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\title{\bf Amplificatori operazionali}
\author{\small }
\author{}
\date{}
 
\maketitle

\section{Introduzione}

Ci occuperemo in questa sezione degli amplificatori operazionali, 
iniziando con un breve sommario delle principali caratteristiche di un tipico amplificatore operazionale ideale ed esaminandone alcune semplici applicazioni.
Passeremo a discutere in un secondo tempo i limiti degli amplificatori operazionali reali, quali le correnti e tensioni di offset, lo "slew rate" e via dicendo. 
\newline \indent
Questo tipo di amplificatore si presta ad un gran numero di applicazioni diverse, che vanno dall'amplificazione di segnali di tensione o
corrente, alla realizzazione di integratori/derivatori di precisione, a quella
di circuiti oscillanti, di filtri analogici, di sistemi di trigger e via dicendo. Vari tipi di operazionali, con diverse caratteristiche e prestazioni (impedenza d'ingresso pi\'u o meno elevata, guadagno pi\'u o meno grande, banda passante pi\'u o meno ampia etc), sono disponibili in commercio. Di questi, quello che \'e stato per decenni il pi\'u noto \'e il $\mu A741$

\section{Propriet\'a degli amplificatori operazionali}
Con riferimento allo schema indicato in figura~\ref{opamp}, un amplificatore operazionale ha due ingressi di segnale, due alimentazioni (nella pi\'u gran parte dei casi una positiva ed una negativa, ma a volte una positiva ed una massa) ed  un'uscita. In molti casi esistono degli ulteriori terminali, adoperati per il controllo dell'offset.


I due ingressi, noti come `ingresso non-invertente' ed `ingresso invertente',

sono tali che ad essi corrispondano, come vedremo tra un attimo, guadagni uguali
ed opposti. In altre parole, l'amplificatore operazionale ha ingressi differenziali. 
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=opamp.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{opamp}
\end{figure}
Le principali caratteristiche di un amplificatore operazionale ideale sono le seguenti:
\begin{itemize}
\item{Impedenza d'ingresso infinitamente  grande}
\item{Ingressi differenziali}
\item{Guadagno nel modo differenziale infinito}
\item{Larghezza di banda infinita} 
\item{Sfasamento nullo tra ingresso ed uscita}
\item{Guadagno nel modo comune nullo}
\item{Impedenza di uscita nulla}
\end{itemize}
Un amplificatore operazionale reale avr\'a caratteristiche che si  discosteranno pi\'u o meno dalle caratteristiche ideali appena descritte. Di tali differenze ci occuperemo nel seguito. 


Esaminiamo adesso le caratteristiche di un amplificatore tipico. Un circuito che si incontra frequentemente \'e quello mostrato in figura~\ref{opamp}. 
Notiamo il terminale invertente indicato con un segno meno ed il terminale non invertente indicato con un segno pi\'u. 

Se tra i due terminali applichiamo una differenza di potenziale la tensione al terminale di uscita sar\'a, a causa del guadagno infinito dell'operazionale, anch'essa infinita.
Da un punto di vista pratico la tensione di uscita non potr\'a superare quella delle alimentazioni. Se, ad esempio, l'amplificatore \'e alimentato con tensione positiva di +15  Volt e tensione negativa di  -15  Volt, la tensione di uscita sar\'a all'incirca uguale a +15 Volt se la tensione applicata al terminale non invertente \'e maggiore di quella applicata al terminale invertente, sar\'a -15 Volt nel caso contrario.
 Notiamo che sia il terminale invertente che quello non invertente sono riferiti a massa. Avremo quindi un'impedenza tra terminale invertente e massa, una tra terminale non invertente e massa ed una tra i due terminali invertente e non invertente. Ammetteremo che tutte e tre queste  impedenze siano infinite. 
\section{Ingresso differenziale}
Prima di passare ad esaminare alcuni circuiti tipici che fanno uso di A.O., ricordiamo alcune definizioni relative all'amplificatore differenziale, che ne costituisce lo stadio d'ingresso.

Indichiamo con $v_+$ e $v_-$ le tensioni applicate rispettivamente all'ingresso
non invertente ed a quello invertente, con $v_o$ la tensione d'uscita, con $A_+$ e con $A_-$ i guadagni dell'A.O. per segnali applicati rispettivamente all'ingresso non invertente ed a quello invertente. Per il principio di sovrapposizione avremo:
\begin{equation}
v_0\:=\:A_+ v_+\:+\:A_- v_-      \label{eq:one}
\end{equation}
e, ponendo:
\[ 
v_{d}\:=\:v_+\:-\:v_-
\]
\[
v_c=\:\frac{1}{2}(v_+ \: + \: v_-)
\]
cio\'e
\begin{equation}
v_+\:=\:v_c\:+\:\frac{v_d}{2}   \label{eq:two}
\end{equation}

\begin{equation}
v_-\:=\:v_c\:-\:\frac{v_d}{2}    \label{eq:three}
\end{equation}

questa diventa:
\begin{equation}
v_o \: = \: A_+ \: (v_c + \frac{v_d}{2})\: + \: A_- \: (v_c - \frac{v_d}{2}) \:=\:
(A_+ \: + \: A_-) v_c \: + \: \frac{1}{2}(A_+ - A_-) v_d  \label{eq:four}
\end{equation}
che, con le definizioni:
\begin{equation}
A_c\:=\:(A_+ + A_-)    \label{eq:five}
\end{equation}
\begin{equation}
A_d\:=\:\frac{1}{2}(A_+ - A_-)  \label{eq:six}
\end{equation}
pu\'o essere scritta come:
\begin{equation}
v_o\:=\:A_cv_c\:+\:A_dv_d    \label{eq:seven}
\end{equation}

La grandezza $A_d$ \'e nota come il \emph{guadagno nel modo differenziale}, mentre $A_c$ \'e il \emph{guadagno nel modo comune}. Un buon A.O. dovr\'a avere un valore di $A_c$ prossimo a zero ed un valore di $A_d$ prossimo ad $\infty$.
Normalmente i produttori quotano il valore del cosiddetto \emph{rapporto di reiezione per il modo comune} (Common Mode Rejection Ratio o CMRR), definito da:
\[
\rho\:=\:|A_d/A_c|
\]
che deve essere il pi\'u grande possibile.

Dalla~(\ref{eq:seven}) si ha poi:
\begin{equation}
v_o\:=\:A_d v_d\:(1\:+\:\frac{1}{\rho}\frac{v_c}{v_d}) \label{eq:eight}
\end{equation}
Ad esempio, se $v_c~$=1~mV, $v_d$~=~1~$\mu$V e $\rho$~=1000, avremo:
\[v_o\:=\:A_d v_d\:(1\:+\:\frac{1}{\rho}\frac{v_c}{v_d})\:=\:2\:A_d v_d
\]
anzich\'e semplicemente $A_d v_d$ come si vorrebbe da un buon A.O.. Se vogliamo
che ci\'o accada, occorre che $\rho$ sia abbastanza pi\'u grande di $v_c/v_d$ da rendere trascurabile il secondo termine in parentesi nell'ultima espressione scritta. Nel nostro esempio, $\rho$ dovr\'a essere maggiore di $10^5$ se si vuole che $v_o$ differisca da $A_d v_d$ per meno dell'$1\%$.

