\chapter{Il feedback negli amplificatori}

\section{Introduzione}

Le caratteristiche di un amplificatore, quali la dipendenza del guadagno dai valori dei
componenti, la banda passante, le impedenze d'ingresso e d'uscita etc., possono essere
modificate attraverso l'accorta introduzione di una reazione o \emph{feedback} tra uscita
ed ingresso. 

Si definisce in generale \emph{reazione} un qualsivoglia meccanismo (elettrico, meccanico,
biologico, chimico etc) attraverso il quale il comportamento di un sistema \'e modificato
attraverso l'osservazione degli effetti che il \emph{precedente comportamento del sistema
stesso} ha determinato. Meccanismi di reazione, tendenti a correggere, ad esempio, il
movimento, sono presenti in tutti gli esseri viventi. Analoghi meccanismi sono utilizzati
nei sistemi elettromeccanici e sono estremamente diffusi in elettronica.

Pi\'u un particolare, il feedback di cui si parla in questo contesto \'e, come preciseremo
pi\'u avanti, un \emph{feedback negativo}. In tale tipo di feedback il segnale in uscita
(o una funzione di questo) viene continuamente confrontato con il segnale presente in ingresso, in
modo tale da ottenere, nel campo di frequenze interessanti, un segnale in uscita dell'ampiezza 
desiderata. La differenza tra il segnale in ingresso e quello di feedback, nota 
come \emph{segnale di errore} \'e quella che \'e fornita all'input dell'amplificatore.

In questo capitolo discuteremo solo gli aspetti di base del feedback. Per una trattazione
pi\'u esauriente si consulti le referenze~(\cite{schilling-belove}),(\cite{taub-schilling}).

\section{Classificazione degli amplificatori}

a) \emph{Amplificatore di tensione}
 
Un amplificatore \'e detto \emph{di tensione} se esso amplifica una tensione $v_{in}$  applicata in 
ingresso, dando in uscita un segnale di tensione $v_{out}$. L'amplificazione \'e definita in 
tal caso da:
\[
A_v \:=\:\frac{v_{out}}{v_{in}}
\]
La condizione che l'uscita sia un segnale di tensione implica che la resistenza 
d'uscita sia nulla. In caso contrario la tensione d'uscita verrebbe a dipendere dalla 
corrente erogata e quindi dal carico. Con riferimento alla figura~\ref{uscita_ampl_eq_tensione}, avremmo in tal caso:

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=uscita_ampl_eq_tensione.eps,width=6.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{uscita_ampl_eq_tensione}
\end{figure}
\[
v_L\:=\: A_v v_{in}\frac{R_L}{R_o+R_L}
\]

che \'e uguale ad $A_v v_{in}$  se $R_o=0$. 

Per ci\'o che riguarda il segnale di tensione 
presente in ingresso, se vogliamo che esso sia quello ''nominale'' erogato dal generatore, 
occorre che la resistenza d'ingresso dell'amplificatore $R_i$ sia infinita. In caso contrario 
avremmo per  $v_{in}$ la situazione di figura~\ref{ingresso_ampl_eq_tensione}

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ingresso_ampl_eq_tensione.eps,width=6.0 cm,
height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{ingresso_ampl_eq_tensione}
\end{figure}

\[
v_{in}\:=\:v_s \frac{R_i}{R_s+R_i}
\]

Avremo $v_{in}=v_s$ solo se $R_i$ \'e infinitamente grande o $R_s=0$.
In definitiva potremo dire che un amplificatore di tensione deve avere resistenza 
d'ingresso infinita e resistenza d'uscita nulla.


b)\emph{Amplificatore di corrente}

Un amplificatore sar\'a detto \emph{di corrente} se esso amplifica una corrente $i_{in}$ 
applicata in ingresso, dando in uscita un segnale di corrente:
\[
i_{out}\:=\:A_i i_{in}
\]

dove $A_i$ \'e il guadagno dell'amplificatore.

Considerazioni analoghe a quelle presentate nel discutere l'amplificatore di tensione 
ci portano ora a concludere che un amplificatore di corrente deve avere resistenza 
d'uscita $R_o$ infinitamente grande e resistenza d'ingresso uguale a zero.
\[
R_o \:=\: 0
\]
\[
R_{i}\:=\:0
\]


c) \emph{Amplificatore a transconduttanza}

Il termine ''transconduttanza'' indica che l'amplificazione ha le dimensioni di una 
conduttanza, cio\'e:
\[
G_{m}\:=\:\frac{i_{out}}{v_{in}}
\]
$G_m$ \'e la  ''conduttanza di trasferimento''.
Un tale amplificatore dar\'a un segnale di corrente in uscita quando in 
ingresso sia applicato un segnale di tensione.
La condizione che il segnale d'uscita sia una corrente impone che la resistenza 
d'uscita sia infinitamente grande; la condizione che il segnale applicato sia di 
tensione impone che la resistenza d'ingresso sia anch'essa infinita:
\[
R_i\:=\:\infty
\]
\[
R_o\:=\:\infty
\]


d) \emph{Amplificatore a transresistenza}

Il termine ''transresistenza'' indica che l'amplificazione ha le dimensioni di una 
resistenza, cio\'e:
\[
R_m\:=\:\frac{v_{out}}{i_{in}}
\]

$R_m$ \'e nota come ''resistenza di trasferimento''. 
Analogamente ai casi esaminati in precedenza, ora l'amplificatore dovr\'a avere una resistenza d'uscita nulla ed una resistenza d'ingresso anch'essa nulla.
\[
R_i\:=\:0
\]
\[
R_o \:=\:0
\]

Nessun amplificatore ha le caratteristiche di uno o l'altro degli esempi ideali appena descritti.
Nel progetto di un amplificatore si pu\'o fare in modo che il suo comportamento approssimi
il pi\'u possibile quello di uno dei tipi descritti.

Nei paragrafi che seguono faremo vedere come l'introduzione di circuiti di feedback 
in un amplificatore possa essere vantaggiosamente adoperata per modificarne il comportamento. In
particolare per cambiare la sua impedenza d'ingresso e quella d'uscita.

Vedremo anche come il feedback migliori la risposta dell'amplificatore, nel senso di 
renderla poco dipendente da variazioni nelle caratteristiche degli elementi attivi 
presenti nel circuito, oltre a ridurre le distorsioni ed il rumore.
In questo capitolo tratteremo esclusivamente quello che \'e comunemente chiamato 
''feedback negativo''. Il feedback positivo \'e un elemento di disturbo negli 
amplificatori, ma ha interessanti applicazioni in circuiti progettati per innescare e 
mantenere oscillazioni.

\section{Il concetto di feedback}

Un esempio di feedback (reazione) si \'e gi\'a incontrato nello studiare l'amplificatore ad 
un transistor con una resistenza sull'emettitore. Si \'e visto nell'analizzare il circuito 
che l'effetto della resistenza di emettitore $R_e$ \'e quello di trasferire, cambiandolo di 
segno, una parte del segnale di corrente presente nello stadio d'uscita del transistor (dove
\'e presente la resistenza di carico $R_L$) convertendolo in un segnale di tensione applicato alla base dello stesso. Come risultato 
l'amplificazione in tensione viene ad essere approssimativamente uguale a $-R_L/R_e$, indipendentemente dalle caratteristiche dettagliate del transistor.

