\chapter{Richiami di teoria dei circuiti elettrici}

In questo capitolo saranno discussi alcuni dei teoremi che vengono
frequentemente impiegati per effettuare l'analisi di circuiti
elettronici composti da elementi passivi, quali resistenze,
condensatori ed induttanze, insieme a generatori di tensione o di
corrente.

\section{Leggi di Kirchoff}

Alla base della teoria dei circuiti elettrici troviamo le leggi di
Kirchoff, che consentono di scrivere in forma consistente delle
equazioni lineari da cui, note le sorgenti di tensione e/o di
corrente, \`e possibile ottenere le correnti e le tensioni in tutti i
punti della maglia.

Chiameremo ``rami'' \index{Maglia! ramo della} della maglia gli
elementi di questa attraversati da correnti determinate istante per
istante dalle differenze di potenziale tra i loro estremi, che
chiameremo ``nodi'' \index{Maglia! nodo della}.

Ad esempio, nel circuito di figura~\ref{nodi}, i tratti $ab$, $bc$,
$be$, $cd$, $de$, $ef$, $af$ sono rami. I punti $a$, $b$, ... $f$ sono
nodi. 
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/nodi.eps,width=0.7\textwidth}}
\end{center}
\caption{Circuito a due maglie.}
\protect\label{nodi}
\end{figure}

Nell'esempio, il ramo $af$ ha un generatore di tensione $V_1$ ed il
ramo $bc$ un ge\-ne\-ra\-to\-re di corrente $I_1$. Per una definizione dei
concetti di generatore di tensione e generatore di corrente si veda il
paragrafo~\ref{generatori}. 

Nel ramo $ab$ \`e inserita un'impedenza $Z_1$, nel ramo $be$
un'impedenza $Z_3$ etc.

Per il generico ramo vale ovviamente la \Index{Legge di Ohm}: la
differenza di potenziale tra i due nodi che lo delimitano \`e uguale
alla corrente $I$, che lo attraversa, moltiplicata per l'impedenza:

\begin{equation}
V = Z~I
\label{uno}
\end{equation}

Nel caso in cui $Z$ non sia puramente resistiva, allora,
nell'equazione precedente $Z$ sar\`a un operatore lineare. Ad esempio,
se $Z$ \`e costituita da un'induttanza:

\begin{equation}
V = -L \frac{d}{dt} I
\label{due}
\end{equation}
mentre se $Z$ \`e costituita da una capacit\`a:

\begin{equation}
V = \frac{1}{C} \int I~dt
\label{tre}
\end{equation}

Nel caso in cui la sollecitazione ($V(t)$, $I(t)$ nel nostro esempio)
sia sunisoidale con pulsazione $\omega$, sappiamo come il metodo
simbolico possa essere adoperato per esprimere i suddetti operatori
come numeri complessi:

$$V = -j\omega L~I \hspace{2cm} nel~caso~induttivo$$
$$V = \frac{1}{j\omega C}~I \hspace{2cm} nel~caso~capacitivo$$

Vedremo nel seguito come la tecnica delle trasformate di Laplace (o di
Fourier) possa essere adoperata per trasformare le
equazioni~(\ref{uno}), (\ref{due}) e (\ref{tre}) in equazioni lineari a
coefficienti costanti.  

Le leggi di Kirchoff \index{Legge di Kirchoff} sono espresse come
segue:
\begin{description}
\item[I) ] la somma algebrica delle correnti che convergono verso un
  nodo \`e nulla;
\item[II)] la somma algebrica delle differenze di potenziale lungo un
  circuito chiuso (maglia) \`e nulla.
\end{description}

La prima delle due leggi di Kirchoff esprime la conservazione della
carica elettrica, la seconda la conservazione dell'energia.

Nell'applicare la seconda delle leggi di Kirchoff \`e conveniente
introdurre le ``correnti di maglia'',\index{Maglia! correnti di} come
mostrato in figura~\ref{nodi}. Notiamo che la corrente che attraversa
il ramo $be$ \`e ($i - i^{'}$) nel verso che va da $b$ ad $e$. Con
tale definizione, la seconda delle leggi di Kirchoff ci d\`a:

\begin{equation*}
\begin{cases}
 V_1 = Z_1 i + Z_3(i-i^{'}) + Z_2 i  \\
 i^{'} Z_4 = Z_3(-i +i^{'})
\end{cases}
\end{equation*} 
che costituisce un sistema di due equazioni (lineari nel senso detto
prima) nelle incognite $i$ e $i^{'}$. Dall'ultima equazione segue:

$$(Z_4 - Z_3) i^{'} = Z_3 i$$
da cui:
$$i = \frac{Z_4 -Z_3}{Z_3} i^{'} = \left(\frac{Z_4}{Z_3}-1\right) i^{'}$$

%$$V_1 = Z_1 \left(1-\frac{Z_4}{Z_3}\right) I + Z_3
%\left(1-\frac{Z_4}{Z_3}\right) I - Z_3 I + Z_2
%\left(1-\frac{Z_4}{Z_3}\right) I = $$
%$$ = Z_1 I - \frac{Z_1 Z_4}{Z_3} I + Z_3 I - Z_4 I - Z_3 I + Z_2 I -
%\frac{Z_4 Z_2}{Z_3} I = $$
%$$ = (Z_1 + Z_2 - Z_4) I - \frac{Z_4}{Z_3}(Z_1 + Z_2) I $$ 


\section{Teoremi di Th\'evenin e di Norton}

\subsubsection{\Index{Teorema di Th\'evenin}}
Un generico segmento di circuito, compreso tra due nodi, pu\`o essere,
agli effetti del calcolo delle correnti e delle tensioni, sostituito
da un generatore di tensione $V_{Th}$ in serie con un'impedenza
$R_{Th}$. La tensione $V_{Th}$ \`e quella che si misurerebbe tra i nodi in
questione aprendo il circuito. L'impedenza $R_{Th}$ \`e quella che si
misurerebbe tra i nodi, tenendo conto di tutti gli elementi presenti
tra gli stessi e sostituendo ciascun generatore di corrente o di
tensione con la sua impedenza interna.