\section{Amplificatori Operazionali: alcune applicazioni}
Gli A.O. hanno numerosissime applicazioni. Queste possono essere divise in due grandi categorie. Nella prima di queste l'A.O. viene adoperato in modo che esso esca dalla zona lineare e vada in saturazione. Se infatti si applica una piccola
differenza di potenziale tra ingresso invertente ed ingresso non-invertente, l'uscita si porter\'a tipicamente a $\pm V_{cc}$ dove $V_{cc}$ \'e la tensione di alimentazione. Per realizzare tale funzione si fa tipicamente uso di una
reazione positiva tra uscita ed ingresso dell'A.O.. Fanno parte di questa categoria molti circuiti logici, generatori di onde quadre, generatori di
rampa, circuiti di trigger (Schmitt) etc..

Nel secondo tipo di applicazioni si fa invece uso di una reazione negativa, realizzando un funzionamento lineare dell'A.O.. Fanno parte di questa categoria
i circuiti amplificatori (invertenti e non invertenti), i circuiti di somma e
di sottrazione, gli inseguitori di tensione, i convertitori tensione-corrente
e corrente-tensione e molti altri.

Inzieremo nella prossima sezione un'analisi di quest'ultima classe di applicazioni.

Esiste in realt\'a una terza classe di applicazioni, in cui il feedback positivo
applicato \'e quasi esattamente uguale all'inverso dell'amplificazione dell'operazionale e quindi il \emph{guadagno a catena aperta} $A \beta$ \'e circa uguale ad uno. In tale categoria rientrano i cosiddetti "oscillatori sinusoidali" che sono trattati in un capitolo a se.

\section{Amplificatori invertenti e non-invertenti realizzati con operazionali}

Abbiamo specificato in precedenza tra le caratteristiche di un A.O. ideale:
\begin{itemize}
\item{impedenza d'ingresso infinita}
\item{Guadagno in tensione $A_v$ infinito}
\item{Impedenza d'uscita nulla}
\end{itemize}
Esamineremo ora, a titolo di esempio, alcuni amplifcatori reazionati che utilizzano un A.O. e ne studieremo il funzionamento.

Cominceremo con l'esaminare la configurazione invertente mostrata in figura~\ref{invert}.
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=invert.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{invert}
\end{figure}
Ammetteremo che $R_i$, $A_v$ ed $R_o$ abbiano valori finiti; faremo poi tendere
$R_i$ ed $A_v$ ad infinito ed $R_o$ a zero.
Lo schema del circuito ideale mostrato in figura~\ref{invert} pu\'o
esser trasformato nel circuito equivalente mostrato in figura~\ref{opamint}.
Facendo poi uso del teorema di Miller, questo pu\'o esser trasformato in quello di figura~\ref{miller}, dove $k=v_o/v_i$.
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=miller.eps,width=14.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{miller}
\end{figure}


Dall'analisi della maglia d'uscita di tale circuito troviamo:
\[
v_o\:=\:\frac{-A_v v_i}{Z'+R_o}Z'
\]
dove:
\[Z'\:=\:-\frac{R_2 k}{1-k}
\]

Si ottiene di qui una relazione tra $v_o$ e $v_i$:
\begin{equation}
\frac{v_o}{v_i}\:=\:\frac{R_o\:-\:A_v R_2}{R_2+R_o}  \label{eq:nine}
\end{equation}
Dall'analisi della maglia d'ingresso si ottiene invece:
\[
v_i\:=\:v_s\:\frac{R_{\parallel}}{R_1+R_{\parallel}}  \label{eq:ten}
\]
dove:
\[
R_{\parallel} \:=\: \frac{R_i R_2}{R_i(1-k)+R_2}
\]
per cui:
\[
\frac{R_{\parallel}}{R_1+R_{\parallel}}=\frac{R_i R_2}{R_i R_2+R_1 [R_2+R_i(1-k)]}
\]
Dall'equazione~(\ref{eq:nine}) si ottiene allora:
\[
\frac{v_o}{v_s}\:=\:\frac{v_o}{v_i} \:\frac{v_i}{v_s}\:=\:\frac{R_i(R_o-A_v R_2)}{R_1(R_i+R_2+R_o)+R_i(R_2+R_o)+A_vR_1R_i}
\]
Dividendo ora numeratore e denominatore per $R_i$, otteniamo poi:
\[
\frac{v_o}{v_s}\:=\:\frac{ R_o-A_v R_2}{(R_1/R_i)(R_i+R_2+R_o)+R_2+R_o+A_v R_1}
\]
che, per $R_i$ che tende ad infinito, diventa:
\[
\frac{v_o}{v_s}\:=\:\frac{R_o-A_vR_2}{R_1+R_2+R_o+A_vR_1}
\]
e, per $A_v$ che tende ad infinito ed $R_0$ che tende a zero:
\begin{equation}
\frac{v_o}{v_s}\:=\:-\frac{R_2}{R_1}  \label{eq:eleven}
\end{equation}
Vediamo da tale relazione che il guadagno dell'amplificatore reazionato invertente \'e, nel limite $R_i\:=\:\infty$, $R_0\:=\:0$ ed $|A_v|\:=\:\infty$,
uguale al rapporto tra la resistenza di reazione $R_2$ e quella che collega il generatore di segnali all'ingresso invertente.

Notiamo che al medesimo risultato si potrebbe arrivare in modo pi\'u semplice, con le seguenti considerazioni:
\begin{enumerate}
\item{poich\'e $R_i=\infty$, la corrente che pu\'o fluire nell'operazionale
\'e trascurabile. Ametteremo che essa sia nulla.}
\item{in presenza della reazione negativa causata dalla resistenza $R_2$, l'operazionale non satura: cio\'e il segnale in uscita ha un valore inferiore
a quello dell'alimentazione.}
\item{essendo $A_v = \infty$ e $V_o $ finito, la relazione: $|V_i|\:=\:|V_o/A_v|$ ci dice che la differenza di potenziale tra i terminali d'ingresso: $V_i$ deve essere vicina a zero. Ammetteremo che essa sia nulla.}
\end{enumerate}
In definitiva avremo (vedi figura~\ref{opsimple}):
\[
V_-\:=\:V_i\:=\:\frac{V_o}{A_v}\:\approx\:0
\]
e quindi $V_- = 0$ (essendo $V_+$ collegato a massa). Si dice che il terminale

invertente \'e una "massa virtuale", poich\'e esso si trova ad un potenziale
molto prossimo a quello di massa. \'E tuttavia da tenere ben presente che non esiste alcun collegamento fisico o "corto circuito" tra terminale invertente e
non-invertente.


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=opsimple.eps,width=12.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{opsimple}
\end{figure}

Vediamo ora come le condizioni esaminate portino facilmente al risultato
espresso dall'equazione~(\ref{eq:eleven}). Infatti, per quanto detto, nessuna corrente entra nell'operazionale; ne segue che la corrente che attraversa
la resistenza $R_1$ \'e uguale a quella che attraversa $R_2$. Inoltre \'e
$v_- = 0$. Ne segue:
\[
i\:=\:\frac{v_s}{R_1}\:=\:-\frac{v_o}{R_2}
\]
da cui:
\begin{equation}
\frac{v_o}{v_s}\:=\:-\frac{R_2}{R_1}  \label{eq:twelve}
\end{equation}

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=opamint.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{opamint}
\end{figure}

Potrebbe apparire che l'ipotesi aggiuntiva ($R_o=0$) che \'e stata necessaria
per dimostrare la relazione~(\ref{eq:eleven}), non giochi pi\'u alcun ruolo. In realt\'a ci\'o non \'e vero. 
Se infatti $R_o$ fosse, diciamo, grande rispetto
ad $R_2$ (o confrontabile ad essa), allora la tensione d'uscita $v_o$ sarebbe
uguale a quella ($v'_o$) presente all'uscita del generatore dipendente che schematizza l'uscita dell'A.O., 
diminuita della caduta attraverso $R_o$. Con ci\'o l'equazione ottenuta~(\ref{eq:twelve}) 
non sarebbe pi\'u vera, ma il rapporto $v_o/v_s$ dipenderebbe anche da $R_o$.