In generale si intende per feedback quella particolare configurazione circuitale che 
preleva una parte del segnale (corrente o tensione) presente all'uscita di un 
amplificatore e la rinvia all'ingresso dell'amplificatore, sotto forma di un segnale di 
tensione o di corrente.
Si ha feedback \emph{negativo} se il segnale viene rinviato in ingresso con polarit\'a tale da 
opporsi alla variazione del segnale gi\'a presente.
Nel caso contrario si parla di \emph{feedback positivo}. In generale il feedback negativo viene 
utilizzato per migliorare la risposta di un amplificatore e per renderla meno dipendente 
dai parametri degli elementi attivi (transistor o FET) presenti nell'amplificatore, oltre 
che dalle condizioni ambientali (temperatura o altri).


\section{Tipi di feedback}

Il primo tipo di feedback che discuteremo \'e quello noto come ''tensione-serie'', che \'e 
schematicamente indicato in figura~\ref{feedback_tensione_serie}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_tensione_serie.eps,width=7.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_tensione_serie}
\end{figure}


In questo circuito, il segnale di tensione $v_o\:=\:A_v v_i$  \'e prelevato all'uscita dell'amplificatore (di cui $A_v$ rappresenta il guadagno in tensione in assenza di feedback) ed inviato ad un 
circuito di feedback caratterizzato da una funzione di trasferimento $\beta$. L'uscita di questo: $v_f=\beta v_o$  \'e poi invertita e sommata al segnale di tensione $v_s$ fornito dal generatore (la cui impedenza 
d'uscita \'e $R_s$). Come si vede dalla figura, la polarit\'a di $v_f$  \'e opposta a quella di $v_s$, per cui il segnale $v_f$ \'e effettivamente sottratto a $v_s$. Il segnale $v_i$ all'ingresso dell'amplificatore \'e cio\'e:
\[
v_i\:=\:v_s - v_f\:=\:v_s - \beta v_o
\]
Il fatto che il segnale prelevato in uscita sia una \emph{tensione} \'e indicato comunemente con 
il termine ''campionamento di tensione'' (voltage sampling) o anche ''campionamento nodale'' (node sampling).
Il fatto che il segnale $v_f=\beta v_o$ all'uscita del circuito di feedback sia sommato in ingresso 
a $v_s$  \'e indicato comunemente con il termine ''input seriale'' (serial input) o anche ''input di 
maglia'' (loop input). Tale tipo di feedback pu\'o quindi esser brevemente riassunto 
come ''tensione-serie'' (voltage-series; dove il primo dei termini si riferisce all'uscita ed il
secondo all'ingresso dell'amplificatore).

La figura~\ref{feedback_corrente_parallelo} illustra un secondo tipo di feedback.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_corrente_parallelo.eps,width=8.5 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_corrente_parallelo}
\end{figure}

In questo circuito, il segnale di corrente $i_o=A_i i_i$ all'uscita di un amplificatore \'e 
l'input al circuito di feedback. L'uscita di questo, $i_f=\beta i_o$ viene poi sommata al segnale di corrente  fornito dal generatore. 
Perch\'e il feedback sia, come vogliamo, negativo, occorrer\'a che $\beta$ sia negativo.
A tale configurazione si d\'a il nome di feedback ''corrente-parallelo'' 
(current-shunt). Ci\'o poich\'e il segnale prelevato in uscita \'e un segnale di corrente e 
questo \'e, dopo esser passato attraverso il circuito di feedback che lo moltiplica per $\beta$, 
inviato in parallelo al segnale di corrente $i_s$ gi\'a presente. Si ha cio\'e:
\[
i_i\:=\:i_s + i_f\:=\:i_s + \beta i_o
\]

dove $\beta$ \'e negativo.

Notiamo che, sia in questo caso che in quello precedente, il parametro $\beta$  \'e 
adimensionale.
Consideriamo ancora un ulteriore tipo di feedback, mostrato in figura~\ref{feedback_corrente_serie}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_corrente_serie.eps,width=8.5 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_corrente_serie}
\end{figure}

In questo circuito, il segnale di corrente $i_o = G_m v_i$  ( $G_m$ \'e la transconduttanza dell'amplificatore) \'e inviato al circuito di feedback caratterizzato dal parametro $\beta$ 
(che ora \'e una ''transresistenza''). L'uscita in tensione di questo: $v_f=\beta i_o$, viene 
sommata al segnale $v_s$ presente in ingresso ed il segnale risultante: $v_i\:=\:v_f + v_s$  
\'e inviato all'ingresso dell'amplificatore.
Si parla ora di un feedback ''corrente-serie'' (current-series) o anche ''corrente-tensione''. 
Infatti il segnale prelevato all'uscita dell'amplificatore \'e un segnale di corrente e 
quello inviato (in serie) all'ingresso dell'amplificatore \'e una tensione.

L'ultimo dei tipi di feedback da considerare \'e quello mostrato nella figura~\ref{feedback_tensione_parallelo}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_tensione_parallelo.eps,width=9.5 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_tensione_parallelo}
\end{figure}

In questo circuito, il segnale di tensione $v_o=R_m i_i$  (con $R_m$ la transresistenza dell'amplificatore) \'e inviato al circuito di feedback. Il parametro $\beta$ ora sar\'a una transconduttanza ed avremo: $i_f = \beta v_o$.
L'uscita $i_f$  del circuito di feedback viene sommata al segnale di corrente $i_s$  gi\'a presente 
ed il segnale risultante:   
\[
i_i\:=\:i_s + i_f\:=\:i_s + \beta v_o
\]

viene inviato all'ingresso dell'amplificatore. Anche in questo caso abbiamo una reazione negativa 
se $\beta < 0$.
Si parla in questo caso di un feedback ''tensione-parallelo'' (voltage-shunt) o anche 
''tensione-corrente''.

Come visto, il parametro $\beta$ che caratterizza il circuito di feedback \'e adimensionale nel 
caso in cui la reazione sia del tipo tensione-serie o corrente-parallelo, mentre esso ha le 
dimensioni di una transresistenza per un feedback tensione-parallelo e di una transconduttanza nel 
caso di un feedback corrente-serie.

Ammetteremo nel seguito che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
\begin{description}
\item[a] il segnale applicato in ingresso \'e trasmesso all'uscita attraverso l'amplificatore e 
non attraverso il circuito di feedback. In altre parole, il circuito di feedback deve 
essere unidirezionale.

\item[b] il segnale di feedback \'e trasmesso all'ingresso attraverso la rete caratterizzata dal 
parametro $\beta$ e non attraverso l'amplificatore.
\item[c]	$\beta$ \'e indipendente dall'impedenza di carico $R_L$ e da quella del generatore $R_s$.

