Il FEEDBACK NEGLI AMPLIFICATORI

1)	
Classificazione degli amplificatori

a)	Un amplificatore sar\’a detto di tensione se esso amplifica una tensione   applicata in ingresso, dando in uscita un segnale di tensione   . L’amplificazione \’e definita in tal caso da:
La condizione che l’uscita sia un segnale di tensione implica che la resistenza d’uscita sia nulla. In caso contrario la tensione d’uscita verrebbe a dipendere dalla corrente erogata e quindi dal carico.

Questo \’e uguale ad   se   . Per ci\’o che riguarda il segnale di tensione presenta in ingresso, se vogliamo che esso sia quello “nominale” erogato dal generatore, occorre che la resistenza d’ingresso dell’amplificatore   sia infinita. In caso contrario avremmo per   la situazione di figura:

Avremo           \’e infinitamente grande.
In definitiva potremo dire che un amplificatoree d tensione deve avere resistenza d’ingresso infinita e resistenza d’uscita nulla.
b)	Un amplificatore sar\’a detto di corrente se esso amplifica una corrente    applicata in ingresso, dando in uscita un segnale di corrente

Considerazione analoga a quella presentata nel discutere l’amplificatore di tenzione ci portano ora a concludere che un amplificatore di corrente deve avere resistenza d’uscita   infinitamente grande e resistenza d’ingresso uguale a zero.

c)	Amplificatore a transconduttanza.
Il termine “transconduttanza” indica che l’amplificazione ha le dimensioni di una conduttanza, cio\’e:

   si dice “conduttanza di trasferimento”.
Quindi un tale amplificatore dar\’a un segnale di corrente in uscita quando in ingresso sia applicato un segnale di tensione.
La condizione che il segnale d’uscita sia una corrente impone che la resistenza d’uscita sia infinitamente grande; la condizione che il segnale applicato sia di tensione impone che la resistenza d’ingresso sia anch’essa infinita:

d)	Amplificatore a transresistenza
Il termine transresistenza indica che l’amplificazione ha le dimensioni di una resistenza, cio\’e:

   \’e nota come “resistenza di trasferimento”. Analogamente ai casi esaminati in precedenza, ora l’amplificatore dovr\’a avere una resistenza d’uscita nulla ed una resistenza d’ingresso anch’essa nulla.

Nei paragrafi che seguono faremo vedere come l’introduzione di circuiti di feedback in un amplificatore possa essere vantaggiosamente adoperata per modificare la sua impedenza d’ingresso e quella d’uscita.
Vedremo anche come il feedback migliori la risposta dell’amplificatore, nel senso di renderla poco dipendente da variazioni nelle caratteristiche degli elementi attivi presenti nel circuito, da ridurre le distorsioni ed il rumore.
In questo capitolo tratteremo esclusivamente quello che \’e comunemente chiamato “feedback negativo”. Il feedback positivo \’e un elemento di disturbo negli amplificatori, ma ha interessanti applicazioni in circuiti progettati per innescare e mantenere oscillazioni.

2) Il concetto di feedback

Un esempio d feedback (reazione) si \’e gi\’a incontrato nello studiare l’amplificatore ad un transistore con una resistenza sull’emettitore. Si \’e visto nell’analizzare il circuito che l’effetto della resistenza di emettitore era quello di trasferire, combinandolo di segno, una parte del segnale di corrente presente nello stadio d’uscita del transistor, convertendolo in un segnale di tensione applicato alla base dello stesso. Come risultato l’amplificazione in tensione veniva ad essere pari a    , indipendente dalle caratteristiche del transistor.
In generale si intende per feedback quella particolare configurazione circuitale che preleva una parte del segnale (corrente o tensione) presente all’uscita di un amplificatore e la rinvia all’ingresso dell’amplificatore, o sotto forma di un segnale di tensione o sotto forma di un segnale di corrente.
Si ha feedback negativo se il segnale viene rinviato in ingresso con polarit\’a tale da opporsi alla varianza del segnale gi\’a presente.
Nel caso contrario si parla di feedback positivo. In generale il feedback negativo viene utilizzato per migliorare la risposta di un amplificatore e per renderla meno dipendente dai parametri degli elementi attivi (transistor a FET) presenti nell’amplificatore, oltre che dalle condizioni ambientali (temperatura o altri).
Il feedback positivo viene invece adoperato per far uscire rapidamente il circuito dalla sua zona di lavoro e/o per innescare oscillazioni.