Questo teorema viene spesso impiegato per ridurre il numero di maglie
in un circuito.

Per esempio, il circuito a due maglie di figura~\ref{thevenin}, pu\`o
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/thevenin.eps,width=0.7\textwidth}}
\end{center}
\caption{Circuito a due maglie.}
\protect\label{thevenin}
\end{figure}
essere ridotto ad una sola maglia sostituendo i componenti alla
sinistra dei nodi $a$ e $b$ (compresa la resistenza R) con il loro
equivalente di Th\'evenin (figura~\ref{thevenin2}):
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/thevenin2.eps,width=0.7\textwidth}}
\end{center}
\caption{Circuito ad una maglia, ridotto sfruttando il Teorema di
  Th\'evenin.} 
\protect\label{thevenin2}
\end{figure}

$$R_{Th} = \frac{R~R_1}{R+R_1}$$

$$V_{Th} = V_1 \frac{R}{R+R_1}$$

La corrente $i$ che passa attraverso $R_2$ \`e data da:

$$i = \frac{V_2-V_{Th}}{R_2+R_{Th}} = \left( V_2-V_1\frac{R}{R+R_1}
\right) \Big/ \left( R_2+\frac{R~R_1}{R+R_1} \right)$$
quindi

$$i = \frac{(V_2-V_1)R+V_2 R_1}{R(R_1+R_2)+R_1 R_2}$$

La tensione nel punto $a$ sar\`a allora:

$$V_a = V_2-R_2i$$
e la corrente in R:

$$i_R = \frac{V_a}{R}.$$

\vspace{0.5cm}
Possiamo dimostrare il Teorema di Th\'evenin come segue.

Consideriamo una rete con $n$ rami. Indichiamo con $r_i$ ed
$f_i$ rispettivamente la resistenza e la forza elettro-motrice
(f.e.m.) del ramo $i$-esimo. Supponiamo di aggiungere un ramo di
resistenza $r_0$ tra due punti (nodi) qualsiasi della rete e che tra
questi due punti esistesse, prima dell'aggiunta del nuovo ramo, una
d.d.p. V. Detta $R_0$ la resistenza complessiva che la rete presenta
tra i due punti dati, il teorema di Th\'evenin \index{Teorema di
Th\'evenin} dice che la corrente $i_0$ nel nuovo ramo \`e data da:

$$i_0 = V / (R_0 + r_0)$$

Per dimostrarlo supponiamo che anche nel ramo $r_0$ sia inserita una
f.e.m. $f_0$. La corrente $i_0$ \`e una funzione lineare delle varie
f.e.m. presenti nella maglia:

$$i_0 = \sum_{k=0}^{n} A_k f_k \hspace{2.5cm} A_k~costanti$$

Eliminando tutte le $f_k$ (ma non le resistenze $r_k$), cio\`e ponendo
$f_k = 0$ per $k \neq 0$, avremo:

$$i_0 = A_0 f_0$$
ma sappiamo che $f_0/r_0 = (r_0+R_0)$, quindi

$$\frac{1}{A_0} = r_0 + R_0$$

Riportiamo ora il circuito nelle condizioni precedenti tornando ad
inserire le $f_k$ e diamo inoltre ad $f_0$ valore pari a $-V$ tale che
sia $i_0 = 0$:

$$0 = -V A_0 + \sum_{k=1}^{n} A_k f_k$$
poich\'e il ramo $r_0$ ora non assorbe corrente, questa $V$
coincider\`a con la d.d.p. esistente tra i due punti nel circuito
primitivo.

Ponendo ora $f_0 = 0$ ed utilizzando le equazioni scritte il
precedenza otteniamo:

$$i_0 = \sum_{k=0}^{n} A_k f_k = \sum_{k=1}^{n} A_k f_k = V A_0 =
\frac{V}{r_0+R_0}$$
che dimostra il teorema di Th\'evenin. \index{Teorema di Th\'evenin}

\subsubsection{\Index{Teorema di Norton}}

Un generico segmento di circuito, compreso tra due nodi, pu\`o essere,
agli effetti del calcolo delle correnti e delle tensioni, sostituito
da un generatore di corrente $i_{No}$ in parallelo con un'impedenza $R_{No}$. La
corrente $i_{No}$ \`e quella che fluirebbe tra in nodi in questione se
questi fossero messi in corto circuito. L'impedenza $R_{No}$ \`e quella
misurata tra i medesimi nodi, tenendo conto di tutti gli elementi
presenti tra gli stessi e sostituendo ciascun generatore di corrente o
di tensione con la sua impedenza interna.

Esaminiamo ad esempio ancora il circuito a due maglie di
figura~\ref{thevenin} e sostituiamo la maglia di sinistra con il suo
equivalente di Norton; esso viene quindi ridotto al circuito di
figura~\ref{norton}: 
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/norton.eps,width=0.7\textwidth}}
\end{center}
\caption{Circuito equivalente a quello di figura~\ref{thevenin}
  ottenuto sfruttando il Teorema di Norton.} 
\protect\label{norton}
\end{figure}

$$i_{No} = \frac{V_1}{R_1} \hspace{2cm} R_{No} = \frac{R~R_1}{R+R_1}$$

La tensione tra i nodi $a$ e $b$ e la corrente attraverso la $R_2$
sono date da:

$$V_{ab} = (i+i_{No})R_{No} \hspace{2cm} i = \frac{V_2 - V_{ab}}{R_2}$$
da cui

$$i = \frac{V_2}{R_2} - (i+i_{No})\frac{R_{No}}{R_2}$$
$$i \left( 1+\frac{R_{No}}{R_2} \right) = \frac{V_2}{R_2} -
i_{No}\frac{R_{No}}{R_2}$$ 
$$i (R_2+R_{No}) = V_2 - R_{No} i_{No}$$
$$i = \frac{V_2}{R_2+R_{No}} - \frac{R_{No}}{R_2+R_{no}} i_{No}$$

Sostituendo in questa le espressioni di $R_{No}$ e $i_{No}$:

$$i = V_2 \Big/ \left( R_2+\frac{R~R_1}{R+R_1} \right) -
\frac{R~R_1}{R+R_1}~\frac{V_1}{R_1} \Big/ \left(
R_2+\frac{R~R_1}{R+R_1} \right) =$$
$$= \frac{(V_2-V_1)R+V_2R_1}{R(R_1+R_2)+R_1R_2}$$
cio\`e il medesimo risultato che si ottiene con l'applicazione del
Teorema di Th\'evenin.

