\chapter{Filtri attivi}

\section{Introduzione}

Un filtro \'e un dispositivo che trasmette inalterati segnali aventi
frequenze entro un determinato campo (filtri \emph{passa-banda}) o al di sopra
di un valore determinato (filtri \emph{passa-alto}) o ancora al
di sotto di un valore prefissato (filtri \emph{passa-basso}). Si possono
anche avere filtri che lasciano passare solo segnali aventi frequenze
poste al di fuori di un campo prefissato (filtri \emph{elimina-banda}).

Un filtro pu\'o esser realizzato a partire da soli componenti passivi
(resistenze, capacit\'a o induttanze). In tal caso si parla di \emph{filtri
passivi}. \'E ormai comune uso adoperare, insieme ad elementi passivi,
anche elementi attivi, quali transistor o amplificatori operazionali. Tale
scelta offre una maggiore flessibilt\'a nella realizzazione di filtri con
particolari caratteristiche. Questi sono noti come \emph{filtri attivi}.

A causa della limitata risposta in frequenza degli operazionali, i filtri
attivi sono adoperati tipicamente a basse frequenze (sopratutto a frequenze
audio) fino ad un massimo di qualche centinaio di kHz. \'E possibile, facendo
uso di amplificatori operazionali veloci, realizzare filtri attivi che
operano fino a diversi MHz, ma ragioni di costo ne limitano l'uso. Per
frequenze elevate si fa quindi uso di filtri passivi.

In questo capitolo esamineremo le caratteristiche dei principali tipi
di filtri attivi, quali ad esempio quelli di Butterworth e di Bessel.
Per un'analisi pi\'u approfondita dell'argomento si suggerisce di
consultare le referenze elencate in fondo al capitolo.

Faremo ampio uso della tecnica delle trasformate di Laplace, 
e dei concetti connessi con la rappresentazione grafica della risposta dei 
circuiti (diagrammi di Bode e di Nyquist).

Si sta diffondendo in aggiunta, in questi ultimi anni, l'uso di quelli che
sono noti come \emph{filtri digitali}. Una trattazione dettagliata di tale tipo 
di filtri ci porterebbe ben oltre gli scopi di questo corso. 


\subsection{Caratteristiche di risposta dei filtri}

I quattro tipi di filtro cui abbiamo accennato nella sezione precedente
dovrebbero idealmente avere delle funzioni di trasferimento caratterizzate
da un andamento piatto all'interno della banda passante e da una transizione
infinitamente ripida verso la banda bloccata. Tale andamento ideale \'e
schematizzato nella figura~\ref{filtri_ideali} dove sono mostrati i diagrammi di 
Bode per il modulo della funzione di trasferimento $G(\omega)$ relativi ai
quattro tipi di filtri.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri_ideali.eps,width=11.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{filtri_ideali}
\end{figure}


La figura~(a) si riferisce al caso di un filtro passa-basso, la~(b) a
quello
di un filtro passa-alto, la (c) ad un filtro passa-banda e la (d) ad uno
elimina-banda.

In realt\'a nessun filtro reale ha funzioni di trasferimento come quelle
mostrate in figura. I fronti di salita e di discesa hanno nella pratica pendenze
che vanno da 6~dB/ottava a qualche decina di~dB/ottava. Inoltre l'andamento
all'interno della banda passante non \'e mai piatto, ma esibisce in genere
delle oscillazioni (''ripple'') pi\'u o meno ampie. Un esempio di curva
di risposta reale \'e quello mostrato in figura~\ref{banda_filtri}~(relativo al 
caso di un filtro passa-banda).


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=banda_filtri.eps,width=12.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{banda_filtri}\end{figure}




La banda passante (BW) \'e definita come l'intervallo di frequenze compreso
tra i punti in cui il modulo del guadagno \'e diminuito di 3~dB rispetto
al valor medio a centro banda. L'ampiezza del canale di ripple, mostrato
in figura, \'e espresso in dB e varia tra qualche frazione di dB e 1.5-2.0~dB.
La pendenza dei fronti di salita e di discesa, come gi\'a detto varia tra
6~dB/ottava e qualche decina di dB/ottava.

Il modulo della funzione di trasferimento G(f) (o equivalentemente $G(\omega)$) 
non \'e l'unica caratteristica importante di un filtro. 
\'E altrettanto importante che lo sfasamento introdotto dal filtro aumenti 
linearmente all'aumentare della fequenza. Solo in tal modo, infatti, le 
componenti di diversa frequenza presenti nel segnale subiranno tutte il medesimo 
ritardo temporale e nessuno sfasamento relativo.

Consideriamo infatti due componenti di frequenze angolari ($\omega_1$, 
$\omega_2$), fasi ($\phi_1$, $\phi_2$) ed ampiezze ($A_1$, $A_2$):
\[
a_1(t)\:=\:A_1\cos(\omega_1 t + \phi_1)
\]
\[
a_2(t)\:=\:A_2\cos(\omega_2 t + \phi_2)
\]
Ammettiamo che all'interno della banda passante sia $|G(\omega)|$ costante e sia
lo sfasamento introdotto dalla $G(\omega)$ dato da:
\[
\phi\:=\:k \omega
\]
con k una costante. Le due componenti all'uscita del filtro saranno:
\[
a'_1(t)\:=\:|G|\,A_1\cos(\omega_1 t + \phi_1+k \omega_1)
\]
\[
a'_2(t)\:=\:|G|\,A_2\cos(\omega_2 t + \phi_2+k \omega_2)
\]
ovvero:
\[
a'_1(t)\:=\:|G|\,A_1\cos\left[\omega_1(t+k) + \phi_1\right]
\]
\[
a'_2(t)\:=\:|G|\,A_2\cos\left[\omega_2(t+k) + \phi_2\right]
\]
Vediamo che le due componenti hanno in uscita la stessa frequenza che
esse avevano in ingresso e la stessa differenza di fase: $\Delta \phi\:=\:\phi_2 
-\phi_1$. Esse sono entrambe ''ritardate'' temporalmente di una medesima
quantit\'a k. Il segnale risultante dalla sovrapposizione di un gran numero
di componenti di questo tipo non risulter\'a quindi deformato.

Come vedremo, \'e possibile realizzare filtri che hanno una banda passante
sufficientemente piatta, ma non una buona relazione di fase, o anche filtri
con una relazione di fase lineare, ma con un certo ammontare di ripple nella
banda passante.

Per un discussione esauriente dei vantaggi e dei limiti dei diversi tipi di
filtri attivi, si suggerisce una lettura del capitolo~5 del libro di Horowitz-
Hill~\cite{Horowitz}.






\section{Generalit\'a sui filtri attivi}

Conosciamo i pi\'u semplici dei filtri passivi: il circuito RC passa-basso e 
quello passa-alto, mostrati in figura~\ref{rccr}, le cui funzioni di 
trasferimento, nello spazio delle frequenze, sono date da:
\[
|G_{LP}(\omega)|\:=\:\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\omega}{\omega_0})^2}}
\]
\[
\Phi_{LP}(\omega)\:=\: -arctan(\frac{\omega}{\omega_0})
\]

\[
|G_{HP}(\omega)|\:=\:\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\omega_0}{\omega})^2}}
\]
\[
\Phi_{HP}(\omega)\:=\:arctan(\frac{\omega_0}{\omega})
\]
con: $\omega_0=RC$

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rccr.eps,width=10.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{rccr}
\end{figure}


Il filtro passa-basso \'e caratterizzato da una frequenza di taglio (frequenza 
alla quale il guadagno si riduce di un fattore $\sqrt{2}$ rispetto al valore
che esso ha a basse frequenze) pari a $f_0=\omega_0/2\pi$. La curva asintotica
che descrive $|G(\omega)|$ a frequenze angolari $\omega \gg \omega_0$ ha 
inoltre, come \'e facile verificare, una pendenza (negativa) di 6~dB/ottava
(20~dB/decade).