\end{description}

\section{Feedback: considerazioni generali}

Le considerazioni che faremo in questa sezione e le formule che otterremo sono del 
tutto generali e valgono per uno qualsiasi dei tipi di feedback esaminati.
Sia $x_o$ il segnale all'uscita dell'amplificatore il cui guadagno \'e A. Sia $x_i$ il segnale 
all'ingresso dell'amplificatore ed $x_s$ il segnale fornito dal generatore. Sia ancora 
$x_f= \beta x_o$ il segnale di feedback.
Esaminiamo lo schema generale di figura~\ref{feedback_considerazioni_generali}:

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_considerazioni_generali.eps,width=8.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_considerazioni_generali}
\end{figure}

Si vede facilmente che:

\[
x_i\:=\:x_s + x_f \:=\:x_s + \beta x_o
\]

Il guadagno con feedback, che indicheremo con $A_f$, \'e dato da:

\[
A_f \:=\:\frac{x_o}{x_s}\:=\:\frac{x_o}{x_i} \frac{x_i}{x_s}\:=\: A \frac{x_s + \beta x_o}{x_s}\:=\:
A \left(1 + \beta \frac{x_o}{x_s}\right)\:=\:A \left(1 + \beta A_f\right)
\]
da cui:
\[
A_f \:=\:\frac{A}{1 - \beta A}
\]

Se  $\beta A$ \'e reale e negativo avremo:

\[
|A_f|\:=\:\frac{|A|}{1 + |\beta A|}
\]


quindi il guadagno con feedback \'e minore di quello senza feedback: $|A_f| < |A|$. 
Il prodotto $\beta A$ \'e noto come ''guadagno a catena aperta''. 
Per un amplificatore con feedback negativo il guadagno a catena aperta \'e reale e negativo. 
Il feedback riduce il guadagno dell'amplificatore. Se \'e $|\beta A| \gg 1$, il guadagno con 
reazione sar\'a:
\[
|A_f| \:=\:\frac{|A|}{1 + |\beta A|}\: \approx \: \frac{|A|}{|\beta A|}\:=\:\frac{1}{|\beta|}
\]

Vediamo quindi che in tali circostanze il guadagno dell'amplificatore non dipende pi\'u 
da A, ma solo dal parametro $\beta$  che caratterizza la maglia di reazione.

Il feedback negativo ha numerosi aspetti che migliorano le prestazioni degli 
amplificatori. Questi sono descritti nelle prossime sezioni.


\subsection{Propriet\'a della retroazione negativa}

Esistono numerosi aspetti della retroazione negativa che possono essere utilizzati per 
migliorare la risposta di un amplificatore. A seconda delle esigenze, uno degli aspetti 
pu\'o prevalere sugli altri e pu\'o dettare determinate modifiche progettuali.
Gli aspetti principalmente utilizzati sono i seguenti:
\begin{itemize}
\item stabilizzazione del punto di lavoro
\item ottimizzazione della resistenza d'ingresso e d'uscita
\item stabilizzazione del guadagno rispetto a variazioni di temperatura e/o dei parametri 
dei componenti
\item modifica della banda passante
\item riduzione dei disturbi
\item miglioramento della linearit\'a.
\end{itemize}

\subsection{Funzione di sensibilit\'a di un amplificatore con feedback}

Vediamo ora come il guadagno di un amplificatore con reazione dipenda dal guadagno 
intrinseco dell'amplificatore senza feedback, che abbiamo chiamato $A$.

Ammettiamo che il guadagno $A$ subisca, per cause non previste, una variazione $dA$. 
Calcoliamo la conseguente variazione di $A_f=A/(1-\beta A)$:

\[
dA_f\:=\:\frac{dA}{1-\beta A}\:+\:\frac{A \beta dA}{\left(1 - \beta A\right)^2}\:=\:\frac{dA}{\left(1 - \beta A\right)^2}
\]

per cui la variazione relativa di $A_f = dA_f/A_f$ \'e:

\[
\frac{dA_f}{A_f}\:=\:\frac{dA}{A} \frac{1}{1 - \beta A}
\]

Poich\'e, in presenza di feedback negativo, la frazione che moltiplica $dA/A$ \'e minore di 1, 
vediamo che la variazione percentuale di $A_f$ \'e inferiore alla variazione percentuale di $A$.
Il rapporto delle variazioni percentuali:
\begin{equation}
\frac{dA_f/A_f}{dA/A}\:=\:\frac{1}{1- \beta A}  \label{funzione_sensibilita}
\end{equation}

\'e noto come ''sensibilit\'a'' dell'amplificatore con feedback.
Vediamo quindi che, se la grandezza $-A \beta$ \'e molto maggiore di 1, una variazione 
percentuale di $A$ si riflette in una variazione percentuale $|A \beta|$  volte pi\'u piccola 
in $A_f$.
Ovviamente, il guadagno dell'amplificatore risulta ridotto della stessa quantit\'a.


\section{Effetto del feedback negativo sull'impedenza d'ingresso e su quella d'uscita degli 
amplificatori}

\subsection{Impedenze d'ingresso}

In questa sezione esamineremo l'effetto che ciascuno dei tipi di feedback esaminati ha sulle
impedenze d'ingresso. Come vedremo, ci\'o che \'e importante agli effetti di tali impedenze
non \'e il tipo di \emph{campionamento} effettuato all'uscita dell'amplificatore, ma solo
il tipo di \emph{confronto} effettuato all'ingresso.

\subsubsection{Feedback tensione-serie}

Cominciamo con il considerare il caso di un feedback tensione-serie, come mostrato~\footnote{Nella figura abbiamo esplicitamente indicato la polarit\'a del feedback $v_f$, cio\'e ora $\beta$ \'e positivo, mentre il feedback continua ad esser negativo} in 
figura~\ref{impedenza_feed_tensione_serie}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=impedenza_feed_tensione_serie.eps,width=10.0 cm,
height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{impedenza_feed_tensione_serie}
\end{figure}

$A_v$  indica il guadagno in tensione dell'amplificatore. L'impedenza d'ingresso  \'e definita 
come il rapporto tra la tensione del generatore e la corrente da esso erogata:
\[
R_{if}\:=\:\frac{v_s}{i_i}
\]

Dall'esame della maglia d'ingresso otteniamo:

\begin{equation}
v_s\:=\:i_i R_i + v_f \:=\:i_i R_i + \beta v_o   \label{maglia_ingresso}
\end{equation}


La maglia d'uscita fornisce:
\[
v_o\:=\:A_v v_i \frac{R_L}{R_o+R_L}\:=\:A_V v_i
\]

dove abbiamo introdotto il guadagno senza feedback:
\[
A_V=A_v \frac{R_L}{R_o}
\]

che tiene conto della resistenza di carico $R_L$. Poich\'e \'e: $v_i=R_i i_i$, si ha poi:
\[
v_o\:=\:A_V R_i i_i
\]

che, sostituita nella~\ref{maglia_ingresso}, ci d\'a:

\[
v_s\:=\:i_i R_i \left(1 + \beta A_V \right)
\]


ed infine:
\[
R_{if}\:=\:\frac{v_s}{i_i}\:=\:R_i (1 + \beta A_V)
\]

Vediamo cos\'i che, in questo tipo di reazione, l'impedenza d'ingresso viene ad essere 
accresciuta di un fattore $1 + \beta A_V$. Per $\beta A_V \rightarrow \infty$, $R_{if} \rightarrow \infty$.

