico superiore: distribuzione
dei portatori nella giunzione appena prodotta. Grafico inferiore:
distribuzione dei portatori all'equilibrio}
\protect\label{silicon_semiconductor_junction_ab}
\end{figure}

Tale processo \`e rapidamente contrastato dal campo elettrico, diretto
da destra verso sinistra, che nasce come conseguenza di tale
flusso. Si raggiunge cos\`i una situazione di equilibrio in cui, a
circuito aperto, non \`e pi\`u presente alcuna corrente. Notiamo che
gli elettroni che dalla zona n diffondono verso la zona p, hanno
un'e\-le\-va\-tis\-si\-ma probabilit\`a di essere ``catturati'' dalle
lacune presenti in tale zona non appena essi abbiano superato la
giunzione. Analogamente, le lacune che dalla zona p fluiscono verso la
zona n sono catturate dagli elettroni presenti in tale zona subito al
di l\`a della giunzione\index{Giunzione! giunzione p-n}. La zona dai
due lati della giunzione viene in tal modo ad essere priva di cariche
libere. A tale zona si d\`a il nome di \emph{zona di
svuotamento}\index{Zona di svuotamento} o \emph{zona di
transizione}\index{Zona di transizione} o anche \emph{zona di carica
spaziale}\index{Zona di carica spaziale}.

Lo spessore della zona di svuotamento \`e tipicamente molto piccolo,
ma pu\`o essere aumentato applicando un'opportuna differenza di
potenziale ``inversa'', come vedremo tra poco.

Se indichiamo con $p_{p_0}$ la concentrazione iniziale (cio\`e prima
che la diffusione abbia luogo) di lacune sul lato sinistro della
giunzione e con $p_{n_0}$ l'analoga concentrazione di lacune sul lato
destro, con $N_A$ la concentrazione di accettori\index{Concentrazione!
di accettori} sul lato p con $N_D$ la concentrazione di
donori\index{Concentrazione! di donori} sul lato n, avremo:
\[
p_{p_0}=N_A
\]
\[
p_{n_0}=\frac{n_i^2}{N_D}
\]


Segue allora dalla~(\ref{semiconductors_19}) che tra due punti 1 e 2,
situati il primo a sinistra ed il secondo a destra della giunzione, si
avr\`a una differenza di potenziale data da:

\begin{equation}
V_0=V_{21}=V_T \ln \frac{p_{p_0}}{p_{n_0}} = V_T \ln \frac{N_A
N_D}{n_i^2} \label{semiconductors_22}
\end{equation}
  


Le figure~\ref{silicon_semiconductor_junction_ab}~(a)~e~(b) illustrano
ci\`o che avviene dei portatori di carica a seguito della
diffusione. La zona all'immediata sinistra della giunzione viene a
perdere lacune a causa della diffusione di queste verso la zona
n. Essa acquista cos\`i una carica netta negativa. Analogamente la
zona all'immediata destra della giunzione viene a perdere elettroni a
causa della diffusione di questi verso la zona p. Essa acquista cos\`i
una carica netta positiva.

L'andamento qualitativo della distribuzione delle cariche \`e mostrato
nella parte superiore della
figura~\ref{silicon_semiconductor_junction_cd}. Nasce come conseguenza
un campo elettrico rivolto nel verso negativo dell'asse x, il cui
andamento \`e mostrato nella parte inferiore della figura. Il
corrispondente andamento del potenziale \`e mostrato nella parte
superiore della figura~\ref{silicon_semiconductor_junction_ef}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_semiconductor_junction_cd.eps,width=9 cm,
height=12 cm}}\end{center}
\caption{Grafico superiore: andamento della carica netta attraverso
una giunzione p-n. Grafico inferiore: andamento del campo elettrico.}
\protect\label{silicon_semiconductor_junction_cd}
\end{figure}

La barriera di potenziale\index{Barriera di potenziale! in una
giunzione p-n} che cos\`i si crea, impedisce alle lacune presenti
nella zona p di continuare a diffondere verso la zona n, e viceversa,
agli elettroni presenti nella zona n di diffondere verso la zona p. In
realt\`a la situazione \`e un tantino pi\`u complicata, poich\'e i
portatori liberi (elettroni nella zona n e lacune nella zona p) hanno
una distribuzione di energie che, classicamente, \`e descritta dalla
funzione di Boltzmann:

\begin{equation}
f(\epsilon)=Ce^{-\epsilon/kT} \label{semiconduttori_boltzmann}
\end{equation}


che ci d\`a il numero di portatori di carica aventi energia maggiore
di $\epsilon$. In questa relazione, k \`e la costante di Boltzmann e T
la temperatura assoluta. Esiste quindi un certo numero di portatori di
carica con energia sufficiente a superare la barriera di potenziale
$V_0$. Ci\`o costituisce una corrente diretta dal lato p verso il lato
n. Tuttavia la corrente netta totale risulta nulla. Ci\`o \`e dovuto
al fatto che nella zona n esistono, sia pure in piccolissima
concentrazione, cariche positive (lacune) libere. La presenza di
queste lacune (portatori minoritari) \`e legata ai moti d'agitazione
termica. Queste possono diffondere nella zona n verso la giunzione
dove, a causa del verso del campo, sono rapidamente accelerate verso
la zona p. Analogamente esistono nella zona p elettroni liberi
(portatori minoritari) che diffondono verso la giunzione e sono poi
rapidamente accelerati dal campo verso la zona n. L'insieme di queste
due correnti, nota complessivamente come ``corrente termica''
$I_s$,\index{Corrente! termica} controbilancia all'equilibrio la
corrente legata alle cariche maggioritarie che hanno energia
sufficientemente elevata da superare la barriera di potenziale
(corrente di ricombinazione, $I_r$).

All'equilibrio quindi avremo:

\[
I_s=I_r
\]

ora, la corrente di ricombinazione\index{Corrente! di ricombinazione},
per quanto visto \`e proporzionale a:

\[
I_r=C e^{-q V_0/kT}
\]

ottenuta dalla~(\ref{semiconduttori_boltzmann}) sostituendo ad
$\epsilon$ l'energia $q V_0$ corrispondente alla barriera di
potenziale che le cariche debbono superare.

Notiamo ancora che la corrente termica $I_s$ non dipende dall'altezza
della barriera di potenziale $V_0$; se quindi l'altezza della barriera
viene alterata per una qualche azione esterna, $I_s$ rimane uguale a:

\[
I_s=C e^{-q V_0/kT}
\]

 
 
mentre la corrente di ricombinazione $I_r$ diviene:

\[
I_r=Ce^{-q V'/kT}
\]

dove $V'$ \`e il nuovo valore della barriera di potenziale.

Immaginiamo ora che al dispositivo considerato venga applicata una
polarizzazione inversa\index{Polarizzazione! inversa}, con il lato n
collegato al positivo di una batteria V ed il lato p collegato al
negativo. La polarit\`a \`e tale da far allontanare dalla giunzione
sia lacune nella zona p che elettroni nella zona n. Di conseguenza, la
regione con densit\`a di carica negativa si estende ulteriormente alla
sinistra della giunzione e quella con densit\`a di carica positiva si
estende a destra. Si ha cio\`e un allargamento della zona di
svuotamento, un conseguente aumento della differenza di potenziale,
che ora diviene $V_0+V$ ed in definitiva nessun sostanziale passaggio
di corrente. Ci\`o \`e mostrato nella parte inferiore della
figura~\ref{silicon_semiconductor_junction_ef}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_semiconductor_junction_ef.eps,width=10 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Grafico superiore: andamento del potenziale attraverso una
giunzione p-n. Il grafico inferiore mostra come il potenziale venga
modificato dall'applicazione di una tensione inversa}
\protect\label{silicon_semiconductor_junction_ef}
\end{figure}

Se al contrario ammettiamo che la giunzione sia polarizzata in modo
diretto\index{Polarizzazione! diretta}, si avr\`a una riduzione della
barriera di potenziale ed un flusso di corrente.

Nel primo caso avremo:

\[
V'=V_0+V
\]
 e nel secondo:
 
 \[
 V'=V_0-V
 \]
 
In entrambi i casi avremo una differenza tra $I_s$ ed $I_r$ e quindi
una corrente netta.
 
Esaminiamo dapprima il caso in cui la polarizzazione sia
\emph{diretta}\index{Polarizzazione! diretta}. La corrente sar\`a
allora:
 
 \[
 I=I_r-I_s=Ce^{-q(V_0-V)/kt} \;-\;Ce^{-q V_0/kT}=Ce^{-q
 V_0/kT}\left(e^{q V/kT}-1\right)=
\]

\begin{equation}
=I_0 \left(e^{q V/kT}-1\right)
\label{semiconductor_diode_equation}\index{Diodo! equazione del}
 \end{equation}
 
con:

\[
I_0=Ce^{-q V_0/kT}
\]


Nel caso in cui la polarizzazione si inverte, cambia semplicemente il
segno di V nella~(\ref{semiconductor_diode_equation}). Questa
equazione pu\`o quindi essere adoperata per descrivere il
funzionamento del diodo sia nel caso in cui la polarizzazione sia
diretta\index{Diodo! polarizzato direttamente} che nel caso di
polarizzazione\index{Diodo! polarizzato inversamente}
inversa\footnote{Notiamo che se V \`e positivo e $qV$ molto maggiore
di $kT$, la~(\ref{semiconductor_diode_equation})\index{Diodo!
equazione del} diviene approssimativamente $I=I_0 e^{q V_0/kT}$ e la
corrente pu\`o acquistare valori elevati. Se viceversa V \`e negativo
(e $qV$ maggiore in modulo di $kT$) avremo: $I=-I_0$, una corrente
molto piccola.}.

