\chapter{Transistor bipolari}     \label{cap:transistor_bipolari}


\section{Caratteristiche del transistor bipolare}

Il transistor bipolare, quando usato nella zona attiva (cio\`e con
$V_{BE}>V_{\gamma}$, $V_C>V_B$) si comporta come amplificatore di
corrente. Una piccola corrente iniettata in base controlla una
corrente molto maggiore che (in un transistor npn) attraversa il
transistor nel verso collettore-base-emettitore, come mostrato in
figura~\ref{transistor_base_one} (relativa alla configurazione nota
come ``emettitore comune'' o CE, in cui l'emettitore \`e ``comune''
alla maglia d'ingresso ed a quella d'uscita).


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_one.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Transistor polarizzato nella configurazione
emettitore-comune.}  \protect\label{transistor_base_one}
\end{figure}

La batteria indicata con $V_{CE}$ fa si che il collettore sia
polarizzato positivamente rispetto all'emettitore pi\`u di quanto la
base sia polarizzata rispetto al medesimo emettitore.  Ci\`o assicura
che $V_{CB}$ sia positivo.

Notiamo che il diodo emettitore-base, polarizzato direttamente,
stabilir\`a una differenza di potenziale $V_{BE}$ all'incirca uguale a
0.7 V (cio\`e al $V_{\gamma}$ del diodo) indipendentemente dalla
corrente $I_B$ che entra in base\footnote{In realt\`a, in presenza di
segnale in base, $V_{BE}$ varia attorno al valore $0.6-0.7\;V$, come
evidente dalle caratteristiche del diodo. \'E proprio tale piccola
variazione di $V_{BE}$ a causare la variazione di corrente nel
transistor.}. Quest'ultima potr\`a variare, con una conseguente
variazione di $I_C$, mentre $V_{BE}$ rimarr\`a praticamente costante.
 
A rigore quindi quello che abbiamo indicato con $V_{BE}$ non potr\`a
essere un generatore (ideale) di tensione, poich\`e in tal caso
$V_{BE}$ potrebbe esser maggiore di $V_{\gamma}$, ma al generatore
$V_{BE}$ dovr\`a essere associata una resistenza.

Una configurazione pi\`u realistica (ma poco adoperata, come vedremo
pi\`u avanti) \`e quella di figura~\ref{transistor_base_two}:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_two.eps,width=8.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Transistor polarizzato in modo da lavorare come
amplificatore, nella configurazione emettitore-comune. Sono presenti
la resistenza di collettore $R_C$ e quella di base $R_B$. Quest'ultima
fa s\`i che la corrente di base rimanga approssimativamente costante.}
\protect\label{transistor_base_two}
\end{figure}

In questa configurazione avremo:
\[
V_{BE}=V_B - R_b I_B
\]

dove $V_{BE} \approx 0.6 \div 0.7\;V$. Se ad esempio fissiamo
$V_B=2\;V$, $R_b=28\;k$, avremo:
\[
I_B=\frac{2-0.6}{28}\;mA\:=\:0.05\;mA
\]


Se ora il transistor avesse un guadagno\index{$\beta$ per il
transistor bipolare} in corrente $h_{FE}=\beta=100$,\index{Transistor
bipolare! guadagno in corrente} la corrente di collettore $I_C$
sarebbe uguale a 5~mA e quella di emettitore:
\[
I_E=I_C+I_B=5.05\;mA
\]


Ammettendo che sia $V_{CE}=10\;V$ ed $R_c=1\;k\Omega$, la tensione sul
collettore sar\`a:
\[
V_O=10-5=5\;V
\]


Se ora aggiungessimo in serie a $V_B$ una tensione variabile (ad
esempio sinusoidale), piccola rispetto a $V_B$, ad esempio una
tensione avente un'ampiezza di 0.5~V, $I_B$ varier\`a tra:
\[
(I_B)_{max}=\frac{2.5-0.6}{28} \;mA\:=\:0.068\;mA
\]
e
\[
(I_B)_{min}=\frac{1.5-0.6}{28} \;mA\:=\:0.032\;mA
\]

con conseguenti variazioni di $I_C$ comprese tra:
\[
(I_C)_{max}=6.8\;mA
\]
e:
\[
(I_C)_{min}=3.2\;mA
\]
e di $V_O$ comprese tra:
\[
(V_O)_{max}=(10-3.2)\;V \:=\:6.8\;V
\]
e:
\[
(V_O)_{min}=(10-6.8)\;V \:=\:3.2\;V
\]
La variazione del segnale di tensione in uscita \`e:
\[
\Delta V_O=(V_O)_{max}-(V_O)_{min}=3.6\;V
\]
mentre quella del segnale di tensione in ingresso \`e:
\[
\Delta V_i=0.5-(-0.5)\;V\:=\:1\;V
\]

ed il guadagno in tensione:
\[
G_V=\frac{\Delta V_O}{\Delta V_i}=3.6
\]

Dobbiamo osservare che quando il segnale applicato in ingresso
aumenta, la tensione in uscita diminuisce (e viceversa). Abbiamo
cio\`e a che fare con un \emph{amplificatore invertente}. Il valore
ottenuto (3.6) \`e quindi il modulo di $G_V$, che \`e negativo.


Notiamo che il numeratore nell'espressione del guadagno dipende dal
valore scelto per $R_c$.  Se $R_c$ fosse 1.4~k anzich\`e 1~K, avremmo
infatti:
\[
(V_O)_{max}=(10-3.2\cdot 1.4)\;V\:=\:5.52\;V
\]
e:
\[
(V_O)_{min}=(10-6.8\cdot 1.4) \;V\:=\:0.48\;V
\]


per cui:
\[
G_V=\frac{\Delta V_O}{\Delta V_i}=5.04
\]

Osserviamo che, se cercassimo di aumentare ulteriormente il guadagno
scegliendo un valore di $R_c$ ancora pi\`u alto, la tensione sul
collettore scenderebbe a valori prossimi a zero o negativi. In tali
condizioni il transistor non sarebbe pi\`u polarizzato in zona attiva.

Prendiamo ad esempio $R_c=2.2\;k\Omega$. In assenza di segnale avremo
$I_C=5\;mA$ e quindi:
\[
V_C=10-5\cdot 2.2\:=\:(10-11)\;V\:=\:-1\;V
\]

In tali condizioni, la giunzione base-collettore viene ad essere
polarizzata con una tensione $V_B-V_C=V_B-V_E+V_E-V_C=0.6+1=1.6\;V$.
Vediamo che ora sia la giunzione base-emettitore che quella
base-collettore vengono ad essere polarizzate direttamente. Il
transistor in tale condizione \`e ``in saturazione''.
 
Poich\`e entrambi i diodi si assesteranno con tensioni di circa
$V_{\gamma}$, avremo $V_C-V_E\approx 0\;V$.

La zona di saturazione \`e caratterizzata, come \`e possibile vedere
sulle caratteristiche del transistor
(figura~\ref{transistor_base_three}), da valori di $I_B$ maggiori di
quelli che, a parit\`a di $I_C$, competono al medesimo transistor
quando esso lavora in zona attiva.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_three.eps,width=12.0 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Caratteristiche di uscita del transistor bipolare. Sono
indicate la \emph{zona di saturazione}, quella \emph{di interdizione}
e quella \emph{attiva}} \protect\label{transistor_base_three}
\end{figure}

Da un punto di vista pratico, un transistor pu\`o esser considerato in
saturazione\index{Transistor bipolare! in saturazione} se \`e:
\[
I_B\gg\frac{I_C}{\beta}
\]

Se la giunzione base-emettitore \`e polarizzata inversamente (cio\`e
se $V_{BE}<V_{\gamma}$), il transistor \`e
``interdetto''\index{Transistor bipolare! in interdizione}. Elettroni
non fluiscono pi\`u dall'emettitore nella base e di conseguenza la
corrente nel transistor scende a valori prossimi a zero. In tali
condizioni, se la configurazione \`e quella CE, tutta la tensione
applicata al collettore \`e presente in uscita. Al contrario, come
visto, se il transistor \`e in saturazione, $V_{CE}\approx 0$ (in
realt\`a $V_{CE} \le 0.2\;V$) e quindi $V_{O} \cong (0\div 0.2) V$.

Nei circuiti digitali il transistor viene spesso fatto lavorare nei
due stati d'interdizione ($V_O\approx V_{CC}$) e di saturazione
($V_O\approx 0\;V$) che vengono associati rispettivamente allo stato
logico 1 ed allo stato logico 0.

La figura~\ref{guadagno_amplificatore_transistor} mostra un tipico
schema in cui il transistor \`e adoperato come amplificatore. Esso
lavora quindi nella zona ``lineare'' delle
caratteristiche\index{Transistor bipolare! zona lineare delle
caratteristiche}.

La parte superiore della
figura~\ref{guadagno_amplificatore_transistor_out} mostra il segnale
applicato in ingresso insieme al segnale misurato ai capi di $R_L$
(uscita). La frequenza del segnale sinusoidale applicato \`e 5~kHz e
l'ampiezza $\pm 1\;V$. Come si vede, il segnale in uscita \`e
invertito rispetto a quello in ingresso ed ha un'ampiezza di circa
3.5~V. Il grafico inferiore nella figura mostra l'andamento della
tensione misurata tra base ed emettitore.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/guadagno_amplificatore_transistor.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Amplificatore a transistor bipolare nella configurazione
emettitore-comune. Le resistenze $R_1$ ed $R_2$ mantengono costante la
tensione di base} \protect\label{guadagno_amplificatore_transistor}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/guadagno_amplificatore_transistor_out.eps,width=12.0 cm,
height=13 cm}}\end{center}
\caption{Nel grafico superiore la sinusoide tratteggiata mostra il
segnale sinusoidale (ampiezza circa 1~V) applicato all'ingresso del
transistor di figura~\ref{guadagno_amplificatore_transistor}.La
sinusoide a tratto solido \`e il segnale ai capi di $R_L$. Il grafico
inferiore mostra l'andamento della tensione misurata tra base ed
emettitore} \protect\label{guadagno_amplificatore_transistor_out}
\end{figure}

Riassumendo quanto visto in questa sezione, un transistor pu\`o esser
adoperato come elemento di un circuito logico\index{Transistor
bipolare! come elemento di circuito logico}, nel qual caso esso vien
fatto lavorare nello stato di saturazione (differenza di potenziale
tra collettore ed emettitore nulla) o d'interdizione (corrente di
collettore nulla).  Nel primo caso, mostrato in
figura~\ref{transistor_saturazione_interdizione}(a), la tensione di
collettore verr\`a ad essere uguale a circa ($0.1 \div 0.2\;V$) ed il
relativo stato corrisponder\`a al livello logico ``basso''.  Nel
secondo caso, illustrato in
figura~\ref{transistor_saturazione_interdizione}(b), la tensione di
collettore verr\`a ad essere uguale a quella di alimentazione ed il
relativo stato corrisponder\`a al livello logico ``alto''.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_saturazione_interdizione.eps,width=12.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Il transistor bipolare come elemento di circuito logico. A
sinistra vediamo il transistor in saturazione (uscita bassa=stato
logico 0) ; a destra il medesimo transistor \`e in interdizione
(uscita alta=stato logico 1)}
\protect\label{transistor_saturazione_interdizione}
\end{figure}