\subsubsection{Feedback corrente-serie}

Esaminiamo ora il feedback corrente-serie, mostrato in figura~\ref{impedenza_feed_corrente_serie}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=impedenza_feed_corrente_serie.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{impedenza_feed_corrente_serie}
\end{figure}

Conviene in questo caso, come abbiamo fatto in figura, schematizzare l'amplificatore 
tramite la sua transconduttanza $G_m=i/v_i$. Il coefficiente di feedback $\beta$ \'e ora una 
transresistenza.

Dalla maglia d'uscita troviamo:
\[
i_o\:=\:G_m v_i \frac{R_o}{R_o+R_L}\:=\:G_M v_i
\]

dove:
\[
G_M\:=\:G_m \frac{R_o}{R_o+R_L}
\]

\'e la transconduttanza dell'amplificatore che tiene conto del carico $R_L$. 
Inoltre \'e:
\[
v_i\:=\:R_i i_i
\]
per cui:
\[
i_o\:=\:G_M v_i \:=\: G_M R_i i_i
\]

La maglia d'ingresso fornisce:
\[
v_s\:=\:v_i + v_f \:=\:R_i i_i + \beta i_o \:=\:R_i i_i + \beta G_M R_i i_i\:=\:R_i i_i \left( 1 + \beta G_M \right)
\]

da cui:
\[
R_{if}\:=\:\frac{v_s}{i_i}\:=\:R_i \left(1 + \beta G_M \right)
\]


Vediamo quindi che anche in questo caso l'impedenza d'ingresso aumenta per effetto 
del feedback; il fattore di cui essa aumenta \'e ancora una volta uguale a $(1 + \beta G_M)$, 
analogamente a quanto accadeva nel caso precedente. Vediamo cos\'i che l'impedenza 
d'ingresso aumenta di $(1 + \beta G)$ (dove $G$ \'e, in generale, il guadagno dell'amplificatore) se il 
feedback riporta in ingresso un segnale di tensione, cio\'e se il \emph{confronto} all'ingresso 
avviene in una maglia, qualunque sia il tipo di campionamento in uscita. Vedremo 
invece che quest'ultimo ha un effetto sull'impedenza d'uscita. 

\subsubsection{Feedback tensione-parallelo}

Esaminiamo infine il feedback di tipo tensione-parallelo, schematizzato in figura~\ref{impedenza_feed_tensione_parallelo}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=impedenza_feed_tensione_parallelo.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{impedenza_feed_tensione_parallelo}
\end{figure}

L'impedenza d'ingresso \'e:
\[
R_{if}\:=\:\frac{v_i}{i_s}\:=\:\frac{R_i i_i}{i_s}
\]

con:
\[
i_s\:=\:i_i + \beta v_o
\]

Dalla maglia d'uscita si ha:
\[
v_o \:=\:R_m i_i \frac{R_L}{R_o+R_L}\:=\:R_M i_i
\]

con:
\[
R_M\:=\:R_m \frac{R_L}{R_o+R_L}
\]

Si ha con ci\'o:
\[
i_s\:=\:i_i \left(1 + \beta R_M \right)
\]

e quindi:
\[
R_{if}\:=\:\frac{R_i i_i}{i_s}\:=\:\frac{R_i}{1 + \beta R_M}
\]

Cio\'e, anche in questo caso, come in quello precedente, la resistenza d'ingresso 
diminuisce del fattore $1 + \beta A$, con A (uguale ad $R_M$ nel caso attuale) il guadagno dell'amplificatore senza reazione.

\subsubsection{Feedback corrente-parallelo}

Proseguendo con la nostra analisi delle impedenze d'ingresso, consideriamo un feedback del tipo 
corrente-parallelo, come quello mostrato in figura~\ref{impedenza_feed_corrente_parallelo}



\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=impedenza_feed_corrente_parallelo.eps,width=11.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{impedenza_feed_corrente_parallelo}
\end{figure}



Dalla maglia d'ingresso abbiamo:

\[
i_s\:=\:i_i + i_f \:=\:i_i + \beta i_o
\]

e, dalla maglia d'uscita:
\[
i_o\:=\:A_i i_i \frac{R_o}{R_o+R_L}\: \equiv A_I i_i
\]

dove:

\[
A_I\:=\:A_i \frac{R_o}{R_o+R_L}
\]

\'e il guadagno in corrente dell'amplificatore, che tiene conto del carico $R_L$.
Da queste equazioni si ottiene poi:
\[
i_s\:=\:i_i + \beta A_I i_i \:=\:i_i \left(1 + \beta A_I \right)
\]

e, poich\'e $R_{if}$ \'e definita come:
\[
R_{if}\:=\:\frac{v_i}{i_s}\:=\:\frac{i_i R_i}{i_s}
\]

ne segue:
\[
R_{if}\:=\:\frac{R_i}{1 + \beta A_I}
\]

Vediamo quindi che nel caso attuale l'impedenza d'ingresso \'e \emph{minore} di quella in 
assenza di feedback, del medesimo fattore $(1+\beta A)$ che era presente, a fattore moltiplicativo, 
nei due casi iniziali.

\subsection{Considerazioni generali}

Poich\'e gli ultimi due casi esaminati avevano come caratteristica comune la reazione in 
parallelo (cio\'e di corrente) nella maglia d'ingresso, vediamo che \'e tale caratteristica 
a determinare la diminuzione dell'impedenza d'ingresso.

Abbiamo visto quindi che, se il segnale di feedback viene riportato in ingresso sotto 
forma di un segnale di tensione (cio\'e in serie) l'impedenza d'ingresso aumenta, mentre 
essa diminuisce se il feedback \'e parallelo (corrente). Ci\'o indipendentemente dal tipo 
di campionamento in uscita (tensione o corrente).
Ci\'o pu\'o esser facilmente compreso se si pensa che, nel caso in cui il feedback 
(negativo) sia di tensione, questo far\'a si che la tensione ai capi di $R_i$ sia minore della 
tensione del generatore, che ha un valore costante $v_s$. 
Di conseguenza sar\'a minore la corrente che fluisce in $R_i$ e, poich\'e tale corrente \'e 
erogata in ultima analisi dal generatore, il rapporto tra tensione e corrente erogata, cio\'e la resistenza d'ingresso, sar\'a maggiore.

Se invece si realizza un feedback (negativo) di corrente, avremo una minor corrente in $R_i$,    
il che implica una minore differenza di potenziale ai capi di $R_i$. Poich\'e ora ci\'o avviene 
ad $i_s$ costante, la resistenza d'ingresso $v_i/i_s$ sar\'a minore di quella che si 
avrebbe in assenza di feedback.