La figura~\ref{sinout} mostra i segnali in ingresso ed in uscita da un amplificatore invertente, in cui
\'e stato scelto un rapporto $R_2/R_1$ pari a 2. Il segnale in ingresso \'e una sinusoide di ampiezza pari
ad 1~V. Si vede come il segnale in uscita sia una sinusoide invertita, di ampiezza doppia.

\section{Impedenza d'ingresso dell'amplificatore invertente}

L'impedenza d'ingresso dell'amplificatore appena esaminato pu\'o esser calcolata facilmente
facendo uso dello schema di figura~\ref{miller}. Si vede da tale figura che l'impedenza
d'ingresso \'e:
\[
R_1\:+\:\frac{R_iR_2}{R_i(1-k)+R_2}
\]
dove k \'e dato dalla relazione~(\ref{eq:nine}). Si ottiene quindi:
\[
r_i\:=\:R_1+\frac{R_i(R_o+R_2)}{R_i(1+A_v)+(R_o+R_2)}
\]
Questa pu\'o essere riscritta come:
\[
r_i\:=\:R_1+\frac{R_i(R_o+R_2)/(1+A_v)}{R_i+(R_o+R_2)/(1+A_v)}
\]
che, ponendo:
\[
r_f\:=\:\frac{R_2+R_o}{1+A_v}
\]
pu\'o essere scritta nella forma pi\'u concisa:
\[
r_i\:=\:R_1+R_i \parallel r_f
\]
dove in genere $r_f$ \'e molto minore di $R_i$ per cui, nel parallelo, quest'ultima
pu\'o essere trascurata. Essendo inoltre in genere $r_f$ molto piccola, si trova che
l'impedenza d'ingresso dell'amplificatore invertente esaminato \'e con ottima
approssimazione uguale ad $R_1$.

Ad esempio, per $R_1 = 100k$, $R_2 = 10k$, $R_o = 100 \Omega$ ed $A_v = 10^5$, troviamo:
$r_f=0.1 \Omega$ e quindi $r_i = R_1 = 100 k$.

\section{Impedenza d'uscita dell'amplificatore invertente}
Per calcolare l'impedenza d'uscita $r_o$ dell'amplificatore, faremo uso dello schema equivalente mostrato in figura~\ref{outimp}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=outimp.eps,width=13.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{outimp}
\end{figure}


Immaginiamo di cortocircuitare i terminali d'ingresso, ponendo $v_s = 0$, di applicare
tra i terminali d'uscita una tensione $v_o$ e di calcolare la corrente $i_o$ immessa
dal generatore di tensione $v_o$. Definiremo poi impedenza d'uscita il rapporto $v_o/i_o$.
Avremo:
\[
i_o\:=\:\frac{v_o-A_v v_i}{R_o}\:+\:\frac{v_o}{R_1+R_2}
\]
poich\'e $R_i \gg R_1$. Inoltre \'e:
\[
-v_i\:=\:v_o\frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
Sostituendo quest'equazione nella precedente, si trova:
\[
i_o\:=\:\frac{v_o+A_vv_oR_1/(R_1+R_2)}{R_o}\:+\:\frac{v_o}{R_1+R_2}
\]
cio\'e:
\[
v_o[\frac{1}{R_o}+\frac{1}{R_1+R_2}+\frac{A_vR_1}{R_o(R_1+R_2)}]\:=\:i_o
\]
ed infine:
\[
\frac{1}{r_o}\:=\:\frac{i_o}{v_o}\:=\:\frac{1}{R_1+R_2}\:+\:\frac{1}{R_o}\:+\:\frac{A_vR_1}{R_o(R_1+R_2)}
\]
per cui $1/r_o$ \'e all'incirca uguale a:
\[
\frac{1}{r_o}\:=\:\frac{1}{R_o}[1+\frac{A_vR_1}{R_1+R_2}]\:\approx\:\infty
\]
ed $r_o$ \'e praticamente nullo.


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=sinout.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{sinout}
\end{figure}

\section{Amplificatore non-invertente}

Un amplificatore che fornisce un segnale in uscita in fase con il segnale
applicato in ingresso \'e quello mostrato in figura\ref{noninvert}.
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=noninvert.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{noninvert}
\end{figure}

Per calcolare il guadagno in tensione di tale amplificatore ricordiamo che,
a causa della reazione negativa avremo, come prima, $v_+ = v_-$, ed inoltre
$v_i = v_+$ per cui:
\[
v_- \:=\:v_o \frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
e:
\[
A_v\:=\:\frac{v_o}{v_i}\:=\:\frac{v_o}{v_-}\:=\:\frac{R_1+R_2}{R_1}\:=\:1\:+\:\frac{R_2}{R_1}
\]
Il guadagno, come si vede, \'e indipendente dalle caratteristiche dell'operazionale, ma dipende solo dai valori delle resistenze $R_1$ e $R_2$.
Esso diviene uguale ad 1 se $R_2 = 0$ e $R_1=\infty$. Si ottiene cos\'i la configurazione di figura~\ref{follower} nota come "inseguitore di tensione".

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=follower.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{follower}
\end{figure}



\section{Impedenza d'ingresso dell'amplificatore non-invertente}
L'impedenza d'ingresso dell'amplificatore nella configurazione esaminata,
cio\'e l'impedenza vista dalla sorgente $v_s$ guardando nel terminale
non invertente, \'e teoricamente infinita. Vediamo di esprimerla in termini
del guadagno $A_v$, della resistenza d'ingresso dell'operazionale $R_i$
e dei valori delle resistenze. Chiamando $r_i$ la resistenza dell'amplificatore
completo, avremo per la corrente d'ingresso nel terminale non invertente:
\[
i_i\:=\: \frac{v_i}{R_i}\:=\:\frac{v_o}{A_v}\frac{1}{R_i}
\]
dove:
\[
v_o\:=\:(1+\frac{R_2}{R_1})\:v_i
\]
per cui:
\[
i_i\:=\: (1+\frac{R_2}{R_1})\:\frac{v_i}{A_v}\frac{1}{R_i}
\]
ed infine:
\[
r_i\:=\:\frac{v_i}{i_i}\:=\:\frac{A_v R_i}{1+R_2/R_1}
\]
Come si vede, tale impedenza \'e estremamente grande. Per $A_v = 10^5$,
$R_i = 1M\Omega$ ed $R_2/R_1 = 1$ questa vale $50,000~M\Omega$.

\section{Impedenza d'uscita dell'amplificatore non-invertente}
Si pu\'o facilmente verificare che l'impedenza d'uscita in questa configurazione
\'e identica a quella della configurazione invertente. In effetti lo
schema equivalente adoperato nella sezione~7 (vedi figura~\ref{outimp}) \'e
applicabile senza modifiche a questa situazione.