Alternativamente, il transistor pu\`o esser adoperato come
amplificatore. In tal caso esistono tre diverse possibilit\`a, che
pi\`u avanti analizzeremo in dettaglio:
\begin{enumerate}
\item Nella configurazione ``emettitore comune'' o CE\index{Transistor
bipolare! configurazione CE}, mostrata nella parte in alto a sinistra
di figura~\ref{transistor_ce_cb_cc}, il transistor funziona da
amplificatore (invertente) di tensione, con un buon guadagno anche in
corrente.
\item Nella configurazione ``base comune'' o CB\index{Transistor
bipolare! configurazione CB}, mostrata nella medesima figura, il
transistor funziona da amplificatore (non invertente) di tensione, con
un basso guadagno in corrente
\item Nella configurazione ``collettore comune'' o CC\index{Transistor
bipolare! configurazione CC}, anche nota come ``inseguitore di
emettitore''\index{Inseguitore! di emettitore} (EF), in basso nella
figura, il transistor ha un elevato guadagno in corrente, ma nessun
guadagno in tensione.
\end{enumerate}

L'uso del transistor come amplificatore sar\`a discusso nel
capitolo~\ref{bipolar_tran_ampli}. Quello come elemento di circuiti
logici nel capitolo~\ref{famiglie_logiche}. Nel resto di questo
capitolo analizzeremo i metodi comunemente adoperati per fissare il
punto di lavoro del transistor, una volta scelta la configurazione,
nonch\'e i ``circuiti equivalenti'' adoperati per calcolare la
risposta di un amplificatore a transistor a segnali variabili di
piccola ampiezza. Discuteremo anche alcuni particolari tipi di
transistor e di combinazioni di transistor.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_ce_cb_cc.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{La configurazione in alto a sinistra mostra una tipica
configurazione in cui il transistor bipolare \`e adoperato nella
configurazione \emph{emettitore-comune}. Quella in alto a destra \`e
la configurazione \emph{base-comune}. La configurazione in basso \`e
quella \emph{collettore-comune} o anche \emph{inseguitore di
emettitore}} \protect\label{transistor_ce_cb_cc}
\end{figure}

\section{Il transistor in zona attiva}

Come visto, in zona attiva\index{Transistor bipolare! funzionamento in
zona attiva} la corrente di collettore \`e, in prima approssimazione,
legata alla corrente di base da una relazione lineare:
\begin{equation}
i_c=\beta i_b \label{transistor_intro_eqone}
\end{equation}
dove $\beta = h_{fe} \approx h_{FE}$, \`e il guadagno in corrente per
piccoli segnali.

Adoperiamo le seguenti convenzioni:\index{Transistor bipolare!
convenzione adoperata per tensioni e correnti}
\begin{itemize}
\item $i_b$ = componente variabile della corrente di base;
\item $I_B$ = componente continua (quiescente) della corrente di base;
\item $i_B$ = corrente di base totale $i_B=I_B+i_b$.
\end{itemize}

con analoghi simboli per le correnti di collettore e di emettitore.

Analogamente per le tensioni:
\begin{itemize}
\item $v_{ce}$ = componente variabile della tensione
collettore-emettitore;
\item $V_{CE}$ = componente continua della tensione
collettore-emettitore;
\item $v_{CE}$ = tensione totale: $v_{CE}=V_{CE}+v_{ce}$.
\end{itemize}

Un ``circuito equivalente'' che descrive la relazione
lineare~\ref{transistor_intro_eqone} \`e quello indicato in
figura~\ref{transistor_base_four}, relativo alla configurazione CE.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_four.eps,width=8.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente semplificato per il transistor bipolare
che lavora in zona attiva. $\beta\,i_b$ \`e un \emph{generatore
dipendente} di corrente} \protect\label{transistor_base_four}
\end{figure}

Nel circuito di figura sono indicati i terminali ``esterni'' di
collettore, emettitore e base ed \`e presente nella maglia d'uscita un
generatore ideale di corrente $\beta i_b$ (un generatore
\emph{dipendente},\index{Transistor bipolare! generatore dipendente di
corrente} in cui appunto la corrente di maglia \`e funzione della
corrente presente nella maglia d'ingresso, $i_b$).

Il circuito equivalente disegnato \`e troppo grossolano, poich\`e esso
non tiene conto di alcune propriet\`a fisiche del transistor. Vediamo
di esaminarle.

La prima cosa di cui dobbiamo tener conto \`e la resistenza associata
al diodo base- emettitore. Come sappiamo, un tale diodo ha una
``resistenza differenziale''\index{Transistor bipolare! resistenza
differenziale del diodo base-emettitore} (definita come $dv/di = r_e$)
data da:
\[
r_e=\frac{V_T}{I_E}\approx \frac{26}{I_E (mA)} \;(\Omega)
\]

dove nel nostro caso $I_E$ \`e la corrente di
emettitore\index{Transistor bipolare! corrente di
emettitore}. ``Guardiamo'' ora dentro la base e chiediamoci quale sia
la resistenza vista. In altre parole, immaginiamo che una variazione
di potenziale $\Delta V_B$ sia applicata alla base e misuriamo la
conseguente variazione $\Delta I_B$ della corrente.  La resistenza
``vista'' guardando nella base \`e:
\[
r_{b'e}=\frac{\Delta v_B}{\Delta i_B}=\frac{\Delta v_B}{\Delta
i_E}\cdot \frac{\Delta i_E}{\Delta i_B}\cong \frac{\Delta v_B}{\Delta
i_E}\cdot \beta
\]

Ma ora vediamo che $\Delta v_B\cong \Delta v_{BE}$, per cui:
\[
r_{b'e}=\frac{\Delta v_{BE}}{\Delta i_E}\cdot \beta=\beta r_e = \beta
\frac{V_T}{I_E}
\]

Questa \`e quindi la resistenza ``vista guardando nella
base''\index{Transistor bipolare! resistenza ``vista'' guardando in
base}.

In realt\`a, a questo termine, associato alla resistenza del diodo
base-emettitore, c'\`e da aggiungere un ulteriore termine,
indipendente da $I_E$ e da $\beta$, dovuto alla resistenza intrinseca
della base. Questo termine, noto come la
``base~spreading~resistance''\index{Transistor bipolare!
base-spreading-resistance} ed indicato con $r_{bb'}$, vale mediamente
$\approx\;100\,\Omega$.  In definitiva quindi, la resistenza ``vista
guardando nella base''\index{Transistor bipolare! resistenza ``vista''
guardando in base} \`e pari alla somma dei due termini:
$r_{b'e}+r_{bb'}$. Per una corrente $I_E$ tipica di $1\;mA$ ed un
$\beta$ di 100, vediamo che
\[
r_{b'e}\approx 100*25/1 = 2500 \;\Omega
\]
cio\`e \`e molto maggiore di $r_{bb'}$.

Il circuito equivalente disegnato in precedenza pu\`o, tenendo conto
della resistenza di base, esser ora modificato come mostrato in
figura~\ref{transistor_base_five}, dove abbiamo introdotto un
parametro $h_{ie}=r_{b'e}+r_{bb'}$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_five.eps,width=8.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente a parametri h del transistor adoperato
in zona attiva, nella configurazione emettitore-comune}
\protect\label{transistor_base_five}
\end{figure}

Il range di valori che $h_{ie}$ ed $h_{fe}$ assumono per un dato
transistor \`e normalmente fornito dai costruttori.

\subsection{L'effetto Early}

Un ulteriore aspetto fisico nel funzionamento del transistor deve a
questo punto esser preso in considerazione. Sappiamo che, in un
transistor npn che lavora in zona attiva, una frazione $\alpha$ degli
elettroni che dall'emettitore entrano in base (con giunzione
base-emettitore polarizzata direttamente) passa nel collettore (la
giunzione base-collettore \`e polarizzata inversamente). Una frazione
$(1-\alpha)$ \`e catturata dalle lacune presenti in base e
contribuisce alla corrente di base. Notiamo che, essendo il drogaggio
della base non elevato e la larghezza della base stretta, il parametro
$\alpha$ \`e vicino ad 1.  Il $\beta$ del transistor, definito come:
$\beta=\alpha/(1-\alpha)$, sar\`a quindi elevato.  Se un qualche
meccanismo interviene a ridurre la ``larghezza effettiva'' della base,
diminuir\`a la probabilit\`a che un elettrone sia catturato nella base
, $\alpha$ diverr\`a ancora pi\`u vicino ad 1 e $\beta$ aumenter\`a
ulteriormente.  Ad esempio, se $\alpha$ passa da 0.995 a 0.996,
$\beta$ passer\`a da 199 a 249.  Una variazione di una parte su mille
in $\alpha$ si traduce in una variazione del $25\%$ in $\beta$!

Un meccanismo che causa simili variazioni \`e presente nei transistor,
per effetto della polarizzazione inversa della giunzione
base-collettore. Infatti, sappiamo che l'effetto della polarizzazione
inversa in un diodo \`e quello di un allargamento della zona di
svuotamento in prossimit\`a della giunzione. Nel nostro caso,
all'aumentare della tensione di collettore, aumenta la polarizzazione
inversa della giunzione base-collettore e ci\`o causa un allargamento
della zona di svuotamento nella base. Ci\`o diminuisce la larghezza
effettiva della base e diminuisce quindi la probabilit\`a che un
elettrone immesso in base dall'emettitore sia catturato da una lacuna;
in altre parole diminuisce la grandezza che abbiamo chiamato
$(1-\alpha)$, ed aumenta $\alpha$ e quindi $\beta$.  In altri termini,
\emph{il guadagno del transistor aumenta, con $I_B$ costante,
all'aumentare di $V_{CE}$}.  Ci\`o fa si che le caratteristiche
d'uscita non siano delle rette orizzontali, ma inclinate, come
mostrato in figura~\ref{transistor_base_six}.


