\chapter{Caratteristiche dei FET ed amplificatori a FET}
\section{Introduzione}

In questo capitolo discuteremo alcuni semplici esempi dell'uso dei FET come amplificatori. Analizzeremo
in particolare la scelta del punto di lavoro e delle reti di polarizzazione, il calcolo della risposta
per piccoli segnali, a basse frequenze ed infine i limiti posti dalle capacit\'a parassite e da
quelle di accoppiamento sulla banda passante. 

Anche se le considerazioni che faremo saranno limitate ai JFET, che sono dei tipici dispositivi a
svuotamento, queste possono facilmente essere generalizzate al caso dei MOSFET, sia a svuotamento
che ad arricchimento. Nel seguito di questo capitolo adopereremo il termine FET per JFET.

Per una trattazione pi\'u dettagliata dell'argomento, si consulti le referenze~(\cite{Horowitz}),(\cite{schilling-belove}),(\cite{Jmillman}),(\cite{rashid}).

\section{Caratteristiche dei FET}

Le curve caratteristiche di un tipico FET a canale n sono mostrate in figura~\ref{jfet_characteristics}
dove v\'a notato che, per un dispositivo a svuotamento quale il JFET, $V_{gs}$ deve esser negativo.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=jfet_characteristics.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{jfet_characteristics}
\end{figure}

I punti indicati con la labels A,B,C,.., sono i punti di \emph{pinchoff} corrispondenti ai vari
valori di $V_{GS}$. 

La zona di saturazione inizia per $V_{DS}=V_A$ se $V_{GS}=0$, per $V_{DS}=V_B$   
se $V_{GS}=V_1$, etc..


La caratteristica che esprime l'andamento di $I_D$ in funzione di $V_{GS}$ nella zona di 
saturazione \'e mostrata in figura~\ref{fet_id_vgs_characteristic}.


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_id_vgs_characteristic.eps,width=9.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_id_vgs_characteristic}
\end{figure}

Questa \'e a volte espressa analiticamente nella forma:
\begin{equation}
I_{DS}\:=\:I_{DSS}\left[1 + 3 \frac{V_{GS}}{V_{P0}}+2 \left(-\frac{V_{GS}}{V_{P0}}\right)^{3/2}\right] \label{fet_eq_2}
\end{equation}


che \'e spesso approssimata con un andamento quadratico:
\begin{equation}
I_{DS}\:=\:I_{DSS}\left(1 + \frac{V_{GS}}{V_{P0}}\right)^n  \label{fet_eq_3}
\end{equation}
con $n \approx 2$.

Come sappiamo, un FET \'e un dispositivo che controlla una corrente (la corrente nel 
canale, $I_{DS}$)mediante una tensione (la differenza di potenziale $V_{GS}$ tra gate e source). 
Un parametro importante \'e quindi la transconduttenza $g_m$:
\begin{equation}
g_m\:\equiv\:\frac{\Delta I_{DS}}{\Delta V_{GS}} \label{fet_eq_4}
\end{equation}

Facendo uso dell'ultima equazione (con n=2) si trova:
\begin{equation}
g_m\:=\:-\frac{2}{V_{P0}}\sqrt{I_{DS} I_{DSS}} \label{fet_eq_5}
\end{equation}

La corrente $I_{DS}$ nella zona di saturazione non \'e rigorosamente costante per $V_{GS}$ fissato, 
ma dipende leggermente~\footnote{Ci\'o \'e analogo a quanto accade nel caso dei transistor bipolari, a causa dell'effetto ''Early''} anche da $V_{DS}$. Scriveremo allora:
\[
I_D\:\equiv\:I_{DS}\:=\:f\left(V_{GS},V_{DS}\right)
\]
e, per piccole variazioni di $V_{GS}$  e $V_{DS}$:
\[
\delta I_D\:=\:\frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}} \delta V_{GS}\:+\:\frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}} \delta V_{DS}
\]
cio\'e, indicando con lettere minuscole le componenti variabili di correnti e tensioni:
\begin{equation}
i_d\:=\:g_m v_{gs} + g_d v_{ds} \label{fet_eq_6}
\end{equation}

dove:
\begin{equation}
g_d\:=\:\frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}} \label{fet_eq_7}
\end{equation}

\'e la conduttanza differenziale del canale nella zona di saturazione: $g_d=1/r_d$.

Valori tipici di $g_m$   ed $r_d$  sono:
\[
g_m \:\approx \:3\;mS
\]
\[
r_d\:\approx \:100\;k\Omega
\]

Spesso $r_d$  \'e cos\'i elevato da poter esser trascurato.

Confrontiamo la~\ref{fet_eq_6} con l'analoga equazione per il transitor bipolare:
\[
i_c\:=\:h_{fe} i_b + h_{oe} v_{ce}
\]
con:
\[
v_{be}\:=\:h_{ie} i_b
\]
da cui:
\[
i_c\:=\:\frac{h_{fe}}{h_{ie}}v_{be} + h_{oe} v_{ce}
\]
vediamo che il parametro $h_{fe}/h_{ie}$ del transitor bipolare corrisponde al $g_m$ del JFET, mentre    
$h_{oe}$ corrisponde a $g_d$.

Il $g_m$ tipico del FET \'e $(1-5)\,mS$, mentre il parametro $h_{fe}/h_{ie}$ del transitor 
bipolare vale $(40-400)\,mS$.


\section{Circuito equivalente del FET}

L'equazione~\ref{fet_eq_6} della sezione precedente porta in modo immediato al circuito 
equivalente di figura~\ref{fet_circuito_equiv_a}.


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_circuito_equiv_a.eps,width=7.0 cm,
height=3 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_circuito_equiv_a}
\end{figure}

Notiamo che l'impedenza d'ingresso \'e effettivamente infinita, il che \'e rappresentato 
dal gate che risulta isolato nello schema equivalente.
Usando poi il teorema di Thevenin, possiamo sostituire, come mostrato in
figura~\ref{fet_circuito_equiv_b}, al generatore dipendente di 
corrente, in parallelo con la resistenza $r_d$, un generatore di tensione, $-\mu v_{gs}$, 
in serie con $r_d$.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_circuito_equiv_b.eps,width=7.0 cm,
height=3.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_circuito_equiv_b}
\end{figure}

Il parametro $g_d=1/r_d$   \'e noto come ''conduttanza di drain'' o ''conduttanza d'uscita''.
Il parametro $\mu$ \'e anche uguale a:
\[
\mu\:=\:\frac{\partial V_{DS}}{\partial V_{GS}}|_{I_{DS}=cost.}
\]



\section{Schemi di polarizzazione per il FET}

Uno schema tipico in cui un FET a canale  n  viene adoperato come amplificatore \'e 
quello mostrato in figura~\ref{fet_ampli_a}. 