\subsubsection{Corollario dei teoremi di Th\'evenin e Norton}

Dai teoremi di Th\'evenin e Norton segue che un generatore di tensione
$V$ in serie con una resistenza $R$ \`e equivalente ad un generatore
di corrente $I$ in parallelo con $R$, purch\'e sia $V~=~R~I$
(figura~\ref{corollario}). 
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/corollario.eps,width=0.7\textwidth}}
\end{center}
\caption{$Sinistra$: generatore di tensione in serie ad una
  resistenza; $destra$: generatore di corrente in parallelo ad una
  resistenza. I due circuiti si equivalgono purch\'e $V=RI$.} 
\protect\label{corollario}
\end{figure}

Come corollario segue quindi che ``la tensione a circuito
aperto \`e uguale alla corrente a circuito chiuso moltiplicata per la
resistenza''.

Nonostante la sua semplicit\`a, questa relazione pu\`o risultare molto
utile nell'analisi dei circuiti.

\section{Principio di sovrapposizione}
\index{Principio di sovrapposizione}

In una rete lineare in cui siano presenti pi\`u sorgenti di tensione
e/o corrente la risposta pu\`o essere calcolata a partire dalla
risposta ottenuta in presenza di una sola delle sorgenti e sommando
poi tutte le risposte. Nel calcolo della risposta ad una generica
delle sorgenti occorre sostituire tutte le altre con le loro impedenze
interne (cio\`e, ogni sorgente ideale di tensione con una resistenza
nulla ed ogni sorgente ideale di corrente con una resistenza
infinita).

Applichiamo il principio di sovrapposizione al circuito gi\`a
esaminato di figura~\ref{thevenin}.

Se fosse presente solo $V_2$ (con $V_1$ sostituito da un
cortocircuito) la corrente in $R_2$ sarebbe:
$$i_{2}^{'} = \frac{V_2}{R_2+\frac{R~R_1}{R+R_1}}
 = \frac{V_2 (R+R_1)}{R (R_1+R_2) + R_1R_2}$$

Se fosse invece presente solo $V_1$ (con $V_2$ sostituito da un
cortocircuito) la corrente in $R_2$ sarebbe:

$$i_{2}^{''} = -\frac{V_1}{R_2} \left( 1 -
\frac{R_1(R+R_2)}{R(R_1+R_2)+R_1R_2} \right) 
 = \frac{-V_1R}{R(R_1+R_2)+R_1R_2}$$

In presenza di entrambe le sorgenti avremo:

$$i_2 = i_{2}^{'} + i_{2}^{''} =
\frac{(V_2-V_1)R+R_1V_2}{R(R_1+R_2)+R_1R_2}$$
cio\`e nuovamente il medesimo risultato ottenuto facendo uso dei
teoremi di Th\'evenin e Norton.

\section{Generatori di tensione/corrente}
\label{generatori}
\index{Generatore}

I generatori sono componenti circuitali attivi e rappresentano
dispositivi capaci di fornire energia elettrica al circuito cui sono
connessi. 

\subsection{Generatori ideali e reali}

I tipi di generatori ideali \index{Generatore! ideale} normalmente
considerati sono due: quello di tensione e quello di corrente.
\begin{description}
\item[$\bullet$] Un generatore ideale di {\bf tensione} \index{Generatore!
di tensione} fornisce un valore di tensione assegnato ($V=V_s$)
indipendentemente dalla corrente erogata e quindi dal circuito a cui
\`e connesso (figura~\ref{gen}~$a$). 
  
Un generatore ideale di tensione deve necessariamente avere
resistenza interna nulla, altrimenti la tensione ai suoi capi
sarebbe $V=V_s-r_si$ (dipendente dalla corrente erogata).

Un generatore reale \index{Generatore! reale} di tensione pu\`o essere
assimilato ad un generatore ideale in serie con la propria resistenza
interna (figura~\ref{gen}~$b$).
\item[$\bullet$] Un generatore ideale di {\bf corrente} \index{Generatore!
di corrente} fornisce una corrente di valore assegnato ($i=i_s$)
indipendentemente dalla tensione tra i terminali del generatore e
quindi dal circuito a cui \`e connesso (figura~\ref{gen}~$c$). 

Un generatore ideale di corrente deve necessariamente avere resistenza
interna infinita, altrimenti la corrente erogata sarebbe pari a
$i=i_s-V/r_s$ (dipendente dalla tensione ai suoi capi).

Un generatore reale di corrente pu\`o essere assimilato ad un
generatore ideale in parallelo con la propria resistenza interna
(figura~\ref{gen}~$d$). 
\end{description}
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/gen.eps,width=0.9\textwidth}}
\end{center}
\caption{$a)$: generatore ideale di tensione; $b)$: generatore reale
  di tensione; $c)$ generatore ideale di corrente; $d)$ generatore
  reale di corrente.} 
\protect\label{gen}
\end{figure}

\subsection{Generatori dipendenti}
\index{Generatore! dipendente}

Un generatore dipendente eroga un segnale di tensione/corrente
dipendente dalla corrente/tensione presente in un'altra parte del
circuito.