Il meccanismo che abbiamo appena illustrato va sotto il nome di
\emph{effetto~Early}\index{Transistor bipolare! effetto Early}. I
prolungamenti della parte rettilinea delle caratteristiche incontrano
l'asse $V_{CE}$ in corrispondenza di un valore $V_A$ della tensione
$V_{CE}$, chiamata ``tensione Early'', come si vede in figura.  Questa
vale qualche centinaio di Volt\index{Effetto Early! per il transistor
bipolare}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_six.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Illustrazione dell'effetto Early: le caratteristiche di
uscita del transistor convergono verso un punto situato sull'asse
negativo $V_{CE}$. Il valore $V_{CE}$ di tale punto \`e la
\emph{tensione Early} $V_A$} \protect\label{transistor_base_six}
\end{figure}


Da un'analisi accurata del processo si trova che tale effetto pu\`o
esser descritto sostituendo alla~(\ref{transistor_intro_eqone}) la
seguente equazione:

\[
i_c=\beta i_b +\frac{1}{r_o}v_{ce}
\]

Questa corrisponde a sostituire il generatore ideale di corrente nel
circuito d'uscita, con un generatore in parallelo ad una resistenza
$r_o$.\index{Transistor bipolare! resistenza d'uscita} Ci\`o \`e
mostrato in figura~\ref{transistor_base_seven}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_seven.eps,width=8.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Modello a parametri h del transistor bipolare. Sono presenti
i parametri $h_{ie}$, $h_{oe}$=$1/r_0$ ed $h_{fe}$}
\protect\label{transistor_base_seven}
\end{figure}

La resistenza $r_o$ ha valori molto grandi (centinaia di $k\Omega$).
Spesso \`e quotato il suo inverso, $h_{oe}=1/r_o$.  Val la pena di
menzionare che le sottoscritte ``e'' per i parametri h stanno ad
indicare che esse si riferiscono ala configurazione ``emettitore
comune'' (CE).  La lettera h \`e l'iniziale di
``hybrid''\index{Transistor bipolare! parametri ibridi} e sta a
ricordare il fatto che i parametri $h_{ie}$, $h_{oe}$, $h_{fe}$ sono
``ibridi'', nel senso che hanno dimensioni fisiche diverse: $h_{ie}$
\`e una resistenza, $h_{oe}$ una\index{$h_{oe}$ per un transistor
bipolare} conduttanza, $h_{fe}$\index{$h_{fe}$ per un transistor
bipolare} \`e adimensionale.\index{$h_{ie}$ per un transistor
bipolare}

L'effetto Early ha una seconda conseguenza, finora ignorata:
all'aumentare della polarizzazione inversa base-collettore si ha una
diminuzione della larghezza effettiva della base W e quindi una
diminuzione della corrente di ricombinazione in base. Ci\`o implica
che, a parit\`a di valori di $V_{BE}$ la corrente di base diminuisce
all'aumentare di $V_{CE}$ (o, a parit\`a di corrente di base, $V_{BE}$
aumenta).  Vedi figura~\ref{transistor_base_eight}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_eight.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Caratteristiche d'ingresso del transistor bipolare: corrente
di base $I_B$ in funzione di $V_{BE}$, per valori diversi di $V_{CE}$}
\protect\label{transistor_base_eight}
\end{figure}

Ci\`o pu\`o esser parametrizzato introducendo, un ulteriore parametro:
un generatore di tensione nella maglia d'ingresso, che genera una
tensione $v_b'=h_{re}v_{ce}$ dipendente dalla tensione
d'uscita\index{Transistor bipolare! parametro $h_{re}$}.


Il circuito completo diventa ora quello di
figura~\ref{transistor_base_nine}:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_nine.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Modello completo a parametri h ibridi del transistor bipolare
} \protect\label{transistor_base_nine}
\end{figure}

Valori tipici dei parametri\index{Transistor bipolare! valori tipici
dei parametri ibridi h} ibridi nella configurazione
``emettitore~comune'' sono:
\[
h_{ie}\approx 1\;k\Omega\;,\;h_{re}\approx 10^{-4}\;,\;h_{fe}\approx
100\;,\;h_{oe}\approx 10^{-5} \;\Omega^{-1}
\]



\section{Il modello a $\pi$-ibrido (Giacoletto)}

Il modello che va sotto il nome di \emph{Giacoletto} \`e quello di
figura~\ref{transistor_base_giacoletto}. Questo non ha il generatore
di tensione $g_{re} v_{ce}$, ma in esso\index{Transistor bipolare!
modello di Giacoletto} l'effetto Early \`e descritto dalla resistenza
$r_{b'c}$ che unisce il nodo interno alla base $B'$ con il collettore.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_giacoletto.eps,width=8.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Il modello di Giacoletto del transistor bipolare}
\protect\label{transistor_base_giacoletto}
\end{figure}

$r_{bb'}$ \`e la resistenza presente tra il terminale della base ed il
contatto ohmico interno alla base stessa; $r_{b'b}$ \`e la resistenza
presente tra il contatto ohmico interno alla base e l'emettitore.

Valori tipici dei parametri, a temperatura ambiente sono, per una
corrente quiescente $I_C=1.3\; mA$:

\[
r_{bb'}=100\;\Omega\;,\;r_{b'e}=2\;k\Omega \;,\;r_{b'c}=20\;M\Omega
\;,\;r_{ce}=200\;k\Omega
\]



Si pu\`o far vedere che la transconduttanza $g_m$ \`e funzione solo di
$|I_C|$; a temperatura ambiente:
\[
g_m=\frac{|I_C|(mA)}{V_T}=\frac{|I_C|(mA)}{26}\;(mA/V)
\]

che, per $I_C=1.3\;mA$ vale $50\;mA/V$.

Facciamo vedere ora che tutte le componenti resistive in questo
modello possono essere ottenute dai parametri h nella configurazione
CE.

\subsection{Conduttanza d'ingresso}

Questa \`e $g_{b'e}=1/r_{b'e}$.\index{Transistor bipolare! modello di
Giacoletto! conduttanza d'ingresso} Dai valori numerici dati, si vede
che $r_{b'c} \gg r_{b'e}$.  Quindi la corrente di base $i_b$ fluisce
in $r_{b'e}$ e:
\[
v_{b'e}=i_b r_{b'e}
\]
La corrente di collettore a circuito chiuso \`e data da:
\[
i_c=g_m v_{b'e}\approx g_m i_b r_{b'e}=h_{fe}i_b
\]
da cui:
\[
r_{b'e}=\frac{h_{fe}}{g_m}=\frac{h_{fe}}{|I_C|}V_T
\]

o anche:
\[
g_{b'e}=\frac{g_m}{h_{fe}}
\]

notiamo che, nel range di correnti in cui $h_{fe}$ rimane costante,
$r_{b'e}$ \`e direttamente proporzionale alla temperatura ed
inversamente proporzionale alla corrente quiescente $I_C$.

\subsection{Conduttanza di feedback}

Con l'input a circuito aperto, $h_{re}$ \`e definito\index{Transistor
bipolare! modello di Giacoletto! conduttanza di feedback} come il
guadagno inverso di tensione.  Ponendo $i_b=0$ nel circuito a
parametri h:
\[
h_{re}=\frac{v_{b'e}}{v_{ce}}=\frac{r_{b'e}}{(r_{b'e}+r_{b'c})}
\]
da cui:
\[
r_{b'e}\left(1-h_{re}\right)=h_{re}r_{b'c}
\]

poich\`e $h_{re} \ll 1$, con buona approssimazione si ha:
\[
r_{b'e}=h_{re}r_{b'c}
\]
o:
\[
g_{b'c}=h_{re}g_{b'e}
\]

poich\`e $h_{re} \approx 10^{-4}$, si vede che: $r_{b'c} \gg r_{b'e}$.
 


\subsection{Base-Spreading resistance}

La resistenza d'ingresso con l'output in corto-circuito \`e $h_{ie}$.
In queste condizioni $r_{b'e}$ \`e in parallelo con $r_{b'c}$.
Poich\`e $r_{b'c} \gg r_{b'e}$, ne\index{Transistor bipolare! modello
di Giacoletto! base-spreading-resistance} segue che $r_{b'c}\parallel
r_{b'e} \cong r_{b'e}$, e quindi:
\[
h_{ie}=r_{bb'}+r_{b'e}
\]
\[
r_{bb'}=h_{ie}-r_{b'e}
\]

facendo uso dell'espressione ottenuta in precedenza per $r_{b'e}$, si
ha che:
\[
h_{ie}=r_{bb'}=h_{fe}\frac{V_T}{|I_C|}\approx h_{fe}\frac{V_T}{|I_C|}
\]

poich\`e di solito $r_{b'e} \gg r_{bb'}$.


\subsection{Conduttanza d'uscita}

Nel circuito a parametri h, la conduttanza d'uscita \`e $h_{oe}$ con
l'input\index{Transistor bipolare! modello di Giacoletto! conduttanza
d'uscita} a circuito aperto. Per $i_b=0$ avremo allora:
\[
i_c=\frac{v_{ce}}{r_{ce}}+\frac{v_{ce}}{r_{b'c}+r_{b'e}}+g_m v_{b'e}
\]

con $i_b=0$ abbiamo $v_{b'e}=h_{re}v_{ce}$, e dall'equazione appena
scritta si ha:
\[
h_{oe}=\frac{i_c}{v_{ce}}=\frac{1}{r_{ce}}+\frac{1}{r_{b'c}}+g_m
h_{re}
\]

dove si \`e fatto uso del fatto che $r_{b'c} \gg r_{b'e}$.  Facendo
ora uso del fatto che:
\[
g_m=h_{fe} g_{b'e}
\]

e che:
\[
g_{b'e}=\frac{g_{b'c}}{h_{re}}
\]

otteniamo:
\[
h_{oe}=g_{ce}+g_{b'c}+h_{fe}g_{b'e}h_{re}=g_{ce}+g_{b'c}+\frac{h_{fe}g_{b'e}g_{b'c}}{g_{b'e}}
\]


cio\`e:
\[
g_{ce}=h_{oe}-\left(1+h_{fe}\right)g_{b'c}
\]


Ad alte frequenze, i parametri h debbono esser considerati funzioni
complesse della frequenza. Quindi il modello a parametri h non \`e
utile ad analizzare amplificatori di alta frequenza.

Si pu\`o tener conto del comportamento di un transistor ad alte
frequenze, nell'ambito del modello a parametri $\pi$-ibrido, come
segue: viene aggiunta tra E e B' la capacit\`a di diffusione
dell'emettitore, e tra C e B' la capacit\`a di transizione del
collettore.

A basse frequenze \`e invece pi\`u conveniente usare il modello a
parametri h.