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_ampli_a.eps,width=5.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_ampli_a}
\end{figure}

Le resistenze $R_g$ ed $R_s$ servono a tenere il gate ad una tensione negativa rispetto al
source.
Indicando con $I_D=I_{DS}$ la corrente quiescente nel FET, si ha infatti:

\begin{equation}
V_{GS} \:=\: V_G - V_S \:=\: -R_S I_D  \label{fet_eq_8}
\end{equation}

\'E anche:

\begin{equation}
V_{DD}\:=\:R_d I_D + V_{DS} + R_s I_D \:=\: \left(R_d + R_s \right) I_D + V_{DS}  \label{fet_eq_9}
\end{equation}


Il condensatore C \'e un corto circuito per la componente variabile, mentre \'e un 
interruttore aperto per la corrente che polarizza il source.

Se sono dati $V_{DD}$, $R_d$, $R_s$, $R_g$, \'e immediato trovare il punto di lavoro, 
facendo uso delle caratteristiche di uscita o dell'espressione analitica di $I_D$ vs $V_{GS}$:

\begin{equation}
I_D\:=\:I_{DS}\:=\:I_{DSS}\left(1 - \frac{V_{GS}}{V_{P0}}\right)^2  \label{fet_eq_10}
\end{equation}


Infatti, dall'equazione~\ref{fet_eq_8} si ha: $I_D=-V_{GS}/R_s$ e, uguagliando questa al 
secondo membro della~\ref{fet_eq_10}, si ottiene:
\[
I_{DSS}\left(1 - \frac{V_{GS}}{V_{P0}}\right)^2\:=\:-\frac{V_{GS}}{R_s}
\]

che \'e un'equazione quadratica nella variabile $V_{GS}$. Risolta tale equazione 
si ottiene $V_{GS}$.
Noto cos\'i $V_{GS}$, $I_D$ si ottiene facendo uso della~\ref{fet_eq_10} e $V_{DS}$ facendo uso della~\ref{fet_eq_9}.

Consideriamo il seguente esempio:
\[
V_{DD}=15\;V\;\;,\;\;R_d=620 \; \Omega\;\;,\;\;R_s = 380 \; \Omega
\]
\[R_g = 10\;M\Omega\;\;,\;\;I_{DSS} = 13\;mA\;\;,\;\;V_{P0} = -4.4\; V
\]

Troviamo facilmente:
\[
V_{GS}\:=\:-1.77\;V
\]

da cui:
\[
I_D \:=\:4.65 \;mA
\]

ed infine:
\[
V_{DS}\:=\:V_{DD}-(R_d + R_s) I_D \:=\:10.35 V
\]

Allo stesso risultato si potrebbe arrivare, fissati i valori dei componenti, facendo 
uso delle caratteristiche di uscita, mostrate in figura~\ref{jfet_retta_di_carico}.


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=jfet_retta_di_carico.eps,width=12.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{jfet_retta_di_carico}
\end{figure}

Il valore di $V_{DD}$ fissa il punto della retta di carico corrispondente a $I_D=0$, mentre 
il rapporto tra $V_{DD}$ ed ($R_d+R_s$) fissa il punto corrispondente a $V_{DS}=0$.

Il punto di lavoro Q sar\'a il punto d'intersezione tra la retta di carico e la curva 
caratteristica per la quale risulti essere:
\[
I_D\:=\:-\frac{V_{GS}}{R_s}
\]


Esaminiamo come secondo esempio il seguente.

Si vuol calcolare la rete di polarizzazione di un J-FET a canale n (BFW10) tale che il 
punto di riposo abbia:
\[
I_{DSQ}\:=\:6\;mA\;\;,\;\;V_{DSQ}\:=\:10\;V\;\;,\;\;V_{DD}\:=\:20\;V
\]

I parametri $I_{DSS}$  e $V_{P0}$, forniti dal costruttore, sono:

\[
I_{DSS}\:=\:13\;mA\;\;,\;\;V_{P0}\:=\:-4.5\;V
\]


Il circuito di polarizzazione \'e il medesimo usato nell'esempio precedente. Calcoliamo 
ora i valori dei componenti. Dall'espressione analitica di $I_D$ vs $V_{GS}$, troviamo:
\[
V_{GS} \:=\: V_{P0} \left( 1 - \sqrt{\frac{I_D}{I_{DSS}}}\right)
\]
cio\'e:
\[
V_{GSQ}\:=\:V_{P0} \left(1 - \sqrt{\frac{I_{DQ}}{I_{DSS}}}\right)
\]

che, con i valori numerici dati, fornisce:
\[
V_{GSQ}\:=\:-4.5 \left(1 - \sqrt{\frac{6}{13}}\right)\:=\:-1.44\;V
\]

Con tale valore di $V_{GSQ}$  troviamo:
\[
R_s\:=\:-\frac{V_{GSQ}}{I_{DQ}}\:=\:250 \; \Omega
\]
\[
R_d\:=\:\frac{V_{DD}-V_{DSQ}-R_s I_{DQ}}{I_{DQ}}\:=\:\frac{20 - 10 - 0.25 \cdot 6}{6}\:\approx\:1.4 \;k\Omega
\]

Il valore della resistenza $R_g$  non \'e molto importante.
Esso pu\'o essere scelto in modo da ottimizzare il valore della resistenza d'ingresso 
dell'amplificatore.

Teniamo ora conto del taglio in frequenza posto dalla presenza del condensatore 
C. La costante di tempo associata al sistema $R_s C$:
\[
\tau\:=\:R_s C \:=\:250 \,C
\]

corrispondente ad una frequenza $f_{min}=1/(2 \pi \tau)$.

Se si vuole adoperare l'amplificatore a frequenze $f$ maggiori di $40\,Hz$, dovremo avere:

\[
40 > \frac{1}{2 \pi \tau}\:=\:\frac{1}{1500 C}
\]
da cui:

\[
C > \frac{1}{40 \cdot 1500}\:\approx\:16\,\mu F
\]


Per calcolare i valori dei componenti necessari per polarizzare un FET, \'e possibile 
alternativamente far uso della caratteristica mutua ($I_{DS}-V_{GS}$).