Questo \`e il comportamento di un diodo raddrizzatore\index{Diodo!
equazione del}, il cui simbolo \`e mostrato in
figura~\ref{silicon_diode_symbol} e dove \`e anche indicato il verso
in cui la corrente pu\`o fluire in polarizzazione diretta ($qV \gg
kT$).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_diode_symbol.eps,width=6 cm,
height=3 cm}}\end{center}
\caption{Simbolo adoperato per un normale diodo a semiconduttore. Il
verso indicato per la corrente \`e quello in cui essa scorre quando si
applichi una polarizzazione diretta}
\protect\label{silicon_diode_symbol}
\end{figure}

  

\section{Caratteristica I-V del diodo}

La caratteristica del diodo\index{Diodo! caratteristica del}, cio\`e
la relazione tra tensione applicata e corrente nel diodo \`e
esprimibile nella forma:

\begin{equation}
I=I_0 \left(e^{V_D/\eta V_T}-1 \right) \label{semiconductors_23}
\end{equation}
  


Dove $\eta$ \`e un parametro numerico che per il silicio vale
all'incirca $1 \div 2$, ed $I_0$ \`e una costante, nota come
\emph{corrente inversa di saturazione}\index{Corrente! inversa di
saturazione}. $I_0$ \`e molto piccolo: esso pu\`o valere $10^{-14}
\div 10^{-15} \;A$ nel caso del silicio.

L'andamento della funzione espressa
dall'equazione~(\ref{semiconductors_23}) \`e mostrato in
figura~\ref{silicon_diode_characteristics}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_diode_characteristics.eps,width=10 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Caratteristica corrente-tensione per un diodo a giunzione
(equazione~(\ref{semiconductors_23}))}
\protect\label{silicon_diode_characteristics}
\end{figure}

Vediamo che per tensioni applicate negative, la corrente risulta
estremamente piccola (non visibile nel grafico).

Se $V_D$ \`e positivo (polarizzazione diretta)\index{Diodo!
polarizzato direttamente} possiamo distinguere il caso in cui sia $V_D
\gg V_T$ da quello in cui sia $V_D \leq V_T$.
 
Nel primo caso il termine esponenziale dominer\`a rispetto al termine
costante. L'andamento della corrente sar\`a cio\`e un esponenziale
crescente. Esaminiamo alcuni casi numerici, ammettendo che sia
$I_0=10^{-14} \;A$, $\eta=1$, $V_T=25\;mV$
(Tabella~(\ref{silici_tab_1})).

\begin{table}[h!]  
\begin{center}
\begin{tabular}{|c | l|}
\hline \hline $V_D\;(mV)$ & $I\;(A)$ \\ \hline 25 & $2.7 \;10^{-14}$
\\ \hline 100 & $5.5 \;10^{-13}$ \\ \hline 200 & $3.0 \;10^{-11}$ \\
\hline 400 & $8.9 \;10^{-8}$ \\ \hline 600 & $26.0 \;10^{-5}$ \\
\hline 700 & $14.5 \;10^{-3}$ \\ \hline 800 & $790.0 \;10^{-3}$ \\
\hline \hline
\end{tabular}
\caption{Esempi numerici di correnti rilevate attraverso un diodo (I)
per una tensioni applicate ai suoi capi pari a $V_D$ per un diodo con
caratteristiche: $I_0=10^{-14} \;A$, $\eta=1$, $V_T=25\;mV$. }
\protect\label{silici_tab_1}
\end{center}
\end{table} 


Vediamo che la corrente \`e trascurabile fino a tensioni applicate di
$\simeq 0.6\;V$. A $0.7\;V$ la corrente \`e aumentata in misura
apprezzabile. Normalmente si assume che il diodo sia interdetto per
tensioni dirette inferiori a $0.65~V$, mentre conduca per tensioni
$\geq 0.7\;V$.  Come si vede dalla tabella, quando il diodo \`e in
conduzione, a causa della rapida variazione della corrente al variare
della tensione, si ha che ad importanti variazioni di corrente
corrispondano piccolissime variazioni di tensione. Ci\`o pu\`o esser
visto in modo quantitativo facendo uso della~(\ref{semiconductors_23})
nel caso $V_D \gg \eta V_T$. Per due diversi valori della corrente,
$I_1$ ed $I_2$ avremo infatti:
\[
I_1=I_0 e^{\eta V_{D_1}/V_T}
\]
\[
I_2=I_0 e^{\eta V_{D_2}/V_T}
\]
Dal rapporto di queste due equazioni si ha allora:
\[
\frac{I_1}{I_2}=e^{\eta(V_{D_1}-V_{D_2})/V_T}
\]
e, prendendo il logaritmo di entrambi i membri:
\[
V_{D_1}-V_{D_2}=\frac{V_T}{\eta} \ln \frac{I_1}{I_2} \simeq 25\;mV
\times \ln \frac{I_1}{I_2}
\]
Se la corrente $I_1$ \`e pari a dieci volte $I_2$ si ha:
\[
V_{D_1}-V_{D_2} \simeq 57\;mV
\]
In altri termini, la caduta di potenziale ai capi del diodo cambia
molto poco al variare della corrente che lo attraversa.  Ci\`o \`e
legato al fatto che la caratteristica di
figura~\ref{silicon_diode_characteristics}, quando il diodo conduce,
\`e all'incirca una retta verticale (di pendenza poco inferiore a
$\pi/2$).

Per una resistenza $R$ la legge di Ohm \`e:

\[
\frac{1}{R}=\frac{I}{V}
\]

Un valore elevato del rapporto $I/V$ corrisponde ad un piccolo valore
della resistenza, cio\`e dell'inverso della pendenza della retta che
ne descrive il comportamento nel piano $I-V$.

Si pu\`o quindi parlare di una resistenza associata al diodo quando
questo \`e in conduzione. Tale resistenza, che denoteremo con
$R_f$\index{$R_f$ resistenza diretta del diodo}, ha un valore
estremamente piccolo.

Esaminando la caratteristica del diodo nella zona in cui esso \`e
polarizzato inversamente, vediamo che tale zona della caratteristica
corrisponde ad una resistenza di valore molto elevato, che nel seguito
indicheremo con $R_r$\index{$R_r$ resistenza inversa del diodo}.

Consideriamo ora l'esempio di
figura~\ref{silicon_diode_simple_circuit}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_diode_simple_circuit.eps,width=5.5 cm,
height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{Semplice circuito che utilizza un diodo}
\protect\label{silicon_diode_simple_circuit}
\end{figure}

L'equazione del circuito \`e~\footnote{Qui e nel seguito adopereremo
la seguente notazione per segnali di corrente (ed analoga per segnali
di tensione):
\[
I_D = \;corrente\;continua\;(quiescente).
\]
Cio\`e, una lettera maiuscola con sottoscritta maiuscola denota una
quantit\`a stazionaria.

\[
i_D = \;corrente\; totale
\]
Cio\`e, una lettera minuscola con sottoscritta maiuscola denota la
quantit\`a totale, somma di quella stazionaria e della componente
variabile.
\[
i_d= \;``segnale'' \; di\; corrente
\]
Cio\`e, una lettera minuscola con sottoscritta minuscola denota la
componente variabile.

In altre parole, nel caso della corrente si ha:
\[
i_D=I_D+i_d
\]
 .}:

\[
v_i=R i_D + v_D
\]

da cui:

\[
i_D=-\frac{1}{R} v_D + \frac{v_i}{R}
\]

che \`e l'equazione di una retta (retta di carico)\index{Retta di
carico! per un diodo} nel piano ($v_D-i_D$).  In quest'equazione $i_D$
e $v_D$ sono entrambe incognite. Tuttavia esse sono legate tra loro
dalla~(\ref{semiconductors_23}), per cui possono, in linea di
principio, esser facilmente calcolate.

Un modo per risolvere il problema \`e quello di ricorrere al grafico
della~(\ref{semiconductors_23}) e disegnare sul medesimo la retta di
carico, come mostrato nel grafico di
figura~\ref{silicon_diode_retta_carico}.  La retta ha una pendenza
pari a $-1/R$. Essa interseca l'asse verticale (corrente) per
$i_D=V_i/R$ e quello orizzontale (tensione) per $V_D=V_i$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_diode_retta_carico.eps,width=8 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Retta di carico per il diodo di
figura~\ref{silicon_diode_simple_circuit}}
\protect\label{silicon_diode_retta_carico}
\end{figure}


Esaminiamo ora ci\`o che accade se il diodo \`e polarizzato
inversamente\index{Diodo! polarizzazione inversa}, cio\`e se $v_D \leq
0$.  In tale regione ci aspetteremmo che $I\simeq-I_0$, che cio\`e la
corrente (che ora fluisce in verso opposto) fosse trascurabilmente
piccola. In realt\`a si trova che, anche se molto piccola, questa
corrente \`e diversi ordini di grandezza pi\`u elevata di quanto
predetto dall'equazione del diodo. Per esempio, un diodo per piccoli
segnali, avente un valore di $I_0=10^{-14} \div 10^{-15}$ pu\`o
esibire una corrente inversa dell'ordine del $nA$. Inoltre tale
corrente aumenta all'aumentare della tensione inversa applicata
nonch\`e all'aumentare della temperatura.

Tale corrente \`e in parte legata alla presenza, in minute quantit\`a,
di portatori di carica di tipo p nella regione n e di tipo n nella
regione p ed in parte a perdite dielettriche.

I portatori di cui sopra vanno sotto il nome di \emph{portatori
minoritari}\index{Diodo! portatori minoritari}, per distinguerli dai
\emph{portatori maggioritari}\index{Diodo! portatori minoritari} che
sono quelli introdotti con il drogaggio delle due zone. La loro
presenza \`e dovuta alla rottura dei legami chimici, causata dai moti
di agitazione termica.