Analogamente il filtro passa-alto \'e caratterizzato da una frequenza di
taglio $f_0=\omega_0/2 \pi$. La curva che descrive l'andamento di $|G(\omega)|$
a frequenze angolari $\omega \ll \omega_0$ ha una pendenza (positiva) di 
6~dB/ottava (20~dB/decade).

Un fltro passa-banda pu\'o essere ottenuto mettendo in serie un filtro
passa-basso ed uno passa-alto, come mostrato in figura~\ref{rccrbandpass}.


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rccrbandpass.eps,width=9.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{rccrbandpass}
\end{figure}

Nel progettare un tale filtro occorrer\'a naturalmente far si che la frequenza
di taglio $f_{max}$ della sezione passa-basso sia maggiore della frequenza
di taglio $f_{min}$ della sezione passa-alto.


Quelli ora descritti sono tutti filtri \emph{del primo ordine}: la funzione
di trasferimento del filtro passa-basso, scritta in termini della variabile
complessa s:
\[
G(s)\:=\:\frac{\omega_0}{s+\omega_0}
\]
ha un polo semplice (reale) in $s=-\omega_0$.

Analogamente, la funzione di trasferimento del filtro passa-alto, scritta
in termini della variabile complessa s \'e:
\[
G(s)\:=\:\frac{s}{s+\omega_0}
\]
ed ha uno zero nell'origine ed un polo semplice in $s=-\omega_0$. 

La pendenza di $\pm$20~dB/decade nei rispettivi diagrammi di Bode per il
modulo \'e in entrambi i casi legata appunto alla presenza di un solo
polo. Se si vuole una transizione pi\'u netta tra la banda passante e
la banda bloccata, occorre ricorrere a filtri di ordine pi\'u elevato.



Notiamo che un filtro (passivo) passa-basso con buone
caratteristiche (taglio in frequenza abbastanza netto) pu\'o essere ottenuto
utilizzando un circuito LRC come quello di figura~\ref{lrc}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=lrc.eps,width=8.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{lrc}
\end{figure}

La funzione di trasferimento di questo circuito \'e:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{1}{(LC) s^2 + (RC) s + 1}\:=\: \frac{1/LC}{s^2+(R/L)s + 1/LC}
\label{standard_lrc}
\end{equation}
Confrontando questa con l'equazione tipica di una funzione di trasferimento
con due poli (vedi capitolo~\ref{bode}):
\begin{equation}
G(s) \:=\: \frac{A_0 \omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s + \omega_0^2} 
\label{standard_form}
\end{equation}
troviamo la corrispondenza:
\[
\omega_0 \rightarrow \frac{1}{\sqrt{LC}}
\]
\[
Q_0 \rightarrow \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}
\]
Potr\'a aversi un picco nella risposta se $Q_0 > 1/\sqrt{2}$, cio\'e:
\[
R < \sqrt{2\frac{L}{C}}
\]
Come visto a pagina~(\pageref{two}), il picco diventa tanto pi\'u accentuato
quanto pi\'u elevato \'e il valore di $Q_0$. L'andamento tipico della
curva di risposta (plot di Bode per il modulo) \'e mostrato in 
figura~\ref{g_om_q0_1} per il caso $Q_0=1$.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=g_om_q0_1.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{g_om_q0_1}
\end{figure}



Il massimo si ha per:
\[
\omega_{max}^2\:=\:\omega_0^2\left(1-\frac{1}{2Q_0^2}\right)
\]
cio\'e:\[
\omega_{max}^2\:=\:\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{2L^2}
\]

I filtri attivi eliminano alcuni inconvenienti presenti nei filtri passivi:
\begin{itemize}
\item[a)]{l'uso di induttanze, che sono ingombranti, ed inoltre risentono dei  
disturbi elettromagnetici inevitabilmente presenti}
\item[b)]{l'attenuazione legata all'impedenza del filtro passivo}
\item[c)]{la dipendenza della risposta dalle impedenze d'ingresso e d'uscita
degli amplificatori cui il filtro \'e accoppiato}
\end{itemize}


\section{Funzione biquadratica di trasferimento}    \label{sez:biquadratica}

Come abbiamo visto, la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso LRC ha
la forma~(equazione~\ref{standard_form}):
\[
G(s)\:=\:\frac{A_0 \omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s + \omega_0^2}
\]
del rapporto tra un termine costante ed un polinomio di secondo grado in s.
Si pu\'o facilmente verificare che la funzione di trasferimento di un
generico filtro del secondo ordine (passa-alto, passa-basso, passa-banda,
elimina-banda) pu\'o essere espressa come il rapporto tra due polinomi
di secondo grado in s:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{a_2 s^2 + a_1 s + a_0}{s^2 + b_1 s + b_0} \label{quadratic_form}
\end{equation}
Se infatti i termini $a_2$ ed $a_1$ sono nulli, possiamo facilmente vedere
che siamo in presenza di un filtro passa-basso: al tendere di $|s|=\omega$
ad $\infty$ la $|G(\omega)|$ tende a 0.

Se $a_2$ ed $a_0$ sono nulli ed $a_1$ \'e diverso da 0, la $|G(\omega)|$ 
tender\'a a 0 sia per $\omega \rightarrow \infty$ che per $\omega \rightarrow 
0$. Abbiamo cio\'e un filtro passa-banda.

Se $a_2$ \'e l'unico coefficiente diverso da 0, vediamo che $|G(\omega)| 
\rightarrow 0$ per $\omega \rightarrow 0$. Abbiamo cio\'e un filtro passa-alto.

Se infine $a_1$ \'e l'unico coefficiente nullo, vediamo che la $|G(\omega)|$
tende a valori finiti per $\omega \rightarrow 0$ e per $\omega \rightarrow 
\infty$. Abbiamo cos\'i un filtro elimina-banda.

La funzione biquadratica~\ref{quadratic_form} \'e pi\'u convenientemente
scritta nella forma (analoga alla~\ref{standard_form} relativa al filtro
passa-basso):
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{k_2 s^2 + k_1(\omega_0/Q_0) s + k_0 
\omega_0^2}{s^2+(\omega_0/Q_0)s + \omega_0^2}  \label{general_quadratic}
\end{equation}

Nel caso dei quattro tipi di filtro descritti in precedenza, questa acquista
la forma indicata nella corripondente riga della tabella che segue.