Un esempio \`e quello di figura~\ref{gen_dip}, nel quale il generatore
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/gen_dip.eps,width=0.6\textwidth}}
\end{center}
\caption{Circuito che contiene un generatore dipendente di corrente.} 
\protect\label{gen_dip}
\end{figure}
dipendente $\alpha~i_1$ eroga una corrente che \`e proporzionale,
secondo la costante $\alpha$, alla corrente nella maglia d'ingresso
$i_1$. La corrente nella maglia d'uscita $i_2$ sar\`a:

$$i_2 = \alpha i_1 + i$$

Un altro esempio \`e quello di figura~\ref{gen_dip2}, nel quale
abbiamo nella maglia d'uscita un generatore di tensione che eroga una
tensione proporzionale alla tensione presente tra i terminali
d'ingresso $V = \mu~V_f$.
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/gen_dip2.eps,width=0.6\textwidth}}
\end{center}
\caption{Circuito che contiene un generatore dipendente di tensione.} 
\protect\label{gen_dip2}
\end{figure}

\section{Quadripoli. Parametri $h$, $y$, $z$}

Sebbene i componenti circuitali con due terminali siano quelli pi\`u
comuni, esistono numerosissimi componenti circuitali con $N$ terminali
($N>2$). Il modello circuitale di un elemento con $N$ terminali prende
il nome di \Index{$N$-polo} ($N=3$ tripolo, $N=4$ quadripolo). 

Nella teoria dei circuiti gli $N$-poli hanno un duplice ruolo. Primo,
sono adoperati come modelli di parti complesse di circuiti che
interagiscono con le restanti parti del circuito di cui fanno parte
attraverso pi\`u di due terminali. \`E possibile caratterizzare il
funzionamento di queste parti indipendentemente dal circuito in cui
esse sono inserite. Secondo, gli elementi con pi\`u di due terminali
sono adoperati come modelli per componenti complessi quali i
transistor, gli amplificatori operazionali, etc.

Il funzionamento di un $N$-polo \`e definito dalle relazioni esistenti
tra le intensit\`a delle correnti che attraversano i terminali e le
tensioni tra i terminali.

Un $N$-polo ha $N$ intensit\`a di corrente distinte, tante quanti sono
i terminali, e $N(N-1)/2$ tensioni distinte, tante quante sono le
coppie di terminali senza ripetizione. Naturalmente tutte queste
grandezze non sono completamente indipendenti l'una dall'altra; il
numero di grandezze indipendenti necessarie per descrivere il
funzionamento dell'$N$-polo pi\`u essere ridotto grazie alle due leggi
di Kirchoff. In generale, per un componente con $N$ terminali, solo
$N-1$ intensit\`a di corrente e $N-1$ tensioni sono indipendenti
(descrittive). Il funzionamento di un $N$-polo \`e descritto da $N-1$
relazioni tra le intensit\`a di corrente e le tensioni descrittive;
relazioni che dipendono solo dalla costituzione fisica del componente
che l'elemento rappresenta.

Una coppia di terminali \`e detta $porta$\index{Porta} se la somma delle
intensit\`a delle correnti che li attraversano \`e uguale a zero. A
ciascuna porta \`e associata un'intensit\`a di corrente ed una
tensione. 

Molti degli elementi circuitali che saranno introdotti in seguito in
questo volume, possono essere descritti come \index{Quadripolo}
quadripoli a due porte, o $doppi~bipoli$ (e saranno chiamati
semplicemente quadripoli). 

Vediamo l'esempio di figura~\ref{quadripolo}, in esso compare una
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/quadripolo.eps,width=0.5\textwidth}}
\end{center}
\caption{Doppio bipolo o quadripolo\index{Quadripolo}.}
\protect\label{quadripolo}
\end{figure}
coppia di terminali d'ingresso (porta d'ingresso) ed una coppia di
terminali d'uscita (porta d'uscita). Le intensit\`a di corrente
entranti nei quattro terminali verificano le seguenti relazioni:

$$i_1 + i_3 = 0 \hspace {2cm} i_2 + i_4 = 0$$
cos\`\i\ possiamo associare alla porta d'ingresso semplicemente
l'intensit\`a di corrente $i_1$ e la tensione $v_1$, a quella
d'uscita, la corrente $i_2$ e la tensione $v_2$.

Il funzionamento dei quadripoli a due porte \`e descritto da due
relazioni indipendenti tra le due intensit\`a di corrente $i_1$ e
$i_2$ e le due tensioni $v_1$ e $v_2$; relazioni che dipendono
unicamente dalla natura fisica del componente che il doppio bipolo
rappresenta. 

Naturalmente esiste la possibilit\`a che due quadripoli, diversi nella
composizione circuitale interna, si comportino in modo identico
relativamente alla grandezze elettriche (correnti e tensioni) sui
terminali. Quando questo si verifica, i due quadripoli sono detti
$equivalenti$ e possono essere scambiati tra loro senza influenzare il
comportamento della rete elettrica nella quale sono inseriti.

Un quadripolo lineare non pu\`o comprendere nella sua rete generatori
indipendenti di tensione o corrente; per\`o possono essere presenti
generatori dipendenti da una grandezza elettrica ai terminali o
interna. 

\vspace{0.5cm}

Abbiamo visto che delle quattro variabili ($i_1$, $i_2$, $v_1$ e
$v_2$) che descrivono il quadripolo, solo due possono essere assegnate
indipendentemente, le altre sono legate alla prime da equazioni
lineari. Ognuna delle differenti scelte delle possibili coppie di
variabili indipendenti ($i_1$-$i_2$, $i_1$-$v_1$, etc) conduce ad una
descrizione matematica diversa; poich\'e le possibilit\`a sono sei,
esistono sei diversi modelli matematici che descrivono un quadripolo.

