Introduzione all’Elettronica

V. Flaminio Maggio 2002

ii

Capitolo 1

Sistemi Logici

1.1 Sistemi di numerazione

Nella vita quotidiana siamo abituati ad usare il sistema decimale. In tale sistema la ”base” é 10, ció che vuol dire l’uso di 10 simboli diversi per rappresentare i numeri da 0 a 9. I calcolatori elettronici, e con essi tutti i moderni sistemi di elettronica digitale, sono basati sull’uso di ”celle di memoria” che possono memorizzare solo due simboli diversi, convenzionalmente chiamati 0 ed 1. Per vedere come, a partire da questi due soli simboli, sia possibile ”costruire” un intero generico, torniamo un attimo al sistema decimale e vediamo di analizzare le operazioni mentali che istintivamente effettuiamo nello scrivere un numero intero decimale. Vediamo ció con un esempio. Prendiamo il numero 23. Esso implica:

a scrivere la cifra 2

b moltiplicarla per 10

c aggiungere al risultato un 3

Se aggiungiamo al 23, a destra, un’ulteriore cifra, ad esempio un 7, ció che facciamo é:

d moltiplicare il risultato delle operazioni a), b), c) precedenti per 10

e aggiungere al risultato un 7

Nel sistema adoperato nei calcolatori, detto sistema binario, il meccanismo adoperato per costruire un numero é il medesimo appena descritto, con la differenza che ora i simboli sono solo 0 ed 1 e che l’operazione ”moltiplicazione per 10” diviene ”moltiplicazione per 2”. Vediamo un esempio. Prendiamo il numero 101. Effettuiamo le operazioni a), b), c), d), e) descritte, con la modifica menzionata:

a’ scriviamo un 1

b’ moltiplichiamo questo per 2

c’ aggiungiamo al risultato la seconda cifra (0)

d’ moltiplichiamo il risultato per 2

e’ aggiungiamo al risultato la terza cifra Quindi il numero binario scritto é, in decimale, un 5.

E’ immediato vedere che, aggiungere al numero precedente uno 0 (a destra) equivale a moltiplicare per 2 il 5 ottenuto, ottenendo cosí un 10. Vediamo quindi che, come nel sistema decimale l’aggiunta di uno 0 a destra di un numero equivale a moltiplicare questo per 10, cosí nel sistema binario l’aggiunta di uno 0 a destra di un numero equivale a moltiplicare questo per 2. Proviamo a convertire in decimale il seguente numero binario:

1 0 1 1 0 1 0 1 1

Scriveremo:

\begin{aligned}1 × 2 & = & 2 \\ 2 + 0 & = & 2 \\ 2 × 2 & = & 4 \\ 4 + 1 & = & 5 \\ 5 × 2 & = & 10 \\ 10 + 1 & = & 11 \\ 11 × 2 & = & 22 \\ 22 + 0 & = & 22 \\ 22 × 2 & = & 44 \\ 44 + 1 & = & 45 \\ 45 × 2 & = & 90 \\ 90 + 0 & = & 90 \\ 90 × 2 & = & 180 \\ 180 + 1 & = & 181 \\ 181 × 2 & = & 362 \\ 362 + 1 & = & 363 \end{aligned}

Seguendo il procedimento indicato riusciamo a convertire in decimale, mentalmente ed in modo rapido, un numero binario non eccessivamente grande.

Possiamo, in modo equivalente, esprimere il numero decimale (o binario) dato, facendo uso del metodo delle potenze di 10 (o di 2). Cosí ad esempio, il numero decimale 314159 puó é esprimibile come:

\begin{matrix}9 × 10^{0} & + \\ 5 × 10^{1} & + \\ 1 × 10^{2} & + \\ 4 × 10^{3} & + \\ 1 × 10^{4} & + \\ 3 × 10^{5} & = \end{matrix}

Vale a dire che ogni cifra che compone il numero dato viene ad essere moltiplicata per una potenza di 10 pari alla posizione che essa occupa nel numero dato, contando le posizioni da destra a sinistra ed attribuendo alla cifra posta all’estrema destra la posizione 0. Il numero é la somma di tutti i termini in tal modo ottenuti.

In modo analogo, nel sistema binario si scrive il dato numero come somma delle singole cifre binarie, moltiplicate ciascuna per una potenza di 2, corrispondente alla posizione che essa occupa nel numero. Ad esempio, il numero binario 100111010 si esprime come:

\begin{matrix}0 × 2^{0} & + \\ 1 × 2^{1} & + \\ 0 × 2^{2} & + \\ 1 × 2^{3} & + \\ 1 × 2^{4} & + \\ 1 × 2^{5} & + \\ 0 × 2^{6} & + \\ 0 × 2^{7} & + \\ 1 × 2^{8} & = \end{matrix}

Questo metodo, facile da implementare in un computer, é meno agevole per effettuare il calcolo mentalmente in modo rapido.

Pur essendo il sistema binario quello adoperato nei sistemi digitali, altri sistemi diversi da quello binario sono spesso adoperati nello sviluppo del software che utilizza i sistemi digitali. I piú comuni sono quello ottale (base 8) e quello esadecimale (base 16). Nel sistema ottale si dispone di 8 simboli (da 0 a 7) e si ”costruiscono” i numeri maggiori di 7 seguendo i passi indicati ai punti a) ..... e), con la modifica del 10 in 8. Vediamo un esempio:

72_{8} = 58_{10}

Cioé:

\begin{aligned}7 × 8 & = & 56 \\ 56 + 2 & = & 58 \end{aligned}

Ovviamente, in tale sistema il numero 8 si scriverá ”10”, cioé 1 × 8.

Nel sistema esadecimale si dispone di 16 simboli (i numeri decimali da 0 a 9, e le lettere A, B, C, D, E, F). Abbiamo:

\begin{aligned}A & → & 10_{10} \\ B & → & 11_{10} \\ C & → & 12_{10} \\ D & → & 13_{10} \\ E & → & 14_{10} \\ F & → & 15_{10} \end{aligned}

I numeri maggiori di 15 vengono ”costruiti” seguendo la ricetta delineata ai punti a) ..... e), con la sostituzione del 10 con il 16. Ad esempio il numero esadecimale ”1A” in decimale é:

\begin{aligned}1 & × & 16 & = & 16 \\ 16 & + & A & = & 26 \end{aligned}

Il numero esadecimale ”FF” é uguale a (15 × 16) + 15 = 255.

É facile convertire in ottale un numero binario. Basta tener presente che un insieme di tre bit binari puó rappresentare i numeri base del sistema ottale, cioé i numeri tra 0 e 7. Possiamo allora raggruppare tre a tre i bit che costituiscono il numero binario dato (a partire dalla destra) per ottenere il numero in ottale. Cosí ad esempio:

[\underbrace{110}_{6} \underbrace{101}_{5} \underbrace{001}_{1} \underbrace{111}_{7}]_{2} = [6517]_{8}

In modo analogo, é possibile convertire in esadecimale un generico numero binario. Questa volta si dovranno raggruppare quattro alla volta i bit che costituiscono il numero binario dato e sostituire a ciascun gruppo il corrispondente numero esadecimale. Ad esempio, il numero prima convertito in ottale, diventa:

[\underbrace{1101}_{D} \underbrace{0100}_{4} \underbrace{1111}_{F}]_{2} = [D4F]_{16}

E’ facile vedere poi come si possa agevolmente convertire un numero ottale o esadecimale in un numero binario. A tale scopo é sufficiente convertire in binario ciascuna delle cifre che costituiscono il numero ottale o esadecimale.

Ci si puó chiedere ora come si possa convertire viceversa un numero decimale dato in una base 2. La procedura é la seguente:

(a) si divide per 2 il numero decimale assegnato, ottenendo un quoziente ed un resto. Notiamo che il resto sará 0 (se il numero era pari) o 1 (se era dispari)

(b) si divide per 2 il quoziente ottenuto. Si ottiene un nuovo quoziente ed un nuovo resto

(c) si continua l’operazione, fino a che il quoziente non sia nullo

(d) la serie dei resti ottenuti, letta in ordine inverso, fornirá il numero binario richiesto.

Vediamo ció con un esempio

[374]_{10} = [?]_{2}

Divisione Quoziente Resto
374/2  187  0
187/2  93  1
93/2  46  1
46/2  23  0
23/2  11  1
11/2  5  1
5/2  2  1
2/2  1  0
1/2  0  1

Il numero binario é quindi:

1 0 1 1 1 0 1 1 0

Cosí come nel sistema decimale le cifre dopo la virgola decimale (o il punto decimale) vengono ad essere moltiplicate per potenza negative e crescenti di 10, cosí nel sistema binario le cifre dopo la virgola (binaria) vengono ad essere moltiplicate per potenze negative e crescenti di 2. Ad esempio:

[101.1101]_{2} = [5. (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{0}{8} + \frac{1}{16})]_{10}

Se vogliamo convertire un numero decimale frazionario in un numero binario, potremo procedere secondo le linee del seguente esempio.

Supponiamo di dover convertire il numero decimale 0.8125. Moltiplichiamo il numero per 2 e chiediamoci se il risultato é ≥ 1.

0.8125 × 2 = 1.625 ≥ 1

Poiché la disuguaglianza é soddisfatta, scriviamo un 1, sottraiamo 1 dal risultato e moltiplichiamo per 2 (se non lo fosse scriveremmo 0 e moltiplicheremmo ancora per 2):

1.625 − 1 = 0.625

Moltiplichiamo 0.625 per 2 e verifichiamo nuovamente se il numero ottenuto é ≥ 1. Se lo é scriviamo un altro 1 e sottraiamo 1 dal numero dato.

0.625 × 2 = 1.25 ≥ 1

1.25 − 1 = 0.25

Moltiplichiamo ancora 0.25 per 2 e verifichiamo:

0.25 × 2 = 0.5 < 1

Poiché questa volta la disuguaglianza non é soddisfatta, scriviamo uno zero anziché un 1.

Moltiplichiamo nuovamente per 2:

0.5 × 2 = 1 ≥ 1

1 − 1 = 0 fine del processo

La sequenza di 1 e 0 scritta, letta dall’alto verso il basso, rappresenta il numero frazionario desiderato. Nel nostro caso esso é:

0.1101

Verifichiamo:

0.1101 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{0}{8} + \frac{1}{16} = 0.8125

In una macchina a 32 bit, il piú grande numero intero che é possibile rappresentare, tenendo conto del fatto che un bit é usato per il segno, é:

N = 2147483648

Si tratta di un numero grande, ma non abbastanza per tutte le situazioni. Per rappresentare numeri molto piú grandi (o anche numero molto minori di 1) si ricorre alla rappresentazione che fa uso della caratteristica e della parte frazionaria. Ció é in fondo analogo a quanto facciamo nel sistema decimale per rappresentare numeri molto grandi o molto piccoli, ricorrendo alla notazione esponenziale. Ad esempio, per il numero di Avogadro scriviamo:

N_{A} = 6.022045 10^{23}

e per la costante di Boltzmann:

K = 1.380662 10^{−23}

Cosí, nei computer, un numero puó essere rappresentato dal prodotto di un numero binario per una potenza di 16, dove l’esponente é specificato da un secondo numero binario. Ad esempio, nel vecchio sistema IBM/370, un ”parola” di 32 bit era divisa in due gruppi di bits, come mostrato di seguito:

S caratteristica (7 bits) parte frazionaria (24 bits)
0 1  7 8  31

Il bit 0, all’estrema sinistra, é adoperato per il segno. I successivi 7 bit sono adoperati per la caratteristica. I rimanenti 24 costituiscono la parte frazionaria. Il punto decimale va immaginato alla sinistra del bit piú significativo della parte frazionaria.

La caratteristica é ottenuta in realtá aggiungendo 64 all’esponente vero e proprio. Ció vien fatto allo scopo di riuscire a rappresentare anche esponenti molto minori di zero.

Notiamo che i 7 bits della caratteristica possono rappresentare i numeri decimali che vanno da 0 a 127. Ad esempio, la rappresentazione di un numero che in notazione decimale fosse:

N_{D} = F_{D} 10^{C_{D}}

dove F_{D} é la parte frazionaria (.6022045 nel caso del numero di Avogadro) e C_{D} la caratteristica nello stesso esempio (cioé 24), si otterrebbe nel modo seguente:

a) si converte in binario la parte frazionaria, conservando solo 24 bits

b) si converte 10^{C_{D}} in 16^{C_{H}} , cioé in una potenza di 16

c) al valore di C_{H} ottenuto si somma 64 (decimale). Questa sará la caratteristica del numero in esame.

La rappresentazione descritta é quella dei numeri detti ”floating point” (ovvero, in italiano, ”in virgola mobile”) quando si adotti la ”singola precisione”. Per calcoli piú accurati é possibile usare ”parole” costituite da gruppi di 2 parole singole (ovvero 64 bit) o anche di 4 parole singole (ovvero 128 bit).

Poiché un gruppo di 8 bits costituisce quello che é chiamato un ”byte”, una parola ”singola precisione” é costituita da 4 bytes, una in ”doppia precisione” da 8 bytes, ed una in ”precisione estesa” da 16 bytes.

1.2 Il codice Grey

Sempre restando nell’ambito di una logica di tipo binario, occorre notare che la costruzione che abbiamo descritto della corrispondenza tra numeri binari e numeri decimali, suggerita dall’analogia con il sistema decimale, non é unica. Infatti si puó altrettanto facilmente ipotizzare una generica corrispondenza tra numeri binari e numeri decimali ed adottarla come ”sistema di numerazione binaria”. Tale corrispondenza deve essere implementabile tramite una precisa ”ricetta”. Ció é fatto ad esempio dal codice Grey. In tale codice, i numeri binari 0 ed 1 corrispondono allo 0 ed 1 decimale rispettivamente:

0000  →  0
0001  →  1
− − −− − − − − − − − − prima riflessione
0011  →  2
0010  →  3
− − −− − − − − − − − − seconda riflessione
0110  →  4
0111  →  5
0101  →  6
0100  →  7

Per ”costruire” la configurazione binaria corrispondente al 2 ed al 3 decimali, effettuiamo una ”riflessione” delle prime due righe nello specchio rappresentato dalla prima linea tratteggiata e contemporaneamente cambiamo in 1 gli zeri che vengono a comparire nella seconda colonna a partire dalla destra. Per ”costruire” ora la configurazione binaria corrispondente al 4, 5, 6, 7 decimali, effettuiamo una nuova riflessione delle prime quattro righe nello specchio rappresentato dalla seconda linea tratteggiata, e contemporaneamente cambiamo in 1 gli zeri che compaiono nella terza colonna, a partire dalla destra, delle quattro nuove righe.

Il processo puó esser proseguito quanto si vuole. Notiamo che una caratteristica del sistema Grey é che nel passare da un numero al successivo, uno solo dei bit cambia. Cosí, nel passare dal 2 al 3 cambia solo il bit meno significativo, nel passare dal 3 al 4 cambia solo il terzo bit, etc. Ció non accade nel sistema binario ”convenzionale” dove, nel passaggio da un valore a quello adiacente possono cambiare un numero arbitrario di bits. Ció é un indubbio vantaggio del codice Grey in applicazioni elettroniche, dove i tempi di commutazione degli elementi che memorizzano i diversi bit possono differire leggermente.

1.3 Porte logiche

L’informazione elementare alla base del funzionamento di un qualsiasi sistema digitale é il bit. I due valori che questo puó acquistare, che convenzionalmente chiamiamo 0 ed 1, sono nella pratica associati a due possibili valori di tensione (ad esempio 0V e 5V) o di corrente. La convenzione che puó essere adottata nello stabilire la corrispondenza tra stato logico (0 o 1) e livello di tensione (0V o 5V) stabilisce il tipo di logica. Se allo 0 logico facciamo corrispondere il piú basso dei valori di tensione ed all’1 il piú alto, diremo che stiamo lavorando in logica positiva. Viceversa, possiamo far corrispondere allo 0 logico il livello alto di tensione ed all’1 logico il livello basso; diremo che in tal caso stiamo lavorando in logica negativa.

Una variabile binaria puó acquistare o il valore 0 o il valore 1. A partire da una o piú variabili binarie possiamo poi, come vedremo tra un attimo, costruire delle funzioni di questa/e variabile/i. Se una variabile, o funzione di variabili, acquista il valore 1, diremo anche che essa é vera (True = T). Se acquista il valore logico 0, diremo che é falsa (False = F). Ovviamente, come una variabile, cosí anche una funzione logica di variabili logiche puó assumere solo i valori 1=T o 0=F.

La piú semplice delle funzioni (logiche) di variabile logica é il NOT, o invertitore. Se A é la variabile, l’applicazione della funzione NOT fornisce una nuova variabile che é il complemento (logico) di A. Cioé, se A = 0, il NOT di A vale 1; se A = 1, il NOT vale 0. Il simbolo per indicare la negazione (cioé il NOT) é:

NOT (A) = \overline{A}

Il simbolo del circuito elettronico che implementa tale operazione é quello mostrato in figura 1.1:

Figura 1.1:

Una funzione logica puó esser caratterizzata scrivendo esplicitamente il valore assunto dalla funzione per ogni possibile valore del/degli ingressi. In genere si fa ció sotto forma di una tabella, detta ”tabella delle veritá”. Nel caso della funzione NOT questa é:

\begin{matrix}A & Y = \overline{A} \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}

La funzione OR a due ingressi é definita dalla seguente tabella delle veritá:

\begin{matrix}A & B & Y = A + B \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}

Figura 1.2:

Cioé l’OR di A e B assume il valore 1 se almeno uno dei due ingressi A e B assume il valore 1. L’operatore che indica la funzione OR é il +:

Il simbolo del circuito logico che implementa la funzione OR é mostrato in figura 1.2:

La funzione AND a due ingressi é definita dalla seguente tabelle delle veritá:

\begin{matrix}A & B & Y = A · B \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}

Vediamo dalla tabella che l’AND vale 1 se e solo se entrambi gli ingressi valgono 1. Il simbolo del circuito logico che implementa la funzione AND é mostrato in figura 1.3:

Figura 1.3:

L’operatore che indica la funzione AND é quella della moltiplicazione: A · B: Porte NOR e NAND a piú di due ingressi sono possibili. L’uscita di una funzione

OR a piú ingressi vale 1 se almeno uno degli ingressi vale 1. L’uscita di una funzione AND a piú ingressi vale 1 se tutti gli ingressi valgono 1. E’ ovviamente possibile combinare due o piú funzioni logiche per definire nuove funzioni. Cosí ad esempio, un AND seguito da un NOT realizza la funzione nota come NAND (= NOT.AND). La tabella delle veritá di un NAND é:

\begin{matrix}A & B & Y = \overline{A · B} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}

Il simbolo del circuito elettronico che implementa la porta NAND é mostrato in figura 1.4:

Figura 1.4:

Un OR seguito da un NOT realizza la funzione nota come NOR (= NOT.OR), la cui tabella delle veritá é:

\begin{matrix}A & B & Y = \overline{A + B} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}

Il simbolo del circuito elettronico che implementa la porta NOR é mostrato in figura 1.5:

Figura 1.5:

La funzione ”OR esclusivo”, indicata con XOR, ha la medesima tabella delle veritá della funzione OR, ad eccezione della riga con A = B = 1, in cui l’XOR vale 0. Possiamo pensare all’XOR come un ”OR con esclusione dell’AND”. Infatti la riga con A = B = 1 é quella per la quale é soddisfatto l’AND di A e B. Il simbolo del circuito che implementa la funzione XOR é mostrato in figura 1.6:

Il simbolo per l’XOR é il ⨁.

1.4 Algebra di Boole

1.4.1 Identitá Booleane

A partire da due o piú variabili logiche A, B, C etc., é possibile costruire espressioni logiche di varia complessitá. Tali espressioni possono essere semplificate facendo

Figura 1.6:

uso delle regole dell’algebra di Boole. Tali regole sono nella piú gran parte dei casi immediatamente ovvie; in altri possono essere dimostrate costruendo la relativa tabella delle veritá per evidenziare l’uguaglianza dei due membri dell’equazione.

Elenchiamo le piú frequenti:

1. A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) (proprietá associativa)

2. A · B · C = (A · B) · C = A · (B · C) (proprietá associativa)

3. A + B = B + A (proprietá commutativa)

4. A · B = B · A (proprietá commutativa)

5. A + A = A (identitá)

6. A · A = A (identitá)

7. A + 1 = 1

8. A + 0 = A

9. A · 1 = A

10. A · 0 = 0

11. A · (B + C) = A · B + A · C (proprietá distributiva)

12. A + (A · B) = A (ridondanza)

13. A · (A + B) = A (ridondanza)

14. A + (B · C) = (A + B) · (A + C)

15. \overline{\overline{A}} = A

16. A · \overline{A} = 0

17. A + \overline{A} = 1

18. A + (\overline{A} · B) = A + B

19. A · (\overline{A} + B) = A · B Dimostriamo, facendo uso del metodo della tabella della veritá, la (14):

\begin{matrix}A & B & C & (B · C) & A + (B · C) & (A + B) & (A + C) & (A + B) · (A + C) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}

Notiamo che se A = 1 in logica positiva, allora A = 0 in logica negativa. Consideriamo ora la tabellina dell’AND (in logica positiva):

\begin{matrix}\overline{A} & \overline{B} & A & B & A · B & \overline{A · B} = \overline{A} + \overline{B} \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix}

Cambiare logica vuol dire complementare tutto, cioé scambiare 0 con 1 nella tabellina. Abbiamo indicato ció nelle prime due colonne e nell’ultima. Notiamo che l’ultima colonna coincide con l’OR delle prime due. Possiamo allora dire che: ”un AND in logica positiva diviene un OR in logica negativa”. Questo risultato é anche conseguenza delle leggi di De Morgan, che esamineremo tra poco.

Esaminiamo ora la tabella delle veritá della funzione XOR (Y = A ⨁ B).

\begin{matrix}A & B & Y = A ⨁ B \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}

La tabella ci permette di scrivere diverse espressioni della funzione XOR, facendo uso di funzioni OR, NOT ed AND. Una prima espressione si puó ottenere esaminando le due righe in corrispondenza delle quali é Y = 1. La prima di queste corrisponde a A falso e B vero, cioé all’AND: \overline{A} · B; la seconda corrisponde ad A · \overline{B}. Poiché Y vale 1 sia nel primo caso che nel secondo, potremo scrivere:

1) A ⨁ B = \overline{A} · B + A · \overline{B} (1.1)

Una seconda espressione dell’XOR puó essere ottenuta notando che l’XOR é vero quando é vero l’OR a condizione che sia falso l’AND. Cioé:

2) A ⨁ B = (A + B) · (\overline{A · B}) (1.2)

Una terza espressione si puó ottenere notando che l’XOR é vero se é vero A o B: (A + B) purché uno dei due sia falso (\overline{A} + \overline{B}):

3) A ⨁ B = (A + B) · (\overline{A} + \overline{B}) (1.3)

Infine notiamo che il complemento dell’XOR é vero (cioé l’XOR é falso) nella prima e quarta riga della tabella delle veritá.

Queste corrispondono a \overline{A} · \overline{B} (la prima) e a A · B l’ultima. Quindi:

\overline{A ⨁ B} = \overline{A} · \overline{B} + A · B

Cioé:

4) A ⨁ B = \overline{\overline{A} · \overline{B} + A · B} (1.4)

L’implementazione dei quattro modi indicati per realizzare la funzione XOR é indicata in figura 1.7, 1.8, 1.9 ed 1.10.

Figura 1.7:

1.5 Leggi di De Morgan

L’equivalenza delle quattro diverse implementazioni della funzione XOR, mostrata nella sezione precedente, puó esser dimostrata in modo rigoroso facendo uso delle leggi di De Morgan. Esse sono:

\overline{A · B · C ⋯} = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C} + ⋯

\overline{A + B + C + ⋯} = \overline{A} · \overline{B} · \overline{C} ⋯

La prima di queste ci dice che il complemento dell’AND di piú variabili logiche é uguale all’OR dei complementi delle singole variabili. La seconda dice che il complemento dell’OR di piú variabili logiche é uguale all’AND dei complementi

Figura 1.9:

delle singole variabili. Le leggi di De Morgan sono utilissime nel semplificare o trasformare espressioni logiche in piú variabili.

Vediamo ora come, facendo uso di tali leggi, si possa facilmente dimostrare l’equivalenza delle quattro diverse espressioni che abbiamo fornito per la funzione XOR. Partiamo ad esempio dall’espressione 1.1:

A ⨁ B = \overline{A} · B + A · \overline{B}

Complementandola due volte, otteniamo:

⋯ \overline{\overline{\overline{A} · B + A · \overline{B}}} = \overline{\overline{\overline{A} · B} · \overline{A · \overline{B}}} = \overline{(A + \overline{B}) · (B + \overline{A})} = \overline{A · B + \overline{A} · \overline{B}}

ció troviamo la 1.4 data in precedenza. Sviluppando quest’ultima troviamo poi:

\overline{A · B + \overline{A} · \overline{B}} = \overline{A · B} · \overline{\overline{A} · \overline{B}} = (\overline{A} + \overline{B}) · (A + B)

Cioé la forma 1.3 dell’XOR.

Infine, complementando due volte il primo termine nell’ultimo membro dell’espressione appena scritta:

\overline{\overline{(\overline{A} + \overline{B})}} · (A + B) = (\overline{A · B}) · (A + B)

che é la forma 1.2 dell’XOR. E’ cosí dimostrata l’equivalenza delle quattro forme. Facendo uso dell’algebra di Boole e delle leggi di De Morgan é possibile sempli-

ficare proposizioni logiche complete. E’ inoltre possibile ottenere delle realizzazioni concrete di funzioni logiche, facendo uso di pochi componenti base. Ad esempio, é facile vedere come la funzione OR possa esser ottenuta facendo uso di sole porte NAND. Consideriamo infatti un OR con due ingressi A e B:

A + B

Negando due volte otteniamo:

\overline{\overline{A + B}} = \overline{\overline{A} · \overline{B}}

cioé il simbolo circuitale mostrato in figura 1.11

Figura 1.11:

1.6 Forme standard di funzioni logiche

Nel seguito, per semplificare la notazione, ometteremo il simbolo · che indica il prodotto logico di cue variabili.

Esistono due diverse forme standard per le funzioni logiche. Esse sono rispettivamente la somma di prodotti ed il prodotto di somme. Un esempio del primo tipo di funzione é:

XY + \overline{W} X + \overline{W} Y Z + XY Z

dove compaiono le quattro variabili X,Y,Z,W.

Facciamo vedere ora come questa possa essere riscritta nella forma di un prodotto di somme. L’espressione puó essere riscritta nella forma:

XY X + \overline{W} X + \overline{W} Y Z + XY Y Z =
(\overline{W} + XY)X + (\overline{W} + XY)Y Z =
(\overline{W} + XY)(X + Y Z)

che é un prodotto di somme.

Si dice che una somma di prodotti é in forma estesa se ciascun termine della somma contiene tutte le variabili. Tale forma emerge in modo naturale se la funzione logica é ottenuta da una tabella delle veritá. Vediamo ció con un esempio.

\begin{matrix}X & Y & Z & L \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}

cioé:

L = \overline{X}Y \overline{Z} + \overline{X}Y Z + X\overline{Y} \overline{Z} + XY \overline{Z} + XY Z

Ciascuno dei termini della somma va sotto il nome di ”minterm”. Notiamo che l’espressione scritta puó esser semplificata:

L = \overline{X}Y (\overline{Z} + Z) + X\overline{Y} \overline{Z} + XY (Z + \overline{Z}) = \overline{X}Y + X\overline{Y} \overline{Z} + XY =

= Y (X + \overline{X}) + X\overline{Y} \overline{Z} = Y + \overline{Y} X\overline{Z} = Y + X\overline{Z}

Un esempio di prodotto di somme é:

L = (\overline{W} + XY)(X + Y Z)

Ciascuno dei termini del prodotto é un ”maxterm”. La funzione scritta puó facilmente esser trasformata in una nuova espressione dove ciascun termine del prodotto contiene solo due delle variabili. Facendo uso della relazione:

A + (BC) = (A + B) · (A + C)

troviamo:

L = (\overline{W} + X)(\overline{W} + Y)(X + Y)(X + Z)

Diremo che il prodotto di somma é in forma estesa se ciascuna somma contiene tutte le variabili. Tale forma puó facilmente essere ottenuta nel caso in cui la funzione L sia definita da una tabella della veritá. Ad esempio, facendo uso della medesima tabella usata sopra, calcoliamo \overline{L}:

\overline{L} = \overline{X}\overline{Y} \overline{Z} + \overline{X}\overline{Y} Z + X\overline{Y} Z

da cui:

\overline{\overline{L}} = L = \overline{\overline{X}\overline{Y} \overline{Z} + \overline{X}\overline{Y} Z + X\overline{Y} Z} = \overline{\overline{X}\overline{Y} \overline{Z}} · \overline{\overline{X}\overline{Y} Z} · X\overline{Y} Z =

(X + Y + Z)(X + Y + \overline{Z})(\overline{X}Y \overline{Z})

che é un prodotto di somme in forma estesa.

1.7 Operazioni aritmetiche

Vediamo ora come, facendo uso di circuiti elementari che realizzino delle funzioni logiche, sia possibile effettuare la somma o la differenza di numeri binari. Immaginiamo di voler effettuare la somma di due bit a e b. Indichiamo con Σ la somma e con R il riporto. É facile verificare che essi sono dati dalla seguente tabella delle veritá:

\begin{matrix}a & b & Σ & R \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}

Vediamo facilmente che Σ coincide con a ⨁ b , mentre R coincide con a · b.

Immaginiamo di avere due numeri, di n bit ciascuno e contiamo i bit di ciascuno dei numeri a partire dal bit meno significativo (il piú a destra di tutti) da 0 ad (n-1). Cioé:

\underline{a} = a_{n−1}a_{n−2} ⋯ a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}

\underline{b} = b_{n−1}b_{n−2} ⋯ b_{3}b_{2}b_{1}b_{0}

La somma del bit i^{emo} di a e del corrispondente di b potrá essere ottenuto tramite un circuito che calcoli l’OR esclusivo e l’AND di a_{i} e b_{i}. Un tale circuito va sotto il

Figura 1.13:

nome di ”semisommatore”o ”Half Adder” (HA). In termini circuitali avremo quanto mostrato in figura 1.12.

Per effettuare la somma dei numeri a e b occorrerá un circuito che sommi alla somma dei due bit a_{i} e b_{i}, il riporto R_{i−1} dalla somma dei due bit precedenti (meno significativi). Tale circuito puó in linea di principio essere ottenuto da due H.A., nel modo indicato in figura 1.13.

E’ facile verificare che il riporto finale R_{i} é l’XOR del riporto R′_{i} dal primo semisommatore e di quello R′′_{i} dal secondo.

Un modo piú pratico di effettuare la somma dei due bit e del riporto della somma dei due bit precedenti é ottenibile analizzando la tabella delle veritá per i termini a_{i}, b_{i}, R_{i−1}, Σ_{i}, R_{i} mostrata qui di seguito.

\begin{matrix}a_{i} & b_{i} & R_{i−1} & Σ_{i} & R_{i} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}

Dalla tabella delle veritá si ottiene:

Σ_{i} = \overline{a}_{i}b_{i}\overline{R}_{i−1} + a_{i}\overline{b}_{i}\overline{R}_{i−1} + \overline{a}_{i}\overline{b}_{i}R_{i−1} + a_{i}b_{i}R_{i−1} R_{i} = a_{i}b_{i}\overline{R}_{i−1} + \overline{a}_{i}b_{i}R_{i−1} + a_{i}\overline{b}_{i}R_{i−1} + a_{i}b_{i}R_{i−1}

Notiamo che R_{i} puó essere semplificato in:

R_{i} = b_{i}R_{i−1} + a_{i}b_{i} + a_{i}R_{i−1} Σ_{i} ed R_{i} possono facilmente essere realizzati utilizzando porte logiche elementari.

1.8 Sottrazione binaria

Ammettiamo di voler sottrarre un numero binario A da un numero binario B, con B > A. Possiamo illustrare il procedimento da seguire se fissiamo il numero di bit di cui A e B sono costituiti. Ammettiamo ad esempio di dover adoperare numeri di 4 bit. Notiamo intanto che la somma di A e del suo complemento é:

A + \overline{A} = 1111 ció che di solito si esprime dicendo che \overline{A} é il complemento ad 1 di A. Nel seguito di questa sezione, per evitare di confondere il simbolo di somma

con quello (+) adoperato per la funzione OR, adopereremo la lettera greca Σ per indicare la somma e la lettera Δ per indicare la differenza.

Notiamo che la relazione:

AΣ\overline{A} = 1111 (1.5) implica:

AΣ (\overline{A}Σ1) = 10000 (1.6) Si dice anche che (\overline{A}Σ1) é il complemento a 2 di A. Dalla 1.6 segue che:

A = 10000Δ\overline{A}Δ1 e quindi:

BΔA = (BΣ\overline{A}Σ1) Δ10000 (1.7) Dalla 1.7 segue che per sottrarre A da B occorre: a complementare A, ottenendo \overline{A} b sommare B ad \overline{A} c sommare 1 al risultato d lasciar cadere il quinto bit (il piú significativo)

Vediamo quindi che, con il metodo suggerito, riusciamo a realizzare l’operazione differenza effettuando operazioni che abbiamo giá appreso, cioé il complemento (NOT) di ogni bit di un numero e la somma Σ. E’ facile verificare che, con il procedimento indicato, se B > A, il quinto bit c’é sempre (cioé il numero ottenuto effettuando la somma: BΣ\overline{A}Σ1 vale sempre 1). Possiamo ora verificare che, nel caso in cui il quinto bit sia 0, B é minore di A. Verificheremo anche che in tal caso la differenza (negativa) ha un valore assoluto pari al complemento di (BΣ\overline{A}).

Riscriviamo infatti la 1.7 nella forma:

BΔA = BΣ\overline{A}Δ1111 = Δ [1111Δ (BΣ\overline{A})] = Δ\overline{[BΣ\overline{A}]}

Poiché, se n é un numero binario di quattro bit, 1111-n é il complemento di n. Vediamo un esempio, cominciando dal caso B > A:

B = 12 = 1100 ; A = 9 = 1001

BΔA = BΣ\overline{A}Σ1

dove: \overline{A} = 0110.

B 1100
\overline{A} 0110
BΣ\overline{A} 10010
BΣ\overline{A}Σ1  1

10011

Lasciamo ora cadere il bit piú significativo (il quinto) ed otteniamo:

BΣ\overline{A}Σ1 = 10011 → 0011 = 3

Notiamo per inciso che se B é maggiore di A, la somma di B e di \overline{A} avrá sempre il bit piú significativo uguale ad 1. Ció suggerisce di usare tale bit come addendo (cioé come l’1 da aggiungere nella terza delle operazioni sopra descritte (la (c)). Infatti, nel caso in cui B sia maggiore di A, il quinto bit varrá 1 e ció é quel che occorre per realizzare la sequenza di operazioni sopra descritte. Se invece B é minore di A, la somma BΣ\overline{A} avrá il bit piú significativo uguale a 0 ed aggiungerlo quindi alla soma BΣ\overline{A} non cambierá nulla.

Vediamolo nel caso concreto in cui:

B = 9 = 1001 ; A = 12 = 1100

Avremo:

B 1001
\overline{A} 0011
BΣ\overline{A} 01100 il 5 bit é zero

0

BΣ\overline{A}Σ0 01100

Se complementiamo tale numero, troviamo:

\overline{BΣ\overline{A}} = 0011

da interpretare come numero negativo (cioé dobbiamo immaginare di aver aggiunto un segno meno).

Quanto detto ci suggerisce un metodo generale per effettuare la differenza di due numeri B ed A valido sempre (cioé per B maggiore, uguale o minore di A). Il metodo consiste nel:

a complementare A

b sommare B ad \overline{A}

c sommare al risultato il quinto bit della somma (b5)

d se b5=1, il risultato ottenuto al punto (c), dopo aver lasciato cadere il bit piú significativo, rappresenta la differenza (positiva) BΔA

e se invece b5=0, il complemento del risultato ottenuto al punto (c) rappresenta il valore assoluto della differenza (negativa) BΔA.

Tutto ció é riassunto schematicamente in figura 1.14.

Figura 1.14:

Il circuito contenuto nella scatolina riceve in ingresso \overline{A}, B ed il quinto bit della somma di B ed \overline{A} . Se tale bit vale 0, la differenza BΔA é negativa ed il suo valore assoluto é \overline{S}. Se invece c3=1, la differenza BΔA (positiva) é data da S.

1.9 Rappresentazione dei numeri negativi

Come visto, per ottenere il complemento ad 1 di un numero binario, si complementano tutti i suoi bits. Una regola altrettanto semplice puó essere adoperata per ottenere il complemento a 2: si esaminano i bit di cui il numero é costituito, a partire dalla destra. Si copiano i bit fino ad incontrare un bit uguale ad 1. A partire da quel punto si ricopia l’1 ed i complementi dei bit che seguono. Esempio:

C_{2} (100110100) = 01001100

Verifichiamo che C_{2}(N) + N = 100000000:

10110100 + 01001100 = 100000000

Cosí, se il primo bit sulla destra é un 1, il complemento a 2 puó essere ottenuto inserendo alla sinistra di tale 1 i complementi di tutti i rimanenti bit.

E’ ovvio da quanto detto che per rappresentare un numero negativo occorrerá aggiungere ai bit che rappresentano il numero, un ulteriore bit che ne rappresenti il segno. Le due convenzioni comunemente adoperate sono quella del ”complemento a due” e quella del ”complemento ad uno”. Esaminiamo la prima di questa, ammettendo, per semplicitá, di voler rappresentare numeri il cui valore assoluto sia al massimo il decimale 15 (1111 in binario). I numeri da 0 a 15 saranno i numeri binari di cinque bit, con il bit piú significativo (il quinto, che ora indicherá il segno) uguale a 0 e con i quattro meno significativi che vanno da 0000 a 1111.

Il numero negativo corrispondente ad un dato numero binario positivo si costruisce facendo il complemento a 2 del numero dato. Cosí:

+11 = 01011

−11 = 10101

Notiamo che, in tale sistema, la differenza di due numeri si ottiene prendendo la somma del primo e del complemento a 2 del secondo in tutti i casi! Cioé sia nel caso in cui A sia maggiore di B che in quello in cui A é minore di B. Vediamo ció con un esempio, cominciando dal caso in cui sia A che B sono positivi. La somma é data da:

binario decimale
A = 00110  6 +
B = 00101  5 =
AΣB = 01011  11

Calcoliamo ora la differenza AΔB:

binario decimale
A = 00110  6 +
−B = C_{2}(B) = 11011  5 =
AΣC_{2}(B) = 100001  1

Vediamo che ora il quinto bit é zero, mentre un 1 compare in sesta posizione. Ció non crea alcun problema poiché nel caso specifico i nostri registri hanno solo 5 bit. La differenza é positiva ed é uguale ad 1. Calcoliamo ora BΔA:

binario decimale
B = 00101  5 +
−A = C_{2}(A) = 11010  6 =
BΣC_{2}(A) = 11111  -1

Vediamo che il risultato é negativo (1 in quinta posizione) e che il modulo vale:

C_{2}(11111) = 00001 = 1

Un sistema analogo é quello della rappresentazione in ”complemento ad 1. Esamineremo piú avanti l’implementazione delle altre operazioni aritmetiche.

1.10 Comparatori digitali

Ammettiamo di voler comparare due semplici bit A e B. Le possibili configurazioni sono:

\begin{matrix}A & B & Test & Y \\ 0 & 0 & A = B & \overline{A} · \overline{B} \\ 0 & 1 & A < B & \overline{A} · B \\ 1 & 0 & A > B & A · \overline{B} \\ 1 & 1 & A = B & A · B \end{matrix}

La variabile Y nell’ultima colonna definisce in modo univoco lo stato di A e B. Notiamo che l’uguaglianza A = B, é espressa da:

Y = A · B + \overline{A} · \overline{B}

cioé:

Y = \overline{\overline{Y}} = \overline{\overline{A · B + \overline{A} · \overline{B}}} = \overline{\overline{A · B} · \overline{\overline{A} · \overline{B}}} =

= \overline{(\overline{A} + \overline{B}) · (A + B)} = \overline{A · \overline{B} + B · \overline{A}}

In definitiva abbiamo:

\begin{matrix}A > B & Y = A · \overline{B} = 1 \\ A < B & Y = B · \overline{A} = 1 \\ A = B & E ≡ Y = \overline{A · \overline{B} + B · \overline{A}} = 1 \end{matrix}

Un circuito che fornisce in uscita la variabile Y é quello di figura 1.15. Se vogliamo comparare dei numeri costituiti da piú bit, il circuito dovrá compara-

re i singoli bit ed un po’ di logica aggiuntiva sará necessaria per ottenere la risposta. Ammettiamo ad esempio di voler comparare due numeri di 4 bit. L’uguaglianza dei due numeri richiederá ovviamente l’uguaglianza due a due dei bit corrispondenti.

Cosí, indicando con A_{3}, A_{2}, A_{1}, A_{0} i bit del primo numero e con B_{3}, B_{2}, B_{1}, B_{0} quelli del secondo, l’uguaglianza richiederá:

A_{3} = B_{3}; A_{2} = B_{2}; A_{1} = B_{1}; A_{0} = B_{0}

cioé:

E_{3} · E_{2} · E_{1} · E_{0} = 1

A sará maggiore di B se:

a A_{3} > B_{3} oppure:

b A_{3} = B_{3} e A_{2} > B_{2} oppure:

c A_{3} = B_{3} e A_{2} = B_{2} e A_{1} > B_{1} oppure:

d A_{3} = B_{3} e A_{2} = B_{2} e A_{1} = B_{1} e A_{0} > B_{0}

Cioé:

Y = A_{3} · \overline{B_{3}} + E_{3} · A_{2} · \overline{B_{2}} + E_{3} · E_{2} · A_{1} · \overline{B_{1}} + E_{3} · E_{2} · E_{1} · A_{0} · \overline{B_{0}}

La condizione A < B si realizza scambiando A con B.

1.11 Paritá di un numero binario

Dato un numero binario, si definisce paritá la paritá della somma dei bit. Cosí ad esempio: 1101 ha paritá dispari (numero dispari di 1); mentre 1001 ha paritá pari.

L’uso della paritá é utile per controllare se un numero binario é stato trasmesso correttamente da un elemento di circuito ad un altro elemento, o anche da un sito ad un sito distante. Infatti il rumore che é inevitabilmente presente sulle linee usate per la trasmissione puó far sí che un bit cambi valore. Se ammettiamo che la probabilitá che, per effetto del rumore in una medesima parola (e.g. di 8 bit), 2 bit cambino valore, sia trascurabile, possiamo verificare l’eventuale presenza di errori aggiungendo alla parola un ulteriore bit che ci dica quale deve essere la paritá del numero. Cosí, se i numeri hanno 8 bit ed il numero in questione ha paritá dispari, potremo aggiungere un nono bit di valore 1 che renda la paritá complessiva pari. Se il numero di 8 bit aveva paritá pari, aggiungeremo un nono bit di valore 0, con che la paritá complessiva rimane pari. In ricezione, adopereremo un circuito che controlli la paritá e verifichi che sia sempre pari. Se essa risulterá dispari il sistema denuncerá l’errore al circuito da cui l’informazione proviene, il quale invierá nuovamente il dato. Ovviamente, é possibile adottare la convenzione di paritá dispari, anziché pari come nell’esempio fatto.

Esaminiamo ora un semplice circuito che genera il bit di paritá per una parola di 4 bit.

Se avessimo solo due bit, la paritá sarebbe:

A B paritá del numero bit da aggiungere
0 0  pari  0
0 1  dispari  1
1 0  dispari  1
1 1  pari  0

Vediamo che il ”bit da aggiungere” altro non é che l’XOR di A e B.

Se il sistema ha quattro bit (ABCD), potremo definire la paritá della coppia (AB), quella della coppia (CD) ed infine quella dei due bit di paritá cosí ottenuti. Occorrerá cioé una cascata di XOR, come mostrato in figura 1.16.

Figura 1.16:

1.12 Codificatori/Decodificatori

Un codificatore é un circuito che converte in un codice un’informazione corrispondente al verificarsi di uno tra n possibili eventi. Ad esempio, un codificatore é l’insieme dei circuiti presenti in un personal computer, che generano un numero binario (codice) quando si pigia un determinato tasto. Un decodificatore é viceversa un circuito che riceve in ingresso un codice (cioé un numero binario, codificato in modo opportuno) ed attiva una di n possibili linee (o eventi).

Esaminiamo come esempio di decodificatore un circuito per la conversione BCD-Decimale. BCD sta per ”Binary Coded Decimal” ed é un modo per rappresentare (codificare) i numeri decimali. In tale sistema i numeri da 0 a 9 sono rappresentati da 4 bit:

0 = 0000
1 = 0001
2 = 0010
3 = 0011
4 = 0100
5 = 0101
6 = 0110
7 = 0111
8 = 1000
9 = 1001

Un decodificatore BCD-Decimale riceverá in ingresso i quattro bit ed attiverá una di dieci possibili linee di uscita, corrispondenti ai numeri decimali da 0 a 9. Notiamo per inciso che nel codice BCD un numero decimale di piú cifre é rappresentato da tanti gruppi di quattro bit quante sono le cifre decimali che lo costituiscono. Ad esempio:

371 = 0011 0111 0001 3  7  1 Tabella 1.1:

Se indichiamo con (a_{3}, a_{2}, a_{1}, a_{0}) i bit che costituiscono il codice BCD (con a_{0} il meno significativo) e con (\overline{a}_{3}, \overline{a}_{2}, \overline{a}_{1}, \overline{a}_{0}) i loro complementi, avremo:

\overline{a}_{3} · \overline{a}_{2} · \overline{a}_{1} · \overline{a}_{0} ⇒ 0 decimale

\overline{a}_{3} · \overline{a}_{2} · \overline{a}_{1} · a_{0} ⇒ 1 decimale

\overline{a}_{3} · \overline{a}_{2} · a_{1} · \overline{a}_{0} ⇒ 2 decimale

⋯

a_{3} · a_{2} · a_{1} · a_{0} ⇒ 0 decimale

Un circuito che realizza tale funzione logica é quello mostrato in figura 1.17: Tale circuito é noto anche come decodificatore da 4 a 10 linee. Esaminiamo ora la struttura di un codificatore. Ammettiamo di voler generare

un carattere (codice) BCD in uscita pigiando uno di 10 tasti possibili. Siano i tasti T_{0} ⋯ T_{9}. La tabella delle veritá che realizza la funzione di codifica é la 1.2.

Un tasto pigiato corrisponde alla variabile T uguale ad 1. Il tasto non pigiato corrisponde alla variabile T uguale a 0. Dalla tabella vediamo subito la corrispondenza tra le variabili Y e le T:

Y_{0} = T_{1} + T_{3} + T_{5} + T_{7} + T_{9}

Y_{1} = T_{2} + T_{3} + T_{6} + T_{7}

Y_{2} = T_{4} + T_{5} + T_{6} + T_{7}

\begin{matrix}T_{9} & T_{8} & T_{7} & T_{6} & T_{5} & T_{4} & T_{3} & T_{2} & T_{1} & T_{0} & Y_{3} & Y_{2} & Y_{1} & Y_{0} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} Tabella 1.2:

Y_{3} = T_{8} + T_{9}

Un circuito che realizza tale codifica puó esser ottenuto da un integrato a matrice di diodi, come mostrato in figura 1.18.

Se uno degli interruttori T_{0} − T_{9} é chiuso, la corrispondente linea orizzontale viene a trovarsi a 5 V. Con ció i diodi ad essa collegati avranno l’anodo a 5 V ed il catodo collegato alle resistenze R, a loro volta collegate a massa. In tali condizioni, la tensione sul catodo sará 5-0.6=4.4 V, cioé ancora al livello alto. L’uscita (O le uscite) collegate alla linea verticale cui é connesso il catodo del diodo in questione sará quindi anch’essa al livello logico 1. Ció implementa la funzione voluta.

Se in tale circuito due o piú tasti vengono premuti contemporaneamente, il risultato puó non essere quello desiderato. Un ”codificatore con prioritá” elimina tale problema. In un codificatore dd questo tipo, se due o piú tasti sono pigiati insieme, l’azione che ha luogo é quella che si avrebbe pigiando solo il tasto piú alto nella

Figura 1.18:

sequenza T_{0} ⋯ T_{9}. Per ottenere tale funzione dobbiamo modificare la tabella delle veritá come segue:

Dove la x sta ad indicare che é irrilevante se quel tasto sia pigiato o no. Se ora si pigia il tasto T_{2} ma per errore si pigia contemporaneamente il tasto T_{3}, allora T_{3} ≠ 0 ed anche se T_{2} = 1 , diverranno ”alti” i bit Y_{1} ed Y_{0}. Vediamo come le variabili Y_{3} ⋯ Y_{0} possano essere espresse in funzione di T_{9} ⋯ T_{0}. Esaminiamo Y_{0}:

Y_{0} = T_{1}\overline{T}_{2}\overline{T}_{3}\overline{T}_{4}\overline{T}_{5}\overline{T}_{6}\overline{T}_{7}\overline{T}_{8}\overline{T}_{9} + T_{3}\overline{T}_{4}\overline{T}_{5}\overline{T}_{6}\overline{T}_{7}\overline{T}_{8}\overline{T}_{9} +

+T_{5}\overline{T}_{6}\overline{T}_{7}\overline{T}_{8}\overline{T}_{9} + T_{7}\overline{T}_{8}\overline{T}_{9} + T_{9} Questa si puó semplificare in:

Y_{0} = \overline{T}_{9}\overline{T}_{8} (T_{7} + \overline{T}_{7}B) + T_{9} con:

B = \overline{T}_{6}\overline{T}_{5}\overline{T}_{4}\overline{T}_{3}\overline{T}_{2}T_{1} + \overline{T}_{6}\overline{T}_{5}\overline{T}_{4}T_{3} + \overline{T}_{6}T_{5} = \overline{T}_{6} (T_{5} + \overline{T}_{5}C) dove:

C = \overline{T}_{4}\overline{T}_{2}T_{1} + \overline{T}_{4}T_{3} = \overline{T}_{4} (\overline{T}_{2}T_{1} + T_{3}) Ed infine:

Y_{0} = T_{9} + \overline{T}_{8} (T_{7} + \overline{T}_{6} (T_{5} + D))

T_{9} T_{8} T_{7} T_{6} T_{5} T_{4} T_{3} T_{2} T_{1} T_{0} Y_{3} Y_{2} Y_{1} Y_{0}
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 x 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 x x 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 x x x 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 x x x x 0 1 0 0
0 0 0 0 1 x x x x x 0 1 0 1
0 0 0 1 x x x x x x 0 1 1 0
0 0 1 x x x x x x x 0 1 1 1
0 1 x x x x x x x x 1 0 0 0
1 x x x x x x x x x 1 0 0 1

Tabella 1.3:

con:

D = \overline{T}_{4} (\overline{T}_{1}T_{1} + T_{3})

Un decodificatore svolge un ruolo opposto; esso attiva una tra N linee d’uscita secondo l’informazione che riceve da due o piú linee d’ingresso.

1.13 Multiplexer/Demultiplexer

Ammettiamo di voler ”incanalare” su di un’unica linea dati che provengono da una di N linee diverse. Si puó utilizzare a tale scopo un multiplexer. Il multiplexer ha N ingressi ”dati”, un ingresso ”indirizzo”, che specifica quale degli ingressi dati si vuol selezionare, ed un’unica uscita, sulla quale viene convogliato il dato. Un esempio di multiplexer é quello mostrato in figura 1.19

Figura 1.19:

Vediamo che se gli ingressi ”indirizzo” A e B sono entrambi uguali a 0, \overline{A} = 1 e \overline{B} = 1 e la prima porta AND sará abilitata ^{1}.

Quindi il segnale presente sulla linea d’ingresso X_{0} sará convogliato in uscita non appena l’ingresso di abilitazione S (Strobe) sia alto. Se A=1 e B=0, sará abilitata la seconda porta e sará quindi convogliato in uscita il segnale presente sulla linea X_{1} , e cosí via.

Un multiplexer puó esser utilizzato per effettuare la conversione parallelo- seriale. Ammettiamo infatti che ad un circuito arrivino dei bit, costituenti una ”parola”, su n linee parallele e che esso debba poi convogliare tali informazioni su di un’unica linea, come mostrato in figura 1.20.

Figura 1.20:

Si potrá usare un multiplexer che riceve sulle linee x_{0}, x_{1},...,x_{n} i bit da convogliare in uscita; gli ingressi di controllo (o di indirizzo) c_{0}, c_{1}, ⋯, c_{n}, dovranno ricevere in successione temporale regolare i valori 000, 100,...,010,...,110,... etc.. (con c_{0} il bit meno significativo). In tal modo il bit presente sulla linea x_{0} sará convogliato per primo in uscita, seguirá poi x_{1}, poi x_{2} etc. Ovviamente il numero degli ingressi n dovrá esser legato al numero di ingressi di controllo N dalla relazione n = 2^{N}. Cosí, per n = 4 avremo N = 4, per n = 8, N = 3 etc.

Un demultiplexer convoglia invece su una di n possibili linee di uscita i segnali che riceve su di una linea d’ingresso, facendo uso dell’informazione (indirizzo) che riceve su N linee di controllo. E’ utile far presente che qualsiasi decodificatore puó essere usato come demultiplexer utilizzando tutte le linee d’ingresso meno una per la funzione di selezione delle uscite. Inoltre possiamo far vedere come un multiplexer possa essere adoperato per implementare una funzione logica. Consideriamo il multiplexer di figura 1.21

Gli ingressi sono x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}. A e B sono gli ingressi di controllo (con A il meno significativo. S é lo Strobe. La tabella delle veritá é la seguente:

Y puó anche essere scritto come:

Y = x_{0}\overline{A} \overline{B} + x_{1}A\overline{B} + x_{2}\overline{A} B + x_{3}AB (1.8)

1si dice che una porta é abilitatata se essa é in grado di rispondere a variazioni dei segnali presenti sugli ingressi diversi da quello/quelli considerati di abilitazione. Ad esempio, se uno degli ingressi (considerato di abilitazione) di una porta AND a quattro ingressi é uguale a 0 l’uscita sará 0 qualunque siano i valori presenti sugli altri ingressi. Si dice che in tal caso la porta é disabilitata

\begin{matrix}B & A & S & Y \\ 0 & 0 & 1 & x_{0} \\ 0 & 1 & 1 & x_{1} \\ 1 & 0 & 1 & x_{2} \\ 1 & 1 & 1 & x_{3} \end{matrix}

Tabella 1.4:

Se ora volessimo implementare la seguente funzione logica:

Y = C\overline{B} \overline{A} + \overline{C} \overline{B} \overline{A} + C\overline{B} A + \overline{C} BA

notando che i primi due termini si possono semplificare in \overline{B} \overline{A}, cioé:

Y = \overline{B} \overline{A} + C\overline{B} A + \overline{C} BA

possiamo confrontare questa espressione con la 1.8, imponendo l’uguaglianza dei coefficienti che moltiplicano i termini \overline{B} \overline{A}, \overline{B} A, BA ottenendo:

x_{0} = 1; x_{1} = C; x_{2} = 0; x_{3} = \overline{C}

Basterá quindi utilizzare il moltiplexer indicato, assegnando agli ingressi x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3} i valori trovati, per implementare la funzione logica indicata.

I multiplexer/demultiplexer svolgono un ruolo di fondamentale importanza nei microprocessori e piú in generale in tutti i sistemi digitali. Esistono in commercio numerosi integrati dedicati allo scopo. In figura 1.22 é illustrato il multiplexer 74LS151.

Gli ingressi sono indicati con I_{0} − I_{7} . L’indirizzo, cioé il numero binario che rappresenta l’ingresso da selezionare, é impostato sui piedini S_{0} − S_{2} . L’uscita Z ed il suo complemento sono disponibili sui piedini 5/6. Il piedino indicato con E (accompagnato da un’inversione), che in condizioni normali va tenuto basso, é l’ingresso di enable. Se si vuole inibire il trasferimento occorrerá portare tale ingresso al livello alto.

L’integrato 74LS138, il cui schema logico é mostrato in figura 1.23 é utilizzabile come demultiplexer da 1 ad 8.

1.14 Registri e memorie: i Flip-Flop

Perché un numero possa essere elaborato da un processore, esso deve essere preventivamente immagazzinato in un insieme di celle elementari o registri. Un tipico registro puó contenere ad esempio un byte (8 bit), una parola di 16 bit o una parola di 32 bit etc. Alla base di un generico registro é la cella elementare di memoria, spesso costituita da un bistabile, o flip-flop (FF). Un FF é un circuito con due ingressi (detti ingressi di Set e di Reset) e due uscite, convenzionalmente chiamate Q e \overline{Q}, una complementare dell’altra. Esiste in realtá un’ampia varietá di FF. Quello che abbiamo sommariamente descritto é il flip-flop di tipo RS. Un FF puó assumere due stati: nello stato di Set, le uscite sono: Q = 1, \overline{Q} = 0. Nello stato di Reset esse sono: Q = 0, \overline{Q} = 1. Vediamo cosí che un FF puó essere adoperato per memorizzare un bit. I valori delle uscite sono determinati dai valori dei segnali presenti sugli ingressi R, S, secondo la seguente tabella delle veritá:

R S Q_{n}  \overline{Q}_{n}
0 0 non consentito
0 1 1  0
1 0 0  1
1 1 Q_{n−1}  \overline{Q}_{n−1}

Tabella 1.5:

Notiamo che lo stato in cui entrambi gli ingressi sono nello stato logico basso (R=0, S=0) é proibito. Lo stato in cui entrambi gli ingressi sono nello stato logico alto (R=1, S=1) é uguale a quello precedente l’applicazione di tali segnali sugli ingressi (Q_{n} = Q_{n−1}).