3) Tipi di feedback

Il primo tipo di feedback che discuteremo \’e quello noto come “tensione-serie”, che \’e schematicamente indicato in figura

In questo circuito, il segnale di tensione   \’e prelevato all’uscita dell’amplificatore (di cui   rappresenta il guadagno in tensione in assenza di feedback) ed inviato ad un circuito di feedback caratterizzato da una funzione di trasferimento  . L’uscita di questo:   \’e poi sommata al segnale di tensione   fornito dal generatore (la cui impedenza d’uscita \’e  ). Come si vede dalla figura, la polarit\’a di   \’e opposta a quella di   , per cui il segnale   \’e effettivamente sottratto a   . Il segnale   all’ingresso dell’amplificatore \’e cio\’e:

Il fatto che il segnale prelevato in uscita sia una tensione \’e indicato comunemente con il termine “campionamento di tensione” (voltage sampling) o anche “campionamento nodale” (mode sampling).
Il fatto che il segnale   all’uscita del circuito di feedback sia sommato in ingresso a   \’e indicato comunemente con il termine “input seriale” (serial input) o anche “input di maglia” (loop input). Tale tipo di feedback pu\’o quindi esser brevemente riassunto come “tensione-serie”.
La figura che segue illustra un secondo tipo di feedback.

In questo circuito, il segnale di corrente   all’uscita di un amplificatore \’e l’input al circuito di feedback. L’uscita di questo:   viene poi sommata al segnale di corrente   fornito dal generatore. Perch\’e il feedback sia, come vogliamo, negativo, occorrer\’a che   sia negativo.
Notiamo che, sia in questo caso che in quello precedente, il parametro   \’e adimensionale. A tale configurazione si d\’a il nome di feedback “corrente-parallelo” (current-shunt). Ci\’o poich\’e il segnale prelevato in uscita \’e un segnale di corrente e questo \’e, dopo esser passato attraverso il circuito di feedback che lo moltiplica per  , inviato in parallelo al segnale di corrente   , gi\’a presente. Si ha cio\’e              (dove   sar\’a in genere negativo).
Consideriamo ancora un ulteriore tipo di feddback, mostrato nella figura che segue.

In questo circuito, il segnale di corrente:   (  \’e la transconduttanza dell’amplificatore) \’e inviato al circuito di feedback caratterizzato dal parametro   (che ora \’e una “transresistenza”). L’uscita in tensione di questo,   , viene sommata al segnale   presente in ingresso ed il segnale risultante:   \’e inviato all’ingresso dell’amplificatore.
Si parla ora di un feedback “corrente-serie” (current-series) o anche “corrente-tensione”. Infatti il segnale prelevato all’uscita dell’amplificatore \’e un segnale di corrente e quello inviato (in serie) all’ingresso dell’amplificatore \’e una tensione.
L’ultimo dei tipi di feedback da considerare \’e quello mostrato nella figura che segue.

In questo circuito, il segnale di tensione:   (con   la transresistenza dell’amplificatore) \’e inviato al circuito di feddback. Il parametro   ora sar\’a una transresistenza ed avremo:  . L’uscita   del circuito di feedback viene sommata al segnale di corrente   gi\’a presente ed il segnale risultante:   viene inviato all’ingresso dell’amplificatore. Anche in questo caso avremo una reazione negativa se   .
Si parla in questo caso di un feedback “tensione-parallelo” (voltage-shunt) o anche “tensione-corrente”.
Come visto, il parametro   che caratterizza il circuito di feedback \’e adimensionale nel caso in cui la reazione sia del tipo tensione-serie o corrente-parallelo, mentre esso ha le dimensioni di una resistenza per un feedback tensione-parallelo e di una conduttanza nel caso di un feddback corrente-serie.
Ammetteremo nel seguito che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
a)	il segnale applicato in ingresso \’e trasmesso all’uscita attraverso l’amplificatore e non attraverso il circuito di feedback. In altre parole, il circuito di feedback deve essere unidirezionale;
b)	il segnale di feedback \’e trasmesso all’ingresso attraverso la rete caratterizzata dal parametro   e non attraverso l’amplificatore;
c)	   \’e indipendente dall’impedenza di carico  e da quella del generatore   .