\subsubsection{Modello a parametri $y$}
\index{Modello a parametri $y$}

Il modello a parametri $y$ (conduttanza) viene usato per descrivere le
correnti caratteristiche del quadripolo in funzione delle tensioni ai
capi dei terminali d'ingresso ed uscita:

$$i_1 = f_1(v_1,v_2) $$
$$i_2 = f_2(v_1,v_2)$$
il circuito equivalente al quadripolo che vogliamo descrivere con il
modello a parametri $y$ \`e quello di figura~\ref{par_y}. Il sistema
di equazioni lineari associate \`e:
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/par_y.eps,width=0.7\textwidth}}
\end{center}
\caption{Circuito equivalente a parametri $y$.}
\protect\label{par_y}
\end{figure}


\begin{equation*}
\begin{cases}
 i_1 = y_{11} v_1 + y_{12} v_2  \\
 i_2 = y_{21} v_1 + y_{22} v_2
\end{cases}
\end{equation*} 

I parametri $y$ si possono determinare mediante i rapporti
corrente-tensione imponendo la condizione che una delle due tensioni sia
nulla; operativamente, quindi, devono essere chiusi in cortocircuito i
terminali d'ingresso ($v_1 = 0$) e di uscita ($v_2 = 0$).

\subsubsection{Modello a parametri $z$}
\index{Modello a parametri $z$}

Scegliendo come variabili indipendenti le correnti di ingresso e di
uscita ($i_1$ e $i_2$), le equazioni che descrivono il comportamento
del quadripolo hanno la forma: 

\begin{equation*}
\begin{cases}
 v_1 = z_{11} i_1 + z_{12} i_2  \\
 v_2 = z_{21} i_1 + z_{22} i_2
\end{cases}
\end{equation*} 

Il modello circuitale che ne deriva \`e denominato modello a parametri
$z$ o parametri impedenza, dato che i coefficienti delle correnti
rappresentano delle impedenze. I parametri $z$ si possono determinare
misurando i rapporti tensione-corrente avendo aperto l'opportuna
coppia di terminali in modo da avere $i_1 = 0$ e $i_2 = 0$.

\subsubsection{Modelli a parametri ibridi}
\index{Modello a parametri ibridi}
\index{Modello a parametri $h$}
\index{Modello a parametri $g$}

I modelli a parametri ibridi si ottengono considerando come variabili
indipendenti le grandezze $i_1$ e $v_2$ oppure $v_1$ e $i_2$; nel
primo caso il quadripolo \`e descritto dal modello a parametri $h$,
nel secondo dal modello a parametri $g$.

Il circuito equivalente al quadripolo descritto col modello a
parametri $h$ \`e quello di figura~\ref{par_h}, e le equazioni
lineari associate sono:
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/par_h.eps,width=0.7\textwidth}}
\end{center}
\caption{Circuito equivalente a parametri $h$.}
\protect\label{par_h}
\end{figure}

\begin{equation*}
\begin{cases}
 v_1 = h_{11} i_1 + h_{12} v_2  \\
 i_2 = h_{21} i_1 + h_{22} v_2
\end{cases}
\end{equation*} 
dove i parametri $h_{12}$ e $h_{21}$ sono numeri puri, il parametro
$h_{11}$ ha le dimensioni di una impedenza, mentre il parametro
$h_{22}$ quelle di una conduttanza.

La determinazione sperimentale di questi parametri si effettua prima
aprendo il circuito d'ingresso ($i_1 = 0$) e alimentando l'uscita (si
ottengono $h_{12}$ e $h_{22}$) e poi cortocircuitando l'uscita ($v_2 =
0$).  

\section{Teorema di Miller}

Sia dato un circuito con un generico numero di nodi. Indichiamo con
$V_i$ il potenziale dell'$i$-esimo nodo. Consideriamo due di questi
nodi, ad esempio quelli 1 e 2 di figura~\ref{cap1miller} ed ammettiamo di
conoscere il rapporto tra le tensioni $V_2/V_1 = K$. Ci chiediamo
quale sar\`a la corrente che fluisce in un'impedenza $Z$ inserita tra
i nodi 1 e 2.  
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/miller.eps,width=0.3\textwidth}}
\end{center}
\caption{Generico circuito con $N$ poli.}
\protect\label{cap1miller}
\end{figure}

Il \Index{Teorema di Miller} ci dice che la corrente erogata dal nodo
1, che attraversa 2, (e, pi\`u in generale, la risposta del circuito)
pu\`o essere calcolata ricorrendo al circuito equivalente di
figura~\ref{miller2}, dove:

$$Z_1 = \frac{Z}{1-K} \hspace{2cm} Z_2 = -\frac{Z~K}{1-K}$$
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/miller2.eps,width=0.5\textwidth}}
\end{center}
\caption{Circuito equivalente a quello di figura~\ref{cap1miller} ottenuto
  grazie al Teorema di Miller.}
\protect\label{miller2}
\end{figure}

Infatti la corrente che fluisce in $Z$ \`e:

$$I = \frac{V_1-V_2}{Z} = V_1 \left( 1-\frac{V_2}{V_1} \right)
\frac{1}{Z} = V_1 \frac{1-K}{Z} = \frac{V_1}{Z/(1-K)} =
\frac{V_1}{Z_1}$$
cio\`e la medesima corrente che attraversa, dal nodo 1, l'impedenza
$Z_1$ verso massa.

Analogamente, la corrente che fluisce in $Z$ dal nodo 2 \`e:

$$I = \frac{V_2-V_1}{Z} = V_2 \left( 1-\frac{V_1}{V_2} \right)
\frac{1}{Z} = \frac{V_2 (1-1/K)}{Z} = \frac{V_2(K-1)}{K~Z} =
\frac{V_2}{Z_2}.$$ 

\section{Circuiti $RC$ e $CR$}
\index{Circuito $RC$} \index{Circuito $CR$}
\index{Filtro! passa-alto} \index{Filtro! passa-basso}

Circuiti costituiti da sole resistenze e capacit\`a sono 
importanti, in quanto essi permettono di realizzare {\it filtri} \index{Filtro}
senza far uso di induttanze (pi\`u complesse dal punto di
vista tecnologico). 

Un filtro \`e un circuito che lascia passare solo segnali compresi in
un certo intervallo in frequenze. 
Si dice filtro passa-basso un circuito che lascia passare solo
le frequenze pi\`u basse di una prefissata, detta frequenza di
taglio. Viceversa si dice filtro passa-alto un circuito che seleziona
frequenze pi\`u alte di una prefissata. 