Il FF di tipo RS considerato é di tipo ”asincrono” dove si intende che la transizione da uno stato all’altro é determinata esclusivamente dall’applicazione di determinati segnali sugli ingressi R ed S ed indipendente da eventuali impulsi di clock presenti nel sistema. Per veder ció piú chiaramente, cominciamo con l’esaminare la struttura interna di un FF di tipo RS, che utilizza due porte NAND:

Figura 1.24:

Vediamo che se S=0 ed R=1, avremo Q = 0 e \overline{Q} = 1. Se S=1 ed R=0, si ha invece Q = 1 e \overline{Q} = 0. Se R ed S sono entrambi uguali ad 1, le uscite Q_{n} e \overline{Q}_{n} dipendono soltanto da Q_{n−1} e \overline{Q}_{n−1}, cioé dai valori che Q e \overline{Q} avevano prima dell’applicazione dei segnali su S ed R. In particolare, se era Q_{n−1} = 0 e \overline{Q}_{n−1} = 1, le uscite saranno Q_{n} = 0, \overline{Q}_{n} = 1. Se viceversa era Q_{n−1} = 1, \overline{Q}_{n−1} = 0, si avrá Q_{n} = 1, \overline{Q}_{n} = 0. Vediamo cosí che lo stato con R=S=1 non modifica le uscite Q e \overline{Q}.

Vediamo invece cosa accade nello stato ”proibito” con R=S=0. Se un ingresso di una porta NAND é 0, l’uscita sará 1 qualunque sia il segnale presente sull’altro ingresso (in tale situazione la porta é disabilitata). Vediamo quindi che, con R=S=0 avremmo Q = \overline{Q} = 1. Tale situazione é anomala, poiché vogliamo limitarci a due stati: (Q = 1 ; \overline{Q} = 0, (Q = 0 ; \overline{Q} = 1. C’é inoltre l’ulteriore problema costituito dal fatto che, in una eventuale successiva transizione allo stato con S=R=1, lo stato delle uscite Q e \overline{Q} verrebbe a dipendere dal ritardo relativo tra i segnali applicati agli ingressi S ed R. Se la transizione di S avviene prima di quella di R, il sistema andrá nello stato di Set (Q = 1), altrimenti andrá in quello di Reset (\overline{Q} = 1). Poiché il ritardo relativo é un elemento aleatorio é chiaro come tale situazione non sia accettabile. Vedremo in seguito come in alcuni tipi di FF (ad esempio i JK) non esista alcun stato proibito.

Si puó ottenere un circuito con la medesima tabella delle veritá di quello precedente, facendo precedere ciascuno dei due gates NAND da un ulteriore NAND e scambiando i ruoli di Q e \overline{Q} come mostrato in figura 1.25:

Figura 1.25:

Ammettiamo che gli ingressi di Preset e di Clear siano entrambi alti. Se l’enable é alto, le porte NAND, in ingresso saranno ”abilitate” (cioé le loro uscite, S’ ed R’, dipenderanno dai segnali presenti sugli ingressi S ed R). Ció é mostrato nella tabella che segue.

R S R’ S’ Q_{n}  \overline{Q}_{n}
0 0 1 1 Q_{n−1} \overline{Q}_{n−1}
0 1 1 0 1  0
1 0 0 1 0  1
1 1  non consentito

Tabella 1.6:

Vediamo che ora lo stato ”proibito” é quello che corrisponde ad R=S=1. Se l’ingresso di enable é basso, le porte in ingresso risulteranno disabilitate (cioé non risponderanno piú ai segnali presenti sugli ingressi R ed S. Avremo in tale situazione R’=S’=1 e Q_{n} = Q_{n−1}, \overline{Q}_{n} = \overline{Q}_{n−1}. Con gli ingressi di Preset e Clear entrambi alti, le due porte poste a valle risponderanno solo ai valori dei rimanenti ingressi.

L’ingresso che abbiamo chiamato ”Enable” puó essere utilizzato per un funzionamento ”sincrono” di tale FF. Se cioé immaginiamo di aver applicato agli ingressi R ed S due valori (ad esempio R=1, S=0), ed applichiamo all’ingresso di Enable un impulso di clock, finché questo é basso le uscite Q e \overline{Q} rimangono inalterate, mentre esse acquisteranno i valori Q = 0, \overline{Q} = 1 non appena il clock sia divenuto alto. L’impulso (positivo) del clock abilita cioé il trasferimento dei segnali presenti sugli ingressi R ed S, verso le uscite Q e \overline{Q} rispettivamente. Gli ingressi di Preset e Clear che, come si é detto, vanno normalmente tenuti alti, possono essere adoperati per fissare dei valori iniziali prestabiliti delle uscite. Immaginiamo infatti di tenere basso l’impulso di clock, con che S’=R’=1. Se ora poniamo Preset=1 e Clear=0 avremo \overline{Q} = 1, Q = 0. Se invece poniamo Preset=0 e Clear=1, avremo \overline{Q} = 0, Q = 1.

Se tra gli ingressi S ed R di un FF di tipo RS poniamo un invertitore (NOT) come mostrato in figura, otteniamo un FF di tipo D (DATA).

Figura 1.26:

La presenza dell’invertitore fa sí che se S=1, sará R=0 e viceversa. Tale FF ha un solo ingresso (D) al posto dei due ingressi separati S ed R. Il dato presente sull’ingresso D viene trasferito in Q quando l’impulso di clock diviene alto. Un esempio di FF di tipo D é quello mostrato in figura 1.27.

Questo (SN74LS74) é un chip che contiene 2 FF di tipo D. Ciascuno dei due FF contenuti nel chip ha, oltre all’ingresso D, gli ingressi di Preset e Clear, l’ingresso di clock e le uscite Q e \overline{Q}. ^{2}

Un tipo di FF che ha un ampio campo di applicazioni é il JK. Questo differisce da quello di tipo RS nel fatto che ora lo stato in cui entrambi gli ingressi (che ora si chiamano J e K) sono alti é consentito. In tale stato, l’arrivo di un impulso di clock fa passare le uscite del FF negli stati complementari di quelli in cui erano prima: Q_{n} = \overline{Q}_{n−1}, \overline{Q}_{n} = Q_{n−1}. Ció puó essere ottenuto facendo precedere ciascuno dei due ingressi di un FF RS, da una porta AND, come mostrato in figura 1.28.

Se J=1 e K=0, esaminiamo i due possibili stati di Q e \overline{Q}:

a) Q = 1, \overline{Q} = 0

In tal caso avremo S=0, R=0 e quindi lo stato del FF non cambierá all’arrivo dell’impulso di clock.

b) Q = 0, \overline{Q} = 1

Ora avremo R=0, S=1. In tal caso, all’arrivo dell’impulso di clock le uscite acquisteranno i valori:

2Nella sigla che identifica il chip, le ultime due cifre (74) specificano la funzione effettuata (FF di tipo D nel nostro caso). Le prime due cifre numeriche (nuovamente 74, ma é un caso!) si riferiscono al range di temperatura in cui puó operare: 74 implica un’applicazione ”commerciale”, per un range di temperatura che va da 0^{o}C a 70^{o}C. Se trovassimo un 54 al posto di tali due cifre, ció implicherebbe un dispositivo adatto ad applicazioni ”militari”, in un range di temperature compreso tra −55^{o}C e +125^{o}C. La sigla LS sta poi ad indicare la classe o tipo del chip. LS sta per ”Low power Schottky”.

Q = 1, \overline{Q} = 0 Se era J=0, K=1 possiamo anticipare, data la simmetria del circuito, che le uscite

saranno Q = 0,\overline{Q} = 1 dopo l’applicazione di un impulso di clock. Verifichiamolo, esaminando i due possibili stati del FF:

a) Q = 1, \overline{Q} = 0 In tal caso avremo: S=0, R=1; da cui seguirá Q = 0, \overline{Q} = 1.

b) Q = 0, \overline{Q} = 1 In tal caso avremo: R=0, S=0 e quindi Q_{n} = Q_{n−1}. Esaminiamo infine lo stato J=K=1. In tal caso, se era Q_{n} = 1, \overline{Q}_{n−1} = 0 avremo

che la porta AND inferiore é abilitata (Q=1, K=1) mentre é disabilitata quella superiore (poiché \overline{Q} = 0). Ne segue che, con l’arrivo dell’impulso di clock sará Q = 0, \overline{Q} = 1, cioé il sistema passerá nello stato complementare di quello in cui era. Il successivo impulso di clock troverá ora abilitata la porta superiore e disabilitata quella inferiore. Di conseguenza, con tale impulso di clock Q diventerá 1 e \overline{Q} 0.

Il sistema cambia quindi stato ad ogni impulso di clock (fintantoché J e K vengono mantenuti fissi al livello alto). Ció é mostrato nel grafico di figura 1.29:

Figura 1.29:

Notiamo che la frequenza dell’onda rettangolare Q(\overline{Q}) é la metá di quella del clock. Un FF di tipo JK con J=K=1 effettua quella che vien chiamata la funzione ”TOGGLE” ed é adoperato come divisore di frequenza. Ponendone due o piú in cascata si puó realizzare una divisione della frequenza del clock per 4 o per potenze di 2 piú elevate. L’operazione di questo circuito potrá presentare dei problemi, poiché l’uscita (Q) tenderá ad oscillare tra 0 ed 1 nell’intervallo di tempo t_{c} in cui il clock é alto. Per esempio, se J=K=1 e Q=0, all’arrivo di un impulso di clock Q diverrá 1 dopo un piccolo ritardo Δt (dipendente dalla struttura interna del dispositivo). A questo punto avremo J=K=1, CK=1 e Q=1. Ora Q tenderá a divenire 0, a meno che il CK non sia nel frattempo sceso a 0. L’uscita Q altrimenti oscillerá a lungo tra 0 ed 1 ed alla fine dell’impulso di clock il suo stato sará casuale. Tale fenomeno va sotto il nome di ”race-around-condition” ed ha luogo se Δt ≪ t_{c}. Esso puó essere eliminato facendo uso di:

• FF di tipo Master-Slave

• FF di tipo Edge-Triggered

Il principio su cui sono basati i primi é illustrato in figura 1.30 (dove ammetteremo che sia J=K=1).

Figura 1.30:

Il primo dei due FF RS effettua la transizione quando il clock é alto. Tuttavia in tale intervallo di tempo lo stato di Q e \overline{Q} (uscita del secondo FF) non puó cambiare. Infatti, la presenza dell’invertitore prima del CK_{2} fa sí che in tale intervallo di tempo il secondo FF sia disabilitato. La transizione di Q_{2} e \overline{Q}_{2} avviene solo quando il segnale di clock diviene basso. Il comportamento di questo FF differisce da quello di un normale JK, per il fatto che la transizione dell’uscita avviene sull’impulso negativo del clock.

I FF del tipo edge-triggered non rispondono al livello del clock, ma al fronte di discesa di questo. In questo caso gli ingressi non sono letti se non in corrispondenza della transizione negativa dell’impulso di clock. In maniera analoga, le uscite devono attendere le successive transizioni negative del clock per poter variare.

La figura 1.31 mostra un esempio di forme d’onda per un FF JK del tipo Master-Slave.

Figura 1.31:

Come esempi di FF Master-Slave JK possiamo menzionare il modello SN74LS76 della Motorola. Questo chip ha due FF JK, come mostrato in figura 1.32. Ciascuno dei due FF ha, oltre agli ingressi J e K, due ingressi di Set e Reset asincroni, denotati con \overline{S} ed \overline{C} nella tabella di figura.

1.15 Shift-Registers

Gli shift-registers (SR) (o registri a scorrimento), sono essenzialmente delle catene di FF, opportunamente collegati tra loro ed utilizzati per memorizzare una ”stringa” di bits. Esiste una grande varietá di SR. Consideriamo come primo esempio uno SR seriale realizzato con FF di tipo D. Ricordiamo che in tale tipo di FF il dato presente sull’ingresso D viene trasferito in uscita (Q) all’arrivo di un impulso di clock. Uno SR costituito da FF di tipo D é mostrato in figura 1.33.

Ammettiamo che un 1 (livello alto) sia applicato all’ingresso (D_{0}) del primo FF, mentre gli ingressi di Preset e Clear di tutti i FF vengono mantenuti alti. L’applicazione di un segnale di clock trasferirá tale dato in Q_{0} = D_{1}. Il successivo segnale di clock trasferirá il dato in Q_{1} = D_{2}, il terzo lo trasferirá in Q_{2} = D_{3} ed infine il quarto in Q_{3} . Alla fine (ammettendo che D_{0} sia messo a zero dopo il primo impulso di Clock) le uscite Q_{0}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} conterranno nell’ordine i bits (0,0,0,1). Se applicassimo in ingresso la sequenza di bit (1001) ed in fase con tale applicazione gli impulsi di clock, avremmo la situazione illustrata in figura 1.34.

Figura 1.34:

Vediamo che, dopo l’applicazione del quarto impulso di clock, nei registri Q_{0}, ⋯ Q_{3} sono contenuti i bit 1001. Abbiamo cosí trasformato una distribuzione seriale di bits, applicati sequenzialmente in ingresso, in una parallela, sulle 4 linee d’uscita Q_{3} −Q_{0}.

Notiamo che, se vogliamo che il numero rimanga nel registro dobbiamo, dopo il quarto impulso di clock, arrestare quest’ultimo. I dati possono alternativamente esser prelevati in forma seriale applicando altri quattro impulsi di clock. Questo tipo di registro, che ha un ingresso seriale ed un’uscita parallela, é chiamato ”Serial-In-Parallel-Out” (o SIPO).

Il circuito che ora esamineremo puó essere utilizzato indifferentemente per immettere dei dati in parallelo ed estrarli in modo seriale, o viceversa. Esso puó anche essere adoperato per leggere i dati in serie ed estrarli in serie, o per leggerli in parallelo ed estrarli in parallelo. A tale scopo si fa uso di una linea di controllo per l’abilitazione dell’input in parallelo. Un esempio di tale circuito (SN74LS195A) é mostrato in figura 1.35. Esso é noto come ”Universal Shift Register”.

Figura 1.35:

Tale dispositivo é utilizzabile in un’ampia classe di applicazioni, che vanno da operazioni di ”shift” al conteggio ed all’imagazzinamento dei dati. Esso, operando a velocitá elevate (dell’ordine di 40 MHz), puó effettuare trasferimento dei dati parallelo/seriale, seriale parallelo e shift seriale.

La tabella delle veritá mostrata in figura 1.36 illustra le caratteristiche di funzionamento.

I dati sono immagazzinati nei quattro FF mostrati in figura. Se l’ingresso indicato con \overline{P E} (Preset Enable) é alto, i dati possono essere caricati in modo seriale attraverso gli ingressi J e \overline{K} che sono in genere uniti insieme. Se infatti J = \overline{K} = 1, ammettendo che sia Q_{0} = 0 (\overline{Q}_{0} = 1) la prima delle tre porte AND nel primo blocco a sinistra in figura avrá l’uscita alta e, a causa della doppia inversione presente all’uscita della porta OR sottostante ed all’ingresso Set del primo FF, avremo Set = 1. Se Q_{0} fosse stato uguale ad 1 (\overline{Q}_{0} = 0), sarebbe stata abilitata la seconda anziché la prima delle due porte AND associate al primo blocco e l’uscita della porta OR sarebbe stata comunque uguale ad 1. Quindi, con J = \overline{K} = 1 l’ingresso di Set del primo FF sará uguale all’ingresso J. Di conseguenza l’uscita Q_{0} diverrá 1 con il successivo impulso di Clock (piú esattamente, sul fronte di salita di questo).

Notiamo per inciso che, con il \overline{P E} alto, la terza porta AND associata al primo blocco é disabilitata. In tali condizioni l’uscita della porta sará uguale a 0, qualunque sia il valore presente in P_{0}.

In modo analogo, se J = \overline{K} = 0, l’ingresso di Set del primo FF sará uguale a 0 e quello di Reset 1. Con ció, l’uscita Q_{0} diverrá uguale a 0 in corrispondenza al fronte di salita del prossimo impulso di Clock. Tale caricamento seriale del dato é quello indicato nella seconda e terza riga della tabella (Shift-Set First Stage - Shift-Reset) di figura 1.36.

Esaminiamo ora ció che accade con l’arrivo dei successivi impulsi di Clock. Notiamo che, con l’ingresso \overline{P E} alto, la prima porta AND di ciascuno dei blocchi mostrati in figura é abilitata (e la seconda disabilitata). Se esaminiamo la porta AND associata al secondo blocco, vediamo che essa ha come ingresso Q_{0}. Il collegamento della porta OR sottostante é tale che il Set del relativo FF é anch’esso uguale a Q_{0}. Vediamo cosí che il successivo impulso di Clock fará si che Q_{1} divenga uguale a Q_{0} (che era 1 nel nostro esempio iniziale). In modo analogo vediamo che il collegamento dell’uscita Q_{1} del secondo FF alla porta AND del terzo blocco fará si che l’uscita Q_{2} divenga uguale a Q_{0} con l’arrivo del terzo impulso di Clock. Infine, il quarto impulso di Clock fará si che Q_{3} divenga uguale a Q_{0}. Lo shift di quattro posizioni del dato impostato in J é cosí completato con l’applicazione di quattro impulsi di Clock.

Se il \overline{P E} é basso, i dati possono essere caricati in parallelo facendo uso degli ingressi P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}. Infatti, con \overline{P E} = 0, delle porte AND presenti in ciascuno dei quattro blocchi, solo quelle all’estrema destra saranno abilitate. Ammettiamo ora ad esempio che sia: P_{0} = 1, P_{1} = 0, P_{2} = 1, P_{3} = 0. Ció implicherá: S_{0} = 1, S_{1} = 0, S_{2} = 1, S_{3} = 0.

Questi dati saranno trasferiti in Q_{0}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} sul fronte di salita del successivo impulso di Clock. Si é in tal modo effettuato il caricamento dei dati impostati sugli ingressi (P_{0} ⋯ P_{3}) in (Q_{0} ⋯ Q_{3}). Ció é indicato nell’ultima riga della tabella di figura 1.36.

Se ora si vuole effettuare lo shift dei dati verso destra, occorre mettere alto il \overline{P E}. In tal modo il successivo impulso di Clock troverá abilitata la prima porta AND di ciascun blocco, collegata all’uscita Q del blocco precedente. Il dato sará cosí trasferito da Q_{i} a Q_{i+1}.

L’ingresso indicato con \overline{MR} (Master Reset) puó, come mostrato nella prima riga della medesima tabella, essere adoperato per porre uguali a zero le uscite Q_{0} … Q_{3} di tutti i FF della catena.

Esaminiamo infine il funzionamento del circuito quando J \overline{K} assumono i valori (0,1) o (1,0), con \overline{P E} alto (quinta riga della tabella delle veritá).

Se J = 1 e \overline{K} = 0, la prima delle porte AND presenti nel primo blocco di figura sará abilitata, mentre la seconda é disabilitata. In tali condizioni l’uscita del primo AND dipenderá dal valore di \overline{Q}_{0} e quindi di Q_{0}. Se \overline{Q}_{0} é alto (Q_{0} basso) l’uscita dell’AND sará alta e tale risulterá quindi l’ingresso di Set del primo FF. Con ció Q_{0} → 1 e \overline{Q} → 0 con il successivo impulso di Clock. Se fosse stato Q_{0} = 1 la transizione causata dall’arrivo dell’impulso di Clock sarebbe stata opposta. Vediamo cosí che con J = 1 e \overline{K} = 0 il primo FF effettua la funzione ”TOGGLE” caratteristica di un JK.

Il secondo FF, come é facile verificare, acquisterá il valore di Q_{0} (cioé 1) con il secondo impulso di Clock, il terzo FF con il terzo impulso di Clock etc.

Se invece é J = 0 e \overline{K} = 1, vediamo che verrá ad essere abilitata la seconda delle porte AND presenti nel primo blocco. Poiché questa ha come terzo ingresso Q_{0}, vediamo che se Q_{0} = 0 l’uscita di tale porta, e quindi l’ingresso di Set del FF, sará bassa. Con ció sará alto l’ingresso di Reset del FF e Q_{0} rimarrá uguale a 0. Se Q_{0} fosse stato uguale ad 1 sarebbe invece stato alto l’ingresso di Set del FF e Q_{0} sarebbe rimsasto uguale ad 1. Tale funzione é indicata con ”Shift, Retain First Stage” nella quinta colonna della tabella.

Un registro a scorrimento simile per molti rispetti al precedente, ma con la possibilitá di shift sia a destra che a sinistra, é il SN74LS194, la cui struttura é mostrata in figura 1.37 e la cui tabella delle veritá é illustrata in figura 1.38.

Figura 1.37:

Un ulteriore tipo di registro che é ampiamente adoperato é il cosiddetto ”First-In, First-Out” (FIFO). Lo schema é mostrato in figura 1.39.

Come vediamo, esso consiste di un normale SR con possibilitá di ingressi paralleli. Il dato in input é applicato alla porta AND G_{D} (in modo seriale). Le porte G_{0} − G_{3} sono abilitate dagli ingressi Q_{0} ⋯ Q_{3} , uno solo dei quali é normalmente alto. Un opportuno circuito di comando fa sí che gli ingressi Q_{0}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} siano abilitati consecutivamente in corrispondenza ai quattro impulsi di clock che agiscono su G_{D} abilitando l’immissione sulla linea L del dato corrispondente. Vediamo ció piú in dettaglio:

(a) il primo impulso di clock abilita G_{D} e manda Q_{0} → 1. Simultaneamente (o poco prima) il dato (primo bit) é immesso sulla linea L. L’abilitazione di G_{0} fa sí che il dato sia caricato in Q_{0}.

(b) il secondo bit é immesso in ingresso ed il secondo impulso di clock applicato. Questo abilita G_{D} e manda Q_{0} → 0 e Q_{1} → 1. In tal modo G_{1} viene ad essere abilitato ed il dato (secondo bit) caricato in Q_{1} .

(c) il terzo bit é immesso in ingresso ed il terzo impulso di clock applicato. Questo abilita G_{D} e manda Q_{0}, Q_{1} → 0 e Q_{2} → 1. Ora G_{2} sará abilitato ed il terzo bit caricato in Q_{2}.

(d) il quarto bit é immesso in ingresso ed il quarto impulso di clock applicato. Questo abilita G_{D} e manda Q_{0}, Q_{1}, Q_{2} → 0 e Q_{3} → 1. Ora G_{3} sará abilitato ed il quarto bit caricato in Q_{3}.

Notiamo che i FF adoperati sono di tipo D, con ingressi di preset e clear. L’ingresso di clear é quello indicato in figura mentre quello di preset é ottenuto complementando questo mediante un invertitore (non indicato in figura).

La lettura é effettuata applicando impulsi di clock alla linea indicata da Ck_{out}. Ciascun impulso di clock genera uno shift a destra, di una posizione, di tutti i bit memorizzati. Da notare che il contatore (non indicato) che abilita in successione le porte AND G_{3} − G_{0} viene decrementato durante l’applicazione degli impulsi Ck_{out}. In altre parole ammettendo che dopo il quarto impulso di Ck_{in} avessimo Q_{0} = Q_{1} = Q_{2} = Q_{3} = 0, l’applicazione di un impulso di clock (Ck_{out} pone Q_{0} = Q_{1} = Q_{2} = 0 e Q_{3} = 1. Se a questo punto immettiamo un nuovo dato, questo sará caricato in FF3. Il dispositivo che effettua tale operazione é un ”up-down” counter, che ”conta” gli impulsi di clock che gli arrivano e mette degli opportuni 1 su quattro linee d’uscita, in sequenza crescente (cioé 0000, 0001, 0010, 0011, ⋯) se il clock in arrivo é Ck_{in}; decrescente (cioé, ⋯ 0011, 0010, 0001, 0000) se il clock in ingresso é Ck_{out}. Ció é mostrato schematicamente in figura 1.40.

Figura 1.40:

1.16 Applicazioni degli Shift-Registers e dei Flip-Flop

1.16.1 Applicazioni degli shift-registers

Come accennato, questi possono essere adoperati per memorizzare stringhe di bits, quali ad esempio bytes o parole di 16/32 bits. Essi hanno tuttavia molte altre applicazioni, non meno importanti. Notiamo intanto che se facciamo scorrere verso destra (right-shift) il contenuto di un registro, perdiamo il bit meno significativo. Se questo era uguale a 0, il numero immagazzinato viene ad essere diviso per due come conseguenza di tale operazione. Se esso era invece 1, allora il numero originario meno 1 viene ad essere diviso per 2. Viceversa, uno spostamento a sinistra (left-shift) moltiplica per 2 il numero che era stato inizialmente caricato nel registro. Vediamo quindi che, con successivi shift-left/shift-right possiamo moltiplicare/dividere per potenze di 2 un dato numero. Ovviamente, nel corso di uno shift-right perdiamo i bit meno significativi, mentre perdiamo quelli piú significativi nel corso di uno shift-left. Questo non é un problema se il registro é molto lungo.

Un’altra applicazione degli SR é la conversione serie/parallelo e viceversa. Se carichiamo un numero, ad esempio di 8 bit, in uno SR e lo facciamo in parallelo sugli 8 FF di cui il registro é costituito, possiamo estrarre poi gli 8 bit in serie, applicando 8 impulsi di clock. Viceversa, possiamo caricare gli 8 bit in modo seriale e leggerli in parallelo sulle 8 linee collegate ai piedini Q_{i} degli 8 FF.

Gli SR possono inoltre essere convenientemente utilizzati per generare sequenze predeterminate di impulsi, dove ciascun impulso puó poi esser utilizzato per dar inizio ad una sequenza di operazioni. Immaginiamo infatti di collegare l’uscita dell’ultimo FF di uno SR come quello mostrato in figura 1.41, con l’ingresso di Set del primo FF.

Figura 1.41:

Se nei FF A, B, C, D abbiamo inizialmente caricato i bit (0,0,0,1) rispettivamente, l’applicazione di successivi impulsi di clock fará ”viaggiare” l’1 da Q_{D} in Q_{A}, poi da Q_{A} in Q_{B}, etc. Vediamo cosí che dopo 4 impulsi di clock l’1 é tornato in Q_{D}. Le linee Q_{A}, Q_{B}, Q_{C}, Q_{D}, assumeranno consecutivamente i valori mostrati nella tabella, dopo il numero di impulsi di clock indicato.

impulsi di Ck Q_{A} Q_{B} Q_{C} Q_{D}
0  0 0 0 1
1  1 0 0 0
2  0 1 0 0
3  1 0 1 0
4  0 0 0 1

Tabella 1.7:

Con tale dispositivo possiamo anche abilitare, a comando (tramite gli impulsi di clock) una delle quattro linee A, B, C, D (ad esempio, far scoccare la scintilla in una delle candele del motore di un’automobile).

Ma é anche possibile, con tale sistema, generare una sequenza predeterminata di bits. Ad esempio, se nei quattro FF avessimo inizialmente memorizzato la sequenza 1001, dopo l’applicazione di successivi impulsi di clock avremmo le sequenze indicate nella tabella che segue.

impulsi di Ck Q_{A} Q_{B} Q_{C} Q_{D}
0  1 0 0 1
1  1 1 0 0
2  0 1 1 0
3  0 0 1 1
4  1 0 0 1

Tabella 1.8:

Notiamo ancora che, nel primo degli esempi visti, Q_{D} vale 1 ogni 4 impulsi di clock. Un tale sistema puó quindi essere anche adoperato come ”divisore di frequenza” (per 4 nell’esempio considerato, ma si puó ottenere una divisione per potenze piú elevate di 2, con registri a molti bit). Un tale tipo di utilizzo, dove l’uscita dell’ultimo FF é collegata all’ingresso del primo, va sotto il nome di ”generatore di sequenze” o anche ”contatore ad anello” (ring counter).

Se i FF di cui il registro é costituito sono di tipo RS o JK, é possibile collegare l’uscita dell’ultimo FF della catena con l’ingresso R (o K) del primo. Si ottiene cosí quello che é noto come ”Johnson Counter” o ”Twisted-Ring Counter”. Si puó verificare che con tale sistema si puó ottenere una divisione di frequenza per 2N, dove N é la lunghezza del registro (anziché per N come in un normale Ring Counter).

1.16.2 Applicazioni dei FF

I FF sono ampiamente usati per realizzare dei contatori. Consideriamo come primo esempio quello di figura 1.42 (noto come ripple counter) che utilizza quattro FF di tipo JK.

Figura 1.42:

Ammettiamo che tutti gli ingressi J e K, come pure quelli di Preset e Clear, siano fissi ad 1. In tal caso i quattro FF effettueranno la funzione TOGGLE, cioé cambieranno stato ad ogni impulso presente sull’ingresso di clock. Piú precisamente, la transizione delle uscite avverrá sul fronte di discesa dell’impulso di clock. Notiamo ora che per il secondo FF fa da clock l’uscita del primo; per il terzo, l’uscita del secondo etc. Di conseguenza le forme d’onda sulle uscite Q_{0} − Q_{3} saranno quelle mostrate in figura 1.43.

Figura 1.43:

Vediamo che la frequenza di Q_{0} é la metá di quella del clock, quella di Q_{1} un quarto etc. Inoltre notiamo che la sequenza dei bit (Q_{3}, Q_{2}, Q_{1}, Q_{0}) inizia con (0,0,0,0) poi (0,0,0,1), diviene poi (0,0,1,0), (0,0,1,1) etc, cioé il registro Q_{3} ⋯ Q_{0} ”conta” gli impulsi di clock in arrivo al primo FF. Ovviamente, dopo il 15^{mo} impulso di clock il contatore si ”resetta”, cioé le uscite saranno (0,0,0,0), per poi ricominciare a crescere. Se colleghiamo ciascuna delle uscite ad un LED potremo vedere il conteggio (binario) del numero di impulsi di clock ricevuto dal FF0.

Il contatore, con una piccola modifica, puó contare ”all’indietro”. E’ sufficiente a tale scopo che il clock di ciascun FF sia collegato al \overline{Q} (anziché al Q) del FF che lo precede. Ció é facile da verificare.

E’ possibile realizzare anche una catena di FF che, con un opportuno comando di controllo, possa contare in entrambi i versi. E’ sufficiente collegare l’uscita di un FF al clock del successivo come mostrato in figura 1.44.

Figura 1.44:

Se l’ingresso X é alto, la porta AND B é disabilitata, mentre é abilitata la A. Il contatore esegue il ciclo in ordine crescente. Se invece l’ingresso X é basso, sará abilitata (notare l’invertitore) la porta B e disabilitata la A. Il contatore eseguirá il ciclo in ordine decrescente.

E’ possibile modificare i collegamenti nel circuito di figura 1.42, in modo da realizzare un contatore che, anziché resettarsi ogni 16 impulsi, si resetti ogni 10. Si ottiene in tal modo quello che é noto come un ”contatore decimale” o Binary Coded Decimal (BCD).

Figura 1.45:

La modifica é illustrata in figura 1.45 dove, come nel caso precedente, tutti i terminali J e K sono posti al livello logico alto. La presenza della porta AND, con ingressi collegati a Q1 e Q3 e con uscita collegata al Clear, fa sí che il contatore si resetti non appena Q1=Q3=1. Come si puó vedere dalla figura 1.43, ció accade dopo il decimo impulso di clock.

I contatori fin qui esaminati sono noti come ”contatori asincroni”. Ció poiché la transizione del secondo FF della catena avviene soltanto dopo la transizione del primo (essendo l’ingresso di clock del secondo alimentato dall’uscita (Q o \overline{Q}) del primo, ed analogamente per i successivi. Ció costituisce uno svantaggio, poiché il tempo di propagazione é lungo. Se tutti i FF sono nello stato logico 1, tale tempo é massimo, poiché il successivo intervallo di clock manda il primo FF da 1 a 0, questo a sua volta manda il secondo da 1 a 0 (con un ritardo τ), il secondo manda il terzo da 1 a 0 (con uguale ritardo) e cosí via. Il ritardo complessivo sará in tal caso Nτ, se N é il numero di FF della catena. Per ridurre il tempo di propagazione conviene adottare uno schema in cui tutti i FF effettuano la transizione simultaneamente. Tale tipo di contatore va sotto il nome di ”contatore sincrono”. Un esempio di questo é mostrato in figura 1.46.

Figura 1.46:

Qui il primo FF (quello relativo alla cifra meno significativa) ha J=K=1, in modo da cambiare stato in corrispondenza ad ogni impulso di clock. Il secondo FF (B) ha J=K=A, in modo da commutare (in corrispondenza all’arrivo di un segnale di clock) solo quando A=1. Il terzo FF (C) commuta quando sia A che B sono uguali ad 1. Infine D commuta se é verificata la condizione A=B=C=1. Come possiamo facilmente verificare (vedasi la tabella che segue) la presenza delle porte AND soddisfa la logica insita nella successione dei numeri binari crescenti con (D, C, B, A) = (0,0,0,0), (0,0,0,1), (0,0,1,0), (0,0,1,1), ... .

Clock A B C D
0  0 0 0 0
1  1 0 0 0
2  0 1 0 0
3  1 1 0 0
4  0 0 1 0
5  1 0 1 0
6  0 1 1 0
7  1 1 1 0
8  0 0 0 1
9  1 0 0 1
10 0 1 0 1
11 1 1 0 1
12 0 0 1 1
13 1 0 1 1
14 0 1 1 1
15 1 1 1 1
16 0 0 0 0

Tabella 1.9:

Infatti, se associamo il bit meno significativo al primo FF(A) e quello piú significativo all’ultimo (D), la tabella ci dice che:

a il primo FF deve commutare ad ogni impulso di clock

b il secondo FF deve commutare in corrispondenza ad un impulso di clock se l’uscita di A valeva 1

c il terzo FF deve commutare in corrispondenza ad un impulso di clock se sia l’uscita A che l’uscita B valgono 1

d l’ultimo FF deve commutare in corrispondenza ad un impulso di clock se tutte e tre le uscite A, B, C valgono 1

I collegamenti sono quindi quelli necessari per un conteggio crescente. Vediamo che, dopo il il quindicesimo impulso di clock il contatore si resetta automaticamente e ricomincia il conteggio.

I contatori sincroni offrono vantaggi di velocitá rispetto a quelli asincroni esaminati in precedenza, anche se un ritardo aggiuntivo é causato dalle porte NAND. Un contatore sincrono binario a 4 bit, di uso abbastanza generale é il 74LS191. Esso puó eseguire il conteggio in avanti o indietro a seconda del valore logico presente sull’ingresso di controllo ”up/down”. Il 74LS190, la cui struttura interna é mostrata in figura 1.47 e le cui caratteristiche sono mostrate in figura 1.48, é praticamente equivalente al 74LS191, con la sola differenza che esso é predisposto per il conteggio decimale (BCD).

Figura 1.47:

E’ possibile, collegando due o piú contatori in serie, realizzare conteggi fino a potenze piú elevate di 2 (o di 10). Ad esempio, collegando in serie tre contatori BCD 74LS190 é possibile, come mostrato in figura 1.49, realizzare un contatore modulo 1000.

Vediamo che l’ingresso DN/UP (Down/Up) é collegato a massa, il che implica un conteggio crescente (massa=logico 0). L’ingresso di clock di tutti e tre i contatori riceve il medesimo segnale d’ingresso (cioé gli impulsi da contare). Il 74LS190 é costruito in modo tale che sul piedino con la sigla RC (Ripple Clock Output) compaia un impulso ”basso” (cioé uno 0) di durata uguale alla porzione ”bassa” del clock d’ingresso, quando si verifichi un ”overflow”, cioé quando i quattro FF abbiano superato il massimo conteggio consentito (9 nel caso del 74LS190). Tale livello basso, collegato all’Enable (E) del contatore successivo, fa sí che questo cominci a contare. Cosí, quando il primo contatore (da sinistra) sia passato dal 9 allo 0, il secondo inizia a contare. Poiché peró l’Enable ha la durata uguale a quella del livello ”basso” del clock d’ingresso, esso conterá solo fino ad 1, mentre il primo contatore ripartirá da 0, arrivando fino a 9 e poi a 0. A questo punto il primo contatore genera un nuovo RC ed invia quindi un’Enable al secondo, che ora passerá a 2, e cosí di seguito. Quando anche il secondo contatore sia arrivato a 9 e poi a 0, esso genererá un RC e quindi invierá un’Enable al terzo, che inizierá a contare la centinaia.

1.17 Alcune applicazioni pratiche di registri e contatori in esperimenti di fisica

Abbiamo giá visto come una catena di FF possa essere utilizzata come divisore di frequenza. Un contatore puó essere utilizzato, ovviamente, per contare. Ad esempio, se in un processo industriale si vuol contare il numero di oggetti che sono passati su di un nastro trasportatore in un certo tempo sará sufficiente far uso di un dispositivo (un diodo emettitore di luce (LED) ed una cellula fotoelettrica) per generare un impulso ogni volta che la luce emessa dal LED é interrotta dal passaggio di uno degli oggetti e non arriva quindi alla cellula fotoelettrica. Un contatore opportuno incrementerá di un’unitá il conteggio ogni volta che gli arrivi un impulso. Un contatore separato conterá il numero di impulsi che gli pervengono, generati da un opportuno oscillatore (clock) previamente calibrato, che fornirá l’informazione temporale. Possiamo utilizzare un dispositivo simile per misurare l’intervallo di tempo tra due eventi. La figura 1.50 illustra un sistema di questo tipo.

Figura 1.50:

Gli ”eventi” in questo caso sono costituiti dal passaggio di un oggetto attraverso due traguardi A e B (come nel caso del nastro trasportatore). Un primo impulso viene generato al tempo t_{A} dal passaggio dell’oggetto davanti al traguardo A ed un secondo al tempo t_{B} in cui l’oggetto passa davanti al traguardo B.

L’impulso t_{A} sia inviato all’ingresso di Set di un FF di tipo RS (in cui era inizialmente Q = 0, \overline{Q} = 1) mentre l’impulso generato all’istante t_{B} sia inviato all’ingresso di Reset. Il gate AND che segue é collegato a valle ad un contatore (opportunamente calibrato), mentre dei due ingressi, uno é collegato al Q del FF e l’altro riceve una sequenza di impulsi di clock, di frequenza nota.

Il funzionamento del circuito é il seguente: quando l’impulso generato al tempo t_{A} arriva al FF, questo avrá S=1, R=0 e quindi Q=1. Subito dopo sará S=R=0 e quindi lo stato del FF rimane invariato fino al tempo t_{B}, quando R diventa 1 e quindi Q va a 0. Nell’intervallo di tempo t_{B} − t_{A} in cui Q=1, la porta AND é abilitata e quindi essa lascia passare gli impulsi di clock in arrivo. Il contatore che segue conta tali impulsi di clock, il cui numero é proporzionale all’intervallo di tempo t_{B} − t_{A}.

Il sistema andrá ovviamente calibrato preventivamente. Un dubbio che puó venire é il seguente. Sia l’impulso generato al tempo t_{A} che quello generato al tempo t_{B} sono prodotti dal medesimo dispositivo (cellula fotoelettrica seguita da monostabile). Come possiamo far sí che dei due segnali generati su di una stessa linea, uno vada all’ingresso S e l’altro all’ingresso R? Ció é semplice se sostituiamo il FF RS con un JK in cui J=K=1, come mostrato in figura 1.51.

Se inizialmente era Q=0, l’arrivo del segnale generato al tempo t_{A} manda Q in 1, mentre il successivo arrivo del segnale generato al tempo t_{B} manda Q in 0 e \overline{Q} in 1. Un dispositivo molto simile a questo puó essere adoperato se si vuole misurare una frequenza, cioé il numero di impulsi/sec. Tale dispositivo é mostrato in figura 1.52.

Figura 1.52:

Gli impulsi in arrivo (di forma generica, ad esempio sinusoidale) vengono trasformati in impulsi rettangolari ed inviati ad uno degli ingressi di una porta AND. L’altro ingresso della porta é collegato all’uscita Q di un FF JK con J=K=1, che riceve sull’ingresso di clock un segnale ottenuto demoltiplicando per un fattore 10^{6} un segnale di 1 MHZ. In tale circostanza Q é uguale ad 1 per un tempo di 1s. La porta AND sará quindi abilitato per 1 s ed il contatore conterá il numero di impulsi che in tale tempo gli arrivano, cioé la frequenza voluta. Naturalmente occorrerá aggiungere qualcosa al circuito per far sí che alla fine dell’intervallo di tempo (di 1 s), il sistema si arresti e consenta la lettura del contatore. Anche se non specificamente relativo ad applicazioni in esperimenti di fisica, incontra ampio utilizzo il contatore decimale illustrato a pag. 66. Ad esempio, nel contatore BCD (Binary Coded Decimal) il numero é espresso come una sequenza di cifre decimali. Ad esempio, il numero 3702 é memorizzato come:

I dati provenienti dalla tastiera di un computer sono normalmente espressi in BCD, anche se si tratta di caratteri. Infatti, a ciascuno di questi é possibile associare, mediante un codice (ad esempio il codice ASCII - American Standard Code Ser Information Exchange), in maniera del tutto analoga ai numeri, una stringa di bit.

0011 0111 0000 0010 3  7  0  1 Tabella 1.10:

Il codice ASCII é a 7 bit. I principali caratteri ed i codici corrispondenti sono mostrati nella tabella di figura 1.53. L’integrato 74LS93, che consente il conteggio fino a 16, puó essere azzerato, come si é visto, in corrispondenza della cifra binaria corrispondente al numero 9. E’ peró piú conveniente usare un contatore predisposto per contare in base 10, come il 74LS90.

Nella tabella dei codici ASCII mostrata in figura 1.53, la prima colonna contiene il numero in decimale, la seconda il corrispondente valore esadecimale, la terza il corrispondente simbolo.

Un’alternativa spesso adoperata é quella di un contatore con uscita esadecimale (base 16). Come visto, in tale rappresentazione, un numero e.g. di 2 bytes (16 bit) é rappresentato da una stringa di 4 carattere esadecimali. Ad esempio, il numero binario: 1010 1101 0110 0011 é rappresentato in esadecimale da: AD63.

1.18 Decodificatori e Display

Per visualizzare un numero binario abbiamo varie alternative. La prima é quella, ovvia, di visualizzare ogni singolo bit mediante un LED. Se il LED é acceso il bit corrispondente vale 1, se esso é spento vale 0. Tale soluzione non é pratica per la visualizzazione di numeri con molti bit. Essa inoltre non offre una lettura immediata del numero, piú comoda se fatta in decimale o in esadecimale.

Utilizzando una decodifica BCD, dove occorre decodificare soltanto i numeri da 0 a 9 (in binario da (0,0,0,0) a (1,0,0,1)) si puó far uso del chip 74LS42, che é un integrato a 16 pin. Il display puó essere effettuato utilizzando dei ”display a 7 segmenti”, in cui a ciascun numero BCD (tra 0 e 9) corrisponde l’accensione degli opportuni segmenti luminosi (LED), come mostrato in figura 1.54.

L’identificazione dei segmenti é quella mostrata in corrispondenza dell’8, in basso nella figura. Il decodificatore BCD a sette segmenti 74LS48, mostrato in figura 1.55, é un decoder/driver adatto a comandare i segmenti di un LED. Esso contiene sia la circuiteria che fornisce la decodifica dei quattro bit d’ingresso nelle 7 linee d’uscita, sia quella di alimentazione dei singoli segmenti.

L’indicatore puó essere spento portando a 0 l’ingresso di blanking (\overline{BI}: pin 4). La tabella delle veritá di tale circuito é mostrata, insieme al display riassuntivo

e ad altre caratteristiche, in figura 1.56

La decodifica per gruppi di 4 dal binario all’esadecimale puó essere effettuata utilizzando l’integrato 74LS154,le cui caratteristiche sono mostrate in figura 1.57. Questo ha 16 uscite, corrispondenti ciascuna ad uno dei 16 simboli da 0 a 15 (F esadecimale). Ciascuna delle 16 uscite puó essere collegata ad un opportuno LED, che si accende quando l’uscita corrispondente assuma il livello basso.

Un circuito che effettua sullo stesso chip sia la decodifica che il display esadecimale é il TIL311. Questo riceve sui piedini (3,2,13,12) il carattere esadecimale (con il 3 il bit meno significativo ed effettua un display esadecimale del relativo carattere (cioé da 0 ad F). Questo display é quello adoperato in alcune delle esperienze di laboratorio. Le caratteristiche di tale integrato sono mostrate nelle figure 1.58 e 1.59.

La figura 1.60 mostra uno schema a blocchi del TIL311.

Notiamo la presenza di un ”Latch” in ingresso. Questo é essenzialmente un insieme di 4 FF di tipo D. Questo ha lo scopo di ”mantenere” i dati presentati in ingresso, per il tempo necessario alla decodifica ed al successivo display a lettura. Piú precisamente, finché il segnale presente sul piedino 5 é basso, le uscita del Latch seguono l’ingresso (piedini 3,2,13,12). Quando il segnale é alto, le uscite non cambiano piú. Si noti la presenza di due terminali d’ingresso (4 e 10) per l’accensione del punto decimale a destra ed a sinistra rispettivamente. Questi LED sono accesi attraverso gli invertitori indicati in figura.

1.19 Moltiplicazione e divisione in binario

L’operazione di moltiplicazione in binario tra due bit equivale all’AND di essi:

\begin{aligned}0 & × & 0 & = & 0 \\ 1 & × & 0 & = & 0 \\ 0 & × & 1 & = & 0 \\ 1 & × & 1 & = & 1 \end{aligned} Tabella 1.11:

La moltiplicazione tra numeri di piú bit puó essere effettuata con una semplice estrapolazione dell’analogo processo nel sistema decimale. Mostriamo alcuni esempi.

\begin{aligned}& & & 1 & 0 & 1 & 1 & = & 11 & × \\ & & & 0 & 1 & 0 & 1 & = & 5 \\ & & & 1 & 0 & 1 & 1 \\ & & 0 & 0 & 0 & 0 \\ & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & = & 55 \end{aligned} Tabella 1.12:

\begin{aligned}& & & 1 & 1 & 0 & 1 & = & 13 & × \\ & & & 1 & 0 & 0 & 1 & = & 9 \\ & & & 1 & 1 & 0 & 1 \\ & & 0 & 0 & 0 & 0 \\ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & = & 117 \end{aligned} Tabella 1.13:

Vediamo che ciascun bit del secondo numero (a partire dalla destra) deve essere moltiplicato per i bit del primo. A tali ”moltiplicazioni” potranno provvedere delle porte AND. Il risultato ottenuto dalla moltiplicazione del primo bit andrá sommato al risultato della moltiplicazione del secondo, shiftato a sinistra di una posizione; questo andrá sommato al risultato della moltiplicazione del terzo bit, shiftato a sinistra di due posizioni ... etc. Vediamo cosí che un ”moltiplicatore” puó esser ottenuto effettuando sequenzialmente degli AND, degli shift e delle somme. Il circuito mostrato in figura 1.61 illustra una possibile implementazione di un moltiplicatore di due numeri a 3 bit.

Per il risultato della moltiplicazione é ovviamente necessario un registro a 6 bit. Il circuito comprende uno SR a 5 bit per il moltiplicando, uno SR a 3 bit per il moltiplicatore ed un accumulatore a 6 bit, oltre ad un sommatore a 6 bit. Inizialmente si azzera il registro accumulatore, si caricano i tre bit del moltiplicatore nel relativo registro (con Q_{0} corrispondente al bit meno significativo) ed i tre bit del moltiplicando nei registri Q_{0} − Q_{2} corrispondenti. Le uscite delle cinque porte NAND contengono a questo punto i prodotti del bit meno significativo del moltiplicatore (Q_{0}) per i tre bit del moltiplicando. Piú in particolare, la porta indicata con e fornisce il prodotto dei due bit meno significativi dei due numeri, la porta d fornisce il prodotto del bit Q_{0} del moltiplicatore per il bit Q_{1} del moltiplicando, la porta c fornisce il prodotto del bit Q_{0} del moltiplicatore per il bit Q_{2} del moltiplicando. Le porte a e b sono per il momento al livello logico 0. I prodotti parziali cosí ottenuti sono ora disponibili agli ingressi del sommatore, in B_{0}, B_{1}, B_{2}. Essi sono anche disponibili all’uscita del sommatore (S_{0}, S_{1}, S_{2}) essendo gli altri ingressi (A_{0}, A_{1}, A_{2}) per il momento nulli. Al primo impulso di clock, il prodotto parziale (S_{0}, S_{1}, S_{2}) viene trasferito nei tre FF all’estrema destra del registro accumulatore e contemporaneamente agli ingressi (A_{0}, A_{1}, A_{2}) del sommatore. Il medesimo impulso di clock agisce sul registro moltiplicatore e sul registro moltiplicando nel modo seguente:

1. I bit del registro moltiplicatore vengono spostati in alto di una posizione, con che Q_{1} viene trasferito in FF0

2. i tre bit del moltiplicando vengono spostati a sinistra di una posizione.

Notiamo che ora il registro all’estrema destra del moltiplicando é a livello logico 0. E’ facile vedere che l’uscita della porta AND indicata con e é a livello logico 0, mentre le uscite dalle porte (d, c, b) contengono i prodotti del secondo bit del moltiplicatore per i tre bit del moltiplicando. Notiamo anche che con tale metodo, i tre bit ottenuti sono presenti agli ingressi (B_{1}, B_{2}, B_{3}) del sommatore e quindi risultano giá shiftati a sinistra di una posizione, che é proprio quel che si fa nella moltiplicazione binaria. Ora all’uscita del sommatore comparirá, in (S_{0}, S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}) la somma del risultato della prima moltiplicazione e di quello della seconda. Il successivo impulso di clock trasferisce tali uscite nei corrispondenti FF dell’accumulatore e quindi agli ingressi (A_{0}, ..., A_{4}) del sommatore.

Il medesimo impulso di clock causa uno shift del bit piú significativo del registro moltiplicatore (che era a questo punto in FF1) nel registro FF0 e simultaneamente sposta di una posizione a sinistra i bit del registro moltiplicando. Notiamo che ora i registri FF0 ed FF1 del moltiplicando saranno a livello logico 0. Le uscite delle porte AND (c, b, a) forniscono ora i prodotti del bit piú significativo del moltiplicatore per i tre bit del moltiplicando. Tali prodotti sono ora disponibili agli ingressi (B_{2}, B_{3}, B_{4}) del sommatore. Questo fornirá ora alle uscite (S_{0} − S_{5}) la somma finale richiesta. Sará sufficiente un ulteriore impulso di clock per trasferirla nell’accumulatore e simultaneamente azzerare il registro moltiplicatore.

Il processo, effettuato come si é visto in modo seriale, é intrinsecamente lento. Esistono peró in commercio dei moltiplicatori che effettuano le operazioni in parallelo, con un notevole guadagno in velocitá.

1.20 La divisione in binario

L’idea base di un circuito digitale che effettua l’operazione di divisione tra due numeri interi (positivi) puó essere illustrata con un semplice esempio, relativo al caso di numeri decimali. Ammettiamo infatti di voler dividere 33 per 7. Possiamo sottrarre il 7 dal 33 e verificare che la differenza (26) sia maggiore di 7. In tal caso sottraiamo da tale differenza ancora una volta il 7, ottenendo:

26 − 7 = 19

Procedendo ancora troviamo:

19 − 7 = 12

12 − 7 = 5

Poiché l’ultima differenza trovata é minore di 7, dobbiamo arrestare il processo e potremo dire che la parte intera del numero che esprime il rapporto é pari al numero delle sottrazioni effettuato, cioé 4. Dobbiamo ora calcolare la parte frazionaria del rapporto. A tale scopo sottraiamo ora 0.7 dall’ultima differenza trovata (5), tante volte quante ne occorrono per ottenere un resto inferiore a 0.7:

5 - 0.7 = 4.3 (1) 4.3 - 0.7 = 3.6 (2) 3.6 - 0.7 = 2.9 (3) 2.9 - 0.7 = 2.2 (4) 2.2 - 0.7 = 1.5 (5) 1.5 - 0.7 = 0.8 (6) 0.8 - 0.7 = 0.1 (7) Tabella 1.14:

Poiché il numero di sottrazioni effettuate é 7, concludiamo che 7 é la prima cifra decimale. Il rapporto desiderato, con la precisione di una cifra decimale é quindi 4.7. Per ottenere la successiva cifra possiamo procedere in modo analogo: sottraiamo 0.07 da 0.1 tante volte quante ne occorrono per trovare un resto inferiore a 0.07.

Troviamo cosí che la successiva cifra decimale é un 1, ed il rapporto é, a questo livello di precisione, 4.71. Il processo puó essere ripetuto fino al livello di precisione voluto.

Ci proponiamo ora di vedere come il conteggio necessario per ottenere la parte intera del rapporto voluto possa essere implementato in logica binaria. Ammettiamo, per esemplificare, che divisore N e dividendo D abbiano 4 bit, e che il dividendo sia maggiore del divisore. Ad esempio sia D=14_{D} = 1110_{B} ed N=4_{D} = 0100_{B}. La prima sottrazione, effettuata con il metodo del complemento a 2, fornisce:

1 1 1 0 +
1 1 0 0 =
carry → 1 1 0 1 0

Abbiamo cioé un bit di riporto (o di overflow), il quale indica che la differenza (uguale a 1010_{B} = 10_{D}) é positiva. Sottraendo ancora abbiamo:

1 0 1 0 +
1 1 0 0 =
carry → 1 0 1 1 0

Abbiamo ancora una differenza positiva (come evidenziato dalla presenza del bit di riporto) uguale a 6_{D}. Un’ulteriore sottrazione fornisce:

0 1 1 0 +
1 1 0 0 =
carry → 1 0 0 1 0

cioé un numero positivo (2_{D}). Successivamente si ottiene:

0 0 1 0 +
1 1 0 0 =
carry → 0 1 1 1 0

Vediamo che ora il bit di riporto é 0, cioé la differenza é negativa. La parte intera del rapporto desiderato é pari al numero di volte che la differenza ha fornito un bit di riporto uguale ad 1, cioé 3_{D}. Un circuito che realizza la funzione desiderata é quello mostrato in figura 1.62.

Il dividendo é caricato in un registro, costituito da quattro FF di tipo D. Il sommatore indicato effettua la somma del contenuto di questo registro e del complemento a 2 del divisore, indicato in figura con N̂_{3}, N̂_{2}, N̂_{1}, N̂_{0}. Il dividendo é caricato inizialmente nel registro. Dopo che la prima somma sará stata effettuata, il riporto C_{3} = 1, mentre i registri Q_{3}, Q_{2}, Q_{1}, Q_{0} conterranno il risultato della differenza tra dividendo e divisore. Poiché C_{3} = 1, il prossimo impulso di clock fará avanzare il contatore di una unitá. Ora il sommatore effettuerá la differenza tra il nuovo contenuto del registro ed il divisore. Se C_{3} é ancora uguale ad 1, la porta AND continuerá ad essere abilitata ed il contatore avanzerá di una unitá al prossimo impulso di clock. Il processo si ripete fino a quando C_{3} non sia divenuto uguale a 0, al qual punto il contatore si arresta.

Figura 1.53: 60 Figura 1.54: Figura 1.55:

Figura 1.56: 62 Figura 1.57:

63 Figura 1.58: Figura 1.59:

Figura 1.60: Figura 1.61:

Figura 1.62: 66

Linee di trasmissione

2.1 Introduzione

Nelle odierne trasmissioni televisive via satellite si opera a frequenze di diversi GHz. I segnali che il decoder riceve sono tipicamente dell’ordine del GHz. Segnali di frequenza similmente elevata sono utilizzati nelle normali trasmissioni televisive, nonché nei sistemi di trasmissione dati.

I cavi elettrici che trasportano i segnali ai sistemi di decodifica/ricezione debbono essere tali da non introdurre distorsioni e da non attenuare apprezzabilmente il segnale. Se si adoperassero a tale scopo delle normali coppie di conduttori elettrici, si avrebbe una certa attenuazione. A questa si potrebbe pensare di ovviare con un successivo stadio di amplificazione. Purtroppo ció non aiuterebbe, poiché l’attenuazione introdotta da un normale cavo elettrico é funzione della frequenza. Ció fa sí che il segnale che arriva al ricevitore sia fortemente distorto.

Nel campo dell’elettronica digitale veloce é necessario trasmettere dei segnali logici costituiti da impulsi molto brevi (dell’ordine del ns), con ripidi fronti di salita e di discesa. Anche in tal caso, l’uso di normali cavi conduttori allungherebbe i fronti di salita e discesa, oltre a deformare la forma dell’impulso, con conseguenze disastrose per i sistemi di decodifica. Occorre quindi realizzare degli opportuni conduttori che abbiano bassa attenuazione (in modo da consentire la trasmissione su cavi molto lunghi) e sopratutto che non siano tali da introdurre distorsioni. Inoltre, tali conduttori debbono risultare immuni da disturbi elettromagnetici eventualmente presenti nell’ambiente.

I conduttori piú comunemente adoperati a tale scopo sono i cavi coassiali, il cui uso é ormai ampiamente diffuso nel settore della comunicazione, come in quello della Fisica ed in molti settori dell’Industria.

Un uso importante che di tali cavi si fa in Fisica (specie in Fisica subnucleare) é quello di ”ritardare” un segnale elettronico di una quantitá predeterminata. Si parla in tal caso di linee di ritardo.

2.2 Cavi coassiali: principi generali

In questa sezione discuteremo il principio di funzionamento di un cavo coassiale, ammettendo che esso sia privo di perdite, quali potrebbero nascere da effetti resistivi o da perdite nel dielettrico. Esamineremo alla fine del capitolo le complicazioni che possono esser causate da tali fattori.

Schematizzeremo un cavo coassiale come in figura 2.1.