\section{Amplificatore della differenza di due segnali}
Un amplificatore operazionale pu\'o facilmente essere adoperato per
amplificare la differenza tra due segnali di tensione. Un possibile schema \'e quello di figura~\ref{ampdiff}.
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ampdiff.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{ampdiff}
\end{figure}

Ancora una volta usiamo il fatto che l'ingresso invertente e quello non-invertente sono in corto-circuito virtuale, cio\'e $v_- = v_+$. D'altronde,
dal partitore costituito dalle resistenze poste sull'ingresso non-invertente,
otteniamo:
\[
v_+\:=\:v_2\:\frac{R_2}{R_1+R_2}
\]
Poich\'e nell'operazionale non entra corrente, le correnti nelle due resistenze
superiori sono uguali, per cui:
\[
\frac{v_1-v_+}{R_1}\:=\:\frac{v_+-v_o}{R_2}
\]
da queste due equazioni segue poi subito:
\[
v_o\:=\:\frac{R_2}{R_1}(v_2\:-\:v_1)
\]
Immaginiamo ad esempio che il segnale all'ingresso 1 sia una sinusoide di ampiezza pari ad 1~V e frequenza 6~kHz, e quello all'ingresso 2 sia un segnale
sfasato rispetto al primo di $\pi$. In tal caso il segnale in uscita sar\'a quello mostrato in figura~\ref{diffout}, dove si \'e utilizzato lo schema di figura~\ref{ampdiff} con $R_1 = 1~k\Omega$ e $R_2 = 2~k\Omega$.
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=diffout.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{diffout}
\end{figure}

\section{Amplificatore della somma di due o pi\'u segnali}
Un A.O. in configurazione invertente pu\'o essere adoperato per ottenere
la somma (cambiata di segno) di pi\'u tensioni applicate agli ingressi, \emph{in modo tale che le sorgenti risultino peraltro disaccoppiate tra loro}.
Un circuito che realizza tale funzione \'e quello mostrato in figura~\ref{ampsum}.
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ampsum.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{ampsum}
\end{figure}
La relazione che lega la tensione in uscita alle tensioni $v_1$, $v_2$ in
ingresso \'e facilmente ottenibile in base alla considerazione che la corrente
che passa nella resistenza $R$ deve essere uguale alla somma delle correnti
nelle resistenze $R_1$ ed $R_2$, unitamente al fatto che la tensione al
terminale invertente \'e nulla ($v_- = v_+ = 0$). Si ha cio\'e:
\[
i_1\:+\:i_2\:=\:\frac{v_1}{R_1}+\frac{v_2}{R_2}\:=\:-\frac{v_o}{R}
\]
da cui si ottiene poi:
\[
v_o\:=\:-R(\frac{v_1}{R_1}+\frac{v_2}{R_2})
\]
L'estensione al caso di N sorgenti \'e immediata.

Come accennato, nella configurazione esaminata le sorgenti sono fisicamente
disaccoppiate l'una dall'altra, poich\'e le estremit\'a destre delle resistenze
$R_1$, $R_2$ sono collegate a massa (cio\'e alla massa virtuale del terminale
invertente). In altre parole, la sorgente $v_1$ non interagisce in alcun modo
con la sorgente $v_2$.
\section{Integratore realizzato tramite un operazionale}
Un integratore ideale fornisce una tensione in uscita proporzionale all'integrale della tensione applicata in ingresso:

\begin{equation}
v_{out}\:=\:K\:\int{v_{in} \:dt}      \label{eq:thirteen}
\end{equation}
In termini della trasformata di Laplace, dovremo avere:
\begin{equation}
\tilde{v}_{out}\:=\:\frac{K}{s}\:\tilde{v}_{in}    \label{eq:fourteen}
\end{equation}
Notiamo che il circuito passa-basso di figura~\ref{pasbas} ha un funzione di trasferimento
data da:
\begin{equation}
\frac{1}{\tau}\:\frac{1}{s+\frac{1}{\tau}}   \label{eq:fifteen}
\end{equation}

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=pasbas.eps,width=6.5 cm,
height=3.6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{pasbas}
\end{figure}



che diviene quella di un integratore ideale espresso dall'equazione~(\ref{eq:fourteen}) per $\tau \rightarrow \infty$. Notiamo che in tale limite la funzione di trasferimento tende a zero, a causa del termine moltiplicativo $1/\tau$.

La configurazione mostrata in figura~\ref{integrat} realizza con ottima approssimazione un integratore ideale. Ci\'o pu\'o esser visto semplicemente
adottando il principio della massa virtuale. 

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=integrat.eps,width=13.0 cm,
height=7.2 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{integrat}
\end{figure}




Infatti, per tale principio, la
corrente nella resistenza R, uguale a quella che carica il condensatore C, \'e data da:
\[
i\:=\:\frac{v_{in}}{R}\:=\:\frac{dQ}{dt}\:=\:-C \frac{d v_{out}}{dt}
\]
da cui:
\[
v_{in}\:=\:-RC\:\frac{d v_{out}}{dt}
\]
e:
\[
v_{out}\:=\:-\frac{1}{RC}\:\int{v_{in} dt}
\]
Si pu\'o arrivare al medesimo risultato, senza far uso in modo esplicito
del principio della massa virtuale, ma adoperando il teorema di Miller.
Sostituiamo infatti all'impedenza capacitiva $Z_c$ presente tra ingresso
invertente ed uscita, una impedenza pari a $Z_c/(1+A_v)$, posta tra ingresso
invertente e massa, ed una pari a $A_v Z_c/(1+A_v)$, posta tra uscita e massa.
Si ottiene in tal modo il circuito equivalente mostrato in figura~\ref{capmiller}, dove \'e $V_{out}\:=\:-A_v v_1$,con $v_1$ la differenza di potenziale tra ingresso invertente e massa. Nella figura le capacit\'a
C e C' valgono:
\[
C' \:=\: C(1+A_v)\:\:\:;\:\:\:C''\:=\:\frac{C(1+A_v)}{A_v}
\]

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=capmiller.eps,width=6.5 cm,
height=3.6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{capmiller}
\end{figure}


La funzione di trasferimento che cos\'i si ottiene \'e:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{-A_v /\tau'}{s + 1/\tau'}  \label{eq:sixteen}
\end{equation}
con:
\[
\tau'\:=\:RC(1+A_v)
\]
Poich\'e ora $\tau'$ contiene il grosso termine $A_v$, avremo che il termine
$1/\tau'$ a denominatore della~(\ref{eq:sixteen}) sar\'a trascurabile e G(s) diventa con ottima approssimazione la funzione di trasferimento di un integratore ideale:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\ -\frac{A_v}{s \tau'}\:=\:-\frac{A_v}{RC(1+A_v)s}\:\approx\:-\frac{1}{RC}\frac{1}{s}   \label{eq:seventeen}
\end{equation}


Il motivo per cui il circuito esaminato si comporta come un ottimo integratore
pu\'o anche esser compreso intuitivamente, partendo dall'analisi del non-perfetto integratore costituito da un normale R-C passa-basso (vedi figura~(\ref{pasbas}). Ammettiamo che
in tale circuito sia applicato in ingresso un segnale di tensione che sia, in
un certo (breve) intervallo di tempo, costante. L'uscita sar\'a l'integrale
dell'ingresso se essa \'e una rampa crescente linearmente nell'intervallo di tempo specificato. Ci\'o richiederebbe
per\'o che il condensatore fosse caricato con una corrente costante nel tempo.
Infatti solo in tal caso si avrebbe:
\[
V_o(t)\:\propto \: \frac{1}{C}\int_0^t{i \:dt'}\: \propto \:i\:t
\]
Ora, la corrente che carica il condensatore \'e quella che attraversa la
resistenza R ed essa \'e pari alla differenza di potenziale ai capi della
resistenza divisa per la resistenza stessa. A sua volta, la differenza di
potenziale ai capi della resistenza NON \'e costante, poich\'e essa \'e
la differenza tra la tensione (costante) applicata in ingresso e la tensione
presente sul condensatore, che sta via via aumentando. Se si vuole che
la corrente che carica il condensatore sia costante occorre che la tensione
all'altro estremo della resistenza R sia tenuta costante. A questo ruolo
provvede l'operazionale, poich\'e l'ingresso invertente di questo (cio\'e
quello cui \'e collegato l'estremo della resistenza) \'e tenuto ad un potenziale vicino a zero dalla reazione negativa causata dal collegamento capacitivo
tra l'uscita e l'ingresso invertente. Notiamo la strana configurazione
in cui si trova il condensatore, che \'e caricato da una corrente che
viene da un punto che \'e praticamente a massa !