La corrente I, molto piccola per tensioni inverse applicate non
eccessivamente grandi, subisce un brusco aumento se la tensione
inversa applicata supera un certo valore (tensione di
\emph{breakdown})\index{Breakdown! tensione di}. Tale comportamento
\`e mostrato in figura~\ref{diode_zener_characteristics}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_zener_characteristics.eps,width=9 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Caratteristica di un diodo Zener}
\protect\label{diode_zener_characteristics}
\end{figure}




La tensione di breakdown \`e quella corrispondente al ``ginocchio''
nel grafico di figura e viene indicata con il simbolo $V_Z$ (dove Z
sta per \emph{Zener}). Al ``ginocchio'' la corrente aumenta molto
rapidamente all'aumentare della tensione applicata\footnote{molto
pi\'u rapidamente di quanto essa non aumenti per tensioni dirette
maggiori di $V_{\gamma}$.}. Per questo motivo i diodi possono essere
adoperati in questa regione come stabilizzatori di
tensione\index{Diodo! Zener! come stabilizzatori di tensione}. Sono
disponibili in commercio appositi diodi (diodi Zener)\index{Diodo!
Zener} con valori della tensione $V_Z$\index{Tensione Zener} stabiliti
dal produttore (di norma da qualche Volt a qualche centinaio di
Volt). Il simbolo adoperato per il diodo Zener \`e mostrato in
figura~\ref{zener_symbol}. La corrente fluisce nel verso indicato con
$I_f$ in figura se la polarizzazione \`e diretta e maggiore di
$V_{\gamma}$, nel verso indicato con $I_r$ se la polarizzazione \`e
inversa e maggiore (in modulo) di $V_Z$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/zener_symbol.eps,width=6 cm,
height=3 cm}}\end{center}
\caption{Simbolo adoperato per il diodo Zener. $I_f$ \`e la corrente
quando il diodo \`e polarizzato direttamente; $I_r$ quando \`e
polarizzato inversamente, con tensione maggiore di $V_Z$}
\protect\label{zener_symbol}
\end{figure}
 
 
\section{Resistenza differenziale del diodo e capacit\`a associate alla giunzione}

La caratteristica I-V del diodo:

\[
I=I_0 \left(e^{V/\eta V_T} -1\right)
\]

pu\`o, per segnali continui e polarizzazione diretta, essere
schematizzata come mostrato nella parte destra della
figura~\ref{silicon_diode_piecewise}, cio\`e sostituendo il tratto di
curva compreso tra 0 e 0.7~Volt con un tratto orizzontale (I=0) ed il
tratto esponenziale successivo con una retta avente una pendenza
determinata dal parametro $\eta V_T$.
 
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_diode_piecewise.eps,width=10 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Rappresentazione ``a tratti'' della caratteristica del diodo
(grafico di destra) confrontata con quella reale (grafico di
sinistra)} \protect\label{silicon_diode_piecewise}
\end{figure}

Ci\`o equivale a sostituire al diodo reale uno ideale\index{Diodo!
modello per piccoli segnali} (cio\`e avente $V_{\gamma}=0$ ed $R_f=0$)
in serie con un generatore di tensione di valore $V_{\gamma}\simeq
0.7\;V$ ed una resistenza $R_f$, come mostrato in
figura~\ref{real_diode}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/real_diode.eps,width=2 cm,
height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{Schematizzazione di un diodo reale, tramite un diodo ideale
(avente $V_{\gamma}=0$, in serie con una resistenza ed una batteria di
valore $V_{\gamma}=0.7$~V} \protect\label{real_diode}
\end{figure}

Se al diodo \`e invece applicato un segnale variabile, costituito
dalla somma di un segnale continuo (positivo) e di uno variabile, di
piccola ampiezza:

\[
V=V_0 + v
\]

(dove cio\`e $dV=v$).

avremo:
\[
i_D=I_0 e^{V/\eta V_T}
\]


da cui si ottiene che la componente variabile $i_d$ della corrente \`e
legata alla componente variabile $v$ della tensione, da:

\[
i_d \equiv d(i_D)=I_0 \frac{1}{\eta V_T} e^{V/\eta V_T} \,dV =
\frac{i_D}{\eta V_T} dV=\frac{i_D}{\eta V_T} v \simeq \frac{I}{\eta
V_T} v
\]

Ne segue:
\[
\frac{v}{i_d}\equiv r_d = \frac{\eta V_T}{I}\simeq \frac{25}{I(mA)}
\]


La grandezza $r_d$ \`e la \emph{resistenza differenziale} del
diodo\index{Diodo! resistenza differenziale}. Vediamo che la
resistenza differenziale dipende dalla corrente totale I che lo
attraversa e diminuisce all'aumentare di questa. Se quindi ad un diodo
\`e applicato un segnale variabile di tensione di piccola ampiezza, la
corrispondente variazione di corrente si ottiene di\-vi\-den\-do
l'ampiezza (variazione) del segnale di tensione per la resistenza
differenziale $r_d$.  Per $I=1\,mA$, la resistenza differenziale \`e
pari a circa $25\;\Omega$.

\subsection{Capacit\`a associate alla giunzione}

Se al diodo \`e applicato un segnale di alta frequenza, questo pu\`o
esser trasmesso anche nel caso in cui la polarizzazione applicata sia
inversa. In effetti, con tale polarizzazione la zona di svuotamento
pu\`o, con buona approssimazione, essere assimilata ad un dielettrico
che separa due zone ``conduttrici'', la zona $p$ e quella $n$. In tali
condizioni abbiamo l'equivalente di un minuscolo condensatore a facce
piane e parallele, in cui la separazione tra le armature \`e pari alla
larghezza $W$ della zona di svuotamento. Se A \`e l'area della
giunzione ed $\epsilon$ la costante dielettrica effettiva della zona
di svuotamento, la capacit\`a sar\`a data da:
\[
C_j=\frac{\epsilon A}{W}
\]
Questa \`e nota come ``capacit\`a incrementale'' o ``capacit\`a di
transizione''\index{Diodo! capacit\`a di transizione}.

Poich\`e $W$ cambia al cambiare della tensione inversa applicata,
varia corrispondentemente la capacit\`a del nostro condensatore. Si ha
cio\`e un condensatore la cui capacit\`a pu\`o esser fatta variare
applicando un comando elettrico (tensione) esterno. Dispositivi di
questo tipo sono disponibili in commercio ($varicap$)\index{Varicap}.

Analizziamo pi\`u in dettaglio il funzionamento del diodo in tali
condizioni. Se in un tempo dt cambiamo la tensione applicata di dV,
avremo una corrispondente variazione dQ della carica presente sul lato
$p$ della giunzione (uguale in modulo a quella presente sul lato
$n$). Avremo quindi una corrente:
\[
i=\frac{dQ}{dt}=\frac{dQ}{dV}\frac{dV}{dt}=C_j \frac{dV}{dt}
\]
Analizzando in dettaglio l'andamento di W in funzione della tensione
inversa applicata, si trova:

\begin{equation}
C_j = \frac{C_{j_0}}{\sqrt{1+\frac{V_R}{V_0}}}
\label{semiconductors_24}
\end{equation}

dove $V_R$ \`e la tensione inversa applicata, $V_0$ \`e la tensione
associata al diodo non polarizzato ($0.6 \div 0.8\;V$) e $C_{j_0}$ \`e
la capacit\`a del diodo per $V_R=0$.

Questa relazione \`e valida per una giunzione $p-n$ ``brusca''. Una
relazione di uso pi\`u generale \`e~\cite{sedra_smith}:

\begin{equation}
C_j = \frac{C_{j_0}}{\left(1+\frac{V_R}{V_0}\right)^m}
\label{semiconductors_25}
\end{equation}

dove m \`e una costante il cui valore dipende dal modo in cui la
concentrazione del drogaggio varia andando dal lato $p$ a quello
$n$. Tale parametro varia tra 1/3 ed 1/2.

Vediamo che in ogni caso la capacit\`a di transizione
$C_j$\index{Diodo! capacit\`a di transizione} decresce al crescere
della tensione inversa applicata $V_R$. Valori tipici di $C_j$ sono di
circa 1~pF.

Se il diodo \`e polarizzato in modo diretto, la larghezza $W$ della
zona di svuotamento\index{Diodo! zona di svuotamento} diminuisce e di
conseguenza aumenta la capacit\`a di transizione $C_j$\index{Diodo!
capacit\`a di transizione}. Tuttavia, per tale polarit\`a del
potenziale applicato, una seconda capacit\`a, molto pi\`u grande della
prima, interviene. Questa, nota come ``capacit\`a di diffusione'' o
``capacit\`a di immagazzinamento''\index{Diodo! capacit\`a di
diffusione}, \`e legata al tempo che i portatori di carica immessi da
una delle due regioni nell'altra, impiegano a ricombinarsi.

Esaminiamo ci\`o che accade. Se il diodo \`e polarizzato direttamente
da una batteria, questa immette lacune nella zona $p$ ed elettroni
nella zona $n$. Tali cariche, arrivando nella zona di svuotamento, si
ricombinano con le cariche legate che sono presenti in tali zone
(elettroni nella zona $p$ e lacune nella zona $n$), causando in tal
modo un restringimento della zona di svuotamento ed un abbassamento
della barriera di potenziale. Ci\`o a sua volta permette che ulteriori
lacune attraversino la giunzione dalla zona $p$ verso la zona $n$ e ad
ulteriori elettroni di muoversi in verso contrario. Sono questi
movimenti di cariche che sono all'origine della conduzione nel diodo
quando esso \`e polarizzato direttamente.

Le cariche cos\`i immesse da una regione nell'altra debbono per\`o
\emph{ricombinarsi} con quelle di segno opposto che esse incontrano
nella nuova regione. Se indichiamo con $\tau$ il tempo medio che una
carica impiega a ricombinarsi e con Q la carica totale spostata in
tale tempo, la corrente sar\`a:
\[
I_D=I=\frac{Q}{\tau}=I_0 e^{V_D/\eta V_T}
\]

Se ora definiamo la capacit\`a di diffusione come:
\[
C_d=\frac{dQ}{dV_D}
\]
avremo:

\begin{equation}
C_d=\frac{\tau I_0}{\eta V_T} e^{V_D/\eta V_T}\;=\;\frac{\tau
I_D}{\eta V_T} \label{semiconductors_26}
\end{equation}

Ed essendo:
\[
r_d=\frac{\eta V_T}{I_D}
\]
troviamo infine:

\begin{equation}
C_d=\frac{\tau}{r_d} \label{semiconductors_27}
\end{equation}


Esaminiamo ad esempio un diodo al silicio, con $\eta=2$, $I_D=25
\;mA$, $V_T=25\;mV$ e $\tau=1\;ns$.  Troviamo:
\[
C_d=\frac{10^{-9} \cdot 25 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 25 \cdot
10^{-3}}\;=\;0.5\;nF
\]

che \`e molto maggiore di $C_j$.

Il parametro $\tau$, che \`e critico in questo contesto, pu\`o variare
tra pochi $ns$ e centinaia di $\mu s$.