Consideriamo ad esempio il caso di un FET per il quale, dalla caratteristica mutua, si 
possa desumere che per il valore di $I_{DSQ}$ voluto ($10  mA$) sia $V_{GS}=-1V$. 
Se inoltre si vuole $V_{DSQ}=10V$  e $V_{DD}=20V$, dalle solite equazioni~\ref{fet_eq_8} e~\ref{fet_eq_9} si trova:
\[
R_s\:=\:100\,\Omega
\]
\[
R_d\:=\:900 \, \Omega
\]


Uno schema di polarizzazione alternativo \'e quello che usa un partitore sul gate, come 
mostrato in figura~\ref{fet_ampli_b}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_ampli_b.eps,width=5.3 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_ampli_b}
\end{figure}

Si supponga di voler far uso di un J-FET a canale n BF256B, la cui caratteristica di 
trasferimento \'e mostrata in figura~\ref{fet_id_vgs_retta}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_id_vgs_retta.eps,width=10.0 cm,
height=6.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_id_vgs_retta}
\end{figure}

Si sia inoltre scelto:
\[
R_s=1\,k\Omega\;\;,\;\;R_d=3\,k\Omega\;\;,\;\;R_1+R_2=2\,M\Omega\;\;,\;\;V_{DD}=25\,V
\]

e fissato $V_G$  a $+2\,V$.
Dalla maglia d'ingresso si ha:

\begin{equation}
V_{GS}\:=\:V_G - R_s I_D  \label{fet_eq_11}
\end{equation}

dove:
\[
V_G\:=\:\frac{R_2}{R_1+R_2} V_{DD}
\]

da cui:
\[
R_2\:=\:(R_1 + R_2) \frac{V_G}{V_{DD}}\:=\:160\,k \Omega
\]

Per cui:
\[
R_1= 2\, M\Omega - R_2 = 1840 \, k\Omega
\]


Tracciamo ora sulla caratteristica, la retta di carico data dalla~\ref{fet_eq_11}. 
Questa passa per i punti ($0, V_G/R_s$)   e ($V_G, 0$);  cio\'e, nel nostro caso, 
per i punti: (0, 2 mA)   e (2V, 0). Le coordinate del punto d'intersezione con la 
caratteristica mutua sono:
\[
I_{DQ}=3.5 \,mA
\]
\[
V_{GSQ}=-1.5 \, V
\]


Si ha poi per la tensione di drain:
\[
V_{DSQ}\:=\:V_{DD}-(R_d + R_s) I_{DQ}\:=\:25 - (3+1) \,3.5 \,V\:=\:11\,V
\]

Al medesimo risultato si sarebbe potuti arrivare facendo uso delle caratteristiche ''di 
drain'' ($I_{DS}, V_{DS}$)  anzich\'e di quelle di trasferimento.


\section{Amplificatori a FET}

Il parametro pi\'u importante nel calcolare la risposta di un FET adoperato come 
amplificatore \'e la transconduttanza $g_m$. Abbiamo gi\'a visto (equazione~\ref{fet_eq_5}) 
che essa \'e data da:
\[
g_m\:=\:-\frac{2}{V_{P0}}\sqrt{I_{DS} I_{DSS}}
\]

Se ora definiamo:
\[
g_{m0}\:=\:g_m(I_{DS}=I_{DSS}) \:=\:-\frac{2}{V_{P0}}I_{DSS}
\]

avremo:
\begin{equation}
g_m \:=\: g_{m0} \sqrt{\frac{I_{DS}}{I_{DSS}}}  \label{fet_eq_12}
\end{equation}

o, alternativamente:
\begin{equation}
g_m\:=\:g_{m0}\left( 1 - \frac{V_{GS}}{V_{P0}}\right)  \label{fet_eq_13}
\end{equation}

Vediamo cos\'i che la transconduttanza aumenta come la radice quadrata di $I_{DS}$.

Facciamo ora uso del modello del FET discusso in precedenza per calcolare il 
guadagno in tensione di un amplificatore a FET come quello mostrato in figura~\ref{fet_ampli_c}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_ampli_c.eps,width=8.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_ampli_c}
\end{figure}

Se ammettiamo di potere, alle frequenze di lavoro, assimilare tutti i condensatori a dei 
cortocircuiti, lo schema equivalente utile per il calcolo del guadagno in tensione, definito
come il rapporto tra $v_{ds}$ e $v_{gs}$, \'e quello di
figura~\ref{fet_circuito_equiv_c}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_circuito_equiv_c.eps,width=8.0 cm,
height=3.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_circuito_equiv_c}
\end{figure}


Da questo si ottiene:

\[
i_d\:=\:g_m v_{gs} + g_d v_{ds}
\]
\[
v_{ds}\:=\:-R_d i_d
\]
con: $g_d=1/r_d$.

da cui:
\[
v_{ds}\:=\:-R_d g_m v_{gs} - R_d g_d v_{ds}
\]
\[
v_{ds}\left(1 + R_d g_d \right) \:=\:-R_d g_m v_{gs}
\]

ed infine:

\begin{equation}
A_v\:\equiv \:\frac{v_{ds}}{v_{gs}}\:=\:-\frac{R_d g_m}{1+R_d g_d}  \label{fet_eq_14}
\end{equation}

Essendo poi:

\[
1 + R_d g_d = 1 + R_d /r_d = \frac{r_d+R_d}{r_d}
\]

il guadagno $A_v$  pu\'o anche essere espresso come:

\begin{equation}
A_v\:\equiv \:-\frac{g_m R_d r_d}{R_d + r_d}\:=\:-g_m R^*_d  \label{fet_eq_15}
\end{equation}

dove $R^*_d$  \'e il parallelo di $R_d$  ed $r_d$. 

Il circuito d'uscita pu\'o quindi essere schematizzato come un generatore di tensione 
pari a $-g_m R^*_d v_{gs}$  in serie con la resistenza $R^*_d$, come
mostrato in figura~\ref{fet_circuito_equiv_d}:


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_circuito_equiv_d.eps,width=8.0 cm,
height=3.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_circuito_equiv_d}
\end{figure}

dove abbiamo anche specificato la resistenza di polarizzazione sul gate e 
l'eventuale carico $R_L$.