Figura 2.1:

Il conduttore interno ha raggio r, quello esterno R. Sappiamo che, ad una lunghezza unitaria di cavo é associata una capacitá C_{0} data da:

C_{0} = \frac{2πϵ}{ln(R/r)} [F]

dove ϵ = ϵ_{0}ϵ_{r} ed ϵ_{r} é la costante dielettrica relativa del mezzo compreso tra il conduttore interno e quello esterno. Analogamente, ad una lunghezza unitaria di conduttore é associata un’induttanza L:

L_{0} = \frac{μ}{2π} ln(R/r) [H]

dove μ = μ_{0}μ_{r} é il prodotto della permeabilitá magnetica del vuoto per la permeabilitá magnetica relativa.

Se il cavo ha lunghezza x, la sua capacitá ed induttanza saranno:

C = C_{0}x

L = L_{0}x

Ammettiamo ora che ad un estremo del cavo sia applicato un segnale di tensione V. Il cavo, inizialmente scarico, comincerá caricarsi ed una corrente I fluirá nel conduttore. Potremo schematizzare la propagazione dei segnali di tensione e corrente nel cavo come mostrato in figura 2.2.

Qui si deve immaginare che sia stata fatta un”’istantanea” ad un preciso istante t. Infatti sia V(x) che I(x) saranno in genere anche funzioni del tempo. Sappiamo che un’induttanza percorsa da una corrente variabile genera una differenza di potenziale ai propri capi data da:

ΔV = −L \frac{dI}{dt}

Nel nostro caso, l’induttanza LΔx associata al tratto Δx di cavo genera una differenza di potenziale tra i suoi estremi (i punti a e b) data da:

V (x + Δx) − V (x) = −L_{0}Δx\frac{∂I}{∂t}

dove abbiamo usato il simbolo (∂) di derivata parziale, poiche I e’ funzione di x oltre che di t.

Questa , al limite Δx → 0 fornisce:

\frac{∂V}{∂x} = −L_{0} \frac{∂I}{∂t} (2.1)

La capacitá associata al tratto di cavo compreso tra a e b (C_{0}Δx) possiede una carica Q data da:

Q = CV = C_{0}ΔxV

dove V é la differenza di potenziale media tra conduttore interno e conduttore esterno nel tratto Δx. Poiché prenderemo il limite Δx → 0, questa sará la differenza di potenziale tra i due conduttori nel punto x. La corrente netta uscente dal tratto di lunghezza Δx é:

ΔI = I(x + Δx) − I(x) = −\frac{dQ}{dt} = −C \frac{∂V}{∂t} = −C_{0}Δx \frac{∂V}{∂t}

Al limite Δx → 0 questa fornisce:

\frac{∂I}{∂x} = −C_{0} \frac{∂V}{∂t} (2.2)

L’equazione 2.1 ci dice che la corrente variabile genera un gradiente di tensione; la 2.2 ci dice che la tensione variabile genera un gradiente di corrente.

Derivando la 2.1 rispetto a t e la 2.2 rispetto ad x, si trova:

\frac{∂^{2}V}{∂x∂t} = −L_{0} \frac{∂^{2}I}{∂t^{2}} (2.3)

\frac{∂^{2}I}{∂x^{2}} = −C_{0} \frac{∂^{2}V}{∂t∂x} (2.4)

Da queste si ottiene poi:

\frac{∂^{2}I}{∂x^{2}} = C_{0}L_{0} \frac{∂^{2}I}{∂t^{2}} (2.5)

\frac{∂^{2}V}{∂x^{2}} = C_{0}L_{0} \frac{∂^{2}V}{∂t^{2}} (2.6)

Cioé troviamo l’importante risultato che sia V che I soddisfano l’equazione delle onde con u = \sqrt{\frac{1}{L_{0}C_{0}}} . La costante u é la velocitá di propagazione dell’onda. Il suo inverso é il ritardo per unita’ di lunghezza. La soluzione, sia per V che per I, sará quindi della forma f(x ± ut).

Ne segue che un qualsiasi segnale sinusoidale si propagherá lungo il cavo con la medesima velocitá u, qualunque sia la frequenza f del segnale. Di qui segue, facendo uso dello sviluppo in serie di Fourier di un segnale periodico qualsiasi, che il sistema non introduce distorsioni. Si noti che il risultato raggiunto é vero per un qualsiasi cavo coassiale a condizione di trascurare le perdite .

Esaminiamo ora la propagazione di un gradino di tensione come quello indicato in figura 2.3, lungo un cavo coassiale.

Figura 2.3:

Se il gradino di tensione é applicato ad una estremitá della linea al tempo t=0, esso comincerá a caricare la linea, ed un impulso di corrente si propagherá lungo questa con velocitá u. Il fronte di tensione si propaghera con la medesima velocitá. Al tempo t, la carica totale accumulata in un tratto di linea di lunghezza x = ut sará:

Q = It

con Q = CV = C_{0}xV = C_{0}utV.

Notiamo che V é l’altezza del fronte di tensione, che é costante. Quindi:

I = \frac{dQ}{dt} = C_{0}uV = \sqrt{\frac{C_{0}}{L_{0}}} V

Il rapporto in ogni punto tra tensione e corrente sará:

Z_{0} = \frac{V}{I} = \sqrt{\frac{L_{0}}{C_{0}}} (2.7)

Questa va sotto il nome di impedenza caratteristica della linea.

Notiamo che Z_{0} ha le dimensioni di una resistenza, ma ció non deve far pensare che la linea sia assimilabile ad una impedenza di valore Z_{0}. Il significato di Z_{0} é solo quello del rapporto tra tensione e corrente per un’onda che viaggi lungo la linea. A destra del fronte d’onda la tensione é nulla, come nulla é la corrente.

Per un’onda che si propaghi in verso contrario adotteremo la convenzione di scegliere il segno negativo per la corrente, con che:

\frac{V}{I} = −Z_{0} = −\sqrt{\frac{L_{0}}{C_{0}}} (2.8)

Valori tipici di Z_{0} sono nel campo (50 − 200 Ω).

Valori di Z piú elevati (fino a qualche kΩ) possono essere ottenuti aumentando L. Ció si puó realizzare con un cavo che utilizzi un conduttore interno avvolto a spirale, eventualmente su di un supporto centrale di materiale ferromagnetico. Se il solenoide é fittamente avvolto, il campo magnetico nella zona compresa tra i due conduttori é trascurabile rispetto a quello nel conduttore centrale. L’induttanza é quindi determinata dal conduttore interno solenoidale e vale:

L_{0} = \frac{μn^{2}πa^{2}}{4} = μ_{r}n^{2}π^{2}a^{2} · 10^{−7} (H/m)

Essendo il ritardo per unitá di lunghezza della linea proporzionale, a paritá di C_{0}, alla \sqrt{L_{0}}, ne segue che questo tipo di linea ad alto Z_{0} avrá anche un elevato valore del ritardo per unitá di lunghezza.

2.3 Riflessioni alle estremitá di una linea di trasmissione

.

Se l’onda di tensione é progressiva (cioé si propaga nel verso crescente delle x) essa sará del tipo:

V = f (t − \frac{x}{u})

Se essa é regressiva:

V = f (t + \frac{x}{u})

L’onda di corrente sará:

I = \frac{1}{Z_{0}} f (t ± \frac{x}{u})

Agli estremi della linea debbono peró essere soddisfatte delle condizioni al contorno. Ammettiamo infatti che la linea sia chiusa su di una resistenza R, di valore diverso da Z_{0}. In tal caso, all’estremitá della linea dovrá esser soddisfatta la condizione:

\frac{V}{I} = R ≠ Z_{0}

che l’onda incidente non puó soddisfare. Dovrá allora aver origine un’onda riflessa (di tensione e corrente) tale che la somma delle onde incidente e riflessa soddisfi la condizione.

Se indichiamo con ρ il coefficiente di riflessione, cioé se ρV (−1 ≤ ρ ≤ 1) é l’ampiezza di tensione dell’onda riflessa, l’ampiezza di corrente della stessa sará:

I_{r} = −ρ\frac{V}{Z_{0}}

Le ampiezze complessive di tensione e di corrente all’estremitá della linea saranno allora:

V_{t} = V (1 + ρ)

I_{t} = I + I_{r} = \frac{V}{Z_{0}} (1 − ρ)

Il rapporto V_{t}/I_{t} sará quindi:

\frac{V_{t}}{I_{t}} = Z_{0} \frac{1 + ρ}{1 − ρ}

che deve uguagliare R. Ne segue

\frac{R}{Z_{0}} = \frac{1 + ρ}{1 − ρ}

da cui:

ρ = \frac{R − Z_{0}}{R + Z_{0}} (2.9)

cioé l’onda riflessa avrá ampiezza pari a ρV. Il parametro ρ é noto come coefficiente di riflessione.

Esaminiamo ora i seguenti casi particolari:

(a) R = 0 → ρ = −1. In tal caso l’onda di tensione riflessa é capovolta rispetto a quella incidente

(b) R = ∞ → ρ = +1. In tal caso l’onda riflessa é uguale a quella incidente

(c) R = Z_{0} → ρ = 0. In tal caso non c’é onda riflessa. Si dice che la linea é chiusa sulla sua impedenza caratteristica

Consideriamo ora un generatore di segnali, avente una impedenza d’uscita R_{s}, chiuso su di una linea di trasmissione avente impedenza caratteristica R_{0}, come mostrato in figura 2.4.

L’impedenza vista tra i terminali d’uscita (a-b) del generatore guardando verso destra é R_{0}. Se u(t) é un gradino di tensione, V_{i} sará:

V_{i} = \frac{R_{0}}{R_{0} + R_{s}} u(t)

ad esempio, se la linea é adattata all’ingresso cioé se R_{s} = R_{0}, si avrá:

V_{i} = \frac{1}{2}u(t)

Guardiamo ora cosa accade al gradino di tensione quando esso, dopo un tempo T, raggiunge l’altra estremitá della linea. Ció dipenderá ovviamente dal valore di R. Ammettiamo per cominciare che sia R =0 . In tal caso avremo ρ = −1. Quindi, dopo un tempo T (pari alla lunghezza L della linea divisa per la velocitá di propagazione del segnale lungo la linea) dall’estremo di questa partirá un segnale di tensione V_{r} = −V_{i} = −u(t)/2.

Tale segnale arriverá all’ingresso della linea dopo un ulteriore tempo T. A partire da tale istante il segnale di tensione fra i punti a e b sará u/2−u/2 = 0. In definitiva il segnale di tensione in a-b avrá l’andamento mostrato in figura 2.5(a).

Se la lunghezza della linea é molto piccola il segnale sará un impulso stretto, come mostrato in figura 2.5(b).

Tale metodo é adoperato talvolta per generare un segnale di breve durata a partire da un segnale lungo, il quale abbia un brusco fronte di salita (o di discesa).

Un esempio é mostrato in figura 2.5(c),(d).

2.4 Riflessioni multiple

Ammettiamo ora che né l’impedenza d’uscita del generatore che alimenta la linea (avente lunghezza L) né l’impedenza che chiude la linea all’estremitá di ricezione siano adattate. Siano cioe esse entrambe diverse dall’impedenza caratteristica della linea. Chiamiamo ρ′ il coefficiente di riflessione all’estremitá di ingresso e ρ quello all’estremitá d’uscita. Esaminiamo l’andamento temporale del segnale alla estremitá d’ingresso, per un segnale a gradino u(t). Quando il segnale parte, a t = 0^{+}, esso vale u. Al tempo t_{D} = L/u, un segnale riflesso, pari a ρu comincia a muoversi dall’estremo d’uscita verso sinistra. Per t = 2t_{D} il segnale ρu arriva al punto d’ingresso (x=0). In tale istante il segnale in x=0 passa dal valore u al valore u+ρu = (1+ρ)u. In questo stesso istante,un segnale riflesso pari a ρ′ρu parte dall’estremitá di ingresso verso destra. Al tempo t = 3t_{D} questo segnale arriva all’estremitá della linea e viene nuovamente riflesso. Il nuovo segnale riflesso vale: ρρ′ρu. Questo arriva in x=0 al tempo 4t_{D} e viene a sommarsi ai precedenti. In definitiva, se osserviamo il segnale in x=0 avremo:

• per t < 2t_{D} ; V = u

• per 2t_{D} < t < 4t_{D} ; V = u + ρu • per 4t_{D} < t < 6t_{D} ; V = u + ρu + ρ′ρu

• per 6t_{D} < t < 8t_{D} ; V = u + ρu + ρ′ρu + ρρ′ρu

Notiamo che, essendo ρ e ρ′ entrambi minori di 1, i successivi termini saranno sempre piú piccoli.

2.5 Effetti resistivi nelle linee di trasmissione

Le linee fin qui considerate erano caratterizzate da una capacitá C_{0} ed un induttanza L_{0} per unitá di lunghezza ma erano altrimenti prive di perdite ohmiche. Se degli elementi resistivi sono anche presenti, un elemento di linea potra essere schematizzato come in figura 2.6:

Qui in aggiunta ad una capacitá C_{0} ed induttanza L_{0} per unitá di lunghezza, abbiamo una resistenza R_{0} (serie) ed una conduttanza G_{0} (parallelo) per unitá di lunghezza.

Le equazioni diventano ora, indicando al solito con ΔV la differenza di potenziale fra i punti B e A, con ΔI la differenza tra la corrente uscente da B e quella entrante in A e con z la coordinata misurata lungo la linea:

ΔV = −R_{0}ΔzI(z, t) − L_{0}Δz \frac{∂I(z, t)}{∂t} (2.10)

ΔI = −G_{0}ΔzV (z, t) − C_{0}Δz \frac{∂V (z, t)}{∂t} (2.11)

Cioé:

\frac{∂V}{∂z} = −R_{0}I(z, t) − L_{0} \frac{∂I(z, t)}{∂t} (2.12)

\frac{∂I}{∂z} = −G_{0}V (z, t) − C_{0} \frac{∂V (z, t)}{∂t} (2.13)

da cui si ottiene:

\frac{∂^{2}V}{∂z^{2}} = L_{0}C_{0} \frac{∂^{2}V}{∂t^{2}} + (L_{0}G_{0} + R_{0}C_{0}) \frac{∂V}{∂t} + R_{0}G_{0}V (2.14)

Questo ovviamente si riduce alla equazione 2.6 se R_{0} = G_{0} = 0. Una equazione analoga puó essere facilmente ottenuta per la corrente I(z,t). Esaminiamo ora la risposta di tale linea ad un segnale sinusoidale:

V = V (z)e^{jωt} (2.15)

Sostituendo nella 2.14 si trova:

\frac{d^{2}V}{dz^{2}} = V (z)[R_{0}G_{0} − L_{0}C_{0}ω^{2} + jω (L_{0}G_{0} + R_{0}C_{0})] ≡ γ^{2}V (z)

con:

γ^{2} ≡ −L_{0}C_{0}ω^{2}+jω (L_{0}G_{0} + R_{0}C_{0})+R_{0}G_{0} = (R_{0} + jωL_{0}) (G_{0} + jωC_{0})(2.16)

La variabile:

γ ≡ α + jκ ≡ \sqrt{(R_{0} + jωL_{0})(G_{0} + jωC_{0})} (2.17)

é detta costante di propagazione.

La soluzione generale dell’equazione differenziale 2.14 é quindi del tipo:

V (z, t) = V_{1}e^{−αz} e^{j(ωt−kz)} + V_{2}e^{αz}e^{j(ωt+kz)} (2.18)

Questa é nuovamente la somma di un’onda progressiva e di una regressiva. Ciascuna delle due onde é peró moltiplicata per un esponenziale (e^{±αz}) che introduce un’attenuazione con costante λ = 1/α.

Notiamo che sia α che k dipendono da ω. Ció ha l’effetto di introdurre una distorsione in un generico segnale applicato. Infatti si vede che le diverse componenti di Fourier di un tale segnale sono attenuate in modo diverso, come diversa é la loro velocitá di propagazione: v = ω/k.

Risolvendo la 2.16 si trova:

α^{2} = \frac{1}{2}[(R_{0}G_{0} − ω^{2}L_{0}C_{0}) + \sqrt{(R_{0}^{2} + ω^{2}L_{0}^{2})(G_{0}^{2} + ω^{2}C_{0}^{2})}] (2.19)

k^{2} = \frac{1}{2}[−(R_{0}G_{0} − ω^{2}L_{0}C_{0}) + \sqrt{(R_{0}^{2} + ω^{2}L_{0}^{2})(G_{0}^{2} + ω^{2}C_{0}^{2})}] (2.20)

A frequenze ω tali che R_{0}/ωL_{0} ≪ 1 e G_{0}/ωC_{0} ≪ 1, α e k possono essere approssimati con:

α ≈ \frac{1}{2} (R_{0}\sqrt{\frac{C_{0}}{L_{0}}} + G_{0}\sqrt{\frac{L_{0}}{C_{0}}} )

k ≈ ω\sqrt{L_{0}C_{0}}

Con ció la velocitá di propagazione v = ω/k ≈ 1/\sqrt{L_{0}C_{0}}, come nel caso di una linea priva di perdite.

Inoltre, in tale approssimazione la costante di attenuazione α viene ad essere indipendente dalla frequenza. Nel caso dei cavi coassiali tale regione di alte frequenze inizia attorno ai 100 kHz.

A frequenze piú elevate l’effetto pelle fa si che la parte di conduttore responsabile della conduzione si riduca ad uno strato superficiale tanto piú sottile quanto piú elevata é la frequenza dei segnali trasmessi. Ció porta ad un aumento della resistenza e di conseguenza ad una lunghezza d’attenuazione ^{1} che diminuisce all’aumentare della frequenza.

1Definita come la lunghezza dopo la quale il segnale si é attenuato di un fattore e

2.6 Adattamento d’impedenza per una linea di trasmissione

Le riflessioni che i segnali possono subire alle estremitá di una linea di trasmissione possono dar luogo ad inconvenienti. Ammettiamo ad esempio di voler osservare all’oscilloscopio un certo impulso, avente una determinata altezza e durata, fornito da un generatore d’impulsi avente una bassa impedenza d’uscita. Se, come quasi sempre accade, facciamo uso di un cavetto da 50 Ω per inviare il segnale in esame ad un oscilloscopio, dobbiamo tener conto del fatto che una tipica impedenza d’ingresso di questo é dell’ordine del MΩ. In tali condizioni il coefficiente di riflessione all’ingresso dell’oscilloscopio sará circa 1. Il segnale riflesso arriverá, dopo un piccolo ritardo, all’uscita del generatore, dove si sommerá al segnale che questo sta inviando. In tal modo avremo, in tempi brevissimi (dell’ordine del ritardo del cavo, cioé pochi ns) un gran numero di riflessioni tra generatore ed oscilloscopio, con il risultato di osservare un segnale completamente diverso da quello originato dal generatore.

É quindi necessario liberarsi delle riflessioni. Ció sarebbe possibile se l’impedenza d’ingresso dell’oscilloscopio fosse uguale a quella della linea (50 Ω nel nostro caso). Alcuni oscilloscopi sono giá predisposti in modo che si possa ”commutare” l’impedenza d’ingresso, tra 1 MΩ e 50 Ω. Nei casi in cui tale predisposizione non esista é possibile ”adattare” l’ingresso, ponendo in parallelo ad esso un ”tappo” da 50 Ω. Lo schema é quello di figura 2.7.

Esistono dei connettori appositi che svolgono tale funzione.

Situazioni simili a quella descritta possono verificarsi in altre applicazioni: puó ad esempio accadere che la linea abbia un’impedenza maggiore di quella del circuito che essa deve alimentare. In tal caso occorrerá mettere in serie all’ingresso del circuito un’opportuna impedenza, tale che la somma dell’impedenza d’ingresso del circuito e di quella aggiunta sia uguale all’impedenza della linea. In tutti questi casi si dice che si effettua un adattamento d’impedenza.

Il problema delle riflessioni puó essere ulteriormente complicato dalla presenza, all’ingresso del circuito che la linea deve alimentare, di impedenze di tipo induttivo o capacitivo. Un’analisi di questo tipo di riflessioni é discussa nel capitolo dedicato alle trasformate di Laplace, come applicazione di queste.

2.7 Linee di trasmissione commerciali

Sono comunemente disponibili in commercio un’enorme varietá di cavi coassiali, che differiscono per il diametro dei conduttori, la natura del materiale, lo spessore e natura del dielettrico che separa il conduttore interno da quello esterno etc..

Normalmente il materiale adoperato per i conduttori é rame, rame/stagno o altre leghe speciali. Il dielettrico puó essere polietilene, nylon, polipropilene o altre sostanze plastiche.

Nella pratica radiotelevisiva si fa uso di cavi aventi impedenza caratteristica di 75 Ω. Nei sistemi di telecomunicazione si fa uso di cavi da 50 Ω. Questo é anche il caso delle linee di ritardo adoperate in esperimenti di Fisica Subnucleare, dove si adoperano cavi giá predisposti, con opportuni connettori (aventi impedenza di 50 Ω) alle estremitá, e con lunghezze diverse, corrispondenti a ritardi che vanno da 0.5 ns a qualche decina di ns.

I cavi maggiormente adoperati in Fisica Subnucleare sono quelli corrispondenti allo standard RG-58C/U (50 Ω) con diametro esterno di 2.95 mm, nonché quelli del tipo RG-174/U (sempre di 50 Ω) con diametro di 1.52 mm.

Nel campo dell’informatica e della telematica si adoperano spesso cavi da 93 Ω o 105 Ω, come pure cavi da 75 Ω.

Le lunghezze d’attenuazione, come i diametri, variano molto da tipo a tipo di cavo. Inoltre, come giá accennato, la lunghezza d’attenuazione cambia con la frequenza. Normalmente tale parametro é quotato nei cataloghi in unitá di dB/100 piedi. Un’attenuazione di 1 dB/100 piedi corrisponde all’incirca ad una diminuzione dell’ampiezza del segnale dell’80% ogni 30 m.

Lunghezze d’attenuazione tipiche (per cavi coassiali che rientrano nella standard MIL-C-17) con diametro esterno di 0.86 mm vanno da 15 dB/100 piedi a frequenze di 100 MHz, a 258 dB/100 piedi a frequenze di 20 GHz.

Cavi coassiali dello stesso tipo, ma con diametro di 3.58 mm, hanno lunghezze d’attenuazione migliori: esse variano tra 3 dB/100 piedi a 100 MHz e 68 dB/100 piedi a 20 GHz.

Figura 2.5: 78 Figura 2.6: Figura 2.7:

80

Uso delle trasformate di Fourier e di Laplace nella soluzione di problemi relativi a sistemi elettronici

3.1 Introduzione

Per risolvere le equazioni integro-differenziali che compaiono nel calcolo della risposta di una rete elettrica a determinati segnali applicati, é utile far uso del metodo delle trasformate. Queste infatti trasformano le equazioni integro-differenziali in equazioni algebriche, la cui soluzione é in genere molto piú agevole.

Ci limiteremo in questa sezione a fornire gli elementi minimi essenziali per affrontare e risolvere i problemi che comunemente si incontrano in elettronica.

Alcuni semplici esempi saranno anche discussi, per rendere piú esplicito l’uso del metodo.

Per approfondimenti si rimanda alla bibliografia elencata in fondo a questa sezione, in particolare alle referenze [1] ed [3].

3.2 La trasformata di Fourier

Sia data una funzione del tempo f(t). La sua trasformata di Fourier é definita come:

F (ω) = ∫_{−∞}^{+∞} f(t)e^{jωt} dt (3.1)

Fisicamente possiamo pensare che la f(t) sia costituita da una somma infinita di oscillazioni sinusoidali, ciascuna caratterizzata da una pulsazione ω ed un’ampiezza. La grandezza:

F (ω)dω/2π

rappresenta l’ampiezza con cui compare in tale somma infinita l’oscillazione di frequenza compresa nell’intervallo che va da f ad f + df, dove f = ω/2π.

Se la F (ω) é nota, é possibile ricavare la f(t), antitrasformando:

f(t) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{+∞} F (ω)e^{−jωt} dω (3.2)

Dalle definizioni (3.1) ed (3.2), sviluppando il termine:

e^{jωt} = cosωt + jsinωt

si vede facilmente che la F (ω) é reale se f(t) é una funzione pari di t, cioé se f(t)=f(-t), mentre é immaginaria se f(t) é una funzione dispari: f(t)=-f(-t).

Le seguenti proprietá della trasformata di Fourier sono spesso utili:

• Linearitá: se F_{1}(ω) = F [f_{1}(t)] ed F_{2}(ω) = F [f_{2}(t)] ed a_{1}, a_{2} sono delle costanti, allora:

F [a_{1}f_{1}(t) + a_{2}f_{2}(t)] = a_{1}F_{1}(ω) + a_{2}F_{2}(ω)

• proprietá di scaling: se F (ω) = F [f(t)] ed a é una costante reale, allora:

F [f(at)] = \frac{1}{|a|}F (\frac{ω}{a})

• proprietá di traslazione temporale: se F (ω) = F [f(t)] allora:

F [f(t − t_{0})] = F (ω)e^{−jωt_{0}}

• proprietá di traslazione in frequenza: se ω_{0} é una costante reale e F (ω) = F [f(t)] allora:

F [f(t)e^{jω_{0}t}] = F (ω − ω_{0})

Calcoliamo ad esempio la trasformata della f(t) mostrata nel grafico superiore della figura (3.1), che rappresenta un impulso rettangolare di altezza h e durata t_{1}.

Facendo uso della (3.1) troviamo:

F (ω) = h ∫_{0}^{t_{1}} e^{−jωt}dt = \frac{h}{jω} (1 − e^{−jωt_{1}}) = ht_{1} \frac{sin(ωt_{1}/2)}{ωt_{1}/2} e^{−jωt_{1}/2}

L’andamento in funzione di ω della F (ω) é mostrato nel grafico inferiore della figura (3.1). Vediamo che F (ω) diminuisce all’aumentare di ω. Per ω molto grandi possiamo considerare F (ω) = 0, senza commettere un errore apprezzabile. Notiamo anche che se t_{1} diminuisce, il range dei valori di ω in cui F (ω) é apprezzabile si allarga.

Ad esempio, vediamo in figura (3.2) come cambia la F (ω) se dimezziamo t_{1} rispetto al valore che esso aveva in figura (3.1). In questa figura la curva tratteggiata é quella relativa ad un valore di t_{1} = 1.2 mentre quella a tratto continuo éottenuta con un valore di t_{1} = 0.6. Le componenti di alta frequenza sono tanto piú importanti quanto piú stretto é l’impulso.

Quando si fa uso della f(t) per descrivere un’eccitazione (o una risposta) si dice che si lavora nel dominio del tempo. Quando si fa invece uso della sua trasformata di Fourier F (ω) si dice che si lavora nel dominio della frequenza.

Alle proprietá della trasformata di Fourier elencate sopra, dobbiamo aggiungerne due che riguardano la trasformata della derivata e dell’integrale di una funzione f(t). Se f(t) → 0 per t → ∞, allora la trasformata della derivata della f(t) é:

F [\frac{d}{dt}f(t)] = jωF (ω) (3.3)

cioé, la derivazione rispetto a t corrisponde alla moltiplicazione della trasformata della funzione iniziale per jω. Analogamente, per l’integrale troviamo:

F [∫ f(t)dt] = \frac{F (ω)}{jω} (3.4)

cioé, l’integrazione rispetto a t corrisponde alla divisione della trasformata iniziale per jω.

Esaminiamo l’applicazione della tecnica della trasformata di Fourier al calcolo della risposta di un semplice circuito RL come quello mostrato in figura (3.3), cui sia applicato in ingresso un gradino di tensione V (t) = V_{0}u(t) (dove u(t) é la funzione gradino unitario, che é uguale a 0 per t < 0 e ad 1 per t > 0).

L’equazione di Kirckhoff per la maglia fornisce:

v(t) = L\frac{di(t)}{dt} + Ri(t)

dove i(t) é la corrente nella maglia. Prendendo la trasformata di entrambi i membri di questa equazione, otteniamo:

∫_{−∞}^{+∞} v(t)e^{−jωt}dt = jωL ∫_{−∞}^{+∞} i(t)e^{−jωt}dt + R ∫_{−∞}^{+∞} i(t)e^{−jωt}dt

cioé, in simboli:

V (ω) = (R + jωL)I(ω) ≡ Z(ω)I(ω)

dove Z(ω) é la trasformata di Fourier dell’impedenza del circuito.

Figura 3.3:

L’incognita del nostro problema, cioé la corrente i(t) nella maglia, puó esser facilmente calcolata a partire dalla trasformata I(ω):

I(ω) = \frac{V (ω)}{R + jωL} = \frac{V (ω)}{Z(ω)} = V (ω)Y (ω)

dove Y (ω) é la trasformata di Fourier dell’ammettenza (Y (ω) = 1/Z(ω)). La Y (ω) é anche detta, nel caso generale la funzione di Green del problema.

Come visto, il termine induttivo dá un contributo alla tensione V (ω) pari a (jωL)I(ω). Ció si esprime dicendo che la trasformata dell’impedenza associata all’induttanza é Z_{L} = jωL. Tale terminologia é analoga a quella che si ha nel metodo simbolico applicato a segnali sinusoidali.

Analogamente si puó verificare che la trasformata di un’impedenza capacitiva é data da 1/(jωC), dove C é la capacitá. Infatti, per un condensatore inizialmente scarico, caricato da una corrente i(t), la differenza di potenziale ai suoi capi é data da:

v(t) = \frac{∫_{0}^{t} i(t′)dt′}{C}

Prendendo la trasformata di entrambi i membri, e facendo uso della relazione:

F [∫_{0}^{t} f(t′)dt′] = \frac{1}{jω} F (ω)

si trova:

V (ω) = \frac{1}{jωC} I(ω) = Z(ω)I(ω)

che é quanto asserito. Il risultato trovato é nuovamente simile a quello noto nel caso del metodo simbolico applicato a segnali sinusoidali. Potremo quindi, in un generico problema, sostituire direttamente alle impedenza le loro trasformate ed ottenere cosí direttamente la funzione di Green del sistema.

Consideriamo ad esempio il circuito di figura (3.4):

Figura 3.4:

dove:

Z_{1} = jωL_{1} , Z_{2} = jωL_{2} , Z_{C} = \frac{1}{jωC} , Z_{R} = R

Si ottiene:

V (ω) = Z(ω) I(ω)

con:

Z(ω) = (Z_{C} + Z_{R})∥Z_{2} + Z_{1} = \frac{(R + 1/(jωC))jωL_{2}}{R + 1/(jωC) + jωL_{2}} + jωL_{1}

La Z(ω) descrive completamente le proprietá fisiche del circuito in esame. Essa é in generale una funzione complessa di ω, caratterizzata quindi da un modulo ed una fase, entrambi funzioni di ω.

3.3 Trasformata di Laplace

Se f(t) é una funzione di t, la sua trasformata di Laplace é una funzione della variabile complessa σ definita da:

L(s) = L [f(t)] = ∫_{0}^{+∞} e^{−st}f(t)dt (3.5) dove la variabile complessa s = σ + jω.

L’antitrasformata é ottenuta tramite un’integrazione nel piano s complesso:

f(t) = \frac{1}{2πj} ∫_{a−j∞}^{a+j∞} F (s)e^{st}ds (3.6)

dove l’integrazione é effettuata lungo la retta indicata in figura (3.5) dalla linea tratteggiata.

Figura 3.5:

Analogamente al caso della trasformata di Fourier, anche ora esistono alcune relazioni che é utile ricordare.

• proprietá di scaling:

L [f(at)] = \frac{1}{a}L(\frac{s}{a})

• proprietá di traslazione temporale:

L [f(t − τ)] = L(s)e^{−sτ}

• proprietá di traslazione in frequenza:

L [f(t)e^{−αt}] = L(s + α)

Va infine ricordata la trasformata della derivata e dell’integrale della funzione f(t). Per quel che concerne la derivata prima, abbiamo una relazione analoga a quella incontrata nel caso della trasformata di Fourier:

L [f′(s)] = sL(s) − f(0^{+}) (3.7)

dove f(0^{+}) é il limite destro di f(t) per t tendente a 0. Piú in generale, per la derivata n^{ma} di f(t), abbiamo:

L [f^{(n)}(t)] = s^{n}L(s) − s^{n−1}f(0) − s^{n−2} \frac{df(0)}{dt} − .... − \frac{df^{n−1}(0)}{dt^{n−1}}

Per ció che concerne la trasformata dell’integrale della f(t), abbiamo:

L [∫_{0}^{t} f(t′)dt′] = \frac{1}{s}L(s) (3.8)

Dobbiamo notare che l’integrale (3.5) non esiste per una qualsivoglia funzione, per valori generici della parte reale σ di s. Se infatti σ é negativo, il termine exp(−σt) fará si che l’integrando diverga. Se invece σ é positivo il termine exp(−st) tenderá a zero per t tendente ad infinito e l’integrale sará in genere finito. Piú in generale, per una generica funzione f(t) il seguente test consente di determinare quali siano i valori di σ che rendono convergente l’integrale. Si calcoli:

∫_{0}^{∞} f(t)e^{−σt}dt

Se tale integrale esiste per σ > σ_{0}, dove σ_{0} é una costante, allora esisterá la trasformata di Laplace della f(t) per σ > σ_{0}.

La classe delle funzioni che possono essere trasformate in tal modo é nota come classe delle funzioni di ordine esponenziale. Esempi di funzioni appartenenti a tale classe sono:

• f(t) = t^{n}, per la quale é: lim_{t→∞} t^{n}e^{−σt} = 0 per n generico, se σ > 0

• f(t) = e^{5t}, per la quale é: lim_{t→∞} e^{5t}e^{−σt} = 0 per σ > 5

Una funzione che non é di ordine esponenziale é: f(t) = exp(t^{2}).

Tutte le funzioni che normalmente incontreremo nella applicazioni elettroniche saranno di ordine esponenziale. Per ulteriori dettagli vedasi la referenza [1].

Avremo spesso bisogno delle L-trasformate di alcune funzioni elementari, che riassumiamo qui di seguito:

f(t)  L(s)
u(t) (funzione gradino)  1/s
t (rampa)  1/s^{2}
e^{at}  \frac{1}{s−a}
sin(ωt)  \frac{ω}{s^{2}+ω^{2}}
cos(ωt)  \frac{s}{s^{2}+ω^{2}}
e^{at}sin(ωt)  \frac{ω}{(s−a)^{2}+ω^{2}}
e^{at}cos(ωt)  \frac{s−a}{(s−a)^{2}+ω^{2}}
u(t − a)(gradino unitario ritardato)  \frac{1}{s}e^{−as}
δ(t) (funzione δ di Dirac)  1

Ricordando che una funzione di variabile complessa s che sia espressa come rapporto tra due polinomi a coefficienti reali nella variabile s é completamente individuata, a meno di una costante moltiplicativa, dai suoi poli e zeri nel piano complesso s, potremo rappresentare le F(s) appena scritte, come mostrato nelle figure (3.6, 3.7), dove un cerchietto indica uno zero ed una X un polo.

Dall’esame delle figure (3.6) e (3.7) possiamo fare le seguenti considerazioni generali:

• i poli sono o reali o complessi coniugati • ad un polo reale singolo é associata una funzione f(t) di tipo esponenziale

• a due poli complessi coniugati sono associate funzioni di tipo sinusoidale

• se i poli si trovano nel semipiano destro, la f(t) diverge

• quanto piú un polo reale negativo é lontano dall’origine, tanto piú velocemente l’esponenziale tende a zero

• quanto maggiore é la distanza dall’origine di una coppia di poli complessi coniugati, tanto piú elevata é la frequenza d’oscillazione della corrispondente f(t)

Se l’equazione trasformata é del tipo:

Y (s) = G(s)X(s)

dove X(s) é la trasformata dell’eccitazione, Y(s) quella della risposta e G(s) é la funzione di Green del sistema, la risposta y(t) puó essere ottenuta antitrasformando la Y(s). Per far ció si cerca di esprimere la Y(s) come somma di frazioni parziali, di ciascuna delle quali si conosca l’antitrasformata. Data la linearitá della tasformata, la risposta sará la somma delle singole antitrasformate.

In tale tipo di calcoli sono utili i cosiddetti teoremi del valore iniziale e del valore finale:

lim_{t→0^{+}} y(t) = lim_{s→∞} sY (s) (3.9)

lim_{t→∞} y(t) = lim_{s→0} sY (s) (3.10)

Le trasformate di Laplace vengono normalmente definite per funzioni che sono nulle per t < 0. Ció copre la piú gran parte delle funzioni d’interesse in elettronica.

É possibile estendere il metodo delle trasformate di Laplace al caso di funzioni non nulle per t < 0, ma esiste allora un’ambiguitá nella trasformata inversa.

Da un punto di vista pratico esiste poca differenza tra i metodi di Fourier e di Laplace. Tutavia, poiché la trasformata di Laplace esiste per una piú ampia classe di funzioni, é normalmente piú conveniente usare quest’ultimo metodo. Ad esempio, le funzioni che crescono indefinitamente nel tempo non posseggono una trasformata di Fourier e quindi esse (che compaiono quando si debba analizzare il comportamento di sistemi instabili) debbono essere trattate con il metodo delle trasformate di Laplace.

Nelle applicazioni elettroniche si incontrano spesso trasformate di Laplace della forma:

\frac{N(s)}{D(s)} = \frac{N(s)}{(s − ν_{1})(s − ν_{2})(s − ν_{3}) ⋯ (s − ν_{n})} (3.11)

dove ν_{1}, ν_{2}, ⋯, ν_{n} sono i le radici della funzione D(s), cioé i poli della funzione N(s)/D(s).

Esaminiamo ora alcuni esempi, per poi analizzare metodi generali per il calcolo dell’antitrasformata.

3.4 Esempi di calcolo di antitrasformate di Laplace

Equazione differenziale lineare del secondo ordine

Si debba risolvere la seguente equazione lineare del secondo ordine:

\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}} + 3\frac{dx(t)}{dt} + 2x(t) = 4e^{−3t}u(t)

con le condizioni inziali:

x(0) = 2

\frac{dx(t)}{dt}|_{t=0} = −1

Si prenda la trasformata di Laplace di entrambi i membri dell’equazione:

s^{2}X(s) − sx(0) − \frac{dx(t)}{dt}|_{t=0} + 3 [sX(s) − x(0)] + 2X(s) = \frac{4}{s + 3}

Sostituendo i valori iniziali, questa fornisce:

(s^{2} + 3s + 2)X(s) = \frac{4}{s + 3} + 2s + 5

da cui:

X(s) = \frac{2s^{2} + 11s + 19}{(s + 1)(s + 2)(s + 3)}

Questa puó esser riscritta come:

X(s) = \frac{5}{s + 1} − \frac{5}{s + 2} + \frac{2}{s + 3}

L’antitrasformata di questa si scrive in modo diretto come somma delle antitrasformate delle singole frazioni:

x(t) = (5e^{−t} − 5e^{−2t} + 2e^{−3t})u(t)

Questa é quindi la soluzione dell’equazione differenziale, con le condizioni al contorno imposte.

Esempi relativi a circuiti elettrici

In modo analogo a quanto visto nel caso delle trasformate di Fourier possiamo, anche nel caso delle trasformate di Laplace, evitare di scrivere l’equazione differenziale associata ad un dato circuito, scrivendo direttamente l’equazione algebrica che si ottiene sostituendo a ciascun componente (induttanza, capacitá, resistenza) nonché a ciascun generatore di tensione o di corrente, i rispettivi L-trasformati. Ció segue ovviamente dalla linearitá delle equazioni.

Per una resistenza R sappiamo che é:

v(t) = Ri(t)

per cui, in termini delle L-trasformate:

V (s) = RI(s)

la L-trasformata dell’impedenza associata alla resistenza R é quindi:

Z_{R} = R

Nel caso di un’induttanza abbiamo invece:

v(t) = L\frac{di(t)}{dt}

la cui L-trasformata é:

V (s) = L [sI(s) − i(0)] = LsI(s) − Li(0)

dove i(0) é la corrente nell’induttanza per t = 0.

Da questa otteniamo poi:

I(s) = \frac{1}{Ls}V (s) + \frac{i(0)}{s}

Se poi le condizioni iniziali sono tali che i(0) = 0 otteniamo:

V (s) = LsI(s)

per cui l’impedenza trasformata é:

Z_{L}(s) = Ls

Un risultato analogo a quello del metodo simbolico, con la sola sostituzione di s a jω.

Nel caso di un condensatore troviamo in modo analogo:

i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}

da cui:

I(s) = C [sV (s) − v(0)] = CsV (s) − Cv(0)

e poi:

V (s) = \frac{1}{Cs}I(s) + \frac{v(0)}{s}

Se la tensione ai capi del condensatore é inizialmente nulla: v(0) = 0, avremo:

Z_{C}(s) = \frac{V (s)}{I(s)} = \frac{1}{sC}

Ancora una volta un risultato analogo a quello del caso simbolico, con la sola sostituzione della variabile complessa s a quella immaginaria jω.

Risposta di un circuito RC passa-basso ad un gradino unitario

Consideriamo lo schema del circuito passa-basso mostrato in figura (3.8).

Figura 3.8:

Applicando il metodo delineato nella sezione precedente, troviamo la seguente relazione tra le trasformate dell’input e dell’output:

V_{out}(s) = V_{in}(s)\frac{1}{1 + sRC} = V_{in}(s)\frac{1/τ}{s + 1/τ}

dove τ = RC. Poiché la trasformata dell’input (gradino unitario) é uguale ad 1/s, avremo quindi:

V_{out}(s) = \frac{1}{sτ} \frac{1}{s + 1/τ}

Scriviamo il secondo membro di questa espressione nella forma:

\frac{a}{s} + \frac{b}{s + 1/τ}

con a e b costanti da determinare. Uguagliando le due espressioni di V_{out}(s), troviamo a = 1 e b = −1. La trasformata della risposta sará quindi:

V_{out}(s) = \frac{1}{s} − \frac{1}{s + 1/τ}

la cui antitrasformata é:

v_{out} = 1 − e^{−t/τ}

che é il risultato noto per tale circuito, da analisi elementari.

Risposta di un circuito RC passa-basso ad una rampa

Ammettiamo ora che al medesimo circuito RC sia applicata in ingresso una rampa di pendenza unitaria: f(t) = t. La funzione di trasferimento, é la stessa del caso precedente. La differenza é nel fatto che ora la trasformata dell’input é 1/s^{2}. Avremo quindi:

V_{out}(s) = \frac{1}{τs^{2}} \frac{1}{s + 1/τ} = \frac{1}{τs} (\frac{1}{s} \frac{1}{s + 1/τ} ) = \frac{1}{s} [\frac{1}{s} − \frac{1}{s + 1/τ} ]

ed in definitiva:

V_{out}(s) = \frac{1}{s^{2}} − \frac{τ}{s} + \frac{τ}{s + 1/τ}

L’antitrasformata di questa é:

v_{out} = t − τ (1 − e^{−t/τ} )

Risposta ad un gradino unitario di un circuito RL

Analogamente al caso del circuito RC, anche in quello del circuito RL di figura (3.9), cui sia applicato in ingresso un gradino unitario di tensione, possiamo scrivere in modo ovvio la relazione tra le L-trasformate dell’input e dell’output:

V_{out}(s) = V_{in}(s)\frac{sL}{R + sL} = V_{in}(s)\frac{s}{s + R/L} = V_{in}(s)\frac{s}{s + 1/τ}

con τ = R/L. Da questa segue:

V_{out}(s) = \frac{1}{s} \frac{s}{s + 1/τ} = \frac{1}{s + 1/τ}

e quindi:

v_{out}(t) = e^{−t/τ}

Figura 3.9:

Risposta ad una rampa del circuito RL

Questa volta la trasformata dell’eccitazione é 1/s^{2}, per cui avremo:

V_{out}(s) = \frac{1}{s^{2}} \frac{s}{s + 1/τ} = \frac{1}{s} \frac{1}{s + 1/τ}

che puó esser messa nella forma:

V_{out}(s) = τ (\frac{1}{s} − \frac{1}{s + 1/τ} )

la cui antitrasformata é:

v_{out}(t) = τ (1 − e^{−t/τ} )

Notiamo che negli ultimi esempi abbiamo implicitamente ammesso che le condizioni iniziali fossero: i(0) = 0 nel caso del gradino applicato al circuito RL e v_{out}(0) = 0 nel caso della rampa.

3.5 Risposta di un circuito ad un’eccitazione di forma generica

Ngli esempi esaminati abbiamo sempre considerato eccitazioni di forma particolarmente semplice: gradini unitari o rampe. Ci proponiamo ora di esaminare il caso in cui il segnale applicato abbia una forma generica, descritta da una funzione S(t) quale ad esempio quella mostrata in figura (3.10).

Possiamo calcolare la risposta del circuito facendo uso del principio di sovrapposizione. Consideriamo cioé il segnale S(t) in un piccolo intervallo di tempo (t_{1}, t_{1} + Δt_{1}). Se Δt_{1} é molto piccolo, potemo schematizzare tale segnale con una funzione δ: Aδ(t_{1}), dove A é la grandezza S(t_{1})Δt_{1} (per Δt_{1} → 0). La risposta R_{1}(t) del circuito a tale segnale sará quindi approssimabile, per Δt → 0 con la risposta a tale funzione δ:

R_{1}(t) = Aδ(t_{1})y(t − t_{1})

dove y(t − t_{1}) rappresenta la risposta del circuito al tempo t ad una δ applicata al tempo t_{1}.

Sostituendo in quest’espressione alla grandezza Aδ(t_{1}) il termine S(t_{1})Δt_{1}, otteniamo:

R_{1}(t) = S(t_{1})y(t − t_{1})Δt_{1}

che, per Δt_{1} → 0 si scrive:

R_{1}(t) = S(t_{1})y(t − t_{1})dt_{1}

Per il principio di sovrapposizione e la linearitá del sistema, la risposta del circuito al tempo t sará la somma (cioé l’integrale) della risposta a tutti gli impulsi elementari che hanno avuto luogo negli istanti t_{i}, con t_{i} < t. In altri termini:

R(t) = ∑_{i=0}^{∞} R_{i}(t) → ∫_{0}^{t} S(t_{1})y(t − t_{1})dt_{1}

Ponendo in questa τ = t − t_{1}, otteniamo:

R(t) = ∫_{0}^{t} S(t − τ)y(τ)dτ (3.12)

Questo é noto come l’integrale di convoluzione delle funzioni S(t) e y(t). Si puó facilmente dimostrare che:

L [R(t)] = L [S(t)] · L [y(t)]

ovvero:

∫_{0}^{∞} R(t)e^{−st}dt = ∫_{0}^{∞} S(t)e^{−st}dt · ∫_{0}^{∞} y(t′)e^{−st′}dt′

Per dimostrare tale relazione, calcoliamo la trasformata di Laplace del membro di destra della (3.12):

∫_{0}^{∞} e^{−st}dt ∫_{0}^{t} S(t − τ)y(τ)dτ

e trasformiamo l’integrale interno estendendolo fino a +∞. Possiamo far ció moltiplicandolo per la funzione u(t − τ), che é nulla per t < τ. L’espressione precedente diventa:

∫_{0}^{∞} e^{−st}dt ∫_{0}^{∞} S(t − τ)y(τ)u(t − τ)dτ = ∫_{0}^{∞} y(τ)dτ ∫_{0}^{∞} S(t − τ)u(t − τ)e^{−st}dt

L’integrale interno é nullo per t < τ. Integriamo quindi tra τ ed ∞:

∫_{0}^{∞} y(τ)dτ ∫_{τ}^{∞} S(t − τ)e^{−st}dt

Poniamo ora t′ = t − τ. L’espressione precedente diviene:

∫_{0}^{∞} y(τ)dτ ∫_{0}^{∞} S(t′)e^{−s(t′+τ)}dt′ = ∫_{0}^{∞} y(τ)e^{−sτ}dτ ∫_{0}^{∞} S(t′)e^{−st′}dt′

che é appunto il prodotto delle trasformate:

Y (s) · S(s)

3.6 Calcolo dell’antitrasformata di Laplace per una funzione esprimibile come rapporto di polinomi

Negli esempi esaminati abbiamo incontrato funzioni esprimibili come rapporti tra polinomi nella variabile complessa s, di cui abbiamo, con metodi relativamente semplici, calcolato l’antitrasformata.

Abbiamo raggiunto lo scopo esprimendo la funzione come somma di frazioni elementari, aventi ciascuna un’antitrasformata nota, e sommando poi le antitrasformate dei singoli termini. Tale decomposizione é nota come sviluppo in frazioni parziali.

Ammetteremo sempre che, nella funzione data, il grado del polinomio a numeratore sia minore di quello a denominatore ed analizzeremo il metodo di decomposizione distinguendo tre casi diversi.

a) Poli reali semplici

Supponiamo cioé che la funzione da antitrasformare, F(s) possa essere scritta come:

F (s) = \frac{N(s)}{(s + α)D_{1}(s)}

dove il numero reale α non é una radice di D_{1}(s). Possiamo allora scrivere F(s) nella forma:

F (s) = \frac{k}{s + α} + F_{1}(s)

Per determinare la costante k, moltiplichiamo entrambi e membri di quest’equazione per s + α:

(s + α)F (s) = k + (s + α)F_{1}(s)

cioé:

\frac{N(s)}{D_{1}(s)} = k + (s + α)F_{1}(s)

Ponendo ora s = −α, otteniamo:

k = (s + α) F (s)|_{s=−α} = \frac{N(s)}{D_{1}(s)}|_{s=−α} = \frac{N(−α)}{D_{1}(−α)}

Trovato in tal modo k, il problema dello sviluppo in frazioni parziali di F(s) é ricondotto a quello dello sviluppo di F_{1}(s). Se questa ha un polo semplice β, il processo puó esser ripetuto relativamente ad F_{1}. Notiamo che:

F_{1}(s) = F (s) − \frac{k}{s + α}

Consideriamo ad esempio la funzione:

X(s) = \frac{2s^{2} + 11s + 9}{(s + 1)(s + 2)(s + 3)}

Poiché questa funzione ha solo poli semplici ed inoltre il grado del polinomio a numeratore é inferiore di quello del polinomio a denominatore, lo sviluppo in frazioni parziali é:

X(s) = \frac{k_{1}}{s + 1} + \frac{k_{2}}{s + 2} + \frac{k_{3}}{s + 3}

dove:

k_{1} = (s + 1) X(s)|_{s=−1} = \frac{2s^{2} + 11s + 9}{(s + 2)(s + 3)}|_{s=−1} = 5

k_{2} = (s + 2) X(s)|_{s=−2} = \frac{2s^{2} + 11s + 9}{(s + 1)(s + 3)}|_{s=−2} = −5

k_{3} = (s + 3) X(s)|_{s=−3} = \frac{2s^{2} + 11s + 9}{(s + 1)(s + 2)}|_{s=−3} = 2

Ne segue che:

X(s) = \frac{5}{s + 1} − \frac{5}{s + 2} + \frac{2}{s + 3}

e quindi:

x(t) = (5e^{−t} − 5e^{−2t} + 2e^{−3t}) u(t)

b) Poli semplici complessi

Poiché le radici complesse di un polinomio a coefficienti reali compaiono sempre insieme alle complesse coniugate, scriveremo F(s) nella forma:

F (s) = \frac{N(s)}{(s + α + jβ)(s + α − jβ)D_{1}(s)}

dove α ± jβ non sono radici di D_{1}(s).

F(s) puó ora esser messa nella forma:

F (s) = \frac{k}{(s + α + jβ)} + \frac{k^{∗}}{(s + α − jβ)} + F_{1}(s)

Ora determineremo k (e quindi k^{∗}) seguendo la stessa procedura adottata nel caso di radici reali semplici.

k = (s + α + jβ)F (s)|_{s=−α−jβ} = \frac{N(s)}{(s + α − jβ)D_{1}(s)}|_{s=−α−jβ} =

= \frac{N(−α − jβ}{(−2jβ)D_{1}(−α − jβ)}

Una volta che k e k^{∗} siano stati cosí determinati, i due termini complessi ottenuti possono essere combinati ponendo k = a + jb:

\frac{k}{(s + α + jβ)} + \frac{k^{∗}}{(s + α − jβ)} = \frac{(a + jb)(s + α − jβ) + (a − jb)(sα + jβ)}{(s + α + jβ)(s + α − jβ)}

cioé:

⋯ \frac{2a(s + α)}{(s + α)^{2} + β^{2}} + \frac{2bβ}{(s + α)^{2} + β^{2}}

Consideriamo il seguente esempio:

Y (s) = \frac{10s^{2} + 15s − 5}{s(s^{2} + 2s + 5)} = \frac{10s^{2} + 15s − 5}{s(s + 1 + 2j)(s + 1 − 2j)}

la cui decomposizione in frazioni parziali é:

Y (s) = \frac{k_{0}}{s} + \frac{k}{s + 1 + 2j} + \frac{k^{∗}}{s + 1 − 2j}

dove:

k_{0} = sY (s)|_{s=0} = \frac{10s^{2} + 15s − 5}{s^{2} + 2s + 5}|_{s=0} = −1

k = (s + 1 + 2j)Y (s)|_{s=−1−2j} = \frac{10s^{2} + 15s − 5}{s(s + 1 − 2j)}|_{s=−1−2j} = \frac{11}{2} + j \frac{3}{2}

Ne segue che:

Y (s) = −\frac{1}{s} + \frac{11/2 + j3/2}{s + 1 + 2j} + \frac{11/2 − j3/2}{s + 1 − 2j} = −\frac{1}{s} + \frac{11(s + 1)}{(s + 1)^{2} + 2^{2}} + \frac{3 · 2}{(s + 1)^{2} + 2^{2}}

L’antitrasformata é allora:

y(t) = (−1 + 11e^{−t}cos(2t) + 3e^{−t}sin(2t)) u(t)

c) Poli multipli

Supponiamo che F(s) abbia la forma:

F (s) = \frac{N(s)}{(s − s_{0})^{n}D_{1}(s)}

dove −s_{0} non é una radice di D_{1}(s) e, nel caso generale, complesso. In tal caso scriveremo F(s) come:

F (s) = \frac{k_{1}}{s + s_{0}} + \frac{k_{2}}{(s + s_{0})^{2}} + ⋯ + \frac{k_{n−1}}{(s + s_{0})^{n−1}} + \frac{k_{n}}{(s + s_{0})^{n}} + F_{1}(s)

Moltiplicando entrambi i membri di questa equazione per (s + s_{0})^{n} troviamo:

(s + s_{0})^{n}F (s) = k_{1}(s + s_{0})^{n−1} + k_{2}(s + s_{0})^{n−2} + ⋯ + k_{n−1}(s + s_{0})+
+k_{n} + (s + s_{0})^{n}F_{1}(s)

Ponendo in questa s = −s_{0}, otteniamo:

k_{n} = (s + s_{0})^{n} F (s)|_{s=−s_{0}}

Per trovare ora k_{n−1}, dopo aver moltiplicato per (s + s_{0})^{n}, prendiamo la derivata rispetto ad s di entrambi i membri dell’equazione:

\frac{d}{ds} [(s + s_{0})^{n}F (s)] =

= (n − 1)k_{1}(s + s_{0})^{n−2} + (n − 2)k_{2}(s + s_{0})^{n−3} + ⋯

+2k_{n−2}(s + s_{0}) + k_{n−1} + 0 + (s + s_{0})^{n} \frac{dF_{1}(s)}{ds} + n(s + s_{0})^{n−1}F_{1}(s)

Ponendo ora s = −s_{0}, otteniamo:

k_{n−1} = \frac{d}{ds} [(s + s_{0})^{n}F (s)]_{s=−s_{0}}

Prendendo invece la derivata seconda, troviamo:

2k_{n−2} = \frac{d^{2}}{ds^{2}} [(s + s_{0})^{n}F (s)]_{s=−s_{0}}

In generale, per r = 0, 1, 2, ⋯, n − 1:

k_{n−r} = \frac{1}{r!} \frac{d^{r}}{ds^{r}} [(s + s_{0})^{n}F (s)]_{s=−s_{0}}

Consideriamo il seguente esempio:

F (s) = \frac{s − 2}{s(s + 1)^{3}}

Questa puó essere espressa come:

F (s) = \frac{k_{0}}{s} + \frac{k_{1}}{s + 1} + \frac{k_{2}}{(s + 1)^{2}} + \frac{k_{3}}{(s + 1)^{3}}

Applicando il metodo indicato sopra troviamo:

k_{0} = sF (s)|_{s=0} = \frac{s − 2}{(s + 1)^{3}} |_{s=0} = −2

k_{3} = (s + 1)^{3}F (s)|_{s=−1} = \frac{s − 2}{s}|_{s=−1} = 3

k_{2} = \frac{d}{ds} [(s + 1)^{3}F (s)]_{s=−1} = \frac{d}{ds} [\frac{s − 2}{s}]_{s=−1} = \frac{2}{s^{2}} |_{s=−1} = 2

k_{1} = \frac{1}{2} \frac{d^{2}}{ds^{2}} [(s + 1)^{3}F (s)]_{s=−1} = \frac{1}{2} \frac{d}{ds} (\frac{2}{s^{2}} )|_{s=−1} = 2

Si ha quindi:

F (s) = −\frac{2}{s} + \frac{2}{s + 1} + \frac{3}{(s + 1)^{2}} − \frac{2}{(s + 1)^{3}}

la cui antitrasformata é:

f(t) = (−2 + 2e^{−t} + 2te^{−t} + \frac{3}{2}t^{2}e^{−t}) u(t)

I risultati ottenuti ci consentono di scrivere in modo immediato la risposta di un circuito quando se ne conosca la trasformata di Laplace, almeno nel caso che si presenta piú di frequente, in cui i poli sono singoli o doppi (reali o complessi).