\`E la presenza della capacit\`a di diffusione che limita l'uso dei
diodi a giunzione a frequenze molto elevate. Per applicazioni a tali
frequenze si pu\`o far uso di diodi basati su giunzioni
metallo-semiconduttore, noti come \emph{diodi
Schottky}\index{Schottky! diodi Schottky}, il cui simbolo \`e mostrato
in figura~\ref{schottky_symbol}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/schottky_symbol.eps,width=6 cm,
height=2 cm}}\end{center}
\caption{Simbolo adoperato per il diodo Schottky}
\protect\label{schottky_symbol}
\end{figure}

\section{Esempi di uso di diodi}

\subsection{Circuiti raddrizzatori}

Cominciamo con il considerare un semplice circuito
raddrizzatore\index{Raddrizzatori}, che fa uso di una resistenza in
serie ad un diodo (figura~\ref{diode_example_1}).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_1.eps,width=6 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Semplice circuito raddrizzatore a diodo}
\protect\label{diode_example_1}
\end{figure}

Il segnale alternato applicato \`e:
\[
V(t)=V_0 \sin(\omega t)
\]
con:
\[
V_0=5\;V
\]
ed:
\[
f=\frac{\omega}{2 \pi}=60\;Hz
\]

Inoltre \`e $R=100 \Omega$.

Nel nostro esempio il diodo ha un valore di $V_{\gamma}=0.81\;V$. Una
corrente potr\`a fluire nella resistenza R se la differenza di
potenziale $V_D$ ai capi del diodo supera $V_{\gamma}$. L'equazione
del circuito \`e:
\[
V_0 \sin(\omega t)=V_D+R I
\]




La corrente si annulla per:
\[
V_0 \sin(\omega t)=V_D\simeq 0.81\;V
\]
ci\`o avviene per:
\[
\sin(\omega t)=\frac{0.81}{5} \simeq 0.162
\]
Da questa si trova che il primo istante in cui la corrente si annulla
\`e:
\[
t_1 \simeq 0.43\;ms
\]
La corrente si annulla nuovamente per:
\[
t_2 \simeq 7.9 \;ms
\]

Quando la corrente si annulla, la tensione in output si annulla
anch'essa.

Il grafico di figura~\ref{diode_example_1_out} mostra il segnale in
ingresso (linea solida) e quello in uscita (linea tratteggiata),
ottenuti facendo uso della versione Demo del programma di simulazione
Microcap~\cite{microcap}.  La curva nel grafico inferiore \`e la
differenza di potenziale ai capi del diodo (cio\`e la differenza delle
due curve nel grafico superiore).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_1_out.eps,width=8 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Il grafico superiore mostra la forma d'onda sinusoidale in
ingresso (curva a tratto solido) ed in uscita (curva a tratteggio) per
il circuito raddrizzatore di figura~\ref{diode_example_1}. La curva
inferiore \`e la tensione ai capi del diodo. Le curve sono state
ottenute, con i valori dei componenti e dei segnali indicati nel
testo, facendo uso del programma Microcap}
\protect\label{diode_example_1_out}
\end{figure} 

Come si vede, nel segnale in uscita risulta ``tagliata'' la parte
inferiore. Il circuito ha ``raddrizzato'' l'onda in ingresso.


Se il $V_{\gamma}$ del diodo pu\`o esser trascurato rispetto
all'ampiezza del segnale applicato, allora l'intera semionda positiva
verr\`a ad essere trasmessa e quella negativa bloccata.


Analizziamo la risposta in tale approssimazione, per un segnale in
ingresso:

\[
V(t)=V_0 \cos(\omega t)
\]

Il segnale in uscita avr\`a un valor medio dato da:

\begin{equation}
V_{0,dc}=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} V_0 \cos(\omega t)
dt=\frac{1}{T}\int_{-T/4}^{T/4} V_0 \cos(\omega t) dt
\label{semiconductors_28}
\end{equation}

essendo nullo il contributo negli intervalli di tempo ($-T/2,-T/4$) e
($T/4,T/2$).

Questa pu\`o essere riscritta come:
\begin{equation}
V_{0,dc}=\frac{1}{\omega T}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}V_0 \cos(\omega t)
d(\omega t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} V_0 \cos x dx \;=\;
\frac{V_0}{\pi} \label{semiconductors_29}
\end{equation}

I raddrizzatori a diodi sono adoperati spesso per ottenere una
tensione continua a partire da una alternata. Ad esempio, se si vuole
alimentare un apparecchio radio portatile o ricaricare la batteria di
un telefonino, si fa uso di un trasformatore alimentato dalla rete
elettrica a 220 Volt per generare un segnale (della medesima
frequenza) di pochi Volt. Un successivo circuito raddrizzatore
converte questo in un segnale unipolare, ancora variabile, del tipo
appena descritto. Vedremo ora come si possa, ricorrendo ad opportuni
filtri, ridurre la componente variabile presente in tale segnale.

L'onda in uscita nel circuito di figura~\ref{diode_example_1} ha
componenti di Fourier a frequenze $\omega$, $2 \omega$, $3 \omega$, $4
\omega$ etc.  Analizziamo lo sviluppo in serie di Fourier, facendo uso
delle relazioni d'uso generale:
\[
f(t)=a_0 + a_1 \cos \omega t + b_1 \sin \omega t + a_2 \cos 2 \omega t
+ b_2 \sin 2 \omega t + a_3 \cos 3 \omega t + b_3 \sin 3 \omega t +
\cdots
\]

con i coefficienti $a_i$, $b_i$ dati da:
\[
a_0=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt
\]
\[
a_1 = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos \omega t dt
\]
\[
b_1= \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin \omega t dt
\]
\[
\cdots
\]
\[
a_m=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos m \omega t dt
\]
\[
b_m=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin m \omega t dt
\]

Nel nostro caso l'integrazione v\`a effettuata tra $-T/4$ e $T/4$,
poich\'e la nostra f(t) \`e nulla al di fuori di tale
intervallo. Inoltre, data la simmetria della funzione per uno scambio
$t \rightarrow -t$, tutti i coefficienti $b_n$ sono nulli. Effettuando
il calcolo dei vari integrali, si trova facilmente:

\begin{equation}
V(t)=V_0 \left(\frac{1}{\pi} + \frac{1}{2} \cos \omega t + \frac{2}{3
\pi} \cos 2 \omega t - \frac{2}{15 \pi} \cos 4 \omega t + \cdots
\right) \label{semiconductors_30}
\end{equation}

I termini successivi hanno coefficienti sempre pi\`u piccoli, e
saranno trascurati.

Volendo ``filtrare'' ulteriormente il segnale, ridurre cio\`e il
contributo delle armoniche, si pu\`o ricorrere ad un filtro
``passa-basso'' RC, come mostrato in figura~\ref{diode_example_2}:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_2.eps,width=7 cm,
height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito raddrizzatore a diodo. Il segnale \`e ulteriormente
``filtrato'' facendo uso dei componenti R-C aggiunti nella parte
destra del circuito} \protect\label{diode_example_2}
\end{figure} 

Ammettiamo che sia $R_L \ll R$ e scegliamo inoltre un valore di
capacit\`a tale che sia $RC=100/\omega$. In tal caso, la risposta del
circuito pu\`o esser facilmente ottenuta facendo uso del principio di
sovrapposizione. Infatti possiamo considerare la parte RC del circuito
come alimentata da un generatore ideale di tensione, di valore pari
alla tensione, gi\`a calcolata, presente ai capi di $R_L$. Essendo R
di valore grande rispetto ad $R_L$ essa costituisce un modesto carico
per il suddetto generatore, per cui possiamo ritenere che, con ottima
approssimazione, la tensione ai capi di $R_L$ gi\`a calcolata, in
assenza del circuito RC, sia uguale a quella in presenza di esso.

Possiamo inoltre, facendo uso del principio di sovrapposizione,
sostituire al suddetto generatore ideale, la serie dei tre generatori
mostrati in figura~\ref{diode_example_3}, corrispondenti ai primi tre
termini nello sviluppo~(\ref{semiconductors_30}).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_3.eps,width=9 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Schema adoperato per il calcolo del segnale all'uscita del
circuito di figura~\ref{diode_example_2}}
\protect\label{diode_example_3}
\end{figure} 

Dalla figura~\ref{diode_example_3} otteniamo, per il \emph{modulo}
della risposta ai singoli generatori:
\[
V_{out,dc}=\frac{V_0}{\pi}
\]
per il segnale continuo;

\[
V_{out,1}=\frac{V_0}{2} \frac{Z_C}{R+Z_C}
\]
per il segnale a frequenza angolare $\omega$, dove \`e $Z_C=1/j \omega
C$.

Sostituendo si ottiene per $V_{out,1}$:
\[
V_{out,1}= \frac{V_0}{2} \frac{1}{\sqrt{1+(\omega R
C)^2}}\;=\;\frac{V_0}{2} \frac{1}{\sqrt{1+100^2}}\simeq
\frac{V_0}{200}
\]
Per il termine successivo nello sviluppo, corrispondente al segnale di
frequenza angolare $2 \omega$, avremo:

\[
V_{out,2}=\frac{2 V_0}{3 \pi} \frac{1}{\sqrt{1+200^2}}=\frac{V_0}{300
\pi}
\]
Trascurando i termini di ordine pi\`u elevato, avremo quindi:
\[
V_0(t) \simeq V_0 \left(\frac{1}{\pi} + \frac{1}{200} \cos \omega t +
\frac{1}{300 \pi} \cos 2 \omega t + \cdots \right)
\]

Il rapporto tra il valore quadratico medio delle componenti variabili
(ripple) e quello della componente continua \'e pertanto:
\[
\rho = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{1}{200^2}+\frac{1}{(300
\pi)^2}} = \frac{\pi}{280} \simeq 0.011
\]

Vediamo cos\`i che la componente variabile (ripple) rappresenta appena
l'1$\%$ di quella continua.

\subsection{Rettificatore ad onda intera}

Nel circuito raddrizzatore appena discusso, solo una met\`a (quella
positiva) del segnale alternato applicato veniva trasmessa. \`E
possibile migliorare tale circuito facendo in modo che la met\`a
inferiore del segnale, cambiata di segno, sia anch'essa
trasmessa.\index{Diodo! rettificatore ad onda intera} Un circuito che
realizza tale funzione \`e quello di figura~\ref{diode_example_4}.
 
Il secondario del trasformatore ha una presa centrale, collegata a
massa. Durante la semionda positiva la tensione ai capi della met\`a
superiore del secondario \`e tale da polarizzare direttamente il diodo
$D_1$, mentre quella ai capi della met\`a inferiore polarizza $D_2$ in
modo inverso. In questa fase quindi la corrente segue il percorso
superiore indicato in figura e fluisce poi nel carico $R_L$ collegato
a massa. Durante la semionda negativa viene invece ad essere
polarizzato direttamente $D_2$ ed inversamente $D_1$. Vediamo allora
che la corrente seguir\`a il percorso indicato in figura dalla linea
inferiore, ma attraverser\`a $R_L$ nel medesimo verso di prima. Si
vede cio\`e che entrambe le semionde sono state raddrizzate.