\vspace{0.8cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|l|}  
\hline
 \emph{tipo di filtro} & $k_2$ & $k_1$ & $k_0$ & $\emph{G(s)}$ \\ \hline
passa-basso & 0 & 0 & 1 & $\frac{\omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s + 
\omega_0^2}$ \\
passa-alto & 1 & 0 & 0 & $\frac{s^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s + \omega_0^2}$ \\
passa-banda & 0 & 1 & 0 & 
$\frac{\frac{\omega_0}{Q_0}s}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s + \omega_0^2}$ \\
elimina-banda & 1 & 0 & 1 & $\frac{s^2+\omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s + 
\omega_0^2}$ \\ \hline
%\label{Filtri del secondo ordine}
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

La larghezza di banda (BW) \'e definita come l'ampiezza del campo di frequenze
che si estende fino a quei valori in corrispondenza a cui il guadagno si riduce
di 3~dB rispetto al valore che esso ha a centro banda. Si pu\'o facilmente 
vedere che nel caso del filtro passa banda la BW \'e data da:
\[
BW\:=\: \frac{\omega_0}{Q_0}
\]
Per dimostrarlo, partiamo dall'osservazione che l'espressione della 
$|G(\omega)|$ per il filtro passa-banda:
\begin{equation}
|G(\omega)|\:=\:\frac{(\omega_0/Q_0)\omega}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + 
\omega^2 \omega_0^2/Q_0^2}}    \label{abs_gomega}
\end{equation}
\'e simmetrica nella variabile $\omega$ rispetto al valore centrale 
$\omega=\omega_0$ (dove la $|G(\omega)|$ vale 1).

Se inoltre $\omega'$ ed $\omega''$ indicano due valori posti simmetricamente
rispetto ad $\omega_0$, nei quali sia: $|G(\omega')|$=$|G(\omega'')|$, si 
pu\'o facilmente vedere che $\omega_0$ \'e la media geometrica di $\omega'$
ed $\omega''$:
\[
\omega' \omega'' \:=\:\omega_0^2
\]
Infatti, uguagliando le due espressioni di $|G(\omega)|$ troviamo:
\[
\frac{\omega'^2}{(\omega_0^2-\omega'^2)^2 + \omega'^2 \omega_0^2/Q_0^2} \:=\:
\frac{\omega''^2}{(\omega_0^2-\omega''^2)^2 + \omega''^2 \omega_0^2/Q_0^2}
\]
cio\'e:
\[
\omega'^2\,\left[(\omega_0^2-\omega''^2)^2 + \omega''^2 \omega_0^2/Q_0^2     
\right] = \omega''^2\left[(\omega_0^2-\omega'^2)^2 + \omega'^2 \omega_0^2/Q_0^2 
\right]
\]
Sviluppando quest'espressione si ottiene:
\[
\omega'^2 \omega_0^4 + \omega'^2 \omega''^4 \:=\: \omega''^2 \omega_0^4 + 
\omega''^2 \omega'^4
\]
da cui:
\[
\omega_0^4\left(\omega'^2 - \omega''^2 \right) \:=\: \omega'^2 \omega''^2 
\left(\omega'^2 - \omega''^2 \right)
\]
ed infine:
\begin{equation}
\omega_0^2 \:=\:\omega' \omega''   \label{media_geometrica}
\end{equation}
Facendo ora uso di tale risultato possiamo riscrivere la~\ref{abs_gomega} come
segue:
\begin{equation}
|G(\omega)|\:=\:\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{Q_0^2}{\omega^2 
\omega_0^2}\left(\omega^2 - \omega_0^2 \right)^2}}\:=\:
\frac{1}{\sqrt{1 + Q_0^2 \left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}
\right)^2}}   \label{using_geometric}
\end{equation}
Se ora $\omega'$ ed $\omega''$ sono le frequenze angolari in corrispondenza
a cui la $|G(s)|$ si riduce di 3~dB (cio\'e di un fattore $1/\sqrt{2}$), allora
in corrispondenza a tali valori, il denominatore della~\ref{using_geometric}
deve diventare uguale a $\sqrt{2}$. Ne segue che:
\[
Q_0 \left(\frac{\omega''}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega''}\right) \:=\: 1
\]
\[
\frac{Q_0}{\omega_0}\left(\omega'' - \frac{\omega_0^2}{\omega''}\right) \:=\: 1
\]
e, facendo uso della~\ref{media_geometrica}:
\[
BW\:=\:\omega'' - \omega' \:=\:\omega'' - 
\frac{\omega_0^2}{\omega''}\:=\:\frac{\omega_0}{Q_0}
\]

\section{Filtri di Butterworth}

Nelle sezioni precedenti abbiamo incontrato filtri caratterizzati da funzioni
di trasferimento con un singolo polo (filtri del primo ordine) e con un polo
doppio (filtri del secondo ordine). In generale, il numero dei poli nella 
funzione di trasferimento determina la rapidit\'a dei fronti di discesa (o di
salita, nel caso dei filtri passa-altro o passa-banda) del filtro. 

Una classe importante di filtri \'e quella di Butterworth. Questi sono
caratterizzati da funzioni di trasferimento il cui modulo quadro, per un
filtro passa-basso di ordine n, \'e dato da:

\[
|G_n(\omega)|^2\:=\:\frac{1}{[1+\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^{2n}]}
\]

cio\'e:

\[
|G_n(\omega)|\:=\:\frac{A}{[1+\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^{2n}]^{1/2}}
\] Andamenti tipici sono mostrati in figura~\ref{butterworth_math}, 
per n variabile tra 1 e 10. Notiamo che tutte le curve hanno la medesima 
attenuazione di 3~dB per $\omega=\omega_0$. Quando si riporta il guadagno in 
funzione di 
$\omega/\omega_0$ si dice che si studia il suo andamento in funzione della 
frequenza normalizzata.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=butterworth_math.eps,width=11.0 cm,
height=10.0 cm}}\end{center}
\caption{Funzione di trasferimento normalizzata per filtri di Bode, per n 
compreso tra 1 e 10. La curva indicata con croci \'e quella relativa 
ad n=1, quella indicata con cerchietti per n=10. Le curve intermedie sono 
ottenute per valori di n compresi tra 2 e 9}
\protect\label{butterworth_math}
\end{figure}


Queste curve hanno le seguenti caratteristiche:
\begin{itemize}
\item{$|G_n(0)|$=1 per tutti gli n}
\item{$|G_n(\omega_0)|=1/\sqrt{2} \approx 0.707$ per tutti gli n (cio\'e il 
guadagno diminuisce di~3~dB per $\omega=\omega_0$}
\item{per $\omega \gg \omega_0$ il guadagno scende con una pendenza di 
6n~dB/ottava, per un filtro di ordine n}
\item{le prime (n-1) derivate della funzione in parentesi
sono nulle. Ci\'o implica che la risposta nella banda passante \'e massimamente
piatta, cio\'e ha un massimo per $\omega=0$ e rimane all'incirca costante fino
ad $\omega=\omega_0$}
\end{itemize}



Si pu\'o facilmente verificare che un filtro \'e di Butterworth se i poli sono
ottenibili dividendo una circonferenza situata nel piano complesso, con centro
nell'origine, in un numero 2n (quindi pari) di punti distribuiti uniformemente. 

Ovviamente essi dovranno essere disposti in modo simmetrico rispetto all'asse 
reale ed inoltre solo quelli situati nel semipiano sinistro potranno
rappresentare poli della funzione G(s). Ad esempio, per n=1 e per n=2 abbiamo
le situazioni mostrate nelle figure~\ref{n_1} ed~\ref{n_2}.