Il circuito esaminato non \'e realistico, poich\'e, una volta che la capacit\'a C sia carica, essa non ha modo di scaricarsi. Se quindi il segnale inviato
in ingresso \'e un'onda rettangolare, il primo impulso sar\'a integrato e
dar\'a in uscita una rampa, ma subito dopo la tensione in uscita rimarr\'a
al livello alto anche quando l'ingresso torner\'a a zero. Il successivo
impulso trover\'a il condensatore ancora carico e l'integrazione fornir\'a
un'uscita che continuer\'a a salire, fino a che l'operazionale non sia
andato in saturazione. 

Per ovviare a questo problema si pone, in parallelo al condensatore, una
resistenza, di valore adeguatamente elevato, che consenta al condensatore
di scaricarsi tra un impulso ed il successivo.
Il circuito cos\'i ottenuto \'e mostrato in figura~\ref{realinteg}(a).
Il calcolo della risposta di questo circuito pu\'o essere effettuato
facilmente tenendo conto del fatto che l'ingresso invertente \'e una
massa virtuale e ricordando che le correnti nei rami $Z_1$ e $Z_2$ della
figura~\ref{realinteg}(b) sono uguali. Si ottiene quindi per la trasformata del guadagno
in figura~\ref{realinteg}(b):
\[
G(s)\:=\:-\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)}
\]
dove:
\[
Z_1\:=\:R
\]
\[
Z_2(s)\:=\:\frac{R_1}{1+R_1 C s}\:=\:\frac{R_1/\tau}{s+1/\tau}
\]
con
\[
\tau\:=\:R_1 C
\]
Si ha quindi:
\[
G(s)\:=\:-\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)}\:=\:-\frac{R_1}{R}\frac{1/\tau}{s+1/\tau}
\]
Se il segnale applicato in ingresso \'e un gradino di tensione:
\[
\tilde{v}_{in}(s)\:=\:\frac{1}{s}
\]
avremo:
\[
\tilde{v}_{out}(s)\:=\:-\frac{1}{s}\frac{R_1}{R \tau}\frac{1}{s+1/\tau}\:=\:
-K\frac{1}{s(s+1/\tau}
\]
dove si \'e posto:
\[
K\:=\:\frac{R_1}{\tau R}\:=\:\frac{\rho}{\tau}
\]
con $\rho \:=\:R_1/R$.
La frazione che moltiplica K pu\'o essere espressa come:
\[
\frac{\tau}{s}-\frac{\tau}{s+1/\tau}
\]
per cui:
\[
\tilde{v}_o(s)\:=\:-\rho[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1/\tau}]\:=\:-\frac{R_1}{R}[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1/\tau}]
\]
la cui antitrasformata \'e:
\[
v_o(t)\:=\:-\frac{R_1}{R}(1-e^{-t/\tau})
\]
con: $\tau=R_1 C$.
Sviluppiamo l'esponenziale in parentesi in serie di Taylor, ottenendo:
\[
v_o(t)\:=\:-\frac{R_1}{R}(1-1+\frac{t}{\tau}-\frac{t^2}{2\tau^2}...)\:=\: -\frac{R_1}{R}(\frac{t}{\tau}-\frac{t^2}{2\tau^2}+...)
\]
Se $t \ll \tau$ il termine quadratico e quelli di ordine superiore in parentesi diventano trascurabili rispetto a quello lineare, ed otteniamo un integratore
ideale:
\[
v_o(t)\:=\: -\frac{R_1}{\tau R} \:t
\]



\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=realinteg.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{realinteg}
\end{figure}


\section{Derivatore realizzato tramite un operazionale}

Il circuito passa-alto mostrato in figura~\ref{pasalt} si comporta approssimativamente da derivatore.

\begin{figure}
\begin{center}\mbox{\epsfig{file=pasalt.eps,width=6.5 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{pasalt}
\end{figure}


Possiamo verificarlo facilmente. La corrente che carica il condensatore C \'e:
\[
i \:=\: \frac{dq}{dt} \: = \: C \frac{dV}{dt}
\]
dove V \'e la differenza di potenziale ai capi del condensatore, data da:
$V \: = \: v_i-v_o$. 
Si ha quindi:
\begin{equation}
i \:=\:C \frac{d}{dt}(v_i-v_o)\:=\:\frac{v_o}{R} \label{eq:der}
\end{equation}
come \'e immediato verificare.

Da questa si ottiene poi:
\[
v_o\:=\:RC\frac{dv_i}{dt}\:-\:RC\frac{dv_o}{dt}

\]
se ora il secondo dei due termini a secondo membro fosse trascurabile rispetto
al primo, avremmo un derivatore ideale:
\begin{equation}
v_o\:=\:RC\frac{dv_i}{dt} \label{eq:eighteen}
\end{equation}
Tuttavia, in un normale circuito passa-alto, il termine $dv_o/dt$ non \'e
necessariamente trascurabile, e quindi esso non sar\'a un derivatore ideale.

Possiamo vedere ci\'o facendo uso delle trasformate di Laplace. Un derivatore
ideale deve dare un segnale in uscita proporzionale alla derivata di quello
in ingresso:
\[
v_o\:=\:K \frac{dv_i}{dt}
\]
Prendendo la trasformata di Laplace di entrambi i membri:
\begin{equation}
\tilde{v}_o \: = \:K s \tilde{v}_i    \label{eq:nineteen}
\end{equation}
Per il circuito passa-alto di figura~\ref{pasalt}, otteniamo:
\[
\tilde{v}_o\:=\:\tilde{v}_i\:\frac{R}{R+1/sC}\:=\:\tilde{v}_i \:
 \frac{s}{s+1/\tau}
\]
con $\tau=RC$. Perch\'e questa acquisti la forma della~(\ref{eq:nineteen}) occorre che sia $1/\tau$ molto grande, in modo tale che il termine in s a denominatore risulti trascurabile. Ci\'o richiede che sia $\tau$ molto piccolo. Un modo per realizzare tale scopo \'e quello di usare un operazionale, come mostrato nella figura~\ref{derive}.


\begin{figure}
\begin{center}\mbox{\epsfig{file=derive.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{derive}
\end{figure}


La risposta di questo circuito, che \'e caratterizzato, analogamente all'integratore, da una reazione negativa dovuta alla presenza del
condensatore tra uscita ed ingresso invertente, \'e calcolabile in
modo facile, ricordando la condizione $v_-\:=\:v_+\:=\:0$ ed il fatto
che la corrente che attraversa la capacit\'a C deve uguagliare quella che
attraversa la resistenza R:

\[
i\:=\:C\frac{dv_i}{dt}\:=\:-\frac{v_o}{R}
\]
da cui si ottiene:
\[
v_o\:=\:-RC\frac{dv_i}{dt}
\]
Cio\'e abbiamo un derivatore ideale (o quasi).