Anche in questo caso \`e poi possibile diminuire il contributo delle
armoniche nella tensione ai capi di $R_L$, ponendo a valle un
opportuno circuito passa-basso.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_4.eps,width=12 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Rettificatore ad onda intera} \protect\label{diode_example_4}
\end{figure} 


\subsection{Rivelatore di picco}

\`E spesso necessario ricorrere a circuiti che \emph{memorizzino} per
un breve intervallo di tempo, il valore massimo che un segnale di
tensione ha raggiunto. Un tipico uso di circuiti di questo tipo si
incontra nei sistemi di ``sample-and-hold''\index{Sample-and-hold} che
precedono un Convertitore Analogico-Digitale (ADC).  La memorizzazione
del segnale di tensione pu\`o esser ottenuta facendo s\`i che esso
vada a caricare un condensatore. Occorre per\`o impedire che questo si
scarichi quando il segnale diminuisce o diviene negativo.
 
Il circuito di figura~\ref{diode_example_5}, noto come
\emph{rivelatore di picco}\index{Rivelatore di picco}, implementa tale
funzione.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_5.eps,width=7 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Rivelatore di picco} \protect\label{diode_example_5}
\end{figure} 


Se infatti il segnale $V_i$ \`e positivo e crescente, trascurando per
un attimo la resistenza $R_L$ ed ammettendo che sia $V_{\gamma}
\approx 0$, vediamo che il diodo $D$ viene ad esser polarizzato
direttamente e di conseguenza il condensatore si carica ``seguendo''
$V_i$. In realt\`a $V_{\gamma}$ non \`e zero, quindi avremo che la
tensione ai capi del condensatore sar\`a data da:

\[
V_C=V_i - V_{\gamma}
\]

Se ora $V_i$ comincia a diminuire, avremo che il condensatore, oramai
carico ad un certo valore $V_C$, mantiene tale valore (sempre
trascurando la resistenza $R_L$). Il diodo $D$ verr\`a ora ad essere
interdetto e non ci sar\`a alcuna corrente nei circuito. Se $V_i$
comincia a risalire nuovamente, il diodo verr\`a ad essere nuovamente
polarizzato in modo diretto se \`e:

\[
V_i > V_{\gamma} + V_C
\]

Se $V_i$ supera tale valore di soglia, il diodo consentir\`a il
passaggio della corrente e la tensione ai capi del condensatore
comincer\`a nuovamente ad aumentare, ``seguendo'' $V_i$ (a meno del
termine costante $V_{\gamma}$).

Se vogliamo che la tensione ai capi del condensatore rappresenti la
``memoria'' del massimo raggiunto da $V_i$, per un tempo finito
$\tau$, dobbiamo far s\`i che il condensatore abbia modo di scaricarsi
dopo tale tempo. A ci\`o provvede la resistenza $R_L$. La costante di
tempo $R_L C$ dovr\`a essere dell'ordine del tempo $\tau$
voluto. L'andamento del segnale all'uscita del circuito di figura,
ottenuto facendo uso del programma di simulazione~\cite{microcap}, \`e
mostrato in figura~\ref{diode_example_5_out}.



\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_5_out.eps,width=9 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Segnale all'ingresso (curva solida) ed all'uscita (curva a
tratteggio) del rivelatore di picco di figura~\ref{diode_example_5}. I
valori dei componenti e quelli del segnale sono indicati nel testo. I
risultati sono quelli forniti dal programma di simulazione Microcap}
\protect\label{diode_example_5_out}
\end{figure} 



I valori scelti sono:

\[
R_L=2k
\]
\[
C=20 \mu F
\]
  



Il segnale in ingresso (curva solida nella figura) \`e una sinusoide:

\[
V_i=5 \sin 2 \pi \nu t
\]

con $\nu=60 \;Hz$.

Il segnale in uscita \`e mostrato dalla linea tratteggiata. Notiamo
che esso ha un valore massimo che differisce da $V_i$ di circa
$0.7\;Volt$ e che non rimane costante, ma diminuisce in modo
esponenziale. La ``memoria'' pu\`o esser allungata aumentando il
valore di $R_L$.

Invertendo il verso del diodo \`e poi possibile trasformare, come \`e
facile verificare, il rivelatore di picco positivo in un rivelatore di
picco negativo.
  

\subsection{Circuito fissatore (Clamping)}

\`E necessario in alcuni casi ``fissare'' ad un certo valore continuo
il massimo (o il minimo) di un segnale sinusoidale di tensione. I
circuiti che svolgono tale funzione sono noti come circuiti
\emph{fissatori} o \emph{clamping}.\index{Clamping! circuito clamping}

Un circuito che fissa a $V_{\gamma}$ il valore massimo di un segnale
sinusoidale, \`e quello di figura~\ref{diode_example_6}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_6.eps,width=7 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito clamping} \protect\label{diode_example_6}
\end{figure} 


Se infatti il segnale in ingresso sale, il segnale $V_L$ sale
anch'esso, fino a che $V_i$ non sia divenuto uguale a $V_{\gamma}$. A
partire da tale istante il diodo inizia a condurre e
$V_L=V_{\gamma}$. Ora, la tensione sull'armatura sinistra del
condensatore continua a salire, seguendo $V_i$, mentre quella
sull'armatura destra rimane fissa a $V_{\gamma}$. Se ora $V_i$
comincia a diminuire, e con esso la tensione sull'armatura sinistra
del condensatore, quella sull'armatura destra comincer\`a a scendere
anch'essa, interdicendo il diodo.  Vediamo che in tal modo $V_L$
continua a diminuire nell'intervallo di tempo in cui $V_i$ diminuisce.
Poich\'e $V_L$ partiva da un valore $V_{\gamma}$, esso diminuir\`a,
divenendo presto negativo.

Se $V_0$ \`e l'ampiezza del segnale sinusoidale $V_i$, il minimo
valore che $V_L$ raggiunger\`a \`e quindi:

\[
V_{L,min}=V_{\gamma} - 2 V_0
\]
 
 
Se ora $V_i$ comincia nuovamente ad aumentare, $V_L$ aumenter\`a
anch'esso, fino a raggiungere un valore massimo $V_{\gamma}$ quando
$V_i$ acquista il suo valore massimo $V_0$.

In tutta la fase descritta il diodo rimane interdetto. Esso svolge
unicamente il ruolo di far caricare il condensatore nella fase
iniziale in cui $V_i$ inizia a crescere.

L'andamento dei segnali $V_i$ e $V_L$ \`e rappresentato dalle curve di
figura~\ref{diode_example_6_out}. La sinusoide superiore \`e $V_i$,
quella inferiore $V_L$. Il segnale sinusoidale in ingresso ha
un'ampiezza di 5~V ed una frequenza di 60~Hz.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_6_out.eps,width=9 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Segnale in ingresso (curva superiore) ed uscita (curva
inferiore) del circuito clamping di figura~\ref{diode_example_6}. Le
curve sono state ottenute, con i valori dei componenti e dei segnali
indicati nel testo, facendo uso del programma Microcap}
\protect\label{diode_example_6_out}
\end{figure} 

\`E possibile effettuare un clamp ad una tensione diversa da
$V_{\gamma}$, modificando il circuito con l'aggiunta di una batteria,
come mostrato in figura~\ref{diode_example_7}. Qui si \`e scelto una
batteria da $-2\;V$. Con tale scelta, il massimo della tensione in
uscita \`e fissato a:
\[
V_{\gamma}-V_R=0.8-2.0=-1.2\;V
\]
 
I relativi segnali sono mostrati in figura~\ref{diode_example_7_out}.
 




\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_7.eps,width=7 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito clamping modificato con l'aggiunta di una batteria,
per effettuare un ``clamp'' ad un tensione diversa da $V_{\gamma}$}
\protect\label{diode_example_7}
\end{figure} 

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_7_out.eps,width=9 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Segnali in ingresso (curva superiore) ed uscita (curva
inferiore) del circuito clamping di figura~\ref{diode_example_7}. Le
curve sono state ottenute, con i valori dei componenti e dei segnali
indicati nel testo, facendo uso del programma Microcap}
\protect\label{diode_example_7_out}
\end{figure} 


\subsection{Duplicatore di tensione}

La figura~\ref{diode_example_8} mostra un circuito che fornisce in
uscita una tensione continua pari a $-2V_0$, dove $V_0$ \`e l'ampiezza
del segnale sinusoidale applicato in ingresso\index{Duplicatore di
tensione}.

Il circuito \`e costituito da un \emph{clamp} seguito da un
\emph{rivelatore di picco}\index{Rivelatore di picco} per segnali
negativi.
 
La met\`a sinistra del circuito, costituita dalla capacit\`a $C$ e dal
diodo $D$, fissa il massimo del segnale in uscita (quello ai capi
delle diodo $D$) ad un valore $V_{\gamma}$. La met\`a destra ($D_1$,
$C_1$) ``memorizza'' il valore minimo ($V_{\gamma}-2 V_0$) che tale
segnale assume.

Il grafico di figura~\ref{diode_example_8_out} mostra in alto
l'andamento del segnale applicato (curva superiore) e di quello ai
capi di $D$ (curva inferiore) ed in basso il segnale di tensione in
uscita $V_{out}$. Vediamo che, dopo un breve tempo di assestamento,
legato alla carica dei condensatori, la tensione in uscita acquista un
valore di circa:

\[
V_{\gamma}- 2 \times 5 = -9.2\;Volt
\]


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_8.eps,width=7 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito duplicatore di tensione}
\protect\label{diode_example_8}
\end{figure} 

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_8_out.eps,width=9 cm,
height=11 cm}}\end{center}
\caption{Il grafico superiore mostra il segnale all'ingresso del
circuito duplicatore di tensione (curva superiore) e quello ai capi
del diodo (curva inferiore). Il grafico inferiore mostra il segnale
continuo ottenuto (dopo la fase di stabilizzazione iniziale). Le curve
sono state ottenute, con i valori dei componenti e dei segnali
indicati nel testo, facendo uso del programma Microcap}
\protect\label{diode_example_8_out}
\end{figure} 


\subsection{Misura analogica di una frequenza d'impulsi}

Il circuito di figura~\ref{diode_example_9} \`e a volte adoperato come
tachimetro nelle automobili.  Esso fornisce una tensione in uscita
proporzionale al numero di impulsi al secondo inviati in ingresso. Gli
impulsi costituiscono\index{Frequenza d'impulsi! misura analogica di}
un treno d'onde rettangolari, di altezza e durata fissa. Analizziamo
il funzionamento.