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=n_1.eps,width=11.0 cm,
height=8.0 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{n_1}
\end{figure}


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=n_2.eps,width=10.0 cm,
height=8.0 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{n_2}
\end{figure}


Nel caso n=2 le radici $s_1$ ed $s_2$ (i poli della funzione G(s)) saranno:
\[
s_1\:=\:\alpha(j-1)
\]
\[
s_2\:=\:-\alpha(j+1)
\]
Il denominatore della G(s) sar\'a:
\[
(s-s_1)(s-s_2)\:=\:s^2+2\alpha s + 2 \alpha^2
\]
Per cui:
\[
G_2(s)\:=\:\frac{1}{s^2+2\alpha s + 2 
\alpha^2}\:=\:\frac{(1/2\alpha^2)}{s/2\alpha^2 + s/\alpha 
+1}\:=\:\frac{(1/2\alpha^2)}{(s^2/2\alpha^2)+\sqrt{2}s/\sqrt{2}\alpha + 1}
\]
La grandezza $\omega_0$, distanza delle radici dall'origine, \'e data da:
\[
\omega_0^2\:=\:\alpha^2 + \beta^2\:=\:2\alpha^2
\]
Cio\'e:
\[
\omega_0\:=\:\sqrt{2}\alpha
\]
\[
\alpha\:=\:\omega_0/\sqrt{2}
\]
Introduciamo ora la variabile s', ottenuta da s normalizzandola ad $\omega_0$:
\[
s'\:=\:s/\omega_0\:=\:s/\sqrt{2}\alpha
\]
Con ci\'o l'ultima espressione scritta diventa:
\[
G_2(s')\:=\:\frac{1/\omega_0^2}{s'^2+\sqrt{2} s' +1}\]
Il denominatore di quest'espressione \'e il polinomio di Butterworth di 
ordine n=2 ($B_2(s')$).


\vspace{0.8cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|} 
\hline
\emph{grado del polinomio(n)} & $B_n(s)$ \\ \hline
1 &  $s+1$  \\ 
2 & $s^2+1.414s + 1$ \\ 
3 &  $(s+1)(s^2+s$ +1)\\ 
4 &  $(s^2+0.765s+1)(s^2+1.848s +1)$ \\ 
5 &  $(s+1)(s^2+0.618s+1)(s^2+1.618s+1)$ \\ \hline
%\label{ButterworthT}
%\caption{Polinomi di Butterworth}
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

Come gi\'a visto, nel caso generale il modulo del polinomio di ordine n vale:
\[
|B_n(s)|\:=\: \sqrt{1+\left( \frac{\omega}{\omega_0}\right)^{2n}}
\]
Si definisce ''fattore di smorzamento'' la met\'a del coefficiente di s in 
ciascuno dei fattori quadratici che compaiono in tali espressioni. Ad esempio,
per n=2 il fattore di smorzamento vale $1.414/2=\sqrt{2}/2=1/\sqrt{2}=0.707$.
Per n=3 il fattore di smorzamento \'e 0.5; per n=4 si hanno due fattori di
smorzamento:
\[
k_1\:=\:\frac{0.765}{2}\:=\:0.383
\]
\[
k_2\:=\:\frac{1.848}{2}\:=\:0.924
\]
Ricordando che si \'e posta la corrispondenza $s \leftrightarrow s/\omega_0$, 
le funzioni di trasferimento per n=1 e per n=2 possono essere scritte nella
forma:
\[
P_1(s)\:=\:\frac{1}{s/\omega_0\,+\,1}
\]
\[
P_2(s)\:=\:\frac{1}{(s/\omega_0)^2 + 2k(s/\omega) + 1}
\]
con $k=1/\sqrt{2}$


Un semplice circuito RC, posto sull'ingresso non invertente di un operazionale
adoperato in configurazione non invertente, come mostrato in 
figura~\ref{butter1}, realizza un  filtro di Butterworth di ordine 1.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=butter1.eps,width=9.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{butter1}
\end{figure}



Infatti abbiamo:
\[
v_-\:=\:v_o \frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
\[
i\:=\:\frac{v_s}{R+1/sC}
\]
\[
v_+\:=\:Z_c i \:=\:\frac{1}{sC}\frac{v_s}{R+1/sC}
\]
e, poich\'e \'e $v_+=v_-$, otteniamo:
\[
v_o\:=\:\frac{R_1+R_2}{R_1}\frac{v_s}{1+sRC}
\]
da cui:
\[
G(s)\:=\:\frac{v_o}{v_s}\:=\:A_{v_o}\frac{1}{1+sRC}\:=\:
\frac{ A_{v_o}}{1+s/\omega_0}
\]
dove:
\[
A_{v_o}\:=\: \frac{R_1+R_2}{R_1} 
\]
\'e l'amplificazione a bassa frequenza e:
\[
\omega_0\:=\:\frac{1}{RC}
\]
Abbiamo quindi un filtro di Butterworth di ordine 1, con una frequenza di
taglio (superiore) pari a $\omega_0=1/RC$. Si pu\'o facilmente vedere che da 
tale filtro passa-basso si pu\'o ottenere un filtro passa-alto invertendo
i ruoli di R e C.

Poich\'e si pu\'o ottenere un filtro passa-alto a partire da uno passa-basso
scambiando C ed R, \'e chiaro che sar\'a possibile ottenere un filtro
passa-banda a partire da due filtri di Butterworth. Il primo di questi potrebbe
essere un filtro passa-alto del secondo ordine, con una frequenza di taglio
$f_{min}$; il secondo un filtro passa-basso del medesimo ordine, con una
frequenza di taglio $f_{max}>f_{min}$.



\section{Filtro di Butterworth del secondo ordine}

Un filtro di Butterworth del secondo ordine pu\'o esser realizzato
facendo uso dello schema mostrato in figura~\ref{sallen_key}. Questo
\'e noto come ''schema di Sallen e Key''.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=sallen_key.eps,width=11.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{sallen_key}
\end{figure}

Un'amplificatore operazionale \'e montato in una configurazione non-invertente.
Il segnale presente in uscita \'e riportato tra le resistenze $R_1$ ed
$R_2$ tramite il condensatore $C_1$.

Per studiare la risposta di questo circuito, facciamo uso del circuito 
equivalente mostrato in figura~\ref{sallen_key_equiv}, dove \'e $V_x=V_0/A$,
con $A = 1 + R_4/R_3$.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=sallen_key_equiv.eps,width=11.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{sallen_key_equiv}
\end{figure}

Si possono facilmente verificare le seguenti relazioni:
\[
I_x\:=\:s C_2 V_x\:=\:s C_2 \frac{V_0}{A}
\]
\[
V_y\:=\:V_x+R_2I_x\:=\:\frac{V_0}{A}\left(1+s C_2 R_2\right)
\]
\[
I_y\:=\:\frac{V_y-V_0}{1/s C_1}\:=\: s C_1 V_0 \left[\frac{1+sC_2R_2}{A}
-1 \right] \:=\: s C_1 \frac{V_0}{A} \left[ 1-A + s C_2 R_2 \right]
\]