Un circuito che funzioni come filtro passa-basso si pu\`o ottenere
semplicemente mettendo in serie una resistenza ed un condensatore, il
segnale in ingresso si invia ai capi della serie ed il segnale in
uscita si legge ai capi del condensatore (figura~\ref{RC}).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/RC.eps,width=0.5\textwidth}}
\end{center}
\caption{Circuito $RC$ o passa-basso \index{Filtro! passa-basso}
(integratore\index{Integratore}). \index{Circuito $RC$}}
\protect\label{RC}
\end{figure}

Per avere un filtro passa-alto sempre con un circuito formato da una
serie tra un condensatore ed una resistenza, il segnale in uscita deve
essere letto ai capi della resistenza, che, in questa configurazione,
segue il condensatore (figura~\ref{CR}).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/CR.eps,width=0.5\textwidth}}
\end{center}
\caption{Circuito $CR$ o passa-alto \index{Filtro! passa-alto}
(derivatore\index{Derivatore}). \index{Circuito $CR$}}
\protect\label{CR}
\end{figure}

\subsection{Risposta a gradini ed a rampe}

Vediamo prima di tutto quale \`e la risposta di un circuito
passa-basso ad un gradino unitario in ingresso. \index{Filtro!
passa-basso} 

Sempre considerando il circuito di figura~\ref{RC} possiamo scrivere
le seguenti equazioni:

\begin{equation*}
\begin{cases}
v_i = R i + \frac{1}{C} \int i dt \\
i = \frac{v_i-v_o}{R}
\end{cases}
\end{equation*} 
sostituendo la seconda nella prima:

$$v_i = R \frac{v_i-v_o}{R} + \frac{1}{RC} \int v_i dt - \frac{1}{RC}
\int v_o dt $$
$$v_o = \frac{1}{RC} \int v_i dt - \frac{1}{RC} \int v_o dt $$
\begin{equation}
RC \frac{dv_o}{dt} + v_o = v_i
\label{equ}
\end{equation}
la cui soluzione \`e data da (figura~\ref{gradino}):

$$v_o = 1 - e^{-t/\tau} \hspace{3cm} \tau \equiv RC$$
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/gradino.eps,width=0.5\textwidth,height=0.3\textheight}}
\end{center}
\caption{Risposta di un circuito $RC$ passa-basso ad un gradino.}
\protect\label{gradino}
\end{figure}

\index{Filtro! passa-basso}
La risposta dello stesso circuito ad un segnale in ingresso che
rappresenti una rampa ($v_i = \alpha t$) si trova risolvendo ancora
l'equazione~(\ref{equ}). La soluzione dell'equazione omogenea \`e $v_o =
e^{-t/\tau}$ e la soluzione particolare dell'equazione completa \`e
$v_o = \alpha (t-\tau)$; le condizioni al contorno sono le seguenti:

\begin{equation*}
\begin{cases}
t = 0 \hspace{0.7cm} v_o = 0 \\
t = \infty \hspace{0.5cm} v_o = \alpha t
\end{cases}
\end{equation*}
quindi la risposta del circuito \`e data da:

$$v_o = \alpha \tau (e^{-t/\tau} - 1) + \alpha t$$

Considerando lo sviluppo dell'esponenziale per $t << \tau$ abbiamo:

$$v_o = \alpha \tau \left (-\frac{t}{\tau} + \frac{t^2}{2\tau^2} ... \right) +
\alpha t \simeq \frac{\alpha}{\tau}\frac{t^2}{2}$$
cio\`e, a parte il fattore $1/\tau$, l'integrale del segnale in
ingresso. Al crescere di $t$, tuttavia, l'andamento diviene nuovamente
lineare. \index{Filtro! passa-basso}

Questo tipo di risposta (l'integrale dell'ingresso per tempi piccoli
rispetto ad $RC$) si ottiene anche per altre forme d'onda in ingresso.
La caratteristica di avere in uscita un segnale corrispondente
all'integrale di quello in ingresso \`e propria di questo tipo di
circuito che, difatti, viene anche chiamato indegratore.\index{Integratore}

\vspace{0.5cm}

Consideriamo adesso il circuito di figura~\ref{CR}, il filtro-passa
alto; per un gradino unitario in ingresso avremo:\index{Filtro! passa-alto}

$$v_o = v_i - v_c = v_i - v_i (1 - e^{-t/\tau})$$
dove $v_c$ \`e la tensione ai capi del condensatore, quindi il segnale
in uscita \`e dato da (figura~\ref{gradino2}):
\begin{equation}
v_o = e^{-t/\tau}
\label{CR_gradino}
\end{equation}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/gradino2.eps,width=0.5\textwidth,height=0.3\textheight}}
\end{center}
\caption{Risposta di un circuito $CR$ passa-alto ad un gradino.}
\protect\label{gradino2}
\end{figure}

Questo tipo di circuito ``blocca'' completamente ogni segnale continuo
e, pi\`u in generale, ogni segnale alle basse frequenze (di qui il
nome di filtro passa-alto). \index{Filtro! passa-alto} 

Vediamo adesso in che senso questo tipo di circuito pu\`o essere usato
come \index{Derivatore}derivatore. Per il circuito $CR$ possiamo scrivere le
seguenti equazioni:
\begin{equation*}
\begin{cases}
v_o = v_i - \frac{1}{C} \int i dt \\
i = \frac{v_o}{R}
\end{cases}
\end{equation*} 
sostituendo la seconda nella prima avremo:

$$v_o = v_i - \frac{1}{RC} \int v_o dt$$
\begin{equation}
\frac{v_o}{RC} + \frac{dv_o}{dt} = \frac{dv_i}{dt}
\label{deriv}
\end{equation}

Consideriamo i due casi limite: quello in cui $v_i$ stia cambiando
molto rapidamente e quello in cui cambi molto lentamente. 