Ciascun impulso positivo in ingresso ``carica'' il condensatore $C_1$
attraverso il diodo $D_1$. Per questa polarit\`a dell'impulso $D_2$
risulta interdetto. Quando l'impulso torna a zero, la tensione
sull'elettrodo sinistro del condensatore scende, e scende
simultaneamente quella sull'elettrodo destro (il comportamento \`e
uguale a quello, gi\`a esaminato, del circuito clamping). Ora la
tensione dell'elettrodo destro di $C_1$, che era rimasta bloccata a
$V_{\gamma}$, pu\`o scendere a valori negativi, con che $D_2$ pu\`o
cominciare a condurre, caricando negativamente il condensatore
$C_2$. Come si vede dallo schema, $C_2$ \`e di valore molto maggiore
di $C_1$. La costante di tempo con cui esso si scaricher\`a attraverso
la resistenza R \`e quindi molto grande, e comunque molto maggiore del
tempo di carica. Se il numero di impulsi al secondo \`e $n$ e
l'altezza d'impulso V, la carica associata a ciascun impulso \`e $C_1
V$ e la corrente media $i=C_1 V n$. Questa corrente produce ai capi di
$C_2$ un aumento della tensione pari a $\delta V_2=n V C_1/C_2$. Si
raggiunger\`a dopo un certo tempo una situazione stazionaria in cui il
processo di carica di $C_2$ viene rallentato dall'aumento del
potenziale $V_2$, mentre la scarica di $C_2$ attraverso R continua con
legge esponenziale. In questa fase asintotica (raggiunta nella pratica
dopo una frazione di secondo) la tensione ai capi di $C_2$ \`e
proporzionale al numero n di impulsi al secondo. La parte del circuito
costituita dal condensatore $C_1$ e dai diodi agisce da ``pompa'' di
carica elettrica; $C_2$ da ``serbatoio''.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_9.eps,width=9 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito per la misura analogica di una frequenza d'impulsi}
\protect\label{diode_example_9}
\end{figure} 

I risultati di una simulazione di questo circuito, ottenuti facendo
uso del programma microcap~\cite{microcap}, sono mostrati nelle
figura~\ref{diode_example_9_out_a} e~\ref{diode_example_9_out_b}. I
valori dei componenti adoperati sono quelli di
figura~\ref{diode_example_9}. Il segnale in ingresso \`e un'onda
quadra, di periodo $200\;\mu s$ e duty-cycle $50 \%$. La
figura~\ref{diode_example_9_out_a} mostra il segnale in ingresso
(grafico superiore) e quello ai capi di $C_2$ (grafico inferiore)
limitatamente ai primi $2\;ms$. La figura~\ref{diode_example_9_out_b}
mostra la tensione ai capi di $C_2$ su di un intervallo temporale di
0.8~s. \`E evidente la crescita asintotica del segnale in uscita
(negativo) verso -450~mV.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_9_out_a.eps,width=9.5 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Il grafico superiore mostra la sequenza d'impulsi inviati al
circuito di figura~\ref{diode_example_9}. Quello inferiore mostra il
segnale in uscita. I risultati mostrati sono stati ottenuti facendo
uso del programma Microcap} \protect\label{diode_example_9_out_a}
\end{figure} 

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_9_out_b.eps,width=9 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Segnale in uscita dal circuito di
figura~\ref{diode_example_9} su di una scala temporale espansa (fino a
800 ms)} \protect\label{diode_example_9_out_b}
\end{figure} 

\subsection{Circuito limitatore con diodi Zener}

Il circuito di figura~\ref{diode_zener_clipper_scheme}\index{Zener!
circuito limitatore} limita, sia nella semionda positiva che in quella
negativa, il segnale sinusoidale applicato in ingresso. Nell'esempio
di figura, l'ingresso ha una frequenza di 1~kHz ed un'ampiezza di
10~V. Lo Zener adoperato \`e un 1N4731, che ha $V_Z=4.3\;V$. Il taglio
avviene quindi a:
\[
V_Z+V_{\gamma}=4.3+0.7 \approx 5.0\;V
\]


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_zener_clipper_scheme.eps,width=8 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito limitatore con diodi Zener}
\protect\label{diode_zener_clipper_scheme}
\end{figure} 

Il risultato ottenuto facendo uso del programma di simulazione \`e
mostrato in figura~\ref{diode_zener_clipper_out}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_zener_clipper_out.eps,width=12 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Segnale in ingresso (sinusoide di ampiezza 5~V) ed uscita per
il circuito di figura~\ref{diode_zener_clipper_scheme}}
\protect\label{diode_zener_clipper_out}
\end{figure} 

\subsection{Interruttore a ponte di diodi}

\`E spesso necessario far uso di ``interruttori''
comandati\index{Interruttore! a ponte di diodi} da un segnale di
tensione. Il circuito di figura~\ref{diode_example_10} trasmette o
meno in uscita il segnale di tensione presente in ingresso, a seconda
del segno della tensione di controllo $V_k$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/diode_example_10.eps,width=9 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Interruttore a ponte di diodi}
\protect\label{diode_example_10}
\end{figure} 

Esaminiamone il funzionamento.

Ammettiamo, per cominciare, che la tensione di controllo $V_k$ sia
stata fissata a +5~V. Se $V_i=0$, i diodi $D_1$ e $D_2$
condurranno. La tensione nel punto c sar\`a
$V_i+V_{\gamma}=0+0.6=0.6\;V$ (stiamo ora ammettendo che il
$V_{\gamma}$ dei diodi adoperati sia 0.6~V). Ora $D_3$ e $D_4$
condurranno ed avremo:
\[
V_b=V_c-0.6\;=\;0\;V
\]

Cio\`e la tensione in uscita $V_L$ sar\`a uguale a quella in
ingresso. Ammettiamo ora che $V_i$ e quindi $V_a$ aumenti e salga ad
esempio a 0.2~V. Ora $V_c$ salir\`a a $0.2+0.6=0.8\;V$. $V_b$ sar\`a
allora:
\[
V_b=V_c-0.6=0.2\;V
\]
ancora una volta uguale a $V_i$. Vediamo quindi che, fintantoche i
diodi conducono, $V_L$ segue $V_i$.

Ammettiamo ora di portare $V_k$ a -5~V. Ora i diodi $D_1$ e $D_2$
saranno interdetti, e cos\`i pure $D_3$ e $D_4$. In $R_L$ non
passer\`a alcuna corrente e $V_L=0$.

Vediamo quindi che il ponte di diodi trasmette il segnale $V_i$ se
$V_k=+5\;V$, mentre l'uscita \`e nulla per $V_k=-5\;V$.

Ci chiediamo ora quale sar\`a il massimo valore che $V_i$ pu\`o
assumere affinch\`e, con $V_k=+5\;V$, il sistema continui a
trasmettere, senza deformarlo o tagliarlo, il segnale applicato in
ingresso.

Ovviamente, se $V_a$ diviene cos\`i grande che la differenza di
potenziale ai capi di $D_1$ sia nulla (in pratica, minore di
$V_{\gamma}=0.6\;V$), il diodo $D_1$ sar\`a interdetto, o quasi; la
differenza di potenziale ai suoi capi sar\`a $\sim 0\;V$.

Ammettiamo, per fare un esempio, che sia $V_a=4.8\;V$. In tali
condizioni $D_1$ sar\`a al limite della conduzione, con una differenza
di potenziale ai suoi capi di $\sim 0\;V$. Quindi $V_c\simeq 4.8\;V$.
Notiamo che in queste condizioni $D_3$ continuer\`a a condurre, con
una differenza di potenziale ai suoi capi di circa 0.6~V, il che
implica una tensione di uscita $V_b \simeq 4.8-0.6=4.2\;V$. Vediamo
che in tali condizione \emph{$V_b$ non \`e pi\`u uguale a
$V_a$}. Notiamo ancora che $D_2$ continua a condurre, con che:
$V_d=V_a-0.6=4.2\;V$. Il diodo $D_4$, con una differenza di potenziale
all'incirca nulla ai suoi capi, \`e al limite dell'interdizione, come
$D_1$. La corrente in esso $i_{D_4}$ sar\`a uguale a 0.  Chiamando
$V_i^m$ il massimo valore che il segnale in ingresso pu\`o assumere
prima che le correnti attraverso $D_1$ e $D_4$ si annullino avremo,
ponendo $R_{c_1}=R_{c_2}\equiv R_c$:
\[
V_a=V_i^m
\]
\[
V_d=V_a-V_{\gamma}=V_i^m - V_{\gamma}
\]
\[
V_c=V_a=V_i^m
\]
\[
V_b=V_c-V_{\gamma}=V_a-V_{\gamma}=V_L
\]
dove:
\[
R_L i_L = V_k - R_c i_L - V_{\gamma}
\]
cio\`e:
\[
i_L\left(R_L+R_c \right)=V_k-V_{\gamma}
\]
da cui:
\[
i_L=\frac{V_k-V_{\gamma}}{R_L+R_c}
\]
Da questa segue:
\[
V_L=R_L i_L = \frac{R_L}{R_L + R_c} \left(V_k - V_{\gamma} \right) =
V_i^m - V_{\gamma}
\]
e quindi:
\[
V_i^m=V_{\gamma} + \frac{R_L}{R_L + R_c} \left(V_k - V_{\gamma}
\right)
\]

Se ad esempio \`e:
\[
R_L=10\;k\;\;\; ; \;\;\;R_c=5\;k \;\;\; ; \;\;\; V_k=5\;V
\]
avremo:
\[
V_i^m=0.6 + \frac{10}{15}(5-0.6)=3.5\;V
\]

\section{Il transistor bipolare}

\subsection{Introduzione}

Abbiamo gi\`a accennato, nell'introduzione a questo capitolo, all'idea
coltivata attorno al 1945 da numerosi ricercatori, di realizzare un
amplificatore a stato solido che funzionasse in modo analogo ad una
valvola termoionica (triodo o simile). L'idea era cio\`e quella di
controllare la corrente in un diodo al silicio, inserendo nella zona
di separazione tra la parte p e quella n, l'analogo di una
griglia. Nel transistor bipolare a giunzione\index{Transistor
bipolare}, quale oggi lo conosciamo, si controlla la corrente che
fluisce tra due zone di ugual drogaggio, mediante una corrente immessa
in una sottile zona, di drogaggio opposto, realizzata tra le prime
due. Ci\`o \`e schematicamente mostrato in
figura~\ref{silicon_transistor_fig1}, dove le due zone che
rispettivamente emettono e ricevono la corrente controllata dalla
corrente $I_g$, sono di tipo n, mentre la zona che le separa, che
svolge il ruolo della griglia in un tubo a vuoto, \`e di tipo p.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_transistor_fig1.eps,width=9 cm,
height=3.5 cm}}\end{center}
\caption{Struttura schematica di un transistor bipolare a
giunzione. Sono indicate le zone occupate dall'emettitore (E), base
(B) e collettore (C)} \protect\label{silicon_transistor_fig1}
\end{figure} 




Un transistor bipolare \`e quindi un dispositivo che controlla una
corrente mediante un'altra corrente (molto piccola). Ci\`o lo
differenzia da un triodo, in cui \`e una tensione (la tensione di
griglia) a controllare la corrente che passa nel tubo.