\subsection{Impedenze d'uscita}

Esaminiamo ora la resistenza d'uscita.
Vediamo dapprima di capire qualitativamente ci\'o che dobbiamo aspettarci, 
distinguendo i due casi di un campionamento di tensione e di corrente. Se il 
campionamento \'e quello della tensione in uscita, l'effetto del feedback sar\'a, come 
sappiamo, quello di fornire in uscita, a circuito aperto, una tensione minore di quella dell'amplificatore 
non reazionato. Poich\'e l'impedenza d'uscita \'e definita come il rapporto: \emph{tensione a
circuito aperto/corrente a circuito chiuso} dove la corrente a circuito chiuso non \'e influenzata dal feedback di tensione, visto che a circuito chiuso non c'\'e feedback (si annulla cio\'e la 
tensione in uscita), vediamo che l'impedenza d'uscita \'e ridotta dal feedback, della stessa 
quantit\'a incontrata prima (cio\'e $1 + \beta A$).
Analogamente, se il campionamento \'e di corrente, l'effetto del feedback sar\'a quello 
di fornire, a parit\'a di tensione in uscita (la tensione a circuito aperto, che non \'e 
influenzata dal feedback, poich\'e a circuito aperto si annulla la corrente e quindi il 
feedback) una corrente a circuito chiuso minore di quella che si ha in assenza di 
feedback. Di conseguenza la resistenza d'uscita aumenta del medesimo fattore $1 + \beta A$ di cui 
diminuisce la corrente.

Esamineremo ora in dettaglio i due casi di feedback: campionamento di tensione e 
campionamento di corrente. Il tipo di confronto effettuato all'ingresso dell'amplificatore 
\'e irrilevante. 

\subsubsection{Feedback con campionamento di tensione}

Consideriamo il feedback tensione-serie di figura~\ref{impedenza_feed_tensione_serie}. 


Per calcolare la resistenza d'uscita $R_{of}$ poniamo $v_s=0$, eliminiamo $R_L$  ed applichiamo 
tra i terminali d'uscita una differenza di potenziale $v_o$. L'impedenza d'uscita \'e allora:
\[
R_{of}\:=\:\frac{v_o}{i_o}
\]

dove $i_o$ \'e la corrente che fluisce nella maglia d'uscita. Abbiamo:
\[
i_o\:=\:\frac{v_o-A_v v_i}{R_o}\:=\:\frac{v_o + A_v \beta v_o}{R_o}
\]

poich\'e, avendo posto $v_s=0$ si ha:
\[
v_i\:=\:-v_f\:=\:- \beta v_o
\]

Ne segue:
\[
R_{of}\:=\:\frac{v_o}{i_o}\:=\:\frac{R_o}{1 + \beta A_v}
\]

La resistenza d'uscita in presenza di $R_L$  sar\'a:
\[
R_{of}'\:=\:R_{of}||R_L\:=\:\frac{R_o R_L}{(R_o+R_L)\left(1 + \beta \frac{R_L}{R_o+R_L} A_v\right)}
\]

che, ricordando la definizione di $A_V$ e posto $R_o'=R_o || R_L$, diventa:
\[
R_{of}'\:=\:\frac{R_o'}{1 + \beta A_V}
\]

\subsubsection{Feedback con campionamento di corrente}

Consideriamo infine il caso di un feedback corrente-serie, come quello di fig~\ref{impedenza_feed_corrente_serie}. 
Per calcolare l'impedenza d'uscita, immaginiamo di cortocircuitare $v_s$, di applicare tra i 
terminali d'uscita una differenza di potenziale $v_o$ e calcoliamo la corrente $i_o$. 
Dall'analisi della maglia d'uscita otteniamo per la corrente in $R_o$:
\[
i'\:=\:G_m v_i - i_o
\]
 
da cui:
\[
v_o \:=\:R_o i' \:=\:G_m v_i R_o - R_o i_o
\]

mentre dalla maglia d'ingresso si ottiene:
\[
v_i\:=\:- \beta i_o
\]

(poich\'e $v_s$  \'e stato cortocircuitato).

Si ottiene quindi:
\[
v_o\:=\:- G_m R_o \beta i_o - R_o i_o \:=\:-R_o i_o \left(1 + G_m \beta \right)
\]

e per la resistenza d'uscita   :
\[
R_{of}\:=\:-\frac{v_o}{i_o}\:=\:R_o \left(1 + \beta G_m \right)
\]

Quindi, come previsto, la resistenza d'uscita con feedback \'e maggiore di quella senza 
feedback del fattore $1 + \beta G_m$. L'impedenza d'uscita in presenza di $R_L$ sar\'a
poi il parallelo di $R_{of}$ ed $R_L$.
\subsection{Effetto del feedback sulle impedenze d'ingresso e d'uscita: sommario}

La tabella che segue riassume l'effetto che la reazione negativa ha sulle impedenze
d'ingresso e d'uscita nei quattro casi esaminati.

\begin{table}[h]
	\begin{center}
		\begin{tabular}{| l | c | c | }
		\hline
Tipo di reazione &  $R_{if}$ & $R_{of}$ \\
\hline
\hline
tensione-serie &$R_i(1+\beta A_V)$&$ R_o/(1+\beta A_v)$ \\
corrente-serie &$R_i(1+\beta G_M)$&$ R_o (1+\beta G_m)$ \\
tensione-parallelo &$R_i/(1+\beta R_M)$&$ R_o/(1+\beta R_m)$ \\
corrente-parallelo &$R_i/(1+\beta A_I)$&$ R_o (1+\beta A_i)$ \\
\hline
		\end{tabular}
	\end{center}

\end{table}



\section{Individuazione del tipo di reazione}


Non \'e sempre facile determinare il tipo di reazione presente in un circuito.

\'E utile seguire i seguenti criteri generali per individuare il tipo di segnale 
(tensione o corrente) prelevato all'uscita di un amplificatore ed il modo 
(seriale o parallelo) in cui esso viene sommato al segnale in ingresso.

Per quel che concerne il tipo di segnale, \'e ovvio che se esso \'e di corrente, 
continuer\'a ad esser presente se il carico viene cortocircuitato. Viceversa, se il tipo di 
segnale \'e di tensione, esso si annuller\'a con il carico in cortocircuito.

Alternativamente, se il tipo di segnale \'e di corrente, esso si annuller\'a quando 
l'impedenza del carico divenga infinitamente grande. Con tale valore dell'impedenza il 
feedback non si annulla se esso \'e di tensione.

Riassumendo, possiamo dire che il tipo di campionamento \'e di corrente se esso si 
annulla quando l'impedenza del carico divenga infinita; \'e invece di tensione se esso si 
annulla quando si porti a zero l'impedenza del carico.