Se ad esempio ammettiamo di far uso di un FET con $g_m=2\,mS$ ed una resistenza di drain 
$R_d=10\,k\omega$, avremo un guadagno in tensione di 20.

Calcoliamo ora l'impedenza d'uscita di questo amplificatore. Per farlo usiamo la 
definizione:
\[
Z_{out}\:=\:\frac{v_{out\,(circuito \,aperto)}}{i_{out\,(corto \, circuito)}}
\]

dove:
\[
v_{out\,(circuito \,aperto)}\:=\:\left[-\frac{R_d g_m}{1+R_d g_d}\right]_{R_d=\infty} v_{gs}\:
=\:-\frac{g_m}{g_d} v_{gs}
\]

e:
\[
i_{out\,(corto \, circuito)}\:=\:-g_m v_{gs}
\]

Ne segue:
\[
Z_{out}\:=\:\frac{1}{g_d}\:=\:r_d
\]


\section{Inseguitore di source}

Il circuito di figura~\ref{fet_follower_a}, analogo all'inseguitore di emettitore, \'e un inseguitore di source. 

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_follower_a.eps,width=8.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_follower_a}
\end{figure}

La relazione tra segnale in uscita e segnale in ingresso \'e ottenibile facilmente se si 
ricorda che:
\[
i_d\:=\:i_s\:=\:g_m v_{gs}
\]


Essendo poi: 
\[
v_{out}\:=\:R_s i_s \:=\:R_s g_m v_{gs}
\]

e:
\[
v_{gs}\:=\:v_{in}-v_{out}
\]

si ha:
\[
v_{out}\:=\:R_s g_m v_{in}- R_s g_m v_{out}
\]

da cui:

\[
v_{out}\left(1 + R_s g_m \right) \:=\:R_s g_m v_{in}
\]

ed infine:
\begin{equation}
A_v\:\equiv \: \frac{v_{out}}{v_{in}}\:=\:\frac{R_s g_m}{1 + R_s g_m}\: \approx \: 1  \label{fet_eq_16}
\end{equation}

poich\'e  $R_s g_m \gg 1$ (in realt\'a questa disuguaglianza non \'e sempre vera: se $R_s=1\,k\Omega$
e $g_m = 3 mS$ segue che $R_s g_m = 3$).

Consideriamo ad esempio un amplificatore che adopera un FET 2N3819, con:
\[
g_m \:=\:2 mA/V
\]
\[
R_s = 4.7 \,k\Omega
\]

Si trova:
\[
A_v\:=\:\frac{9.4}{10.4}\:\approx \:0.9
\]

L'impedenza d'ingresso dell'inseguitore di source \'e determinata essenzialmente da $R_g$, 
che pu\'o esser scelto di valore molto alto ($> 20\,M\Omega$). L'impedenza d'uscita \'e 
ottenibile dalla definizione:
\[
R_{out}\:=\:\frac{v_{out\,(circuito\, aperto)}}{i_{out\,(circuito\, chiuso)}}
\]

in questa espressione, il numeratore \'e:
\[
v_{out}\:=\:A_v v_{in}\:=\:\frac{R_s g_m}{1 + R_s g_m} v_{in}
\]

mentre il denominatore \'e semplicemente: $g_m v_{in}$.

Si ha cio\'e:
\begin{equation}
R_{out}\:=\:\frac{R_s g_m}{(1 + R_s g_m) g_m} \:\approx \: \frac{1}{g_m}  \label{fet_eq_17}
\end{equation}

Nell'esempio fatto, $R_{out}=1/(2 mA/V)\:=\:500\, \Omega$.

Negli esempi visti, l'impedenza d'ingresso dell'amplificatore a FET \'e ridotta, rispetto 
all'impedenza della giunzione di gate, dalla presenza delle resistenze di polarizzazione. 
Un fenomeno analogo si incontra nell'amplificatore a transistor bipolare, dove, peraltro, 
l'impedenza d'ingresso ''intrinseca'' non \'e altrettanto elevata.

Un metodo per ridurre l'effetto della resistenza di polarizzazione nell'inseguitore di 
source \'e quello noto come ''bootstrap'', di cui un esempio \'e quello di figura~\ref{fet_follower_b}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_follower_b.eps,width=7.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_follower_b}
\end{figure}

Prima di esaminare quantitativamente il problema, vediamo di capire intuitivamente 
ci\'o che, in tale circuito, causa l'aumento dell'impedenza d'ingresso.
La tensione del source, come sappiamo, ''insegue'' quella del gate. La tensione del punto 
P, se  $R_{s1}$ \'e piccola rispetto ad $R_{s2}$, ''insegue'' anch'essa la tensione 
di gate. La corrente  i  che attraversa la resistenza $R_g$  \'e pari alla differenza 
di potenziale ai suoi capi divisa per $R_g$. 
Ora, la differenza di potenziale ai capi di $R_g$, per l'effetto di ''inseguimento'' menzionato, 
\'e molto piccola: se $v_g$  aumenta, cos\'i fa anche $v_p$; di conseguenza il rapporto $v_g/i$, 
che \'e appunto la resistenza vista guardando dal gate verso massa, sar\'a grande. Vediamolo 
ora quantitativamente. La tensione del punto P \'e:
\[
v_p\:=\:\frac{R_{s2}}{R_{s1}+R_{s2}} v_s
\]
mentre \'e:

\[
R_g i \:=\: v_g - v_p \:=\:v_g - \frac{R_{s2}}{R_{s1}+R_{s2}} v_s
\]

L'impedenza ''effettiva'' di $R_g$ \'e allora:
\[
Z_{eff}\:=\:\frac{v_g}{i}\:=\:\frac{v_g}{\frac{v_g}{R_g}-\frac{R_{s2}}{R_{s1}+R_{s2}}\frac{v_s}{R_g}}\:=\:
\frac{R_g}{1 - \frac{R_{s2}}{R_{s1}+R_{s2}}\frac{v_s}{v_g}}
\]

Sostituiamo ora al rapporto $v_s/v_g$ la sua espressione data dalla~\ref{fet_eq_16}. 
Troviamo:
\[
Z_{eff}\:=\:\frac{R_g}{1 - \frac{R_{s2}g_m }{1 + (R_{s1}+R_{s2})g_m}}\:\approx \:
\frac{R_g}{1 - \frac{R_{s2}}{R_{s1}+R_{s2}}}\:=\:R_g \left( \frac{R_{s1}+R_{s2}}{R_{s1}} \right)
\]

Vediamo cos\'i che se $(R_{s1}+R_{s2})\gg R_{s1}$, si ha:
\[
Z_{eff} \gg R_g
\]



\section{Amplificatore a FET: struttura generale}

Abbiamo finora studiato le caratteristiche dell'amplificatore a FET nelle configurazioni 
source-comune o inseguitore~di~source. Nel primo caso la resistenza di source era 
''bypassata'' dal condensatore, nel secondo non c'era alcuna resistenza sul drain e 
mancava il condensatore.
Esaminiamo ora il caso generale in cui siano presenti sia $R_d$ che $R_s$ e che 
nessuna delle due abbia un condensatore in parallelo.