\section{La transconduttanza}

Un modello che \`e spesso adoperato, in alternativa a quello a
parametri h e che, a basse frequenze, \`e equivalente a questo, \`e
quello che fa uso della transconduttanza $g_m$.\index{Transistor
bipolare! transconduttanza} Questa \`e definita come:


\[
g_m = \left. \frac{\Delta i_C}{\Delta v_{BE}}\right]_{v_{CE} \equiv
V_{CEQ}=cost.}\:=\: \left. \frac{\partial i_C}{\partial
v_{BE}}\right]_{v_{ce}=0}
\]

dove $v_{CE}=costante$ implica che la parte variabile $v_{ce}$ di
$v_{CE}$ \`e stata cortocircuitata (idealmente con un condensatore di
grossa capacit\`a). Da questa si ottiene: $i_C=g_m v_{BE}$.

Il modello che fa uso della transconduttanza \`e simile a quello a
$\pi$-ibrido, con l'eliminazione di $r_{b'c}$ (legato all'effetto
Early). Il relativo diagramma \`e mostrato in
figura~\ref{transistor_base_transconductance}, dove $v_{\pi}=v_{BE}$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_transconductance.eps,width=8.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Modello del transistor bipolare che fa uso della
transconduttanza $g_m$}
\protect\label{transistor_base_transconductance}
\end{figure}

poich\`e \`e: $v_{\pi}=r_{\pi}i_b$ avremo:
\[
i_c=g_m v_{\pi}=g_m r_{\pi}i_b
\]

per cui vediamo che $g_m r_{\pi}$ corrisponde ad $h_{fe}$ nel modello
a parametri h.

$g_m$ pu\`o esser calcolato a partire dalla corrente quiescente
$i_C=I_{CQ}$.  Infatti \`e:
\[
i_C=\alpha i_E
\]
da cui:
\[
g_m= \left.  \frac{\partial i_C}{\partial v_{BE}}\right]_{v_{ce}=0}
\:=\: \left. \alpha \frac{\partial i_E}{\partial
v_{BE}}\right]_{v_{ce}=0}
\]

dove la derivata $\frac{\partial i_E}{\partial v_{BE}}$ non \`e altro
che la conduttanza differenziale del diodo:
\[
\frac{\partial i_E}{\partial v_{BE}}=g_D=\frac{I_{EQ}}{V_T}\cong
\frac{I_{EQ}}{26}\;(\Omega^{-1})
\]

per cui:
\[
g_m=\alpha \frac{I_{EQ}}{26}=\frac{I_{CQ}}{26}\;(\Omega^{-1})
\]

Inoltre, la resistenza d'ingresso $r_i$ \`e uguale a:
\[
r_i=r_b + r_{\pi}=h_{ie}
\]

Vediamo in definitiva che, tra i parametri $g_m$, $r_b$, ed $r_{\pi}$
del presente modello e quelli del modello a parametri h, esistono le
relazioni\index{Transistor bipolare! modello di Giacoletto! relazioni
tra parametri h e parametri $r_b$, $r_{\pi}$, $g_m$, $r_0$}:

\[
h_{ie}=r_b + r_{\pi}
\]
\[
h_{fe}=g_m r_{\pi}
\]
\[
h_{oe}=1/r_o
\]

\section{Le configurazioni base-comune e collettore comune}

La configurazione che abbiamo fin qui esaminato era quella in cui
l'emettitore era comune al circuito d'ingresso ed a quello d'uscita
(configurazione common-emitter o CE). Il modello a parametri h in tale
configurazione era caratterizzato dai parametri:
$h_{ie},h_{fe},h_{re},h_{oe}$

Le configurazioni base-comune (CB)\index{Transistor bipolare!
configurazione base-comune} e collettore comune (CC)\index{Transistor
bipolare! configurazione collettore-comune}, schematicamente indicate
in figura~\ref{transistor_base_cb_cc}~(a)-(b) (dove sono state omesse
le resistenze di polarizzazione), possono essere descritte facendo uso
di un modello formalmente identico, con la sola sostituzione dei
parametri con la sottoscritta ``e'', con altri parametri, aventi la
sottoscritta ``b'' (base comune o CB) o ``C'' (collettore comune o CC)

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_cb_cc.eps,width=16.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Configurazione base-comune (a) e collettore-comune (b) per
l'amplificatore a transistor bipolare. In basso sono mostrati i
relativi modelli a parametri h: (a') base-comune, (b')
collettore-comune} \protect\label{transistor_base_cb_cc}
\end{figure}

Esistono delle relazioni tra i parametri h nelle tre
configurazioni\index{Transistor bipolare! relazioni tra i parametri h
nelle tre configurazioni CE, CB, CC}. Cominciamo con l'esaminare la
configurazione CB.

A tale scopo, scriviamo le relazioni tra correnti e tensioni nella
configurazione CE. Le convenzioni adoperate per i segni delle tensioni
ed i versi delle correnti sono quelle mostrate in
figura~\ref{transistor_base_convenzione_segni}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_convenzione_segni.eps,width=7 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Convenzione adoperata nel testo per i segni di tensioni e
correnti del transistor}
\protect\label{transistor_base_convenzione_segni}
\end{figure}
 
Le relazioni sono le seguenti:


\begin{eqnarray}
	i_c & = & h_{fe}i_b+h_{oe}v_{ce} \label{transistor_equ_h1a} \\
	v_{be} & = & h_{ie}i_b+h_{re}v_{ce} \label{transistor_equ_h1b}
\end{eqnarray}

L'analoga relazione, nella configurazione base comune, con riferimento
al circuito equivalente mostrato in
figura~\ref{transistor_base_cb_cc}(a') \`e data dalle equazioni:

\begin{eqnarray}
	i_c & = & h_{fb}i_e+v_{cb}h_{ob} \label{transistor_equ_h2a} \\
	v_{eb} & = & -h_{ib}i_e+h_{rb}v_{cb}
	\label{transistor_equ_h2b}
\end{eqnarray}

dove occorre notare che:


\begin{eqnarray}
	i_e & = & i_c+i_b \label{transistor_equ_h3a} \\ v_{ce} & = &
	v_{cb}+v_{be} \label{transistor_equ_h3b} \\ v_{be} & = &
	-v_{eb} \label{transistor_equ_h3c}
\end{eqnarray}

A partire da tali relazioni \`e facile dimostrare le seguenti
relazioni approssimate:

\begin{eqnarray}
	h_{ib} & = & \frac{-h_{ie}}{1+h_{fe}}
	\label{transistor_equ_h4a} \\ h_{fb} & = &
	\frac{h_{fe}}{1+h_{fe}} \label{transistor_equ_h4b} \\ h_{ob} &
	= & \frac{h_{oe}}{1+h_{fe}} \label{transistor_equ_h4c} \\
	h_{rb} & = & -h_{re}+\frac{h_{ie}h_{oe}}{1+h_{fe}}
	\label{transistor_equ_h4d}
\end{eqnarray}


Per ottenere tali relazioni, sostituiamo nelle
equazioni~(\ref{transistor_equ_h1a}),~(\ref{transistor_equ_h1b})
le~(\ref{transistor_equ_h3a}),~(\ref{transistor_equ_h3b}),~(\ref{transistor_equ_h3c}):

\[
i_c=h_{fe}i_e-h_{fe}i_c+v_{cb}h_{oe}-v_{eb}h_{oe}
\]
\[
v_{be}=-v_{eb}=h_{ie}i_e-h_{ie}i_c+h_{re}v_{cb}-h_{re}v_{eb}
\]


dalla seconda di queste equazioni segue:

\begin{equation}
	v_{eb}=\frac{-h_{ie}}{1-h_{re}}i_e+\frac{h_{ie}}{1-h_{re}}i_c-\frac{h_{re}}{1-h_{re}}v_{cb}
	\label{transistor_equ_h5}
\end{equation}

mentre la prima fornisce:

\begin{equation}
	i_c\left(1+h_{fe}\right)=h_{fe}i_e+v_{cb}h_{oe}-v_{eb}h_{oe}
	\label{transistor_equ_h6}
\end{equation}

sostituendo in questa l'espressione di $v_{eb}$ data
dalla~(\ref{transistor_equ_h5}) otteniamo:

\begin{equation}
i_c=\frac{h_{fe}+h_{ie}h_{oe}/(1-h_{re})}{1+h_{fe}+h_{ie}h_{oe}/(1-h_{re})}i_e+
\frac{h_{oe}}{(1+h_{fe})(1-h_{re})+h_{ie}h_{oe}}v_{cb}
\label{transistor_equ_h7}
\end{equation}


e, sostituendo questa nella~(\ref{transistor_equ_h5}):

\begin{equation}
v_{eb}=\frac{h_{ie}}{(1+h_{fe})(1-h_{re})+h_{ie}h_{oe}}i_e+\frac{h_{ie}h_{oe}-h_{re}(1+h_{fe})}{(1+h_{fe})(1-h_{re})+h_{ie}h_{oe}}v_{cb}
\label{transistor_equ_h8}
\end{equation}
Confrontando le~(\ref{transistor_equ_h7}) e~(\ref{transistor_equ_h8})
con le~(\ref{transistor_equ_h2a}),~(\ref{transistor_equ_h2b}),
otteniamo le relazioni che esprimono in modo esatto\index{Transistor
bipolare! relazioni tra i parametri h nelle tre configurazioni CE, CB,
CC} i parametri $h_{ib},h_{fb},h_{rb},h_{ob}$:
\begin{eqnarray}
h_{ib} & = & \frac{-h_{ie}}{(1+h_{fe})(1-h_{re})+h_{ie}h_{oe}}
\label{transistor_hib} \\ h_{fb} & = &
\frac{h_{fe}(1-h_{re})+h_{ie}h_{oe}}{(1+h_{fe})(1-h_{re})+h_{ie}h_{oe}}
\label{transistor_hfb} \\ h_{rb} & = &
\frac{-h_{re}(1+h_{fe})+h_{ie}h_{oe}}{(1+h_{fe})(1-h_{re})+h_{ie}h_{oe}}
\label{transistor_hrb} \\ h_{ob} & = &
\frac{h_{oe}}{(1+h_{fe})(1-h_{re})+h_{ie}h_{oe}}
\label{transistor_hob}
\end{eqnarray}

Poich\`e $h_{re}\ll1$, queste sono, con ottima approssimazione:
\begin{eqnarray}
h_{ib} & = & \frac{-h{ie}}{(1+h_{fe})+h_{ie}h_{oe}}
\label{transistor_hib1} \\ h_{fb} & = &
\frac{h_{fe}+h_{ie}h_{oe}}{(1+h_{fe})+h_{ie}h_{oe}}
\label{transistor_hif1} \\ h_{rb} & = &
\frac{-h_{re}(1+h_{fe})}{(1+h_{fe})+h_{ie}h_{oe}}+
\frac{h_{ie}h_{oe}}{(1+h_{fe})+h_{ie}h_{oe}} \label{transistor_hir1}
\\ h_{ob} & = & \frac{h_{oe}}{(1+h_{fe})+h_{ie}h_{oe}}
\label{transistor_hio1}
\end{eqnarray}


poich\`e inoltre tipicamente \`e $(1+h_{fe}) \approx h_{fe} \approx
100$ mentre $h_{ie}h_{oe}\cong 0.01$, seguono le relazioni
approssimate~(\ref{transistor_equ_h4a})$\cdots$(\ref{transistor_equ_h4d}).