Per quel che concerne invece il modo (serie o parallelo) in cui il segnale di feedback 
viene sommato al segnale in ingresso, si pu\'o facilmente intuire che avremo una 
somma di tipo ''serie'' se essa viene effettuata in una maglia. Avremo invece una 
somma di tipo ''parallelo'' se essa viene effettuata in un nodo. Per chiarire meglio 
questi concetti vediamo alcuni esempi, a cominciare da quello di figura~\ref{feedback_common_source}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_common_source.eps,width=6.0 cm,
height=6.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_common_source}
\end{figure}

Qui abbiamo un amplificatore che utilizza un J-FET a canale n. Se $v_{gs}$ aumenta, 
aumenter\'a la corrente nel canale e quindi nelle resistenze $R_d$  ed $R_s$. 
Il potenziale del drain diminuir\'a mentre aumenter\'a quello del source, il che 
far\'a diminuire $v_{gs}$. Abbiamo quindi un feedback negativo. Vediamo che il campionamento 
\'e di corrente; infatti il feedback si annulla se $R_d$ diviene infinitamente grande (con che si 
annulla la corrente). Esso invece continua ad esser presente se $R_d$  diviene nullo.

Il segnale di feedback \'e riportato in ingresso sotto forma di una differenza di 
potenziale ai capi di $R_s$; questa si somma (con il segno cambiato) a $v_s$. Vediamo 
che la somma avviene nella maglia d'ingresso. Si tratta quindi di un feedback seriale. In 
definitiva il circuito disegnato \'e un esempio di feedback corrente-serie. Debbono quindi
aumentare sia l'impedenza d'ingresso $R_i$ che quella d'uscita $R_o$.


Consideriamo invece il circuito di figura~\ref{feedback_trans_bipol}:

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_trans_bipol.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_trans_bipol}
\end{figure}

In questo circuito il segnale di feedback si annullerebbe se la tensione di collettore $v_c$ divenisse nulla. 
Abbiamo quindi un campionamento di tensione. Inoltre il segnale di feedback si somma a quello 
in ingresso in un nodo; si ha quindi una somma di tipo parallelo. Nel nodo d'ingresso si 
somma la corrente $i_s$  e quella di feedback $i_f$. Avremo quindi che la resistenza d'ingresso
$R_i$ diminuisce, mentre quella d'uscita $R_o$ aumenta.

Esaminiamo come ulteriore esempio quello di figura~\ref{feedback_fet_bipol}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_fet_bipol.eps,width=8.0 cm,
height=7.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_fet_bipol}
\end{figure}

Vediamo che ora la somma avviene in un nodo (la base del transistor bipolare) e quindi si 
ha una somma di correnti (confronto di tipo parallelo). Il segnale \'e prelevato sul source del 
J-FET. Esso si annullerebbe se la resistenza di carico ($R_d$ nel nostro caso) divenisse 
infinitamente grande (con che si annullerebbe la corrente in $T_2$). 
Abbiamo in definitiva una reazione di tipo corrente-parallelo (current-shunt). La resistenza
d'ingresso $R_i$ ora diminuisce, mentre aumenta quella d'uscita $R_o$.

I circuiti di figura~\ref{feedback_op_amp_impedence} mostrano infine un esempio di ciascuno
dei quattro tipi di feedback, nel caso di un amplificatore operazionale. \'E facile verificare,
facendo uso dei criteri delineati in questa sezione, che il tipo di feedback presente in
ciascun caso \'e quello indicato nella figura.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_op_amp_impedence.eps,width=11.0 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_op_amp_impedence}
\end{figure}

\section{Analisi dettagliata dei circuiti con feedback}

Esaminiamo ora in dettaglio un esempio di circuito con feedback. Consideriamo il caso 
di un amplificatore invertente, come quello mostrato in figura~\ref{feedback_ampli_invert}
in cui un segnale di tensione \'e prelevato in uscita e 
riportato sull'ingresso tramite una resistenza di feedback $R_f$. 

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_ampli_invert.eps,width=8.0 cm,
height=6.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_ampli_invert}
\end{figure}


Il segnale riportato in ingresso \'e tale che la corrente ad esso associata si somma alla corrente erogata dal generatore. Si tratta chiaramente di un feedback ''tensione-parallelo''.



Per semplificare l'analisi di tale circuito, \'e opportuno sostituirlo con il circuito equivalente
di figura~\ref{feedback_ampli_invert_equiv}. Qui abbiamo indicato con $v_d$ la differenza di
potenziale ai capi della resistenza d'ingresso $R_i$ dell'operazionale.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_ampli_invert_equiv.eps,width=11.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_ampli_invert_equiv}
\end{figure}

Il circuito di feedback potrebbe in realt\'a esser pi\'u complicato di quello rappresentato 
da una singola resistenza.
Per descrivere tali situazioni potremo sostituire nel circuito equivalente il generatore $V_L$  
con $k V_L$, dove k \'e una costante.

Scriviamo ora le equazioni per il circuito disegnato.
Dalla maglia di sinistra si ottiene:

\[
i_1\:=\:\frac{v_i+v_d}{R_s}
\]
\[
i_2\:=\:- \frac{v_d+v_L}{R_f}
\]
\begin{equation}
i_d\:=\:i_1 - i_2 \:=\:\frac{v_i + v_d}{R_s} + \frac{v_L+v_d}{R_f}\:=\:- \frac{v_d}{R_i} \label{id_current}
\end{equation}

Dalla maglia di destra:
\[
i\:=\:\frac{A_d v_d + v_d}{R_o + R_f}
\]
\[
v_L\:=\:A_d v_d - R_o i \:=\:A_d v_d - \frac{R_o}{R_o + R_f} A_d v_d - \frac{R_o}{R_o + R_f} v_d\:=
\]
\[
=v_d \left(A_d - A_d \frac{R_o}{R_o + R_f} - \frac{R_o}{R_o + R_f} \right)
\]


Se  $R_o \ll R_f$, il secondo ed il terzo termine in parentesi saranno trascurabili rispetto al 
primo e si avr\'a:
\begin{equation}
v_L \approx A_d v_d    \label{vl_approx}
\end{equation}

Dall'equazione~\ref{id_current}:

\[
\frac{v_i + v_d}{R_s} + \frac{v_L + v_d}{R_f}\:=\:- \frac{v_d}{R_i}
\]

si ha:
\[
v_d \left(\frac{1}{R_s}+\frac{1}{R_f}+\frac{1}{R_i}\right)\:=\:-\frac{v_i}{R_s}-\frac{v_L}{R_f}
\]

Trascurando il termine $1/R_i$ rispetto agli altri due termini in parentesi e facendo uso della~\ref{vl_approx}, l'ultima equazione scritta diventa:

\[
\frac{v_L}{A_d}\frac{R_f+R_s}{R_f R_s} + \frac{v_L}{R_f}\:=\:-\frac{v_i}{R_s}
\]
da cui si ottiene:
\begin{equation}
v_L\:=\:- \frac{(A_d v_i/R_s) R_{fs}}{1 + (A_d/R_f) R_{fs}}  \label{vl_with_feedback}
\end{equation}

dove abbiamo indicato con il simbolo $R_{fs}$ la quantit\'a:
\[
\frac{R_f R_s}{R_f + R_s}
\]

Se il termine:
\[
\frac{A_d}{R_f} R_{fs}
\]

che compare a denominatore \'e molto maggiore di 1, la~\ref{vl_with_feedback} si semplifica:
\[
v_L\:=\:- v_i \frac{R_f}{R_s}
\]

cio\'e la tensione d'uscita non dipende pi\'u dal parametro $A_d$.