Se la trasformata é scritta nella forma:

\frac{N(s)}{D(s)} = \frac{N(s)}{(s − ν_{1})(s − ν_{2}) ⋯ (s − ν_{n})} (3.13)

ed i poli sono tutti singoli, la f(t) é data da:

f(t) = ∑_{i=1}^{n} (\frac{N(s)(s − ν_{i})e^{st}}{D(s)} )_{s=ν_{i}} (3.14)

Se alcuni dei poli sono doppi, l’ultima espressione scritta continua a valere per il contributo dei poli singoli, mentre un polo doppio dará un contributo aggiuntivo:

(\frac{N(s)(s − ν_{k})^{2}}{D(s)} )_{s=ν_{k}} te^{ν_{k}t} + [\frac{d}{ds} (\frac{N(s)(s − ν_{k})^{2}}{D(s)} )]_{s=ν_{k}} e^{ν_{k}t} (3.15)

Ulteriori dettagli possono esser trovati nelle referenze [2] , [3] e [4]. Nelle prossime sezioni analizzeremo alcuni circuiti facendo uso della tecnica delle trasformate.

3.7 Circuito LCR eccitato da un gradino unitario di tensione

Il circuito di figura (3.11) sará ora analizzato con la tecnica delle trasformate di Laplace, ammettendo che la sorgente di tensione fornisca un gradino unitario e che le condizioni iniziali siano:

i_{L}(0) = 0
v_{C}(0) = 0

Possiamo ora sostituire a ciascun componente la sua L-trasformata, con che l’equazione della maglia si scrive:

V (s) = (sL + \frac{R/sC}{R + 1/sC} ) I(s) = (sL + \frac{R}{1 + sRC} ) I(s) =

= \frac{L(τs^{2} + s + R/L)}{1 + τs}I(s)

dove I(s) é la trasformata della corrente i_{L}(t) nell’induttanza, V(s) la trasformata dell’eccitazione e dove si é posto τ = RC.

Da questa otteniamo:

I(s) = \frac{1 + τs}{sL(α + s + τs^{2})}

dove abbiamo sostituito a V(s) la sua espressione (1/s) e posto α = R/L. La trasformata della differenza di potenziale ai capi dell’induttanza é allora:

V_{AB}(s) = sLI(s) = \frac{1 + τs}{α + s + τs^{2}}

Ora potremo avere soluzioni molto diverse a seconda che le radici del polinomio a denominatore siano:

1. reali e coincidenti

2. reali e distinte

3. complesse coniugate Le radici in questione sono date da:

s_{i} = \frac{−1 ± \sqrt{1 − 4τα}}{2τ}

Il discriminante é:

Δ = 1 − 4ατ = 1 − 4R^{2}C/L Le radici saranno reali e coincidenti se Δ = 0 cioé se:

R = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}

saranno reali e distinte se il discriminante é positivo:

R < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}

Saranno infine complesse coniugate se:

R > \frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}

Consideriamo il caso di radici distinte (reali o complesse).

Figura 3.11:

In tal caso la trasformata della risposta puó essere scritta come:

V_{AB}(s) = \frac{1 + τs}{(s − s_{1})(s − s_{2})}

Usiamo ora le equazioni (3.14) e (3.15) per trovare l’antitrasformata. Troviamo:

v_{AB} = \frac{1 + τs_{1}}{s_{1} − s_{2}} e^{s_{1}t} + \frac{1 + τs_{2}}{s_{2} − s_{1}} e^{s_{2}t}

Se s_{1} ed s_{2} sono complessi, con s_{1} = s_{2}^{∗} = λ, allora:

v_{AB} = \frac{(1 + λτ)e^{λt} − (1 + λ^{∗}τ)e^{λ^{∗}t}}{λ − λ^{∗}}

Poniamo ora:

Reλ = a , Imλ = b Avremo allora, dopo qualche passaggio:

v_{AB} = \frac{e^{at}}{b} [(1 + aτ)sin(bt) + bτcos(bt)]

Notiamo che a = −1/(2RC). Vediamo allora che l’oscillazione si smorza con una costante di tempo pari a 2RC. La tensione nel punto B sará:

v_{B} = v_{in} − v_{AB} = 1 − v_{AB}

. La figura (3.12) mostra la risposta del circuito nel caso in cui si sia scelto:

C = 1nF , L = 10μH

e per valori di R compresi tra 200 Ω e 500 Ω, che forniscono valori complessi per s_{1} ed s_{2}.

Figura 3.12:

Se i poli sono reali e distinti avremo, indicandoli con s_{1} ed s_{2}:

v_{AB} = \frac{(e^{s_{1}t} − e^{s_{2}t}) + τ (s_{1}e^{s_{1}t} − s_{2}e^{s_{2}t})}{s_{1} − s_{2}}

Notiamo che é:

s_{1} − s_{2} = \frac{δ}{τ} = \frac{\sqrt{Δ}}{τ} = \frac{\sqrt{1 − 4R^{2}C/L}}{RC} = \sqrt{\frac{1}{τ^{2}} − \frac{1}{LC}}

dove si é posto: δ = \sqrt{Δ}. Abbiamo ovviamente:

s_{1} = \frac{−1 + δ}{2τ}

s_{2} = \frac{−1 − δ}{2τ}

s_{1} − s_{2} = \frac{δ}{τ}

Si ottiene infine dopo alcuni passaggi:

v_{AB} = \frac{τ}{2δ} e^{−t/2τ} [(e^{\frac{δt}{2τ}} − e^{− \frac{δt}{2τ}} ) + δ (e^{\frac{δt}{2τ}} + e^{− \frac{δt}{2τ}} )]

La figura (3.13) mostra l’andamento della tensione in B nel caso in cui C ed L abbiano i medesimi valori del caso precedente e per valori di R compresi tra (10 Ω) e (50 Ω). Come si vede, la tensione nel punto B sale tanto piú lentamente quanto minore é il valore di R.

Figura 3.13:

Consideriamo ancora un circuito LRC, ora con i tre componenti messi in serie tra di loro ed in serie al generatore (vedasi la figura (3.14). Quest’ultimo fornisce anche in questo caso un gradino unitario di tensione.

Figura 3.14:

Ammettiamo che i valori dei componenti siano:

R = 12Ω , L = 2H , C = 0.02F e le condizioni inziali:

i_{L}(0) = 0 , v_{C}(0) = 0

Le trasformate dei componenti e dell’eccitazione sono allora:

Z_{R} = 12 , Z_{L} = 2s , Z_{C} = 50/s , U(s) = 1/s

La trasformata della tensione d’uscita V_{o} sará allora:

V_{o}(s) = \frac{Z_{C}}{Z_{C} + Z_{R} + Z_{L}} U(s) = \frac{50/s}{50/s + 2s + 12} (\frac{1}{s}) =

= \frac{25}{(25 + 6s + s^{2}) s} = \frac{k_{0}}{s} + F (s)

dove:

k_{0} = s V_{o}(s)|_{s=0} = 1

Ne segue:

F (s) = V_{o}(s) − \frac{k_{0}}{s} = \frac{25}{s (s^{2} + 6s + 25)} − \frac{1}{s} = −\frac{6 + s}{s^{2} + 6s + 25}

Otteniamo infine per V_{o}(s):

V_{o}(s) = \frac{1}{s} − \frac{6 + s}{(s + 3)^{2} + 4^{2}} = \frac{1}{s} − \frac{3 + s}{(s + 3)^{2} + 4^{2}} − \frac{4 · 3/4}{(s + 3)^{2} + 4^{2}}

Si ottiene allora per l’antitrasformata:

v_{o}(t) = 1 − e^{−3t} (cos(4t) + \frac{3}{4}sin(4t)) u(t)

3.8 Risposta di un circuito CR ad un segnale sinusoidale

La tecnica delle trasformate di Laplace si rivela di grande utilitá anche nei casi in cui il segnale applicato sia sinusoidale. Esaminiamo il caso particolare di un circuito CR come quello di figura (3.15), in cui il segnale applicato é:

v_{in} = v_{o}sin(ωt)

La funzione di trasferimento di questo circuito é:

G(s) = \frac{1}{1 + \frac{1}{sτ}} = \frac{s}{s + a}

dove: τ = RC e a = 1/τ.

la trasformata di Laplace di v_{in} é:

V_{in}(s) = \frac{v_{o}ω}{s^{2} + ω^{2}}

la trasformata del segnale in uscita sará:

V_{out} = \frac{v_{o}ωs}{(s^{2} + ω^{2})(s + a)} (3.16)

che puó esser riscritta come:

V_{out} = \frac{v_{o}ωs}{(s + jω)(s − jω)(s + a)} (3.17)

Questa puó esser scritta come la somma di termini di cui si conosce l’antitrasformata, con i metodi descritti in precedenza. Si ottiene:

V_{out} = \frac{A}{s + jω} + \frac{B}{s − jω} + \frac{C}{s + a}

dove:

A = \frac{v_{o}ω}{2(ω^{2} + a^{2})}(a + jω)

B = \frac{v_{o}ω}{2(ω^{2} + a^{2})}(a − jω)

C = −\frac{av_{o}ω}{ω^{2} + a^{2}}

Ne segue per l’antitrasformata:

v_{out}(t) = Ae^{−jωt} + Be^{jωt} + Ce^{−at}

Questa, facendo uso delle espressioni trovate per i coefficienti A, B, C, puó esser riscritta come:

v_{out}(t) = \frac{v_{o}ω}{ω^{2} + a^{2}} [\frac{1}{2} (a + jω) e^{−jωt} + \frac{1}{2} (a − jω) e^{jωt} − ae^{−at}]

Sviluppando i termini exp(±jωt) e semplificando, questa diventa:

v_{out}(t) = \frac{v_{o}ω}{ω^{2} + a^{2}} [a cos(ωt) + ω sin(ωt) − ae^{−at}] =

= \frac{v_{o}ω}{ω^{2} + a^{2}} [\sqrt{a^{2} + ω^{2}} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + ω^{2}}} cos(ωt) + \frac{ω}{\sqrt{a^{2} + ω^{2}}} sin(ωt)) − ae^{−at}]

Ponendo infine:

cosδ = \frac{ω}{\sqrt{a^{2} + ω^{2}}}

sinδ = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + ω^{2}}}

e quindi:

tanδ = \frac{a}{ω}

La risposta puó esser messa nella forma:

v_{out}(t) = \frac{v_{o}ω}{ω^{2} + a^{2}} [\sqrt{a^{2} + ω^{2}}sin(ωt + δ) − ae^{−at}] (3.18)

Notiamo che é v_{out}(0) = 0.

Discutiamo ora questo risultato, confrontandolo con quello che avremmo ottenuto adoperando il normale metodo simbolico.

In tal caso avremmo avuto:

v′_{out} = v_{o}sin(ωt)\frac{1}{1 + 1/jωτ} = v_{o}sin(ωt)\frac{1}{1 + a/jω} =

= v_{o}sin(ωt)\frac{jω}{a + jω} = v_{o}sin(ωt)\frac{jω(a − jω)}{a^{2} + ω^{2}} =

= \frac{ωv_{o}}{a^{2} + ω^{2}} sin(ωt) · (ω + ja) =

= \frac{ωv_{o}}{a^{2} + ω^{2}} sin(ωt)\sqrt{ω^{2} + a^{2}} [\frac{ω}{\sqrt{ω^{2} + a^{2}}} + j \frac{a}{\sqrt{ω^{2} + a^{2}}} ]

Si ottiene infine:

v′_{out} = \frac{ωv_{o}}{ω^{2} + a^{2}} \sqrt{ω^{2} + a^{2}}sin(ωt) (cosδ + jsinδ)

Questa differisce dalla 3.18 per il termine −a exp(−at) che ora é assente.

Tale differenza puó esser compresa se si pensa che, adoperando il metodo delle trasformate di Laplace noi teniamo correttamente conto del fatto che il segnale applicato é nullo per t < 0. Il termine −a exp(−at) rappresenta un transiente che decade con costante di tempo τ = 1/a. Il metodo simbolico invece ammette che il segnale applicato sia stazionario, cioé sia stato applicato a tempi t ≪ 0.

3.9 Riflessione di un impulso rettangolare all’estremitá di una linea di ritardo chiusa su di un condensatore

Sappiamo che se una linea di ritardo avente impedenza caratteristica Z_{0} é chiusa su di un’impedenza Z, il coefficiente di riflessione (cioé il rapporto tra l’ampiezza del segnale riflesso e quella del segnale incidente) é dato da:

ρ = \frac{Z − Z_{0}}{Z + Z_{0}} (3.19)

Ci proponiamo ora di calcolare, facendo uso della tecnica delle trasformate di Laplace, la riflessione di un impulso rettangolare di durata T ed ampiezza unitaria, all’estremitá di una linea chiusa su di un condensatore, come mostrato in figura (3.16).

Un gradino unitario di tensione é descritto dalla funzione u(t), nulla per t < 0 ed uguale ad 1 per t ≥ 0. La trasformata di Laplace del gradino é, come sappiamo, 1/s. Un gradino ritardato di un tempo T é descritto dalla funzione u(t − T), la cui trasformata é:

\frac{1}{s}e^{−sT}

Un impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata T puó esser ottenuto (vedi figura (3.17) sottraendo u(t − T) da u(t):

r(t) = u(t) − u(t − T)

Figura 3.17:

La trasformata di Laplace di questo é:

r̃(s) = \frac{1}{s}(1 − e^{−sT})

dove abbiamo fatto uso del simbolo ∼ (tilde) ad indicare la trasformata. L’impulso riflesso all’estremitá della linea sará dato da:

v_{r}(t) = ρr(t)

Il segnale presente ai capi del condensatore C é la somma dell’impulso incidente e di quello riflesso:

v_{c}(t) = v_{r}(t) + r(t) = (1 + ρ)r(t) = \frac{2Z_{C}}{Z_{C} + Z_{0}} r(t)

dove Z_{C} é l’impedenza capacitiva, la cui trasformata é: Z̃_{C} = 1/sC.

Trasformando i due membri di questa equazione otteniamo:

ṽ_{c}(s) = 2\frac{1/sC}{Z_{0} + 1/sC} · \frac{1}{s} (1 − e^{−sT} ) = 2 [\frac{1}{s(1 + sτ)} − \frac{1}{s(1 + sτ)}e^{−sT} ]

dove si é posto τ = CZ_{0}.

Il termine 1/[s(1 + sτ)] puó esser riscritto come:

\frac{1}{s(1 + τs)} = \frac{1}{s} − \frac{1}{s + 1/τ}

Da cui:

ṽ_{c}(s) = 2 [\frac{1}{s} (1 − e^{−sT} ) − \frac{1}{s + 1/τ} (1 − e^{−sT} )]

la cui antitrasformata é:

v_{c}(t) = 2 [u(t) (1 − e^{−t/τ} ) − u(t − T) (1 − e^{−(t−T)/τ} )] (3.20)

La figura (3.18) mostra l’andamento di questa funzione nel caso in cui sia: C = 3nF, Z_{0} = 600Ω, T = 8μs.

Figura 3.18:

Se misuriamo l’andamento temporale della tensione all’ingresso della linea, ed ammettiamo che i successivi impulsi siano temporalmente ben separati (cioé la loro frequenza sia molto bassa) ed inoltre che il ritardo t_{D} della linea sia grande rispetto alla lunghezza T dell’impulso, potremo vedere l’effetto della sola onda riflessa. Questa é data dalla differenza tra la soluzione giá trovata (3.20) ed r(t), cioé:

v_{i}(t) = u(t) (1 − 2e^{−t/τ} ) − u(t′) (1 − 2e^{−t′/τ} )

dove: t′ = t − T. Questo segnale di tensione appare in realtá al tempo t_{D} (se lo zero dei tempi é quello in cui ha luogo la riflessione, come nell’esempio precedente, o al tempo 2t_{D} se lo zero dei tempi é l’istante in cui il segnale é partito dal generatore d’impulsi). L’andamento temporale di v_{i}(t) ottenuto facendo uso di un programma di simulazione (Microcap 6 [5]) é mostrato in figura (3.19). I dati adoperati sono:

• lunghezza T dell’impulso: 50 ns

• frequenza degli impulsi: 1 MHz

• Impedenza caratteristica della linea: Z_{0} = 100Ω

• Ritardo della linea: t_{D} = 750ns

• Capacitá: C = 350pF

Il grafico in alto mostra il segnale ai capi di C. Questo, come si vede, é ritardato di 750 ns rispetto all’istante in cui il segnale é partito dal generatore. Il successivo segnale compare ai capi di C dopo ulteriori 1000 ns, ed é associato al secondo impulso in ingresso.

Il grafico inferiore mostra l’andamento dei segnali all’ingresso della linea. Vediamo due successivi impulsi inviati dal generatore, mentre il primo impulso riflesso compare con un ritardo 2t_{D} = 1.5 μs dall’inizio del primo impulso.

Figura 3.19: 110

Rappresentazione grafica di funzioni di trasferimento in elettronica

4.1 Introduzione

Ci proponiamo in questa sezione di discutere i metodi comunemente adoperati in elettronica per rappresentare graficamente le funzioni di trasferimento dei circuiti quadripolari. Tali metodi sono di notevole utilitá sia per una visualizzazione immediata della risposta di un circuito che per discutere il problema della stabilitá nei circuiti oscillanti e, piú in generale, nei circuiti con feedback. Inizieremo con una breve discussione di quelli che sono noti come i diagrammi di Bode, e con la presentazione di alcuni esempi. Passeremo poi a discutere i diagrammi di Nyquist.

4.2 Diagrammi di Bode

Cominceremo con l’analizzare un esempio: quello del ben noto circuito RC passabasso, che per comoditá riportiamo in figura (4.1).

Figura 4.1:

Come sappiamo, la funzione di trasferimento di questo circuito, espressa in funzione della variabile s (dove s = jω o, piú in generale, s = σ + jω se facciamo uso delle trasformate di Laplace, con ω la frequenza angolare) é:

G(s) = \frac{k}{s − s_{1}}

dove τ = RC e k = −s_{1} = 1/τ. Tale funzione ha un polo in s_{1} e nessuno zero.

Esaminiamo l’andamento del modulo della G, espresso in decibel, in funzione del logaritmo di ω:

20 log |G(ω)| = 20 log |k| − 20 log |jω − s_{1}|

Per frequenze angolari ω ≪ |s_{1}| questa diventa:

20 log |G(ω)| = 20 log |k| − 20 log |s_{1}| = 0 (4.1)

essendo |s_{1}| = |k|. Vediamo quindi che il modulo della funzione di trasferimento espresso in dB si annulla. Ció vuol dire che il guadagno |G(ω)| ha modulo unitario.

Ad alte frequenze (ω ≫ |s_{1}|)avremo invece:

20 log |G(ω)| = 20 log |k| − 20 log ω (4.2)

Questa ci dice che il modulo della funzione di trasferimento espressa in dB é una funzione lineare della variabile 20 log ω.

Il grafico che si ottiene riportando per un circuito il modulo della funzione di trasferimento espresso in dB in funzione del log ω é il diagramma di Bode per il modulo di G. Un diagramma tipico é mostrato in figura (4.2).

Figura 4.2:

Poiché G(ω) é in genere un numero complesso, esso é caratterizzato anche da una fase ϕ(ω). Il grafico che si ottiene riportando la fase in funzione del log ω é il diagramma di Bode per la fase. L’insieme dei due diagrammi di Bode per un dato circuito caratterizza la risposta dello stesso.

Quello che abbiamo appena analizzato é quindi il diagramma di Bode per il modulo del circuito passa-basso.

In realtá, é spesso sufficiente esaminare le rette asintotiche che descrivono l’andamento del modulo (in dB) e della fase della funzione di trasferimento.

Nell’esempio in esame, relativo al modulo di G(ω), le due rette asintotiche sono quelle date dalle equazioni (4.1) e (4.2). Esse si incontrano, come si puó facilmente verificare, nel punto:

ω = |k| = \frac{1}{τ}

(vedi figura (4.2)). Notiamo che se ω raddoppia (cioé in un’ottava) la grandezza 20 log ω aumenta di circa un fattore 6. Poiché la funzione (4.2) é lineare nella variabile 20 log ω, si vede che essa é tale da subire una variazione (diminuzione) di 6 dB per ottava. Il filtro passa-basso ha quindi un’andamento asintotico alle alte frequenze caratterizzato da una retta di pendenza pari a 6 dB/ottava.

Si puó poi facilmente verificare che se la frequenza varia di un fattore 10 anziché 2 (cioé in una decade) la funzione avrá subito una variazione di 20 dB. Ció si esprime dicendo che la retta in esame ha una pendenza (negativa) di 20 dB/decade.

Nel punto in cui le due rette asintotiche si incontrano, il modulo della risposta vera |G(ω)| del circuito vale, come si puó facilmente vedere, 1/\sqrt{2}. In decibel, esso vale −3 dB, e quindi é 3 dB al di sotto del valore asintotico alle basse frequenze (che é 0 dB).

Esaminiamo ora il filtro passa-alto, mostrato in figura (4.3).

Figura 4.3:

La funzione di trasferimento, come si puó facilmente verificare, vale:

G(s) = \frac{s}{s − s_{1}}

con s_{1} = −1/τ. Questa ha uno zero nell’origine (s=0) oltre ad un polo in s = s_{1}. L’andamento del modulo di questa funzione (in dB) per ω ≪ |s_{1}| é:

|G(s)|_{dB} = 20 log ω − 20 log |s_{1}|

Vediamo che questa funzione cresce all’aumentare di log ω con una pendenza di 6 dB/ottava. Per frequenze molto alte (ω ≫ |s_{1}|) l’andamento diventa costante:

|G(s)|_{dB} = 0

cioé il guadagno diventa unitario.

Tali comportamenti, per alte e per basse frequenze, sono schematicamente indicati nel diagramma di Bode di figura (4.4).

Le due rette asintotiche si incontrano nel punto: ω = |s_{1}| = 1/τ. In tale punto il valore vero di |G(ω|_{dB} é -3 dB, come nel caso del circuito passa-basso.

Riassumendo, possiamo dire che ad una funzione di trasferimento con un polo semplice e nessuno zero, corrisponde un filtro passa-basso, caratterizzato da una risposta piatta (0 dB) a frequenze molto minori del valore assoluto del polo e da una risposta che decresce con pendenza di 6 dB/ottava ad alte frequenze. Le rette asintotiche che descrivono tali andamenti si incontrano nel punto ω = |s_{1}| dove s_{1} é la posizione del polo. In corrispondenza a tale frequenza la funzione |G(ω)|_{dB} ha un valore che é −3 dB.

Una funzione di trasferimento con un polo semplice ed uno zero nell’origine corrisponde ad un filtro passa-alto, caratterizzato da un’andamento crescente con una pendenza di 6 dB/ottava a basse frequenze (ω ≪ |s_{1}|), dove s_{1} é la posizione del polo, e da un’andamento costante (0 dB) ad alte frequenze. Le rette che descrivono i due andamenti asintotici si incontrano in ω = |s_{1}|. In corrispondenza a tale frequenza angolare la funzione di trasferimento vale −3 dB.

Plots di Bode per la fase

La fase ϕ, nel caso del circuito passa-basso, é data da:

tan ϕ = \frac{ω}{s_{1}} = −ωτ

cioé:

ϕ = −arctan(ωτ) (4.3)

Vediamo che ϕ tende a zero se ω ≪ |s_{1}|, mentre tende ad −π/2 se ω ≫ |s_{1}|. L’andamento reale di ϕ, descritto dalla (4.3) é mostrato in figura (4.5), insieme agli andamenti asintotici per ω ≫ |s_{1}| e per ω ≪ |s_{1}|.

Figura 4.5:

Si puó facilmente verificare che, per ω = \frac{0.1}{τ}, la fase é ancora vicina a zero, mentre per ω = 10τ essa ha ormai raggiunto il suo valore asintotico −π/2.

Esaminiamo ora il caso del filtro passa-alto, giá analizzato. É facile vedere che in tal caso la fase é data da:

tan ϕ = −\frac{s_{1}}{ω} = \frac{1}{ωτ}

cioé:

ϕ = arctan(1/ωτ) (4.4)

Vediamo da quest’equazione che ϕ → π/2 per ω → 0, mentre ϕ → 0 per ω → ∞. Tali andamenti asintotici sono mostrati in figura (4.6) insieme all’andamento vero, descritto dalla (4.4).

Anche in questo caso l’andamento asintotico per piccoli valori di ω (ω ≪ 1/τ) differisce molto poco dall’andamento reale per ω = 0.1/τ, mentre l’andamento asintotico per grandi valori di ω (ω ≫ 1/τ) differisce poco da quello reale quando ω = 10/τ.

La figura (4.7) mostra i plot di Bode relativi ad un circuito CR, con valori dei componenti dati da: C = 1nF, R = 1kΩ. Questi sono stati ottenuti facendo uso del programma di simulazione Microcap VI [6].

Consideriamo ancora una funzione di trasferimento con un polo ed uno zero non nell’origine:

G(s) = \frac{1 + sτ_{2}}{1 + sτ_{1}}

Il polo é in s_{1} = −1/τ_{1}; lo zero in s_{2} = −1/τ_{2}. Il plot di Bode per il modulo é mostrato in figura (4.8) (dove si é ammesso che sia τ_{1} ≪ τ_{2}).

Il plot di Bode per la fase puó esser facilmente ottenuto facendo uso della relazione:

ϕ = arctan (ωτ_{2}) − arctan (ωτ_{1})

dove τ_{1} < τ_{2}, cioé 1/τ_{2} < 1/τ_{1}. Avremo i seguenti andamenti asintotici:

• Per ω ≪ \frac{1}{τ_{2}} (e quindi anche ω ≪ \frac{1}{τ_{1}} ) ⇒ ϕ ≈ 0

• Per ω ≫ \frac{1}{τ_{1}} (e quindi anche ω ≫ \frac{1}{τ_{2}} ) ⇒ ϕ ≈ 0

• Per ω ≫ \frac{1}{τ_{2}} ed ω ≪ \frac{1}{τ_{1}} ⇒ ϕ = arctan(ωτ_{2}) ≈ π/2

Tali andamenti sono qualitativamente indicati nella figura (4.9).

4.3 Quadripoli del secondo ordine

Esaminiamo ora un sistema descritto da una funzione di trasferimento del tipo:

G(s) = \frac{k}{(s − s_{1})(s − s_{2})}

Figura 4.7:

Questa non ha alcuno zero, ma ha due poli nei punti s_{1} ed s_{2}. I poli s_{1} ed s_{2} possono essere reali e distinti, reali e coincidenti o complessi coniugati.

Cominciamo con l’esaminare il caso in cui i due poli sono reali e coincidenti. In tal caso possiamo scrivere:

20 log |G(jω)| = 20 log |k| − 20 log |s − \overline{s}|^{2} = 20 log |k| − 40 log |jω − \overline{s}| con: s_{1} = s_{2} = \overline{s} (reale).

Esaminiamo gli andamenti asintotici. Per ω ≪ \overline{s}:

|G(ω)|_{dB} = 20 log |k| − 40 log |\overline{s}| = costante (4.5) Se invece é ω ≫ \overline{s}:

|G(ω)|_{dB} = 20 log |k| − 40 log ω cioé si ha un’andamento decrescente, con pendenza pari a −12 dB/ottava, cioé al doppio di quella che si aveva nel caso del filtro passa-basso del primo ordine.

Le due rette che descrivono l’andamento asintotico per basse e per alte frequenze si incontrano nel punto ω = \overline{s}. In tale punto la |G(ω)|_{dB} vale:

|G(ω)|_{dB} = 20 log |k| − 40 log |j\overline{s} − \overline{s}| =
= 20 log |k| − 40 log \overline{s} − 40 log \sqrt{2} = costante − 6dB

dove la costante ha un valore uguale a quello dell’analoga costante presente nella (4.5). Si ha quindi un’attenuazione di 6 dB rispetto a quella che si aveva a basse frequenze. Abbiamo quindi un filtro passa-basso con un taglio piú netto di quello che avremmo avuto utilizzando un sistema del primo ordine.

Esaminiamo ora il caso di un sistema descritto dalla medesima funzione di trasferimento appena esaminata, ma nel quale le due radici s_{1} ed s_{2} del polinomio a denominatore siano reali e distinte. Ammettiamo per semplicitá che esse siano abbastanza distanti l’una dall’altra:

|s_{1}| ≪ |s_{2}|

Facendo ora uso di quanto appreso finora, possiamo vedere che, se ω ≪ |s_{1}| (e quindi ω ≪ |s_{2}|) avremo un andamento costante per |G(ω)|_{dB}. Per valori di ω ≫ |s_{1}| ed ω ≪ |s_{2}|, il contributo del termine 1/(s−s_{2}) sará ancora costante, mentre il termine 1/(s−s_{1}) avrá un andamento decrescente, con una pendenza di 6 dB/ottava. Infine, per ω ≫ |s_{2}| (e quindi ω ≫ |s_{1}|) alla pendenza di 6 dB/ottava causata dal termine 1/(s − s_{1}) si somma un ulteriore contributo di 6 dB/ottava causato dal termine 1/(s − s_{2}). L’andamento complessivo puó in definitiva esser riassunto come indicato in figura (4.10).

L’andamento della fase ϕ(ω) per tale sistema é poi quello mostrato in figura (4.11).

Ci riserviamo di esaminare nella prossima sezione il caso di poli complessi coniugati, che merita un’attenzione particolare.

Esaminiamo ora il caso della funzione di trasferimento:

G(s) = \frac{ks^{2}}{(s − s_{1})(s − s_{2})}

con |s_{1}| ≪ |s_{2}|. Questa funzione ha due zeri coincidenti nell’origine e due poli nei punti s_{1} ed s_{2}. Esaminiamo il relativo diagramma di Bode per il modulo. Si ha:

20 log |G(ω)| = 20 log |\frac{kω^{2}}{(jω − s_{1})(jω − s_{2})}|

Per frequenze angolari ω ≪ |s_{1}|, |s_{2}|, si ha:

|G(ω)|_{dB} → 20 log \frac{kω^{2}}{s_{1}s_{2}} = 20 log \frac{k}{s_{1}s_{2}} + 40 log ω

cioé un’andamento crescente in funzione di log ω. La pendenza nel diagramma di Bode é di 12 dB/ottava. Per frequenze ω ≫ |s_{1}|ed ω ≪ |s_{2}| avremo invece:

|G(ω)|_{dB} → 20 log \frac{kω}{|s_{2}|} = 20 log \frac{k}{|s_{2}|} + 20 log ω

Vediamo che questa ha, nel diagramma di Bode, un’andamento crescente con una pendenza di 6 dB/ottava. La retta che descrive l’andamento asintotico per ω ≪ |s_{1}| e quella che descrive l’andamento asintotico per |s_{1}| ≪ ω ≪ |s_{2}| si incontrano nel punto di coordinata ω tale che:

20 log \frac{k}{|s_{1}s_{2}|} + 40 log ω = 20 log \frac{k}{|s_{2}|} + 20 log ω

cioé: ω = |s_{1}|.

Infine, per ω ≫ |s_{2}| ≫ |s_{1}| avremo:

|G(ω)|_{dB} → 20 log k = costante Vediamo quindi che il circuito descritto da questa funzione di trasferimento é un passa-alto. Calcoliamo il valore di ω per cui la retta che descrive il comportamento asintotico per |s_{1}| ≪ ω ≪ |s_{2}| incontra quella che descrive il comportamento asintotico per ω ≫ |s_{2}|. Troviamo facilmente:

ω = |s_{2}|

In corrispondenza a tale valore di ω la funzione di trasferimento espressa in dB vale:

20 log |\frac{ks_{2}^{2}}{(js_{2} − s_{1})(js_{2} − s_{2})}| = 20 log k − 20 log \sqrt{2} = 20 log k − 3dB

Cioé la risposta é, come in altri casi simili esaminati, 3 dB al di sotto del valore asintotico per ω → ∞.

L’andamento di tale funzione di trasferimento é mostrato nel diagramma di Bode di figura (4.12).

Esaminiamo ora un sistema descritto da una funzione con uno zero semplice nell’origine e due poli distinti:

G(s) = \frac{ks}{(s − s_{1})(s − s_{2})}

Per frequenze angolari ω ≪ |s_{1}| ≪ |s_{2}| avremo:

20 log |G(ω)| = 20 log k + 20 log ω − 20 log |s_{1}s_{2}|

Cioé abbiamo un’andamento crescente con una pendenza di 6 dB/ottava, come mostrato in figura (4.13).

Per frequenze angolari comprese tra s_{1} ed s_{2} avremo:

|G(ω)|_{dB} = 20 log k + 20 log |s_{2}| = costante Infine, per valori di ω molto maggiori di s_{2}:

|G(ω)|_{dB} = 20 log k + 20 log ω − 20 log ω^{2} = 20 log k − 20 log ω

cioé abbiamo un andamento decrescente, con una pendenza di -6 dB/ottava.

Anche in questo caso potremmo verificare che le rette che descrivono l’andamento asintotico per ω ≪ |s_{1}| e per ω ≫ |s_{1}| si incontrano in ω = |s_{1}|, e che quelle che descrivono gli andamenti asintotici per ω ≪ |s_{2}| e per ω ≫ |s_{2}| si incontrano in ω = |s_{2}|. Inoltre in tali punti il valore vero della |G(ω)|_{dB} é sotto di 3 dB rispetto al valore che la retta asintotica orizzontale fornisce. Abbiamo ovviamente un filtro passa-banda.

Consideriamo infine un circuito descritto dalla funzione di trasferimento:

G(s) = \frac{k(s_{2} + ω_{0}^{2})}{(s − s_{1})(s − s_{2})}

che ha due poli in s_{1} ed s_{2} e due zeri imaginari in s = ±jω_{0}. Si puó dimostrare che tale funzione descrive un filtro elimina-banda.

A conclusione delle considerazioni svolte, possiamo ora trarre alcune conclusioni di carattere generale:

a) ad uno zero semplice nella funzione di trasferimento corrisponde nel diagramma di Bode un’andamento crescente, con una pendenza di 6 dB/ottava

b) ad uno zero doppio corrisponde un’andamento crescente con una pendenza di 12 dB/ottava

c) ad un polo semplice corrisponde un’andamento decrescente con una pendenza di 6 dB/ottava

d) ad un polo doppio corrisponde un’andamento decrescente con una pendenza di 12 dB/ottava Quindi, un’analisi dei poli e degli zeri della funzione di trasferimento puó portare ad individuare in modo semplice il tipo di risposta che ci si deve aspettare dal circuito descritto dalla funzione stessa.

Esaminiamo come esempio il circuito mostrato in figura (4.14).

La funzione di trasferimento, coem si puó facilmente verificare, é:

G(s) = \frac{s}{(RC)s^{2} + s + (R/L)}

Questa ha uno zero nell’origine, che fornisce un’andamento crescente con pendenza di 6 dB/ottava. Il polinomio di secondo grado a denominatore ha un discriminante dato da:

Δ = \sqrt{1 − 4R^{2}C/L}

Vediamo da questa che le radici ( e quindi i poli della funzione di trasferimento) saranno reali e distinte se:

R < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}

Se ció accade, indicando con s_{1} ed s_{2} le due radici (con s_{1} < s_{2}) avremo un diagramma di Bode per il modulo, del tipo mostrato in figura (4.15). Vediamo che si tratta di un filtro passa-banda.

Se le radici sono reali e coincidenti (Δ = 0 ed s_{1} = s_{2}), avremo un diagrama di Bode per il modulo del tipo mostrato in figura (4.16).

Se infine il discriminante é negativo, i poli saranno complessi coniugati. Si puó dimostrare che in questo caso gli asintoti sono uguali a quelli corrispondenti ad un polo doppio, in |s_{1}| = |s_{1}^{∗}| = |s_{2}|. Il comportamento della curva che descrive l’andamento della |G(ω)|_{dB} in prossimitá del polo doppio ha un andamento che dipende dal rapporto tra parte immaginaria e reale del polo. Tale comportamento sará studiato nella prossima sezione.

Notiamo infine che, con riferimento al diagramma di Bode mostrato in figura (4.15), la larghezza di banda é definita come: BW = |s_{2}| − |s_{1}|.

Ad esempio, con la seguente scelta dei valori dei componenti:

R = 1kΩ , L = 1mH , C = 50 pF

Si ottengono per questo circuito, facendo uso del programma di simulazione Microcap VI, i plot di Bode per modulo del guadagno e fase, mostrati in figura (4.17).

4.4 Funzioni di trasferimento con due poli complessi coniugati

Riprendiamo ora l’analisi della funzione di trasferimento con due poli, giá incontrata nella precedente sezione, nel caso in cui i due poli s_{1} ed s_{2} siano complessi coniugati. Analizzeremo in realtá nuovamente il caso generale di una funzione con due poli, introducendo una notazione che si rivela utile in molti casi, ad esempio nell’analisi dei filtri attivi.

Possiamo riscrivere in generale il denominatore di una funzione di trasferimento con due poli:

(s − s_{1})(s − s_{2}) (4.6)

nella forma:

s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s + ω_{0}^{2} (4.7)

Sviluppando la (4.6) ed uguagliando i coefficienti a quelli che figurano nella (4.7), otteniamo:

\frac{ω_{0}}{Q_{0}} = −(s_{1} + s_{2})  (4.8)
ω_{0}^{2} = s_{1}s_{2}  (4.9)

Invertendo queste equazioni si ottiene:

s_{1,2} = \frac{1}{2} [−\frac{ω_{0}}{Q_{0}} ± \sqrt{(\frac{ω_{0}}{Q_{0}} )^{2} − 4ω_{0}^{2}}] (4.10)

I poli saranno reali e coincidenti per Δ = 0, cioé:

ω_{0}^{2}(1 − 4Q_{0}^{2}) = 0

da cui:

Q_{0} = 0.5

I poli saranno reali e distinti per Q_{0} < 0.5 mentre saranno complessi coniugati per Q_{0} > 0.5. In ques’ultimo caso la parte reale dei due poli sará:

Re(s_{1}) = Re(s_{2}) = −\frac{ω_{0}}{2Q_{0}}

Notiamo che in questo caso, con s_{2} = s_{1}^{∗}, l’equazione:

ω_{0}^{2} = s_{1}s_{2} = s_{1}s_{1}^{∗} = |s_{1}|^{2} = |s_{2}|^{2}

ci dice che ω_{0} rappresenta la distanza di ciascuno dei due poli dall’origine. Ció é mostrato in figura (4.18).

Dalla figura si vede che:

cos γ = \frac{1}{2Q_{0}}

con Q_{0} > 0.5 Poniamo ora:

s_{1} = −α + jβ

s_{2} = −α − jβ e scriviamo la funzione G(s):

G(s) = \frac{1}{(s − s_{1})(s − s_{2})} = \frac{1}{(s + α − jβ)(s + α + jβ)}

Sostituendo ad s l’espressione jω otteniamo:

|G|^{2} = \frac{1}{[α^{2} + (ω − β)^{2}] [α^{2} + (ω + β)^{2}]}

Calcoliamo ora il valore di ω in corrispondenza a cui |G| é massimo. Essendo |G| positivo, questo sará anche il valore che rende massimo |G|^{2}, che sará dato dalla soluzione dell’equazione:

\frac{d|G|^{2}}{dt} = 0

ovvero dell’equazione:

2(ω − β) [α^{2} + (ω + β)^{2}] + 2(ω + β) [α^{2} + (ω − β)^{2}] = 0

Questa si riduce facilmente a:

4ωα^{2} + 2(ω^{2} − β^{2}) · 2ω = 0

la cui soluzione é:

ω^{2} = β^{2} − α^{2}

Troviamo cioé che la frequenza ω in corrispondenza alla quale la |G| ha un massimo é data da:

ω_{max} = \sqrt{β^{2} − α^{2}}

Espressa in termini delle variabili ω_{0} e Q_{0}, questa si scrive:

ω_{max}^{2} = ω_{0} (1 − \frac{1}{2Q_{0}^{2}} ) (4.11)

Il valore che la funzione |G| acquista in tale punto puó esser facilmente ottenuto come segue. Scriviamo la G(s) nella forma:

G(s) = \frac{A_{0}ω_{0}^{2}}{s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s + ω_{0}^{2}} (4.12)

dove A_{0} é il valore di G(s) per s=0. Poniamo s = jω e calcoliamo il modulo di G.

G(jω) = \frac{A_{0}ω_{0}^{2}}{(ω_{0}^{2} − ω^{2}) + j \frac{ω_{0}}{Q_{0}} ω} (4.13)

da cui:

|G(jω)|_{ω=ω_{max}} = \frac{A_{0}Q_{0}}{\sqrt{1 − \frac{1}{4Q_{0}^{2}}}} (4.14)

L’andamento di questa funzione da Q_{0} é mostrato nella figura (4.19).

Notiamo che, come si vede dall’equazione (4.11) un massimo nella risposta puó aversi solo per:

\frac{1}{2Q_{0}^{2}} < 1

cioé per:

Q_{0} > \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.707

Per Q_{0} = 0.707 troviamo:

|G(jω)|_{ω=ω_{max}} = A_{0}

Riportiamo nel grafico di figura (4.20) il diagramma di Bode per il modulo della G(s) dato dall’equazione (4.12).

Vediamo da questi risultati, ed in particolare dalle equazioni (4.11) e (4.12), che la curva di risposta |G(jω)| ha un massimo tanto piú accentuato quanto piú é elevato il Q_{0} del circuito. La posizione del massimo si sposta, come mostrato dalla (4.11), al variare di Q_{0}. ω_{max} aumenta all’aumentare di Q_{0} e diviene uguale ad ω_{0} per Q_{0} → ∞.

Poiché ω_{0} é la distanza dei poli dall’origine e −\frac{ω_{0}}{2Q_{0}} é l’ascissa comune dei poli, vediamo che l’angolo che abbiamo indicato con γ aumenta all’aumentare di Q_{0}.

Figura 4.19:

Vediamo cioé che la curva che descrive la risposta del sistema acquista in prossimitá di ω_{0} un picco che é tanto piú accentuato quanto piú i poli sono vicini all’asse immaginario e lontani da quello reale.

4.5 Diagrammi di Nyquist

Se si riporta in un diagramma cartesiano, in ascissa la parte reale della funzione di trasferimento G(jω) ed in ordinata la parte immaginaria, si ottiene quello che é noto come diagramma di Nyquist della G(jω). Al variare di ω il punto rappresentativo del sistema si muove lungo una curva. Il vettore che unisce l’origine delle coordinate con il generico punto rappresenta la funzione di trasferimento in corrispondenza al valore di ω relativo al determinato punto. Ad esempio, la figura (4.21) mostra il diagramma di Nyquist per la funzione di trasferimento caratteristica di un circuito passa-basso:

G(jω) = \frac{1/τ}{jω − 1/τ}

Figura 4.21:

Un’altro esempio é quello della funzione di trasferimento con un polo ed uno zero non nell’origine. Il relativo diagramma di Nyquist é mostrato in figura (4.22).

L’espressione analitica della funzione di trasferimento in quest’esempio é data da:

G(ω) = \frac{1 + jωτ_{2}}{1 + jωτ_{1}}

dove τ_{1} = 3.979 · 10^{−6} e τ_{2} = 1.592 · 10^{−4} ed ω varia tra 100 e 400,000 rad/s.

Un ulteriore esempio é quello di una funzione di trasferimento con uno zero non nell’origine e due poli:

G(ω) = \frac{0.001 − jωτ_{2}}{ω(0.001 − jωτ_{1})}

con τ_{1} e τ_{2} uguali a quelli dell’esempio precedente. Il relativo diagramma di Nyquist é mostrato in figura (4.23).

Figura 4.23:

Amplificatori operazionali

5.1 Introduzione

Ci occuperemo in questa sezione degli amplificatori operazionali, iniziando con un breve sommario delle principali caratteristiche di un tipico amplificatore operazionale ideale ed esaminandone alcune semplici applicazioni. Passeremo a discutere in un secondo tempo i limiti degli amplificatori operazionali reali, quali le correnti e tensioni di offset, lo ”slew rate” e via dicendo.

Questo tipo di amplificatore si presta ad un gran numero di applicazioni diverse, che vanno dall’amplificazione di segnali di tensione o corrente, alla realizzazione di integratori/derivatori di precisione, a quella di circuiti oscillanti, di filtri analogici, di sistemi di trigger e via dicendo. Vari tipi di operazionali, con diverse caratteristiche e prestazioni (impedenza d’ingresso piú o meno elevata, guadagno piú o meno grande, banda passante piú o meno ampia etc), sono disponibili in commercio. Di questi, quello che é stato per decenni il piú noto é il μA741

5.2 Proprietá degli amplificatori operazionali

Con riferimento allo schema indicato in figura 5.1, un amplificatore operazionale ha due ingressi di segnale, due alimentazioni (nella piú gran parte dei casi una positiva ed una negativa, ma a volte una positiva ed una massa) ed un’uscita. In molti casi esistono degli ulteriori terminali, adoperati per il controllo dell’offset.

I due ingressi, noti come ‘ingresso non-invertente’ ed ‘ingresso invertente’, sono tali che ad essi corrispondano, come vedremo tra un attimo, guadagni uguali ed opposti. In altre parole, l’amplificatore operazionale ha ingressi differenziali. Le principali caratteristiche di un amplificatore operazionale ideale sono le seguenti:

• Impedenza d’ingresso infinitamente grande

• Ingressi differenziali

• Guadagno nel modo differenziale infinito

• Larghezza di banda infinita

• Sfasamento nullo tra ingresso ed uscita

• Guadagno nel modo comune nullo

• Impedenza di uscita nulla

Un amplificatore operazionale reale avrá caratteristiche che si discosteranno piú o meno dalle caratteristiche ideali appena descritte. Di tali differenze ci occuperemo nel seguito.

Esaminiamo adesso le caratteristiche di un amplificatore tipico. Un circuito che si incontra frequentemente é quello mostrato in figura 5.1. Notiamo l’ingresso invertente indicato con un segno meno e quello non invertente indicato con un segno piú.

Se tra i due terminali d’ingresso applichiamo una differenza di potenziale, la tensione al terminale di uscita sará, a causa del guadagno infinito dell’operazionale, anch’essa infinita. Da un punto di vista pratico la tensione di uscita non potrá superare quella delle alimentazioni. Se, ad esempio, l’amplificatore é alimentato con tensione positiva di +15 Volt e tensione negativa di -15 Volt, la tensione di uscita sará all’incirca uguale a +15 Volt se la tensione applicata al terminale non invertente é maggiore di quella applicata al terminale invertente, sará -15 Volt nel caso contrario. Notiamo che sia il terminale invertente che quello non invertente sono riferiti a massa. Avremo quindi un’impedenza tra terminale invertente e massa, una tra terminale non invertente e massa ed una tra i due terminali invertente e non invertente. Ammetteremo che tutte e tre queste impedenze siano infinite.

5.3 Ingresso differenziale

Prima di passare ad esaminare alcuni circuiti tipici che fanno uso di A.O., ricordiamo alcune definizioni relative all’amplificatore differenziale, che ne costituisce lo stadio d’ingresso.

Indichiamo con v_{+} e v_{−} le tensioni applicate rispettivamente all’ingresso non invertente ed a quello invertente, con v_{o} la tensione d’uscita, con A_{+} e con A_{−} i guadagni dell’A.O. per segnali applicati rispettivamente all’ingresso non invertente ed a quello invertente. Per il principio di sovrapposizione avremo:

v_{0} = A_{+}v_{+} + A_{−}v_{−} (5.1)

e, ponendo:

v_{d} = v_{+} − v_{−}

v_{c} = \frac{1}{2}(v_{+} + v_{−})

cioé

v_{+} = v_{c} + \frac{v_{d}}{2} (5.2)

v_{−} = v_{c} − \frac{v_{d}}{2} (5.3)

questa diventa:

v_{o} = A_{+} (v_{c} + \frac{v_{d}}{2} ) + A_{−} (v_{c} − \frac{v_{d}}{2} ) = (A_{+} + A_{−})v_{c} + \frac{1}{2}(A_{+} − A_{−})v_{d} (5.4)

che, con le definizioni:

A_{c} = (A_{+} + A_{−}) (5.5)

A_{d} = \frac{1}{2}(A_{+} − A_{−}) (5.6)

puó essere scritta come:

v_{o} = A_{c}v_{c} + A_{d}v_{d} (5.7)

La grandezza A_{d} é nota come il guadagno nel modo differenziale, mentre A_{c} é il guadagno nel modo comune. Un buon A.O. dovrá avere un valore di A_{c} prossimo a zero ed un valore di A_{d} prossimo ad ∞. Normalmente i produttori quotano il valore del cosiddetto rapporto di reiezione per il modo comune (Common Mode Rejection Ratio o CMRR), definito da:

ρ = |A_{d}/A_{c}|

che deve essere il piú grande possibile.

Dalla (5.7) si ha poi:

v_{o} = A_{d}v_{d} (1 + \frac{1}{ρ} \frac{v_{c}}{v_{d}}) (5.8)

Ad esempio, se v_{c} =1 mV, v_{d} = 1 μV e ρ =1000, avremo:

v_{o} = A_{d}v_{d} (1 + \frac{1}{ρ} \frac{v_{c}}{v_{d}}) = 2 A_{d}v_{d}

anziché semplicemente A_{d}v_{d} come si vorrebbe da un buon A.O.. Se vogliamo che ció accada, occorre che ρ sia abbastanza piú grande di v_{c}/v_{d} da rendere trascurabile il secondo termine in parentesi nell’ultima espressione scritta. Nel nostro esempio, ρ dovrá essere maggiore di 10^{5} se si vuole che v_{o} differisca da A_{d}v_{d} per meno dell’1%.

5.4 Amplificatori Operazionali: alcune applicazioni

Gli A.O. hanno numerosissime applicazioni. Queste possono essere divise in due grandi categorie. Nella prima di queste l’A.O. viene adoperato in modo che esso esca dalla zona lineare e vada in saturazione. Se infatti si applica una piccola differenza di potenziale tra ingresso invertente ed ingresso non-invertente, l’uscita si porterá tipicamente a ±V_{cc} dove V_{cc} é la tensione di alimentazione. Nel realizzare tale funzione si fa spesso uso di una reazione positiva tra uscita ed ingresso dell’A.O.. Fanno parte di questa categoria molti circuiti logici, generatori di onde quadre, generatori di rampa, circuiti di trigger (Schmitt) etc..

Nel secondo tipo di applicazioni si fa invece uso di una reazione negativa, realizzando un funzionamento lineare dell’A.O.. Fanno parte di questa categoria i circuiti amplificatori (invertenti e non invertenti), i circuiti di somma e di sottrazione, gli inseguitori di tensione, i convertitori tensione-corrente e corrente-tensione e molti altri.

Inzieremo nella prossima sezione un’analisi di quest’ultima classe di applicazioni. Esiste in realtá una terza classe di applicazioni, in cui il feedback positivo ap-

plicato é quasi esattamente uguale all’inverso dell’amplificazione dell’operazionale e quindi il guadagno a catena aperta Aβ é circa uguale ad uno. In tale categoria rientrano i cosiddetti ”oscillatori sinusoidali” che sono trattati in un capitolo a se.

5.5 Amplificatori invertenti e non-invertenti realizzati con operazionali

Abbiamo specificato in precedenza tra le caratteristiche di un A.O. ideale:

• Impedenza d’ingresso R_{i} infinita

• Guadagno in tensione A_{v} infinito

• Impedenza d’uscita R_{o} nulla

Esamineremo ora, a titolo di esempio, alcuni amplificatori reazionati che utilizzano un A.O. e ne studieremo il funzionamento.

Cominceremo con l’esaminare la configurazione invertente mostrata in figura 5.2.

Ammetteremo che R_{i}, A_{v} ed R_{o} (vedi figura 5.4) abbiano valori finiti; faremo poi tendere R_{i} ed A_{v} ad infinito ed R_{o} a zero.

Facendo uso del teorema di Miller, lo schema di figura 5.4 puó esser trasformato in quello di figura 5.3, dove k = v_{o}/v_{i}.

Dall’analisi della maglia d’uscita di tale circuito troviamo:

v_{o} = \frac{−A_{v}v_{i}}{Z′ + R_{o}} Z′

dove:

Z′ = −\frac{R_{2}k}{1 − k}

Figura 5.2: Figura 5.3:

Si ottiene di qui una relazione tra v_{o} e v_{i}:

\frac{v_{o}}{v_{i}} = \frac{R_{o} − A_{v}R_{2}}{R_{2} + R_{o}} (5.9)

Dall’analisi della maglia d’ingresso si ottiene invece:

v_{i} = v_{s} \frac{R_{∥}}{R_{1} + R_{∥}}

dove:

R_{∥} = \frac{R_{i}R_{2}}{R_{i}(1 − k) + R_{2}}

per cui:

\frac{R_{∥}}{R_{1} + R_{∥}} = \frac{R_{i}R_{2}}{R_{i}R_{2} + R_{1}[R_{2} + R_{i}(1 − k)]}

Dall’equazione (5.9) si ottiene allora:

\frac{v_{o}}{v_{s}} = \frac{v_{o}}{v_{i}} \frac{v_{i}}{v_{s}} = \frac{R_{i}(R_{o} − A_{v}R_{2})}{R_{1}(R_{i} + R_{2} + R_{o}) + R_{i}(R_{2} + R_{o}) + A_{v}R_{1}R_{i}}

Dividendo ora numeratore e denominatore per R_{i}, otteniamo poi:

\frac{v_{o}}{v_{s}} = \frac{R_{o} − A_{v}R_{2}}{(R_{1}/R_{i})(R_{i} + R_{2} + R_{o}) + R_{2} + R_{o} + A_{v}R_{1}}

che, per R_{i} che tende ad infinito, diventa:

\frac{v_{o}}{v_{s}} = \frac{R_{o} − A_{v}R_{2}}{R_{1} + R_{2} + R_{o} + A_{v}R_{1}}

e, per A_{v} che tende ad infinito ed R_{0} che tende a zero:

\frac{v_{o}}{v_{s}} = −\frac{R_{2}}{R_{1}} (5.10)

Vediamo da tale relazione che il guadagno dell’amplificatore reazionato invertente é, nel limite R_{i} = ∞, R_{0} = 0 ed |A_{v}| = ∞, uguale al rapporto tra la resistenza di reazione R_{2} e quella che collega il generatore di segnali all’ingresso invertente.

Notiamo che al medesimo risultato si potrebbe arrivare in modo piú semplice, con le seguenti considerazioni:

1. poiché R_{i} = ∞, la corrente che puó fluire nell’operazionale é trascurabile. Ametteremo che essa sia nulla.

2. in presenza della reazione negativa causata dalla resistenza R_{2}, l’operazionale non satura: cioé il segnale in uscita ha un valore inferiore a quello dell’alimentazione.

3. essendo A_{v} = ∞ e v_{o} finito, la relazione: |v_{i}| = |v_{o}/A_{v}| ci dice che la differenza di potenziale tra i terminali d’ingresso: v_{i} deve essere vicina a zero. Ammetteremo che essa sia nulla.

In definitiva avremo (vedi figura 5.4):

v_{−} = v_{i} = \frac{v_{o}}{A_{v}} ≈ 0

e quindi v_{−} = 0 (essendo v_{+} collegato a massa). Si dice che il terminale invertente é una ”massa virtuale”, poiché esso si trova ad un potenziale molto prossimo a quello di massa. É tuttavia da tenere ben presente che non esiste alcun collegamento fisico o ”corto circuito” tra terminale invertente e non-invertente.

Vediamo ora come le condizioni esaminate portino facilmente al risultato espresso dall’equazione (5.10). Infatti, per quanto detto, nessuna corrente entra nell’operazionale; ne segue che la corrente che attraversa la resistenza R_{1} é uguale a quella che attraversa R_{2}. Inoltre é v_{−} = 0. Ne segue:

i = \frac{v_{s}}{R_{1}} = −\frac{v_{o}}{R_{2}}

da cui:

\frac{v_{o}}{v_{s}} = −\frac{R_{2}}{R_{1}} (5.11)

Potrebbe apparire che l’ipotesi aggiuntiva (R_{o} = 0) che é stata necessaria per dimostrare la relazione (5.10), non giochi piú alcun ruolo. In realtá ció non é vero. Se infatti R_{o} fosse, diciamo, grande rispetto ad R_{2} (o confrontabile ad essa), allora

Figura 5.5:

la tensione d’uscita v_{o} sarebbe uguale a quella (v′_{o}) presente all’uscita del generatore dipendente che schematizza l’uscita dell’A.O., diminuita della caduta attraverso R_{o}. Con ció l’equazione ottenuta (5.11) non sarebbe piú vera, ma il rapporto v_{o}/v_{s} dipenderebbe anche da R_{o}.

La figura 5.7 mostra i segnali in ingresso ed in uscita da un amplificatore invertente, in cui é stato scelto un rapporto R_{2}/R_{1} pari a 2. Il segnale in ingresso é una sinusoide di ampiezza pari ad 1 V. Si vede come il segnale in uscita sia una sinusoide invertita, di ampiezza doppia.

5.6 Impedenza d’ingresso dell’amplificatore invertente

L’impedenza d’ingresso r_{i} dell’amplificatore appena esaminato puó esser calcolata facilmente facendo uso dello schema di figura 5.3. Si vede da tale figura che l’impedenza d’ingresso é:

r_{i} = R_{1} + \frac{R_{i}R_{2}}{R_{i}(1 − k) + R_{2}}

dove k é dato dalla relazione (5.9). Si ottiene quindi:

r_{i} = R_{1} + \frac{R_{i}(R_{o} + R_{2})}{R_{i}(1 + A_{v}) + (R_{o} + R_{2})}

Questa puó essere riscritta come:

r_{i} = R_{1} + \frac{R_{i}(R_{o} + R_{2})/(1 + A_{v})}{R_{i} + (R_{o} + R_{2})/(1 + A_{v})}

che, ponendo:

r_{f} = \frac{R_{2} + R_{o}}{1 + A_{v}}

puó essere scritta nella forma piú concisa:

r_{i} = R_{1} + R_{i} ∥ r_{f}

dove in genere r_{f} é molto minore di R_{i} per cui, nel parallelo, quest’ultima puó essere trascurata. Essendo inoltre in genere r_{f} molto piccola, si trova che l’impedenza d’ingresso dell’amplificatore invertente esaminato é con ottima approssimazione uguale ad R_{1}.