Passiamo ora ad esaminare la configurazione CC, per la quale, con le convenzioni per le correnti e le differenze
di potenziale mostrate nelle figure~\ref{transistor_base_cb_cc}(b') e~\ref{transistor_base_convenzione_segni}, l'analogo delle
equazioni~\ref{transistor_equ_h1a} e~\ref{transistor_equ_h1b} sono:


\begin{eqnarray}
	i_e & = & h_{fc}i_b-h_{oc}v_{ec} \label{transistor_cc_equ_h1a} \\
	v_{bc} & = & h_{ic}i_b+h_{rc}v_{ec} \label{transistor_cc_equ_h1b}
\end{eqnarray}

Per trovare le relazioni tra i parametri nelle configurazioni CC e CE, sostituiamo nelle~\ref{transistor_equ_h1a} e~\ref{transistor_equ_h1b}, le seguenti relazioni:

\[
v_{ce}=-v_{ec}
\]
\[
i_e=i_b+i_c
\]
Troviamo:

\begin{eqnarray}
	i_e - i_b & = & h_{fe}i_b+h_{oe}v_{ce} \label{transistor_cc_equ_h2a} \\
	v_{ce}-v_{cb} & = & h_{ie}i_b+h_{re}v_{ce} \label{transistor_cc_equ_h2b}
\end{eqnarray}

cio\`e:

\begin{eqnarray}
	i_e & = & \left(h_{fe}+1\right) i_b+h_{oe}v_{ce} \label{transistor_cc_equ_h3a} \\
	-v_{cb} & = & h_{ie}i_b+\left(h_{re}-1\right) v_{ce} \label{transistor_cc_equ_h3b}
\end{eqnarray}

da cui:

\begin{eqnarray}
	i_e & = & \left(h_{fe}+1\right) i_b-h_{oe}v_{ec} \label{transistor_cc_equ_h4a} \\
	v_{bc} & = & h_{ie}i_b+\left(1-h_{re}\right) v_{ec} \label{transistor_cc_equ_h4b}
\end{eqnarray}

Confrontando queste con le equazioni~\ref{transistor_cc_equ_h1a} e~\ref{transistor_cc_equ_h1b} troviamo la
corrispondenza cercata:


\begin{eqnarray}
h_{ic} & = & h_{ie} \label{transistor_hi_c1} \\ 
h_{fc} & = & \left(h_{fe}+1\right) \label{transistor_hf_c1} \\ 
h_{rc} & = & 1-h_{re}      \label{transistor_hr_c1} \\ 
h_{oc} & = & h_{oe} \label{transistor_ho_c1}
\end{eqnarray}


\section{Circuiti di polarizzazione del transistor}

Dall'esame delle caratteristiche d'uscita del transistor \`e
possibile, tenendo conto della particolare applicazione voluta
(amplificatore, adattatore d'impedenza etc.), stabilire il punto di
lavoro\index{Transistor bipolare! scelta del punto di lavoro}, cio\`e
i valori quiescenti di $I_C$, $I_B$ e $V_{CE}$ nel caso si voglia
adottare una configurazione CE. Fissati tali valori, occorrer\`a
fissare un circuito di polarizzazione, cio\`e un insieme di tensioni e
resistenze opportune\index{Transistor bipolare! circuiti di
polarizzazione}, tali da stabilire, in assenza di segnale applicato,
tali condizioni quiescenti.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_polariz_one.eps,width=6 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito di polarizzazione del transistor: corrente di base
costante} \protect\label{transistor_base_polariz_one}
\end{figure}

Consideriamo come esempio quello di
figura~\ref{transistor_base_polariz_one} ed ammettiamo di voler
fissare $I_C$, $I_B$ e $V_{CE}$ a determinati valori quiescenti, che
chiameremo $I_{CQ}$, $I_{BQ}$ e $V_{CEQ}$.
 
Dall'esame del circuito di base otteniamo:
\[
V_{CC}-R_b I_{BQ}=V_{BE}\cong 0.7\;V
\]
da cui:
\begin{equation}
R_b=\frac{V_{CC}-V_{BE}}{I_{BQ}} \label{transistor_base_polariz_eq1}
\end{equation}

La scelta di $V_{CC}$ non \`e del tutto libera, poich\`e il circuito
di collettore deve essere scelto in modo tale che sia $I_C=I_{CQ}$ ed
inoltre $R_c$ deve essere tale da fornire la retta di carico voluta.

In effetti, dall'analisi del circuito di collettore otteniamo:
\begin{equation}
V_{CC}-R_c I_C-V_{CE}=0 \label{transistor_base_polariz_eq2}
\end{equation}
che \`e l'equazione della retta di carico (vedi
figura~\ref{transistor_base_polariz_two})

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_polariz_two.eps,width=8.5 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Transistor bipolare: caratteristiche d'uscita con sovrapposta
la retta di carico. Q indica il punto quiescente di lavoro}
\protect\label{transistor_base_polariz_two}
\end{figure}

L'intercetta della retta di carico\index{Transistor bipolare! retta di
carico} con l'asse $V_{CE}$ \`e pari a $V_{CC}$, la pendenza \`e
$-1/R_c$.

Ovviamente, la retta dovr\`a essere stata scelta in modo da passare
per il punto Q:
\[
V_{CEQ}=V_{CC}-R_c I_{CQ}
\]

In tal modo, fissati $V_{CC}$ ed $R_c$, $R_b$ pu\`o essere ottenuto
dalla~(\ref{transistor_base_polariz_eq1}).

Il circuito illustrato come esempio non \`e conveniente dal punto di
vista pratico. Infatti in tale circuito il valore quiescente della
corrente di base \`e fisso e ci\`o implica che la corrente di
collettore $I_C=\beta I_B$, dipenda dal $\beta$ del transistor.
Poich\`e questo cambia molto tra un transistor ed un altro del
medesimo tipo, il circuito di polarizzazione scelto non \`e molto
conveniente. Potrebbe infatti accadere che, scelto un punto di lavoro
sulla base delle caratteristiche fornite dal costruttore, e fissata
quindi, con il circuito di polarizzazione in esame, una certa corrente
di base $I_B$, ad essa corrisponda per il transistor che si sta
realmente adoperando, un valore di $I_C$ molto diverso dal valore di
$I_{CQ}$ voluto.

Se il valore di $I_{CQ}$ sale, aumenta la caduta di potenziale ai capi
di $R_c$ e diminuisce quindi la tensione sul collettore.  Se l'aumento
di $I_{CQ}$ \`e grande, si potr\`a arrivare ad una situazione in cui
il collettore \`e positivo rispetto alla base: il transistor andr\`a
in saturazione.

Conviene quindi, anzich\`e mantenere $I_B$ fisso, fare in modo che
siano fissi $I_C$ e $V_{CE}$.

Un secondo motivo per cui non \`e consigliabile tenere $I_B$ fisso \`e
la dipendenza di $I_C$, a parit\`a di $I_B$, dalla temperatura.

In effetti, la corrente di collettore ha anche un termine
proporzionale alla corrente inversa di saturazione $I_{CO}$:
\[
I_C=\beta I_B +(\beta +1) I_{CO}
\]


ne segue:
\[
\frac{dI_C}{dI_{CO}}=\beta + 1 \;\approx 100
\]

e, poich\`e $I_{CO}$ raddoppia per ogni $10\;^oC$ di aumento della
temperatura, avremo tipicamente, per un tale aumento di temperatura:
\[
\Delta I_C=2 (\beta +1) I_{CO}
\]

dove $I_{CO}\approx 10\;nA$ a temperatura ambiente (per il
silicio). Ne segue:
\[
\Delta I_C \cong 200 \times 10 \times 10^{-6} \; mA \: = \: 2\mu A
\]
 
Anche se tale effetto \`e piccolo, esso pu\`o innescare un processo
cumulativo: l'aumento di $I_C$ dar\`a luogo ad un aumento di
temperatura, che a sua volta far\`a aumentare $I_C$. Il processo \`e
noto come ``thermal runaway''\index{Transistor bipolare! thermal
runaway}, ed esso pu\`o portare alla distruzione del transistor o
comunque a farlo lavorare fuori dalla zona attiva.

Un circuito che ovvia a tali inconvenienti \`e quello di
figura~\ref{transistor_base_polariz_three}\index{Transistor bipolare!
circuito di polarizzazione a $V_B$ costante}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_polariz_three.eps,width=5 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Amplificatore a transistor bipolare: circuito di
polarizzazione a $V_B$ costante}
\protect\label{transistor_base_polariz_three}
\end{figure}


In questo circuito, se aumenta $I_C$, aumenta anche $I_E$ e ci\`o
causa una caduta di potenziale ai capi di $R_e$, cio\`e una
diminuzione di $V_{BE}$.  Tale diminuzione di $V_{BE}$ causer\`a una
diminuzione della corrente di emettitore (e di base) e quindi una
diminuzione di $I_C$. Questo \`e un tipico esempio di ``reazione
negativa''\index{Transistor bipolare! reazione negativa}.

Per analizzare tale circuito, sostituiamo la parte di esso situata a
sinistra della linea BN con il suo equivalente di Thevenin (vedi
figura~\ref{transistor_base_polariz_four}).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_polariz_four.eps,width=6 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Amplificatore a transistor bipolare: circuito equivalente di
quello a $V_B$ costante di figura~\ref{transistor_base_polariz_three}}
\protect\label{transistor_base_polariz_four}
\end{figure}

con:
\[
R_{th}=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}\;\;,\;V_{th}=V_{CC}\frac{R_2}{R_1+R_2}
\]


Applicando il teorema di Kirchoff per le maglie al circuito di base,
otteniamo:
\[
V_{th}=I_B R_{th}+V_{BE}+(I_B+I_C)R_e\: \cong \:\frac{I_E}{\beta +
1}R_{th}+V_{BE}+I_E R_e
\]


da cui:

\begin{equation}
I_E=\frac{V_{th}-V_{BE}}{R_e +R_{th}/(\beta +1)}
\label{transistor_base_polariz_eq3}
\end{equation}

Per far si che $I_E$ non risenta di variazioni nel valore di $\beta$
n\`e di cambiamenti di temperatura, imponiamo i seguenti vincoli:
\begin{itemize}
\item[(a)] $V_{th}\gg V_{BE}$
\item[(b)] $R_e \gg R_{th}/(\beta +1)$
\end{itemize}

la prima delle due condizioni fa si che piccole variazioni di $V_{BE}$
(attorno a 0.7 V) siano trascurabili rispetto a $V_{th}$, che
dominer\`a nel numeratore dell'espressione di $I_E$.  Tuttavia,
$V_{th}$ non pu\`o esser molto grande, poich\`e aumentando $V_{th}$
dovr\`a aumentare la tensione del collettore (per mantenere
polarizzata inversamente la giunzione base-collettore) e ci\`o, a
parit\`a di $V_{CC}$, diminuir\`a l'escursione del segnale ai capi di
$R_c$ e quindi il guadagno.