La struttura \'e quindi quella di figura~\ref{fet_general}. 
Il circuito equivalente utile per il calcolo del guadagno e delle impedenze d'uscita e d'ingresso \'e mostrato nella stessa figura


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_general.eps,width=10.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_general}
\end{figure}

$v_{o2}$ \'e l'uscita nel caso in cui si adoperi il circuito come inseguitore di source;    $v_{o1}$ quella relativa al caso in cui lo si adoperi come amplificatore common-source.
Abbiamo adoperato, nel circuito equivalente, il generatore dipendente di tensione: $\mu v_{gs}=g_m r_d v_{gs}$ in serie con $r_d$.

Dall'equazione della maglia d'uscita otteniamo:
\[
i_d \left(R_d + r_d + R_s \right)\:=\:\mu v_{gs}
\]

\[
v_{gs}\:=\:v_g - v_s\:=\:v_i - R_s i_d
\]

Da queste due equazioni segue:
\[
i_d \left(R_d + r_d + R_s \right)\:=\:\mu v_i - \mu R_s i_d
\]

da cui:
\[
i_d \:=\:\frac{\mu v_i}{R_d + r_d + R_s(1 + \mu)}
\]

La tensione in uscita sul drain \'e:

\begin{equation}
v_{o1}\:=\:-R_d i_d \:=\:-\frac{\mu R_d v_i}{R_d + r_d + R_s(1 + \mu)}  \label{fet_eq_18}
\end{equation}

La tensione in uscita sul source:
\begin{equation}
v_{o2}\:=\:R_s i_d \:=\:\frac{\mu R_s v_i}{R_d + r_d + R_s(1 + \mu)}  \label{fet_eq_19}
\end{equation}

Il guadagno in tensione relativo al primo caso (amplificatore source-comune con 
resistenza sul source) \'e allora:
\begin{equation}
A_{v1}\:=\:\frac{v_{o1}}{v_i}\:=\:-\frac{\mu R_d}{R_d + r_d + R_s(1 + \mu)}  \label{fet_eq_20}
\end{equation}


(dove $\mu \gg 1$).


Questa pu\'o esser riscritta, trascurando 1 rispetto a $\mu$ e sostituendo $\mu=g_m r_d$ 
nella forma:
\begin{equation}
A_{v1}\:=\: -\frac{g_m r_d R_d}{R_d + r_d + R_s(1 + \mu)} \:=\:- \frac{g_m R_{\parallel}}{1+g_m(R_s/R_d) R_{\parallel}} \label{fet_eq_21}
\end{equation}

dove:
\[
R_{\parallel} \:=\:\frac{r_d R_d}{r_d + R_d}
\]

Se \'e $g_m R_s/R_d R_{\parallel} \gg 1$, questa diventa $A_{v1}=-R-d/R_s$, cio\'e il guadagno
viene a dipendere solo dalle resistenze $R_d$ ed $R_s$ e non dal $g_m$ del FET. Ci\'o \'e analogo
a quel che si trova nel caso di un amplificatore a transistor bipolare con resistenza sull'emettitore.


Calcoliamo ora, per questa configurazione, l'impedenza d'uscita $R_{o1}'$. 
Ricorriamo alla definizione:
\[
R_{o1}'\:=\:\frac{v_{o1} \;_{(circuito\, aperto)}}{i_{o1} \,_{(circuito\, chiuso)}}
\]


dove $v_{o1} \;_{(circuito\, aperto)}$ \'e il segnale di tensione in uscita in assenza di
carico (a parte $R_d$), cio\'e:
\[
v_{o1} \;_{(circuito\, aperto)}\:=\:-\frac{\mu R_d v_i}{R_d + r_d + (1 + \mu) R_s}
\]

e la corrente in uscita $i_{o1} \,_{(circuito\, chiuso)}$ \'e ottenibile dal circuito
equivalente di figura, ponendo un corto in parallelo ad $R_d$. Si ottiene in tal modo:
\[
i_{o1} \,_{(circuito\, chiuso)}\:=\:-i_d\:=-\frac{v_{gs}}{r_d + R_s}
\]
con:
\[
v_{gs}\:=\:v_g - v_s\:=\:v_i - R_d i_d
\]
da cui si ottiene poi:


\[
i_{o1} \,_{(circuito\, chiuso)}\:=\:- i_d|_{R_d=0}\:=\:-\frac{\mu v_i}{r_d + R_s (1 + \mu)}
\]


Si ha cos\'i per l'impedenza d'uscita:

\begin{equation}
R_{o1}'\:=\:R_d \frac{r_d + R_s (1+ \mu)}{r_d + R_d + R_s(1 + \mu)}\:=\:
R_d \parallel(r_d + R_s(1+\mu))  \label{fet_eq_22}
\end{equation}


Si vede da quest'ultima espressione che la resistenza d'uscita $R_{o1}'$, calcolata 
senza tener conto di $R_d$  \'e:

\begin{equation}
R_{o1}\:=\:r_d + R_s (1 + \mu)  \label{fet_eq_23}
\end{equation}



Calcoliamo ora la resistenza d'uscita $R_{o2}'$.
\[
R_{o2}'\:=\:\frac{v_{o2} \;_{(circuito\, aperto)}}{i_{o2} \,_{(circuito\, chiuso)}}
\]

dove:
\[
v_{o2} \;_{(circuito\, aperto)}\:=\:\frac{\mu R_s v_i}{R_d + r_d + (1 + \mu)R_s}
\]
\[
i_{o2} \,_{(circuito\, chiuso)}\:=\:i_{o2}|_{R_s = 0}\:=\:\frac{\mu v_i}{R_d + r_d}
\]

da cui:

\begin{equation}
R_{o2}'\:=\:\frac{R_s (R_d + r_d)}{R_d + r_d + (1 + \mu)R_s}  \label{fet_eq_24}
\end{equation}