4) Feedback, considerazioni generali.

Le considerazioni che faremo in questa sezione e le formule che otterremo sono del tutto generali e valgono per uno qualsiasi di tipi di feedback esaminati.
Sia   il segnale all’uscita dell’amplificatore il cui guadagno \’e A. Sia    il segnale all’ingresso dell’amplificatore ed   il segnale fornito dal generatore. Sia ancora    il segnale di feedback.

Come si vede dalla figura, \’e:
Il guadagno con feedback, che indicheremo con   , \’e dato da:

da cui:
; e quindi:

Se   \’e reale e negativo avremo:

quindi il guadagno con feedback \’e minore di quello senza feedback:   . Il prodotto   \’e noto come “guadagno a catena aperta”. Per un amplificatore con feedback negativo il guadagno a catena aperta \’e reale e negativo. Il feedback riduce il guadagno dell’amplificatore. Se in      \’e   , il guadagno con reazione sar\’a:

Vediamo quindi che in tali circostanze il guadagno dell’amplificatore non dipende pi\’u da A, ma solo dal parametro   che caratterizza la maglia di reazione.
Il feedback negativo ha numerosi aspetti che migliorano le prestazioni degli amplificatori. Questi sono descritti nei paragrafi che seguono.

5) Propriet\’a della retroazione negativa

Esistono numerosi aspetti della retroazione negativa che possono essere utilizzati per migliorare la risposta di un amplificatore. A seconda delle esigenze uno degli aspetti pu\’o prevalere sugli altri e pu\’o dettare determinate modifiche progettuali.
Gli aspetti principalmente utilizzati sono i seguenti:
1)	stabilizzazione del punto di lavoro
2)	2) ottimizzazione della resistenza d’ingresso e d’uscita
3)	3) stabilizzazione del guadagno rispetto a variazioni di temperatura e/o dei parametri ddei componenti
4)	modifica della banda passante
5)	riduzione dei disturbi
6)	miglioramento della linearit\’a.

6) Funzione di sensibilit\’a di un amplificatore con feedback

Vediamo ora come il guadagno di un amplificatore con reazione dipenda dal guadagno intrinseco dell’amplificatore senza feedback, che abbiamo chiamato A.
Ammettiamo che il guadagno A subisca, per cause non previste, una variazione    . Calcoliamo la conseguente variazione di

per cui la variazione relativa di                     \’e:

poich\’e, in presenza di feedback negativo, la frazione che moltiplica    \’e minore di 1, vediamo che la variazione percentuale di    \’e inferiore alla variazione percentuale di A.
Il rapporto delle variazioni percentuali:

\’e noto come “sensibilit\’a” dell’amplificatore con feedback.
Vediamo quindi che, se la grandezza    \’e molto maggiore di 1, una variazione percentuale     volte pi\’u piccola in  .
Ovviamente, il guadagno dell’amplificatore risulta ridotto della stessa quantit\’a.

7)	Effetto del feedback negativo sull’impedenza d’ingresso e su quella d’uscita degli amplificatori

Cominciamo con il considerare il caso di un feedback tensione-serie, come mostrato in figura.

   indica il guadagno in tensione dell’amplificatore. L’impedenza d’ingresso  \’e definita come il rapporto tra la tensione del generatore e la corrente da esso erogata:

Dall’esame della maglia d’ingresso otteniamo:

La maglia d’uscita fornisce:

dove abbiamo introdotto il guadagno senza feddback   , che tiene conto della resistenza di carico  . Poich\’e \’e:            , si ha poi:

che, sostituita nella (a), ci d\’a:

ed infine:

Vediamo cos\’i che, in questo tipo di reazione, l’impedenza d’ingresso viene ad essere accresciuta di un fattore

Esaminiamo ora il feedback corrente-serie, mostrato in figura.