Da cui segue:
\[
I_i\:=\:I_x+I_y\:=\:s \frac{V_0}{A}\left(C_2 + C_1 -C_1 A + s C_1 C_2 R_2 
\right)\:=\:\frac{V_0}{A}\left[sC_2 + sC_1(1-A)+s^2 C_1 C_2 R_2 \right]
\]
La tensione d'ingresso $V_i$ sar\'a allora:
\[
V_i\:=\:R_1 I_i + V_y \:=\:\frac{V_0}{A}\left[s R_1 C_2 + s R_1 C_1 (1-A) +
s^2 R_1 R_2 C_1 C_2 + 1 +s C_2 R_2 \right]
\]
\[
= \: \frac{V_0}{A}\left[1 + s^2 R_1 R_2 C_1 C_2 + s \left(C_2(R_1 + R_2) + R_1 
C_1 (1-A) \right) \right]
\]
La funzione di trasferimento \'e quindi:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{V_0}{V_i}\:=\:\frac{A}{1 + s^2 R_1 R_2 C_1 C_2 + s 
\left[C_2(R_1+R_2)+R_1 C_1 (1-A)\right]}  \label{trans_fun}
\end{equation}
Confrontando questa con l'equazione~(\ref{standard_form}) vediamo che:
\[
\frac{\omega_0}{Q_0} \rightarrow \frac{C_2(R_1 + R_2) + R_1 C_1 (1-A)}{R_1 R_2 
C_1 C_2}
\] 
\[
\omega_0^2\rightarrow \frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2}
\]
Da queste equazioni segue:
\[
Q_0 \:=\: \frac{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}{C_2(R_1 + R_2) + R_1 C_1 (1-A)}
\]
Se poniamo $R_1=R_2=R$ e $C_1=C_2=C$ otteniamo:
\begin{equation}
Q_0\:=\:\frac{RC}{2RC + RC(1-A)}\:=\:\frac{1}{3-A}   \label{Q_0}
\end{equation}
\[
\omega_0\:=\:1/RC
\]
Si pu\'o quindi scegliere il valore desiderato di $Q_0$ con un'opportuna
scelta del valore di A. La G(s) pu\'o esser espressa in termini delle
variabili R, C ed A, come:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{A}{(RC)^2s^2 + RC(3-A)s +1}    \label{filtro2}
\end{equation}
Il guadagno a basse frequenze \'e ovviamente A. 

\'E interessante confrontare la risposta ottenuta con quella relativa al filtro 
LCR. Le due sono uguali
se \'e:
\[
LC\:=\:(R_0 C_0)^2
\]
\[
RC\:=\:(R_0 C_0) (3-A)
\]
dove abbiamo indicato con le sottoscritte $''0''$ i componenti relativi al 
circuito di figura~(\ref{sallen_key}), e senza sottoscritte quelli relativi al 
circuito LCR.

Tali equazioni sono soddisfatte  se \'e:
\[
C_0=C
\]
\[
C_0 R_0^2=L
\]
\[
R_0(3-A)=R
\]
Una scelta suggerita per il valore di $Q_0$ \'e quella che rende il pi\'u
possibile ripida la caduta al di sopra della frequenza di taglio superiore,
senza determinare un picco. Ci\'o si ottiene, come visto nel capitolo sulla
rappresentazione grafica delle funzioni di trasferimento, per:
\[
Q_0\:=\:\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
che nel nostro caso, come si vede facendo uso dell'equazione~(\ref{Q_0}), 
richiede:
\[
A\:=\:3 - \sqrt{2}\:\approx \: 1.6
\]
Un filtro che soddisfi tale condizione \'e un filtro di Butterworth (del
secondo ordine).

Un esempio concreto di filtro di Butterworth si ottiene dal circuito di
figura~\ref{sallen_key}, con la seguente scelta dei valori dei componenti:
\[
R_1=R_2=15k\Omega
\]
\[
C_1=C_2=10 nF
\]
\[
R_3=47k\Omega
\]
\[
R_4=27k\Omega
\]

Nella prossiamo sezione approfondiremo il motivo dell'uguaglianza delle funzioni
di trasferimento del filtro LRC e di uno che faccia uso di operazionali ed 
elementi resistivi e capacitivi.

\section{Alcune considerazioni sulla conversione di impedenze tramite
operazionali}

Il fatto che il circuito di Sallen e Key, che fa uso di resistenze, condensatori
e di un operazionale abbia una risposta uguale a quella del circuito RCL, dove 
\'e presente un'induttanza, \'e conseguenza del fatto che un operazionale
pu\'o modificare la natura dell'impedenza vista dalla sorgente del segnale.

Consideriamo ad esempio il circuito di figura~\ref{nic}:

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=nic.eps,width=6.0 cm,
height=5.6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{nic}
\end{figure}

La corrente i vale:
\begin{equation}
i\:=\:\frac{v_+-v_o}{R}      \label{current_in}
\end{equation}
con:
\[
v_+\:=\:v_-\:=\:v_o\frac{Z}{R+Z}
\]
da cui:
\[v_o\:=v_-\frac{R+Z}{Z}\:=\:v_i\frac{R+Z}{Z}
\]
e:
\[
v_i\:=\:v_o\frac{Z}{R+Z}
\]
Dalla~\ref{current_in} si ha inoltre:
\[
i\:=\: \frac{v_o}{R}\left(\frac{Z}{Z+R}-1\right)\:=\:-\frac{v_o}{Z+R}
\]
L'impedenza vista all'ingresso dell'operazionale \'e allora:
\[
Z_i\:=\:\frac{v_i}{i}\:=\:-Z
\]
Vediamo cio\'e che l'operazionale ''trasforma'' l'impedenza Z nel suo opposto -
Z. Se Z \'e un'impedenza capacitiva: $Z=1/j\omega C$, l'impedenza trasformata
sar\'a $1/j\omega(-C)$, cio\'e \'e come se la capacit\'a fosse diventata 
negativa. Un circuito come quello analizzato \'e designato con il simbolo 
''NIC'' (Negative Impedance Converter). 

Vediamo ora come, facendo uso di questo, possiamo realizzare un circuito che
converte un'impedenza Z nel suo reciproco $1/Z$. Questo \'e noto come 
''gyrator''.

Esaminiamo l'esempio di figura~\ref{gyra1}:

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=gyra1.eps,width=9.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{gyra1}
\end{figure}



Poich\'e ciascun NIC cambia di segno l'impedenza che lo segue, possiamo 
ridisegnare il circuito come mostrato in figura~\ref{gyra2}.


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=gyra2.eps,width=9.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{gyra2}
\end{figure}


L'impedenza vista all'uscita del primo NIC \'e ora:
\[
Z'\:=\:R+\frac{-(R+Z)R}{R+Z-R}\:=\:R\;-\frac{R^2+ZR}{Z}\:=\:-\frac{R^2}{Z}
\]
Poich\'e il primo NIC cambia ulteriormente il segno di tale impedenza, avremo:
\[
Z_{in}\:=\:\frac{R^2}{Z}
\]
e se Z \'e una capacit\'a, avremo:
\[
Z_{in}\:=\:\frac{R^2}{1/j\omega C}\:=\:j R^2 \omega C \:=\: j\omega L
\]
con:
\[
L\:=\:R^2 C
\]
Che dimostra quanto asserito. Facendo quindi uso di resistenze, capacit\'a
ed operazionali possiamo realizzare l'equivalente di filtri RLC. Come gi\'a
accennato, il limite all'utilizzo di tali circuiti \'e posto dallo slew-rate
degli operazionali, che consiglia, a frequenze elevate, l'uso di circuiti
passivi.