Ad esempio, per R_{1} = 100k, R_{2} = 10k, R_{o} = 100Ω ed A_{v} = 10^{5}, troviamo: r_{f} = 0.1Ω e quindi r_{i} = R_{1} = 100k.

5.7 Impedenza d’uscita dell’amplificatore invertente

Per calcolare l’impedenza d’uscita r_{o} dell’amplificatore immaginiamo di cortocircuitare i terminali d’ingresso, ponendo v_{s} = 0, di applicare tra i terminali d’uscita una tensione v_{o} e di calcolare la corrente i_{o} immessa dal generatore di tensione v_{o}.

Figura 5.6:

Definiremo poi impedenza d’uscita il rapporto v_{o}/i_{o}. Lo schema equivalente che adopereremo é quello di figura 5.6. Avremo:

i_{o} = \frac{v_{o} − A_{v}v_{i}}{R_{o}} + \frac{v_{o}}{R_{1} + R_{2}}

poiché R_{i} ≫ R_{1}. Inoltre é:

−v_{i} = v_{o} \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}}

Sostituendo quest’equazione nella precedente, si trova:

i_{o} = \frac{v_{o} + A_{v}v_{o}R_{1}/(R_{1} + R_{2})}{R_{o}} + \frac{v_{o}}{R_{1} + R_{2}}

cioé:

v_{o}[\frac{1}{R_{o}} + \frac{1}{R_{1} + R_{2}} + \frac{A_{v}R_{1}}{R_{o}(R_{1} + R_{2})}] = i_{o}

ed infine:

\frac{1}{r_{o}} = \frac{i_{o}}{v_{o}} = \frac{1}{R_{1} + R_{2}} + \frac{1}{R_{o}} + \frac{A_{v}R_{1}}{R_{o}(R_{1} + R_{2})}

per cui 1/r_{o} é all’incirca uguale a:

\frac{1}{r_{o}} = \frac{1}{R_{o}} [1 + \frac{A_{v}R_{1}}{R_{1} + R_{2}} ] ≈ ∞

ed r_{o} é praticamente nullo.

Figura 5.7:

5.8 Amplificatore non-invertente

Un amplificatore che fornisce un segnale in uscita in fase con il segnale applicato in ingresso é quello mostrato in figura 5.8.

Per calcolare il guadagno in tensione di tale amplificatore ricordiamo che, a causa della reazione negativa avremo, come prima, v_{+} = v_{−}, ed inoltre v_{i} = v_{+} per cui:

v_{−} = v_{o} \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}}

e:

A_{v} = \frac{v_{o}}{v_{i}} = \frac{v_{o}}{v_{−}} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}} = 1 + \frac{R_{2}}{R_{1}}

Il guadagno, come si vede, é indipendente dalle caratteristiche dell’operazionale, ma dipende solo dai valori delle resistenze R_{1} e R_{2}. Esso diviene uguale ad 1 se R_{2} = 0 e R_{1} = ∞. Si ottiene cosí la configurazione di figura 5.9 nota come ”inseguitore di tensione”.

Figura 5.9:

5.9 Impedenza d’ingresso dell’amplificatore noninvertente

L’impedenza d’ingresso dell’amplificatore nella configurazione esaminata, cioé l’impedenza vista dalla sorgente v_{s} guardando nel terminale non invertente, é teoricamente infinita. Vediamo di esprimerla in termini del guadagno A_{v}, della resistenza d’ingresso dell’operazionale R_{i} e dei valori delle resistenze. Chiamando r_{i} la resistenza dell’amplificatore completo, avremo per la corrente d’ingresso nel terminale non invertente:

i_{i} = \frac{v_{i}}{R_{i}} = \frac{v_{o}}{A_{v}} \frac{1}{R_{i}}

dove:

v_{o} = (1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} ) v_{i}

per cui:

i_{i} = (1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} ) \frac{v_{i}}{A_{v}} \frac{1}{R_{i}}

ed infine:

r_{i} = \frac{v_{i}}{i_{i}} = \frac{A_{v}R_{i}}{1 + R_{2}/R_{1}}

Come si vede, tale impedenza é estremamente grande. Per A_{v} = 10^{5}, R_{i} = 1MΩ ed R_{2}/R_{1} = 1 questa vale 50, 000 MΩ.

5.10 Impedenza d’uscita dell’amplificatore noninvertente

Si puó facilmente verificare che l’impedenza d’uscita in questa configurazione é identica a quella della configurazione invertente. In effetti lo schema equivalente adoperato nella sezione 7 (vedi figura 5.6) é applicabile senza modifiche a questa situazione.

5.11 Amplificatore della differenza di due segnali

Un amplificatore operazionale puó facilmente essere adoperato per amplificare la differenza tra due segnali di tensione. Un possibile schema é quello di figura 5.10.

Figura 5.10:

Ancora una volta usiamo il fatto che l’ingresso invertente e quello non- invertente sono in corto-circuito virtuale, cioé v_{−} = v_{+}. D’altronde, dal partitore costituito dalle resistenze poste sull’ingresso non-invertente, otteniamo:

v_{+} = v_{−} = v_{2} \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}

Poiché nell’operazionale non entra corrente, le correnti nelle due resistenze superiori sono uguali, per cui:

\frac{v_{1} − v_{+}}{R_{1}} = \frac{v_{+} − v_{o}}{R_{2}}

da queste due equazioni segue poi subito:

v_{o} = \frac{R_{2}}{R_{1}} (v_{2} − v_{1})

Immaginiamo ad esempio che il segnale all’ingresso 1 sia una sinusoide di ampiezza pari ad 1 V e frequenza 6 kHz, e quello all’ingresso 2 sia un segnale sfasato rispetto al primo di π. In tal caso il segnale in uscita sará quello mostrato in figura 5.11, dove si é utilizzato lo schema di figura 5.10 con R_{1} = 1 kΩ e R_{2} = 2 kΩ.

Figura 5.11:

5.12 Amplificatore della somma di due o piú segnali

Un A.O. in configurazione invertente puó essere adoperato per ottenere la somma (cambiata di segno) di piú tensioni applicate agli ingressi, in modo tale che le sorgenti risultino peraltro disaccoppiate tra loro. Un circuito che realizza tale funzione é quello mostrato in figura 5.12. La relazione che lega la tensione in uscita alle tensioni v_{1}, v_{2} in ingresso é facilmente ottenibile in base alla considerazione che la corrente che passa nella resistenza R deve essere uguale alla somma delle correnti nelle resistenze R_{1} ed R_{2}, unitamente al fatto che la tensione al terminale invertente é nulla (v_{−} = v_{+} = 0). Si ha cioé:

i_{1} + i_{2} = \frac{v_{1}}{R_{1}} + \frac{v_{2}}{R_{2}} = −\frac{v_{o}}{R}

da cui si ottiene poi:

v_{o} = −R(\frac{v_{1}}{R_{1}} + \frac{v_{2}}{R_{2}} )

Se poniamo R = R_{1} = R_{2} abbiamo, come detto, la somma cambiata di segno dei segnali applicati in ingresso. Altrimenti avremo una combinazione lineare di questi, con coefficienti dipendenti dai valori delle tre resistenze.

L’estensione al caso di N sorgenti é immediata.

Come accennato, nella configurazione esaminata le sorgenti sono fisicamente disaccoppiate l’una dall’altra, poiché le estremitá destre delle resistenze R_{1}, R_{2} sono collegate a massa (cioé alla massa virtuale del terminale invertente). In altre parole, la sorgente v_{1} non interagisce in alcun modo con la sorgente v_{2}.

5.13 Integratore realizzato tramite un operazionale

Un integratore ideale fornisce una tensione in uscita proporzionale all’integrale della tensione applicata in ingresso:

v_{out} = K ∫ v_{in} dt (5.12)

In termini della trasformata di Laplace, dovremo avere:

ṽ_{out} = \frac{K}{s} ṽ_{in} (5.13)

Notiamo che il circuito passa-basso di figura 5.13 ha un funzione di trasferimento data da:

\frac{1}{τ} \frac{1}{s + \frac{1}{τ}}  (5.14)

che diviene quella di un integratore ideale espresso dall’equazione (5.13) per τ → ∞. Notiamo che in tale limite la funzione di trasferimento tende a zero, a causa del termine moltiplicativo 1/τ.

La configurazione mostrata in figura 5.14 realizza con ottima approssimazione un integratore ideale. Ció puó esser visto semplicemente adottando il principio della massa virtuale.

Figura 5.14:

Infatti, per tale principio, la corrente nella resistenza R, uguale a quella che carica il condensatore C, é data da:

i = \frac{v_{in}}{R} = \frac{dQ}{dt} = −C \frac{dv_{out}}{dt}

da cui:

v_{in} = −RC \frac{dv_{out}}{dt}

e:

v_{out} = −\frac{1}{RC} ∫ v_{in}dt

Si puó arrivare al medesimo risultato, senza far uso in modo esplicito del principio della massa virtuale, ma adoperando il teorema di Miller. Sostituiamo infatti all’impedenza capacitiva Z_{c} presente tra ingresso invertente ed uscita, una impedenza pari a Z_{c}/(1 + A_{v}), posta tra ingresso invertente e massa, ed una pari a A_{v}Z_{c}/(1 + A_{v}), posta tra uscita e massa. Si ottiene in tal modo il circuito equivalente mostrato in figura 5.15, dove é V_{out} = −A_{v}v_{1},con v_{1} la differenza di potenziale tra ingresso invertente e massa. Dalla definizione di trasformata dell’impedenza capacitiva segue che le capacitá C e C′ indicate in figura valgono:

C′ = C(1 + A_{v}) ; C′′ = \frac{C(1 + A_{v})}{A_{v}}

La funzione di trasferimento che cosí si ottiene é:

G(s) = \frac{−A_{v}/τ′}{s + 1/τ′} (5.15)

con:

τ′ = RC(1 + A_{v})

Poiché ora τ′ contiene il grosso termine A_{v}, avremo che il termine 1/τ′ a denominatore della (5.15) sará trascurabile e G(s) diventa con ottima approssimazione la funzione di trasferimento di un integratore ideale:

G(s) = −\frac{A_{v}}{sτ′} = −\frac{A_{v}}{RC(1 + A_{v})s} ≈ −\frac{1}{RC} \frac{1}{s} (5.16)

Il motivo per cui il circuito esaminato si comporta come un ottimo integratore puó anche esser compreso intuitivamente, partendo dall’analisi del non- perfetto integratore costituito da un normale R-C passa-basso (vedi figura (5.13). Ammettiamo che in tale circuito sia applicato in ingresso un segnale di tensione che sia, in un certo (breve) intervallo di tempo, costante. L’uscita sará l’integrale dell’ingresso se essa é una rampa crescente linearmente nell’intervallo di tempo specificato. Ció richiederebbe peró che il condensatore fosse caricato con una corrente costante nel tempo. Infatti solo in tal caso si avrebbe:

V_{out}(t) ∝ \frac{1}{C} ∫_{0}^{t} i dt′ ∝ i t

Ora, la corrente che carica il condensatore é quella che attraversa la resistenza R ed essa é pari alla differenza di potenziale ai capi della resistenza divisa per la resistenza stessa. A sua volta, la differenza di potenziale ai capi della resistenza NON é costante, poiché essa é la differenza tra la tensione (costante) applicata in ingresso e la tensione presente sul condensatore, che sta via via aumentando. Se si vuole che la corrente che carica il condensatore sia costante occorre che la tensione all’altro estremo della resistenza R sia tenuta costante. A questo ruolo provvede l’operazionale, poiché l’ingresso invertente di questo (cioé quello cui é collegato l’estremo della resistenza) é tenuto ad un potenziale vicino a zero dalla reazione negativa causata dal collegamento capacitivo tra l’uscita e l’ingresso invertente. Notiamo la strana configurazione in cui si trova il condensatore, che é caricato da una corrente che viene da un punto che é praticamente a massa !

Il circuito esaminato non é realistico, poiché, una volta che la capacitá C sia carica, essa non ha modo di scaricarsi. Se quindi il segnale inviato in ingresso é un’onda rettangolare, il primo impulso sará integrato e dará in uscita una rampa, ma subito dopo la tensione in uscita rimarrá al livello alto anche quando l’ingresso sia tornato a a zero. Il successivo impulso troverá il condensatore ancora carico e l’integrazione fornirá un’uscita che continuerá a salire, fino a che l’operazionale non sia andato in saturazione.

Per ovviare a questo problema si pone, in parallelo al condensatore, una resistenza, di valore adeguatamente elevato, che consenta al condensatore di scaricarsi tra un impulso ed il successivo. Il circuito cosí ottenuto é mostrato in figura 5.16(a). Il calcolo della risposta di questo circuito puó essere effettuato facilmente tenendo conto del fatto che l’ingresso invertente é una massa virtuale e ricordando che le correnti nei rami Z_{1} e Z_{2} della figura 5.16(b) sono uguali. Si ottiene quindi per la trasformata del guadagno in figura 5.16(b):

G(s) = −\frac{Z_{2}(s)}{Z_{1}(s)}

dove:

Z_{1} = R

Z_{2}(s) = \frac{R_{1}}{1 + R_{1}Cs} = \frac{R_{1}/τ}{s + 1/τ}

con

τ = R_{1}C

Si ha quindi:

G(s) = −\frac{Z_{2}(s)}{Z_{1}(s)} = −\frac{R_{1}}{R} \frac{1/τ}{s + 1/τ}

Se il segnale applicato in ingresso é un gradino di tensione:

ṽ_{in}(s) = \frac{1}{s}

avremo:

ṽ_{out}(s) = −\frac{1}{s} \frac{R_{1}}{Rτ} \frac{1}{s + 1/τ} = −K \frac{1}{s(s + 1/τ)}

dove si é posto:

K = \frac{R_{1}}{τR} = \frac{ρ}{τ}

con ρ = R_{1}/R. La frazione che moltiplica K puó essere espressa come:

\frac{τ}{s} − \frac{τ}{s + 1/τ}

per cui:

ṽ_{out}(s) = −ρ[\frac{1}{s} − \frac{1}{s + 1/τ}] = −\frac{R_{1}}{R} [\frac{1}{s} − \frac{1}{s + 1/τ}]

la cui antitrasformata é:

v_{out}(t) = −\frac{R_{1}}{R} (1 − e^{−t/τ})

con: τ = R_{1}C. Sviluppiamo l’esponenziale in parentesi in serie di Taylor, ottenendo:

v_{out}(t) = −\frac{R_{1}}{R} (1 − 1 + \frac{t}{τ} − \frac{t^{2}}{2τ^{2}} ...) = −\frac{R_{1}}{R} (\frac{t}{τ} − \frac{t^{2}}{2τ^{2}} + ...)

Se t ≪ τ il termine quadratico e quelli di ordine superiore in parentesi diventano trascurabili rispetto a quello lineare, ed otteniamo un integratore ideale:

v_{out}(t) = −\frac{R_{1}}{τR} t

Figura 5.16:

5.14 Derivatore realizzato tramite un operazionale

Il circuito passa-alto mostrato in figura 5.17 si comporta approssimativamente da derivatore.

Possiamo verificarlo facilmente. La corrente che carica il condensatore C é:

i = \frac{dq}{dt} = C \frac{dV}{dt}

dove V é la differenza di potenziale ai capi del condensatore, data da: V = v_{i} − v_{o}. Si ha quindi:

i = C \frac{d}{dt}(v_{i} − v_{o}) = \frac{v_{o}}{R} (5.17)

come é immediato verificare.

Da questa si ottiene poi:

v_{o} = RC \frac{dv_{i}}{dt} − RC \frac{dv_{o}}{dt}

se ora il secondo dei due termini a secondo membro fosse trascurabile rispetto al primo, avremmo un derivatore ideale:

v_{o} = RC \frac{dv_{i}}{dt} (5.18)

Tuttavia, in un normale circuito passa-alto, il termine dv_{o}/dt non é necessariamente trascurabile, e quindi esso non sará un derivatore ideale.

Possiamo vedere ció facendo uso delle trasformate di Laplace. Un derivatore ideale deve dare un segnale in uscita proporzionale alla derivata di quello in ingresso:

v_{o} = K \frac{dv_{i}}{dt}

Prendendo la trasformata di Laplace di entrambi i membri:

ṽ_{o} = Ksṽ_{i} (5.19)

Per il circuito passa-alto di figura 5.17, otteniamo:

ṽ_{o} = ṽ_{i} \frac{R}{R + 1/sC} = ṽ_{i} \frac{s}{s + 1/τ}

con τ = RC. Perché questa acquisti la forma della (5.19) occorre che sia 1/τ molto grande, in modo tale che il termine in s a denominatore risulti trascurabile. Ció richiede che sia τ molto piccolo. Un modo per realizzare tale scopo é quello di usare un operazionale, come mostrato nella figura 5.18.

La risposta di questo circuito, che é caratterizzato, analogamente all’integratore, da una reazione negativa dovuta alla presenza del condensatore tra uscita ed ingresso invertente, é calcolabile in modo facile, ricordando la condizione v_{−} = v_{+} = 0 ed il fatto che la corrente che attraversa la capacitá C deve uguagliare quella che attraversa la resistenza R:

i = C \frac{dv_{i}}{dt} = −\frac{v_{o}}{R}

da cui si ottiene:

v_{o} = −RC \frac{dv_{i}}{dt}

Cioé abbiamo un derivatore ideale (o quasi).

Per comprendere il motivo per cui adesso il circuito si comporta da derivatore, possiamo far uso del teorema di Miller, ottenendo il circuito equivalente mostrato in figura 5.19, dove é R′ = R/(1 + A_{v}) ed R′′ = RA_{v}/(1 + A_{v}).

Figura 5.19:

Dal circuito equivalente vediamo che ora la maglia d’ingresso é caratterizzata da una costante di tempo R′C, con R′ = R/(1 + A_{v}), cioé una costante di tempo molto piccola, che é giusto quello che occorre per ottenere un derivatore ideale.

Possiamo comprendere intuitivamente ció che ora accade, riandando all’equazione (5.17). Dall’analisi del nuovo circuito vediamo che il termine nell’espressione della corrente, che prima era:

C \frac{d}{dt}(v_{i} − v_{o})

ora é semplicemente:

C \frac{dv_{i}}{dt}

poiché l’operazionale mantiene fissa a zero la tensione sull’armatura destra del condensatore. Di conseguenza questo viene ora caricato da una differenza di potenziale che é giusto v_{i}.

5.15 Amplificatore di carica

I segnali generati da un gran numero di dispositivi elettronici (cellule fotoelettriche, rivelatori di particelle nucleari/subnucleari a semiconduttore, fotomoltiplicatori, diodi etc.) consistono in impulsi di corrente di breve durata. Se indichiamo con i la corrente media e con dt la sua durata, l’impulso di corrente accumula una piccola carica dQ = i dt sulla capacitá d’ingresso del circuito adoperato per amplificarlo (ed eventualmente trasformarlo in uno di tensione). La capacitá in questione puó consistere della capacitá d’ingresso di uno stadio a transistor e/o di eventuali altre capacitá inserite nel circuito amplificatore nonché delle capacitá associate ai cavetti di collegamento.

É opportuno amplificare il segnale di carica dQ in modo tale che il segnale di tensione (o corrente) in uscita non risulti dipendente da tale capacitá, che potrebbe variare in diverse applicazioni del dispositivo.

Un sistema in grado di fornire un segnale di tensione in uscita, indipendente dalla capacitá effettiva presente in ingresso, é quello basato sullo schema mostrato in figura 5.20(a).

C_{in} é la capacitá effettiva in ingresso, su cui viene accumulata la carica ∫ dQ = ∫ i dt = Q in un piccolo intervallo di tempo Δt. Per ottenere la relazione tra la carica Q in ingresso e la tensione v_{o} in uscita, facciamo uso del teorema di Miller, ottenendo lo schema di figura 5.20(b).

Figura 5.20:

La capacitá d’ingresso in tale schema é:

C′ = C_{in} + C_{f}(1 + A) ≈ C_{f}(1 + A)

dove A é il guadagno dell’operazionale. Si ha quindi:

v_{−} = \frac{Q}{C_{f}(1 + A)}

per cui:

v_{o} = −A v_{−} = −\frac{AQ}{C_{f}(1 + A)} ≈ −\frac{Q}{C_{f}}

In un normale operazionale senza capacitá di feedback avermmo avuto:

v_{in} = \frac{Q}{C_{in}}

e quindi:

v_{out} = −A \frac{Q}{C_{in}}

Vediamo che il guadagno sarebbe quindi stato maggiore, di un fattore ≈ A. Paghiamo quindi il prezzo di una notevole diminuzione del guadagno, ma otteniamo il vantaggio di una indipendenza della risposta dalla capacitá C_{in}.

Perché il condensatore possa scaricarsi dopo l’arrivo di un impulso di corrente, in attesa del successivo, é opportuno (come nel caso dell’integratore) porre in parallelo a C_{f} una resistenza R_{f}. Il circuito diventa allora quello di figura 5.21(a).

Figura 5.21:

Utilizzando nuovamente il teorema di Miller, otteniamo il circuito equivalente mostrato in figura 5.21(b). dove:

Z = \frac{R_{f}}{1 + sτ_{f}}

e:

τ_{f} = R_{f}C_{f}

Trascurando C_{in} ed ammettendo che il segnale in ingresso sia schematizzabile con un gradino di corrente:

ĩ = \frac{i_{0}}{s}

avremo:

ṽ_{o} = −Aṽ_{−} = −A \frac{Z}{1 + A} \frac{i_{0}}{s} = −\frac{Ai_{o}R_{f}}{(1 + A)s(1 + sτ_{f})} ≈ −\frac{i_{0}R_{f}}{s(1 + sτ_{f})} = −\frac{i_{0}R_{f}}{τ} \frac{1}{s(s + 1/τ_{f})}

che é uguale a:

ṽ_{o} = −i_{0}R_{f}[\frac{1}{s} − \frac{1}{s + 1/τ_{f}}]

Da questa si ottiene poi:

v_{0} = −i_{0}R_{f}(1 − e^{−t/τ_{f}})

con τ_{f} = R_{f}C_{f}

5.16 Tensione di riferimento

Si supponga di aver bisogno di un generatore che eroghi corrente, ad una tensione costante, rigorosamente determinata. Se si adopera una batteria di precisione, che fornisce una tensione fissa, una volta che questa sia collegata ad un carico, potrá non avere piú la medesima tensione. Il circuito di figura 5.22, che adopera un operazionale, risolve il problema.

Figura 5.22:

Se V_{R} é la tensione di riferimento fornita dalla batteria, il principio della massa virtuale ed il fatto che l’operazionale non assorbe corrente, ci danno:

\frac{V_{R} − v_{o}}{R_{2}} = −\frac{v_{o}}{R_{1} + R_{2}}

da cui segue:

v_{o} = V_{R} (1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} )

Notiamo che in questo circuito la batteria non eroga alcuna corrente, che é invece fornita dall’operazionale.

Un circuito equivalente é quello di figura 5.23, per il quale valgono le medesime relazioni.

Figura 5.24:

5.17 Convertitori corrente-tensione e tensione-corrente

Un circuito che fornisce un segnale in tensione a partire da uno in corrente é quello di figura 5.24.

Il funzionamento di questo circuito si puó facilmente comprendere facendo uso del principio della massa virtuale. Infatti, essendo il terminale invertente effettivamente a massa, nessuna corrente fluisce nella resistenza R. Tutta la corrente erogata dal generatore fluisce in R_{1}. Si ha quindi:

v_{o} = −R_{1}I

Esaminiamo ora alcuni convertitori tensione-corrente. Il primo esempio é quello giá esaminato nella sezione precedente e mostrato nella figura 5.23, che riportiamo nuovamente in figura 5.25.

Vediamo che la corrente I in R_{2} é uguale a quella in R_{1} che vale:

I = \frac{v_{in}}{R_{1}}

Questa corrente non dipende dal carico R_{2}, ma solo da v_{in} e da R_{1}.

Il circuito appena esaminato ha l’inconveniente che il carico R_{2} non ha alcuna delle estremitá direttamente collegata a massa, il che é insoddisfacente in molte applicazioni. Un convertitore tensione-corrente in cui uno dei terminali del carico é a massa é quello di figura 5.26.

Figura 5.26:

Notiamo che la tensione al terminale non invertente, determinata da V_{cc} e dal partitore R_{1} − R_{2}, vale:

V_{+} = V_{cc} \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}

e questa é, per il principio del corto-circuito virtuale all’ingresso dell’operazionale, uguale a V_{−} e quindi alla tensione dell’emettitore del transistor (che é un pnp). Il motivo per cui possiamo anche in questo caso utilizzare il principio del corto-circuito virtuale, deriva dal fatto che l’uscita dell’operazionale é separata dall’ingresso invertente solo dal V_{BE} del transistor. Abbiamo quindi anche in questo caso una reazione negativa. Che poi il transistor sia in conduzione puó esser facilmente compreso. Se infatti immaginiamo di partire da una situazione in cui esso sia interdetto, avremo che la tensione V’ (uguale a V_{−}) sará uguale a V_{cc} mentre la tensione del terminale non invertente é sicuramente minore di V_{cc}. La tensione V all’uscita dell’A.O. tenderá quindi ad andare a valori molto bassi, il che polarizzerá direttamente la giunzione (B-E) del transistor. Una volta che ció sia avvenuto, questo comincerá a condurre ed innescherá la reazione negativa tra l’uscita dell’operazionale, a tensione V = V′ − V_{BE} e l’ingresso invertente. In definitiva vediamo che in condizioni di funzionamento normale é:

V′ = V_{−} = V_{+} = V_{cc} \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}

e quindi la corrente in R_{L}, uguale alla corrente nel transistor, cioé alla corrente nella resistenza R, sará:

I = \frac{V_{cc} − V′}{R}

Questa corrente non dipende dal carico R_{L}.

Un’alternativa, che fa uso di un transistor npn, é quella di figura 5.27.

Figura 5.27:

Anche ora vediamo che se v_{in} > V_{−}, la tensione V all’uscita dell’operazionale tenderá a salire, ma ció manderá in conduzione il transistor, con V_{BE} ≈ 0.6V, quindi salirá anche la tensione V′. Avremo ancora una volta una reazione negativa, con:

v_{in} = V_{−} = V′ \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}

e quindi la corrente I nel carico R_{L}:

I = V′/R_{L} = v_{in} \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{2}R_{L}}

Un esempio di convertitore tensione-corrente che non fa uso di transistor é infine quello di figura 5.28.

Figura 5.28:

La reazione negativa fa si che sia V_{−} = V_{+}. Inoltre le correnti in R_{1} ed R_{2} sono uguali, per cui si ha:

\frac{v_{in} − V_{−}}{R_{1}} = \frac{V_{−} − V_{1}}{R_{2}}

da cui si ottiene:

V_{1} = V_{−} \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}} − v_{in} \frac{R_{2}}{R_{1}} (5.20)

D’altronde, la corrente nel carico é:

I_{L} = \frac{V_{+}}{R_{L}} = \frac{V_{−}}{R_{L}}

e la corrente in R_{4}

I_{4} = \frac{V_{1} − V_{−}}{R_{4}} = \frac{V_{−}}{R_{∥}}

dove R_{∥} é il parallelo di R_{3} ed R_{L}, per cui:

I_{4} = \frac{V_{−}(R_{3} + R_{L})}{R_{3}R_{L}} = (\frac{V_{−}}{R_{L}})\frac{R_{3} + R_{L}}{R_{3}} = \frac{I_{L}(R_{3} + R_{L})}{R_{3}}

Dalle ultime due equazioni si ottiene una relazione tra I_{L} e V_{1}:

V_{1} \frac{R_{3}}{R_{4}} = V_{−} \frac{R_{3}}{R_{4}} + I_{L}(R_{3} + R_{L})

Facendo ora uso della (5.20) otteniamo poi:

V_{−}(1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} )\frac{R_{3}}{R_{4}} − v_{in} \frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{4}} = V_{−} \frac{R_{3}}{R_{4}} + I_{L}(R_{3} + R_{L})

Scegliamo ora i valori delle resistenze in modo che sia:

\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{R_{4}}{R_{3}} (5.21)

l’ultima relazione diviene quindi:

V_{−} − v_{in} = I_{L}(R_{3} + R_{L})

dove V_{−} = R_{L}I_{L}. Si ottiene infine:

I_{L} = −\frac{v_{in}}{R_{3}}

Quindi la corrente nel carico dipende solo da v_{in} e dalla resistenza R_{3}. L’interesse di questo circuito, noto nella letteratura come ”Howland current source” é solo teorico, poiché esso richiederebbe un perfetto bilanciamento delle resistenze R_{1}, R_{2}, R_{3}, R_{4}, espresso dall’equazione (5.21). Nella pratica si fa uso dei circuiti con il transistor all’uscita dell’operazionale, che abbiamo giá discusso.

5.18 Applicazioni non-lineari degli operazionali

Se in un amplificatore operazionale uno degli ingressi (ad esempio quello invertente) é collegato a massa ed un segnale é applicato all’altro, l’uscita si porterá a +V_{cc} se il segnale applicato é positivo , a −V_{cc} se esso é negativo.

Un amplificatore operazionale puó cioé funzionare da comparatore, effettuando un confronto tra il segnale applicato all’ingresso invertente e quello applicato a quello non invertente (la massa nel nostro esempio). Si dice anche che un A.O. cosí adoperato funziona come un convertitore analogico-digitale ad 1 bit. Il bit, cioé l’uscita, é 1 se l’uscita é +V_{cc} e 0 se l’uscita é −V_{cc}. In un tipico A.O., la transizione tra i due livelli dell’uscita non é netta, ma avviene con continuitá mentre l’ingresso differenziale passa per lo zero, come mostrato in figura 5.29. Valori tipici del range di V_{i} in cui avviene la transizione sono alcuni mV. Esistono degli A.O. progettati appositamente per essere adoperati come comparatori. Questi sono in genere molto veloci ed il range di valori della differenza di potenziale V_{i} in cui avviene la transizione é molto piccolo (μV invece di mV).

Ci occuperemo in questa sezione e nelle seguenti di quelle applicazioni in cui l’A.O. funziona appunto come comparatore, con l’eventuale presenza di una reazione positiva tra uscita ed ingresso. Dispositivi di questo tipo sono utilizzati come comparatori con isteresi (trigger di Schmitt) o come multivibratori (per generare onde quadre, triangolari, etc.).

5.19 Comparatore con isteresi

Il circuito di figura 5.30, costituisce un comparatore con isteresi o trigger di Schmitt.

Indichiamo con V_{OH} il livello alto dell’uscita (quello che si ha per V_{+} > V_{−}) e con V_{OL} il livello basso. Ammettendo che l’uscita sia alta avremo, per il principio di sovrapposizione:

V_{+} = \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} V_{OH} + \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} V ≡ V_{RH}

Questo sará lo stato del circuito se v_{i} < V_{RH}. Se ora v_{i} comincia a salire, l’uscita del circuito si porterá al suo livello inferiore V_{OL} quando v_{i} supererá V_{RH}. Se v_{i} continua a salire, v_{o} manterrá il valore raggiunto V_{OL} In questa nuova situazione V_{+} varrá:

V_{+} = \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} V_{OL} + \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} V ≡ V_{RL}

Se ora v_{i} ricomincia a scendere, l’uscita del circuito si porterá al suo livello superiore solo quando sia: v_{i} < V_{RL}. Vediamo quindi che la transizione V_{OH} → V_{OL} avviene ad un valore della tensione di riferimento piú elevata che non quella corrispondente alla transizione opposta. Ció é mostrato in figura 5.31. Vediamo che, partendo da una situazione in cui v_{i} é minore di V_{RL} e quindi l’uscita é alta (v_{o} = V_{OH}), aumentando v_{i}, l’uscita rimane alta, fino a che l’ingresso non abbia superato V_{RH}. A questo punto l’uscita é bassa (v_{o} = V_{OL}) e rimane bassa all’aumentare di v_{i}. Se torniamo indietro, facendo diminuire v_{i}, l’uscita rimane bassa fino a che v_{i} non abbia raggiunto il valore V_{RL}. Il punto rappresentativo dello stato del sistema nel piano v_{i} − v_{o} descrive il perimetro del rettangolo mostrato in figura, nel verso indicato dalle frecce. Il rettangolo in questione rappresenta il ciclo d’isteresi del circuito.

Se quindi all’ingresso del circuito viene applicato un segnale variabile nel tempo, l’uscita si porterá ad un valore basso se l’ingresso supera la soglia alta V_{RH}, mentre la transizione opposta potrá aver luogo solo se il segnale applicato scende al di sotto della soglia bassa V_{RL}. Un esempio é quello mostrato in figura 5.32.

In questo esempio, i valori delle resistenze sono R_{1} = 5k ed R_{2} = 10k mentre V=0 e l’operazionale é alimentato a ±15V. L’input é una sinusoide di frequenza 60 Hz ed ampiezza ± 10 V. Con tale scelta dei parametri si ha:

V_{RH} = 5 V V_{RL} = −5 V

L’uscita é un’onda rettangolare di periodo uguale a quello della sinusoide. L’isteresi é definita dalla differenza V_{RH} − V_{RL}. Essa vale quindi:

V_{RH} − V_{RL} = \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} (V_{OH} − V_{OL})

Figura 5.31:

Il circuito puó esser modificato in modo tale che i due livelli della tensione d’uscita siano diversi dalle tensioni d’alimentazione. É sufficiente aggiungere al nodo d’uscita due diodi Zener contrapposti, come mostrato in figura 5.33.

I livelli di tensione in uscita sono ora:

V_{OL} = −(V_{Z} + V_{D})

V_{OH} = +(V_{Z} + V_{D})

5.20 Multivibratore astabile (generatore di onde rettangolari)

Il dispositivo mostrato in figura 5.34 puó essere adoperato per generare onde rettangolari. Esso é essenzialmente un trigger di Schmitt comandato da un integratore.

Le tensioni di riferimento del comparatore sono:

V_{RH} = V_{OH} \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} ( > 0 )

V_{RL} = V_{OL} \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} ( < 0 )

L’uscita sará alta fintanto che V_{−} non abbia raggiunto il valore V_{RH}. In tale istante (con V_{−} = V_{RH} > 0) l’uscita passa al valore basso V_{OL}(negativo). Ora il condensatore comincerá a caricarsi, con costante di tempo τ = RC verso il valore asintotico V_{OL}. Se prendiamo come istante zero quello in cui l’uscita é passata al valore basso V_{OL}, l’andamento di V_{C} = V_{−} sará:

V_{−} = (V_{RH} − V_{OL}) e^{−t/τ} + V_{OL}

Un’ulteriore commutazione dell’uscita verso il valore alto avrá luogo quando V_{−} = V_{RL}, cioé, usando l’ultima equazione scritta, quando:

V_{RL} − V_{OL} = (V_{RH} − V_{OL})e^{−t/τ}

cioé:

\frac{V_{RL} − V_{OL}}{V_{RH} − V_{OL}} = e^{−t/τ}

da cui si ottiene poi:

T_{1} ≡ t = τ ln \frac{V_{RH} − V_{OL}}{V_{RL} − V_{OL}}

In tale istante avremo V_{−} = V_{RL} e v_{o} = V_{OH}. Ora il condensatore comincerá nuovamente a caricarsi verso il valore asintotico V_{OH}, con costante di tempo τ. Avremo ora:

V_{−} = V_{OH} + (V_{RL} − V_{OH})e^{−t/τ}

La commutazione dell’uscita verso il valore basso V_{OL} avverrá per V_{−} = V_{RH}. Il nuovo intervallo di tempo T_{2} sará ora ottenibile dall’equazione:

V_{RH} = V_{OH} + (V_{RL} − V_{OH})e^{−T_{2}/τ}

Si ottiene:

T_{2} = τ ln \frac{V_{RL} − V_{OH}}{V_{RH} − V_{OH}}

Se vogliamo che il segnale in uscita sia un’onda quadra, cioé che sia T_{1} = T_{2}, deve essere:

\frac{V_{RH} − V_{OL}}{V_{RL} − V_{OL}} = \frac{V_{RL} − V_{OH}}{V_{RH} − V_{OH}}

che é soddisfatta solo se é:

V_{OL} = −V_{OH}

con che é anche:

V_{RL} = −V_{RH}

Il periodo dell’onda quadra varrá ora:

T = T_{1} + T_{2} = 2τ ln \frac{V_{RL} − V_{OH}}{V_{RH} − V_{OH}} = 2τ ln \frac{V_{RH} + V_{OH}}{V_{OH} − V_{RH}}

dove é:

V_{RH} = V_{OH} \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}}

per cui si ha infine:

T = 2τ ln(1 + 2\frac{R_{1}}{R_{2}} )

La figura 5.35 mostra l’andamento temporale del segnale all’uscita dell’A.O. e di quello all’ingresso invertente, per un tipico circuito di questo tipo.

Il generatore di onde quadre appena discusso ha un’ampiezza che dipende dalla tensione d’alimentazione dell’operazionale. Se si vuole un’ampiezza di tensione in uscita fissata ad un valore diverso (minore), é sufficiente porre in uscita due diodi Zener contrapposti, come indicato in figura 5.36.

Si puó vedere che in tal caso il periodo vale:

T = 2τ ln(1 + 2\frac{R_{1}}{R_{2}} )

come nel caso precedente. Il periodo é cioé indipendente dall’ampiezza.

Se poi si vuol modificare il circuito in modo che sia T_{1} ≠ T_{2}, é sufficiente fare in modo che la costante di tempo relativa alla salita del segnale sia diversa da quella relativa alla discesa. Ció puó esser ottenuto sostituendo la resistenza R con il circuito mostrato in figura 5.37.

Si vede che quando l’uscita é positiva, D_{1} conduce mentre D_{2} é interdetto. La costante di tempo ora é RC ed il relativo periodo é:

T_{1} = RC ln(1 + 2\frac{R_{1}}{R_{2}} )

Quando l’uscita é negativa, D_{1} é interdetto e D_{2} conduce. La relativa costante di tempo ora é R’C ed il relativo semiperiodo é:

T_{1} = R′C ln(1 + 2\frac{R_{1}}{R_{2}} )

5.21 Multivibratore monostabile

Il multivibratore astabile discusso in precedenza puó esser trasformato in uno monostabile se si impedisce al condensatore di caricarsi al valore V_{RH}. Ció puó essere ottenuto semplicemente ponendo un diodo in parallelo al condensatore, come mostrato in figura 5.38.

Ora la tensione V_{c} ai capi del condensatore é bloccata al valore V_{γ} della tensione del diodo in conduzione. Di conseguenza non puó piú aversi la commutazione della tensione in uscita dal livello superiore V_{OH} a quello inferiore V_{OL}. Lo stato stabile del sistema é quindi quello in cui V_{+} > V_{−} e quindi V_{O} = V_{OH} > 0. La commutazione allo stato V_{OL} puó aversi solo se si applica all’ingresso non invertente un segnale negativo di ampiezza maggiore di V_{RH} −V_{γ}. Ponendo t=0 nell’istante in cui avviene la commutazione, a partire da tale istante il condensatore, carico alla tensione V_{γ}, dovrá scaricarsi con costante di tempo τ = RC al valore asintotico V_{OL}. Cioé:

V_{−} = V_{c} = V_{OL} + (V_{γ} − V_{OL}) e^{−t/τ}

La commutazione V_{OL} → V_{OH} avviene quando V_{−} = V_{RL}, cioé:

\frac{V_{RL} − V_{OL}}{V_{γ} − V_{OL}} = e^{−T/τ}

da cui si puó ricavare la durata T dell’impulso (negativo) di tensione all’uscita dell’operazionale:

T = τ \frac{V_{γ} − V_{OL}}{V_{RL} − V_{OL}}

dove:

V_{RL} = V_{OL} \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}}

da cui si ottiene infine per T:

T ≈ τ ln(1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} )

Figura 5.37:

La durata dell’impulso generato dipende quindi solo dalle resistenze e dalla costante di tempo τ. Per effetto della commutazione la capacitá C tenderá ora a caricarsi con legge esponenziale verso la tensione V_{OH}. Quando peró V_{c} raggiunge il valore V_{γ}, il diodo D_{1} entra in conduzione ed il sistema rimane nello stato stabile raggiunto, fino all’arrivo di un nuovo impulso negativo. Ovviamente, la foma dell’impulso V_{in} é irrilevante, purché la sua ampiezza sia sufficiente a dar origine alla transizione. L’escursione del segnale in uscita puó anche ora esser limitata, inserendo due diodi Zener contrapposti, come giá visto nel caso dell’astabile.

5.22 Generatore di onde triangolari

Se si esamina il generatore di onde quadre visto in precedenza, si nota (vedi fig 5.35) che la tensione al terminale invertente aumenta e poi diminuisce con legge esponenziale, con una costante di tempo τ = RC. Ció é legato al fatto che la corrente che carica il condensatore non é costante, essendo limitata dal simultaneo aumento della differenza di potenziale tra i terminali del condensatore e conseguente caduta di potenziale ai capi della resistenza R.

Con riferimento alla figura 5.39, abbiamo:

Ri = V_{R}

Figura 5.39:

da cui:

i = \frac{V_{R}}{R} = \frac{(V − V_{C})}{R}

Inoltre é:

V_{C} = \frac{∫ i dt}{C}

ne segue che, con V_{R} = V − V_{C}, i diminuisce all’aumentare di V_{C}. Se volessimo un V_{C} che aumenta linearmente con il tempo, dovremmo alimentare C con una corrente costante:

V_{C} = \frac{i}{C} dt

Questa situazione puó essere approssimata ragionevolmente bene da un integratore RC realizzato con un operazionale, il quale fornisce al condensatore una corrente approssimativamente costante.

Il circuito é quello di figura 5.40.

Ammettiamo che la tensione v_{o} all’uscita del comparatore sia al suo limite inferiore: −v_{o} = −(V_{Z} + V_{γ}). Ora sull’ingresso invertente dell’integratore abbiamo un segnale negativo. L’uscita V(t) sará una rampa crescente e la tensione al terminale non invertente del comparatore sará:

V_{1} = −v_{o} \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} + V (t)\frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}}

Figura 5.41:

Quando V_{1} raggiunge la tensione di riferimento V_{R}, il comparatore cambia stato: v_{o} = +(V_{Z} + V_{γ}) e V(t) comincia a decrescere linearmente (vedi figura 5.41).

Il massimo della funzione d’onda triangolare si ha quando V_{1} = V_{R}, cioé:

V_{R} = −v_{o} \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} + V_{max} \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}}

da cui:

V_{max} = V_{R} \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}} + v_{o} \frac{R_{2}}{R_{1}}

Analogamente:

V_{min} = V_{R} \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}} − v_{o} \frac{R_{2}}{R_{1}}

Ed infine:

V_{max} − V_{min} = 2v_{o} \frac{R_{2}}{R_{1}}

e:

\overline{V} = V_{medio} = V_{R} \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}}

Per V_{R} = 0 la funzione é simmetrica in ampiezza: V_{max} = −V_{min}. Quindi il valor medio é controllabile variando V_{R} e l’ampiezza variando il rapporto R_{2}/R_{1}.

Calcoliamo ora i periodi T_{1} e T_{2} indicati in figura 5.41 ammettendo che sia V_{s} = 0. Possiamo calcolare T_{1} dalla relazione:

T_{1} = (V_{max} − V_{min})/tanα

dove tanα = dV/dt é il rate di salita del segnale in uscita. Questo é dV/dt = I/C = v_{o}/RC. Quindi:

T_{1} = \frac{V_{max} − V_{min}}{v_{o}/RC} = \frac{2v_{o}R_{2}/R_{1}}{v_{o}/RC} = 2\frac{R_{2}}{R_{1}} RC

Notiamo che |β| = |α|, quindi T_{1} = T_{2}. Ne segue:

T = T_{1} + T_{2} = 4\frac{R_{2}}{R_{1}} RC

f = \frac{1}{T} = \frac{R_{1}}{R_{2}} \frac{1}{4RC}

5.23 Limitatori e rettificatori

Un A.O. puó esser utilizzato, per realizzare un limitatore. Un esempio é quello mostrato in figura 5.42.

Figura 5.42:

Se il diodo é interdetto il circuito si comporta come un normale amplificatore invertente e la tensione in uscita sará data da:

v_{o} = −\frac{R_{2}}{R_{1}} v_{i}

Il diodo comincerá a condurre se la differenza di potenziale ai suoi capi supera V_{γ}. Ció accade quando la tensione in ingresso v_{i} soddisfa la condizione:

\frac{v_{i}}{R_{1}} = −\frac{v_{o}}{R_{2}} = \frac{V_{γ}}{R_{2}}

Cioé:

v_{i} = \frac{R_{1}}{R_{2}} V_{γ}

In altri termini, il diodo potrá condurre se:

v_{i} ≥ \frac{R_{1}}{R_{2}} V_{γ}

In tali condizioni la tensione in uscita sará uguale a quella presente sul terminale invertente (0 V) diminuita del V_{γ} del diodo:

v_{o} = −V_{γ}

In definitiva avremo in uscita un segnale di tensione pari a −V_{γ} se v_{i} ≥ (R_{1}/R_{2})V_{γ} ed uguale a −v_{i} R_{2}/R_{1} se tale condizione non é soddisfatta.

In figura 5.43 si puó vedere il segnale in uscita da un tale circuito (con R_{1} = R_{2}) nel caso in cui il segnale in ingresso sia una sinusoide.

Figura 5.43:

Se si vuol limitare ad un livello diverso dal V_{γ} del diodo, si puó sostituire questo con la serie di un diodo ed uno Zener, come mostrato in figura 5.44

Ora la corrente nel ramo contenente i diodi puó circolare solo nel verso del diodo D, se la differenza di potenziale ai capi del ramo in questione supera il valore V_{Z} +V_{γ}, cioé quando la tensione in uscita v_{o} é pari a −(V_{Z} + V_{γ}). Ció accade quando é:

\frac{v_{i}}{R_{1}} = −\frac{V_{Z} + V_{γ}}{R_{2}}

Se quindi v_{i} é negativo e maggiore in modulo del valore:

\frac{(V_{Z} + V_{γ})R_{1}}{R_{2}}

l’uscita é bloccata a −(V_{Z} + V_{γ}). Se v_{i} é invece maggiore di

−\frac{(V_{Z} + V_{γ})R_{1}}{R_{2}} (5.22)

il ramo contenente i diodi sará interdetto ed il circuito si comporterá come un normale amplificatore invertente, con uscita data da:

v_{o} = −\frac{R_{2}}{R_{1}} v_{i}

La funzione di trasferimento di tale circuito é mostrata in figura 5.45, dove abbiamo indicato con V g il V_{γ} del diodo e con V_{min} la tensione di soglia data dall’equazione (5.22).

Figura 5.45:

Un limitatore a due livelli diversi é ottenibile sostituendo nell’ultimo circuito al diodo D un secondo Zener, con polaritá opposta a quella del primo. Il relativo circuito, il cui funzionamento é analogo ai precedenti, é mostrato in figura 5.46

5.24 Rivelatori di picco

In molte applicazioni é necessario conoscere e memorizzare il valore di picco che un segnale di tensione ha raggiunto in un certo intervallo di tempo. Ció puó esser ottenuto facendo si che il segnale di tensione in questione carichi una capacitá durante l’intervallo di tempo in cui il segnale di tensione continua a salire e sia invece disconnesso dalla medesima capacitá negli intervalli di tempo successivi, quando il segnale di tensione diminuisce.

Un circuito che potrebbe realizzare tale funzione (per segnali d’ingresso positivi) é quello di figura 5.47, costituito da un diodo ed una capacitá.

Figura 5.47:

Se il diodo é ideale, esso é polarizzato direttamente quando la differenza tra la tensione in ingresso v_{i} e quella ai capi del condensatore v_{o} rimane superiore al V_{γ} del diodo. Se v_{o} ha raggiunto un certo valore V_{max} ed ora v_{i} comincia a diminuire, il diodo viene ad esser polarizzato inversamente e la tensione d’uscita rimane bloccata al valore V_{max}. Uno degli inconvenienti di questo circuito é costituito dal fatto che la tensione in uscita non é uguale a quello in ingresso, ma differisce da essa del V_{γ} del diodo, che oltretutto dipende dalla temperatura. Un circuito che ovvia a tale inconveniente é quello di figura 5.48.

Questo é simile ad un limitatore per segnali positivi (senza la resistenza posta in parallelo al diodo) e con un condensatore posto tra l’uscita dell’A.O. e massa.

Esaminiamo il funzionamento di tale circuito. Se v_{i} > V_{−} = v_{o} = V_{c}, il segnale presente al terminale non invertente é maggiore di quello presente al terminale invertente. In tali condizioni V′ tende a salire ed a portarsi eventualmente abbastanza al di sopra di V_{c} da mandare il diodo in conduzione. Ora il circuito si comporterá da inseguitore di tensione ed il condensatore si porterá allo stesso potenziale v_{i} dell’ingresso.

Quando v_{i} scende al di sotto della tensione presente in uscita V_{c}, l’uscita dell’A.O. diventa negativa ed il diodo é interdetto. Vediamo cosí che il condensatore si carica fino a che la sua tensione non raggiunge il massimo tra tutti i valori del segnale applicato in ingresso. Per resettare il circuito si dovrá far uso di un interruttore, ed a tale scopo si puó adoperare un interruttore a JFET o MOSFET posto ai capi del condensatore, come mostrato in figura 5.49.

Figura 5.49:

La configurazione del rivelatore di picco appena discussa presenta alcuni inconvenienti. In primo luogo, se il segnale in ingresso é minore di quello ai capi del condensatore, l’operazionale satura al suo valore negativo. Inoltre, l’uscita del circuito dovrá essere accoppiata ad un eventuale carico (ad esempio, il sistema che dovrá essere utilizzato per leggere il segnale in tensione presente ai capi del condensatore). L’impedenza finita di tale carico fará si che il condensatore si scarichi.

Entrambi gli inconvenienti possono essere risolti facendo uso del circuito mostrato in figura 5.50.

Figura 5.50:

L’operazionale presente in uscita é un inseguitore di tensione. Ora il condensatore vede l’elevata impedenza d’ingresso dell’inseguitore (che alimenterá l’eventuale carico). La costante di tempo di scarica del condensatore diventa ora molto grande ed il secondo dei problemi menzionati é in tal modo risolto.

Il diodo D1 inserito tra l’uscita dell’operazionale e massa a sua volta impedisce che la tensione d’uscita dell’A.O. possa assumere valori negativi inferiori a −V_{γ} e ció risolve il primo dei problemi menzionati.

5.25 Limiti degli amplificatori operazionali

Abbiamo finora ammesso che l’A.O. abbia le caratteristiche ideali descritte all’inizio del capitolo. In realtá un A.O. reale ha caratteristiche che differiscono da quelle ideali. Vogliamo ora esaminare alcuni di questi limiti e valutarne le conseguenze.

Piú in particolare, occorre tener conto dei seguenti effetti:

• Amplificazione non infinita

• Banda passante finita

• Correnti d’ingresso e differenza tra le correnti d’ingresso

• Impedenza d’ingresso finita

• Tensione di offset in ingresso

• Slew rate

• Impedenza d’uscita non nulla

Cominciamo ad esaminare le conseguenze dell’amplificazione finita dell’A.O., con riferimento all’amplificatore invertente di figura 5.51.

Se A non é infinito, non possiamo piú far uso del principio della massa virtuale. Calcoliamo l’uscita continuando a considerare infinita l’impedenza d’ingresso, e quindi nulla la corrente che entra nel terminale invertente. L’intera corrente fluisce cioé nel ramo R_{1} − R_{2}. Avremo quindi:

i = \frac{v_{i} − V_{−}}{R_{1}} = \frac{V_{−} − v_{o}}{R_{2}}

da cui:

\frac{v_{i}}{R_{1}} = V_{−}(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} ) − \frac{v_{o}}{R_{2}}

con:

V_{−} = −\frac{v_{o}}{A}

per cui si ottiene:

v_{o} = −\frac{R_{2}}{R_{1}} (\frac{1}{1 + (R_{1} + R_{2})/AR_{1}} ) v_{i}

Ora teniamo conto del fatto che, se v_{o} é la tensione in uscita, la frazione di questa che il partitore R_{1} − R_{2} riporta in ingresso é:

β = \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}}

a β si da il nome di fattore o coefficiente di reazione. L’ultima relazione si puó allora scrivere:

v_{o} = −\frac{R_{2}}{R_{1}} (\frac{1}{1 + 1/βA}) v_{i}

Il guadagno con reazione nel caso concreto di un valore finito di A é quindi:

A_{vf} = −\frac{R_{2}}{R_{1}} (\frac{1}{1 + 1/βA})

che, nel caso di un A infinitamente grande ci avrebbe dato il guadagno ideale:

A_{v} = −\frac{R_{2}}{R_{1}}

Il rapporto tra guadagno reale e guadagno ideale é:

\frac{A_{vf}}{A_{v}} = \frac{1}{1 + 1/βA} (5.23)

Per un dato valore di A, il guadagno reale differirá tanto piú dal guadagno ideale quanto maggiore é il guadagno ideale richiesto, determinato dalla scelta dei componenti R_{1} ed R_{2}. Ad esempio, se A=100,000 e chiediamo un guadagno (ideale), cioé un rapporto R_{2}/R_{1} pari a 1000, avremo per il coefficiente di reazione:

β = \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{1}{1 + R_{2}/R_{1}} = 0.001

per cui: 1/(βA) = 0.01 ed il rapporto dato dall’equazione (5.23) sará uguale a 1/1.01=0.99. Se avessimo chiesto un guadagno 10 volte maggiore, cioé un valore del rapporto \frac{R_{2}}{R_{1}} pari a 10,000, β sarebbe stato 10 volte piú piccolo, cioé 0.0001, βA sarebbe stato pari a 10, ed il rapporto tra quadagno reale ed ideale sarebbe stato pari a 1/1.1=0.91.

Vediamo in definitiva che l’effetto del guadagno finito dell’A.O. é tanto maggiore quanto piú forte si fa la richiesta sul guadagno dell’amplificatore invertente. Notiamo per inciso che la richiesta di un guadagno elevato si traduce in un piccolo fattore di reazione β.

Una situazione analoga si riscontra nel caso dell’amplificatore in configurazione non-invertente. É facile verificare, in modo analogo a quello seguito in precedenza, che il guadagno in questione, nel caso di un’amplificazione A finita, é dato da:

A_{vf} = (1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} )\frac{1}{1 + 1/Aβ}

mentre quello ideale sarebbe stato:

A_{v} = 1 + \frac{R_{2}}{R_{1}}

Il rapporto tra guadagno reale ed ideale é allora:

\frac{A_{vf}}{A_{v}} = \frac{1}{1 + 1/Aβ}

Quindi anche in questo caso l’amplificazione differirá da quella ideale se β é molto minore di 1, cioé se si vuole un guadagno ideale molto grande.

Il prodotto Aβ vá sotto il nome di guadagno della catena o loop gain. Questo termine deriva dal fatto che, se un segnale v_{i} é applicato all’ingresso di un amplificatore di guadagno A, il segnale presente in uscita é Av_{i} e la catena di reazione riporta in ingresso una frazione β di questo, per cui βA rappresenta appunto il guadagno complessivo della catena costituita dall’amplificatore piú la rete di reazione. Il guadagno dell’amplificatore reazionato sará grande se il ”loop gain” é piccolo. Al guadagno A_{vf} si da poi il nome di guadagno a catena chiusa. Il guadagno A di un amplificatore indicato dai costruttori é di regola quello misurato a frequenza molto bassa o in DC.

C’é poi da tener conto della banda passante non infinita dell’A.O. Il guadagno A diminuisce molto al crescere della frequenza. In molti amplificatori, l’andamento di A in funzione della frequenza puó essere schematizzato come:

A(s) = \frac{A_{0}}{1 + sτ_{p}}

dove s = jω ed 1/τ_{p} rappresenta la frequenza alla quale il guadagno si riduce di un fattore 2 rispetto a quello a basse frequenze. Questa puó variare tra 1Mhz e 10 Mhz in un tipico amplificatore. L’andamento del modulo di A(ω) in funzione di ω in un diagramma di Bode é caratterizzato da una pendenza negativa di 6 dB/ottava.

Sostituendo questa espressione nella (5.23) troviamo:

A_{vf}(s) = \frac{A_{v}(ideale)}{1 + \frac{1+sτ_{p}}{A_{0}β}} (5.24)

che a basse frequenze, dove il termine sτ_{p} ≪ 1 diventa:

A_{vf}(DC) = \frac{A_{v}(ideale)}{1 + \frac{1}{A_{0}β}} (5.25)

Dividendo la (5.24) per la (5.25) si ha poi:

\frac{A_{vf}(s)}{A_{vf}(DC)} = \frac{1}{1 + \frac{sτ_{p}}{1+βA_{0}}}

In molte applicazioni é A_{0}β ≫ 1 per cui:

A_{vf}(s) = \frac{A_{vf}(DC)}{1 + \frac{sτ_{p}}{βA_{0}}}

che, ponendo ω_{T} uguale al prodotto del guadagno a bassa frequenza A_{0} per la larghezza di banda 1/τ_{p} dell’A.O.:

ω_{T} = \frac{A_{0}}{τ_{p}}

puó essere riscritta come:

A_{vf}(s) = \frac{A_{vf}(DC)}{1 + \frac{s}{βω_{T}}}

Si vede da quest’ultima espressione che la larghezza di banda ai 3 dB (cioé la frequenza in corrispondenza alla quale il modulo dell’ampiezza si é ridotto di un fattore \sqrt{2} rispetto al valore DC) é:

ω_{c} = βω_{T}

Poiché 1/β é all’incirca uguale al guadagno (ideale) A_{vf} dell’amplificatore con reazione, vediamo da quest’ultima relazione che:

A_{vf} ω_{c} = ω_{T}

cioé che il prodotto del guadagno per la larghezza di banda é costante.