Il guadagno in tensione nella configurazione inseguitore di source (con resistenza sul 
drain) \'e (facendo uso della~\ref{fet_eq_19}):
\[
A_{v2}\:=\:\frac{v_{o2}}{v_i}\:=\:\frac{\mu R_s}{R_d + r_d + (1 + \mu) R_s}
\]


che per $R_d=0$ diventa:
\[
A_{v2}\:=\:\frac{\mu R_s}{r_d + (1 + \mu) R_s}\:\approx \:\frac{g_m r_d R_s}{r_d + g_m r_d R_s}
\]

Se ad esempio si sceglie:
\[
R_s=2\,k\Omega\;\;\;,\;\;\;R_d=1\,k\Omega\;\;\;,\;\;\;r_d=100\,k\Omega \;\;\;,\;\;\;g_m\:=\:3\,mS
\]

e quindi:
\[
\mu\:=\:g_m r_d \:=\:300
\]
Avremo:
\[
A_{v2}\:\approx\:0.85  \;\;,R_{o2}'\:\approx\:290\,\Omega
\]

\section{Risposta in frequenza di un amplificatore a FET}

Il guadagno dell'amplificatore a FET nella configurazione source-comune, calcolato in 
precedenza:
\[
A_v\:=\:-\frac{R_d r_d}{R_d + r_d} g_m \:=\:- g_m R^*_d
\]

\'e indipendente dalla frequenza. Ci\'o dipende dal fatto che si sono trascurate le 
capacit\'a presenti nel circuito. Queste comprendono sia la capacit\'a di accoppiamento, 
che le capacit\'a parassite interne al FET, nonch\'e quelle associate ai cavi che 
collegano il generatore dei segnali che si vogliono amplificare all'amplificatore stesso. 
L'effetto di tutte queste capacit\'a \'e quello di ridurre la banda passante e di far s\'i che 
essa assuma l'aspetto mostrato in figura~\ref{fet_bandwidth}, dove \'e riportato, in funzione di $\log(f)$, il rapporto $|v_{out}/v_{in}|$  espresso in decibel.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_bandwidth.eps,width=11.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_bandwidth}
\end{figure}


Vogliamo ora esaminare l'effetto delle varie capacit\'a e vedere come esse influiscano 
sulla banda passante. Il circuito base, mostrato in figura~\ref{fet_circuito_equiv_bwa}, 
presenta le seguenti capacit\'a:

\begin{itemize}
\item $C_o$: capacit\'a d'uscita del generatore
\item $r_s$: resistenza d'uscita del generatore
\item $C_f$: capacit\'a associata ai cavi di collegamento
\item $C_a$: condensatore d'accoppiamento
\item $C_{gs}$: capacit\'a parassita tra gate e source nel FET
\item $C_{gd}$: capacit\'a parassita tra gate e drain nel FET
\end{itemize}

Esaminiamo ora in dettaglio l'effetto di queste capacit\'a sulla banda passante, separatamente
per le alte e le basse frequenze.

\subsection{Risposta alle alte frequenze}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_circuito_equiv_bwa.eps,width=13.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_circuito_equiv_bwa}
\end{figure}

Cominciamo con l'esaminare la risposta del circuito ad alta frequenza, dove $C_a$  
pu\'o esser assimilata ad un corto-circuito. In tali condizioni, le capacit\'a $C_o$,
$C_f$, $C_{gs}$ risultano in parallelo, e possono esser sostituite da un'unica capacit\'a
$C_1$. Il circuito diventa allora quello di figura~\ref{fet_circuito_equiv_bwb}~(a).

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_circuito_equiv_bwb.eps,width=16.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_circuito_equiv_bwb}
\end{figure}



La resistenza $R_g$  \'e in genere molto grande e pu\'o quindi esser trascurata. Sostituiamo 
inoltre al FET il suo circuito equivalente, costituito da un generatore di tensione $-g_m R^*_d v_g$, 
in serie con la resistenza $R_d \parallel r_d \equiv R^*_d$. Si ottiene cos\'i lo schema di figura~\ref{fet_circuito_equiv_bwb}~(b).

Facciamo ora l'ulteriore approssimazione (che verificheremo tra poco) consistente nel trascurare la caduta ai capi di $R^*_d$.  
Ammettiamo cio\'e che sia $v_{out}=- g_m R^*_d v_g$. 
Il circuito si trasforma allora ulteriormente in quello di figura~\ref{fet_circuito_equiv_bwb}~(c)

Applichiamo ora il teorema di Miller, facendo uso dell'impedenza che collega i 
terminali d'uscita $v_{out}$  a quelli d'ingresso $v_g$. 
L'impedenza \'e quella costituita dalla serie di $C_{gd}$  ed $R^*_d$:

\[
Z\:=\:\frac{1}{j \omega C} + R^*_d \:=\:\frac{1 + j \omega R^*_d C}{j \omega C}
\]

dove abbiamo per brevit\'a di scrittura posto $C\equiv C_{gd}$. 
Il teorema di Miller d\'a il circuito di figura~\ref{fet_circuito_equiv_miller}, dove si \'e posto $K=-g_m\,R^*_d$   .

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_circuito_equiv_miller.eps,width=9.0 cm,
height=3.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_circuito_equiv_miller}
\end{figure}


Il guadagno in tensione \'e:

\begin{equation}
A_v\:=\:\frac{v_{out}}{v_{in}}\:=\:\frac{v_{out}}{v_{g}} \frac{v_{g}}{v_{in}}\:=\:
-g_m R^*_d \frac{v_{g}}{v_{in}} \label{fet_eq_25}
\end{equation}

Le impedenze $Z_1$  e $Z_2$ sono date da:
\[
Z_1\:=\:\frac{Z}{1-K}\:=\:\frac{1 + j\omega R^*_d C}{j \omega C (1 + g_m R^*_d)}
\]

\[
Z_2\:=\:\frac{ZK}{K-1}\:=\:\frac{(1 + j\omega R^*_d C)g_m R^*_d}{1 + g_m R^*_d}
\]

Facciamo ancora un'approssimazione (la cui validit\'a sar\'a verificata); ammettiamo che sia:
\[
R^*_d \ll \frac{1}{\omega C}
\]
cio\'e: $ \omega C R^*_d \ll 1$.