Nel primo caso, come si \`e gi\`a visto, poich\'e la differenza di
potenziale ai capi del condensatore non pu\`o cambiare rapidamente,
si ha che $dv_o/dt$ sar\`a grande (come $dv_i/dt$) ed allora il
termine $v_o/RC$ potr\`a in prima approssimazione essere trascurato
rispetto a $dv_o/dt$. In tal caso, quindi avremo
$$v_o = v_i + cost.$$
dove la costante dipende dalle condizioni iniziali. 
 
Nel secondo caso $v_i$ cambia molto poco in un tempo pari alla
costante di tempo $RC$ del circuito, ovvero $RC << T$ dove $T$ \`e il
tempo in cui $v_i$ subisce una variazione apprezzabile. Avremo:

$$\frac{v_o}{RC} >> \frac{dv_o}{dt}$$
trascurando quindi a primo membro nell'equazione~(\ref{deriv}) il
termine $dv_o/dt$, avremo:
\index{Filtro! passa-alto}

$$v_o = RC \frac{dv_i}{dt}$$
cio\`e il segnale in uscita verr\`a ad essere proporzionale alla
derivata di quello in ingresso. \index{Derivatore}

Prendiamo come esempio il caso di un segnale a rampa:

$$v_i = \alpha t$$
l'equazione differenziale del circuito si scrive in tal caso:

$$\frac{v_o}{RC} + \frac{dv_o}{dt} = \alpha$$
e la soluzione di tale equazione \`e:

$$v_o = \alpha RC (1 - e^{-t/RC})$$

Per $t << RC$ possiamo sostituire l'esponenziale in parentesi con il
suo sviluppo in serie:

$$e^{-t/RC} \simeq 1 - \frac{t}{RC} + ...$$
quindi:

$$v_o = \alpha t$$

Vediamo cos\`\i\ che per tempi piccoli rispetto alla costante di tempo
$RC$ il segnale in uscita segue quello in ingresso. Per tempi grandi,
invece, il termine esponenziale tender\`a a zero ed avremo:

$$v_o \simeq \alpha RC$$

Se il fronte di salita di un generico tipo di impulso pu\`o essere
approssimato con una rampa, possiamo usare questo circuito come
derivatore ed ottenere la pendenza attraverso la misura del valore
asintotico del segnale in uscita.

\subsection{Risposta ad onde quadre}

Supponiamo di mandare in ingresso ad un circuito $CR$ passa-alto
(figura~\ref{CR}) un'onda quadra di periodo $2T$ ed ampiezza $V$. 

Per $t<T$ il segnale in uscita \`e quello calcolato in precedenza come
risposta ad un ingresso a gradino (equazione~(\ref{CR_gradino})). A $t=T$
il segnale in ingresso diminuisce la sua ampiezza di un valore pari a
$V$ e di conseguenza anche quello di uscita ``cade'' di $V$ in quanto
la differenza di potenziale ai capi di $C$ non pu\`o cambiare
improvvisamente:  
$$\Rightarrow \hspace{2cm} t = T \hspace{2cm} v_o = (V e^{-T/\tau} - V)
< 0$$
A partire da tale istante l'uscita comincia a risalire verso lo zero
con legge esponenziale e con la medesima costante di tempo di prima:
$$v_o = V (e^{-T/\tau} - 1) e^{-(t-T)/\tau}$$

Se vogliamo che la distorsione sia minima, occorre che la costante di
tempo $RC$ sia grande rispetto a $T$. Tuttavia c'\`e sempre una caduta
alla fine del segnale in ingresso. Inoltre l'integrale della parte di
segnale in uscita sopra lo zero \`e uguale a quello della parte
negativa (figura~\ref{CR_quadra}).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/quadra.eps,width=0.5\textwidth}}
\end{center}
\caption{Risposta ad un'onda quadra di un circuito $CR$ passa-alto.}
\protect\label{CR_quadra}
\end{figure}

Riassumendo, le caratteristiche della risposta di un circuito
passa-alto ad un'onda quadra periodica in ingresso sono le seguenti:
\index{Filtro! passa-alto}
\begin{description}
\item[-] il segnale in uscita \`e periodico, con lo stesso periodo
  di quello in ingresso;
\item[-] l'area sopra l'asse dei tempi \`e uguale all'area sotto;
\item[-] quando l'ingresso subisce una brusca variazione, anche l'uscita
  subisce una brusca variazione nello stesso verso;
\item[-] durante un qualsiasi intervallo di tempo in cui l'ingresso
  mantiene un livello costante, l'uscita decade esponenzialmente verso
  lo zero.
\end{description}

\subsection{Risposta a segnali sinusoidali}

Esaminiamo ora la risposta di un circuito passa-alto \index{Filtro!
passa-alto} ad un'onda sinusoidale.

Consideriamo ancora il circuito di figura~\ref{CR}. Le impedenze del
condensatore e della resistenza sono :

$$Z_C = \frac{1}{j \omega C} \hspace{2cm} Z_R = R$$
il segnale in uscita \`e dato da:

$$v_o = v_i \frac{R}{Z_{tot}} = v_i \frac{R}{R+\frac{1}{j \omega C}} = 
v_i \frac{j \omega RC}{j \omega RC + 1} = $$
$$= v_i \frac{j \omega RC (1 - j \omega RC)}{1 + (\omega RC)^2} = 
v_i \frac{j \omega RC + (\omega RC)^2}{1 + (\omega RC)^2}$$
da cui:

$$\frac{v_o}{v_i} = \frac{\omega RC}{1 + (\omega RC)^2} (\omega RC + j)$$
quindi il segnale in ingresso viene attenuato di un fattore

$$A = \frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$$
che tende ad 1 per $\omega$ che tende ad infinito, ed a $\omega RC$
per $\omega RC << 1$. Il segnale \`e inoltre sfasato di un angolo
$\theta$ con 
$$tg(\theta) = \frac{1}{\omega RC}$$

Se il segnale in ingresso \`e un'onda sinusoidale del tipo

$$v_i = V sin(\omega t)$$
allora il segnale in uscita \`e
$$v_o = A V sin(\omega t + \theta)$$

Per avere un \index{Derivatore}derivatore  perfetto, deve essere $\theta = \pi/2$
e quindi dovremmo avere $R = 0$ oppure $C = 0$. Tuttavia, se $\omega
RC = 0.01$, allora $\theta = 89.4^o$ e quindi l'approssimazione \`e
molto buona.