Il termine:
\[
-A_d \frac{R_{fs}}{R_f}
\]

che compare a denominatore della~\ref{vl_with_feedback} va sotto il nome di ''guadagno di 
maglia'' (loop gain). Si pu\'o facilmente verificare che esso coincide con il guadagno 
della catena quando si supponga nulla l'eccitazione esterna $v_i$.

Infatti, in tal caso il circuito diventa quello della figura~\ref{feedback_ampli_invert_equb}:

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_ampli_invert_equb.eps,width=10.0 cm,
height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_ampli_invert_equb}
\end{figure}


Qui l'eccitazione \'e costituita da $\overline{v}$, mentre l'uscita \'e, come prima, $v_L$. 
Nel ramo destro abbiamo fatto uso dell'approssimazione: $v_L \approx A_d v_d$.
Il guadagno di maglia (loop gain) sar\'a ora calcolabile facendo uso delle seguenti 
equazioni:

\[
i_s\:=\:i_f + i_i
\]
con:
\[
i_f\:=\:\frac{\overline{v} + v_d}{R_f}
\]
\[
i_i \:=\: - \frac{v_d}{R_i}
\]
\[
i_s \:=\:- \frac{v_d}{R_s}
\]

da cui:

\[
\frac{\overline{v} + v_d}{R_f} - \frac{v_d}{R_i} \:=\:-\frac{v_d}{R_s}
\]
e poi:
\[
v_d \left( \frac{1}{R_f}-\frac{1}{R_i}+\frac{1}{R_s}\right) \:=\:-\frac{\overline{v}}{R_f}
\]

Trascurando $1/R_i$ rispetto agli altri termini in parentesi e facendo uso della: $v_L=A_d v_d$, 
questa diviene:
\[
\frac{v_L}{A_d}\left(\frac{1}{R_f}+\frac{1}{R_s}\right)\:=\:-\frac{\overline{v}}{R_f}
\]

ed il guadagno di maglia sar\'a:
\begin{equation}
\frac{v_L}{\overline{v}}\:=\:- A_d \frac{R_{fs}}{R_f}\:\equiv \:A_d \beta   \label{guadagno_di_maglia}
\end{equation}
con:
\[
\beta\:=\:-\frac{R_{fs}}{R_f}
\]

Il termine che compare a numeratore della~\ref{vl_with_feedback}:
\[
-A_d \frac{R_{fs}}{R_s}
\]


va sotto il nome di ''guadagno a catena aperta'' (open loop gain) o anche ''guadagno 
senza feedback''. Questo \'e calcolabile a partire dal circuito equivalente di figura~\ref{feedback_ampli_invert_equc}:

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_ampli_invert_equc.eps,width=10.0 cm,
height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_ampli_invert_equc}
\end{figure}

L'assenza del feedback consiste qui nell'assenza della sorgente dipendente $v_L$  nel ramo 
sinistro e nella simultanea assenza della sorgente $v_d$  in serie con $R_f$  nel ramo destro
di figura~\ref{feedback_ampli_invert_equiv}.
Il guadagno di questo circuito \'e ora ottenibile dalle equazioni:
\[
v_d\:=\:-\frac{v_i}{R_s+R_{if}} R_{if} \: \approx \: -v_i \frac{R_f}{R_s+R_f}\:=\:-v_i \frac{R_{fs}}{R_s}
\]
dove si \'e ammesso che sia $R_i \gg R_f$. Inoltre \'e:

\[
v_L\:=\:A_d v_d \:=\:- A_d \frac{R_{fs}}{R_s} v_i
\]
 


Il guadagno a catena aperta  \'e quindi:
\begin{equation}
A_o\:=\: \equiv \:\frac{v_L}{v_i}\:=\:-A_d \frac{R_{fs}}{R_s}  \label{guadagno_catena_aperta}
\end{equation}

Facendo ora uso delle equazioni~\ref{vl_with_feedback}, \ref{guadagno_di_maglia} e~\ref{guadagno_catena_aperta}, il guadagno complessivo pu\'o esser messo  
nella forma:
\[
A_V\:=\:\frac{v_L}{v_i}\:=\:- \frac{A_d R_{fs}/R_s}{1 + A_d R_{fs}/R_f}\:=\:
\frac{A_o}{1 - A_d \beta}
\]

Notiamo che il parametro $\beta$  regola l'ammontare di feedback. Se $\beta=0$ non  ci sar\'a 
feedback. Se $-A_d \beta$ diviene grande rispetto ad 1, il guadagno $A_V$ dell'amplificatore con 
feedback tende a:
\[
A_V \rightarrow - \frac{R_f}{R_s}
\]


cio\'e diviene indipendente dal guadagno intrinseco $A_d$ dell'amplificatore.

Ci\'o fa si che, via via che aumenta il guadagno di maglia, il guadagno con feedback 
divenga sempre meno sensibile a variazioni di temperatura o a variazioni dei parametri 
dei componenti che costituiscono l'amplificatore.

Esaminiamo, come secondo esempio, quello di un feedback del tipo tensione-serie, 
come mostrato in figura~\ref{feedback_ampli_non_invert}:

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_ampli_non_invert.eps,width=9.0 cm,
height=7.0 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_ampli_non_invert}
\end{figure}



Il circuito equivalente \'e quello di figura~\ref{feedback_ampli_non_invert_equa}, dove:

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_ampli_non_invert_equa.eps,width=11.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_ampli_non_invert_equa}
\end{figure}


\[
v_L'\:=\:v_L
\]
e dove abbiamo indicato con $v_d$ la differenza di potenziale ai capi di $R_i$.