Con ci\'o $Z_1$  diventa:
\[
Z_1 \approx \frac{1}{j \omega C (1 + g_m R^*_d)}
\]

L'impedenza del parallelo $Z_1 \parallel C_1$ \'e allora:
\[
Z'\:=\:\frac{Z_1}{1 + j \omega C_1 Z_1}\:=\:\frac{1}{j \omega \left[C_1 + C(1 + g_m R^*_d)\right]}
\]

La relazione  tra $v_g$  e $v_{in}$  \'e quindi:
\[
v_g \:=\:v_{in}\frac{Z'}{r_s + Z'}\:=\:v_{in} \frac{1}{1+ j \omega r_s \left[C_1 + C(1 + g_m R^*_d)\right]}
\]
per cui:
\[
\frac{v_g}{v_{in}}\:=\:\frac{1}{1+ j \omega r_s \left[C_1 + C(1 + g_m R^*_d)\right]}
\]
Facendo uso della~\ref{fet_eq_25} si ottiene poi:
\[
A_v(\omega)\:=\:-\frac{g_m R^*_d}{1+ j \omega r_s \left[C_1 + C(1 + g_m R^*_d)\right]}
\]

Ponendo $A_o=g_m R^*_d$ (guadagno a centro banda), questa pu\'o essere riscritta nella forma:

\begin{equation}
A_v(\omega) \:=\:-\frac{A_o}{1+ j \omega r_s \left[C_1 + C(1 + A_o)\right]} \label{fet_eq_26}
\end{equation}

Vediamo cos\'i che la capacit\'a  $C=C_{gd}$ risulta moltiplicata per il fattore $1+A_o$, che 
\'e in genere grande. 
Ci\'o \'e conseguenza dell'effetto Miller. I FET sono normalmente costruiti in modo che la capacit\'a
$C_{gd}$ (indicata in letteratura come $C_{rss}$) sia minore di $C_{gs}$ (con il simbolo
$C_{iss}$ viene indicata la somma $C_{gd}+C_{gs}$). Valori tipici di $C_{rss}$ per i FET sono nel range (1-15)~pF mentre per $C_{iss}$ troviamo valori nel range (3-70)~pF~\footnote{Sia $C_{gd}$ che $C_{gs}$
dipendono molto dalla differenza di potenziale $V_{DS}$ e decrescono all'aumentare di questa, per
rimanere appossimativamente costanti per valori di $V_{DS}$ maggiori di (10-15)~V}.

Il modulo di $A_v$  dipende da $\omega$  come:

\begin{equation}
|A_v(\omega)|\:=\:\frac{A_o}{\sqrt{1 + \left(\omega/\omega_U\right)^2}} \label{fet_eq_27}
\end{equation}

con:
\begin{equation}
\omega_U\:=\:\frac{1}{r_s \left[C_1 + C (1 + A_o)\right]}  \label{fet_eq_28}
\end{equation}


Per valori di $C_{gd}$, $C_{gs}$  ed $r_s$:

\[
C_{gd}=2\,pF
\]
\[
C_{gs}=4\,pF
\]
\[
r_s=10\,\Omega
\]

e per un guadagno a centro banda $A_o=20$, troviamo (ammettendo di poter 
trascurare $C_1$):
\[
\omega_U\:=\:\frac{1}{10 \left[2 \cdot 10^{-12} \cdot 21 \right]}\:\approx \:2.38\cdot 10^9\;s^{-1}
\]

cio\'e:
\[
f_U\:=\:\frac{\omega_U}{2 \pi}\:=\:379\,MHz
\]

L'andamento di $|A_v|$ (in dB) in funzione della frequenza f \'e mostrato, per un tipico amplificatore
a FET, in figura~\ref{fet_bandwidth_high}. 

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_bandwidth_high.eps,width=12.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_bandwidth_high}
\end{figure}



Il valore di $f_U$ per tale amplificatore \'e di~26~MHz. A tale frequenza il guadagno si \'e
ridotto di~3~dB rispetto al valore che esso ha a centro banda.

La frequenza $f_U$ (26~MHz nel nostro esempio) definisce il taglio superiore della 
banda passante dall'amplificatore.

Dalla definizione~\ref{fet_eq_28} di $\omega_U$ segue che, per aumentare la banda passante occorre:
\begin{itemize}
\item diminuire $A_o$
\item diminuire $r_s$ 
\item diminuire $C_1$
\item diminuire $C_{gd}$
\end{itemize}

Vediamo che diminuire quest'ultimo parametro \'e particolarmente importante 
poich\'e esso compare moltiplicato per $A_o$.

Un aumento del guadagno $A_o$ a frequenze intermedie si accompagna 
ad una riduzione della banda passante. Si definisce quindi un fattore di merito 
dell'amplificatore:
\[
F\:=\:A_o f_U
\]

Cio\'e:
\[
F\:=\:\frac{A_o}{2 \pi r_s \left[C_1 + (1+A_o) C_{gd}\right]}
\]

A parit\'a di F, un aumento di un fattore 10 nel guadagno $A_o$ si accompagna (all'incirca) 
ad una riduzione di un fattore 10 nella banda passante.

L'effetto della capacit\'a interna al FET tra gate e drain ($C_{gd}$) \'e mostrato in 
figura~\ref{fet_bandwidth_vs_cgd}. Si vede chiaramente che, all'aumentare di $C_{gd}$
tra 1~pF e 40~pF la frequenza di taglio superiore scende da 220~MHz a 5.5~MHz.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_bandwidth_vs_cgd.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_bandwidth_vs_cgd}
\end{figure}

Verifichiamo ora, con un esempio numerico, la validit\'a delle approssimazioni fatte.

La prima delle approssimazioni \'e consistita nel trascurare (vedi figura~\ref{fet_circuito_equiv_bwb})
la caduta di potenziale ai capi di $R^*_d$ rispetto al potenziale del generatore dipendente $-g_m R^*_d v_g$. La seconda nel trascurare la caduta di potenziale ai capi di $R^*_d$ rispetto a quella ai
capi della capacit\'a $C_{gd}$.