\section{Corrispondenze tra tipi diversi di filtri}

Sappiamo che un filtro RC passa-basso del primo ordine pu\'o esser trasformato
nell'analogo passa-alto scambiando la resistenza con la capacit\'a. Ci\'o pu\'o
esser facilmente formalizzato come segue. La funzione di trasferimento del
filtro passa-basso \'e:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{1}{1+s/\omega_0}   \label{filtro_passa_basso}
\end{equation}
con $\omega_0=RC$. Il circuito che si ottiene da questo scambiando R con C ha 
come funzione di trasferimento:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{s/\omega_0}{1+s/\omega_0}    \label{filtro_passa_alto}
\end{equation}
Vediamo che \'e possibile trasfomare la~\ref{filtro_passa_basso} 
nella~\ref{filtro_passa_alto} con la corrispondenza:
\begin{equation}\frac{s}{\omega_0} \rightarrow \frac{\omega_0}{s}  
\label{corrispondenza}
\end{equation}
\'E possibile verificare che ci\'o \'e vero anche per filtri di ordine
pi\'u elevato. Ad esempio, il filtro passa-basso la cui funzione di 
trasferimento \'e mostrata nella prima riga della tabella data in sezione
\ref{sez:biquadratica} diventa, in seguito all'applicazione della 
corrispondenza~\ref{corrispondenza}, il filtro passa-alto la cui funzione di 
trasferimento \'e data dalla seconda riga della medesima tabella.

Analoghe corrispondenze possono essere adoperate per trasformare un filtro
passa-basso in uno passa-banda o elimina-banda.

Per ulteriori dettagli si suggerisce di consultare la referenza~\cite{Jmillman}.

 

\section{Il ''ripple'' nei filtri}

Se in un filtro del secondo ordine \'e $Q_0>1/\sqrt{2}$, la curva di risposta 
(diagramma di Bode per il modulo) comincia a sviluppare un massimo di cui 
abbiamo calcolato al capitolo~\ref{bode}  la posizione $\omega_{max}$ ed il
valore:
\[G(\omega_{max}) \:=\: \frac{A_0 Q_0}{\sqrt{1-1/(4Q_0^2)}}
\]
Si definisce ''ripple'' la deformazione della curva di risposta in prossimit\'a
di $\omega_{max}$ e si definisce ''larghezza del ripple'' la quantit\'a:
\[
\epsilon\:=\:|G_{max}/A_0| \:=\: \frac{Q_0}{\sqrt{1-\frac{1}{4 Q_0^2}}}
\]
Si definisce poi ''lunghezza del canale di ripple'' la pulsazione $\omega_c$
oltre la quale risulta $|G|<|A_0|$. 
Per la definizione delle variabili $\epsilon$ ed $\omega_c$ si veda la 
figura~\ref{ripple}.
Dall'equazione~\ref{bb1}, nel capitolo~\ref{bode}, notiamo che ponendo:
\[
|G|^2\:=\:A_0^2
\]
si trova:
\[
\omega_c^2\:=\:\omega_0^2\left(2-\frac{1}{Q_0^2}\right)
\]
cio\'e:
\[
\frac{\omega_c}{\omega_0}\:=\:\sqrt{2-\frac{1}{Q_0^2}}
\]
Vediamo da quest'equazione che la lunghezza del canale di ripple dipende
da $Q_0$. Inoltre:
\[
\omega_{max}^{2}\:=\:\frac{\omega_c^2}{2}
\]
indipendentemente dal valore di $Q_0$ (purch\'e sia $Q_0 > 1/\sqrt{2}$).

Per $Q_0\:=\:0.86$ troviamo $\omega_c\:=\:0.80 \omega_0$ ed $\epsilon\:=\:1.06$

Per $Q_0\:=\:0.96$ troviamo $\omega_c\:=\:0.95 \omega_0$ ed $\epsilon\:=\:1.12$


\begin{figure}  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ripple.eps,width=8.0 cm,
height=7.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{ripple}
\end{figure}



Un quadripolo avente $Q_0 > 1/\sqrt{2}$ viene detto di Chebyshev se il ripple
$\epsilon$ \'e compreso tra 0.5dB e 3dB (cio\'e tra 1.06 e 1.41).




\section{Filtri di Bessel e di Chebyshev. Confonto tra diversi tipi di filtro}


Come accennato in precedenza, i parametri di un filtro che maggiormente 
interessano sono:

\begin{itemize}
\item[(a)]{ la ''piattezza'' della risposta all'interno della banda passante, e
quindi l'assenza di ripple}
\item[(b)]{la rapidit\'a della transizione tra banda passante e banda bloccata, 
normalmente espressa in dB/ottava}
\item[(c)]{la ''nettezza'' del ginocchio tra la banda passante e l'inizio del 
fronte di transizione}
\item[(d)]{la linearit\'a della risposta in fase, essenziale per non avere 
distorsioni}
\end{itemize}
Il progetto di un filtro \'e sempre un compromesso tra queste esigenze, 
normalmente in conflitto tra loro. Il punto (b) \'e essenzialmente determinato
dal numero di poli della funzione di trasferimento.

I tipi di filtro comunemente adoperati sono, oltre a quello di Butterworth, 
quelli noti come filtri di Bessel e di Chebyshev.

Ciascuno di questi \'e progettato per ottimizzare un parametro differente
tra quelli elencati sopra. Il grado di ottimizzazione \'e poi determinato
dal numero di poli e di zeri della funzione di trasferimento, legati a loro
volta alla complessit\'a del circuito. Un determinato tipo di filtro, 
caratterizzato da una certa funzione di trasferimento e quindi da una
certa risposta in frequenza, pu\'o esser realizzato fisicamente in molti
modi diversi. Ad esempio, un filtro di Bessel del sesto ordine pu\'o esser
realizzato in un gran numero di modi differenti, che portano per\'o a risposte
uguali.

Il circuito base di Sallen-Key, adoperato per illustrare il filtro di 
Butterworth del secondo ordine, \'e alla base di filtri di vario tipo.
Il circuito base per un filtro di ordine 2 \'e mostrato in 
figura~\ref{sallen_key}. Se poniamo:
\[
R\: = \:R_1\:=R_2
\]
\[
R_f\:=\:R_4
\]
\[
R'\:=\:R_3
\]
\[
C\:=\:C_1=C_2
\]
I valori dei componenti per un filtro passa-basso possono essere calcolati
attraverso le relazioni:
\[
R\:=\:\frac{k_1}{C f_0}
\]
\[
R_f\:=\:R_1 k_2
\]
dove $f_0$ \'e la frequenza di taglio e dove i valori di C e di $R_1$ possono
essere scelti liberamente (ed esempio $R_1$=10k, $C=0.01 \mu F$) mentre le
costanti $k_1$ e $k_2$ valgono:
\[
k_1\:=\:0.1251\:\: ; \:\:k_2\:=\:0.268\:\:per\:un\:filtro\:di\:Bessel
\]
\[
k_1\:=\:0.1592\:\: ; \:\:k_2\:=\:0.586\:\:per\:un\:filtro\:di\:Butterworth
\]
\[
k_1\:=\:0.1293\:\: ; \:\:k_2\:=\:0.842\:\:per\:un\:filtro\:di\:Chebyshev
\]

Filtri di ordine pi\'u elevato possono essere ottenuti mettendo in serie
pi\'u filtri di ordine 2, con valori dei componenti passivi ottenibili
da relazioni analoghe.