Un compromesso pu\`o esser raggiunto scegliendo $V_{th} \cong 1/3
V_{CC}$, $V_{CB} \cong V_{CE} \cong 1/3 V_{CC}$ e $I_C R_c \cong 1/3
V_{CC}$.

La condizione (b) fa si che $I_E$ sia indipendente da $\beta$.  Tale
condizione pu\`o esser soddisfatta scegliendo $R_{th}$ piccolo, cio\`e
prendendo due resistenze $R_1$ ed $R_2$ di piccolo valore.  Tuttavia
anche questa scelta ha degli inconvenienti. Se $R_1$ ed $R_2$ sono
piccole, avremo una notevole energia dissipata in esse per effetto
Joule.  Inoltre, la resistenza d'ingresso $R_{in}$ del circuito \`e il
parallelo di quella del transistor e di $R_{th}$.  Un piccolo valore
di $R_{th}$ abbasser\`a quindi $R_{in}$, e ci\`o non \`e desiderabile
nella pi\`u gran parte dei casi. Ancora una volta dobbiamo raggiungere
un compromesso. Notiamo a questo riguardo che la condizione (b) pu\`o
esser scritta:
\[
(\beta +1) R_e \gg R_{th}
\]

e che il termine a sinistra di questa equazione \`e la resistenza
d'ingresso del transistor con la resistenza $R_e$ sull'emettitore.  Il
circuito d``ingresso pu\`o ora essere ridisegnato come mostrato in
figura~\ref{transistor_base_polariz_five}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_polariz_five.eps,width=5 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Circuito adoperato per il calcolo della tensione di base
nella configurazione di figura~\ref{transistor_base_polariz_four}}
\protect\label{transistor_base_polariz_five}
\end{figure}

Vediamo che, se $R_e(\beta + 1)$ \`e grande, la tensione di base $V_B$
sar\`a fissata dal partitore $R_1-R_2$.  Quindi la condizione (b)
equivale a richiedere un $V_B$ fisso, e ci\`o suggerisce che la
corrente nella serie delle due resistenze $R_1-R_2$ sia grande
rispetto alla corrente che entra in base.  Tipicamente, si sceglie
$R_1$ ed $R_2$ in modo tale che la corrente nella serie dei due sia
nel range ($0.1 \, I_E \div I_E$).

Vediamo ad esempio di calcolare i valori delle resistenze, se si
ammette di adoperare una $V_{CC}=+12V$ ed $I_C=1\,mA$. Si supponga
$\beta=100$.  Seguiamo la regola stabilita in precedenza, cio\`e
ammettiamo che 1/3 del potenziale si ritrovi ai capi di $R_c$, 1/3 sia
$V_{th}$ ed il rimanente 1/3 sia la differenza di potenziale $V_{CB}
(\simeq V_{CE})$.

Avremo quindi:
\[
V_{th}=4\;V
\]
\[
V_E=V_{th}-V_{BE}=4 - V_{BE} \approx 3.3\;V
\]

Il valore di $R_E$ sar\`a allora dato da:
\[
\frac{V_E}{I_E} \cong 3.3\;k\Omega
\]

Avendo posto $I_E \cong I_C = 1\,mA $.

Fissiamo inoltre una corrente nel partitore ($R_1-R_2$) pari a
$0.1\;I_E$.  Trascurando la corrente di base avremo:
\[
R_1+R_2=\frac{12}{0.1 I_E}=120\;k\Omega
\]

ed:
\[
\frac{R_2}{R_1+R_2} V_{CC}= V_{th}=4\;V
\]

da cui otteniamo:

\[
R_1=80\;k\Omega\;,\;R_2=40\;k\Omega
\]

Inoltre la condizione che la caduta di tensione ai capi di $R_c$ sia
$1/3 V_{CC}$ ci d\`a:
\[
R_c \cdot 1\,mA=4\,V \Rightarrow R_c=4\,k\Omega
\]

Possiamo ora ottenere una valutazione pi\`u prossima al vero del
valore di $I_E$, tenendo conto della corrente di base, che finora
abbiamo trascurato. Dalla
relazione~(\ref{transistor_base_polariz_eq3}) otteniamo:
\[
I_E=\frac{4-0.7}{3.3+R_{th}/101}=\frac{3.3}{3.3+26.7/101}=0.926\;mA
\]
al posto del precedente valore $I_E=1\;mA$.

Un sistema alternativo per polarizzare il transistor \`e quello di
figura~\ref{transistor_base_polariz_six}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_polariz_six.eps,width=8 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Schema alternativo per la polarizzazione di un transistor
adoperato come amplificatore. Configurazione emettitore comune}
\protect\label{transistor_base_polariz_six}
\end{figure}

Dalla figura vediamo che:
\[
V_{CC}=I_E R_c + I_B R_b + V_{BE}\:=\:I_E R_c + \frac{I_E}{\beta + 1}
R_b + V_{BE}
\]


per cui la corrente di emettitore \`e:
\[
I_E=\frac{V_{CC}-V_{BE}}{R_c + R_b/(\beta + 1)}
\]


Perch\`e $I_E$ non dipenda da $\beta$, scegliamo $R_b/(\beta+1)\ll
R_c$.

Dobbiamo per\`o far ci\`o tenendo conto del fatto che il valore di
$R_b$ determina l'escursione del segnale sul collettore, poich\`e \`e:
\[
V_{CB}=I_B R_b = I_E \frac{R_b}{\beta + 1}
\]

\subsection{Polarizzazione per mezzo di una sorgente di corrente costante}

Possiamo fissare la corrente $I_{EQ} \simeq I_{CQ}$ inserendo un
opportuno generatore di corrente nella gamba di emettitore.

Lo schema di principio \`e quello indicato nella parte sinistra della
figura~\ref{transistor_base_polariz_seven}. Questo ha il vantaggio che
ora la corrente di emettitore \`e indipendente dai valori di $\beta$ e
di $R_b$.  \'E quindi possibile scegliere per $R_b$ una resistenza di
valore elevato, ottenendo in tal modo un circuito con elevata
impedenza d'ingresso\index{Transistor bipolare! polarizzazione per
mezzo di una sorgente di corrente costante}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_polariz_seven.eps,width=8 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Amplificatore a transistor bipolare nella configurazione CE:
schema di polarizzazione tramite una sorgente costante di corrente. A
sinistra \`e riportato lo schema generico, a destra un'implementazione
pratica del generatore di corrente costante tramite uno \emph{specchio
di corrente}} \protect\label{transistor_base_polariz_seven}
\end{figure}


Un circuito che realizza uno schema del tipo di quello indicato, \`e
mostrato nella parte destra della stessa figura. Questo genera la
corrente costante I da utilizzare nel circuito di emettitore
dell'amplificatore mostrato nella parte sinistra della figura.

Esaminiamo il comportamento di tale ``specchio di corrente'', come \`e
comunemente chiamato. I transistor $Q_1$ e $Q_2$ sono identici (sono
realizzati con il medesimo materiale e sul medesimo chip). Notiamo che
$Q_1$ \`e collegato ``a diodo'', cio\`e ha il collettore unito alla
base.  Con tale collegamento, la giunzione base-collettore \`e
polarizzata inversamente (sarebbe polarizzata direttamente se fosse
$V_B > V_C$). I due transistor hanno sia le basi che gli emettitori
uniti insieme, quindi $V_{BE1}=V_{BE2}$ e, poich\`e i due transistor
sono identici, essi avranno uguali correnti. La corrente I sar\`a
quindi uguale ad $I_R$, con:
\begin{equation}
I_R=\frac{V_{CC}+V_{EE}-V_{BE}}{R} \label{transistor_base_polariz_eq4}
\end{equation}

Esempio: Ammettiamo che sia: $V_{CC}=10\;V$, $\beta=100$, $R_b=100k$,
$R_c=7.5 k$, $I=1\,mA$ e calcoliamo $V_B$, $V_E$, $V_C$. Ammettendo
poi che sia $V_{EE}=10\;V$, calcoliamo il valore di R nel generatore
di corrente.

$V_C$ pu\`o esser ottenuta dalla caduta di potenziale sulla resistenza
$R_c$ percorsa da una corrente $I_C$, dove:
\[
I_C=I_E-I_B=I_E-\frac{I_C}{\beta} \;\Rightarrow
\;I_C=\frac{\beta}{\beta+1} I_E\;=\;0.99\;mA
\]
Si ha quindi:
\[
V_C=10-7.5\cdot 0.99=2.575\;V
\]

La corrente di base \`e: $I_B=I_C/\beta=0.0099\;mA$, per cui la
tensione di base \`e:
\[
V_B=0-0.0099\cdot 100\;=\;-0.99\;V \cong -1\,V
\]

La tensione di emettitore \`e:
\[
V_E=V_B-0.7=-1.7\;V
\]

Il valore di R nel generatore di corrente pu\`o esser ottenuto
dalla~(\ref{transistor_base_polariz_eq4}):
\[
I=1\;mA=\frac{10+10-0.7}{R}
\]
da cui:
\[
R=19.3\;k
\]



\section{Transistor Darlington}

Ricordiamo che due parametri importanti in un transistor bipolare a
giunzione sono il guadagno in corrente $h_{fe}$ e l'impedenza di
ingresso. Quest'ultima \`e data, con riferimento alla
figura~\ref{transistor_base_darlington_one}, da:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_darlington_one.eps,width=4 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Transistor bipolare! visualizzazione dei parametri $r_b$ ed
$r_e$} \protect\label{transistor_base_darlington_one}
\end{figure}

\[
r_{in}\equiv h_{ie}=\frac{v_{be}}{i_b}=r_b+(h_{fe}+1)r_e
\]

dove $r_e$ \`e la resistenza del diodo base-emettitore polarizzato
direttamente, cio\`e:
\[
r_e \approx \frac{25}{I_{CQ} (mA)}
\]
pari a $2.5\; \Omega$ se $I_{CQ}=10\;mA$.  con ci\`o:
\[
h_{ie}=r_{in}=r_b+(h_{fe}+1)\frac{25}{I_{CQ}\;(mA)}
\]

Se nel circuito di emettitore \`e inserita una resistenza $R_e$,
questa verr\`a ad essere in serie ad $r_e$ e la resistenza d'ingresso
sar\`a ora:
\[
r_{in}=r_b + (h_{fe}+1)(r_e + R_e)
\]

A volte $r_b$ ed $r_e$ possono essere trascurate rispetto ad
$R_e$. Avremo allora:
\[
r_{in} \cong (h_{fe}+1)R_e
\]

\'E possibile realizzare transistor con valori di $h_{fe}$ ed $h_{ie}$
molto maggiori, utilizzando coppie di transistor in cui l'emettitore
del primo \`e collegato alla base del secondo. Tali transistor, noti
come ``Darlington''\footnote{Dal nome del ricercatore, Sidney
Darlington, che li invent\`o nel 1953.} sono commercializzati da varie
ditte. Un esempio tipico \`e il 2N6285, che ha un guadagno in corrente
di circa 2400, con correnti di collettore di 10A. Lo schema pi\`u
semplice di un transistor Darlington \`e quello mostrato in
figura~\ref{transistor_base_darlington_two}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_darlington_two.eps,width=8 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Schema base di un transistor Darlington}
\protect\label{transistor_base_darlington_two}
\end{figure}

Vediamo che la corrente di emettitore del primo transistor \`e la
corrente di base del secondo.