Esaminiamo ora il problema delle correnti di bias, dell’offset di tali correnti e dell’offset della tensione d’ingresso. Quella che é nota come la Input bias current o in breve I_{i} é la corrente di polarizzazione. Essa é la media aritmetica delle correnti entranti nei terminali non-invertente ed invertente:

I_{i} = \frac{I_{B1} + I_{B2}}{2}

Ad esempio, tale corrente nel caso dell’integrato μA741 vale tipicamente 80 nA; nel caso di A.O. con ingresso a FET essa ha valori dell’ordine di qualche pA.

La Input offset current (I_{io}) indica la differenza delle correnti entranti nei due terminali:

I_{io} = I_{B1} − I_{B2}

Tale parametro vale circa 20 nA nel caso del μA741. L’Input offset voltage (v_{os})indica la differenza di potenziale da applicare tra i terminali d’ingresso per azzerare l’uscita. Infatti, a causa delle dissimetrie interne all’integrato l’uscita potrá andare ad un valore non nullo con una identica tensione applicata ai due terminali d’ingresso. Per il μA741 un valore tipico é 2 mV. Esistono A.O. con valori della v_{os} di pochi μV. Per A.O. con ingresso a FET la v_{os} tipica é di 5 mV.

Esaminiamo ora l’effetto che sull’amplificatore invertente hanno le correnti d’ingresso e la tensione di offset. Questi possono essere schematizzati come mostrato in figura 5.52.

Figura 5.52:

I_{B1} ed I_{B2} sono le correnti d’ingresso; v_{os} la tensione di offset.

Nel caso di un amplificatore invertente possiamo calcolare l’effetto di questi parametri sull’uscita facendo uso del principio di sovrapposizione e della schematizzazione di figura 5.53.

Avremo:

1. Senza correnti o tensioni di offset: v_{o} = −\frac{R_{2}}{R_{1}} v_{i}

2. Con solo v_{os} : v_{o} = (1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} )v_{os}

3. Con solo I_{B1}: v_{o} = R_{2}I_{B1}

4. Con solo I_{B2}: v_{o} = −R_{3}I_{B2}(1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} )

In presenza di tutti questi contributi:

v_{o} = −\frac{R_{2}}{R_{1}} v_{i} + (1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} )v_{os} + R_{2}I_{B1} − R_{3}I_{B2}(1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} )

Se scegliamo R_{3} uguale al parallelo di R_{1} ed R_{2}, avremo per i due termini dovuti alle correnti di offset:

R_{2}I_{B1} − R_{3}I_{B2}(1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} ) = R_{2}(I_{B1} − I_{B2})

Poiché la differenza tra le due correnti é molto minore di ciascuna singola corrente, si vede che la scelta fatta riduce in modo sostanziale l’effetto delle correnti d’ingresso. Si vede da ció che una buona regola pratica da seguire é quella di far si che entrambi i terminali vedano la medesima resistenza. L’errore dovuto a v_{os} puó esser compensato in alcuni A.O. da un apposito circuito di compensazione; in altri casi occorre applicare una differenza di potenziale tra gli ingressi, tale da annullare l’effetto.

Se un ingresso dell’A.O. é accoppiato allo stadio precedente in modo capacitivo, come nel caso dell’amplificatore non invertente di figura 5.54, una resistenza addizionale dovrá essere inserita tra tale ingresso e massa, per consentire un cammino alla corrente di polarizzazione.

Figura 5.54:

L’ultimo dei problemi di cui ci occuperemo in connessione con gli A.O. é quello dello slew-rate. Questo termine si riferisce al fatto che un A.O. puó far variare la tensione in uscita con una rapiditá limitata.

Se applichiamo all’ingresso non invertente di un A.O. il cui ingresso invertente sia collegato a massa, un impulso positivo di tensione, come indicato in figura 5.55, l’uscita non seguirá istantaneamente l’ingresso, ma salirá con una pendenza noninfinita, come indicato in figura. Ci si riferisce a tale pendenza quando si parla di slew-rate.

Tale parametro é comunemente espresso da:

SR = \frac{ΔV}{Δt}

dove ΔV é la variazione della tensione in uscita e Δt l’intervallo di tempo in cui tale variazione ha avuto luogo.

Valori tipici dello SR vanno da circa 0.01 V/μs a qualche migliaio di V/μs. Va notato che lo SR per transizioni positive puó differire da quello relativo a transizioni negative.

Il fatto che il segnale in uscita non segua istantaneamente la variazione di quello in ingresso fa si che, in presenza di feedback negativo, l’ingresso invertente non segua quello non-invertente ma nasca una d.d.p. finita tra i due. Tale differenza di potenziale altera in modo significativo il funzionamento del circuito.

Lo SR ha origine nella struttura interna degli A.O. e piú in particolare nelle capacitá adoperate per ottenere una buona risposta in frequenza. In molti schemi di A.O. l’escursione totale del segnale di tensione in uscita si presenta ai capi della capacitá di compensazione, che ha un valore tipico di 30 pF. Poiché in genere la corrente I che carica tale capacitá é dell’ordine di 30 μA, avremo:

I = C \frac{dV}{dt}

da cui si ottiene come ordine di grandezza dello SR in questo tipo di A.O.:

SR = \frac{dV}{dt} = \frac{I}{C} = 1 \frac{V}{μs}

Figura 5.55:

Il timer 555

6.1 Introduzione

Abbiamo giá incontrato circuiti che generano delle forme d’onda periodiche di tipo sinusoidale o rettangolare. Ad esempio gli oscillatori sinusoidali a transistor o gli oscillatori basati su amplificatori operazionali. Abbiamo anche esaminato i circuiti bistabili e quelli monostabili, quale ad esempio il trigger di Schmitt. L’integrato che ora esamineremo é in grado di funzionare indifferentemente come oscillatore, come trigger di Schmitt o come circuito bistabile. Esso é noto con il nome di circuito di temporizzazione (timer) 555. Esamineremo in questa sezione alcuni esempi di applicazione di tale circuito. La struttura base del 555 é quella mostrata in figura 6.1

Figura 6.1:

L’integrato contiene due comparatori, un flip-flop di tipo RS, due transistor, un buffer (inseguitore di tensione) e tre resistenze.

Le tre resistenze uguali R costituiscono un partitore il quale consente di avere nei punti A e B rispettivamente le tensioni 2/3V_{cc} ed 1/3V_{cc}. Tali tensioni vengono usate come riferimento da due comparatori. L’uscita di AO_{1} é positiva se al piedino 6 (noto come ingresso di threshold) é applicata una tensione maggiore di 2/3V_{cc}, negativa nel caso opposto. L’uscita di AO_{2} risulta positiva se al piedino 2 (noto come ingresso di trigger) é applicata un tensione minore di 1/3V_{cc}, negativa nel caso opposto. Le uscite di AO_{1} e AO_{2} vanno a pilotare rispettivamente i piedini di Reset e di Set di un flip-flop di tipo RS. Per questo flip-flop, segnali di tensione negativi agli ingressi valgono come un segnale logico 0. L’uscita Q del FF é collegata al piedino 3 tramite un buffer che serve a rendere l’uscita indipendente dal carico esterno. Il transistor T1, la cui base é unita all’uscita \overline{Q} del RS, si comporta da invertitore: se \overline{Q} é alto, esso é in saturazione e l’uscita 7 é bassa. Viceversa, se \overline{Q} é basso T1 é interdetto. Il transistor T2 puó essere adoperato per resettare il flip-flop. Se non si vuole adoperarlo, il piedino 4 va collegato alla tensione alta (transistor pnp interdetto).

Esamineremo ora il modo in cui tale circuito puó essere adoperato per realizzare un multivibratore astabile.

6.1.1 Multivibratore astabile

Un utilizzo del 555 come generatore di segnali rettangolari (astabile) é mostrato in figura 6.2.

In questo circuito il ruolo fondamentale é svolto dalle resistenze R_{1} ed R_{2} nonché dal condensatore C_{1}.

Figura 6.2:

Quest’ultimo é periodicamente caricato tramite le resistenze R_{1} ed R_{2} e scaricato attraverso la resistenza R_{2}. Il condensatore C_{2} serve ad eliminare fluttuazioni di tensione nel punto del partitore (vedi figura 6.1) che é a 2/3V_{cc}.

Esaminiamo in dettaglio ció che accade. Ammettiamo che il condensatore C_{1} sia inizialmente scarico (potenziale del punto P uguale a zero). L’uscita del comparatore AO_{2} é quindi inizialmente uguale ad 1 (livello alto) mentre quella del comparatore AO_{1} é inizialmente uguale a 0. Quindi all’inizio abbiamo Q = 1 , \overline{Q} = 0 e T_{1} interdetto. Ora il condensatore C comincia a caricarsi verso la tensione V_{cc} attraverso R_{1} + R_{2}, con costante di tempo :

τ_{1} = C_{1}(R_{1} + R_{2})

Quando la tensione del punto P raggiunge il valore 1/3V_{cc}, l’uscita del comparatore AO_{2} va a 0 (S=0) mentre R rimane uguale a zero. Quindi lo stato del flip-flop non cambia. Quando la tensione del punto P raggiunge il valore 2/3V_{cc}, S rimane 0 mentre ora R va ad 1. Ora il flip-flop cambia stato: Q diventa basso e \overline{Q} alto. Con \overline{Q} alto, il transistor T_{1} va in saturazione e V_{CE} = 0. Poiché l’emettitore é collegato a massa, avremo che il punto P’, che é collegato al collettore, sará ad una tensione praticamente nulla. Il condensatore C_{1} comincerá ora a scaricarsi dal valore di tensione che aveva raggiunto (2/3V_{cc}) verso lo zero, con costante di tempo:

τ_{2} = C_{1}R_{2}

Quando la tensione nel punto P raggiungerá il valore (1/3V_{cc}), il comparatore AO_{2}, collegato all’ingresso di Set va ad 1 mentre l’ingresso di Reset rimane uguale a zero. Con ció l’uscita \overline{Q} del flip-flop va a 0, il transistor T_{1} si interdice ed il ciclo ricomincia. L’andamento delle tensioni V_{P} e V_{out} é quello mostrato in figura 6.3. Vediamo che l’andamento della tensione V_{P} é quella tipica della carica e scarica di un condensatore, mentre V_{out} é un’onda rettangolare.

Figura 6.3:

Con una semplice modifica, quale quella mostrata in figura 6.4, si puó ottenere un multivibratore astabile con duty-cycle variabile. Nell’esempio, la serie delle resistenze R_{1} −R_{2} di figura 6.2 é sostituita dalla serie R_{4} −R_{1}, dove R_{1} é il ramo sinistro del potenziometro R_{P}. La carica del condensatore C_{1} é caratterizzata quindi da una costante di tempo:

τ_{1} = (R_{4} + R_{1})C_{1}

La scarica avviene invece, a causa dei diodi, attraverso la serie R_{3} −R_{2}, con costante di tempo:

τ_{2} = (R_{3} + R_{2})C_{1}

Ruotando il potenziometro R_{P} si puó quindi modificare il duty-cycle del segnale in uscita. Si puó verificare che, con i valori delle resistenze e delle capacitá indicati in figura, la frequenza di oscillazione é di 100 Hz ed il duty-cycle puó esser fatto variare tra lo 0.1% ed il 99.9%.

Figura 6.4:

6.2 Multivibratore monostabile

Un circuito monostabile (one-shot) puó esser ottenuto utilizzando il 555 nella configurazione di figura 6.5.

Figura 6.5:

Ammettiamo infatti che, in condizioni di riposo, sia V_{in} > 1/3V_{cc}. L’uscita del comparatore inferiore nel 555 sará allora bassa ed S=0. Se ammettiamo inoltre che C sia scarico, avremo V_{P} = 0 e l’uscita del comparatore superiore sará bassa (R=0). Con ció, lo stato del FF non cambia. Se quindi inizialmente é Q = 0, \overline{Q} = 1, tale stato rimarrá inalterato. Se il condensatore C fosse stato carico, con V_{P} > 2/3V_{cc}, l’uscita del comparatore superiore sarebbe stata alta (R=1) e quindi avremmo avuto \overline{Q} = 1. Con ció, il transistor d’uscita del 555 sarebbe andato in saturazione, il che avrebbe riportato V_{P} a zero. Vediamo cosí che lo stato Q = 0, \overline{Q} = 1 é uno stato stabile del sistema.

Se ora inviamo in ingresso un impulso di tensione negativo l’uscita del comparatore inferiore diverrá alta ed il FF verrá ad essere settato (Q = 1, \overline{Q} = 0). Ora il transistor d’uscita del 555 sará interdetto ed il condensatore comincerá a caricarsi con costante di tempo τ = RC. Avremo cioé:

V_{P} = V_{cc} (1 − e^{−t/τ} )

Notiamo che quando V_{P} raggiunge il valore 1/3V_{cc} l’uscita del comparatore inferiore passerá al livello basso (S=0) ma, poiché R é ancora uguale a 0, lo stato del FF non cambia. Quando la tensione V_{P} raggiunge il valore 2/3V_{cc}, l’uscita del comparatore superiore passa al livello alto (R=1), il FF commuta ed avremo Q = 0, \overline{Q} = 1. Il condensatore si scarica rapidamente attraverso il transistor d’uscita del 555, ora in saturazione.

Vediamo che l’uscita del 555 rimane alta per il tempo necessario perché la tensione sul condensatore passi dal valore iniziale (V_{P} = 0) al valore 2/3V_{cc}. La durata T dell’impulso in uscita é cioé data da:

V_{cc} (1 − e^{−T/τ} ) = \frac{2}{3}V_{cc}

cioé:

T = ln 3 · τ = ln 3 · RC

Perché il circuito funzioni correttamente occorre che l’impulso di trigger sia piú corto di T.

Forme d’onda tipiche per questo circuito sono mostrate in figura 6.6. Qui il grafico superiore é la forma d’onda applicata in ingresso, quello intermedio l’uscita e quello inferiore l’andamento della tensione V_{P} = V_{c}.

Un’applicazione tipica di questo circuito é come pulse stretcher; esso é cioé adoperato per produrre degli impulsi di durata predeterminata, a partire da impulsi di trigger di breve durata.

6.3 Trigger di Schmitt

Un’ulteriore applicazione del 555 é come circuito di trigger, con soglia relativa alla transizione dell’uscita dal livello basso a quello alto superiore alla soglia relativa alla transizione opposta. Esso é cioé un Trigger di Schmitt, di cui abbiamo giá incontrato un esempio nella sezione relativa agli amplificatori operazionali. Il funzionamento del circuito é estremamente semplice. Se i piedini 2 e 6 del 555 (cioé gli ingressi di threshold e di trigger) sono uniti insieme ed adoperati come ingresso V_{in}, si vede che se V_{in} supera i 2/3V_{cc} si ha S = 0, R = 1, con che Q diviene basso. Se ora V_{in} scende sotto 2/3V_{cc}, lo stato del FF non cambia, poiché ora sia R che S sono 0. La transizione allo stato complementare (cioé Q alto) si ha soltanto quando V_{in} scende sotto il valore 1/3V_{cc}. Questo é il comportamento appunto di un trigger di Schmitt. Se si desidera che i due livelli di confronto non siano 2/3V_{cc} ed 1/3V_{cc}, é sufficiente interporre tra la sorgente del segnale e l’ingresso del 555 un partitore o un amplificatore. La figura 6.7 mostra il segnale all’uscita di un tale circuito, quando il segnale applicato in ingresso sia una sinusoide. Nell’esempio di figura il segnale in uscita é stato invertito (nel circuito di trigger che abbiamo descritto, il segnale all’uscita del 555 va basso quando l’ingresso supera la soglia alta, e viceversa).

Figura 6.7:

6.4 Convertitore tensione-frequenza

Nelle applicazioni del 555 che abbiamo discusso il piedino 5 (V_{ref}) dell’integrato non veniva utilizzato. Esso era collegato a massa attraverso una capacitá, che serviva a mantenere costante la tensione nel punto A (ingresso V_{ref}; vedasi la figura 6.1). Se nel circuito astabile di figura 6.2, tale ingresso viene collegato ad una sorgente di tensione variabile, le tensioni di riferimento dei due comparatori presenti nel 555 non saranno piú uguali a 2/3V_{cc} ed 1/3V_{cc} ma rispettivamente uguali aV_{ref} e 1/2V_{ref}. Di conseguenza, durante il processo di carica e scarica del condensatore C_{1} nel circuito di figura 6.2, la commutazione avverrá a tempi diversi, legati al valore che nel dato istante ha V_{ref}.

Un esempio di tale circuito é mostrato in figura 6.8. Tale circuito puó essere adoperato come convertitore tensione-frequenza. Se il segnale applicato é ad esempio (come in figura) sinusoidale, il segnale in uscita sará un segnale la cui frequenza varia in modo sinusoidale. Si noti che in tale circuito varia anche la durata del segnale in uscita. Se si vuole che il segnale in uscita abbia frequenza variabile in modo sinusoidale ma durata fissa, sará sufficiente far seguire il circuito da un monostabile.

Figura 6.8:

In figura 6.9 mostriamo il segnale sinusoidale applicato all’ingresso V_{ref} di un tale circuito, insieme al segnale presente in uscita e, nel grafico inferiore, a quello presente all’uscita del monostabile che segue il convertitore tensione-frequenza.

Figura 6.9: 186

Filtri attivi

7.1 Introduzione

Un filtro é un dispositivo che trasmette inalterati segnali aventi frequenze entro un determinato campo (filtri passa-banda) o al di sopra di un valore determinato (filtri passa-alto) o ancora al di sotto di un valore prefissato (filtri passa-basso). Si possono anche avere filtri che lasciano passare solo segnali aventi frequenze poste al di fuori di un campo prefissato (filtri elimina-banda).

Un filtro puó esser realizzato a partire da soli componenti passivi (resistenze, capacitá o induttanze). In tal caso si parla di filtri passivi. É ormai comune uso adoperare, insieme ad elementi passivi, anche elementi attivi, quali transistor o amplificatori operazionali. Tale scelta offre una maggiore flessibiltá nella realizzazione di filtri con particolari caratteristiche. Questi sono noti come filtri attivi.

A causa della limitata risposta in frequenza degli operazionali, i filtri attivi sono adoperati tipicamente a basse frequenze (sopratutto a frequenze audio) fino ad un massimo di qualche centinaio di kHz. É possibile, facendo uso di amplificatori operazionali veloci, realizzare filtri attivi che operano fino a diversi MHz, ma ragioni di costo ne limitano l’uso. Per frequenze elevate si fa quindi uso di filtri passivi.

In questo capitolo esamineremo le caratteristiche dei principali tipi di filtri attivi, quali ad esempio quelli di Butterworth e di Bessel. Per un’analisi piú approfondita dell’argomento si suggerisce di consultare le referenze elencate in fondo al capitolo.

Faremo ampio uso della tecnica delle trasformate di Laplace, e dei concetti connessi con la rappresentazione grafica della risposta dei circuiti (diagrammi di Bode e di Nyquist).

Si sta diffondendo in aggiunta, in questi ultimi anni, l’uso di quelli che sono noti come filtri digitali. Una trattazione dettagliata di tale tipo di filtri ci porterebbe ben oltre gli scopi di questo corso.

7.1.1 Caratteristiche di risposta dei filtri

I quattro tipi di filtro cui abbiamo accennato nella sezione precedente dovrebbero idealmente avere delle funzioni di trasferimento caratterizzate da un andamento piatto all’interno della banda passante e da una transizione infinitamente ripida verso la banda bloccata. Tale andamento ideale é schematizzato nella figura 7.1 dove sono mostrati i diagrammi di Bode per il modulo della funzione di trasferimento G(ω) relativi ai quattro tipi di filtri.

La figura (a) si riferisce al caso di un filtro passa-basso, la (b) a quello di un filtro passa-alto, la (c) ad un filtro passa-banda e la (d) ad uno elimina-banda.

In realtá nessun filtro reale ha funzioni di trasferimento come quelle mostrate in figura. I fronti di salita e di discesa hanno nella pratica pendenze che vanno da 6 dB/ottava a qualche decina di dB/ottava. Inoltre l’andamento all’interno della banda passante non é mai piatto, ma esibisce in genere delle oscillazioni (”ripple”) piú o meno ampie. Un esempio di curva di risposta reale é quello mostrato in figura 7.2 (relativo al caso di un filtro passa-banda).

La banda passante (BW) é definita come l’intervallo di frequenze compreso tra i punti in cui il modulo del guadagno é diminuito di 3 dB rispetto al valor medio a centro banda. L’ampiezza del canale di ripple, mostrato in figura, é espresso in dB e varia tra qualche frazione di dB e 1.5-2.0 dB. La pendenza dei fronti di salita e di discesa, come giá detto varia tra 6 dB/ottava e qualche decina di dB/ottava.

Il modulo della funzione di trasferimento G(f) (o equivalentemente G(ω)) non é l’unica caratteristica importante di un filtro. É altrettanto importante che lo sfasamento introdotto dal filtro aumenti linearmente all’aumentare della fequenza. Solo in tal modo, infatti, le componenti di diversa frequenza presenti nel segnale subiranno tutte il medesimo ritardo temporale e nessuno sfasamento relativo.

Consideriamo infatti due componenti di frequenze angolari (ω_{1}, ω_{2}), fasi (ϕ_{1}, ϕ_{2}) ed ampiezze (A_{1}, A_{2}):

a_{1}(t) = A_{1} cos(ω_{1}t + ϕ_{1})

a_{2}(t) = A_{2} cos(ω_{2}t + ϕ_{2})

Ammettiamo che all’interno della banda passante sia |G(ω)| costante e sia lo sfasamento introdotto dalla G(ω) dato da:

ϕ = kω

con k una costante. Le due componenti all’uscita del filtro saranno:

a′_{1}(t) = |G| A_{1} cos(ω_{1}t + ϕ_{1} + kω_{1})
a′_{2}(t) = |G| A_{2} cos(ω_{2}t + ϕ_{2} + kω_{2})

ovvero:

a′_{1}(t) = |G| A_{1} cos [ω_{1}(t + k) + ϕ_{1}]
a′_{2}(t) = |G| A_{2} cos [ω_{2}(t + k) + ϕ_{2}]

Vediamo che le due componenti hanno in uscita la stessa frequenza che esse avevano in ingresso e la stessa differenza di fase: Δϕ = ϕ_{2} − ϕ_{1}. Esse sono entrambe ”ritardate” temporalmente di una medesima quantitá k. Il segnale risultante dalla sovrapposizione di un gran numero di componenti di questo tipo non risulterá quindi deformato.

Come vedremo, é possibile realizzare filtri che hanno una banda passante sufficientemente piatta, ma non una buona relazione di fase, o anche filtri con una relazione di fase lineare, ma con un certo ammontare di ripple nella banda passante.

Per un discussione esauriente dei vantaggi e dei limiti dei diversi tipi di filtri attivi, si suggerisce una lettura del capitolo 5 del libro di Horowitz- Hill [10].

7.2 Generalitá sui filtri attivi

Conosciamo i piú semplici dei filtri passivi: il circuito RC passa-basso e quello passa-alto, mostrati in figura 7.3, le cui funzioni di trasferimento, nello spazio delle frequenze, sono date da:

|G_{LP} (ω)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{ω}{ω_{0}} )^{2}}}

Φ_{LP} (ω) = −arctan(\frac{ω}{ω_{0}} )

|G_{HP} (ω)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{ω_{0}}{ω})^{2}}}

Φ_{HP} (ω) = arctan(\frac{ω_{0}}{ω})

con: ω_{0} = RC

Il filtro passa-basso é caratterizzato da una frequenza di taglio (frequenza alla quale il guadagno si riduce di un fattore \sqrt{2} rispetto al valore che esso ha a basse frequenze) pari a f_{0} = ω_{0}/2π. La curva asintotica che descrive |G(ω)| a frequenze angolari ω ≫ ω_{0} ha inoltre, come é facile verificare, una pendenza (negativa) di 6 dB/ottava (20 dB/decade).

Analogamente il filtro passa-alto é caratterizzato da una frequenza di taglio f_{0} = ω_{0}/2π. La curva che descrive l’andamento di |G(ω)| a frequenze angolari ω ≪ ω_{0} ha una pendenza (positiva) di 6 dB/ottava (20 dB/decade).

Un fltro passa-banda puó essere ottenuto mettendo in serie un filtro passa-basso ed uno passa-alto, come mostrato in figura 7.4.

Nel progettare un tale filtro occorrerá naturalmente far si che la frequenza di taglio f_{max} della sezione passa-basso sia maggiore della frequenza di taglio f_{min} della sezione passa-alto.

Quelli ora descritti sono tutti filtri del primo ordine: la funzione di trasferimento del filtro passa-basso, scritta in termini della variabile complessa s:

G(s) = \frac{ω_{0}}{s + ω_{0}}

ha un polo semplice (reale) in s = −ω_{0}.

Figura 7.5:

Analogamente, la funzione di trasferimento del filtro passa-alto, scritta in termini della variabile complessa s é:

G(s) = \frac{s}{s + ω_{0}}

ed ha uno zero nell’origine ed un polo semplice in s = −ω_{0}.

La pendenza di ±20 dB/decade nei rispettivi diagrammi di Bode per il modulo é in entrambi i casi legata appunto alla presenza di un solo polo. Se si vuole una transizione piú netta tra la banda passante e la banda bloccata, occorre ricorrere a filtri di ordine piú elevato.

Notiamo che un filtro (passivo) passa-basso con buone caratteristiche (taglio in frequenza abbastanza netto) puó essere ottenuto utilizzando un circuito LRC come quello di figura 7.5.

La funzione di trasferimento di questo circuito é:

G(s) = \frac{1}{(LC)s^{2} + (RC)s + 1} = \frac{1/LC}{s^{2} + (R/L)s + 1/LC} (7.1)

Confrontando questa con l’equazione tipica di una funzione di trasferimento con due poli (vedi capitolo 4):

G(s) = \frac{A_{0}ω_{0}^{2}}{s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s + ω_{0}^{2}} (7.2)

troviamo la corrispondenza:

ω_{0} → \frac{1}{\sqrt{LC}}

Q_{0} → \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}

Potrá aversi un picco nella risposta se Q_{0} > 1/\sqrt{2}, cioé:

R < \sqrt{2\frac{L}{C}}

Come visto a pagina (123), il picco diventa tanto piú accentuato quanto piú elevato é il valore di Q_{0}. L’andamento tipico della curva di risposta (plot di Bode per il modulo) é mostrato in figura 7.6 per il caso Q_{0} = 1.

Il massimo si ha per:

ω_{max}^{2} = ω_{0}^{2} (1 − \frac{1}{2Q_{0}^{2}} )

cioé:

ω_{max}^{2} = \frac{1}{LC} − \frac{R^{2}}{2L^{2}}

I filtri attivi eliminano alcuni inconvenienti presenti nei filtri passivi:

a) l’uso di induttanze, che sono ingombranti, ed inoltre risentono dei disturbi elettromagnetici inevitabilmente presenti

b) l’attenuazione legata all’impedenza del filtro passivo

c) la dipendenza della risposta dalle impedenze d’ingresso e d’uscita degli amplificatori cui il filtro é accoppiato

7.3 Funzione biquadratica di trasferimento

Come abbiamo visto, la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso LRC ha la forma (equazione 7.2):

G(s) = \frac{A_{0}ω_{0}^{2}}{s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s + ω_{0}^{2}}

del rapporto tra un termine costante ed un polinomio di secondo grado in s. Si puó facilmente verificare che la funzione di trasferimento di un generico filtro del secondo ordine (passa-alto, passa-basso, passa-banda, elimina-banda) puó essere espressa come il rapporto tra due polinomi di secondo grado in s:

G(s) = \frac{a_{2}s^{2} + a_{1}s + a_{0}}{s^{2} + b_{1}s + b_{0}} (7.3)

Se infatti i termini a_{2} ed a_{1} sono nulli, possiamo facilmente vedere che siamo in presenza di un filtro passa-basso: al tendere di |s| = ω ad ∞ la |G(ω)| tende a 0.

Se a_{2} ed a_{0} sono nulli ed a_{1} é diverso da 0, la |G(ω)| tenderá a 0 sia per ω → ∞ che per ω → 0. Abbiamo cioé un filtro passa-banda.

Se a_{2} é l’unico coefficiente diverso da 0, vediamo che |G(ω)| → 0 per ω → 0. Abbiamo cioé un filtro passa-alto.

Se infine a_{1} é l’unico coefficiente nullo, vediamo che la |G(ω)| tende a valori finiti per ω → 0 e per ω → ∞. Abbiamo cosí un filtro elimina-banda.

La funzione biquadratica 7.3 é piú convenientemente scritta nella forma (analoga alla 7.2 relativa al filtro passa-basso):

G(s) = \frac{k_{2}s^{2} + k_{1}(ω_{0}/Q_{0})s + k_{0}ω_{0}^{2}}{s^{2} + (ω_{0}/Q_{0})s + ω_{0}^{2}} (7.4)

Nel caso dei quattro tipi di filtro descritti in precedenza, questa acquista la forma indicata nella corripondente riga della tabella che segue.

tipo di filtro k_{2} k_{1} k_{0} G(s)
passa-basso 0 0 1 \frac{ω_{0}^{2}}{s^{2}+ \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s+ω_{0}^{2}}
passa-alto  1 0 0 \frac{s^{2}}{s^{2}+ \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s+ω_{0}^{2}}
passa-banda 0 1 0 \frac{\frac{ω_{0}}{Q_{0}} s}{s^{2}+ \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s+ω_{0}^{2}}
elimina-banda 1 0 1 \frac{s^{2}+ω_{0}^{2}}{s^{2}+ \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s+ω_{0}^{2}}

La larghezza di banda (BW) é definita come l’ampiezza del campo di frequenze che si estende fino a quei valori in corrispondenza a cui il guadagno si riduce di 3 dB rispetto al valore che esso ha a centro banda. Si puó facilmente vedere che nel caso del filtro passa banda la BW é data da:

BW = \frac{ω_{0}}{Q_{0}}

Per dimostrarlo, partiamo dall’osservazione che l’espressione della |G(ω)| per il filtro passa-banda:

|G(ω)| = \frac{(ω_{0}/Q_{0})ω}{\sqrt{(ω_{0}^{2} − ω^{2})^{2} + ω^{2}ω_{0}^{2}/Q_{0}^{2}}} (7.5)

é simmetrica nella variabile ω rispetto al valore centrale ω = ω_{0} (dove la |G(ω)| vale 1).

Se inoltre ω′ ed ω′′ indicano due valori posti simmetricamente rispetto ad ω_{0}, nei quali sia: |G(ω′)|=|G(ω′′)|, si puó facilmente vedere che ω_{0} é la media geometrica di ω′ ed ω′′:

ω′ω′′ = ω_{0}^{2}

Infatti, uguagliando le due espressioni di |G(ω)| troviamo:

\frac{ω^{′2}}{(ω_{0}^{2} − ω^{′2})^{2} + ω^{′2}ω_{0}^{2}/Q_{0}^{2}} = \frac{ω^{′′2}}{(ω_{0}^{2} − ω^{′′2})^{2} + ω^{′′2}ω_{0}^{2}/Q_{0}^{2}}

cioé:

ω^{′2} [(ω_{0}^{2} − ω^{′′2})^{2} + ω^{′′2}ω_{0}^{2}/Q_{0}^{2}] = ω^{′′2} [(ω_{0}^{2} − ω^{′2})^{2} + ω^{′2}ω_{0}^{2}/Q_{0}^{2}]

Sviluppando quest’espressione si ottiene:

ω^{′2}ω_{0}^{4} + ω^{′2}ω^{′′4} = ω^{′′2}ω_{0}^{4} + ω^{′′2}ω^{′4}

da cui:

ω_{0}^{4} (ω^{′2} − ω^{′′2}) = ω^{′2}ω^{′′2} (ω^{′2} − ω^{′′2})

ed infine:

ω_{0}^{2} = ω′ω′′ (7.6)

Facendo ora uso di tale risultato possiamo riscrivere la 7.5 come segue:

|G(ω)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{Q_{0}^{2}}{ω^{2}ω_{0}^{2}} (ω^{2} − ω_{0}^{2})^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q_{0}^{2} (\frac{ω}{ω_{0}} − \frac{ω_{0}}{ω} )^{2}}} (7.7)

Se ora ω′ ed ω′′ sono le frequenze angolari in corrispondenza a cui la |G(s)| si riduce di 3 dB (cioé di un fattore 1/\sqrt{2}), allora in corrispondenza a tali valori, il denominatore della 7.7 deve diventare uguale a \sqrt{2}. Ne segue che:

Q_{0} (\frac{ω′′}{ω_{0}} − \frac{ω_{0}}{ω′′} ) = 1

\frac{Q_{0}}{ω_{0}} (ω′′ − \frac{ω_{0}^{2}}{ω′′} ) = 1

e, facendo uso della 7.6:

BW = ω′′ − ω′ = ω′′ − \frac{ω_{0}^{2}}{ω′′} = \frac{ω_{0}}{Q_{0}}

7.4 Filtri di Butterworth

Nelle sezioni precedenti abbiamo incontrato filtri caratterizzati da funzioni di trasferimento con un singolo polo (filtri del primo ordine) e con un polo doppio (filtri del secondo ordine). In generale, il numero dei poli nella funzione di trasferimento determina la rapiditá dei fronti di discesa (o di salita, nel caso dei filtri passa-altro o passa-banda) del filtro.

Una classe importante di filtri é quella di Butterworth. Questi sono caratterizzati da funzioni di trasferimento il cui modulo quadro, per un filtro passa-basso di ordine n, é dato da:

|G_{n}(ω)|^{2} = \frac{1}{[1 + (\frac{ω}{ω_{0}} )^{2n}]}

cioé:

|G_{n}(ω)| = \frac{A}{[1 + (\frac{ω}{ω_{0}} )^{2n}]^{1/2}}

Andamenti tipici sono mostrati in figura 7.7, per n variabile tra 1 e 10. Notiamo che tutte le curve hanno la medesima attenuazione di 3 dB per ω = ω_{0}. Quando si riporta il guadagno in funzione di ω/ω_{0} si dice che si studia il suo andamento in funzione della frequenza normalizzata.

Queste curve hanno le seguenti caratteristiche:

• |G_{n}(0)|=1 per tutti gli n

• |G_{n}(ω_{0})| = 1/\sqrt{2} ≈ 0.707 per tutti gli n (cioé il guadagno diminuisce di 3 dB per ω = ω_{0}

• per ω ≫ ω_{0} il guadagno scende con una pendenza di 6n dB/ottava, per un filtro di ordine n

• le prime (n-1) derivate della funzione in parentesi sono nulle. Ció implica che la risposta nella banda passante é massimamente piatta, cioé ha un massimo per ω = 0 e rimane all’incirca costante fino ad ω = ω_{0}

Si puó facilmente verificare che un filtro é di Butterworth se i poli sono ottenibili dividendo una circonferenza situata nel piano complesso, con centro nell’origine, in un numero 2n (quindi pari) di punti distribuiti uniformemente.

Ovviamente essi dovranno essere disposti in modo simmetrico rispetto all’asse reale ed inoltre solo quelli situati nel semipiano sinistro potranno rappresentare poli della funzione G(s). Ad esempio, per n=1 e per n=2 abbiamo le situazioni mostrate nelle figure 7.8 ed 7.9.

Nel caso n=2 le radici s_{1} ed s_{2} (i poli della funzione G(s)) saranno:

s_{1} = α(j − 1)

s_{2} = −α(j + 1)

Il denominatore della G(s) sará:

(s − s_{1})(s − s_{2}) = s^{2} + 2αs + 2α^{2}

Figura 7.7: Funzione di trasferimento normalizzata per filtri di Bode, per n compreso tra 1 e 10. La curva indicata con croci é quella relativa ad n=1, quella indicata con cerchietti per n=10. Le curve intermedie sono ottenute per valori di n compresi tra 2 e 9

Figura 7.8:

Figura 7.9:

Per cui:

G_{2}(s) = \frac{1}{s^{2} + 2αs + 2α^{2}} = \frac{(1/2α^{2})}{s/2α^{2} + s/α + 1} = \frac{(1/2α^{2})}{(s^{2}/2α^{2}) + \sqrt{2}s/\sqrt{2}α + 1}

La grandezza ω_{0}, distanza delle radici dall’origine, é data da:

ω_{0}^{2} = α^{2} + β^{2} = 2α^{2} Cioé:

ω_{0} = \sqrt{2}α
α = ω_{0}/\sqrt{2}

Introduciamo ora la variabile s’, ottenuta da s normalizzandola ad ω_{0}:

s′ = s/ω_{0} = s/\sqrt{2}α Con ció l’ultima espressione scritta diventa:

G_{2}(s′) = \frac{1/ω_{0}^{2}}{s^{′2} + \sqrt{2}s′ + 1}

Il denominatore di quest’espressione é il polinomio di Butterworth di ordine n=2 (B_{2}(s′)).

grado del polinomio(n) B_{n}(s)
1  s + 1
2  s^{2} + 1.414s + 1
3  (s + 1)(s^{2} + s +1)
4  (s^{2} + 0.765s + 1)(s^{2} + 1.848s + 1)
5  (s + 1)(s^{2} + 0.618s + 1)(s^{2} + 1.618s + 1)

Come giá visto, nel caso generale il modulo del polinomio di ordine n vale:

|B_{n}(s)| = \sqrt{1 + (\frac{ω}{ω_{0}} )^{2n}}

Si definisce ”fattore di smorzamento” la metá del coefficiente di s in ciascuno dei fattori quadratici che compaiono in tali espressioni. Ad esempio, per n=2 il fattore di smorzamento vale 1.414/2 = \sqrt{2}/2 = 1/\sqrt{2} = 0.707. Per n=3 il fattore di smorzamento é 0.5; per n=4 si hanno due fattori di smorzamento:

k_{1} = \frac{0.765}{2} = 0.383

k_{2} = \frac{1.848}{2} = 0.924

Ricordando che si é posta la corrispondenza s ↔ s/ω_{0}, le funzioni di trasferimento per n=1 e per n=2 possono essere scritte nella forma:

P_{1}(s) = \frac{1}{s/ω_{0} + 1}

P_{2}(s) = \frac{1}{(s/ω_{0})^{2} + 2k(s/ω) + 1}

con k = 1/\sqrt{2}

Un semplice circuito RC, posto sull’ingresso non invertente di un operazionale adoperato in configurazione non invertente, come mostrato in figura 7.10, realizza un filtro di Butterworth di ordine 1.

Infatti abbiamo:

v_{−} = v_{o} \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}}

i = \frac{v_{s}}{R + 1/sC}

v_{+} = Z_{c}i = \frac{1}{sC} \frac{v_{s}}{R + 1/sC}

e, poiché é v_{+} = v_{−}, otteniamo:

v_{o} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}} \frac{v_{s}}{1 + sRC}

da cui:

G(s) = \frac{v_{o}}{v_{s}} = A_{v_{o}} \frac{1}{1 + sRC} = \frac{A_{v_{o}}}{1 + s/ω_{0}}

dove:

A_{v_{o}} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}}

é l’amplificazione a bassa frequenza e:

ω_{0} = \frac{1}{RC}

Abbiamo quindi un filtro di Butterworth di ordine 1, con una frequenza di taglio (superiore) pari a ω_{0} = 1/RC. Si puó facilmente vedere che da tale filtro passa-basso si puó ottenere un filtro passa-alto invertendo i ruoli di R e C.

Poiché si puó ottenere un filtro passa-alto a partire da uno passa-basso scambiando C ed R, é chiaro che sará possibile ottenere un filtro passa-banda a partire da due filtri di Butterworth. Il primo di questi potrebbe essere un filtro passa-alto del secondo ordine, con una frequenza di taglio f_{min}; il secondo un filtro passa-basso del medesimo ordine, con una frequenza di taglio f_{max} > f_{min}.

7.5 Filtro di Butterworth del secondo ordine

Un filtro di Butterworth del secondo ordine puó esser realizzato facendo uso dello schema mostrato in figura 7.11. Questo é noto come ”schema di Sallen e Key”.

Un’amplificatore operazionale é montato in una configurazione non-invertente. Il segnale presente in uscita é riportato tra le resistenze R_{1} ed R_{2} tramite il condensatore C_{1}.

Per studiare la risposta di questo circuito, facciamo uso del circuito equivalente mostrato in figura 7.12, dove é V_{x} = V_{0}/A, con A = 1 + R_{4}/R_{3}.

Figura 7.12:

Si possono facilmente verificare le seguenti relazioni:

I_{x} = sC_{2}V_{x} = sC_{2} \frac{V_{0}}{A}

V_{y} = V_{x} + R_{2}I_{x} = \frac{V_{0}}{A} (1 + sC_{2}R_{2})

I_{y} = \frac{V_{y} − V_{0}}{1/sC_{1}} = sC_{1}V_{0} [\frac{1 + sC_{2}R_{2}}{A} − 1] = sC_{1} \frac{V_{0}}{A} [1 − A + sC_{2}R_{2}]

Da cui segue:

I_{i} = I_{x} + I_{y} = s\frac{V_{0}}{A} (C_{2} + C_{1} − C_{1}A + sC_{1}C_{2}R_{2}) = \frac{V_{0}}{A} [sC_{2} + sC_{1}(1 − A) + s^{2}C_{1}C_{2}R_{2}]

La tensione d’ingresso V_{i} sará allora:

V_{i} = R_{1}I_{i} + V_{y} = \frac{V_{0}}{A} [sR_{1}C_{2} + sR_{1}C_{1}(1 − A) + s^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2} + 1 + sC_{2}R_{2}]

= \frac{V_{0}}{A} [1 + s^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2} + s (C_{2}(R_{1} + R_{2}) + R_{1}C_{1}(1 − A))]

La funzione di trasferimento é quindi:

G(s) = \frac{V_{0}}{V_{i}} = \frac{A}{1 + s^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2} + s [C_{2}(R_{1} + R_{2}) + R_{1}C_{1}(1 − A)]} (7.8)

Confrontando questa con l’equazione (7.2) vediamo che:

\frac{ω_{0}}{Q_{0}} → \frac{C_{2}(R_{1} + R_{2}) + R_{1}C_{1}(1 − A)}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}

ω_{0}^{2} → \frac{1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}

Da queste equazioni segue:

Q_{0} = \frac{\sqrt{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}(R_{1} + R_{2}) + R_{1}C_{1}(1 − A)}

Se poniamo R_{1} = R_{2} = R e C_{1} = C_{2} = C otteniamo:

Q_{0} = \frac{RC}{2RC + RC(1 − A)} = \frac{1}{3 − A} (7.9)

ω_{0} = 1/RC

Si puó quindi scegliere il valore desiderato di Q_{0} con un’opportuna scelta del valore di A. La G(s) puó esser espressa in termini delle variabili R, C ed A, come:

G(s) = \frac{A}{(RC)^{2}s^{2} + RC(3 − A)s + 1} (7.10)

Il guadagno a basse frequenze é ovviamente A.

É interessante confrontare la risposta ottenuta con quella relativa al filtro LCR. Le due sono uguali se é:

LC = (R_{0}C_{0})^{2}
RC = (R_{0}C_{0})(3 − A)

dove abbiamo indicato con le sottoscritte ′′0′′ i componenti relativi al circuito di figura (7.11), e senza sottoscritte quelli relativi al circuito LCR.

Tali equazioni sono soddisfatte se é:

C_{0} = C

C_{0}R_{0}^{2} = L

R_{0}(3 − A) = R

Una scelta suggerita per il valore di Q_{0} é quella che rende il piú possibile ripida la caduta al di sopra della frequenza di taglio superiore, senza determinare un picco. Ció si ottiene, come visto nel capitolo sulla rappresentazione grafica delle funzioni di trasferimento, per:

Q_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}

che nel nostro caso, come si vede facendo uso dell’equazione (7.9), richiede:

A = 3 − \sqrt{2} ≈ 1.6

Un filtro che soddisfi tale condizione é un filtro di Butterworth (del secondo ordine).

Un esempio concreto di filtro di Butterworth si ottiene dal circuito di figura 7.11, con la seguente scelta dei valori dei componenti:

R_{1} = R_{2} = 15kΩ

C_{1} = C_{2} = 10nF

R_{3} = 47kΩ

R_{4} = 27kΩ

Nella prossiamo sezione approfondiremo il motivo dell’uguaglianza delle funzioni di trasferimento del filtro LRC e di uno che faccia uso di operazionali ed elementi resistivi e capacitivi.

7.6 Alcune considerazioni sulla conversione di impedenze tramite operazionali

Il fatto che il circuito di Sallen e Key, che fa uso di resistenze, condensatori e di un operazionale abbia una risposta uguale a quella del circuito RCL, dove é presente un’induttanza, é conseguenza del fatto che un operazionale puó modificare la natura dell’impedenza vista dalla sorgente del segnale.

Consideriamo ad esempio il circuito di figura 7.13:

La corrente i vale:

i = \frac{v_{+} − v_{o}}{R} (7.11)

con:

v_{+} = v_{−} = v_{o} \frac{Z}{R + Z}

da cui:

v_{o} = v_{−} \frac{R + Z}{Z} = v_{i} \frac{R + Z}{Z}

e:

v_{i} = v_{o} \frac{Z}{R + Z}

Dalla 7.11 si ha inoltre:

i = \frac{v_{o}}{R} (\frac{Z}{Z + R} − 1) = −\frac{v_{o}}{Z + R}

L’impedenza vista all’ingresso dell’operazionale é allora:

Z_{i} = \frac{v_{i}}{i} = −Z

Vediamo cioé che l’operazionale ”trasforma” l’impedenza Z nel suo opposto - Z. Se Z é un’impedenza capacitiva: Z = 1/jωC, l’impedenza trasformata sará 1/jω(−C), cioé é come se la capacitá fosse diventata negativa. Un circuito come quello analizzato é designato con il simbolo ”NIC” (Negative Impedance Converter).

Figura 7.15:

Vediamo ora come, facendo uso di questo, possiamo realizzare un circuito che converte un’impedenza Z nel suo reciproco 1/Z. Questo é noto come ”gyrator”.

Esaminiamo l’esempio di figura 7.14:

Poiché ciascun NIC cambia di segno l’impedenza che lo segue, possiamo ridisegnare il circuito come mostrato in figura 7.15.

L’impedenza vista all’uscita del primo NIC é ora:

Z′ = R + \frac{−(R + Z)R}{R + Z − R} = R − \frac{R^{2} + ZR}{Z} = −\frac{R^{2}}{Z}

Poiché il primo NIC cambia ulteriormente il segno di tale impedenza, avremo:

Z_{in} = \frac{R^{2}}{Z}

e se Z é una capacitá, avremo:

Z_{in} = \frac{R^{2}}{1/jωC} = jR^{2}ωC = jωL

con:

L = R^{2}C

Che dimostra quanto asserito. Facendo quindi uso di resistenze, capacitá ed operazionali possiamo realizzare l’equivalente di filtri RLC. Come giá accennato, il limite all’utilizzo di tali circuiti é posto dallo slew-rate degli operazionali, che consiglia, a frequenze elevate, l’uso di circuiti passivi.

7.7 Corrispondenze tra tipi diversi di filtri

Sappiamo che un filtro RC passa-basso del primo ordine puó esser trasformato nell’analogo passa-alto scambiando la resistenza con la capacitá. Ció puó esser facilmente formalizzato come segue. La funzione di trasferimento del filtro passa-basso é:

G(s) = \frac{1}{1 + s/ω_{0}} (7.12)

con ω_{0} = RC. Il circuito che si ottiene da questo scambiando R con C ha come funzione di trasferimento:

G(s) = \frac{s/ω_{0}}{1 + s/ω_{0}} (7.13)

Vediamo che é possibile trasfomare la 7.12 nella 7.13 con la corrispondenza:

\frac{s}{ω_{0}} → \frac{ω_{0}}{s} (7.14)

É possibile verificare che ció é vero anche per filtri di ordine piú elevato. Ad esempio, il filtro passa-basso la cui funzione di trasferimento é mostrata nella prima riga della tabella data in sezione 7.3 diventa, in seguito all’applicazione della corrispondenza 7.14, il filtro passa-alto la cui funzione di trasferimento é data dalla seconda riga della medesima tabella.

Analoghe corrispondenze possono essere adoperate per trasformare un filtro passa-basso in uno passa-banda o elimina-banda.

Per ulteriori dettagli si suggerisce di consultare la referenza [11].

7.8 Il ”ripple” nei filtri

Se in un filtro del secondo ordine é Q_{0} > 1/\sqrt{2}, la curva di risposta (diagramma di Bode per il modulo) comincia a sviluppare un massimo di cui abbiamo calcolato al capitolo 4 la posizione ω_{max} ed il valore:

G(ω_{max}) = \frac{A_{0}Q_{0}}{\sqrt{1 − 1/(4Q_{0}^{2})}}

Si definisce ”ripple” la deformazione della curva di risposta in prossimitá di ω_{max} e si definisce ”larghezza del ripple” la quantitá:

ϵ = |G_{max}/A_{0}| = \frac{Q_{0}}{\sqrt{1 − \frac{1}{4Q_{0}^{2}}}}

Si definisce poi ”lunghezza del canale di ripple” la pulsazione ω_{c} oltre la quale risulta |G| < |A_{0}|. Per la definizione delle variabili ϵ ed ω_{c} si veda la figura 7.16. Dall’equazione 4.13, nel capitolo 4, notiamo che ponendo:

|G|^{2} = A_{0}^{2}

si trova:

ω_{c}^{2} = ω_{0}^{2} (2 − \frac{1}{Q_{0}^{2}} )

cioé:

\frac{ω_{c}}{ω_{0}} = \sqrt{2 − \frac{1}{Q_{0}^{2}}}

Vediamo da quest’equazione che la lunghezza del canale di ripple dipende da Q_{0}. Inoltre:

ω_{max}^{2} = \frac{ω_{c}^{2}}{2}

indipendentemente dal valore di Q_{0} (purché sia Q_{0} > 1/\sqrt{2}).

Per Q_{0} = 0.86 troviamo ω_{c} = 0.80ω_{0} ed ϵ = 1.06

Per Q_{0} = 0.96 troviamo ω_{c} = 0.95ω_{0} ed ϵ = 1.12

Un quadripolo avente Q_{0} > 1/\sqrt{2} viene detto di Chebyshev se il ripple ϵ é compreso tra 0.5dB e 3dB (cioé tra 1.06 e 1.41).

7.9 Filtri di Bessel e di Chebyshev. Confonto tra diversi tipi di filtro

Come accennato in precedenza, i parametri di un filtro che maggiormente interessano sono:

(a) la ”piattezza” della risposta all’interno della banda passante, e quindi l’assenza di ripple

(b) la rapiditá della transizione tra banda passante e banda bloccata, normalmente espressa in dB/ottava (c) la ”nettezza” del ginocchio tra la banda passante e l’inizio del fronte di tran-

sizione

(d) la linearitá della risposta in fase, essenziale per non avere distorsioni

Il progetto di un filtro é sempre un compromesso tra queste esigenze, normalmente in conflitto tra loro. Il punto (b) é essenzialmente determinato dal numero di poli della funzione di trasferimento.

I tipi di filtro comunemente adoperati sono, oltre a quello di Butterworth, quelli noti come filtri di Bessel e di Chebyshev.

Ciascuno di questi é progettato per ottimizzare un parametro differente tra quelli elencati sopra. Il grado di ottimizzazione é poi determinato dal numero di poli e di zeri della funzione di trasferimento, legati a loro volta alla complessitá del circuito. Un determinato tipo di filtro, caratterizzato da una certa funzione di trasferimento e quindi da una certa risposta in frequenza, puó esser realizzato fisicamente in molti modi diversi. Ad esempio, un filtro di Bessel del sesto ordine puó esser realizzato in un gran numero di modi differenti, che portano peró a risposte uguali.

Il circuito base di Sallen-Key, adoperato per illustrare il filtro di Butterworth del secondo ordine, é alla base di filtri di vario tipo. Il circuito base per un filtro di ordine 2 é mostrato in figura 7.11. Se poniamo:

R = R_{1} = R_{2}
R_{f} = R_{4}
R′ = R_{3}
C = C_{1} = C_{2}

I valori dei componenti per un filtro passa-basso possono essere calcolati attraverso le relazioni:

R = \frac{k_{1}}{Cf_{0}}

R_{f} = R_{1}k_{2}

dove f_{0} é la frequenza di taglio e dove i valori di C e di R_{1} possono essere scelti liberamente (ed esempio R_{1}=10k, C = 0.01μF) mentre le costanti k_{1} e k_{2} valgono:

k_{1} = 0.1251 ; k_{2} = 0.268 per un filtro di Bessel

k_{1} = 0.1592 ; k_{2} = 0.586 per un filtro di Butterworth

k_{1} = 0.1293 ; k_{2} = 0.842 per un filtro di Chebyshev

Filtri di ordine piú elevato possono essere ottenuti mettendo in serie piú filtri di ordine 2, con valori dei componenti passivi ottenibili da relazioni analoghe.

Il filtro di Butterworth, su cui abbiamo concentrato la nostra attenzione, é quello che ha la massima ”piattezza” di risposta all’interno della banda passante, ma un ”ginocchio” meno netto di quello di altri tipi di filtro ed una linearitá di fase non brillante. Gli altri tipi di filtro (vedasi per una discussione esauriente il libro di Horowitz) hanno delle caratteristiche che ottimizzano l’uno o l’altro dei parametri menzionati, a spese della piattezza di risposta nella banda. Ad esempio, il filtro di Bessel ha un’ottima linearitá di fase, ma un ”ginocchio” meno netto di quello del filtro di Butterworth. Il filtro di Chebyshev ha un ginocchio ben netto, ma un discreto ammontare di ripple nella banda passante ed una linearitá di fase peggiore di quella del filtro di Butterworth.

7.10 Filtri attivi a retroazione multipla

I filtri che abbiamo fin qui esaminato fanno uso di una rete RC o CR all’ingresso non invertente di un amplificatore e di una ulteriore rete CR o RC all’ingresso invertente. In ques’ultima uno degli elementi passivi é collegato all’uscita dell’amplificatore, fornendo in tal modo un feedback.

I filtri a retroazione multipla utilizzano due feedback separati ed un’amplificatore invertente. Un esempio di filtro passa-basso a retroazione multipla é mostrato in figura 7.17.

Per ottenere la funzione di trasduzione di questo circuito, applichiamo il teorema di Kirchoff al nodo indicato con A.

\frac{v_{i} − v_{A}}{R_{1}} + \frac{v_{o} − v_{A}}{R_{3}} − \frac{v_{A}}{Z_{C_{1}}} − \frac{v_{A}}{R_{2}} = 0

Dove si é fatto uso della condizione v_{+} = v_{−} = 0. Da questa si ottiene:

v_{A} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + sC_{1}) = \frac{v_{i}}{R_{1}} + \frac{v_{o}}{R_{3}}

Applicando la medesima equazione di Kirchoff al nodo B (ingresso invertente dell’A.O.), troviamo:

v_{A} = −sC_{2}R_{2}v_{o}

Da queste equazioni si trova poi:

\frac{v_{o}}{R_{3}} = −\frac{v_{i}}{R_{1}} − sC_{2}R_{2}v_{o} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + sC_{1})

A_{v} = \frac{v_{o}}{v_{i}} = −\frac{1}{R_{1}} \frac{1}{\frac{1}{R_{3}} + sC_{2}R_{2}(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} ) + s^{2}C_{1}C_{2}R_{2}}

A_{v} = \frac{−1}{[C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}] [s^{2} + s\frac{1}{C_{1}} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} ) + \frac{1}{C_{1}C_{2}R_{2}R_{3}} ]}

Dal confronto di questa con la funzione caratteristica del filtro passa-basso:

G(s) = \frac{A_{0}ω_{0}^{2}}{s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s + ω_{0}^{2}}

si trova:

ω_{0} = \frac{1}{\sqrt{C_{1}C_{2}R_{2}R_{3}}}

\frac{ω_{0}}{Q_{0}} = \frac{1}{C_{1}} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} )

Da queste si ottiene poi:

\frac{1}{Q_{0}} = \sqrt{\frac{C_{2}}{C_{1}}} [\sqrt{\frac{R_{2}}{R_{3}}} + \sqrt{\frac{R_{3}}{R_{2}}} + \sqrt{\frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}}} ]

A_{0} = −\frac{R_{3}}{R_{1}}

Vediamo che il guadagno alle basse frequenze é quello di un amplificatore invertente realizzato con le sole resistenze R_{1} ed R_{3}. La pulsazione di taglio ω_{0} non dipende invece dalla resistenza R_{1}.

La figura (7.18) mostra l’andamento del guadagno di un tale circuito in funzione della frequenza, con la seguente scelta del valore dei componenti: R_{1} = 1.5MΩ, R_{2} = 1.2MΩ, R_{3} = 3.3MΩ, C_{1} = 47nF e per valori di C_{2} variabili tra 22 nF (curva 1) e 220 nF (curva 11). A tale scelta di valori corrispondono valori di ω_{0} e Q_{0} che variano tra gli estremi dati da:

• per C_{1} = 22 nF → ω_{0} ≈ 16 Hz , Q_{0} ≈ 0.19

• per C_{1} = 220 nF → ω_{0} ≈ 5 Hz , Q_{0} ≈ 0.61

7.11 Filtri notch

Spesso é necessario realizzare dei filtri che eliminino segnale compresi in un intervallo di frequenze molto stretto. Questi sono noti come filtri ”notch”.