Conviene in questo caso, come abbiamo fatto in figura, schematizzare l’amplificatore tramite la sua transconduttanza        . Il coefficiente di feddback   \’e ora una transresistenza.
Dalla maglia d’uscita troviamo:
; dove:

\’e la transconduttanza dell’amplificatore tenendo conto del carico  . Inoltre \’e:
; per cui:

La maglia d’ingresso fornisce:

da cui:

Vediamo quindi che anche in questo caso l’impedenza d’ingresso aumenta per effetto del feedback; il fattore di cui essa aumenta \’e ancora una volta uguale a    , analogamente a quanto accadeva nel caso precedente. Vediamo cos\’i che l’impedenza d’ingresso aumenta di    (dove G \’e, in generale, il guadagno dell’amplificatore) se il feedback riporta in ingresso un segnale di tensione, cio\’e se il confronto all’ingresso avviene in una maglia, qualunque sia il tipo di campionamento in uscita. Vedremo invece che quest’ultimo ha un effetto sull’impedenza d’uscita. Proseguendo con la nostra analisi delle impedenze d’ingresso, consideriamo un feedback del tipo corrente-parallelo, come quello mostrato in figura.

Dalla maglia d’ingresso abbiamo:

e, dalla maglia d’uscita:

con:
\’e il guadagno in corrente dell’amplificatore, che tiene conto del carico  .
Da queste equazioni si ottiene poi:

e, poich\’e    \’e definita come:

ne segue:

Vediamo quindi che nel caso attuale l’impedenza d’ingresso \’e minore di quello in assenza di feedback, del medesimo fattore    che era presente, a fattore moltiplicativo, nei due casi precedenti.
Esaminiamo infine il feddback di tipo tensione-parallelo, schematizzato in figura.

L’impedenza d’ingresso \’e:
; con:

Dalla maglia d’uscita si ha:

con

Si ha con ci\’o:
; e quindi:

Cio\’e, anche in questo caso, come in quello precedente, la resistenza d’ingresso diminuisce del fattore   , con A (   nel caso attuale) il guadagno dell’amplificatore senza reazione.
Poich\’e gli ultimi due casi esaminati avevano come caratteristica comune la reazione in parallelo (cio\’e di corrente) nella maglia d’ingresso, vediamo che \’e tale caratteristica a determinare la diminuzione dell’impedenza d’ingresso.
Abbiamo visto quindi che, se il segnale di feedback viene portato in ingresso sotto forma di un segnale di tensione (cio\’e in serie) l’impedenza d’ingresso aumenta, mentre essa diminuisce se il feedback \’e parallelo (corrente),. Ci\’o indipendentemente dal tipo di campionamento in uscita (tensione o corrente).
Ci\’o pu\’o esser facilmente compreso se si pensa che, nel caso in cui il feedback (negativo) sia di tensione, questo far\’a si che la tensione ai capi di   sia minore della tensione del generatore. Di conseguenza sar\’a minore la corrente che fluisce in    e, poich\’e tale corrente \’e erogata in ultima analisi dal generatore, il rapporto tra tensione    e corrente erogata, cio\’e la resistenza d’ingresso, sar\’a maggiore.
Se invece si realizza un feedback (negativo) di corrente, avremo una misura corrente in    il che implica una minore differenza di potenziale ai capi di   . Poich\’e ci\’o avviene ad    costante, la resistenza d’ingresso     sar\’a minore di quella che si avrebbe in assenza di feedback.
Esaminiamo ora la resistenza d’uscita.
Vediamo dapprima di capire qualitativamente ci\’o che dobbiamo aspettarci, distinguendo i due casi di un campionamento di tensione e di correne. Se il campionamento \’e quello della tensione in uscita, l’effetto del feedback sar\’a, come sappiamo, quello di fornire in uscita una tensione minore di quella dell’amplificatore non reazionato. Poich\’e l’impedenza d’uscita \’e definita come il rapporto:
Tensione a circuito aperto
corrente a circuito chiuso
dove la corrente a circuito chiuso non \’e influenzata dal feedback di tensione (visto che a circuito chiuso non c’\’e feedback (si simula cio\’e la tensione in uscita)), avremo che l’impedenza d’uscita \’e ridotta dal feedback, della stessa quantit\’a di cui \’e ridotto il numeratore nell’ultima espressione scritta (cio\’e     ).
Analogamente, se il campionamento \’e di corrente, l’effetto del feedback sar\’a quello di fornire, a parit\’a di tensione in uscita (la tensione a circuito aperto, che non \’e influenxata dal feedback, poich\’e a circuito aperto si annulla la corrente e quindi il feedback) una corrente a circuito chiuso minore di quella che si ha in assenza di feedback. Di conseguenza la resistenza d’uscita aumenta del medesimo fattore      di cui diminuisce la corrente.
Esaminiamo ora in dettaglio i due casi di feedback: campionamento di tensione e campionamento di corrente. Il tipo di confronto effettuato all’ingresso dell’amplificatore \’e irrilevante. Consideriamo quindi il feedback tensione-serie di fig. 8. Per calcolare la resistenza d’uscita     poniamo     , eliminiamo    ed applicachiamo tra i terminali d’uscita una differenza di potenziale   . L’impedenza d’uscita \’e allora:

dove    \’e la corrente che dluisce nella maglia d’uscita. Abbiamo:

poich\’e, avendo posto    si ha:

Ne segue:

La resistenza d’uscita in presenza di   sar\’a:

che, ricordando la definizione di   e posto    , diventa:

Consideriamo infine il cas di un feedback corrente-serie, come quello di fig. 9. Per calcolare l’impedenza d’uscita, immaginiamo di cortocircuitare   di applicare tra i terminali d’uscita una differenza di potenziale    e calcoliamo la corrente   . Dall’analisi della maglia d’uscita otteniamo per la corrente in 

da cui:

Mentre dalla maglia d’ingresso si ottiene:

(poich\’e   \’e stato cortocircuitato).
Si ottiene quindi:

e per la resistenza d’uscita   :

Quindi, come previsto, la resistenza d’uscita con feddback \’e maggiore di quella senza feedback del fattore    .

8)	Individuazione del tipo di reazione

Non \’e sempre facile determinare il tipo di reazione presente in un circuito.
\’E utile seguire i seguenti criteri generali per individuare il tipo di segnale (tensione o corrente) prelevato all’uscita di un amplificatore ed il modo (serie o parallelo) in cui esso viene sommato al segnale in ingresso.
Per quel che concerne il tipo di segnale, \’e ovvio che se esso \’e di corrente, continuer\’a ad esser presente se il carico viene cortocircuitato. Viceversa, se il tipo di segnale \’e di tensione, esso si annuller\’a quando venga messo in cortocircuito il carico.
Alternativamente, se il tipo di segnale \’e di corrente, esso si annuller\’a quando l’impedenza del carico divenga infinitamente grande. Con tale valore dell’impedenza il feedback non si annullerebbe se esso fosse di tensione.
Riassumendo, possiamo dire che il tipo di campionamento \’e di corrente se esso si annulla quando l’impedenza del carico divenga infinita; \’e invece di tensione se esso si annulla quando si porti a zero l’impedenza del carico.
Per quel che concerne invece il modo (serie o parallelo) in cui il segnale di feedback viene sommato al segnale in ingresso, si pu\’o facilmente intuire che avremo una somma di tipi “serie” se la somma viene effettuata in una maglia. Avremo invece una somma di tipo “parallelo” se la somma viene effettuata in un nodo. Per chiarire meglio questi concetti vediamo alcuni esempi.