Un transistor di questo tipo \`e detto ``npn''\index{Transistor!
npn}. Esistono anche transistor ``pnp''\index{Transistor! pnp} in cui
le polarit\`a sono invertite.  I simboli adoperati\index{Transistor!
simboli adoperati} per i due tipi di transistor sono mostrati in
figura~\ref{silicon_transistor_fig2}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_transistor_fig2.eps,width=7 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Simboli adoperati per i transistor bipolari a giunzione. A
sinistra: transistor npn; a destra: transistor pnp}
\protect\label{silicon_transistor_fig2}
\end{figure} 

I terminali che rispettivamente emettono e raccolgono le cariche il
cui flusso costituisce la corrente nel transistor sono detti
rispettivamente di ``emettitore''\index{Transistor! emettitore} e di
``collettore''\index{Transistor! collettore}. Il terminale collegato
alla zona intermedia \`e quello di ``base''\index{Transistor!
base}. In un transistor npn la corrente \`e dovuta (principalmente) ad
elettroni emessi dall'emettitore e raccolti poi dal collettore. In un
transistor pnp la corrente \`e dovuta (principalmente) a lacune emesse
dall'emettitore e raccolte poi dal collettore. Tale corrente \`e
controllata dalla corrente immessa nella base. Il verso della corrente
convenzionale (cio\`e di cariche positive) \`e, in entrambi i tipi di
transistor, indicato dal verso della freccia nella gamba di
emettitore.

\`E possibile, con una semplice esperienza, mettere in evidenza
l'elevato guadagno in corrente di un transistor. Il circuito,
consistente in un transistor (meglio se ad alto guadagno), una
batteria da 9~V, una resistenza da $100\;\Omega$ ed un LED, \`e
mostrato in figura~\ref{silicon_transistor_fig3}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_transistor_fig3.eps,width=6 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Schema di un semplice esperimento illustrativo del
funzionamento di un transistor bipolare a giunzione}
\protect\label{silicon_transistor_fig3}
\end{figure} 


Nella configurazione di figura, con il terminale di base non
collegato, il LED rimane spento essendo nulla la corrente nel
transistor. Se ora stringiamo tra due dita di una mano il terminale di
base e tra due dita dell'altra mano il positivo della batteria (punto
P) il LED si accender\`a. Ci\`o dimostra che \`e sufficiente la
piccolissima corrente (pochi $\mu A$) che, attraverso il nostro corpo,
fluisce tra il positivo della batteria, la giunzione base-emettitore e
massa, per far passare nel transistor una corrente (qualche~mA)
abbastanza elevata da far accendere il LED.


\subsection{Struttura interna e funzionamento in zona attiva}

La struttura interna del transistor bipolare \`e mostrata in
figura~\ref{silicon_transistor_charge_distribution_a}, relativa ad una
transistor npn.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_transistor_charge_distribution_a.eps,width=8 cm,
height=3.5 cm}}\end{center}
\caption{Struttura schematica del transistor bipolare a giunzione (di
tipo npn)} \protect\label{silicon_transistor_charge_distribution_a}
\end{figure} 

Come si vede, abbiamo due diodi contrapposti: quello
emettitore-base\index{Transistor! giunzione emettitore-base} e quello
base-collettore\index{Transistor! giunzione
base-collettore}. All'equilibrio la distribuzione delle cariche, del
campo elettrico e del potenziale sono quelle mostrate nelle
figure~\ref{silicon_transistor_charge_distribution_b},\ref{silicon_transistor_charge_distribution_c},
\ref{silicon_transistor_charge_distribution_d}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_transistor_charge_distribution_b.eps,width=10 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Distribuzione della carica in un transistor bipolare a
giunzione non polarizzato}
\protect\label{silicon_transistor_charge_distribution_b}
\end{figure} 

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_transistor_charge_distribution_c.eps,width=10 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Andamento del campo elettrico in un transistor bipolare a
giunzione non polarizzato}
\protect\label{silicon_transistor_charge_distribution_c}
\end{figure} 

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_transistor_charge_distribution_d.eps,width=12 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Andamento del potenziale in un transistor bipolare a
giunzione non polarizzato}
\protect\label{silicon_transistor_charge_distribution_d}
\end{figure} 

Ammettiamo ora che la giunzione (diodo) emettitore-base sia
polarizzata in modo diretto\index{Transistor! giunzione
emettitore-base! polarizzata direttamente} e quella collettore-base in
modo inverso\index{Transistor! giunzione collettore-base! polarizzata
inversamente}, come mostrato in
figura~\ref{silicon_transistor_charge_distribution_e}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_transistor_charge_distribution_e.eps,width=7 cm,
height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{Schema base di un transistor bipolare a giunzione npn
polarizzato in zona attiva. Sono indicate, oltre alle batterie che
forniscono la polarizzazione, le correnti di collettore ($I_C$) di
base ($I_B$) e di emettitore ($I_E$), con i loro versi reali.}
\protect\label{silicon_transistor_charge_distribution_e}
\end{figure} 


Il corrispondente andamento del potenziale \`e quello di
figura~\ref{silicon_transistor_charge_distribution_f}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_transistor_charge_distribution_f.eps,width=10 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Andamento del potenziale in un transistor bipolare a
giunzione npn polarizzato in zona attiva.}
\protect\label{silicon_transistor_charge_distribution_f}
\end{figure} 

Attraverso la prima delle giunzioni suddette, elettroni passeranno per
diffusione dall'emettitore nella base e lacune dalla base
nell'emettitore. Il transistor \`e per\`o costruito in modo che la
concentrazione di lacune nella base sia molto pi\`u piccola
dell'analoga concentrazione di elettroni nell'emettitore. Ne segue che
la corrente che attraversa il diodo emettitore-base \`e dovuta quasi
esclusivamente ad elettroni che dall'emettitore passano nella base. Un
ulteriore caratteristica del transistor \`e costituita dal fatto che
lo spessore della base \`e molto stretto. Ne segue che un elettrone
che dall'emettitore passa nella base, ha una probabilit\`a molto
piccola di esser ``catturato'' da una lacuna presente in tale
zona. Indicheremo con ($1-\alpha$) (con $\alpha$ vicino ad 1) la
probabilit\`a che ci\`o avvenga.

Un elettrone che non venga catturato, attraversa il piccolo spessore
della base e, giunto in corrispondenza della giunzione base-collettore
(polarizzata inversamente) \`e rapidamente accelerato verso il
circuito di collettore. La probabilit\`a che ci\`o accada \`e
$\alpha$. Il parametro $\alpha$ \`e una caratteristica del dato
transistor ed \`e in genere compreso tra 0.9 e 0.99.

Se un elettrone \`e catturato da una lacuna in base, si avr\`a una
diminuzione della carica in tale regione (scomparsa di una lacuna). La
batteria provvede per\`o a ripristinare tale carica immettendo una
corrente nella base. Chiameremo $I_B$ tale ``corrente di
base''. Poich\'e il numero di lacune che, in un dato tempo, catturano
elettroni \`e proporzionale ad $1-\alpha$, avremo:

\[
I_B \sim \left(1-\alpha\right) I_E
\]


Analogamente, la corrente che fluisce tra collettore e base,
proporzionale al numero di elettroni che, immessi dall'emettitore
nella base, riescono a ``passare'' nel circuito di collettore, sar\`a
proporzionale\index{Transistor! parametro $\alpha$} ad $\alpha$:


\[
I'_C \sim \alpha I_E
\]

Occorre tener presente che alla corrente di collettore contribuisce
anche quella dovuta ai portatori minoritari (lacune) presenti nel
collettore. Questi infatti sono accelerati verso la base dal campo
esistente in corrispondenza della giunzione base-collettore
(polarizzata inversamente). Tale corrente \`e la \emph{corrente
inversa} nel diodo base-collettore: $I_0$.

In definitiva, la corrente di collettore \`e data da:
\[
I_C=I'_C + I_0\;=\;I_0 + \alpha I_E
\]

Con la convenzione per i segni delle correnti mostrata in
figura~\ref{silicon_transistor_base_one}, avremo allora:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_transistor_base_one.eps,width=9 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Schemi di polarizzazione per un transistor bipolare a
giunzione che lavori in zona attiva. $V_{BE}$ \`e la differenza di
potenziale tra base ed emettitore; $V_{CE}$ \`e la differenza di
potenziale tra collettore ed emettitore}
\protect\label{silicon_transistor_base_one}
\end{figure} 

\[
I_B + I_C = I_E
\]

Dalle due ultime equazioni si ottiene poi:

\[
I_C=I_0 + \alpha I_E = I_0 + \alpha I_B + \alpha I_C
\]

da cui:

\begin{equation}
I_C=\frac{\alpha}{1-\alpha}I_B + \frac{1}{1-\alpha} I_0
\label{semiconductor_transistor_equation_1}
\end{equation}


Il parametro $\alpha/(1-\alpha)$ \`e noto come il $\beta$ del
transistor\index{Transistor! parametro $\beta$}. Esso varia tra
qualche decina e qualche centinaio. La precedente equazione pu\`o
quindi essere scritta nella forma:

\begin{equation}
I_C=\beta I_B + \frac{1}{1-\alpha}I_0
\label{semiconductor_transistor_equation_2}
\end{equation}

In genere $I_0$ \`e molto piccolo e pu\`o esser trascurato. Tuttavia
v\`a ricordato che esso \`e moltiplicato per il fattore $1/(1-\alpha)$
che, al pari di $\beta$, varia tra qualche decina e qualche
centinaio. Inoltre $I_0$ aumenta molto all'aumentare della
temperatura. Esistono quindi delle circostanze in cui, per ottenere
risultati precisi, occorre tener conto di tale termine.