L’idea su cui il piú noto dei filtri di questo tipo é basata, é quella del circuito RC a doppia T, mostrato in figura 7.19.

Si puó vedere che questo circuito taglia le frequenze corrispondenti alla risonanza:

f_{0} = \frac{1}{2πRC}

In corrispondenza a tale frequenza il ramo superiore A-X-B e quello inferiore A-Y-B introducono sfasamenti uguali ed opposti. Ne segue che in B il segnale risultante si annulla. Ció é mostrato in figura 7.20. I diagrammi di Bode per il modulo (grafico superiore) e la fase (grafico inferiore) della funzione di trasferimento di tale circuito confermano quanto asserito. Come si vede, il diagramma di Bode per il modulo ha una brusca caduta (intaglio o ”notch”) alla frequenza di risonanza. In corrispondenza a tale frequenza la fase subisce un’improvvisa variazione di +π.

Figura 7.18: Figura 7.19:

Figura 7.20: Figura 7.21:

Il circuito mostrato nella figura 7.21 é una implementazione di tale filtro con l’ausilio di un amplificatore operazionale.

La funzione di trasferimento di questo circuito é:

G(s) = \frac{A_{v}(s^{2} + ω_{0}^{2})}{s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q_{0}} s + ω_{0}^{2}}

con:

A_{v} = 1 + \frac{R_{b}}{R_{a}}

ω_{0} = \frac{1}{RC}

Q_{0} = \frac{1}{2(2 − A_{v})}

Il Q_{0} del sistema é determinato dal guadagno A_{v} dell’amplificatore. Notiamo che A_{v} deve essere minore di 2 se si vuole un circuito stabile.

La figura 7.22 mostra un esempio di plot di Bode (modulo e fase) per tale circuito. In tale esempio i valori dei componenti sono tali che RC = 1000, A_{v} = 0.5, e

quindi: f_{0} = 159 Hz e Q_{0} = 0.333.

Filtri notch sono disponibili in commercio nella forma di moduli pronti all’uso, con frequenze che vanno da 1 Hz a 50 kHz, con ”profonditá” del notch di circa 60 dB.

Un filtro notch, regolabile su di un intervallo di frequenze piú ampio di quello del filtro a T, é quello ([12]) mostrato in figura 7.23.

Per questo circuito la frequenza di risonanza é:

f_{0} = \frac{1}{2πC\sqrt{3R_{1}R_{2}}}

con:

R_{1} = R_{1A} + R_{1B}

ed:

R_{6} = 6(R_{1} + R_{2})

Una tipica funzione di trasferimento di questo circuito é mostrata in figura 7.24.

7.12 Filtri a condensatori commutati

Negli ultimi anni hanno avuto larga diffusione filtri in cui le resistenze sono sostituite da condensatori che vengono, con l’applicazione di opportuni impulsi, rapidamente caricati e scaricati. Questi sono noti come Switched-Capacitor Filters (Filtri a condensatori commutati).

Esistono vari motivi per tale scelta. Un primo motivo, di ordine pratico, é nel fatto che nella realizzazione di un filtro sotto forma di circuito integrato é opportuno limitare l’uso di resistenze che, oltre ad essere poco precise, occupano sul chip uno spazio notevole. É facile invece, come vedremo tra poco, simulare una resistenza mediante un condensatore commutato.

Un secondo motivo di tale scelta é nel fatto che un filtro a condensatori commutati puó, modificando semplicemente la frequenza degli impulsi di clock che caricano e scaricano il condensatore, fornire la frequenza di taglio ω_{0} desiderata, senza alcuna modifica degli elementi passivi presenti.

Per capire come un condensatore commutato possa simulare una resistenza, si consideri il circuito di figura 7.25 Figura 7.24: Figura 7.25:

Gli interruttori S_{1} ed S_{2} (implementati con transitor FET sul chip) sono complementari: quando S_{1} é chiuso, S_{2} é aperto e viceversa. Con S_{1} chiuso la tensione (variabile) presente all’ingresso V_{i} carica il condensatore C. La carica del condensatore é:

q = V_{i} C

tale carica si accumula nel tempo T/2 durante il quale S_{1} é chiuso. Nel successivo intervallo T/2, S_{1} é aperto, S_{2} chiuso ed il condensatore si scarica. La corrente media nel tempo T sará quindi:

\overline{I} = \overline{I}_{out} = \overline{I}_{in} = \frac{q}{T} = \frac{V_{i}C}{T} = V_{i}C f_{ck}

con: f_{ck} = 1/T.

La resistenza equivalente vista dalla sorgente V_{in} é allora:

R = \frac{V_{i}}{\overline{I}} = \frac{1}{Cf_{ck}}

Vediamo quindi che R é una funzione di C e di f_{ck}. Fissato C, la resistenza puó esser modificata semplicemente modificando la frequenza f_{ck}.

Notiamo che le variazioni di V_{in} debbono avvenire in tempi molto piú lunghi di T. Nella pratica, se f_{max} é la massima frequenza contenuta in V_{in}, si sceglie valori di f_{ck} compresi tra 50 e 100 volte f_{max}.

Un esempio dell’uso di un condensatore commutato per realizzare un integratore é mostrato nella figura 7.26.

L’invertitore D_{1} ha lo scopo di chiudere S_{2} quando il segnale di clock apre S_{1}. La resistenza associata al condensatore commutato C_{1} é, come visto:

R = \frac{1}{C_{1}f}

dove f é la frequenza del clock.

Il segnale in uscita sará quindi:

V_{out} = −\frac{1}{RC_{2}} ∫ V_{in}dt = −f \frac{C_{1}}{C_{2}} ∫ V_{in}dt

Vediamo che la costante che moltiplica l’integrale di V_{in} dipende dalla frequenza e dal rapporto delle capacitá. Ció é un importante vantaggio rispetto all’utilizzo di un integratore che utilizza una resistenza ed una capacitá poiché, mentre non é facile realizzare in un integrato un condensatore (o una resistenza) preciso e stabile, é molto piú agevole realizzare due capacitá il cui rapporto lo sia. Il risultato di ció é che sono disponibili in commercio filtri a condensatori commutati il cui costo é molto inferiore a quello di filtri convenzionali. Un secondo vantaggio dei filtri di questo tipo é, come accennato, nel fatto che essi consentono di regolare la frequenza di taglio (quella superiore in filtri passa-basso, quella inferiore in filtri passa-alto etc), con la semplice modifica della frequenza f del segnale di clock. Infatti, come visto, tale modifica equivale a cambiare la resistenza equivalente R e quindi la costante che moltiplica l’integrale di V_{in}. Filtri a condensatori commutati sono disponibili in commercio sia in versioni dedicate, in cui la configurazione (passa-basso, passa-alto, passa-banda etc.) é fissata, che in versioni ”universali”, che possono essere adattate a realizzare il filtro che si desidera aggiungendo esternamente i componenti opportuni. Un problema che é presente nei filtri a condensatori commutati é l’influenza della segnale di clock sul segnale in uscita. Ammettiamo ad esempio di voler realizzare un filtro passa-basso, con una frequenza di taglio superiore di 1 kHz e di utilizzare un filtro a condensatori commutati con una frequenza di clock di 100 kHz. Se il segnale che si vuol filtrare ha componenti di Fourier nella zona 99-101 kHz, osserveremo all’uscita del filtro un segnale spurio, non attenuato, con frequenze inferiori ad 1 kHz. A tale fenomeno si da il nome di aliasing.

216

Oscillatori sinusoidali

8.1 Introduzione

Consideriamo un amplificatore a banda larga (vedi figura 8.1), seguito da un circuito (attivo o passivo) che fornisce in uscita una frazione (β) del segnale presente al suo ingresso.

Avremo all’uscita: Y (t) = AβX(t). Se il segnale presente all’ingresso é sinusoidale, l’uscita Y (t) sará anch’essa sinusoidale. L’effetto della funzione di trasduzione Aβ é quello di modificare fase ed ampiezza del segnale presente in ingresso.

Se Aβ é tale da non modificare, ad una certa frequenza f_{0}, né l’ampiezza né la fase del segnale presente in ingresso, cioé se per f = f_{0} é Aβ = 1 (reale), allora potremo pensare di utilizzare Y (t) al posto dell’ingresso X(t) ed aspettarci che il sistema mantenga delle oscillazioni (eventualmente smorzate) di frequenza f_{0}.

Ció é quanto in realtá avviene. Il circuito descritto dalla funzione di trasferimento β é il circuito di feedback (o di reazione). La condizione Aβ = 1 é nota come ”condizione di Barkhausen”. Essa deve essere verificata ad una sola frequenza.

Il circuito di feedback nel caso generale puó esser disegnato come in figura 8.2. Avremo:

e(t) = X(t) + βX′(t)

X′(t) = Ae(t) = AX(t) + AβX′(t)

da cui:

X′(t)(1 − Aβ) = AX(t)

Figura 8.1:

X′(t) = \frac{A}{1 − Aβ} X(t) (8.1)

Se definiamo un ”guadagno con feedback”, A_{f}, come:

A_{f} = \frac{X′(t)}{X(t)} (8.2)

vediamo che:

A_{f} = \frac{A}{1 − Aβ} (8.3)

che va ad infinito per Aβ = 1. Ció implica che, con X(t) = 0, il sistema avrá un valore finito del segnale in uscita X′(t).

La condizione di Barkhausen dovrá essere soddisfatta ad una sola frequenza f_{0} (frequenza di oscillazione) che é quella che annulla la parte immaginaria di Aβ. La condizione che Aβ = 1 per f = f_{0} (che cioé sia uguale ad 1 la parte reale), viene poi adoperata per determinare gli altri parametri dell’amplificatore e della rete di reazione.

8.2 Realizzazione di un oscillatore sinusoidale

Per realizzare un oscillatore sinusoidale dobbiamo costruire un circuito con retroazione positiva che, ad una ben determinata frequenza, soddisfi le due condizioni seguenti:

• lo sfasamento complessivo lungo l’intera maglia deve essere uguale a zero

• il guadagno in tensione lungo l’intera maglia deve valere 1

Queste due condizioni possono poi esser ottenute in due modi diversi:

• facendo uso di un amplificatore a larga banda ed una rete passiva di reazione che abbia una buona selettivita’, che cioé realizzi la condizione di Barkhausen alla frequenza desiderata f_{0}

• adoperando un elemento (amplificatore o altro) che, alla frequenza f_{0}, introduca uno sfasamento di π/2 seguito da un secondo elemento che, alla stessa frequenza, introduca uno sfasamento di −π/2 Ci occuperemo ora degli oscillatori sinusoidali del primo tipo. Questi possono a loro volta essere suddivisi in due classi:

• quelli in cui la rete passiva introduce uno sfasamento di π. In tal caso l’amplificatore dovrá essere invertente

• quelli in cui la rete passiva non introduce alcuno sfasamento. In tal caso l’amplificatore dovrá essere non-invertente

Va infine notato che la condizione |Aβ| = 1 non sará mai rigorosamente soddisfatta da un circuito reale. Anche se essa lo fosse ”a circuito spento”, la variazione dei parametri fisici della rete con la temperatura potrebbe far si che la condizione non fosse piú soddisfatta a circuito acceso. Se |Aβ| é minore di 1 l’oscillazione si estinguerá rapidamenente. Se |Aβ| > 1, l’oscillazione tenderá ad esaltarsi e con ció manderá il sistema fuori dalla zona lineare. Tale non-linearitá diverrá sempre piú marcata via via che l’ampiezza delle oscillazioni aumenta. L’effetto della non-linearitá sará quello di limitare l’escursione delle oscillazioni e riportare il circuito in zona lineare.

Si vede da quanto detto che é opportuno che |Aβ| sia, anche se poco, superiore ad 1. Una buona regola é che |Aβ| sia maggiore di 1 di circa il 5%.

8.3 L’oscillatore a sfasamento

In tale tipo di oscillatore viene adoperato un amplificatore invertente, seguito da tre celle RC (o RL) in cascata, tali da fornire uno sfasamento complessivo di 180^{o}. La necessitá di adoperare tre celle é dovuta al fatto che lo sfasamento introdotto da ciascuna cella é sicuramente inferiore a 90^{o}.

Il circuito appare come in figura 8.3.

Se ammettiamo che l’impedenza d’ingresso dell’amplificatore sia infinitamente grande e quella d’uscita nulla, il circuito equivalente sará quello di figura 8.4, dove compare il generatore dipendente A_{v}v_{1}.

Per questo circuito, con le notazioni indicate in figura, abbiamo le seguenti equazioni:

i′′ = \frac{v_{1}}{Z_{2}}

v′′ = (Z_{1} + Z_{2})i′′ = (Z_{1} + Z_{2})\frac{v_{1}}{Z_{2}}

i′ = \frac{v′′}{Z_{2}} = (Z_{1} + Z_{2})\frac{v_{1}}{Z_{2}^{2}}

v′ = v′′ + Z_{1}(i′ + i′′) = (Z_{1} + Z_{2})\frac{v_{1}}{Z_{2}} + [\frac{Z_{1} + Z_{2}}{Z_{2}^{2}} + \frac{1}{Z_{2}} ]Z_{1}v_{1}

da cui:

v′ = v_{1}[3(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 1]

i = \frac{v′}{Z_{2}} = \frac{v_{1}}{Z_{2}} [(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 3(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + 1]

i_{Z_{1}} = i + i′ + i′′ = \frac{v_{1}}{Z_{2}} [(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 3(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + 1] + \frac{v_{1}}{Z_{1}} [(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2}] + \frac{v_{1}}{Z_{2}}

Con riferimento alla figura 8.4 , il feedback β é nel nostro caso: β = \frac{v_{1}}{\overline{v_{1}}} . Calcoliamo \overline{v_{1}}:

\overline{v_{1}} = v′ + Z_{1}i_{Z_{1}} = v_{1}[(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{3} + 5(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 6(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + 1]

da cui:

β = \frac{1}{(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{3} + 5(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 6(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + 1}

e quindi:

Aβ = −\frac{A_{v}}{(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{3} + 5(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 6(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + 1}

La condizione: Aβ = 1 (reale) implica:

−A_{v} = (\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{3} + 5(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 6(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) + 1

e che entrambi i membri di tale equazione siano reali (essendo A_{v} reale). Poiché d’altronde Z_{1} e Z_{2} sono uno reale e l’altro immaginario, ne segue che solo le potenze dispari di Z_{1}/Z_{2} possono contribuire alla parte immaginaria dell’espressione. La condizione di risonanza é allora:

(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{3} + 6(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ) = 0

che implica:

(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} = −6

Da questa si ottiene per A_{v}:

−A_{v} = 5(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} + 1 = −30 + 1 = −29

A_{v} = 29

Cioé l’amplificatore invertente deve avere un guadagno pari a 29, indipendentemente dal tipo di elemento reattivo considerato.

L’equazione:

(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} = −6

ci da inoltre il valore della frequenza di oscillazione. Se ad esempio é:

Z_{1} = \frac{1}{jωC}

Z_{2} = R

si ha:

(\frac{Z_{1}}{Z_{2}} )^{2} = −\frac{1}{(ωRC)^{2}} = −6

da cui:

ω^{2} = \frac{1}{6(RC)^{2}}

ω = \frac{1}{\sqrt{6}RC}

Se invece é:

Z_{1} = R

Z_{2} = \frac{1}{jωC}

si ha:

ω = \frac{\sqrt{6}}{RC}

Figura 8.6:

Notiamo che oscillatori di questo tipo sono convenienti finché sono trascurabili gli effetti reattivi dell’elemento attivo. Essi vengono pertanto adoperati fino a qualche centinaio di kHz.

Un esempio di oscillatore a sfasamento che utilizza un amplificatore operazionale é quello di figura 8.5.

Notiamo che l’amplificatore, costituito dall’operazionale con la resistenza di feedback R_{1} e la resistenza d’ingresso R, ha l’uscita collegata alla rete CR-CR-CR (la terza resistenza R é quella sull’ingresso invertente dell’operazionale, che é una massa virtuale).

Il guadagno dell’amplificatore indicato dal rettangolo tratteggiato é: A_{v} = −R_{1}/R. La condizione |A_{v}| = 29 richiede che sia R_{1} = 29R. In realtá, come giá detto, é bene che tale condizione sia soddisfatta con un qualche margine (e.g. se R=1k dovrá essere R_{1} ≃ 31k).

Un oscillatore a sfasamento analogo a questo é indicato nella figura 8.6.

Analizziamo il funzionamento di questo circuito. La condizione di Barkhausen é evidentemente: v_{1} = v_{2} (a catena aperta).

Procedendo in modo analogo a quello seguito nell’analizzare il caso generale discusso in precedenza e facendo uso della variabile complessa s, avremo:

v_{2} = −R_{2}i′

v′ = \frac{i′}{sC} = −\frac{v_{2}}{sR_{2}C}

i_{2} = \frac{v′}{R_{1}} = −\frac{v_{2}}{sR_{1}R_{2}C}

i′′ = i_{2} + i′ = −\frac{v_{2}}{R_{2}} (1 + \frac{1}{sR_{1}C})

v′′ = v′ + \frac{i′′}{sC} = −\frac{v_{2}}{sR_{2}C} (2 + \frac{1}{sR_{1}C})

i_{1} = \frac{v′′}{R_{1}} = −\frac{v_{2}}{sR_{1}R_{2}C} (2 + \frac{1}{sR_{1}C})

i′′′ = i′′ + i_{1} = −\frac{v_{2}}{R_{2}} (1 + \frac{3}{sR_{1}C} + \frac{1}{(sR_{1}C)^{2})})

v_{1} = v′′ + \frac{i′′′}{sC} = −\frac{v_{2}}{sR_{2}C} (3 + \frac{4}{sR_{1}C} + \frac{1}{(sR_{1}C)^{2}} )

imponendo la condizone che questo sia uguale a v_{2}, otteniamo:

R_{2} = −\frac{1}{sC} (3 + \frac{4}{sR_{1}C} + \frac{1}{(sR_{1}C)^{2}} ))

Poniamo ora: s = jω. La parte immaginaria dell’espressione scritta per R_{2} é:

−\frac{3}{ωC} + \frac{1}{R_{1}^{2}C^{3}ω^{3}}

che si annulla per:

ω = ω_{0} ≡ \frac{1}{\sqrt{3}R_{1}C}

Per tale valore di ω, R_{2} vale:

R_{2} = \frac{4}{ω^{2}R_{1}C^{2}} = 12R_{1}

In pratica si sceglierá un valore di R_{2} leggermente piú alto di questo, diciamo del 5%, se si vuole evitare un rapido smorzamento delle oscillazioni. L’ampiezza di queste sará limitata dal fatto che, per effetto del feedback, il dispositivo attivo uscirá rapidamente dalla zona lineare.

Figura 8.8:

8.4 Oscillatore a sfasamento a transistor bipolare

Sappiamo che in un amplificatore a transistor ad emettitore comune l’uscita é sfasata di 180^{o} rispetto all’ingresso. Se quindi inseriamo una rete passiva di feedback che introduca un ulteriore sfasamento di 180^{o} e dimensioniamo opportunamente l’attenuazione introdotta dalla rete, possiamo realizzare un oscillatore sinusoidale.

Come negli esempi precedenti, la rete passiva potrá essere ottenuta tramite tre elementi CR-CR-CR, come mostrato in figura 8.7.

Notiamo che la resistenza associata al terzo gruppo CR é costituita dalla resistenza R′ in serie con il parallelo di R_{b} ed h_{ie}. Ammetteremo che sia R_{b} ≫ h_{ie}. Per esaminare il comportamento di questo circuito, sostituiamo al transistor il suo modello a parametri h, ottenendo in tal modo il circuito equivalente mostrato in figura 8.8 (dove abbiamo trascurato h_{re} ed h_{oe}) e dove R ≃ R′ + h_{ie}.

Calcoliamo la corrente i a partire da i_{b}, come fatto negli esempi precedenti.

i′′′ = i_{b}

v′′′ = (R′ + h_{ie})i_{b} ≈ Ri_{b}

v′′ = v′′′ + \frac{i_{b}}{sC} = i_{b}[R + \frac{1}{sC}]

i_{R_{2}} = \frac{v′′}{R} = i_{b}[1 + \frac{1}{sRC}]

i′′ = i′′′ + i_{R_{2}} = i_{b} + i_{R_{2}} = i_{b}[2 + \frac{1}{sRC}]

v′ = v′′ + \frac{i′′}{sC} = i_{b}[R + \frac{3}{sC} + \frac{R}{(sRC)^{2}} ]

i_{R_{1}} = \frac{v′}{R} = i_{b}[R + \frac{3}{sRC} + \frac{1}{(sRC)^{2}} ]

i′ = i′′ + i_{R_{1}} = i_{b}[3 + \frac{4}{sRC} + \frac{1}{(sRC)^{2}} ]

v = v′ + \frac{i′}{sC} = i_{b}[R + \frac{6}{sC} + \frac{5R}{(sRC)^{2}} + \frac{R}{(sRC)^{3}} ]

i_{R_{c}} = \frac{v}{R_{c}} = \frac{i_{b}R}{R_{c}}[1 + \frac{6}{sRC} + \frac{5}{(sRC)^{2}} + \frac{1}{(sRC)^{3}} ]

La corrente nel circuito di collettore é allora:

−h_{fe}i_{b} = i = i′+i_{R_{c}} = i_{b}[3+\frac{4}{sRC} +\frac{1}{(sRC)^{2}} +\frac{R}{R_{c}} +\frac{6}{sR_{c}C} +\frac{5}{R_{c}R(sC)^{2})}+\frac{1}{R_{c}R^{2}(sC)^{3}} ](8.4)

L’espressione in parentesi quadra deve, come visto in precdenza, essere reale. Uguagliando a zero la parte immaginaria (cioé la somma dei termini che contengono potenze dispari di s), otteniamo:

\frac{4}{sR} + \frac{6}{(sR_{c})} + \frac{1}{s^{3}R^{2}R_{c}C^{2}} = 0

cioé, ponendo s = jω:

\frac{4}{Rω} + \frac{6}{R_{c}ω} − \frac{1}{R_{c}R^{2}C^{2}ω^{3}} = 0

da cui si ottiene dopo qualche passaggio:

ω^{2} = \frac{1}{(6 + 4\frac{R_{c}}{R})R^{2}C^{2}}

La frequenza di risonanza f_{0} = ω_{0}/(2π) sará quindi:

f_{0} = \frac{1}{2πRC\sqrt{6 + 4\frac{R_{c}}{R}}} (8.5)

dalla 8.4, sostituendo il valore ottenuto per ω_{0}, si ha:

h_{fe} = −[3 − \frac{1}{R^{2}C^{2}ω_{0}^{2}} + \frac{R}{R_{c}} − \frac{5}{R_{c}RC^{2}ω_{0}^{2}} ]

che, con qualche passaggio si riduce a:

h_{fe} = 23 + 29\frac{R}{R_{c}} + 4\frac{R_{c}}{R}

Ponendo k ≡ \frac{R}{R_{c}}, questa diventa:

h_{fe} = 23 + 29k + \frac{4}{k}

Da questa possiamo ricavare k:

k = \frac{R}{R_{c}} = \frac{h_{fe} − 23}{58} + \sqrt{(\frac{23 − h_{fe}}{58} )^{2} − \frac{4}{29}}

Dati h_{fe} ed ω_{0} si puó ricavare R/R_{c} da quest’ultima equazione e poi RC dalla 8.5. Notiamo che, affinché il radicando sia positivo occorre che sia:

(\frac{h_{fe} − 23}{58})^{2} > \frac{4}{29}

cioé:

h_{fe} > 23 + \sqrt{464} = 44.6

Se h_{fe} é minore di tale valore, il circuito non potrá oscillare.

Un esempio concreto di oscillatore a sfasamento a transistor bipolare é quello di figura 8.9.

Notiamo che i due transistor BC107 sono adoperati nella configurazione Darlington, con che l’impedenza d’ingresso é estremamente elevata.

8.5 L’oscillatore sinusoidale in quadratura

La condizione di Barkhausen Aβ = 1 (reale) implica che lo sfasamento complessivo dell’amplificatore con reazione positiva debba essere nullo. Ció puó esser ottenuto utilizzando un amplificatore che introduca uno sfasamento di +90^{o} ed una rete di reazione costituita da un secondo amplificatore che introduca uno sfasamento di −90^{o}. Si parla allora di oscillatore in quadratura.

Un sistema basato su tale schema puó esser realizzato facendo uso di un integratore invertente seguito da uno non-invertente. Un integratore non-invertente é quello mostrato in figura 8.10

La condizione v_{−} = v_{+} fornisce:

\frac{ṽ_{1}}{R_{1} + \frac{1}{sC_{1}}} \frac{1}{sC_{1}} = \frac{ṽ_{2}}{R_{2} + \frac{1}{sC_{2}}} R_{2}

dove la soprascritta˜ sta ad indicare la trasformata di Laplace. Da questa segue:

ṽ_{2} = \frac{ṽ_{1}(1 + sC_{2}R_{2})}{sC_{2}R_{2}(1 + sC_{1}R_{1})}

che, per R_{1}C_{1} = R_{2}C_{2} ci da:

ṽ_{2} = (\frac{1}{C_{2}R_{2}} )\frac{ṽ_{1}}{s}

che á appunto la trasformata della risposta di un integratore non-invertente.

Se ora a tale circuito facciamo seguire un integratore invertente, otteniamo il circuito di figura 8.11 che, come vedremo, si comporta da oscillatore sinusoidale.

L’operazionale A, con le capacitá C_{1}, C_{2} e le resistenze R_{1}, R_{2}, costituisce un integratore non invertente. Questo é alimentato dall’integratore invertente costituito dall’operazionale B con la capacitá C_{3} e la resistenza R_{3}. Poiché la funzione di trasduzione dell’integratore invertente é data da:

ṽ_{1} = −\frac{1}{C_{3}R_{3}} \frac{ṽ_{o}}{s}

la funzione di trasduzione della maglia sará:

ṽ_{1} = −\frac{1}{sC_{3}R_{3}} \frac{1 + sC_{2}R_{2}}{1 + sC_{1}R_{1}} \frac{1}{sC_{2}R_{2}} ṽ_{1}

Ponendo C_{1} = C_{2} = C_{3} = R, R_{1} = R_{2} = R_{3} = R e quindi:

C_{1}R_{1} = C_{2}R_{2} = C_{3}R_{3} = CR

segue:

\frac{1}{ω^{2}C^{2}R^{2}} = 1

dove si é fatto uso della sostituzione s = jω. Si ottiene in tal modo per la frequenza angolare di oscillazione:

ω = \frac{1}{RC}

Nella pratica é necessario che R_{2}C_{2} sia maggiore di R_{1}C_{1} se si vuole che le oscillazioni persistano.

8.6 Circuiti limitatori negli oscillatori sinusoidali

In tutti gli esempi visti si é accennato all’opportunitá che |Aβ| sia leggermente maggiore di 1, per evitare un rapido smorzamento delle oscillazioni. Ció potrebbe peró causare una rapida uscita degli amplificatori dalla loro zona lineare, con che le oscillazioni sarebbero fortemente deformate.

Per ovviare a tale inconveniente é opportuno inserire nella rete di reazione un elemento che riporti il sistema in zona lineare.

Ció puó esser ottenuto in vari modi. Un metodo spesso adoperato é quello di sostituire una resistenza (ad esempio, nell’oscillatore a sfasamento di figura 8.5, la resistenza R posta all’ingresso invertente dell’operazionale) con una resistenza che abbia un coefficiente di temperatura positivo (cioé un sensistore). In tal modo, se il guadagno dell’amplificatore aumenta, aumenterá la corrente in R con una conseguente diminuzione del guadagno.

Un’alternativa all’uso del sensistore é quella di inserire una coppia di Zener contrapposti, in serie con una opportuna resistenza, in parallelo alle resistenze R_{1} − R come mostrato in figura 8.12.

In questo circuito, se v_{out} aumenta oltre v_{z} + v_{γ}, i diodi Zener conducono ed il guadagno diminuisce. Un analogo circuito puó essere utilizzato, nel circuito di figura 8.10, in serie con la capacitá C_{2}.

Figura 8.13:

8.7 Oscillatore a mezzo ponte di Wien

Questo adopera un amplificatore non-invertente, come indicato in figura 8.13.

Se facciamo l’ipotesi che l’impedenza d’ingresso dell’amplificatore sia infinita e quella d’uscita sia nulla, possiamo far uso del circuito equivalente di figura 8.14 per verificare il funzionamento

Da tale circuito si ottiene facilmente:

v_{1} = (A_{v}v_{1})\frac{Z_{p}}{Z_{p} + Z_{s}}

dove Z_{s} é l’impedenza-serie e Z_{p} quella parallelo di R e C:

Z_{p} = \frac{R/sC}{R + 1/sC}

Z_{s} = R + 1/sC

Si ottiene in tal modo:

A_{v} = \frac{(sRC)^{2} + 3(sRC) + 1}{sRC}

La parte immaginaria di tale espressione si annulla per:

sRC + \frac{1}{sRC} = 0

cioé:

(sRC)^{2} = −1

e quindi, ponendo s = jω, per:

ω = \frac{1}{RC}

Per tale valore di ω si ha A_{v} = 3. Questo dovrá quindi essere il guadagno dell’amplificatore.

8.8 L’oscillatore a ponte di Wien

In tale tipo di oscillatore un ponte bilanciato (vedi figura 8.15) viene adoperato come circuito di feedback.

I quattro rami del ponte sono costituiti dalle impedenze R_{1}, R_{2}, Z_{1}, Z_{2}. L’input del ponte é l’uscita v_{o} dell’operazionale e l’output del ponte tra i nodi 1 e 2 fornisce l’input differenziale all’amplificatore operazionale (vedi figura 8.16). Se il ponte é bilanciato, avremo v_{1−2} = 0, con un valore finito di v_{o}. Ció richiede che la tensione nel punto 2, determinata dal partitore R_{1} − R_{2}, sia uguale a quella nel punto 1, determinata dal partitore Z_{1} − Z_{2}, cioé che sia:

\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

In definitiva, nel circuito di figura 8.15, se il ponte é bilanciato, la differenza di potenziale tra l’ingresso invertente e quello non invertente dell’operazionale, sará nulla. Ció richiede che il feedback negativo introdotto dal ramo R_{1} − R_{2} bilanci quello positivo introdotto dal ramo Z_{1} − Z_{2}.

Il guadagno dell’anello é Aβ, dove:

β = \frac{v^{′f}}{v_{o}} = \frac{Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}}

Figura 8.15: Figura 8.16: ed:

A ≡ \frac{v_{0}}{v′_{f}} = 1 + \frac{R_{1}}{R_{2}}

Avremo allora:

βA = \frac{Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}} (1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} )

Cioé:

βA = \frac{α}{3α − j(1 − α^{2})}(1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} )

dove: α ≡ ωRC. La condizione di Barkhausen: Aβ = 1 impone che sia:

1 − α^{2} = 0

cioé α = ωRC = 1. Se tale condizione é soddisfatta, l’ulteriore vincolo:

βA = 1 = \frac{1}{3} (1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} )

porta a:

1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} = 3

cioé:

\frac{R_{1}}{R_{2}} = 2

É possibile cambiare con continuitá la frequenza di risonanza cambiando simultaneamente i valore dei due condensatori C. É possibile poi modificare il range di frequenza (in modo discontinuo) cambiando i valori delle due resistenze (uguali) R.

L’uscita di tale circuito, se montato senza ulteriori precauzioni, potrebbe facilmente saturare al livello alto o a quello basso dell’A.O., o esibire instabilitá nelle oscillazioni. É possibile renderlo stabile, come accennato in precedenza, con l’aggiunta di opportuni diodi. Un esempio é quello mostrato in figura 8.17. I due diodi servono a ”bypassare” la resistenza R_{1} e quindi a ridurre il guadagno (dato nell’esempio da 1 + (R_{1} + R_{5} + f · X_{2})/(R_{6} + f · X_{2}), con f il fattore di regolazione del potenziometro X_{2}) non appena l’uscita tenda a divenire troppo alta in valore assoluto.

Figura 8.17: 233 234

Il rumore nei circuiti elettronici

9.1 Introduzione

Anche in assenza di segnale applicato in ingresso, una tensione o corrente di rumore è sempre presente all’uscita di un amplificatore. Tale segnale può aver origine nei componenti dell’amplificatore medesimo (transistori, FET, resistenze, diodi etc.) o può avere origini esterne (disturbi di natura elettromagnetica nell’ambiente, insufficiente filtraggio della tensione di alimentazione ottenuta dalla rete elettrica, rumore già presente all’ingresso dell’amplificatore).

Se si osserva il segnale all’uscita dell’amplificatore con un oscilloscopio, si vedrà una successione di impulsi di forma irregolare, positivi e negativi, come e’ possibile vedere in figura (9.1).

L’altezza degli impulsi è spesso molto piccola e la loro distribuzione nel tempo è nella piu’ gran parte dei casi, casuale (non lo sara’ ovviamente se il rumore ha origine nella rete elettrica a 220 V, in emissioni elettromagnetiche da parte di

motori elettrici nell’ambiente etc).

Ci limiteremo qui allo studio del rumore di tipo casuale, che ha prevalentemente origine nei componenti del circuito o negli elementi che lo precedono.

Lo studio del rumore è particolarmente importante in quelle applicazioni in cui è necessario amplificare dei segnali la cui ampiezza è molto piccola. In tali circostanze, l’ampiezza del rumore può divenire una frazione apprezzabile di quella del segnale e diviene importante adottare accorgimenti particolari per amplificare il segnale e non il rumore. È necessario, a tale scopo, conoscere le caratteristiche del rumore, quali ad esempio il suo spettro di frequenza.

I tre tipi principali di rumore sono:

• il rumore termico

• il rumore di tipo ”shot”

• il rumore 1/f

Nei paragrafi che seguono esamineremo le caratteristiche principali di tali tipi di rumore, cominciando con una breve descrizione dei metodi adoperati per caratterizzarlo.

9.2 Processi stocastici stazionari

Ci occuperemo qui dei processi stocastici che si ripetono nel tempo e che possono essere considerati, su lunghi intervalli di tempo, stazionari. Nella piú gran parte dei casi essi hanno origine in fluttuazioni che hanno luogo a livello microscopico. In tal caso risulta opportuno affrontare il problema studiando la distribuzione di tali processi nel tempo. Dal punto di vista sperimentale é invece comodo effettuare misure nel dominio della frequenza. Ci occuperemo ora dei metodi adoperati per la caratterizzazione nel dominio temporale. Si vedrá successivamente come le due descrizioni siano legate l’una all’altra da utili relazioni matematiche.

9.2.1 Descrizione nel dominio del tempo

Distribuzioni

Consideriamo un sistema fisico soggetto a fluttuazioni statistiche casuali. Sia x(t) la grandezza della variabile che fluttua, all’istante t, relativamente al sistema in esame. Tale variabile potrebbe essere una tensione, una corrente, una carica, un numero di fotoni etc. Per caratterizzare le proprietá del sistema si introducono delle opportune medie effettuate su di esso. Piú dettagliatamente, si supponga di considerare un gran numero N di sistemi identici a quello sotto esame, ciascuno dei quali sia soggetto alle medesime fluttuazioni, ma indipendentemente dagli altri. Fissato un certo istante t_{1}, sia x_{i}(t_{1}) il valore che la variabile relativa all’ie-mo sistema ha in tale istante. Sia ora ΔN il numero dei sistemi per i quali la variabile ha, nell’istante considerato, un valore compreso tra x e x + Δx. Per N → ∞ si prenda ora il rapporto ΔN/N. Tale rapporto esprime la probabilitá che il sistema abbia il valore della variabile x compreso nell’intervallo suddetto, al tempo t_{1}. Chiameremo tale probabilitá ΔP. Il rapporto tra tale probabilitá e l’ampiezza Δx dell’intervallo scelto per la variabile x é, per Δx → 0, la funzione densitá di probabilitá:

\frac{dP}{dx} ≡ lim_{Δx→0} \frac{ΔP}{Δx} = f(x, t_{1})

La probabilitá che il sistema abbia, all’istante t_{1}, un valore della variabile compreso in un intervallino dx é esprimibile in funzione della f(x,t):

dP = f(x, t)dx

Se la funzione f(x,t) é indipendente da t, il sistema si dice stazionario. La piú gran parte dei processi di rumore che si incontrano sono stazionari.

Nota la densitá di probabilitá, é facile calcolare valori medi di variabili che siano funzioni della variabile casuale x. Le medie che si ottengono sono medie sull’insieme dei sistemi identici considerati. Ad esempio, si possono calcolare i momenti:

\overline{x^{m}} = ∫_{−∞}^{∞} x^{m}f(x)dx

Data una generica funzione g(x) della variabile casuale x, il suo valor medio sull’insieme é:

\overline{g(x)} = ∫_{−∞}^{∞} g(x)f(x)dx

Se f(x) é simmetrica (f(x)=f(-x)) ed x puó variare tra valori uguali ed opposti (−x_{0} , +x_{0}) allora il valor medio di tutte le potenze dispari di x sará nullo. Se il valor medio di x (cioé il momento di ordine 1) é diverso da zero, si puó introdurre la grandezza:

Δx = (x − \overline{x})

il cui valor medio é nullo.

Si definisce la varianza di x come:

var(x) ≡ \overline{Δx^{2}} = \overline{(x − \overline{x})^{2}} = \overline{x^{2}} − \overline{x}^{2}

Abbiamo fatto implicitamente l’ipotesi che la funzione f(x) fosse normalizzata ad 1:

∫_{−∞}^{∞} f(x)dx = 1

Se questa condizione non fosse soddisfatta, sarebbe comunque possibile definire una nuova funzione, legata alla f(x) da una semplice relazione di proporzionalitá, normalizzata ad 1.

Abbiamo finora effettuato l’operazione di media ammettendo di disporre di un numero (teoricamente infinito) di sistemi identici a quello che si sta studiando e soggetti a fluttuazioni indipendenti. Questo é chiaramente un artificio di calcolo. Nella realtá disponiamo di un solo sistema soggetto a fluttuazioni che si ripetono nel tempo. Ammettiamo di studiare le fluttuazioni del sistema sull’intervallo di tempo (0-T). Sia x(t) la variabile che caratterizza le fluttuazioni del sistema e sia g(x) una funzione della x. Possiamo definire il valor medio, sull’intervallo di tempo T, della g(x):

< g(x) > = lim_{T →∞} \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} g(x(t))dt

Se questa media temporale é uguale alla media effettuata sull’insieme, cioé a \overline{g(x)}, allora il processo di rumore in esame si dice ergodico. La piú gran parte dei processi di rumore sono ergodici.

Le considerazioni precedenti sono facilmente estendibili al caso di piú variabili. Se infatti x_{1}(t) ed x_{2}(t) sono variabili stocastiche indipendenti possiamo, analogamente a quanto fatto nel caso di una singola variabile, definire la probabilitá che la variabile x_{1} abbia un valore compreso nell’intervallo (x_{1}, x_{1} + dx_{1}) e la variabile x_{2} abbia un valore compreso nell’intervallo (x_{2}, x_{2} + dx_{2}):

dP = f(x_{1}, x_{2}, t)dx_{1}dx_{2}

Se tale funzione non dipende dal tempo, il sistema si dice stazionario. In modo analogo a quello seguito nel caso della funzione f(x), possiamo definire i valori medi di funzioni delle variabili x_{1}, x_{2}. Ad esempio, i momenti saranno:

\overline{x_{1}^{n}x_{2}^{m}} = ∫ ∫ x_{1}^{n}x_{2}^{m} f(x_{1}, x_{2})dx_{1}dx_{2}

Particolarmente importante é la correlazione:

\overline{x_{1}x_{2}} = ∫ ∫ x_{1}x_{2} f(x_{1}, x_{2})dx_{1}dx_{2}

che é uguale a zero se le due variabili non sono correlate. Si definisce poi il coefficiente di correlazione:

C = \frac{\overline{x_{1}x_{2}}}{\sqrt{\overline{x_{1}^{2}} \overline{x_{2}^{2}}}}

Si puó facilmente vedere che −1 ≤ C ≤ 1. Basta far uso del fatto che l’espressione:

\overline{(ax_{1} + bx_{2})^{2}} ≥ 0

per tutti i valori di a e b.

Il coefficiente di correlazione vale 0 se le variabili sono non correlate e ±1 se la correlazione é massima. Se il modulo di C é minore di 1 (ma non nullo) si dice che la correlazione é parziale.

Autocorrelazione

Se nel calcolo della correlazione definita sopra, facciamo uso di x(t) al posto di x_{1} e di x(t+τ) al posto di x_{2}, otteniamo quella che é nota come funzione di autocorrelazione

Φ(τ) = \overline{x(t)x(t + τ)} (9.1)

La funzione di autocorrelazione fornisce una misura della durata temporale di una fluttuazione.

Essa ha le seguenti proprietà:

• Φ(τ) é indipendente da t se x(t) é stazionaria

• Φ(τ) è o continua (anche se x(t) è discontinua) o è una funzione δ di τ. Infatti, se Φ(τ) non é una funzione δ(τ), generiche discontinuitá in x(t) e in x(t + τ) avranno luogo ad istanti diversi nei diversi elementi dell’insieme. Ne segue che tali discontinuitá daranno una media finale nulla • Φ(τ) = \overline{x(t)^{2}} per τ = 0, a meno che Φ(τ) non sia una funzione δ

• Φ(τ) = Φ(−τ) se x(t) é stazionaria

L’ultima relazione scritta si puó dimostrare come segue:

Φ(τ) ≡ \overline{x(t)x(t + τ)} = \overline{x(u − τ)x(u)} = \overline{(x(u)x(u − τ))} = \overline{x(t)x(t − τ)}

Dove il primo passaggio é ottenuto ponendo u = (t+τ), il secondo scambiando i due termini che figurano nella media ed il terzo sostituendo u con t, il che é consentito dal fatto che la x(t) é stazionaria.

Ulteriori proprietá della funzione di autocorrelazione sono:

• Per τ → ∞, Φ(τ) va a zero abbastanza rapidamente che l’integrale:

∫_{−∞}^{+∞} Φ(τ)dτ

esiste. Tale condizione puó non esser verificata in alcuni casi.

• Dalla correlazione si puó, se Φ(τ) non é una funzione δ(τ), ottenere il coefficiente di autocorrelazione normalizzato: c(τ) = \frac{\overline{x(t)x(t+τ)}}{\overline{x^{2}}}

Nel caso in cui Φ(τ) è una funzione δ:

Φ(τ) = A · δ(τ) (9.2)

il rumore si dice bianco.

Consideriamo ora alcuni esempi di sorgenti di rumore. Consideriamo una sequenza di impulsi (funzioni δ) positivi e negativi, distribuiti in modo casuale nel tempo, come mostrato in figura (9.2); la probabilità che un impulso abbia luogo nell’intervallo di tempo (t, t+dt) sia cioè costante ed indipendente da t. Sia inoltre A l’ampiezza degli impulsi, cioé l’integrale di ciscuna delle funzioni δ che li descrivono.

Sappiamo che in tal caso la distribuzione del numero n di impulsi in un tempo finito T è una Poissoniana. La funzione di autocorrelazione Φ(τ) sarà allora nulla

Figura 9.4:

per tutti i valori di τ, tranne che nel punto τ=0. Piú precisamente, essa sará una funzione δ(0) di ampiezza pari ad A^{2}

Se ora tale sorgente di rumore viene applicata ad un filtro passa-basso avente una costante di tempo τ_{1}, la funzione w(t) all’uscita avrà la forma mostrata in figura (9.3) e la corrispondente funzione di autocorrelazione avrà la forma mostrata in figura (9.4).

Infatti la risposta di un circuito caratterizzato da una funzione di trasferimento h(t) ad un segnale v(t) é data dalla convoluzione:

v_{o}(t) = ∫_{0}^{t} v(t − τ)h(τ)dτ (9.3)

la cui trasformata di Laplace é:

ṽ_{o}(s) = ṽ(s) · h̃(s)

Per dimostrare tale relazione, L-trasformiamo entrambi i membri della (9.3):

ṽ_{o}(s) = ∫_{0}^{∞} e^{−st}dt ∫_{0}^{t} v(t − τ)h(τ)dτ

Trasformiamo ora l’integrale interno, estendendo l’integrazione fino ad ∞. Ció puó esser ottenuto moltiplicando l’integrando per la funzione gradino unitario u(t − τ), che é nulla per τ > t:

ṽ_{o}(s) = ∫_{0}^{∞} e^{−st}dt ∫_{0}^{∞} v(t − τ)h(τ)u(t − τ)dτ = ∫_{0}^{∞} h(τ)dτ ∫_{0}^{∞} v(t − τ)u(t − τ)e^{−st}dt

dove nell’ultimo passaggio abbiamo scambiato l’ordine delle due integrazioni. L’integrale interno é nullo per t < τ. Possiamo quindi limitare l’integrazione fra τ ed ∞, dove é u(t − τ) = 1. Ponendo t′ = t − τ otteniamo:

ṽ_{o}(s) = ∫_{0}^{∞} h(τ)dτ ∫_{0}^{∞} v(t′)e^{−s(t′+τ)}dt′ = ∫_{0}^{∞} h(τ)e^{−sτ}dτ ∫_{0}^{∞} v(t′)e^{−st′}dt′ = h̃(s) · ṽ(s)

che é quanto volevamo dimostrare. Nel nostro caso (circuito passa-basso) la trasformata della funzione di trasferimento del circuito (cioé della h(t)) é:

h̃(s) = \frac{1}{s + a} con : a = \frac{1}{τ_{1}}

e la trasformata dell’eccitazione (funzione δ) é 1. Ne segue per la risposta:

v_{o}(t) = e^{−t/τ_{1}}

Cioé la risposta é un esponenziale. Poiché gli impulsi hanno luogo ad istanti casuali, ed inoltre possono essere sia positivi che negativi, la correlazione tra impulsi diversi sará nulla e l’unico contributo che rimane all’autocorrelazione é quella del generico impulso con se stesso, la cui forma é quella mostrata in figura (9.4).

Come si vede Φ(τ) é diverso da zero per valori di τ ≠0.

Funzione di autocorrelazione all’uscita di un circuito

Il procedimento formale per trovare la funzione di autocorrelazione Φ_{2}(τ) all’uscita di un circuito quando sia nota la funzione di autocorrelazione Φ_{1}(τ) all’ingresso è il seguente. Sia h(t) la funzione che esprime la risposta del circuito ad una funzione δ(t). Definiamo allora la funzione di autocorrelazione del circuito:

ρ(λ) = ∫_{−∞}^{+∞} h(t) ∗ h(t + λ) dt (9.4)

che esprime la ’memoria’ del circuito al tempo λ. Si dimostra allora che Φ_{2}(τ) é dato da:

Φ_{2}(τ) = ∫_{−∞}^{+∞} ρ(λ) ∗ Φ_{1}(t − λ) dλ (9.5)

9.2.2 Analisi nel dominio della frequenza

Lo sviluppo in serie di Fourier di una tensione di rumore v(t) può essere effettuato su di un intervallo di tempo definito (0-T):

v(t) = ∑_{n=−∞}^{+∞} a_{n} exp(jω_{n}t) (9.6)

dove:

a_{n} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} v(t) · exp(−jω_{n}t) dt (9.7)

ed:

ω_{n} = \frac{2πn}{T} , n = 0, ±1, ±2, ±n

Notiamo che dalla (9.7), con v(t) reale, segue che:

a_{n}^{∗} = a_{−n}

I primi termini (|n| ≤ 2) dello sviluppo (9.6) sono:

v(t) = a_{−2}exp(−j4π \frac{t}{T}) + a_{−1}exp(−j2π \frac{t}{T}) + a_{0} + a_{1}exp(j2π \frac{t}{T}) + a_{2}exp(j2π \frac{t}{T})

Per un dato T, la componente di Fourier di pulsazione ω_{n} é:

v_{n}(t) = a_{n}exp(jω_{n}t) + a_{−n}exp(−jω_{n}t)

Applichiamo ora questo sviluppo separatamente a ciascun elemento di un insieme di sistemi identici, soggetti a fluttuazioni. Calcoliamo il valore quadratico medio di v_{n} sugli elementi dell’insieme:

\overline{v_{n}^{2}} = \overline{a_{n}^{2}}exp(2jω_{n}t) + \overline{a_{−n}^{2}}exp(−2jω_{n}t) + 2\overline{a_{n}a_{n}^{∗}} (9.8)

Notiamo che a_{n} é un vettore nel piano complesso:

a_{n} = |a_{n}|exp(jϕ_{n})

ed a_{n}^{2}:

a_{n}^{2} = |a_{n}|^{2}exp(2jϕ_{n})

I vettori che rappresentano a_{n}^{2} per due diversi elementi dell’insieme sono mostrati in figura (9.5).

I due vettori possono avere moduli e fasi diverse. Dato peró il carattere casuale della fluttuazione, dato un elemento del sistema che ha, ad un dato istante, un certo modulo e fase, esisterá nell’insieme un elemento con uguale modulo e fase uguale a quella del primo, aumentata di π. Per tale coppia di elementi, la somma dei relativi vettori (uguali ed opposti) é nulla. Poiché ció é vero per qualunque valore di a_{n}, ne segue che:

\overline{a_{n}^{2}} = 0

Analogamente si vede che é:

\overline{a_{−n}^{2}} = 0

Invece non é nullo l’ultimo dei termini che compaiono nella (9.8). Ció segue dal fatto che esso é reale:

a_{n}a_{n}^{∗} = |a_{n}|exp(jϕ_{n}) |a_{n}|exp(−jϕ_{n}) = |a_{n}|^{2}

Di conseguenza, la cancellazione tra elementi diversi ora non ha luogo. Avremo in definitiva:

\overline{v_{n}^{2}} = 2\overline{a_{n}a_{n}^{∗}} (9.9)

Quanto detto finora si applica sia al caso \overline{v} = 0 che al caso \overline{v} ≠ 0. Poiché siamo comunque liberi di ridefinire v(t) − \overline{v} come la quantitá che fluttua, potremo sempre assumere, senza perdere generalitá, che sia \overline{v} = 0.

Densitá spettrale

Nello sviluppo (9.6), alla componente di pulsazione ω_{n} = \frac{2πn}{T} é associata una frequenza:

f_{n} = \frac{n}{T}

Considerando l’intervallo di frequenza:

Δf ≡ f_{n+1} − f_{n} = \frac{1}{T}

definiremo la densitá spettrale come:

S_{v}(f_{n}) = \frac{\overline{v_{n}^{2}}}{Δf} (9.10)

Questa rappresenta la potenza quadratica media di rumore per unitá di intervallo di frequenza, in prossimitá della frequenza f_{n}, sviluppata su di una resistenza di 1Ω cui sia applicato tale segnale di tensione.

Per T → ∞ l’equazione (9.10) si puó riscrivere, facendo uso della (9.9), come:

S_{v}(f) = lim_{T →∞} 2T \overline{a_{n}a_{n}^{∗}}

Essa esprime l’importanza delle singole componenti nello sviluppo in serie di Fourier.

Il teorema di Wiener-Khintchine (vedi appendice A) lega la densità spettrale così definita alla funzione di autocorrelazione:

S_{v}(f) = 2 ∫_{−∞}^{+∞} \overline{v(t) v(t + τ)} exp(jωτ)dτ = 4 ∫_{0}^{+∞} \overline{v(t) v(t + τ)} cos(ωτ)dτ(9.11)

Dove il termine \overline{v(t) v(t + τ)} è la funzione di autocorrelazione Φ(τ) L’ultima uguaglianza segue dal fatto che exp(jωτ) = cos(ωτ) + j sin(ωτ), che cos(ωτ) è una funzione pari e sin(ωτ) una funzione dispari di τ e che la funzione di autocorrelazione gode della proprietá che: Φ(τ) = Φ(−τ). Quindi scriveremo:

S_{v}(f) = 4 ∫_{0}^{+∞} Φ(τ) cos(ωτ)dτ (9.12)

Questa equazione può essere invertita, per esprimere la funzione di autocorrelazione in termini della densità spettrale:

Φ(τ) = ∫_{0}^{+∞} S_{v}(f) cos(ωτ)df (9.13)

Si vede da ció che S_{v}(f) e Φ(τ) sono l’una la trasformata di Fourier dell’altra. Attraverso queste equazioni è possibile ricavare la densità spettrale dalla funzione di autocorrelazione e viceversa. Nelle misure si determina la densità spettrale, da cui si ricava poi la funzione di autocorrelazione. I calcoli forniscono invece la funzione di autocorrelazione, da cui si ricava poi la densità spettrale facendo uso della 9.12.

Notiamo subito che nel caso di una sorgente di rumore bianco, che ha una funzione di autocorrelazione Φ(τ) = A · δ(τ) (con A una costante), si trova S_{v}(f) = 2 · A, cioè la densità spettrale è costante.

Ponendo τ = 0 la 9.13 fornisce:

Φ(0) = ∫_{0}^{+∞} S_{v}(f)df

e, poichè Φ(0) = \overline{v^{2}(t)}, si trova:

\overline{v^{2}(t)} = ∫_{0}^{+∞} S_{v}(f)df (9.14)

Cioè il valor medio del quadrato della tensione di rumore è dato da un’integrale sull’intero spettro di frequenze, della densità spettrale. La tensione quadratica media per unità di intervallo di frequenza é semplicemente S_{v}(f).

Banda di rumore di un amplificatore

Ammettiamo ora che un segnale casuale v(t) sia applicato all’ingresso di un generico sistema lineare, caratterizzato da una funzione di trasferimento g(f). Sia w(t) il segnale all’uscita del sistema. Siano S_{v}(f) e S_{w}(f) le corrispondenti densità spettrali ed a_{n} e b_{n} i relativi coefficienti di Fourier. La linearità del sistema porta a:

b_{n} = g(f) · a_{n}

e quindi:

S_{w}(f) = S_{v}(f)· | g(f) |^{2}

Per cui:

\overline{w^{2}(t)} = ∫_{0}^{∞} S_{v}(f)· | g(f) |^{2} df

Se il sistema lineare è un amplificatore con una banda passante molto stretta centrata sulla frequenza f_{0}, avremo:

\overline{w^{2}(t)} = S_{v}(f_{0}) · ∫ | g(f) |^{2} df = S_{v}(f_{0}) · g_{0}^{2} · B_{eff} (9.15)

dove g_{0} = g(f_{0}) è la risposta a metà banda del sistema lineare e B_{eff} è la larghezza di banda effettiva (nota anche come banda di rumore), definita da:

B_{eff} = \frac{1}{g_{0}^{2}} ∫_{0}^{∞} | g(f) |^{2} df (9.16)

9.2.3 Determinazione sperimentale della densità spettrale

.

La densità spettrale S_{v}(f) può esser misurata ad una generica frequenza f_{0}, facendo uso di un filtro di cui si conosca il guadagno a metà banda g_{0} e B_{eff}, nonchè di un rivelatore quadratico (cioè di un rivelatore in grado di fornire \overline{w(t)^{2}} ) all’uscita del filtro. La densità spettrale sarà ottenibile invertendo l’equazione 9.15 :

S_{v}(f_{0}) = \frac{\overline{w(t)^{2}}}{g_{0} · B_{eff}}

Variando la frequenza f_{0} del filtro si potrà in tal modo ottenere una misura della densità spettrale su di un ampio campo di frequenze. Si noti che spesso, al posto della densità spettrale, espressa in V^{2}/Hz si fa uso della sua radice quadrata (in V/\sqrt{Hz}).

9.3 Rumore termico

Il rumore termico (noto anche come rumore Johnson) è quello misurabile ai capi di una resistenza. Se misuriamo la differenza di potenziale ai capi della resistenza, troveremo che essa fluttua attorno allo zero, ma ha un valore quadratico medio diverso da zero. Si può pensare al rumore termico come dovuto al moto di agitazione termica degli elettroni nel materiale di cui è fatta la resistenza. Esso é analogo al moto Browniano, le cui proprietá erano state ottenute da Einstein nel 1906.

Il rumore osservato agli estremi della resistenza puó esser descritto come il risultato di una serie di impulsi casuali. Ciascun impulso é un evento, costituito dal transito di un elettrone tra collisioni successive con atomi del materiale. Tale evento produce una modifica nella distribuzione di carica all’interno del materiale, e causa quindi una fluttuazione nella differenza di potenziale alle estremitá. A tale evento segue un rilassamento, che riporta il sistema in equilibrio.

Segue da questa descrizione che ciascun elettrone presente produce un treno casuale di impulsi di tensione alle estremitá del materiale resistivo, via via che esso si muove nel materiale. La forma d’onda di rumore osservata é la somma delle successioni di impulsi associati al complesso degli elettroni nel dispositivo.

La distribuzione temporale degli eventi é casuale, nel senso che la probabilitá che un evento (il moto di un elettrone) abbia luogo in un intervallino di tempo δt é indipendente dalla storia precedente ed é proporzionale a δt:

dP = ν δt

dove ν (numero medio di eventi per unitá di tempo) non dipende da t. Si puó vedere (vedi appendice B) che la P é una distribuzione di Poisson e che quindi la probabilitá di osservare m collisioni in un intervallo di tempo finito t é data da:

P (m) = \frac{(νt)^{m}}{m!} e^{−νt} (9.17)

Per tale distribuzione si dimostra che é:

\overline{m} = νt la quale mostra che il parametro ν ha il significato del numero medio di eventi per unitá di tempo. Inoltre si dimostra che la varianza σ^{2} é:

σ^{2} = \overline{(m − \overline{m})^{2}} = \overline{m^{2}} − \overline{m}^{2} = \overline{m}

Cioé la varianza é uguale al valor medio. Questa é una caratteristica importante della distribuzione di Poisson.