Qui abbiamo un esemplificatore che utilizza un J-FET a canale n. Se   aumenta, aumenter\’a la corrente nel canale e quindi nella resistenza   ed   . Il potenziale del drain diminuir\’a mentre aumenter\’a quello del source. Quest’ultimo aumento far\’a diminuire    e quindi introduce un feedback newgativo. Vediamo che il campionamento \’e di correne; infatti il feedback si annulla se   diviene infinitamente grande (con che si annulla la corrente). Esso invece continua ad esser presente se   diviene nullo.
Il segnale di feedback \’e riportato in ingresso sotto forma di una differenza di potenziale ai capi di    ; questa si somma (con il segno cambiato) a   . Abbiamo quindi che la somma avviene nella maglia d’ingress. Si tratta quindi di un feedback seriale. In definitiva il circuito disegnato \’e un esempio di feedback corrente-serie   aumentano   ed  .
Consideriamo invece il seguente circuito:

In questo circuito il segnale di feedback si annullerebbe se   divenisse nulla. Abbiamo quindi un campionamento di tensione. Inoltre il segnale di feedback si somma a quello in ingresso in un nodo; si ha quindi una somma di tipo parallelo. Nel nodo d’ingresso si somma la corrente   e quella di feedback     diminuisce,     dminuisce.
Esaminiamo ancora un altro esempio:

Vediamo che la somma avviene in un nodo (la base del transistor bipolare  ) e quindi si ha una somma di correnti (tipo parallelo). Il segnale \’e prelevato sul source del J.FET   . Esso si annullerebbe se la resistenza di carico (   nel nostro caso) divenisse infinitamente grande (con che si annullerebbe la corrente in   ). Abbiamo in definitiva una reazione di tipo corrente-parallelo (current-shunt)    diminuisce,   aumenta.

8. Feedback: analisi dettagliata

Esaminiamo ora in dettaglio un esempio di circuito con feedback. Consideriamo il caso di un amplificatore invertente in cui un segnale di tensione \’e prelevato in uscita e riportato sull’ingresso tramite una resistenza di feedback   . Il segnale riportato in ingresso \’e tale che la corrente ad esso associata si somma alla corrente erogata dal generatore. Si tratta chiaramente di un feedback “tensione-parallelo”.

Per semplificare l’analisi di tale circuito, \’e opportuno sostituiralo con il segnale circuito equivalente

Il circuito di feedback potrebbe in realt\’a esser pi\’u complicato di quello rappresentato da una singola resistenza  .
Per descrivere tali situazioni potremo sostituire nel circuito equivalente il generatore   con    , dove k \’e una costane.
Scriviamo ora le equazioni per il circuito disegnato.
Dalla maglia di sinistra si ottiene:

Dalla maglia di destra:

Se    , il secondo ed il terzo termine in parentesi saranno trascurabili rispetto al primo e si avr\’a:

Dalle equazioni a), b) si ha ora:

cio\’e:

Trascurando il termine    rispetto agli altri due termini in parentesi e facendo uso della c), questa diventa:

dove abbiamo indicato con il simbolo   la quantit\’a
Se il termine    che compare a denominatore \’e molto maggiore di 1, la d) si semplifica:

cio\’e la tensione d’uscita non dipende pi\’u dal parametro  .
Il termine    che compare a denominatore della d) va sotto il nome di “guadagno di maglia” (loop gain). Si pu\’o facilmente verificare che esso coincide con il guadagno della catena quando si supponga nulla l’eccitazione esterna   .
Infatti, in tal caso il circuito diventa quello della figura seguente:

Qui l’eccitazione \’e costituita da   , mentre l’uscita \’e, come prima,   . Abbiamo trascurato la resistenza   in serie con    nel ramo destro*.
Il guadagno di maglia (loop gain) sar\’a ora r calcolabile facendo uso delle seguenti equazioni:

da cui:

Trascurando     rispetto agli altri termini in parentesi, questa diviene:

ed il guadagno di maglia sar\’a:
(*)
Il termine che compare a numeratore della precedente espressione d):

va sotto il nome di “guadagno a catena aperta” (open loop gain) o anche “guadagno senza feedback”. Questa \’e calcolabile a partire dal seguente circuito equivalente:

L’assenza del feedback consiste qui nell’assenza della sorgente dipendente   nel ramo sinistro e nella simultanea assenza della sorgente   in serie con   nel ramo destro.
Il guadagno di questo circuito \’e ora ottenebile dalle equazioni:

Il guadagno a catena aperta   \’e quindi:
(**)
Facendo ora uso delle equazioni d), *) e **), il guadagno complessivo pu\’o esser messo  nella forma:

Notiamo che il parametro   regola l’aumentare di feedback. Se   , non  ci sar\’a feedback. Se    diviene grande rispetto ad 1, il guadagno   dell’amplificatore con feedback tende a:

cio\’e diviene indipendente dal guadagno intrinseco    dell’amplificatore.
Ci\’o fa si che, via via che aumenta il guadagno di maglia, il guadagno con feedback divenga sempre meno sensibile a variazioni di temperatura o a variazioni dei parametri dei componenti che costituiscono l’amplificatore.
Esaminiamo, come secondo esempio, quello di un feedback del tipo tensione-serie, come mostrato in figura:

Il circuito equivalente \’e il seguente:

dove
Cominciamo col calcolare il guadagno a catena aperta, definito da:
; che rappresenta il guadagno in assenza di feedback.
Possiamo scrivere:

dove il primo termine a secondo membro pu\’o esser ottenuto facendo uso della maglia di sinistra ed il secondo da quella di destra. Da quest’ultimo otteniamo:
con:
;da cui:

Dalla maglia di sinistra otteniamo poi:
e quindi

Se ora facciamo l’approssimazione:

(guadagno a catena aperta)
Il guadagno di maglia   pu\’o esser ottenuto dal seguente circuito equivalente:

Troveremo:

che, nella medesima approssimazione gi\’a fatta \’e uguale    .
Il guadagno con reazione sar\’a allora:

Se nell’esempio fatto avessimo avuto un feedback   (anzich\’e   ) avremmo trovat:

che tende ad   per   molto grande.

9)	Risposta in frequenza di un amplificatore con feedback

L’introduzione della reazione negativa in un amplificatore  modifica la risposta in frequenza nel senso di ampliare la banda passante. Vediamo brevemente come ci\’o avvenga.
Ammettiamo che la risposta in frequenza dell’amplificatore non reazionato sia del tipo:

dove abbiamo adoperato la variabile complessa s al posto di   . Tale risposta, nel campo della variabile   , \’e del tipo mostrato in figura (plot di Bode per il modulo di A(s)):

La risposta reale \’e quella descritta dalla curva tratteggiata. Le rette a tratto continuo indicano l’andamento asintotico per      e per     . Nel primo caso la risposta \’e una costante     ; nel secondo si ha uno andamento decrescente, ad una rota di 6 dB/ottava. Tale amplificatore \’e chiaramente un passa-basso, con una pulsazione di taglio superiore
(Per   la risposta reale \’e dimezzata rispetto al valore a bassa frequenza).
Vediamo ora cosa accade se introduciamo un feedback negativo, caratterizzato da un coefficiente   che non dipenda dalla frequenza.
Il guadagno sar\’a  ora dato da:

Questa pu\’o esser concisamente riscritta come

dove:

Vediamo dal confronto tra la (a) e la (b) che il guadagno    \’e ridotto del noto fattore    , mentre al posto della pulsazione di taglio   ora compare    . La pulsazione di taglio \’e quindi ora     volte pi\’u grande di quella che si aveva in assenza di feedback. La banda passante si \’e cio\’e allargata. Il nuovo andamento di    \’e confrontato con il vecchio nella figura che segue.
Notiamo che, come \’e chiaro dall’equazione (b), la pendenza della retta che descrive l’andamento asintotico a frequenze angolari     \’e sempre di 6 dB/ottava.

Notiamo inoltre che:

Cio\’e che il prodotto del guadagno (a bassa frequenza) per la larghezza di banda \’e una costante. Se quindi cerchiamo di allargare la banda passante di un amplificatore, attraverso l’introduzione di una reazione negativa, automaticamente riduciamo il guadagno, del medesimo fattore di cui abbiamo allargato la banda. Per tale motivo \’e uso comune esprimere la bont\’a di un amplificatore  fornendo quello che \’e noto come il “gainn-bandwidth product”, cio\’e il prodotto del guadagno per la banda passante.