Nel seguito useremo l'equazione nella forma:
 
\begin{equation}
I_C=\beta I_B \label{semiconductor_transistor_equation_3}
\end{equation}

Questa ci dice che la corrente di collettore, se il transistor \`e
polarizzato\index{Transistor! in zona attiva} come detto sopra
(transistor in \emph{zona attiva}) \`e una funzione lineare della
corrente di base. La corrente di emettitore \index{Transistor!
corrente di emettitore} differisce di poco da quella di
collettore\index{Transistor! corrente di collettore}:

\[
I_E=I_C+I_B = I_C + \frac{I_C}{\beta} \simeq I_C
\]


Essendo $\beta \gg 1$.


Notiamo che:

\begin{itemize}

\item $\beta$ pu\`o variare molto tra un transistor e l'altro, anche
se i due transistor sono nominalmente uguali;
\item $\beta$ varia al variare del ``punto di lavoro'', cio\`e delle
tensioni applicate al transistor;
\item $\beta$ varia al variare della temperatura.
\end{itemize}

Se una corrente variabile \`e inviata in base si avr\`a una
corrispondente variazione della corrente di collettore:
\[
\Delta I_C = \beta \Delta I_B + I_B \frac{\partial \beta}{\partial
I_B} \Delta I_B
\]

In genere il termine $\partial \beta/\partial I_B$ \`e piccolo, per
cui, con la notazione adottata per le grandezze variabili, avremo:

\begin{equation}
i_c = \beta i_b \label{semiconductor_transistor_equation_4}
\end{equation}



A rigore, se il termine $\partial \beta/\partial I_B$ non pu\`o esser
trascurato, occorre distinguere tra il $\beta$ che compare
nella~(\ref{semiconductor_transistor_equation_3}), che \`e il fattore
moltiplicativo tra corrente di base e di collettore e quello che
figura nella~(\ref{semiconductor_transistor_equation_4}). Per motivi
che vedremo in seguito, il parametro $\beta$ che compare
nella~(\ref{semiconductor_transistor_equation_3}) \`e indicato con il
simbolo: $h_{FE}$.  Il $\beta$ che compare
nella~(\ref{semiconductor_transistor_equation_4}), riferito a
grandezze variabili, \`e quindi indicato con pedici minuscoli:
$h_{fe}$. Faremo spesso l'approssimazione:
\[
h_{FE} \approx h_{fe}
\]

\subsection{Caratteristiche d'uscita del transistor}

La relazione tra corrente di emettitore e differenza di potenziale
$V_{BE}$ applicata tra emettitore e base, \`e essenzialmente data
dalla caratteristica del diodo: la corrente di emettitore aumenta
molto rapidamente all'aumentare di $V_{BE}$ (con $V_B > V_E$ per un
transistor $npn$ polarizzato in zona attiva), in modo tale che
$V_{BE}$ si stabilizzi attorno a 0.7~Volt.

Di maggior interesse sono le cosiddette caratteristiche
d'uscita\index{Transistor! caratteristiche d'uscita}, cio\`e le curve
che descrivono la dipendenza della corrente di collettore dalla
differenza di potenziale $V_{CE}$ tra collettore ed emettitore. La
curva che descrive tale dipendenza per un dato transistor, dipende dal
valore della corrente di base\index{Transistor! corrente di
base}. Curve tipiche sono mostrate in
figura~\ref{silicon_transistor_base_three}. Le curve corrispondono a
valori diversi della corrente di base $I_B$, crescente via che ci si
sposta verso l'alto.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/silicon_transistor_base_three.eps,width=12 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Caratteristiche d'uscita del transistor npn discusso nel
testo. \`E riportata $I_C$ in funzione di $V_{CE}$ per diversi valori
della corrente di base $I_B$. Questi sono crescenti dal basso verso
l'alto} \protect\label{silicon_transistor_base_three}
\end{figure} 

  
  
  
In questa figura dobbiamo distinguere tre regioni:
\begin{description}
	


\item[(a)] La ``zona attiva'',\index{Transistor! in zona attiva}
cio\`e quella in cui le caratteristiche sono all'incirca delle rette
orizzontali (in realt\`a, come si vede e come discuteremo pi\`u
avanti, con una piccola pendenza).  In questa zona abbiamo una
approssimata proporzionalit\`a tra corrente di base e corrente di
collettore, come descritto
dalla~(\ref{semiconductor_transistor_equation_3}). Essa \`e in genere
scelta quando si voglia adoperare il transistor come amplificatore.
 
\item[(b)] La ``zona di interdizione'',\index{Transistor! in
interdizione} cio\`e quella in basso nel grafico, dove $I_C=0$. Il
transistor sar\`a in questa zona se $V_{BE} \ll V_{\gamma}$, con che
il diodo emettitore base \`e interdetto.
  
\`E bene precisare che ci\`o \`e vero fino a che la giunzione
base-collettore continua ad esser polarizzata inversamente. Se cos\`i
non fosse, se cio\`e la giunzione base-collettore fosse polarizzata
direttamente e quella emettitore-base inversamente, verrebbero
semplicemente ad essere scambiati, rispetto al funzionamento in zona
attiva, i ruoli di emettitore e collettore. Si dice che allora il
transistor funziona in \emph{zona attiva inversa}\index{Transistor! in
zona attiva inversa}. In tali condizioni vale una relazione simile
alla~(\ref{semiconductor_transistor_equation_3}), dove per\`o adesso
la corrente $I_C$ v\`a sostituita da $I_E$:
\[
I_E = \beta_R I_B
\]
 
dove $\beta_R$ ($\beta$ ``reverse'')\index{Transistor! $\beta_R$} \`e,
per costruzione, molto minore del $\beta$ che abbiamo finora
incontrato (che viene spesso chiamato $\beta_F$ = $\beta$
``forward'')\index{Transistor! $\beta_F$}.



\item[(c)] La zona a sinistra nel grafico, dove la relazione di
linearit\`a viene meno, \`e la ``zona di
saturazione''\index{Transistor! in saturazione}. Questa \`e
caratterizzata, come si vede dal grafico, da valori di $I_C$ molto
pi\`u piccoli di quelli che si hanno, per la data corrente di base,
nella zona lineare. Cio\`e in tale zona \`e :

\begin{equation}
I_C \ll \beta I_B \label{semiconductor_transistor_equation_5}
\end{equation}

Quando il transistor opera in saturazione, la differenza di potenziale
$V_{CE}$ \`e molto piccola ($\simeq 0.2\;V$). Inoltre, come si vede
dalle caratteristiche, in tale zona la corrente di collettore non
dipende pi\`u dalla corrente di base. Si entra in tale zona se sia la
giunzione base-emettitore che quella base-collettore sono polarizzate
direttamente. La corrente di collettore in tale zona \`e dovuta alle
cariche minoritarie (lacune) presenti nel collettore, che passano in
base.

\end{description}

\section{Nomenclatura adoperata per diodi e transistor}

I simboli adoperati per indicare\index{Transistor! nomenclatura
adoperata} i diversi tipi di diodi e transistor, seguono tre diverse
convenzioni, note rispettivamente con i nomi di Pro-Electron, JEDEC
(Joint Electron Device Engineering Council) e JIS (Japanese Industrial
Standard). Il primo di questi \`e lo Standard Europeo, il secondo
quello Americano, l'ultimo quello Giapponese. Il significato dei
simboli adoperati nei diversi sistemi \`e riassunto nella tabella di
figura~\ref{transistor_data_ProElectron} (Pro-Electron),
\ref{transistor_data_Jedec} (JEDEC) e~\ref{transistor_data_Jis} (JIS).

V\`a detto per completezza che alcuni produttori adottano dei sistemi
che non rispettano alcuno di questi Standard. Ad esempio:

\begin{itemize}
\item MJ = Motorola, transistor di potenza, custodia metallica;
\item MJE = Motorola, transistor di potenza, custodia in plastica;
\item MPS = Motorola, transistor di bassa potenza, custodia in
plastica;
\item TIP = Texas Instruments, transistor di bassa potenza, custodia
in plastica;
\item ...........................
\end{itemize}

Nei cataloghi forniti dai produttori compaiono un gran numero di
parametri che caratterizzano un transistor. Nella
tabella~(\ref{transistor_table}) elenchiamo i principali di questi
parametri, con una breve spiegazione del loro significato.

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}

\begin{table}[h!]  
\begin{center}
\begin{tabular}{|l | l |} 
\hline \hline $V_{CEMax}$ & Massima differenza di potenziale tra
collettore ed emettitore \\ \hline $I_CMax$ & Massima corrente di
collettore \\ \hline $h_{FE}\;(\beta)$ & Guadagno in corrente (in DC)
\\ \hline $P_{TotMax}$ & Massima potenza che il transistor pu\`o
dissipare (data da $V_{CE} \times I_C$ \\ \hline $V_{CESat}$ &
Differenza di potenziale tra collettore ed emettitore \\ & quando il
transistor \`e in saturazione \\ \hline \hline
\end{tabular}
\caption{} \protect\label{transistor_table}
\end{center}
\end{table}


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/transistor_data_ProElectron.eps,width=13 cm,
height=13 cm}}\end{center}
\caption{Caratteristiche dei transistor, secondo lo standard
$Pro-Electron$} \protect\label{transistor_data_ProElectron}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/transistor_data_Jedec.eps,width=12 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Caratteristiche dei transistor, secondo lo standard JEDEC}
\protect\label{transistor_data_Jedec}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=semiconduttori/transistor_data_Jis.eps,width=12 cm,
height=14 cm}}\end{center}
\caption{Caratteristiche dei transistor, secondo lo standard JIS}
\protect\label{transistor_data_Jis}
\end{figure}