Il guadagno complessivo in corrente\index{Darlington! struttura
Darlington} di questo sistema pu\`o esser calcolato facilmente:
\[
h_{fe} \equiv A_i \equiv
\frac{i_c}{i_{b1}}=\frac{i_{c1}+i_{c2}}{i_{b1}}=\frac{i_{c1}}{i_{b1}}+\frac{i_{c2}}{i_{b1}}=
h_{fe1}+\frac{i_{c2}}{i_{b2}}\frac{i_{b2}}{i_{c1}}\frac{i_{c1}}{i_{b1}}=
\]
\[
=h_{fe1}+ \frac{h_{fe2}h_{fe1}}{\alpha_1}\cong
h_{fe1}\left(1+h_{fe2}\right)
\]
poich\`e $\alpha_1 \approx 1$.


Se i due transistor sono caratterizzati da valori uguali di $h_{fe}$,
si ha, ponendo $h_{fe1}=h_{fe2}=h_{fet}$:
\[
h_{fe}\approx h_{fet}^2
\]

Vediamo quindi che il parametro $h_{fe}$ di questo transistor
composito (che \`e noto come transistor Darlington) \`e all'incirca
uguale al quadrato dell'$h_{fe}$ del singolo transistor.

Possiamo ora far vedere che anche l'impedenza
d'ingresso\index{Darlington! impedenza d'ingresso} risulta molto
aumentata.

Guardando nella base di $Q_1$ vediamo infatti un'impedenza pari a :
\[
R_i=h_{ie1}+\left(h_{fe1}+1\right)h_{ie2}
\]
con:
\[
h_{ie2}\cong \frac{V_T}{I_{EQ_2}\;(mA)}=\frac{25}{I_{EQ_2}\;(mA)}
\]

Notiamo che, essendo le correnti nei due transistor molto diverse,
saranno parimenti diversi i loro parametri $h_{ie}$.

Segue:

\[
R_i=\left(h_{fe1}+1\right)\frac{V_T}{I_{EQ1}}+(h_{fe1}+1)(h_{fe2}+1)\frac{V_T}{I_{EQ2}}=
\]
\[
=\left(h_{fe1}+1\right)V_T\left[\frac{1}{I_{EQ1}}+(h_{fe2}+1)\frac{1}{I_{EQ2}}\right]=
\left(h_{fe1}+1\right)\frac{V_T}{I_{EQ2}}\left[\frac{I_{EQ2}}{I_{EQ1}}+(h_{fe2}+1)\right]
\]

Le correnti nei due transistor sono nel rapporto:
\[
\frac{I_{EQ2}}{I_{EQ1}}=(h_{fe2}+1)
\]

per cui:
\[
R_i=2(h_{fe1}+1)(h_{fe2}+1)\frac{V_T}{I_{EQ2}}
\]

Vediamo quindi che l'impedenza d'ingresso complessiva \`e maggiore di
quella del singolo transistor di un fattore $2(h_{fe}+1)$.

Notiamo che un transistor Darlington ha un valore di $V_{BE}$ che \`e
il doppio di quello di un normale transistor. Nell'uso in un circuito
digitale, un transistor di questo tipo ha l'ulteriore inconveniente
che il $V_{CE}$ della coppia, quando questa \`e in saturazione, \`e
uguale a $V_{CE1}+V_{BE2} \simeq 0.2 + 0.8 = 1\;V$.  Inoltre, un
transistor Darlington come lo abbiamo disegnato \`e intrinsecamente
lento, sopratutto se adoperato come elemento di un circuito digitale.
Infatti $Q_1$ non pu\`o mandare rapidamente in interdizione
$Q_2$\footnote{Ricordiamo che, se $Q_2$ \`e in saturazione, perch\`e
esso possa uscirne deve liberarsi delle cariche accumulate in
base. Ci\`o non pu\`o facilmente avvenire attraverso l'emettitore di
$Q_1$.}. Per ovviare a tale limitazione si modifica la configurazione
indicata sopra, inserendo una resistenza tra la base e l'emettitore di
$Q_2$, come mostrato in figura~\ref{transistor_base_darlington_three}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_base_darlington_three.eps,width=8 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Schema base alternativo di un transistor Darlington}
\protect\label{transistor_base_darlington_three}
\end{figure}


Ora avremo:
\[
i_{e1}=i_{b2}+i_R=i_{b2}+\frac{0.7}{R_b}
\]

da cui si vede che scegliendo opportunamente $R_b$ si pu\`o ottenere
un valore conveniente per $i_{e1}$, a partire dal valore minimo di
$i_{b2}$.

Vediamo come si modifichino ora i valori di $R_i$ e di $h_{fe}$ del
sistema.  Notiamo che ora $R_b$ \`e in parallelo con $h_{ie2}$, con
che l'impedenza d'ingresso del circuito sar\`a:
\[
R_i=h_{ie1}+(h_{fe1}+1)(R_b \parallel h_{ie2})
\]

Vediamo che ora l'impedenza d'ingresso \`e minore di quella del caso
precedente.

Calcoliamo ora il guadagno in corrente. Abbiamo:
\[
i_c=i_{c1}+i_{c2}=h_{fe1}i_{b1}+h_{fe2}i_{b2}
\]
con:
\[
i_{b2}=i_{e1}\frac{R_b}{R_b+h_{ie2}}=(h_{fe1}+1)i_{b1}\frac{R_b}{R_b+h_{ie2}}
\]

In definitiva otterremo:
\[
i_c=h_{fe1}i_{b1}+h_{fe2}(h_{fe1}+1)i_{b1}\frac{R_b}{R_b+h_{ie2}}
\]
da cui:
\[
A_i=\frac{i_c}{i_{b1}}=h_{fe1}+h_{fe2}(h_{fe1}+1)\frac{R_b}{R_b+h_{ie2}}
\]
Nel caso in cui sia $h_{fe1}=h_{fe2}=h_{fe}$, questa diventa:
\[
A_i=h_{fe}+h_{fe}(h_{fe}+1)\frac{R_b}{R_b+h_{ie2}}\cong h_{fe}^2
\frac{R_b}{R_b+h_{ie2}}
\]

Vediamo quindi che anche il guadagno in corrente \`e inferiore a
quello della configurazione in cui la resistenza $R_b$ era assente.

Transistor Darlington sono disponibili in commercio come oggetti
singoli, dove \`e normalmente inclusa la resistenza $R$. La
figura~\ref{darlington_fairchild_characteristics} illustra le
caratteristiche del transistor Darlington 2N7052 della Fairchild. Si
noti la dipendenza delle ca\-rat\-te\-ri\-sti\-che dalla temperatura,
nonch\`e il fatto che il guadagno a temperatura am\-bien\-te \`e
dell'ordine di 30,000 per correnti di collettore fino a centinaia di
$mA$.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/darlington_fairchild_characteristics.eps,width=12 cm,
height=18 cm}}\end{center}
\caption{Caratteristiche di un tipico transistor Darlington}
\protect\label{darlington_fairchild_characteristics}
\end{figure}

\section{Specchi di corrente}

Cominciamo con l'esaminare la configurazione mostrata in
figura~\ref{transistor_specchi_one}, in cui un transistor npn \`e
montato con base e collettore uniti insieme.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_specchi_one.eps,width=2.5 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Transistor bipolare montato in modo da funzionare come diodo}
\protect\label{transistor_specchi_one}
\end{figure}

\'E facile vedere che ora il transistor si comporta come un
diodo.\index{Transistor bipolare! collegamento a diodo} Infatti, la
polarizzazione \`e tale che la giunzione emettitore-base \`e
polarizzata direttamente, mentre quella base-collettore \`e
polarizzata inversamente\footnote{La giunzione base-collettore sarebbe
polarizzata direttamente se fosse $V_C > V_B$.}.

La differenza di potenziale tra base ed emettitore sar\`a quella
($V_{BE}$) di un diodo polarizzato direttamente. La corrente in R
sar\`a quindi:
\[
I_R=\frac{V_{CC}-V_{BE}}{R}
\]
con:
\[
I_R=I_C+I_B=I_C(1+\frac{1}{\beta})=I_C\frac{1+\beta}{\beta}
\]

Segue da questa:
\[
I_C=\frac{\beta}{1+\beta}I_R=\frac{\beta}{1+\beta}
\frac{V_{CC}-V_{BE}}{R} \approx I_R
\]

Vediamo cos\`i che la corrente $I_R$ (e cos\`i $I_C$) \`e determinata
da $V_{CC}$ e dal $V_{BE}$ del transistor (oltre che da R).

Esaminiamo ora la configurazione mostrata in
figura~\ref{transistor_specchi_two}, dove ammettiamo che i due
transistor siano identici:\index{Transistor bipolare! specchio di
corrente}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_specchi_two.eps,width=8 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Specchio di corrente a transistor bipolare}
\protect\label{transistor_specchi_two}
\end{figure}


Il transistor $Q_1$ fa passare una corrente in R data da:
\[
I_R=\frac{V_{CC}-V_{BE1}}{R}
\]

Essendo $V_{BE1}=V_{BE2}\equiv V_{BE}$ ed i due transistor identici,
avremo che la corrente nel secondo transistor sar\`a uguale a quella
del primo, indipendentemente dal valore di Z.