Cominciamo col calcolare il guadagno a catena aperta (guadagno in assenza di feedback), definito da:
\[
A_o\:=\:\left(\frac{v_L}{v_i}\right)_{v_L'=0}
\]

Possiamo scrivere:
\[
\left( \frac{v_L}{v_i} \right)_{v_L'=0}\:=\:\left(\frac{v_L}{v_d}\right)_{v_L'=0}
\left(\frac{v_d}{v_i}\right)
\]

dove il primo termine a secondo membro pu\'o esser ottenuto facendo uso della maglia 
di sinistra ed il secondo di quella di destra. Da quest'ultima otteniamo:
\[
v_L\:=\:R_f i_1 - v_d
\]

con:
\[
i_1\:=\:\frac{A_d v_d + v_d}{R_o + R_f} \:=\:\frac{v_d}{R_o + R_f} (1 + A_d)
\]

da cui:
\[
v_L\:=\:\frac{v_d}{R_o+R_f}\left(R_f A_d - R_o\right)
\]
\[
\left(\frac{v_L}{v_d}\right)_{v_L'=0}\:=\:\frac{R_f A_d - R_o}{R_o + R_f}
\]

Dalla maglia di sinistra otteniamo poi:
\[
\left(\frac{v_d}{v_i}\right)_{v_L'=0}\:=\:\frac{R_i}{R_s + R_i + R_f}
\]

e quindi:
\[
\left(\frac{v_L}{v_i}\right)_{v_L'=0}\:=\:\frac{R_f A_d - R_o}{R_o + R_f} \frac{R_i}{R_s + R_i + R_f}
\]


Se ora facciamo l'approssimazione:
\[
R_o \ll R_f
\]
\[
R_f + R_s \ll R_i
\]
si ottiene:
\[
A_o\:=\:\left(\frac{v_o}{v_i}\right)_{v_L'=0}\:\approx\:A_d
\]

(guadagno a catena aperta)

Il guadagno di maglia $A_d \beta$  pu\'o esser ottenuto dal circuito equivalente di figura~\ref{feedback_ampli_non_invert_equb}:


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=feedback_ampli_non_invert_equb.eps,width=10.0 cm,
height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{feedback_ampli_non_invert_equb}
\end{figure}

Con riferimento ai componenti indicati in figura, otteniamo per il prodotto $A_d \beta$, definito al
solito come:
\[
A_d \beta\:\equiv\:\left(\frac{v_L}{v_L'}\right)_{v_i=0}
\]
\[
A_d \beta\:=\:\frac{v_L}{v_d} \frac{v_d}{v_L'}\:=\:\frac{R_f A_d - R_o}{R_o + R_f} \left(\frac{-R_i}{R_s+R_i+R_f}\right)
\]

che, nella medesima approssimazione gi\'a adottata in precedenza \'e uguale a $-A_d$.

Il guadagno con reazione sar\'a allora:
\[
A_r \:=\: \frac{v_L}{v_i}\:=\:\frac{A_o}{1 - A_d \beta}\:=\:\frac{A_d}{1 + A_d}
\]

Se nell'esempio fatto avessimo avuto un feedback $v_L'=kv_L$  (anzich\'e $v_L'=v_L$) avremmo trovato:
\[
A_r\:=\:\frac{A_d}{1 + k A_d}
\]
 

che tende ad $1/k$ per $A_d$ molto grande.


\section{Risposta in frequenza di un amplificatore con feedback}

L'introduzione della reazione negativa in un amplificatore modifica la risposta in 
frequenza nel senso di ampliare la banda passante. Vediamo brevemente come ci\'o 
avvenga.

Ammettiamo che la risposta in frequenza dell'amplificatore non reazionato sia del tipo:
\begin{equation}
A(s)\:=\:\frac{A_o}{1 + s/\omega_1}  \label{risposta_in_frequenza_a}
\end{equation}

dove abbiamo adoperato la variabile complessa s al posto di $\omega$. Tale risposta, nel campo 
della variabile $\omega$, \'e del tipo mostrato in figura~\ref{risposta_in_frequenza_uno} 
(plot di Bode per il modulo di A(s)).

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=risposta_in_frequenza_uno.eps,width=12.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{risposta_in_frequenza_uno}
\end{figure}

La risposta reale \'e quella descritta dalla curva tratteggiata. Le rette a tratto continuo 
indicano l'andamento asintotico per $\omega \ll \omega_1$  e per $\omega \gg \omega_1$. 
Nel primo caso la risposta \'e una costante $|A(s)|=A_o$; nel secondo si ha un'andamento decrescente, 
ad un rate di 6~dB/ottava.
 
Tale amplificatore \'e chiaramente un passa-basso, con una pulsazione di taglio superiore
$\omega=\omega_1$. (Per $\omega = \omega_1$ la risposta reale \'e dimezzata rispetto al valore a bassa frequenza).

Vediamo ora cosa accade se introduciamo un feedback negativo, caratterizzato da un 
coefficiente $\beta$  che non dipenda dalla frequenza.
Il guadagno sar\'a  ora dato da:
\[
A_f(s)\:=\:\frac{A(s)}{1 + \beta A(s)}\:=\:\frac{A_o}{(1 + s/\omega_1)+ \beta A_o}\:=
\]
\[
=\:\frac{A_o}{(1 + \beta A_o)\left(1 + \frac{s}{\omega_1(1 + \beta A_o)}\right)}
\]


Questa pu\'o esser concisamente riscritta come:
\begin{equation}
A_f(s)\:=\:\frac{A_{of}}{1 + s/\omega_{1f}}     \label{risposta_in_frequenza_b}
\end{equation}

dove:
\[
A_{of}\:=\:\frac{A_o}{1 + \beta A_o}
\]
\[
\omega_{1f}\:=\:\omega_1 (1 + \beta A_o)
\]


Vediamo dal confronto tra la~\ref{risposta_in_frequenza_a} e la~\ref{risposta_in_frequenza_b} che 
il guadagno $A_o$  \'e ridotto del noto fattore $1 + \beta A_o$, mentre al posto della 
pulsazione di taglio $\omega_1$ ora compare $(1+\beta A_o) \omega_1$. La pulsazione di 
taglio \'e quindi ora $(1+\beta A_o)$ volte pi\'u grande di quella che si aveva in assenza di 
feedback. La banda passante si \'e cio\'e allargata. 
Il nuovo andamento di $|A|_{dB}$  \'e confrontato con quello senza feedback in figura~\ref{risposta_in_frequenza_due}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=risposta_in_frequenza_due.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{risposta_in_frequenza_due}
\end{figure}

Notiamo che, come \'e chiaro dall'equazione~\ref{risposta_in_frequenza_b}, la pendenza della 
retta che descrive l'andamento asintotico a frequenze angolari $\omega \ll \omega_1$ \'e sempre 
di 6~dB/ottava.


Notiamo inoltre che:
\[
A_{of} \omega_{1f}\:=\:A_o \omega_1
\]

Cio\'e che il prodotto del guadagno (a bassa frequenza) per la larghezza di banda \'e una 
costante. Se quindi cerchiamo di allargare la banda passante di un amplificatore, 
attraverso l'introduzione di una reazione negativa, automaticamente riduciamo il 
guadagno, del medesimo fattore di cui abbiamo allargato la banda. Per tale motivo \'e 
uso comune esprimere la bont\'a di un amplificatore  fornendo quello che \'e noto come 
il ''gain-bandwidth product'', cio\'e il prodotto del guadagno per la banda passante.

Identiche considerazioni potrebbero essere svolte per un amplificatore la cui risposta
in frequenza abbia un taglio \emph{inferiore} $\omega_0$ anzich\'e un taglio superiore
$\omega_1$, o anche un taglio superiore ed uno inferiore. In tutti i casi, l'introduzione
del feedback allarga la banda passante e riduce il guadagno.
\newpage