Il filtro di Butterworth, su cui abbiamo concentrato la nostra attenzione,
\'e quello che ha la massima ''piattezza'' di risposta all'interno della
banda passante, ma un ''ginocchio'' meno netto di quello di altri tipi di filtro 
ed una linearit\'a di fase non brillante.
Gli altri tipi di filtro (vedasi per una discussione esauriente il libro di
Horowitz) hanno delle caratteristiche che ottimizzano l'uno o l'altro dei
parametri menzionati, a spese della piattezza di risposta nella banda.
Ad esempio, il filtro di Bessel ha un'ottima linearit\'a di fase, ma un
''ginocchio'' meno netto di quello del filtro di Butterworth.
Il filtro di Chebyshev ha un ginocchio ben netto, ma un discreto ammontare
di ripple nella banda passante ed una linearit\'a di fase peggiore di
quella del filtro di Butterworth.

\section{Filtri attivi a retroazione multipla}

I filtri che abbiamo fin qui esaminato fanno uso di una rete RC o CR
all'ingresso non invertente di un amplificatore e di una ulteriore
rete CR o RC all'ingresso invertente. In ques'ultima uno degli
elementi passivi \'e collegato all'uscita dell'amplificatore, 
fornendo in tal modo un feedback.

I filtri a retroazione multipla utilizzano due feedback separati ed 
un'amplificatore invertente. Un esempio di filtro passa-basso
a retroazione multipla \'e mostrato in figura~\ref{retro_multi_bas}.


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=retro_multi_bas.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{retro_multi_bas}
\end{figure}


Per ottenere la funzione di trasduzione di questo circuito, applichiamo
il teorema di Kirchoff al nodo indicato con A.

\[
\frac{v_i-v_A}{R_1} + \frac{v_o-v_A}{R_3} - \frac{v_A}{Z_{C_1}}-\frac{v_A}{R_2} 
\:=\:0
\]


Dove si \'e fatto uso della condizione $v_+ = v_- = 0$. Da questa si ottiene:\[
v_A \left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+sC_1\right) \:=\: 
\frac{v_i}{R_1} + \frac{v_o}{R_3}
\]
Applicando la medesima equazione di Kirchoff al nodo B (ingresso invertente
dell'A.O.), troviamo:
\[
v_A \:=\: -s C_2 R_2 v_o
\]
Da queste equazioni si trova poi:
\[
\frac{v_o}{R_3} \:=\: -\frac{v_i}{R_1}-s C_2 R_2 
v_o \left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+s C_1\right)
\]
\[
A_v\:=\:\frac{v_o}{v_i}\:=\:-\frac{1}{R_1}\frac{1}{\frac{1}{R_3}+
s C_2 R_2(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3})+s^2C_1 C_2 R_2}
\]
\[
A_v \:=\: \frac{-1}{\left[C_1 C_2 R_1 R_2\right]\left[s^2+s\frac{1}{C_1}
\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)+\frac{1}{C_1 C_2 R_2 
R_3}\right]}
\]
Dal confronto di questa con la funzione caratteristica del filtro
passa-basso:
\[
G(s)\:=\:\frac{A_0 \omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s + \omega_0^2}
\]
si trova:
\[
\omega_0\:=\:\frac{1}{\sqrt{C_1 C_2 R_2 R_3}}
\]
\[
\frac{\omega_0}{Q_0}\:=\:\frac{1}{C_1}
\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)
\]
Da queste si ottiene poi:
\[
\frac{1}{Q_0}\:=\:\sqrt{\frac{C_2}{C_1}}\left[\sqrt{\frac{R_2}{R_3}}+
\sqrt{\frac{R_3}{R_2}}+\sqrt{\frac{R_2 R_3}{R_1}}\right]
\]\[
A_0\:=\:-\frac{R_3}{R_1}
\]
Vediamo che il guadagno alle basse frequenze \'e quello di un amplificatore
invertente realizzato con le sole resistenze $R_1$ ed $R_3$. La pulsazione
di taglio $\omega_0$ non dipende invece dalla resistenza $R_1$.




La figura~(\ref{retrout_multi_bas}) mostra l'andamento del guadagno di
un tale circuito in funzione della frequenza, con la seguente scelta
del valore dei componenti: $R_1=1.5 M\Omega$, $R_2=1.2 M\Omega$, $R_3=3.3 
M\Omega$, $C_1=47 nF$ e per valori di $C_2$ variabili tra 22~nF (curva 1) e 
220~nF (curva 11).
A tale scelta di valori corrispondono valori di $\omega_0$ e $Q_0$
che variano tra gli estremi dati da:
\begin{itemize}
\item{per $C_1=22~nF \rightarrow \omega_0 \approx 16~Hz\;,\;Q_0\approx 0.19$}
\item{per $C_1=220~nF \rightarrow \omega_0 \approx 5~Hz\;,\;Q_0\approx 0.61$}
\end{itemize}

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=retrout_multi_bas.eps,width=10.5 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{retrout_multi_bas}
\end{figure}

\section{Filtri notch}

Spesso \'e necessario realizzare dei filtri che eliminino segnale compresi in
un intervallo di frequenze molto stretto. Questi sono noti come filtri 
''notch''.

L'idea su cui il pi\'u noto dei filtri di questo tipo \'e basata, \'e quella
del circuito RC a doppia T, mostrato in figura~\ref{double_t}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=double_t.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{double_t}
\end{figure}



Si pu\'o vedere che questo circuito taglia le frequenze corrispondenti
alla risonanza:
\[
f_0\:=\:\frac{1}{2 \pi RC}
\]
In corrispondenza a tale frequenza il ramo superiore A-X-B e quello inferiore
A-Y-B introducono sfasamenti uguali ed opposti. Ne segue che in B il segnale
risultante si annulla. Ci\'o \'e mostrato in figura~\ref{double_t_out}. I
diagrammi di Bode per il modulo (grafico superiore)
e la fase (grafico inferiore) della funzione di trasferimento di tale circuito
confermano quanto asserito. Come si vede, il diagramma di Bode per il modulo 
ha una brusca caduta (intaglio o ''notch'') alla frequenza di risonanza. 
In corrispondenza a tale frequenza la fase subisce un'improvvisa variazione
di $+\pi$.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=double_t_out.eps,width=10.0 cm,
height=9.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{double_t_out}
\end{figure}


Il circuito mostrato nella figura~\ref{notch_op_amp} \'e una implementazione di 
tale filtro con l'ausilio di un amplificatore operazionale.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=notch_op_amp.eps,width=12.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{notch_op_amp}
\end{figure}

La funzione di trasferimento di questo circuito \'e:
\[
G(s)\:=\:\frac{A_v(s^2+\omega_0^2)}{s^2 + \frac{\omega_0}{Q_0} s + \omega_0^2}
\]
con:
\[
A_v\:=\:1 + \frac{R_b}{R_a}
\]
\[
\omega_0\:=\:\frac{1}{RC}
\]
\[
Q_0\:=\:\frac{1}{2(2-A_v)}
\]
Il $Q_0$ del sistema \'e determinato dal guadagno $A_v$ dell'amplificatore. 
Notiamo che $A_v$ deve essere minore di 2 se si vuole un circuito stabile.