Ammettiamo che sia:
\[
g_m=2\,mS\;\;,\;\;R^*_d=2\,k\Omega \;\;,\;\;v_g=0.1\,V \;\;,\;\;C=C_{gd}=2\,pF \;\;,\;\;f=1\,MHz
\]
Avremo allora:
\[
g_m R^*_dv_g\:=\:0.4\,V
\]
La resistenza associata alla capacit\'a C sar\'a:
\[
Z_c\:=\:\frac{1}{\omega C}\:=\:\frac{1}{2 \pi f C}\:\approx \:80\,k\Omega
\]
Poich\'e questa \'e molto maggiore di $R^*_d$, vediamo che la caduta di potenziale ai capi
di $R^*_d$ \'e trascurabile rispetto a quella ai capi di C, il che giustifica la seconda delle
approssimazioni fatte (a maggior ragione se la frequenza fosse pi\'u bassa di quella scelta).
L'approssimazione verrebbe meno solo a frequenze tali che:
\[
Z_c\approx R^*_d
\]
cio\'e:
\[
f \approx \frac{1}{2 \pi R^*_d C} \approx 400\,MHz
\]
maggiore della frequenza di taglio dell'amplificatore.

Per verificare la prima delle approssimazioni calcoliamo la corrente nella serie $C-R^*_d$:
\[
i\:=\:\frac{v_g(g_m R^*_d + 1)}{\sqrt{(R^*_d)^2 + 1/(\omega^2 C^2)}}\:\approx \:\omega C v_g \left(g_m R^*_d + 1 \right)
\]
La caduta di potenziale ai capi di $R^*_d$ sar\'a allora:
\[
v\:=\:R^*_d \,i\:=\:v_g \left(g_m R^*_d + 1 \right)\frac{R^*_d}{1/(\omega C)}\:\approx \:0.025 \cdot 
\left(g_m R^*_d + 1 \right)\:\ll \: \left(g_m R^*_d + 1 \right) v_g
\]
cio\'e molto minore della differenza di potenziale ai capi di C.

\subsection{Risposta alle basse frequenze}

Ci siamo fino a questo momento occupati della risposta dell'amplificatore alle alte 
frequenze.
Vediamo ora di esaminarne il comportamento all'altra estremit\'a dello spettro, a 
frequenze molto basse. In tale regione si far\'a ovviamente sentire l'effetto delle 
capacit\'a in serie al segnale, cio\'e essenzialmente della capacit\'a di accoppiamento $C_a$. 
Poich\'e in tale zona di frequenza, l'impedenza capacitativa $|1/(j \omega C_a)|$ \'e grande, 
potremo trascurare, rispetto a questa, l'impedenza d'uscita $r_s$ del generatore.

Il circuito equivalente che adopereremo per calcolare la risposta in questa zona di 
frequenze \'e mostrato in figura~\ref{fet_circuito_equiv_low}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_circuito_equiv_low.eps,width=8.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_circuito_equiv_low}
\end{figure}


In tale schema, $v_g$ \'e dato da:
\[
v_g\:=\:\frac{R_g}{R_g + \frac{1}{j \omega C_a}} v_{in}\:=\:\frac{1}{1 + \frac{1}{j \omega R_g C_a}} v_{in}
\]

da cui segue:
\begin{equation}
v_{out}\:=\:- g_m R^*_d v_g\:=\:-\frac{A_o}{1 + \frac{1}{j \omega C_a R_g}}  \label{fet_eq_29}
\end{equation}

dove abbiamo posto:
\[
A_o\:=\:g_m R^*_d
\]

Il modulo della funzione di trasferimento $|A_v|$ \'e quindi:
\begin{equation}
|A_v(\omega)| \:=\: \frac{A_o}{\sqrt{1 + (\omega_L/\omega)^2}}  \label{fet_eq_30}
\end{equation}

dove abbiamo posto:
\[
\omega_L\:=\:\frac{1}{C_a R_g}
\]

Esso tende a 0 per $\omega \rightarrow 0$ e si riduce di 3~dB per $\omega=\omega_L$, cio\'e per 
un valore della frequenza f:

\begin{equation}
f_L \:=\: \frac{\omega_L}{2 \pi} \:=\: \frac{1}{2 \pi C_a R_g}  \label{fet_eq_31}
\end{equation}

Se $R_g=1\,M\Omega$ e $C_a = 4\,nF$; si trova:
\[
f_L\:=\:\frac{1}{2 \pi \,10^6 \,4\,10^{-9}}\:=\:40\;Hz
\]

La frequenza $f_L$ definisce il limite inferiore della banda passante dell'amplificatore.
Notiamo ancora che per $\omega=\omega_L$, la~\ref{fet_eq_29} ci d\'a per la quantit\'a 
complessa $A_v$:

\begin{equation}
A_v \:=\:-\frac{A_o (1-j)}{2}  \label{fet_eq_32}
\end{equation}

da cui vediamo che alla frequenza $f_L$ c'\'e uno sfasamento di $\pi/2$  tra $v_{in}$  
e $v_{out}$. 

\subsection{Risposta sull'intero spettro di frequenze}

L'espressione della risposta globale in frequenza pu\'o essere ottenuta combinando la~\ref{fet_eq_27} con la~\ref{fet_eq_30}. Si trova:
\begin{equation}
|A_v|\:=\:\frac{A_o}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_U)^2}\sqrt{1 + (\omega_L/\omega)^2}} \label{fet_eq_33}
\end{equation}

L'andamento del guadagno in funzione della frequenza f \'e qualitativamente 
quello mostrato nella figura~\ref{fet_bandwidth_high_low_phase}. Il grafico
superiore si riferisce al modulo del guadagno, espresso in decibel, quello
inferiore allo sfasamento (in gradi).
Notiamo che agli estremi della banda passante, ad esempio per $f=f_L$ o $f=f_U$, 
il segnale in uscita \'e non soltanto attenuato, ma anche fortemente fuori fase 
rispetto al valore che esso ha a centro banda. 

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fet_bandwidth_high_low_phase.eps,width=12.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fet_bandwidth_high_low_phase}
\end{figure}

Se quindi $v_{in}$ ha componenti di Fourier su di una banda di frequenza che si 
estende dal centro bando fino ad uno degli estremi, $v_{out}$ avr\'a componenti 
di Fourier che, per frequenza prossime all'estremit\'a della banda, sono ridotte e sfasate. 
Ci\'o implica che $v_{out}$  sar\'a \emph{distorto} rispetto a $v_{in}$.

\newpage