Per comprendere il motivo per cui adesso il circuito si comporta da derivatore, possiamo far uso del teorema di Miller, ottenendo il circuito equivalente mostrato in figura~\ref{millersecond}, dove \'e $R'=R/(1+A_v)$ ed  
$R''=RA_v/(1+A_v)$.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=millersecond.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{millersecond}
\end{figure}


Dal circuito equivalente vediamo che ora la maglia d'ingresso \'e caratterizzata
da una costante di tempo $R' C$, con $R'=R/(1+A_v)$, cio\'e una costante di
tempo molto piccola, che \'e giusto quello che occorre per ottenere un

derivatore ideale.

Possiamo comprendere intuitivamente ci\'o che ora accade, riandando all'equazione~(\ref{eq:der}). Dall'analisi del nuovo circuito vediamo che il termine nell'espressione della corrente, che prima era:
\[
C \frac{d}{dt}(v_i-v_o)
\]
ora \'e semplicemente:
\[
C\frac{dv_i}{dt}
\]
poich\'e l'operazionale mantiene fissa a zero la tensione sull'armatura
destra del condensatore. Di conseguenza questo viene ora caricato da
una differenza di potenziale che \'e giusto $v_i$.

\section{Amplificatore di carica}

I segnali generati da un gran numero di dispositivi elettronici (cellule fotoelettriche, rivelatori di particelle nucleari/subnucleari a semiconduttore, fotomoltiplicatori, diodi etc.) consistono in impulsi di corrente di breve durata. Se indichiamo con i la corrente media e con dt la sua durata, l'impulso di corrente accumula una piccola carica $dQ\:=\:i\:dt$ sulla capacit\'a d'ingresso del circuito adoperato per amplificarlo (ed eventualmente trasformarlo in uno di tensione). La capacit\'a in questione pu\'o consistere della capacit\'a
d'ingresso di uno stadio a transistor e/o di eventuali altre capacit\'a inserite
nel circuito amplificatore nonch\'e delle capacit\'a associate ai cavetti di
collegamento. 

\'E opportuno amplificare il segnale di carica dQ in modo tale che il segnale
di tensione (o corrente) in uscita non risulti dipendente da tale capacit\'a, che potrebbe variare in diverse applicazioni del dispositivo.

Un sistema in grado di fornire un segnale di tensione in uscita, indipendente dalla capacit\'a effettiva presente in ingresso, \'e quello basato sullo schema
mostrato in figura~\ref{chargeamp}(a).

$C_{in}$ \'e la capacit\'a effettiva in ingresso, su cui viene accumulata
la carica $\int{dQ}\:=\:\int{i\:dt}\:=\:Q$ in un piccolo intervallo di tempo
$\Delta t$.
Per ottenere la relazione tra la carica Q in ingresso e la tensione $v_o$
in uscita, facciamo uso del teorema di Miller, ottenendo lo schema di figura~\ref{chargeamp}(b). 

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=chargeamp.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{chargeamp}
\end{figure}

La capacit\'a d'ingresso in tale schema \'e:
\[
C'\:=\:C_{in}+C_f(1+A)\:\approx \:C_f(1+A)
\]
dove A \'e il guadagno dell'operazionale.
Si ha quindi:
\[
V_-\:=\:\frac{Q}{C_f(1+A)}
\]
per cui:
\[
V_o\:=\:-A \:v_-\:=\:-\frac{A Q}{C_f(1+A)}\:\approx\:-\frac{Q}{C_f}
\]
In un normale operazionale senza capacit\'a di feedback avermmo avuto:
\[
V_{in}\:=\:\frac{Q}{C_{in}}  
\]
e quindi:
\[
V_{out}\:=\:-A\:\frac{Q}{C_{in}}
\]
Vediamo che il guadagno sarebbe quindi stato maggiore, di un fattore $\approx A$. Paghiamo quindi il prezzo di una notevole diminuzione del guadagno, ma otteniamo il vantaggio di una indipendenza della risposta dalla capacit\'a
$C_{in}$.

Perch\'e il condensatore possa scaricarsi dopo l'arrivo di un impulso di corrente, in attesa del successivo, \'e opportuno (come nel caso dell'integratore) porre in parallelo a $C_f$ una resistenza $R_f$. Il circuito diventa allora quello di figura~\ref{chargeampres}(a).
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=chargeampres.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{chargeampres}
\end{figure}


Utilizzando nuovamente il teorema di Miller, otteniamo il circuito equivalente
mostrato in figura~\ref{chargeampres}(b).
dove:
\[
Z\:=\:\frac{R_f}{1+s\tau_f}
\]
e:
\[
\tau_f\:=\:R_f C_f
\]
Trascurando $C_{in}$ ed ammettendo che il segnale in ingresso sia schematizzabile con un gradino di corrente:
\[
\tilde{i}\:=\:\frac{i_0}{s}
\]
avremo:
\[
\tilde{v}_o \: = \: -A \tilde{v}_- \:=\: -A \: \frac{Z}{1+A}\frac{i_0}{s} \:=\: -\frac{A i_o R_f}{(1+A)s(1+s\tau_f)} \: \approx \:- \frac{i_0 R_f}{s(1+s \tau_f)} \:=\: -\frac{i_0 R_f}{\tau} \frac{1}{s(s+1/\tau_f)}
\]
che \'e uguale a:
\[
\tilde{v}_o \:=\: -i_0 R_f[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1/\tau_f}]
\]
Da questa si ottiene poi:
\[
v_0 \:=\: -i_0 R_f(1-e^{-t/\tau_f})
\]
con $\tau_f=R_f C_f$

\section{Tensione di riferimento}
Si supponga di aver bisogno di un generatore che eroghi corrente, ad una
tensione costante, rigorosamente determinata. Se si adopera una batteria
di precisione, che fornisce una tensione fissa, una volta che questa sia
collegata ad un carico, potr\'a non avere pi\'u la medesima tensione.
Il circuito di figura~\ref{refvolt}, che adopera un operazionale, risolve il problema.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=refvolt.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{refvolt}
\end{figure}



Se $V_R$ \'e la tensione di riferimento fornita dalla batteria, il principio
della massa virtuale ed il fatto che l'operazionale non assorbe corrente, ci danno:
\[
\frac{V_R-V_o}{R_2}\:=\:-\frac{V_o}{R_1+R_2}
\]
da cui segue:
\[
V_2\:=\:V_R\:(1+\frac{R_2}{R_1})
\]
Notiamo che in questo circuito la batteria non eroga alcuna corrente, che \'e
invece fornita dall'operazionale.

Un circuito equivalente \'e quello di figura~\ref{refvolt_other}, per il quale valgono le medesime
relazioni.
 \begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=refvolt_other.eps,width=13.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{refvolt_other}
\end{figure}
\section{Applicazioni non-lineari degli operazionali}
Se in un amplificatore operazionale uno degli ingressi (ad esempio quello
invertente) \'e collegato a massa ed un segnale \'e applicato all'altro, l'uscita si porter\'a a $+V_{cc}$  se il segnale applicato \'e positivo
, a $-V_{cc}$ se esso \'e negativo.