La figura~\ref{notch_op_amp_out} mostra un esempio di plot di Bode (modulo e 
fase) per tale circuito.

In tale esempio i valori dei componenti sono tali che $RC=1000$, $A_v=0.5$,
e quindi: $f_0=159$~Hz e $Q_0=0.333$.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=notch_op_amp_out.eps,width=11.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{notch_op_amp_out}
\end{figure}


Filtri notch sono disponibili in commercio nella forma di moduli pronti 
all'uso, con frequenze che vanno da 1~Hz a 50~kHz, con ''profondit\'a'' del
notch di circa 60~dB.

Un filtro notch, regolabile su di un intervallo di frequenze pi\'u ampio
di quello del filtro a T, \'e quello~(\cite{ElectronicD}) mostrato in 
figura~\ref{notch_mancini}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=notch_mancini.eps,width=12.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{notch_mancini}
\end{figure}

Per questo circuito la frequenza di risonanza \'e:
\[
f_0\:=\:\frac{1}{2 \pi C \sqrt{3 R_1 R_2}}
\]
con:
\[
R_1=R_{1A}+R_{1B}
\]
ed:
\[
R_6\:=\:6(R_1+R_2)
\]
Una tipica funzione di trasferimento di questo circuito \'e mostrata in 
figura~\ref{notch_mancini_out}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=notch_mancini_out.eps,width=11.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{notch_mancini_out}
\end{figure}

\section{Filtri a condensatori commutati}

Negli ultimi anni hanno avuto larga diffusione filtri in cui le resistenze
sono sostituite da condensatori che vengono, con l'applicazione di opportuni
impulsi, rapidamente caricati e scaricati. Questi sono noti
come \emph{Switched-Capacitor Filters} (Filtri a condensatori commutati).

Esistono vari motivi per tale scelta. Un primo motivo, di ordine pratico,
\'e nel fatto che nella realizzazione di un filtro sotto forma di circuito
integrato \'e opportuno limitare l'uso di resistenze che, oltre ad essere
poco precise, occupano sul chip uno spazio notevole. \'E facile invece, come
vedremo tra poco, simulare una resistenza mediante un condensatore commutato.

Un secondo motivo di tale scelta \'e nel fatto che un filtro a condensatori
commutati pu\'o, modificando semplicemente la frequenza degli impulsi di
clock che caricano e scaricano il condensatore, fornire la frequenza di
taglio $\omega_0$ desiderata, senza alcuna modifica degli elementi passivi
presenti.

Per capire come un condensatore commutato possa simulare una resistenza,
si consideri il circuito di figura~\ref{swcap1}


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=swcap1.eps,width=9.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{swcap1}
\end{figure}


Gli interruttori $S_1$ ed $S_2$ (implementati con transitor FET sul chip)
sono complementari: quando $S_1$ \'e chiuso, $S_2$ \'e aperto e viceversa.
Con $S_1$ chiuso la tensione (variabile) presente all'ingresso $V_i$ carica
il condensatore C. La carica del condensatore \'e:
\[
q\:=\:V_i\:C
\]
tale carica si accumula nel tempo T/2 durante il quale $S_1$ \'e chiuso.
Nel successivo intervallo T/2, $S_1$ \'e aperto, $S_2$ chiuso ed il
condensatore si scarica. La corrente media nel tempo T sar\'a quindi:
\[
\overline{I}\:=\:\overline{I}_{out}\:=\:\overline{I}_{in}\:=\:\frac{q}{T}\:=\:
\frac{V_i C}{T}\:=\:V_i C \;f_{ck}
\]
con: $f_{ck}=1/T$.

La resistenza equivalente vista dalla sorgente $V_{in}$ \'e allora:
\[
R\:=\:\frac{V_i}{\overline{I}}\:=\:\frac{1}{C f_{ck}}
\]
Vediamo quindi che R \'e una funzione di C e di $f_{ck}$. Fissato C, la
resistenza pu\'o esser modificata semplicemente modificando la frequenza
$f_{ck}$.

Notiamo che le variazioni di $V_{in}$ debbono avvenire in tempi molto pi\'u
lunghi di T. Nella pratica, se $f_{max}$ \'e la massima frequenza contenuta
in $V_{in}$, si sceglie valori di $f_{ck}$ compresi tra 50 e 100 volte
$f_{max}$.

Un esempio dell'uso di un condensatore commutato per realizzare un
integratore \'e mostrato nella figura~\ref{swcap2}.


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=swcap2.eps,width=12.5 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{swcap2}
\end{figure}

L'invertitore $D_1$ ha lo scopo di chiudere $S_2$ quando il segnale di
clock apre $S_1$. La resistenza associata al condensatore commutato $C_1$
\'e, come visto:
\[
R\:=\:\frac{1}{C_1 f}
\] 
dove f \'e la frequenza del clock.

Il segnale in uscita sar\'a quindi:
\[
V_{out}\:=\:-\frac{1}{R C_2}\;\int{V_{in} dt}\:=\:-f\frac{C_1}{C_2}\;\int{V_{in} 
dt}
\]
Vediamo che la costante che moltiplica l'integrale di $V_{in}$ dipende dalla
frequenza e \emph{dal rapporto delle capacit\'a}. Ci\'o \'e un importante
vantaggio rispetto all'utilizzo di un integratore che utilizza una resistenza
ed una capacit\'a poich\'e, mentre non \'e facile realizzare in un integrato
un condensatore (o una resistenza) preciso e stabile, \'e molto pi\'u agevole
realizzare due capacit\'a il cui rapporto lo sia.
Il risultato di ci\'o \'e che sono disponibili in commercio filtri a
condensatori commutati il cui costo \'e molto inferiore a quello di
filtri convenzionali.
\newline
Un secondo vantaggio dei filtri di questo tipo \'e, come accennato, nel
fatto che essi consentono di regolare la frequenza di taglio (quella
superiore in filtri passa-basso, quella inferiore in filtri passa-alto
etc), con la semplice modifica della frequenza f del segnale di clock.
Infatti, come visto, tale modifica equivale a  cambiare
la resistenza equivalente R e quindi la costante che moltiplica l'integrale
di $V_{in}$.
\newline
Filtri a condensatori commutati sono disponibili in commercio sia in
versioni dedicate, in cui la configurazione (passa-basso, passa-alto,
passa-banda etc.) \'e fissata, che in versioni ''universali'', che 
possono essere adattate a realizzare il filtro che si desidera aggiungendo
esternamente i componenti opportuni.
\newline
Un problema che \'e presente nei filtri a condensatori commutati \'e
l'influenza della segnale di clock sul segnale in uscita. Ammettiamo
ad esempio di voler realizzare un filtro passa-basso, con una frequenza
di taglio superiore di 1~kHz e di utilizzare un filtro a condensatori
commutati con una frequenza di clock di 100~kHz. Se il segnale che si
vuol filtrare ha componenti di Fourier nella zona 99-101~kHz, osserveremo
all'uscita del filtro un segnale spurio, non attenuato, con frequenze
inferiori ad 1~kHz. A tale fenomeno si da il nome di \emph{aliasing}.
\newpage