\'E come se il primo transistor \emph{programmasse} la corrente che
circoler\`a nel secondo.  Pi\`u esattamente avremo:
\[
I_R=I_C+I_{B1}+I_{B2}=I_C\left(1+\frac{2}{\beta}\right)
\]
con:
\[
I_R=\frac{V_{CC}-V_{BE}}{R}
\]
per cui la corrente nel carico Z sar\`a:
\[
I_Z=I_C=\frac{\beta}{\beta+2}\frac{V_{CC}-V_{BE}}{R}\approx\frac{V_{CC}-V_{BE}}{R}
\]
essendo $\beta \gg 1$.

In realt\`a, la corrente $I_{C2}$, cio\`e la corrente nel carico Z,
non sar\`a rigorosamente uguale a questo valore, a causa dell'effetto
Early.  Ricordiamo infatti che il circuito d'uscita di un transistor
in configurazione di emettitore comune pu\`o esser schematizzato come
mostrato in figura~\ref{transistor_specchi_three}, dove \`e:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_specchi_three.eps,width=5 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Conseguenza dell'effetto Early sulla corrente nel carico di
figura~\ref{transistor_specchi_two}}
\protect\label{transistor_specchi_three}
\end{figure}


\[
r_o=\frac{1}{h_{oe}}=\frac{V_A}{I_C}
\;\;\;(V_A=\verb|Tensione di Early|)
\]

La presenza di $r_o$, o meglio il fatto che $r_o$ non sia
infinitamente grande, \`e legata all'andamento leggermente crescente
delle caratteristiche d'uscita del transistor, come mostrato in
figura~\ref{transistor_specchi_four}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_specchi_four.eps,width=12 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Transistor bipolare: caratteristica d'uscita che illustra
l'effetto Early} \protect\label{transistor_specchi_four}
\end{figure}

La parte rettilinea della caratteristica interseca l'asse $I_C=0$ in
$V_{CE}=-V_A$ (tensione di Early).  Ci\`o fa si che al variare di
$V_{CE2}$ nel nostro specchio di corrente, $I_{C2}$ non rimanga
esattamente uguale ad $I_{C1}$, ma aumenti all'aumentare di $V_{CE2}$,
cio\`e cambi al cambiare del carico Z.

Lo specchio di corrente appena esaminato pu\`o esser esteso a
comprendere pi\`u transistor. In tal modo, la corrente che passa in un
transistor pu\`o ``pilotare'' le correnti in un numero di carichi
diversi. Ci\`o \`e indicato in figura~\ref{transistor_specchi_five}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_specchi_five.eps,width=10 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Specchio multiplo di corrente}
\protect\label{transistor_specchi_five}
\end{figure}

$Q_0$ \`e il transistor che pilota gli altri. Le correnti $I_1$,
$I_2$, $I_3$ saranno, a meno di deviazioni legate all'effetto Early,
uguali alla corrente $I_{C0}=I_R$.

Si possono anche realizzare specchi multipli di corrente simili a
quello appena descritto, con correnti $I_1,I_2,I_3,\cdots $ diverse
l'una dall'altra, in rapporti prefissati.  Ci\`o viene ottenuto
utilizzando, in un integrato, transistor $Q_1, Q_2, Q_3, \cdots$,
aventi aree della giunzione di emettitore diverse l'una dall'altra.

Un metodo alternativo per programmare una corrente $I_1$ minore di
quella nel transistor pilota $Q_0$, \`e costituito dal cosiddetto
specchio di Widlar.\index{Widlar! generatore di corrente costante}
Questo differisce dal normale specchio di corrente per l'inserimento
di una resistenza nota sull'emettitore del transistor $Q_1$, come
mostrato in figura~\ref{transistor_specchi_six}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_specchi_six.eps,width=10 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Generatore di corrente costante di Widlar}
\protect\label{transistor_specchi_six}
\end{figure}


La presenza in tale circuito di $R_e$, fa si che $V_{BE0}$ sia diverso
da $V_{BE1}$ e quindi che $I_{C1}\ne I_{C0}$. Si ha infatti:
\[
V_{BE0}=V_{BE1}+R_e\left(I_{C1}+I_{B1}\right)
\]

da cui segue:
\[
\Delta V_{BE}\equiv V_{BE0}-V_{BE1}=R_e\left(I_{B1}+I_{C1}\right)
\]

Ricordando che:
\[
\frac{I_{C0}}{I_{C1}}=e^{\Delta V_{BE}/V_T}
\]
per cui:
\[
\Delta V_{BE}=V_T \ln \left(\frac{I_{C0}}{I_{C1}}\right)
\]

si ha:
\[
R_e=\frac{\Delta V_{BE}}{I_{B1}+I_{C1}}=V_T \ln
\left(\frac{I_{C0}}{I_{C1}}\right)\frac{1}{I_{B1}+I_{C1}}
\]
cio\`e:

\begin{equation}
R_e=\frac{V_T}{I_{C1}\left(1+\frac{1}{\beta}\right)}\ln
\left(\frac{I_{C0}}{I_{C1}}\right) \label{transistor_specchi_equ}
\end{equation}

Essendo poi:
\[
I_R=\frac{V_{CC}-V_{BE0}}{R}=I_{C0}+I_{B0}+I_{B1}=I_{C0}\left(1+\frac{1}{\beta}\right)+\frac{I_{C1}}{\beta}
\]

dove si desidera che sia $I_{C1} < I_{C0}$, con che il termine
$I_{C1}/\beta$ (con $\beta \gg 1$) pu\`o esser trascurato.

Si ha quindi nuovamente:
\[
I_{C0}=\frac{\beta}{1+\beta}I_R=\frac{\beta}{1+\beta}\frac{V_{CC}-V_{BE0}}{R}
\]


Fissati $I_{C0}$ ed $I_{C1}$ si calcola $R$ da quest'ultima e poi
$R_e$ dalla~(\ref{transistor_specchi_equ}).

Esaminiamo ora l'impedenza d'uscita del generatore di corrente di
Widlar, per segnali variabili di piccola ampiezza.  Questa pu\`o esser
calcolata facendo uso del circuito equivalente di
figura~\ref{transistor_specchi_seven_prime}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_specchi_seven_prime.eps,width=9 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Generatore di corrente costante di Widlar: circuito adoperato
per il calcolo della corrente}
\protect\label{transistor_specchi_seven_prime}
\end{figure}


dove $R'_s$ \`e il parallelo di R e dell'impedenza d'uscita di $Q_0$.
Per calcolare l'impedenza d'uscita, immaginiamo di applicare ai
terminali d'uscita una corrente $i_{c1}$ e calcoliamo la tensione
$v_{c1}$.

\begin{equation}
v_{c1}=\frac{1}{h_{oe}}\left(i_{c1}-h_{fe}i_{b1}\right)+R'_Pi_{c1}
\label{transistor_specchi_equw}
\end{equation}

dove:
\[
R'_P=R_e \parallel (R'_s+h_{ie})
\]

Trascurando il secondo termine nella~(\ref{transistor_specchi_equw})
rispetto al primo (che prevale a causa del coefficiente $1/h_{oe}$) si
ottiene:

\begin{equation}
v_{c1}=\frac{1}{h_{oe}}\left(i_{c1}-h_{fe}i_{b1}\right)
\label{transistor_specchi_equz}
\end{equation}


La maglia di sinistra d\`a poi:

\[
i_{b1}(h_{ie}+R'_s) + R_e (i_{b1}+i_{c1})=0
\]
da cui:
\[
i_{b1}(h_{ie}+R'_s+R_e)=-R_e i_{c1}
\]
\[
i_{b1}=-R_e \frac{i_{c1}}{h_{ie}+R'_s+R_e}
\]

Sostituendo questa nella~(\ref{transistor_specchi_equw}) si ha:
\[
v_{c1} \cong
\frac{1}{h_{oe}}\left(1+\frac{h_{fe}R_e}{h_{ie}+R'_s+R_e}\right)
i_{c1}
\]

e quindi l'impedenza d'uscita sar\`a:
\[
R_O \equiv
\frac{v_{c1}}{i_{c1}}=\frac{1}{h_{oe}}\left(1+\frac{h_{fe}R_e}{h_{ie}+R'_s+R_e}\right)
\]


Se \`e inoltre $R_e \gg (h_{ie}+R'_s)$, si ha:
\[
R_O \cong \frac{1+h_{fe}}{h_{oe}}
\]

cio\`e la resistenza d'uscita \`e ($1+h_{fe}$) volte maggiore di
quella del singolo transistor.


Uno specchio di corrente in cui l'effetto Early non pu\`o dar noia \`e
costituito dal cosiddetto ``specchio di Wilson'',\index{Wilson!
generatore di corrente di Wilson} mostrato in
figura~\ref{transistor_specchi_seven}(a).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transistor_ampli_intro/transistor_specchi_seven.eps,width=11 cm,
height=6.5 cm}}\end{center}
\caption{Il circuito mostrato in (a) \`e un generatore di corrente
costante di Wilson che utilizza transistor npn. In (b): generatore di
corrente costante di Wilson che utilizza transistor pnp}
\protect\label{transistor_specchi_seven}
\end{figure}


Notiamo che ora base e collettore di $Q_1$ sono ad un potenziale
$V_{BE}$ rispetto a massa. Di conseguenza la base di $Q_2$ \`e ad un
potenziale $2 \;V_{BE}$ rispetto a massa. Essendo la base di $Q_2$
unita al collettore di $Q_0$, ne segue che
$V_{CE0}=2\;V_{BE}$~=costante. In $Q_0$ ora non si ha effetto Early,
essendo stato fissato $V_{CE0}$.  D'altronde, la corrente nel carico
\`e uguale a quella in $Q_1$, che \`e uguale a quella in $Q_0$ e
quindi \`e fissata una volta stabiliti i valori di $V_{CC}$ e di R.

Si pu\`o dimostrare che $I_C$ vale:
\[
I_C=\frac{\beta^2 + 2 \beta}{\beta^2 + 2 \beta + 2} I_R
\]

con:
\[
I_R=\frac{V_{CC}-2 V_{BE}}{R}
\]

e quindi:
\[
I_C-I_R=\frac{2 I_R}{\beta^2 + 2 \beta + 2}
\]
\[
\frac{|I_C - I_R|}{I_R}=\frac{2}{\beta^2 + 2 \beta + 2} \ll 1\%
\]

Gli specchi di corrente fin qui esaminati utilizzavano transistor
(npn).  In tali circuiti il carico era situato tra collettore e
alimentazione.  Utilizzando transistor pnp si pu\`o facilmente
ottenere dei circuiti con carico a massa.  Ad esempio, lo specchio di
corrente di Wilson pu\`o esser realizzato con transistor pnp, come
mostrato in figura~\ref{transistor_specchi_seven}(b).