Esaminiamo ora, la risposta all'onda sinusoidale di un circuito passa-basso
\index{Filtro! passa-basso}:

$$v_o = v_i \frac{Z_C}{Z_{tot}} = v_i \frac{1}{j \omega C} \frac{1}{R
  + \frac{1}{j \omega C}} = $$
$$= v_i \frac{1}{1+j \omega RC} = v_i \frac{1-j\omega RC}{1+(\omega
  RC)^2}$$ 
quindi in questo caso il fattore di attenuazione \`e pari a:

$$A = \frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$$
che tende a zero per $\omega$ che tende ad infinito. Lo sfasamento \`e
invece dato da:

$$tg(\theta) = - \omega RC$$

Si pu\`o verificare il comportamento del circuito come integratore
\index{Integratore} attraverso un'a\-na\-li\-si della risposta ad un segnale
sinusoidale. In tal caso infatti, se l'ingresso \`e una funzione del
tipo $cos(\omega t)$, il segnale in uscita dovr\`a essere del tipo
$sin(\omega t)$, ovvero 
$$cos(\frac{\pi}{2} - \omega t)$$
se lo sfasamento fosse diverso da $\pi /2$, il comportamento non
sarebbe quello di un buon integratore. \`E, invece, possibile
verificare che lo sfasamento \`e $\geq 89.4^o$ (invece di $90^o$) se
$RC \geq 15 T$, dove $T$ \`e il periodo dell'onda.

\vspace{0.5cm}
Una forma d'onda sinusoidale, al passaggio attraverso una rete lineare
(cio\`e una rete contenente i soli operatori lineari $R$,
$\frac{1}{C}\int dt$, $L\frac{d}{dt}$) rimane sinusoidale. L'unico
effetto che il circuito ha su di essa \`e quello di introdurre
eventualmente uno sfasamento. Questa \`e una caratteristica delle sole
forme d'onda sinusoidali. Ogni altra forma d'onda subisce delle
modifiche nella forma. Il processo attraverso il quale la forma di un
segnale non sinusoidale \`e alterata dalla trasmissione attraverso una
rete lineare \`e chiamato ``{\it linear wave shaping}''.

\section{Riflessione di impedenze nel primario di un trasformatore}

Se una generica impedenza $Z$ \`e presente nel secondario di un trasformatore, quale ad esempio quella mostrata in figura~\ref{transformer}, l'impedenza ''vista'' nel primario \`e legata a $Z$ ed al rapporto di trasformazione da
una semplice relazione, che ora esamineremo.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/transformer.eps,width=0.5\textwidth}}
\end{center}
\caption{Riflessione dell'impedenza Z nel primario di un trasformatore.}
\protect\label{transformer}
\end{figure}

Il rapporto di trasformazione per la tensione \`e legato al rapporto tra i numeri di spire $n_1$ ed $n_2$ presenti rispettivamente nel circuito
primario ed in quello secondario, dalla nota relazione:
\[
\frac{v_1}{v_2}\:=\:\frac{n_1}{n_2}
\]
L'analoga relazione per la corrente \`e:
\[
\frac{i_1}{i_2}\:=\:\frac{n_2}{n_1}
\]
La relazione tra corrente e tensione nel circuito secondario \`e d'altronde:
\[
\frac{v_2}{i_2}\:=\:Z
\]
L'impedenza ''vista'' guardando nel primario \`e:
\[
Z_{in}\:=\:\frac{v_1}{i_1}
\]
Sostituendo in questa i valori forniti dai rapporti di trasformazione per tensione e corrente, otteniamo:
\begin{equation}
Z_{in}\:=\:\frac{v_2 n_1/n_2}{i_2 n_2/n_1}\:=\:Z \left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2  \label{impedenza_riflessa_trasformatore}
\end{equation}

Se $Z$ \`e una semplice resistenza $R$, avremo:
\begin{equation}
R_{in}\:=\:R\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2     \label{resistenza_riflessa_trasformatore}
\end{equation}

Se $Z$ \`e una capacit\`a $Z=1/j\omega C$, avremo:

\begin{equation}
C_{in}\:=\:C\left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2     \label{capacita_riflessa_trasformatore}
\end{equation}

Se infine $Z$ \`e un'induttanza $Z=j \omega L$, avremo:

\begin{equation}
L_{in}\:=\:L\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2     \label{induttanza_riflessa_trasformatore}
\end{equation}

Il trasformatore potrebbe consistere in un autotrasformatore, quale quello mostrato in figura~\ref{autotransformer}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
\mbox{\epsfig{file=teoremi/autotransformer.eps,width=0.5\textwidth}}
\end{center}
\caption{Riflessione dell'impedenza Z nel primario di un autotrasformatore.}
\protect\label{autotransformer}
\end{figure}

In tal caso possiamo applicare le medesime relazioni appena scritte, con l'intesa che ora $n_1$ \`e il numero 
di spire nel circuito d'ingresso, mentre $n_2$ v\`a ora sostituito con il numero totale di spire presenti
nel circuito secondario, $n=n_1+n_2$. La resistenza, capacit\`a ed induttanza viste nel circuito primario
saranno ora date da:


\begin{equation}
R_{in}\:=\:R\left(\frac{n_1}{n}\right)^2     \label{resistenza_riflessa_autotrasformatore}
\end{equation}


\begin{equation}
C_{in}\:=\:C\left(\frac{n}{n_1}\right)^2     \label{capacita_riflessa_autotrasformatore}
\end{equation}


\begin{equation}
L_{in}\:=\:L\left(\frac{n_1}{n}\right)^2     \label{induttanza_riflessa_autotrasformatore}
\end{equation}