Un amplificatore operazionale pu\'o cio\'e funzionare da \emph{comparatore},
effettuando un confronto tra il segnale applicato all'ingresso invertente
e quello applicato a quello non invertente (la massa nel nostro esempio).
Si dice anche che un A.O. cos\'i adoperato funziona come un convertitore
analogico-digitale ad 1~bit. Il bit, cio\'e l'uscita, \'e 1 se l'uscita \'e
$+V_{cc}$ e 0 se l'uscita \'e $-V_{cc}$.
In un tipico A.O., la transizione tra i due livelli dell'uscita non \'e
netta, ma avviene con continuit\'a mentre l'ingresso differenziale passa
per lo zero, come mostrato in figura~\ref{transition}. Valori tipici del range di $V_i$ in cui avviene la transizione sono alcuni mV. Esistono degli A.O. progettati appositamente per essere adoperati come comparatori. 
Questi sono in genere molto veloci ed il range di valori della differenza di potenziale $V_i$ in cui avviene la transizione \'e molto piccolo 
($\mu$V invece di mV).

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transition.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{transition}
\end{figure}


Ci occuperemo in questa sezione e nelle seguenti di quelle applicazioni in cui
l'A.O. funziona appunto come comparatore, con l'eventuale presenza di una
reazione positiva tra uscita ed ingresso. Dispositivi di questo tipo sono utilizzati come comparatori con isteresi (trigger di Schmitt) o come multivibratori (per generare onde quadre, triangolari, o sistemi di trigger - cio\'e monostabili).

\section{Comparatore con isteresi}

Il circuito di figura~\ref{trschmitt}, costituisce un comparatore con isteresi o trigger di Schmitt.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=trschmitt.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{trschmitt}
\end{figure}

Indichiamo con $V_{OH}$ il livello alto dell'uscita (quello che si ha per $V_+ \> V_-$) e con $V_{OL}$ il livello basso. 
Ammettendo che l'uscita sia alta avremo, per il principio di sovrapposizione:
\[
V_+\:=\:\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{OH}\:+\:\frac{R_2}{R_1+R_2} V = V_{RH}
\]
Questo sar\'a lo stato del circuito se $V_i < V_{RH}$. Se ora $V_i$ comincia a salire, l'uscita del circuito si porter\'a al suo livello inferiore $V_{OL}$ quando $V_i$ superer\'a $V_{RH}$.
Se $V_i$ continua a salire, $V_o$ manterr\'a il valore raggiunto $V_{OL}$
In questa nuova situazione $V_+$ varr\'a:
\[
V_+\:=\:\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{OL}\:+\:\frac{R_2}{R_1+R_2} V = V_{RL}
\]

Se ora $V_i$ ricomincia a scendere, l'uscita del circuito si porter\'a al suo livello superiore solo quando sar\'a: $V_i < V_{RL}$. Vediamo quindi che la transizione $V_{OH} \rightarrow V_{OL}$  avviene ad un valore della tensione di riferimento pi\'u elevata che non quella corrispondente alla transizione opposta. 
Ci\'o \'e mostrato in figura~\ref{isteresi}. Vediamo che, partendo da una 
situazione in cui $V_i$ \'e minore di $V_{RL}$ e quindi l'uscita \'e
alta ($V_O\:=\:V_{OH}$), aumentando $V_i$, l'uscita rimane alta, fino a che
l'ingresso non abbia superato $V_{RH}$. A questo punto l'uscita \'e bassa
($V_O \: = \: V_{OL}$) e rimane bassa all'aumentare di $V_i$. Se torniamo indietro, facendo diminuire $V_i$, l'uscita rimane bassa fino a che $V_i$ non abbia
 raggiunto il valore $V_{RL}$. Il punto rappresentativo dello stato del sistema nel piano $V_i-V_O$ descrive il perimetro del rettangolo mostrato in figura, nel verso indicato dalle frecce. 
Il rettangolo in questione rappresenta il \emph{ciclo d'isteresi} del circuito.

Se quindi all'ingresso del circuito viene applicato un segnale variabile nel
tempo, l'uscita si porter\'a ad un valore \emph{basso} se l'ingresso \emph{supera} la soglia \emph{alta} $V_{RH}$, mentre la transizione opposta
potr\'a aver luogo solo se il segnale applicato scende \emph{al di sotto} della soglia \emph{bassa} $V_{RL}$. Un esempio \'e quello mostrato in figura~\ref{trschout}.


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=isteresi.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{isteresi}
\end{figure}


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=trschout.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{trschout}
\end{figure}

In questo esempio, i valori delle resistenze sono $R_1=5k$ ed $R_2=10k$ mentre
V=0. L'input \'e una sinusoide di frequenza $60\:Hz$ ed ampiezza $\pm\:10\:V$.
Con tale scelta dei parametri si ha:

\[
V_{RH} \: = \: 5 \: V \: \: \:  \: \: \: V_{RL} \: = -5 \: V

\]
L'uscita \'e un'onda rettangolare di periodo uguale a quello della sinusoide.

L'isteresi \'e definita dalla differenza $V_{RH}-V_{RL}$. Essa vale quindi:
\[
V_{RH}-V_{RL} \: = \: \frac{R_1}{R_1+R_2}(V_{OH}-V_{OL})
\]

Il circuito pu\'o esser modificato in modo tale che i due livelli della tensione
d'uscita siano diversi dalle tensioni d'alimentazione. \'E sufficiente aggiungere al nodo d'uscita due diodi Zener contrapposti, come mostrato in
figura~\ref{schmitzener}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=schmitzener.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{schmitzener}
\end{figure}


I livelli di tensione in uscita sono ora:
\[
V_{OL} \: = \: -(V_Z+V_D)
\]


\[
V_H \: = \: +(V_Z+V_D)
\]

\section{Multivibratore astabile (generatore di onde rettangolari)}

Il dispositivo mostrato in figura~\ref{quadra} pu\'o essere adoperato per generare onde rettangolari. Esso \'e essenzialmente un trigger di Schmitt comandato da un integratore.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=quadra.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{quadra}
\end{figure}

Le tensioni di riferimento del comparatore sono:

\[
V_{RH}\:=\:V_{OH}\frac{R_1}{R_1+R_2}\:\:  (\:> 0\:)
\]


\[
V_{RL}\:=\:V_{OL} \frac{R_1}{R_1+R_2}\:\: (\: < 0 \:)
\]

L'uscita sar\'a alta fintanto che $V_-$ non raggiunge il valore $V_{RH}$. In tale istante (con $V_-=V_{RH}\:>\:0$) l'uscita passa al valore basso $V_{OL}$
(negativo). Ora il condensatore comincer\'a a caricarsi, con costante di tempo
$\tau = RC$ verso il valore asintotico $V_{OL}$. Se prendiamo come istante
zero quello in cui l'uscita \'e passata al valore basso $V_{OL}$, l'andamento
di $V_C=V_-$ sar\'a:
\[
V_-\:=\:(V_{RH}-V_{OL})\:e^{-t/\tau}\:+\:V_{OL}
\]
Un'ulteriore commutazione dell'uscita verso il valore alto avr\'a luogo quando
$V_-=V_{RL}$, cio\'e, usando l'ultima equazione scritta, quando:
\[
V_{RL}-V_{OL}\:=\:(V_{RH}-V_{OL})e^{-t/\tau}
\]
cio\'e:
\[
\frac{V_{RL}-V_{OL}}{V_{RH}-V_{OL}}\:=\:e^{-t/\tau}
\]
da cui si ottiene poi:
\[
T_1\:\equiv\:t\:=\:\tau \ln \frac{V_{RH}-V_{OL}}{V_{RL}-V_{OL}}
\]
In tale istante avremo $V_-=V_{RL}$ e $V_O=V_{OH}$. Ora il condensatore
comincer\'a nuovamente a caricarsi verso il valore asintotico $V_{OH}$, con costante di tempo $\tau$. Avremo ora:
\[
V_-\:=\:V_{OH}+(V_{RL}-V_{OH})e^{-t/\tau}
\]
La commutazione dell'uscita verso il valore basso $V_{OL}$ avverr\'a per $V_-=V_{RH}$. Il nuovo intervallo di tempo $T_2$ sar\'a ora ottenibile dall'equazione:
\[
V_{RH}\:=\:V_{OH}+(V_{RL}-V_{OH})e^{-T_2/\tau}
\]
Si ottiene:
\[
T_2\:=\:\tau \ln \frac{V_{RL}-V_{OH}}{V_{RH}-V_{OH}}
\]
Se vogliamo che il segnale in uscita sia un'onda quadra, cio\'e che sia
$T_1=T_2$, deve essere:
\[
\frac{V_{RH}-V_{OL}}{V_{RL}-V_{OL}}\:=\:\frac{V_{RL}-V_{OH}}{V_{RH}-V_{OH}}
\]
che \'e soddisfatta solo se \'e:
\[
V_{OL}\:=\:-V_{OH}
\]
con che \'e anche:
\[
V_{RL}\:=\:-V_{RH}
\]
Il periodo dell'onda quadra varr\'a ora:
\[
T\:=\:T_1+T_2\:=\:2\tau \ln \frac{V_{RL}-V_{OH}}{V_{RH}-V_{OH}}
\]
dove ora \'e:
\[
V_{OH}\:=\:-V_{OL}
\]
e quindi si ha:
\[
T\:=\:2 \tau \ln (1+2\frac{R_1}{R_2})
\]

La figura~\ref{ondaquadra} mostra l'andamento temporale del segnale all'uscita
dell'A.O. e di quello all'ingresso invertente, per un tipico circuito di questo
tipo.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ondaquadra.eps,width=10.0 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{ondaquadra}
\end{figure}


Il generatore di onde quadre appena discusso ha un'ampiezza che dipende dalla
tensione d'alimentazione dell'operazionale. Se si vuole un'ampiezza di tensione
in uscita fissata ad un valore diverso (minore), \'e sufficiente porre in
uscita due diodi Zener contrapposti, come indicato in figura~\ref{quadrazener}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=quadrazener.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{quadrazener}
\end{figure}


Si pu\'o vedere che in tal caso il periodo vale:
\[
T\:=\:2 \tau \ln (1+2\frac{R_1}{R_2})
\]
come nel caso precedente. Il periodo \'e indipendente dall'ampiezza.

Se poi si vuol modificare l'ultimo circuito in modo che sia $T_1 \neq T_2$, \'e
sufficiente fare in modo che la costante di tempo relativa alla \emph{salita}
del segnale sia diversa da quella relativa alla \emph{discesa}. Ci\'o pu\'o
esser ottenuto sostituendo la resistenza R con il circuito mostrato in
figura~\ref{zenerdiode}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=zenerdiode.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{zenerdiode}
\end{figure}


 Si vede che quando l'uscita \'e positiva, $D_1$ conduce mentre $D_2$ \'e interdetto. La costante di tempo ora \'e RC ed il relativo periodo \'e:
\[
T_1 \: = \: RC \ln (1+2\frac{R_1}{R_2})
\]
Quando l'uscita \'e negativa, $D_1$ \'e interdetto e $D_2$ conduce. La relativa
costante di tempo ora \'e R'C ed il relativo semiperiodo \'e:
\[
T_1 \: = \: R'C \ln (1+2\frac{R_1}{R_2})
\]
\section{Multivibratore monostabile}

Il multivibratore astabile discusso in precedenza pu\'o esser trasformato
in uno monostabile se si impedisce al condensatore di caricarsi al valore
$V_{RH}$. Ci\'o pu\'o essere ottenuto semplicemente ponendo un diodo in 
parallelo al condensatore, come mostrato in figura~\ref{monostabile}.


Ora la tensione $V_c$ ai capi del condensatore \'e bloccata al valore
$V_{\gamma}$ della tensione del diodo in conduzione. Di conseguenza non
pu\'o pi\'u aversi la commutazione della tensione in uscita dal livello
superiore $V_{OH}$ a quello inferiore $V_{OL}$. 
Lo stato stabile del sistema \'e quindi quello in cui $V_+ > V_-$ e 
quindi $V_O = V_{OH}\:>\:0$.
La commutazione allo stato $V_{OL}$ pu\'o aversi solo se si applica all'ingresso
non invertente un segnale negativo di ampiezza maggiore di $V_{RH}-V_{\gamma}$.
Ponendo t=0 nell'istante in cui avviene la commutazione, a partire da tale
istante il condensatore, carico alla tensione $V_{\gamma}$, dovr\'a caricarsi
con costante di tempo $\tau=RC$ al valore asintotico $V_{OL}$. Cio\'e:
\[
V_- \:=\: V_c\:=\:V_{OL}+(V_{\gamma}-V_{OL})\:e^{-t/\tau}
\]
La commutazione $V_{OL}\rightarrow V_{OH}$ avviene quando $V_-=V_{RL}$, cio\'e:
\[
\frac{V_{RL}-V_{OL}}{V_{\gamma}-V_{OL}}\:=\:e^{-T/\tau}
\]
da cui si pu\'o ricavare la durata T dell'impulso (negativo) di tensione all'uscita dell'operazionale:
\[
T\:=\:\tau \:\frac{V_{\gamma}-V_{OL}}{_{RL}-V_{OL}}
\]
dove:
\[
V_{RL}\:=\:V_{OL}\frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
da cui si ottiene infine per T:
\[
T\:\approx\:\tau\ln(1+\frac{R_1}{R_2})
\]
La durata dell'impulso generato dipende quindi solo dalle resistenze e dalla
costante di tempo $\tau$.
Per effetto della commutazione la capacit\'a C tender\'a ora a caricarsi con legge esponenziale verso la tensione $V_{OH}$. Quando per\'o $V_c$ raggiunge
il valore $V_{\gamma}$, il diodo $D_1$ entra in conduzione ed il sistema
rimane nello stato stabile raggiunto, fino all'arrivo di un nuovo impulso
negativo.
Ovviamente, la foma dell'impulso $V_{in}$ \'e irrilevante, purch\'e la sua
ampiezza sia sufficiente a dar origine alla transizione.
L'escursione del segnale in uscita pu\'o anche ora esser limitata, inserendo
due diodi Zener contrapposti, come gi\'a visto nel caso dell'astabile. 











%\begin{thebibliography}{99}
%\bibitem{kn:bio} J.B. Beal: "Electrostatic fields, electromagnetic fields and %ions: Mind/Body environment interrelationships". Biological and Clinical %Effects of Low-Frequency Magnetic and Electric Fields. Thoms, Springfield, IL , %pp 5-20
%(1974)
%\bibitem{kn:holzworth} R.H. Holzworth, T. Onsager, P. Kintner e S. Powell: %"Planetary scale variability of the fair-wheather electric field in the %stratosphere". Physical Review Letters, 53, 1398 (1984)
%\bibitem{kn:bering} Le misure in questione sono riportate nell'articolo di
%Edgar A. Bering III, Arthur A. Few e James R. Benbrook: "The global electric
%circuit", nel numero di Ottobre 1998 di "Physics Today".
%\end{thebibliography}
\end{document}



   