Si può dimostrare che lo spettro di potenza del rumore è bianco, e più precisamente che la potenza di rumore in un intervallo di frequenza df è:

W = \frac{h f df}{exp(\frac{h f}{K T}) − 1} (9.18)

dove h è la costante di Planck (h = 6.6262 10^{−34} J s), K quella di Boltzmann K = 1.38 10^{−23} J/^{o}K) e T la temperatura assoluta.

A temperatura ambiente (T = 300^{o}K) l’esponente nel denominatore di questa espressione vale ≈ 1.6 10^{−13} f (Hz).

Vediamo quindi che per frequenze f non troppo alte (e/o temperature non troppo basse), l’esponente \frac{hf}{KT} ≪ 1 e quindi:

W = K T df (9.19)

Che è l’espressione comunemente adoperata nella più gran parte delle applicazioni. Essa mostra che si tratta in effetti di rumore bianco: la potenza di rumore è proporzionale all’ampiezza della banda di frequenze scelta. Ció almeno per frequenze ≤ 10^{12} Hz, quando le deviazioni previste dalla (9.18) da un andamento costante cominciano a farsi sentire.

Notiamo che l’andamento dato dalla (9.19) porterebbe ad una potenza di rumore totale (integrata su tutte le frequenze) infinitamente grande. La correzione quantistica contenuta nella (9.18) rende finito l’integrale della potenza sull’intero campo di fequenze.

Per calcolare il valor medio del quadrato della tensione di rumore, consideriamo ora il circuito di figura (9.6), dove la resistenza R_{1} è quella che genera il rumore (schematizzato dalla sorgente di tensione di rumore v_{1}) mentre la resistenza R_{2} assorbe la potenza W_{1} che la prima fornisce.

Ammettiamo che le due resistenze siano uguali, ma che la seconda sia priva di rumore ^{1}. La tensione ai capi della resistenza R_{2} sarà \frac{1}{2}v_{1} e la potenza media sviluppata sarà \frac{1}{4} \frac{v_{1}^{2}}{R}. Poichè questa quantità deve uguagliare W_{1}, si trova:

W_{1} = \frac{1}{4} \frac{\overline{v_{1}^{2}}}{R} (9.20)

dove si è posto:

R = R_{1} = R_{2}

e quindi:

\overline{v_{1}^{2}} = 4RW_{1} = 4KRT df

Da questo risultato si vede che il valor medio del quadrato della tensione di rumore e quello della corrente di rumore sono dati da:

\overline{v^{2}} = 4KT Rdf (9.21)

\overline{i^{2}} = \frac{4KT df}{R} (9.22)

Il rumore termico fù scoperto nel 1927-1928 da Johnson [13], il quale osservò che una tensione non periodica esisteva alle estremità di tutti i conduttori e che tale effetto dipendeva dalla temperatura. Successivamente Nyquist [14] ne dette una spiegazione teorica, basata su di un argomento termodinamico, che descriveremo brevemente nella prossima sezione.

Notiamo che le proprietá statistiche del rumore Johnson possono anche essere studiate seguendo un approccio basato sul comportamento del moto degli elettroni a livello microscopico e facendo uso della distribuzione di Poisson, che caratterizza il succedersi temporale degli eventi elementari. Tale metodo é analogo a quello seguito da Einstein e poi da Langevin [15]per lo studio del moto Browniano. Per una dimostrazione si veda la referenza ([16]).

9.3.1 Metodo di Nyquist

Ammettiamo di avere due resistenze identiche, alla medesima temperatura T, connesse fra di loro da una linea di trasmissione ideale avente impedenza caratteristica R, uguale a quella delle resistenze (vedi figura 9.7).

Sia L la lunghezza della linea. In condizioni di equilibrio, la prima delle due resistenze cede alla linea una potenza W nell’intervallo di frequenza df. Tale potenza è poi assorbita dall’altra resistenza. Nel medesimo tempo, la seconda resistenza cede alla linea una potenza W che è poi assorbita dalla prima. Nell’intervallo di tempo Δt = L/v (dove v è la velocità di propagazione di un’onda e.m. lungo la linea) che il segnale impiega a propagarsi lungo la linea, quest’ultima ha ricevuto quindi una energia

2W Δt = 2W L/v (9.23) dalle resistenze, nell’intervallo di frequenza df.

1Basta immaginare che la resistenza R_{2} sia stata posta in un bagno termico ad una temperatura prossima allo zero assoluto

Se ora, chiudendo simultaneamente i due interruttori I_{1} ed I_{2}, mettiamo in cortocircuito le estremità della linea, si formeranno onde stazionarie e l’energia rimarrà intrappolata nella linea stessa.

Le onde stazionarie presenti nella linea avranno frequenze:

f_{1} = \frac{v}{2L}

f_{2} = 2f_{1}

f_{3} = 3f_{1}

etc.

La spaziatura tra frequenze consecutive è δf = \frac{v}{2L}. Se L è grande, la spaziatura sarà piccola ed il numero di modi di vibrazione in un intervallo di frequenza df sarà:

\frac{df}{δf} = df · \frac{2L}{v}

Per il principio di equipartizione, a ciascun modo di vibrazione compete un’energia:

\overline{E} = \frac{hf}{exp(\frac{hf}{KT}) − 1}

L’energia nell’intervallo di frequenza df sarà quindi:

\frac{2L}{v} · df · \overline{E} = \frac{2L}{v} \frac{hf}{exp(\frac{hf}{KT}) − 1} · df

Uguagliando questa espressione all’energia (9.23) ceduta dalle resistenze alla linea nell’intervallo di frequenza df, cioè a:

2W \frac{L}{v}

troviamo:

W = \frac{hf}{exp(\frac{hf}{KT}) − 1}

che è quanto intendevamo dimostrare.

9.4 Il rumore di tipo shot

Questo rumore ha origine nelle fluttuazioni statistiche del numero di portatori di carica. È stato osservato da Schottky in valvole termoioniche e fu da lui attribuito al fatto che la corrente nei tubi a vuoto è costituita da un flusso discreto di cariche elettriche. Esso si osserva in numerosissimi dispositivi elettronici; ad esempio nella corrente in un diodo, nella corrente di gate in un FET, nei fotomoltiplicatori etc. In tutti questi casi, ed in molti altri analoghi, la distribuzione temporale del flusso delle cariche é, analogamente a quanto accade nel caso del rumore termico, una Poissoniana.

Il valore che si trova per la deviazione quadratica media della corrente dal suo valor medio, cioè per la quantità:

\overline{i^{2}} ≡ \overline{I^{2}} − \overline{I}^{2}

é

\overline{i^{2}} = 2 e \overline{I} df (9.24)

dove \overline{I} è la corrente media. La grandezza 2e\overline{I} é quindi la densità spettrale S_{i}(f) relativa alla corrente. Vediamo che anche in questo caso abbiamo a che fare con un rumore bianco.

Che la fluttuazione quadratica media della corrente attorno al valor medio (\overline{i^{2}}) sia proporzionale al prodotto \overline{I}e puó esser compreso facilmente facendo uso della distribuzione di Poisson. Infatti la corrente media \overline{I} é uguale al prodotto del numero di cariche elementari che attraversano nell’unitá di tempo la sezione del conduttore, per la carica elementare:

\overline{I} = \overline{n}e

La fluttuazione quadratica media della corrente attorno al valor medio é:

\overline{(I − \overline{I})^{2}} = \overline{i^{2}} = \overline{(n − \overline{n})^{2}} e^{2} = σ_{n}^{2}e^{2} = \overline{n}e^{2}

dove l’ultimo passaggio segue dal fatto che la distribuzione di n é una Poissoniana. Da questa segue poi:

\overline{i^{2}} = \frac{\overline{I}}{e} e^{2} = \overline{I}e

Una dimostrazione completa della (9.24), che rende conto del fattore 2, é la seguente. Ammettiamo che un certo fenomeno sia determinato dalla somma di un gran numero di eventi che avvengono in modo casuale, con un rate medio λ. Sia F (t − t_{i}) la funzione che descrive l’evoluzione temporale di una certa variabile fisica, originata dal verificarsi di uno degli eventi al tempo t_{i}. La funzione Y(t) che descrive l’andamento temporale macroscopico, risultante dal verificarsi di un numero N di eventi elementari in un certo tempo é allora data dalla somma:

Y (t) = ∑_{i} F (t − t_{i})

dove F (t − t_{i}) = 0 per t < t_{i} ed F (t − t_{i}) rappresenta l’effetto di un evento che ha luogo nell’istante t_{i}. Definiamo la trasformata di Fourier di F (u) come:

Ψ(f) = ∫_{−∞}^{+∞} F (u) · exp(−jωu)du

Si dimostra allora (teorema di Carson-vedasi appendice C) che la densità spettrale S_{y}(f) di Y (t) è data da:

S_{y}(f) = 2 λ | ψ(f) |^{2} (9.25)

Applichiamo ora tale teorema al problema dell’emissione di elettroni da parte di un catodo riscaldato, dove il numero di elettroni emessi per unità di tempo è una variabile Poissoniana.

Se V_{a} é il potenziale dell’anodo (il catodo sia a potenziale nullo), d la distanza catodo-anodo, τ il tempo di transito dell’elettrone dal catodo all’anodo, si ha:

τ = \frac{2d}{v_{a}} = \frac{2d}{\sqrt{2eV_{a}/m}}

dove m é la massa dell’elettrone, e la sua carica e v_{a} la velocitá massima che esso raggiunge (all’anodo). La corrente i(t) associata ad un singolo elettrone emesso all’istante t_{i} é:

i(t) = \frac{2e(t − t_{i})}{τ^{2}} (t_{i} ≤ t ≤ t_{i} + τ)

La correttezza di questa equazione é facilmente verificabile:

∫_{0}^{∞} i(t)dt = ∫_{t_{i}}^{t_{i}+τ} \frac{2e(t − t_{i})}{τ^{2}}dt = \frac{2e}{τ^{2}} ∫_{0}^{τ} t′dt′ = e

Quindi:

Ψ_{i}(f) = ∫_{o}^{τ} \frac{2eu}{τ^{2}} e^{jωu} du = eΦ(jωτ)

con:

Φ(jωτ) = \frac{2}{(jωτ)^{2}} [1 − e^{−jωτ} − jωτe^{−jωτ}]

Ne segue che, essendo:

\overline{I} = \overline{n}e

dove \overline{n} é il numero medio di elettroni emessi per unitá di tempo:

S_{I}(f) = 2\overline{n} |Ψ_{i}(f)|^{2} = \frac{2\overline{I}}{e} |Ψ_{i}(f)|^{2} = \frac{2\overline{I}e}{e}^{2}|Φ|^{2}

Poiché τ é dell’ordine di 10^{−9} s e |Φ|^{2} é dell’ordine di 1 per ωτ < π, ne segue che:

S_{I}(f) = 2e\overline{I}

per frequenze fino a qualche centinaio di Mhz (teorema di Schottky) Lo shot noise si riscontra non soltanto nelle valvole termioniche, ma anche nei semiconduttori, quando la corrente è dovuta a portatori minoritari ed a condizione che l’intrappolamento e la ricombinazione siano trascurabili. Questo è ad esempio il caso di una giunzione pn con polarizzazione inversa. Ciò continua ad esser vero in polarizzazione diretta, ma a basse tensioni dirette comincia ad essere apprezzabile l’effetto delle ricombinazioni nella zona di svuotamento.

Lo shot-noise é ridotto quando un qualche meccanismo intervenga a ridurre le fluttuazioni nel numero dei portatori di carica. Ad esempio, in un tubo termoionico in cui si formi una zona di carica spaziale tra catodo ed anodo, questa agisce da buffer, smussando le fluttuazioni nel flusso delle cariche verso l’anodo e quindi riducendo lo shot-noise.

9.5 Rumore 1/f

Questo é un tipo di rumore che é presente in un’ampia varietá di sistemi (elettronici, biologici, musicali, geologici etc.) ed in particolare nei dispositivi a semiconduttore, dove é stato ampiamente studiato, ma solo parzialmente compreso. Nel caso dei transistor tale rumore è legato ad imperfezioni delle superfici delle giunzioni. Esso é noto sotto vari nomi: ”rumore 1/f”, ”flicker-noise”, ”contact-noise”, ”excess-noise”. La denominazione ”1/f” é legata al fatto che la sua densitá spettrale varia come 1/f^{α} con α nel range (0.8-1.5).

Tale dipendenza é stata osservata fino a frequenze bassissime (10^{−6}Hz). Si noti che l’andamento 1/f non puó continuare fino a frequenza zero, poiché in tal caso la potenza totale di rumore risulterebbe divergente.

A frequenze molto alte il suo effetto é mascherato dalla presenza di altre sorgenti di rumore, quali quello termico. Scriveremo in generale, per questo tipo di rumore:

\overline{v^{2}} = A_{f} \frac{df}{f^{α}}

con A_{f} una costante, dipendente dal particolare dispositivo. Una immediata conseguenza dell’andamento come 1/f di questo tipo di rumore, é quella che la potenza di rumore in ciascuna decade di frequenza é la stessa. In altra parole, la potenza di rumore nella banda compresa tra 10 e 100 Hz é uguale a quella nella banda tra 0.01 e 0.1 Hz.

9.6 Circuiti equivalenti per il rumore

Agli effetti del rumore Johnson una resistenza reale alla temperatura T può essere sostituita da una ideale (cioè priva di rumore) in serie con un generatore di tensione di rumore la cui f.e.m. sia quella del rumore termico:

\overline{v^{2}} = 4KT RΔf

dove Δf é l’intervallo di frequenza su cui si effettua la misura.

Ne segue per la tensione di rumore:

v_{n} = \sqrt{\overline{v^{2}}} = \sqrt{4KT RΔf}

Come mostrato in figura 9.8.

Si può anche, facendo uso del teorema di Norton, assimilare tale resistenza ad una ideale in parallelo con un generatore di corrente i_{n}, con:

i_{n} = \frac{v_{n}}{R} = \sqrt{\frac{4KT Δf}{R}}

Un sistema di due resistenze in serie, R_{1} ed R_{2} potrà essere assimilata ad una resistenza di valore R_{1} + R_{2} in serie con un generatore di tensione di rumore pari a v_{n} = v_{n1} + v_{n2}. Il quadrato del valore efficace sarà:

\overline{v_{n}^{2}} = \overline{(v_{n1} + v_{n2})^{2}} = \overline{v_{n1}^{2}} + \overline{v_{n2}^{2}} = 2 · \overline{v_{n1} · v_{n2}}

Poichè v_{n1} e v_{n2} sono indipendenti, avremo:

\overline{v_{n1} · v_{n2}} = \overline{v_{n1}} · \overline{v_{n2}}

che è nullo, poichè sono nulli i singoli valori medi. Quindi:

\overline{v_{n}^{2}} = \overline{v_{n1}^{2}} + \overline{v_{n2}^{2}} = 4KT Δf · (R_{1} + R_{2})

Nel caso di due resistenze in parallelo si può analogamente verificare che la corrente quadratica media di rumore è data da:

\overline{i_{n}^{2}} = 4KT Δf · (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} )

Il rumore presente ai capi di un diodo puó, in modo analogo, esser descritto introducendo un generatore di corrente di rumore (shot) in parallelo al diodo (supposto privo di rumore) tale che la corrente quadratica media di rumore sia:

\overline{i_{n}^{2}} = 2eIΔf

dove I é la corrente nel diodo, e la carica dell’elettrone e Δf l’intervallo di frequenza.

Piú in generale, dato un generico dispositivo a due terminali alla temperatura T, il rumore (qualunque la sua origine) puó esser descritto introducendo una f.e.m. ai suoi capi, in serie con la sua impedenza Z=R+jX, di valore:

\overline{v_{n}^{2}} = 4KT R_{n}Δf (9.26)

Ad R_{n} si da il nome di ”resistenza equivalente di rumore” (equivalent noise resistence) del dispositivo. Se abbiamo a che fare con un circuito passivo in cui le sorgenti di rumore siano esclusivamente termiche a temperature T, allora:

R_{n} = R

Se sono presenti altre sorgenti di rumore, R_{n} puó differire da R.

Alternativamente possiamo descrivere il rumore ai capi di un dispositivo a due terminali, di ammettenza Y = 1/Z = g +jb, introducendo un generatore di corrente di rumore in parallelo ad Y:

\overline{i_{n}^{2}} = 4KT g_{n}Δf (9.27)

dove g_{n} é la conduttanza equivalente di rumore (equivalent noise conductance) del dispositivo.

Se il rumore ha origine esclusivamente termica, allora g_{n} = g, mentre se altre sorgenti di rumore sono presenti, g_{n} puó differire da g.

Un concetto che appare comunemente nella letteratura é quello di ”temperatura di rumore equivalente” (equivalent noise temperature).

Questa esprime il rumore come se esso fosse puramente termico e fosse generato da una resistenza pari a quella del dispositivo, ma ad una temperatura T_{n} ≠ T. Il rumore risulta espresso in termini di tale temperatura come:

\overline{v_{n}^{2}} = 4KT_{n}RΔf (9.28)

Si puó alternativamente esprimere il rumore come una corrente in parallelo al dispositivo, di valore pari alla corrente di rumore generata da una resistenza pari alla resistenza del dispositivo, alla temperatura T_{n}:

\overline{i_{n}^{2}} = 4KT_{n}gΔf (9.29)

confontando la (9.26) con la (9.28) e la (9.27) con la (9.29) si ottiene nei due casi, rispettivamente:

T_{n} = \frac{R_{n}}{R} T

T_{n} = \frac{g_{n}}{g} T

Sul concetto di temperatura di rumore e di resistenza equivalente di rumore torneremo quando discuteremo del rumore negli amplificatori.

9.7 Rumore in un quadripolo

Il rumore prodotto in un quadripolo è convenzionalmente descritto tramite un generatore di tensione di rumore v_{n} in serie alla maglia d’ingresso e da un generatore di corrente di rumore i_{n} in parallelo alla medesima maglia. Il primo renderà conto del rumore presente in uscita quando l’ingresso è in cortocircuito, il secondo del rumore presente ad ingresso aperto. La configurazione è illustrata in figura (9.9).

Poichè il rumore nell’amplificatore è determinato prevalentemente da processi di un determinato tipo, le due sorgenti i_{n} e v_{n} non sono del tutto indipendenti.

Per tener conto di questo fatto si introduce un coefficiente di correlazione γ. Un valore zero per questo parametro vuol dire che le due sorgenti sono totalmente non correlate; γ = 1 vuol dire che esse sono massimamente correlate.

Ammettiamo ora che l’ingresso del quadripolo sia chiuso su di una resistenza R come mostrato in figura (9.10).

Se tale resistenza non genera rumore, la tensione di rumore complessiva all’ingresso del quadripolo sarà: v_{ne} = v_{n} + R i_{n}. Tale tensione va sotto il nome di tensione di rumore in eccesso poichè rappresenta la tensione di rumore che occorre sommare a quella v_{ns} della sorgente (di resistenza R) per ottenere il rumore totale:

v_{nt} = v_{ns} + v_{ne} = v_{ns} + v_{n} + i_{n} R

Il valore quadratico medio di v_{ne} vale:

\overline{v_{ne}^{2}} = \overline{v_{n}^{2}} + R^{2}\overline{i_{n}^{2}} + 2R \overline{v_{n}i_{n}}

L’ultimo termine in questa espressione dipende da γ e si annulla per γ = 0. Per γ ≠ 0 esso vale:

2Rγ\sqrt{\overline{v_{n}^{2}}}\sqrt{\overline{i_{n}^{2}}} = 2RγI_{n} V_{n}

Con ovvio significato dei nuovi simboli I_{n} e V_{n}. Quindi:

\overline{v_{ne}^{2}} = V_{n}^{2} + R^{2}I_{n}^{2} + 2R γ V_{n} I_{n}

Vediamo che se R=0, \overline{v_{ne}^{2}} = \overline{v_{n}^{2}}. Se R è grande dominerà invece l’effetto di I_{n} ed avremo:

\overline{v_{ne}^{2}} = R^{2}I_{n}^{2}

In definitiva avremo per il rumore totale:

\overline{v_{nt}^{2}} = \overline{v_{ns}^{2}} + \overline{v_{n}^{2}} + R^{2}\overline{i_{n}^{2}} + 2R\overline{v_{n}i_{n}}

9.8 Dipendenza del rapporto segnale/rumore in un quadripolo dalla resistenza della sorgente

Consideriamo dapprima il caso di una sorgente costituita da un generatore di tensione v_{s} in serie con la propria resistenza R_{s}. Ammettiamo che un generatore in

Figura 9.12:

serie v_{ns} renda conto del rumore introdotto dalla sorgente. Lo schema è quello di figura (9.11).

Il rapporto segnale-rumore (riferito all’ingresso) sarà:

\frac{S}{N} = \frac{\overline{v_{s}^{2}}}{\overline{v_{nt}^{2}}} = \frac{\overline{v_{s}^{2}}}{\overline{v_{ns}^{2}} + \overline{v_{n}^{2}} + \overline{i_{n}^{2}}R_{s}^{2}}

avendo trascurato i termini di correlazione. Vediamo che il rapporto \frac{S}{N} diminuisce all’aumentare di R_{s}, poichè aumenta il termine \overline{i_{n}^{2}}R_{s}^{2}. Consideriamo ora il caso di un generatore di corrente i_{s} in parallelo con R_{s}. Anche in questo caso continueremo a parametrizzare il rumore introdotto dalla sorgente mediante un generatore di tensione di rumore v_{ns} in serie, come mostrato in figura (9.12).

In questo caso avremo:

\frac{S}{N} = \frac{\overline{i_{s}^{2}}R_{s}^{2}}{\overline{v_{nt}^{2}}} = \frac{\overline{i_{s}^{2}}}{\frac{\overline{v_{ns}^{2}}+\overline{v_{n}^{2}}}{R_{s}^{2}} + \overline{i_{n}^{2}}}

Vediamo che ora, all’aumentare di R_{s} il rapporto \frac{S}{N} aumenta. Al limite di R_{s} → ∞ esso tende a:

\frac{S}{N} = \frac{\overline{i_{s}^{2}}}{\overline{i_{n}^{2}}}

che dipende solo dalla sorgente di corrente di rumore.

9.9 Cifra di rumore

Se indichiamo con G_{P} il guadagno in potenza di un amplificatore, con S_{0} la potenza del segnale presente in uscita, in una stretta banda di frequenza df, con S_{i} quella presente in ingresso nella medesima banda di frequenza, avremo:

S_{0} = G_{P} S_{i} (9.30)

Se ora applichiamo in ingresso, al posto di S_{i}, un segnale di rumore di potenza Ni (nella medesima banda di frequenza), il segnale di rumore N_{o} all’uscita sarà ottenibile da una relazione analoga:

N_{0} = G′_{P} N_{i}

dove peró G′_{P} > G_{P}, poiché l’amplificatore introduce di suo un ulteriore contributo al rumore in uscita.

Si scrive in generale:

N_{o} = F G_{P} N_{i} (9.31)

dove F è un fattore sicuramente maggiore di 1. Ad F si da il nome di figura di rumore puntiforme alla frequenza f (spot-noise figure). Tenendo conto delle relazioni scritte possiamo definire F come:

F = \frac{S_{i}/N_{i}}{S_{o}/N_{o}} (9.32)

F é in generale funzione, oltre che della frequenza, della resistenza d’uscita del generatore.

Dalla (9.31) segue anche che:

F = \frac{N_{o}}{G_{P} N_{i}}

Sia ora:

N_{o} = G_{P} (N_{i} + N_{d})

dove N_{i} é la potenza di rumore in ingresso nell’intervallo df ed N_{d} é la potenza di rumore introdotta dall’amplificatore, nella medesima banda di frequenza df, riportata in ingresso.

Si ha quindi:

F = \frac{G_{P} (N_{i} + N_{d})}{G_{P} N_{i}} = 1 + \frac{N_{d}}{N_{i}}

e quindi:

N_{d} = N_{i}(F − 1)

La grandezza F_{e} = F − 1 é detta cifra di rumore in eccesso. Dall’ultima relazione scritta si vede che il rumore N_{d} introdotto dall’amplificatore é uguale a quello presente in ingresso, moltiplicato per la cifra di rumore in eccesso.

La cifra di rumore (NF) espressa in dB è poi:

NF = 10 log F = 10 log \frac{N_{o}}{G_{P} N_{i}}

Dalla (9.32) si ha poi:

NF = 10 log \frac{N_{o}/S_{o}}{N_{i}/S_{i}} (9.33)

Come si vede, la cifra di rumore esprime l’aumento del rapporto rumore/segnale (\frac{N}{S}) passando dall’ingresso all’uscita del quadripolo, cioè fornisce una misura del contributo che al rumore ha aggiunto il quadripolo.

9.10 Rumore nel caso di una catena di piú amplificatori in cascata

Se piú amplificatori sono collegati in serie, allo scopo di ottenere un maggior guadagno, si puó facilmente vedere che il contributo al rumore portato dai diversi elementi della catena puó essere molto diverso. Infatti, il rumore introdotto dal primo amplificatore della catena sará amplificato dai successivi elementi; quello introdotto dall’ultimo elemento della catena avrá un’importanza decisamente inferiore. É quindi critico scegliere per i primi amplificatori della catena degli elementi a basso rumore.

Calcoliamo la cifra di rumore relativa ad una catena di piú amplificatori. Ammetteremo che l’impedenza d’uscita di ciascun amplificatore sia uguale all’impedenza d’ingresso del successivo; ció assicura il massimo trasferimento di potenza tra elementi consecutivi.

Abbiamo definito la cifra di rumore F nel caso di un amplificatore come il rapporto tra la potenza di rumore presente in uscita (per unitá di intervallo di frequenza, come sará sempre sottinteso nel seguito), divisa per il guadagno G_{P} dell’amplificatore, e quella (N_{i}) presente in ingresso:

F = (\frac{N_{o}}{G_{P}})/N_{i} (9.34)

Il numeratore di questa espressione (il rumore totale presente in uscita, ”traslato” all’ingresso) é la somma del rumore N_{i} presente in ingresso e di quello introdotto dall’amplificatore, che chiameremo N_{o}^{e}/G_{P} (rumore in eccesso, traslato all’ingresso dell’amplificatore):

\frac{N_{o}}{G_{P}} = N_{i} + \frac{N_{o}^{e}}{G_{P}}

Possiamo quindi riscrivere la (9.34) nella forma:

F = 1 + \frac{N_{o}^{e}}{G_{P}} /N_{i} = 1 + F_{e} (9.35)

dove compare la cifra di rumore in eccesso F_{e} giá introdotta:

F_{e} = \frac{N_{o}^{e}}{G_{P}} /N_{i}

Se immaginiamo che N_{i} sia unitario (1 W/Hz) le equazioni (9.34) e (9.35) si scrivono rispettivamente:

F = \frac{N_{o}}{G_{P}} = 1 + F_{e}

F_{e} = \frac{N_{o}^{e}}{G_{P}}

La prima di queste ci dice che la cifra di rumore é pari alla potenza di rumore totale presente in uscita, divisa per il guadagno dell’amplificatore, per unitá di rumore in ingresso. La seconda ci dice che la cifra di rumore in eccesso é il rumore introdotto dall’amplificatore diviso per il guadagno del medesimo.

Esaminiamo ora il caso di due amplificatori collegati in serie. Siano F_{1} ed F_{2} le rispettive cifre di rumore; siano analogamente F_{e1} ed F_{e2} le corrispondenti cifre di rumore in eccesso. Il rumore all’ingresso del primo amplificatore, dovuto a questo soltanto, é F_{e1}. Il rumore totale all’ingresso del medesimo é: F_{e1} + 1 = F_{1}. Il rumore introdotto dal secondo stadio riportato all’ingresso di questo é F_{e2} = F_{2} −1. Questo stesso rumore, traslato all’ingresso del primo stadio é:

\frac{F_{e2}}{G_{P 1}} = \frac{F_{2} − 1}{G_{P 1}}

Abbiamo quindi per il rumore totale (sempre riportato all’ingresso del primo stadio):

F = F_{1} + \frac{F_{2} − 1}{G_{P 1}}

Questa é quindi la cifra di rumore relativa al caso considerato.

É facile estendere le considerazioni svolte al caso di un numero generico di amplificatori. Ad esempio, nel caso di una catena di tre amplificatori, avremo:

F = F_{1} + \frac{F_{2} − 1}{G_{P 1}} + \frac{F_{3} − 1}{G_{P 1}G_{P 2}}

Questa é nota come formula di Friiss

9.11 Espressione analitica della cifra di rumore

Possiamo far uso dei generatori v_{n} ed i_{n} che descrivono il rumore introdotto dal quadripolo, per calcolare la cifra di rumore F. Calcoliamo N_{i}, potenza di rumore in ingresso, ammettendo che siano:

• R_{s} resistenza d’uscita della sorgente di rumore

• v_{ns} tensione efficace di rumore della sorgente

• R_{i} resistenza d’ingresso del quadripolo

Con riferimento alla figura (9.13) avremo:

v_{in} = v_{ns} \frac{R_{i}}{(R_{s} + R_{i})}

per cui la potenza di rumore in ingresso N_{i} é:

N_{i} = \frac{\overline{v_{in}^{2}}}{R_{i}} = \frac{\overline{v_{ns}^{2}}}{R_{i}} \frac{R_{i}^{2}}{(R_{s} + R_{i})^{2}} = \overline{v_{ns}^{2}} \frac{R_{i}}{(R_{s} + R_{i})^{2}}

Calcoliamo ora la potenza di rumore complessiva facendo uso dell’espressione già ricavata per \overline{v_{nt}^{2}} (tensione quadratica media di rumore all’ingresso):

\overline{v_{nt}^{2}} = \overline{v_{ns}^{2}} + \overline{v_{n}^{2}} + R_{s}^{2}\overline{i_{n}^{2}} + 2R_{s}\overline{v_{n}i_{n}}

Troviamo in tal modo:

N_{o} = \overline{v_{nt}^{2}} \frac{R_{i}}{(R_{s} + R_{i})^{2}} G_{P}

Sostituendo in questa espressione quella di \overline{v_{nt}^{2}} e dividendo poi N_{o} per G_{P} N_{i}, troviamo:

F = \frac{N_{o}}{G_{P} N_{i}} = \frac{\overline{v_{nt}^{2}}}{\overline{v_{ns}^{2}}} = 1 + \frac{\overline{v_{n}^{2}} + R_{s}^{2}\overline{i_{n}^{2}} + 2R_{s}\overline{v_{n}i_{n}}}{\overline{v_{ns}^{2}}} (9.36)

Il secondo termine nell’ultima espressione scritta è il rapporto tra la potenza di rumore dovuta al solo quadripolo e quella in ingresso. Esso é quindi la cifra di rumore in eccesso F_{e}:

F_{e} = F − 1

Ammettendo che la tensione di rumore all’ingresso sia quella dovuta alla resistenza R_{s} (data da \sqrt{4KT R_{s}Δf}, avremo:

F = 1 + \frac{1}{4KT Δf} (\frac{V_{n}^{2}}{R_{s}} + R_{s}I_{n}^{2} + 2γV_{n}I_{n}) (9.37)

Il valore fornito da tale equazione per una frequenza determinata é la cifra di rumore puntiforme. Esso dipende dalla frequenza se non si tratta di rumore bianco.

La cifra di rumore espressa in decibel é poi:

NF = 10 logF

L’andamento (qualitativo) del NF in funzione di R_{s} descritto dalla (9.37) è mostrato in figura (9.14).

Per bassi valori di R_{s} domina il termine V_{n}^{2}/R_{s} e quindi la sorgente di tensione di rumore. Per grandi valori di R_{s} domina invece l’effetto del generatore di corrente. Si può facilmente vedere, derivando la (9.37) rispetto ad R_{s} che il NF è minimo quando ciascun generatore contribuisce in ugual misura al rumore complessivo. Ció avviene per:

R_{s} = \frac{V_{n}}{I_{n}}

che fornisce il valore ottimale della resistenza R_{s}. Il corrispondente valore della cifra di rumore F è:

F_{min} = 1 + (1 + γ)\frac{V_{n}I_{n}}{2KT Δf}

L’equazione: NF = 10 log F ci dice che per un valore di 5 del parametro NF il contributo del rumore all’uscita del quadripolo è 3.2 volte quello della sorgente. All’altro estremo, un NF di 0.4 ci dice che il contributo della tensione di rumore all’uscita è 1.05 volte quello della sorgente, che ha quindi aggiunto un modesto 5% (in tensione efficace).

9.12 Temperatura di rumore

Sappiamo che una resistenza ad una temperatura assoluta T_{s} è sorgente di rumore Johnson (termico) con densità spettrale data da:

S_{v}(f) = 4KT_{s}R

cioè:

\overline{v^{2}} = 4KT_{s}RΔf

nell’intervallo di frequenza Δf. Se una resistenza R è collegata all’ingresso di un amplificatore avente cifra di rumore in eccesso F_{e} e quindi cifra di rumore F = F_{e} + 1, il rumore effettivo all’ingresso dell’amplificatore (privo di rumore, essendosi ”traslato” il rumore all’ingresso) sarà:

\overline{w^{2}} = F \overline{v^{2}}

Spesso conviene, per motivi pratici, ragionare come se l’amplificatore fosse del tutto esente da rumore e l’intero rumore fosse attribuibile alla medesima resistenza R, ora però ad una temperatura T_{n}, tale che:

4KT_{n}RΔf = \overline{w^{2}}

Dalle equazioni scritte segue:

\overline{w^{2}} = (F_{e} + 1) \overline{v^{2}} = F_{e}\overline{v^{2}} + \overline{v^{2}} =
= 4F_{e}KT_{s}RΔf + 4KT_{s}RΔf = 4KR(F_{e}T_{s})Δf + 4KRT_{s}Δf =
= 4KRT_{n}Δf + 4KRT_{s}Δf

Alla quantità T_{n} = F_{e}T_{s} si da il nome di temperatura di rumore dell’amplificatore. L’equazione:

T_{n} = F_{e}T_{s} = (F − 1)T_{s}

ci da poi:

F = 1 + \frac{T_{n}}{T_{s}}

Da cui vediamo che, nota la temperatura della sorgente e la temperatura di rumore, si può facilmente ricavare la cifra di rumore.

9.13 Esempio: Transistor bipolare

Ricordiamo il modello a parametri h in cui si trascuri h_{re}. Questo è mostrato in figura (9.15).

Esso può essere trasformato nello schema di figura (9.16).

Basta infatti scrivere:

i_{c} = h_{fe}i_{b} = \frac{h_{fe}}{h_{ie}} (h_{ie} i_{b}) = \frac{h_{fe}}{h_{ie}} v ≡ g_{m} v

con:

g_{m} ≡ \frac{h_{fe}}{h_{ie}}

Figura 9.17:

Il generatore di corrente h_{fe}i_{b} viene così sostituito da un generatore a transconduttanza g_{m} v. Si ha:

r_{π} ≡ \frac{h_{fe}}{g_{m}}

Introduciamo in tale circuito la sorgente di corrente di rumore i_{nb} nella maglia d’ingresso e quella i_{nc} nella maglia d’uscita, come mostrato in figura (9.17).

Queste sorgenti di rumore hanno origine nelle fluttuazioni nel numero di portatori di carica attraverso la giunzione base-emettitore (i_{nb}) e collettore-emettitore (i_{nc}). Esse sono attribuibili in larga misura al rumore shot, per cui:

\overline{i_{nb}^{2}} = 2eI_{b}Δf
\overline{i_{nc}^{2}} = 2eI_{c}Δf

dove I_{b} ed I_{c} sono rispettivamente le correnti (quiescenti) di base e di collettore.

Determiniamo ora i parametri del quadripolo equivalente, cioè v_{n} e i_{n}. Cominciamo con il determinare il generatore di tensione v_{n}. Ricordiamo che questo è l’unico ad avere un effetto sulla tensione di rumore in uscita, quando l’ingresso sia in cortocircuito.

Se ammettiamo quindi di aver cortocircuitato l’ingresso e supponendo che l’uscita sia chiusa su di un carico R_{p}, avremo per la tensione di uscita:

vo^{′} = (g_{m}v + i_{nc}) R_{eq}

con:

R_{eq} = R_{p}//r_{o}

dove v = 0 (i morsetti d’ingresso nel circuito di figura (9.17) sono in cortocircuito). Quindi:

vo^{′} = i_{nc} R_{eq}

Nel corrispondente quadripolo con terminali d’ingresso in cortocircuito avremmo:

vo^{′} = A_{v} v_{n}

Quindi:

v_{n} = \frac{R_{eq}}{A_{v}} i_{nc}

Rimane da determinare A_{v} nel nostro amplificatore a parametri h. Abbiamo:

v_{o} = g_{m} R_{eq} v

da cui:

A_{v} ≡ \frac{v_{o}}{v} = g_{m} R_{eq}

Ne segue:

v_{n} = \frac{R_{eq}i_{nc}}{g_{m}R_{eq}} = \frac{i_{nc}}{g_{m}}

Determiniamo ora i_{n}. A tale scopo supponiamo che i terminali d’ingresso siano aperti. In tal modo il generatore di tensione di rumore nel quadripolo non potrà dare alcun contributo. Avremo:

v_{o}^{”} = (g_{m}v + i_{nc}) R_{eq}

con:

v = i_{nb} r_{π}

Da cui:

v_{o}^{”} = (g_{m}i_{nb}r_{π} + i_{nc}) R_{eq} = (h_{fe}i_{nb} + i_{nc}) R_{eq}

Nel caso del quadripolo con gli ingressi aperti, avremmo:

v_{o}^{”} = A_{i}i_{n}R_{eq}

Dove A_{i} é l’amplificazione in corrente che nel nostro caso vale h_{fe}. Quindi:

v_{o}^{”} = h_{fe}i_{n}R_{eq} = (h_{fe}i_{nb} + i_{nc}) R_{eq} da cui:

i_{n} = i_{nb} + \frac{i_{nc}}{h_{fe}}

Sostituendo ora ai due generatori di rumore (i_{n}, v_{n}) presenti all’ingresso del quadripolo un unico generatore in serie con la resistenza R_{s} del generatore (facendo uso del teorema di Thevenin):

v_{ne} = v_{n} + R_{s}i_{n}

troviamo:

v_{ne} = \frac{i_{nc}}{g_{m}} + R_{s} (i_{nb} + \frac{i_{nc}}{h_{fe}}) = \frac{i_{nc}}{g_{m}} + R_{s} (i_{nb} + \frac{i_{nc}}{g_{m}r_{π}}) = \frac{i_{nc}}{g_{m}} (1 + \frac{R_{s}}{r_{π}}) + R_{s} i_{nb}

da cui:

\overline{v_{ne}^{2}} = \overline{i_{nc}^{2}} \frac{1}{g_{m}^{2}} (1 + \frac{R_{s}}{r_{π}})^{2} + R_{s}^{2} \overline{i_{nb}^{2}}

dove \overline{i_{nb}^{2}} ed \overline{i_{nc}^{2}} sono date dal rumore shot:

\overline{i_{n}^{2}} = 2eIΔf

dove e é la carica dell’elettrone, I la corrente nel circuito (di base o di collettore) e Δf la banda di frequenza. Quindi:

\overline{v_{ne}^{2}} = (1 + \frac{R_{s}}{r_{π}})^{2} · \frac{1}{g_{m}^{2}} · 2eI_{C}Δf + R_{s}^{2} · 2e · I_{b} · Δf

Poichè inoltre è I_{c} = h_{F E} I_{b} , segue:

\overline{v_{ne}^{2}} = [(1 + \frac{R_{s}}{r_{π}})^{2} \frac{1}{g_{m}^{2}} + \frac{R_{s}^{2}}{h_{F E}}] · 2eI_{c}Δf

Utilizziamo ora le relazioni^{2}:

I_{c} = g_{m}V_{T} = g_{m} \frac{KT}{e}

ed otteniamo:

\overline{v_{ne}^{2}} = [(1 + \frac{R_{s}}{r_{π}})^{2} \frac{1}{g_{m}} + \frac{R_{s}^{2}}{h_{F E}} g_{m}] · 2KT Δf (9.38)

2La transconduttanza g é definita come

g = dI_{c}/dV_{BE} dove, per il diodo base-emettitore in zona attiva é:

I_{c} = I_{0}[exp(e V_{BE}/KT) − 1] Ne segue:

g = dI_{c}/dV_{BE} = I_{c}e/KT

Determiniamo ora il valore ottimale di R_{s}, cioè quello che rende minimo il rumore. Questo, come già visto è dato da:

(R_{s}^{opt})^{2} = \frac{\overline{v_{n}^{2}}}{\overline{i_{n}^{2}}}

Sostituendo in questa i valori trovati per \overline{v_{n}^{2}} ed \overline{i_{n}^{2}}, si trova:

(R_{s}^{opt})^{2} = \frac{\frac{\overline{i_{nc}^{2}}}{g_{m}^{2}}}{\overline{i_{nb}^{2}} + \frac{\overline{i_{nc}^{2}}}{h_{fe}^{2}}} = \frac{\frac{1}{g_{m}^{2}}}{\frac{\overline{i_{nb}^{2}}}{\overline{i_{nc}^{2}}} + \frac{1}{h_{fe}^{2}}} = \frac{\frac{1}{g_{m}^{2}}}{\frac{I_{b}}{I_{c}} + \frac{1}{h_{fe}^{2}}} = \frac{1}{g_{m}^{2}} \frac{1}{\frac{1}{h_{F E}} + \frac{1}{h_{fe}^{2}}} ≈ \frac{h_{F E}}{g_{m}^{2}}

dove si è fatto uso delle relazioni:

\overline{i_{nb}^{2}} = 2eI_{b}Δf

\overline{i_{nc}^{2}} = 2eI_{c}Δf

Vediamo che il valore ottimale della resistenza R_{s} dipende da h_{F E} e da g_{m}.

Utilizziamo ora il risultato ottenuto (9.38) per la tensione quadratica media in eccesso (\overline{v_{ne}^{2}}) per il transistor bipolare, per ottenere la corrispondente temperatura di rumore:

T_{n} = F_{e}T_{s}

dove:

F_{e} = \frac{\overline{v_{ne}^{2}}}{\overline{v_{ns}^{2}}} = \frac{[(1 + \frac{R_{s}}{r_{π}})^{2} \frac{1}{g_{m}} + \frac{R_{s}^{2}}{h_{F E}} g_{m}]}{2R_{s}}

Otteniamo:

\frac{T_{n}}{T_{s}} = \frac{[(1 + \frac{R_{s}}{r_{π}})^{2} \frac{1}{g_{m}} + \frac{R_{s}^{2}}{h_{F E}} g_{m}]}{2R_{s}}

cioé:

\frac{T_{n}}{T_{s}} = \frac{1}{2g_{m}R_{s}} + \frac{1}{h_{fe}} + \frac{R_{s}}{2} (\frac{g_{m}}{h_{F E}} + \frac{g_{m}}{h_{fe}^{2}} )

Trascurando l’ultimo termine in parentesi:

\frac{T_{n}}{T_{s}} = \frac{1}{2g_{m}R_{s}} + \frac{1}{h_{fe}} + \frac{R_{s}g_{m}}{2h_{F E}}

Per R_{s} = R_{s}^{opt} = \frac{\sqrt{h_{F E}}}{g_{m}} si trova:

\frac{T_{n}}{T_{s}}^{min} = \frac{1}{\sqrt{h_{F E}}} + \frac{1}{h_{fe}} ≈ \frac{1}{\sqrt{h_{F E}}}

Per h_{F E} = 100 questa fornisce:

T_{n}^{min} = \frac{T_{s}}{10}

che, alla temperatura ambiente (27^{o}C = 300^{o}K) vuol dire una temperatura di rumore di 30^{o}K.

9.14 Il rumore nei componenti elettronici

9.14.1 Introduzione

Ci siamo già occupati del rumore termico nelle resistenze. Questa è la principale sorgente di rumore nei componenti passivi. Condensatori ed induttanze non sono sorgente di rumore se non per quel che concerne la loro componente resistiva. Un’altra componente di rumore è dovuta ai contatti tra componenti ed alle giunzioni interne dei diodi e/o transistor. Si tratta di un rumore 1/f La corrente di rumore per unità di radice quadrata di larghezza di banda è:

\frac{I_{f}}{\sqrt{Δf}} = \frac{kI}{\sqrt{f}}

dove I è la corrente media, f la frequenza, Δf la larghezza di banda centrata sulla frequenza f e k una costante che dipende dai materiali e dalla geometria.

Ricordiamo che che il rumore 1/f continua fino frequenze bassissime, dell’ordine di pochi cicli/giorno. In aggiunta al rumore termico, a quello shot ed a quello 1/f, una ulteriore varietà, chiamato ”popcorn noise” è stato osservato nei diodi a semiconduttore e nei circuiti integrati. Se esso è amplificato ed inviato ad un altoparlante si sente un rumore simile al caratteristico scoppiettare del granturco, da cui il nome. Questo tipo di rumore è dovuto a difetti di fabbricazione e puó essere eliminato con opportuni accorgimenti nel processo di produzione. Anche questo tipo di rumore ha uno spettro del tipo 1/f^{n} con n tipicamente uguale a 2. L’ampiezza è compresa tra 2 e 10 volte quella del rumore termico nel medesimo dispositivo. Ci occuperemo ora del rumore nei transistor a giunzione e successivamente in quello nei FET.

9.14.2 Il rumore nel transistor bipolare

La figura di rumore per un tipico transistor bipolare è mostrata in figura (9.18).

Si ha una regione di basse frequenze, in cui il rumore dominante è quello 1/f. Tale regione si estende fino a frequenze f_{1} che variano, a seconda del tipo di transistor, tra 1 e 50 KHz. Si ha poi una regione di rumore bianco, costituito da rumore termico nella resistenza della base e rumore shot nelle giunzioni, che si estende fino a frequenze di circa 1 MHz. Si ha infine una regione di frequenze più elevate (superiori ad un certo valore f_{2}) in cui il rumore aumenta come f^{2}. Questo aumento del NF è legato alla diminuzione del guadagno del transistor alle alte frequenze ed al fatto che il rumore prodotto alla giunzione di collettore rimane costante. Alcuni speciali transistor, prodotti per essere adoperati ad alte frequenze, hanno un valore di f_{2} molto più elevato. Sono stati sviluppati modelli che, partendo dal circuito a parametri h o da altri analoghi, ed aggiungendo sorgenti di rumore nei rami del circuito, consentono di calcolare con ragionevole accuratezza il rumore nel transistor bipolare nel campo di frequenze di interesse [17]. Le caratteristiche di rumore dei transistor sono fornite generalmente dalle case costruttrici. Ricordiamo che il noise-factor F è definito come:

F = \frac{P otenza di rumore in uscita}{Guadagno in potenza × P otenza di rumore dovuto alla resistenza della sorgente}

Se indichiamo con R_{s} la resistenza della sorgente, con i_{n} ed e_{n} i generatori di rumore nel quadripolo equivalente già incontrato e con Δf la banda passante, avremo:

F = \frac{\overline{i_{t}^{2}}}{\overline{i_{R_{s}}^{2}}}

dove i_{t} è la corrente totale di rumore ai terminali d’ingresso ed i_{R_{s}} quella dovuta alla sola resistenza R_{s}. Quest’ultima vale:

\overline{i_{R_{s}}^{2}} = \frac{4KT Δf}{R_{s}}

Quindi avremo, come già visto in precedenza:

\overline{i_{t}^{2}} = \frac{4KT Δf}{R_{s}} + \frac{\overline{e_{n}^{2}}}{R_{s}} + \overline{i_{n}^{2}}

da cui:

F = 1 + \frac{\overline{e_{n}^{2}}}{4KT ΔfR_{s}} + \frac{\overline{i_{n}^{2}}R_{s}}{4KT Δf}

Ponendo ora:

R_{eq} = \frac{\overline{e_{n}^{2}}}{4KT Δf}

I_{eq} = \frac{\overline{i_{n}^{2}}}{2eΔf}

dove e è la carica dell’elettrone, l’ultima equazione scritta diventa:

F = 1 + \frac{R_{eq}}{R_{s}} + \frac{2eI_{eq}}{4KT} R_{s}

e, poichè \frac{e}{2KT} = 20 V^{−1} alla temperatura di 290^{o}K avremo:

F = 1 + \frac{R_{eq}}{R_{s}} + 20I_{eq}R_{s} (9.39)

Il valore ottimale di R_{s}, cioè quello per cui la cifra di rumore è minima, si ottiene derivando quest’espressione rispetto ad R_{s}. Si trova:

R_{s(opt)}^{2} = \frac{R_{eq}}{20I_{eq}} = \frac{\overline{e_{n}^{2}}}{\overline{i_{n}^{2}}} (9.40)

da cui:

F_{opt} = 1 + 2\sqrt{20R_{eq}I_{eq}}

Facciamo ora uso delle ultime due equazioni per esprimere R_{eq} ed I_{eq} in funzione di F_{opt} ed R_{s(opt)}. Si trova:

R_{eq} = \frac{1}{2}(F_{opt} − 1) R_{s(opt)}

I_{eq} = \frac{1}{2} \frac{(F_{opt} − 1)}{20R_{s(opt)}}

Sostituendo questa nella 9.39, si trova:

F = 1 + \frac{1}{2}(F_{opt} − 1) [\frac{R_{s(opt)}}{R_{s}} + \frac{R_{s}}{R_{s(opt)}} ]

Si vede da questa espressione che, noti F_{opt} ed R_{s(opt)}, si può ottenere il NF per una generica resistenza R_{s}. Definendo un fattore K:

K = \frac{1}{2} [\frac{R_{s(opt)}}{R_{s}} + \frac{R_{s}}{R_{s(opt)}} ] (9.41)

L’ultima equazione si può riscrivere come:

F = 1 + K [F_{opt} − 1]

Ammettiamo ora di sapere che F_{opt} = 1.4 e che R_{s(opt)} = 1KΩ. Ci chiediamo quale sarà F in un circuito in cui la resistenza R_{s} valga 8KΩ. Vediamo che \frac{R_{s}}{R_{s(opt)}} = 8 e quindi, dalla 9.41 si vede che K ≅ 4. Quindi F sarà:

F = 1 + 4(1.4 − 1) = 2.6

ed il noise factor NF varrá:

NF = 4.1dB

I valori di \overline{e_{n}^{2}} ed \overline{i_{n}^{2}} sono poi entrambi funzioni della corrente di collettore e crescono al crescere di questa. Tuttavia \overline{i_{n}^{2}} cresce più rapidamente di \overline{e_{n}^{2}}. Di conseguenza R_{s(opt)} diminuisce al crescere della corrente di collettore. Ne segue che, come si può vedere in figura (9.19), la curva che descrive l’andamento della cifra di rumore al variare di R_{s} cambia, spostandosi verso sinistra (cioè verso valori decrescenti di R_{s}) all’aumentare di I_{c}.

9.14.3 Il rumore nei FET

L’andamento complessivo della cifra di rumore in un FET in funzione della frequenza è qualitativamente simile a quello dei transistor bipolari. Si ha cioè una regione di rumore 1/f alle basse frequenze, seguita da una regione di rumore bianco a frequenze intermedie ed infine da una zona di alta frequenza in cui il rumore cresce al crescere di f. Il rumore 1/f è molto più elevato nei MOSFET che nei FET. Ci occuperemo ora del rumore in questi ultimi. Le principali sorgenti di rumore in essi sono:

• rumore termico nella resistenza di polarizzazione del gate R_{g}

• rumore shot associato alla corrente di gate I_{g} (diodo Gate-Source con polarizzazione inversa)

• rumore termico nel canale

• rumore shot nel canale

• rumore 1/f nel canale

Tra questi contributi, il penultimo è fortemente soppresso a causa della elevata densità di cariche nel canale. Discutiamo ora in dettaglio gli altri contributi. Rumore termico nella resistenza di gate La corrente quadratica media di rumore nell’intervallo di frequenza df in R_{g} è:

\overline{i_{R}^{2}} = \frac{4KT df}{R_{g}}

Se indichiamo con C_{in} la capacità d’ingresso del FET, la tensione quadratica media ai capi di questa sarà:

\overline{v_{R}^{2}} = \overline{i_{R_{s}}^{2}}Z_{c}^{2} = \frac{4KT df}{R_{g}} \frac{1}{ω^{2}C_{in}^{2}} = \frac{2KT}{πR_{g}C_{in}^{2}} \frac{dω}{ω^{2}}

Vediamo che la tensione di rumore è tanto più piccola quanto più è grande R_{g}. Rumore di tipo shot associato alla corrente di gate Esso è dato da:

\overline{i^{2}} = 2eI_{g}df

con ovvio significato dei simboli. Tale corrente scorre in C_{in} se R_{g} è molto grande. La tensione quadratica media ai capi di C_{in} sarà:

\overline{v_{g}^{2}} = \frac{2eI_{g}df}{ω^{2}C_{in}^{2}} = \frac{eI_{g}dω}{πω^{2}C_{in}^{2}}

Rumore termico nel canale

La corrente di rumore associata a questo è:

\overline{i_{c}^{2}} = \frac{4KT df}{R_{0}}

dove R_{0} è la resistenza del canale nella parte iniziale delle caratteristiche (cioè nella zona ohmica). La corrispondente tensione \overline{v_{c}^{2}} al gate (l’ingresso, cui riferiamo tutte le sorgenti di rumore) è:

\overline{v_{c}^{2}} = \frac{\overline{i_{c}^{2}}}{g_{m}^{2}}

dove g_{m} è la transconduttanza del FET. Si trova quindi:

\overline{v_{c}^{2}} = \frac{2KT}{πR_{0}g_{m}^{2}} dω

Ponendo:

R_{eq} = \frac{1}{R_{0}g_{m}^{2}}

questa si scrive:

\overline{v_{c}^{2}} = 2KT R_{eq} \frac{dω}{π}

dove si può dimostrare che g_{m} = \frac{1}{R_{0}} , con che:

R_{eq} = \frac{1}{g_{m}}

Rumore 1/f nel canale

Questo è dato da:

\overline{v_{F}^{2}} = A_{f} \frac{dω}{ω}

Rumore complessivo

Questo sarà la somma dei contributi elencati sopra, cioè:

\overline{v_{t}^{2}} = \frac{2KT}{πR_{g}C_{in}^{2}} \frac{dω}{ω^{2}} + \frac{eI_{g}dω}{πω^{2}C_{in}^{2}} + 2KT R_{eq} \frac{dω}{π} + A_{f} \frac{dω}{ω}

Il rumore totale nell’amplificatore a FET puó ora esser calcolato, moltiplicando ciascuno dei precedenti contributi per la funzione f(ω) che descrive la risposta in frequenza dell’amplificatore, integrando su ω da 0 ad ∞ e sommando infine tutti i contributi. La funzione f(ω) rappresenta il guadagno in potenza dell’amplificatore, legato al guadagno in tensione A_{v} da: f(ω) = |A_{v}|^{2}.

9.15 Appendice A

Dimostriamo ora il teorema di Wiener-Khintchine. A tale scopo premettiamo alcuni semplici teoremi, che trovano ampia applicazione nello studio del rumore. Siano x_{1}(t) ed x_{2}(t) due funzioni del tempo, ed indichiamo con F_{1}(ω) ed F_{2}(ω) le rispettive trasformate di Fourier. Si dimostra allora che:

∫_{−∞}^{+∞} x_{1}(t)x_{2}^{∗}(t)dt = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{+∞} X_{1}(ω)X_{2}^{∗}(ω)dω (9.42)

(teorema di Parseval)

Per dimostrarlo, sostituiamo a primo membro di questa equazione, ad x_{2}^{∗}(t) la sua antitrasformata, ottenendo:

∫_{−∞}^{+∞} x_{1}(t)x_{2}^{∗}(t)dt = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{+∞} dt ∫_{−∞}^{+∞} dωx_{1}(t)X_{2}^{∗}(ω)e^{−jωt}

scambiamo ora l’ordine di integrazione sulle variabili t ed ω a secondo membro:

∫_{−∞}^{+∞} x_{1}(t)x_{2}^{∗}(t)dt = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{+∞} X_{2}^{∗}(ω)dω ∫_{−∞}^{∞} dtx_{1}(t)e^{−jωt}

che é uguale a:

\frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{+∞} X_{1}(ω)X_{2}^{∗}(ω)dω

Questo é appunto il secondo membro della (9.42).

Applichiamo ora questo teorema alla funzione di correlazione Φ(τ):

Φ(τ) = ∫_{−∞}^{∞} v(t)v(t + τ)dt

dove v(t) é la tensione di rumore. Troviamo in tal modo:

Φ(τ) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{+∞} |V (ω)|^{2}e^{jωτ}dω (9.43)

che per τ = 0 ci da:

Φ(0) = ∫_{−∞}^{+∞} |v(t)|^{2}dt = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{+∞} |V (ω)|^{2}dω

che é noto come teorema di Plancherel o teorema dell’energia. Il termine a destra di questa equazione rappresenta l’energia totale sviluppata, sull’intero spettro di frequenze. Ne segue che |V (ω)|^{2} puó essere interpretato come la densitá di energia per unitá di intervallo di frequenza. La potenza media é l’energia totale divisa per T, o meglio il limite di tale rapporto per T → ∞:

lim_{T →∞} \frac{1}{T} ∫_{−∞}^{+∞} |v(t)|^{2}dt = lim_{T →∞} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{∞} \frac{2|V (ω)|^{2}}{T} dω

dove si é modificato il limite inferiore d’integrazione nel membro destro dell’equazione (da −∞ a 0) e si é moltiplicato per 2, poiché si ammette che |V (ω)|^{2} sia una funzione pari di ω. Abbiamo cosí per la densitá spettrale di potenza:

S_{v}(ω) = lim_{T →∞} \frac{2|V (ω)|^{2}}{T}

Notiamo la differenza tra l’ultima equazione scritta e la (9.10). Questa aveva un T a fattore moltiplicativo, mentre l’ultima equazione scritta ha T a denominatore. Ció deriva dal fatto che nella (9.10) avevamo fatto uso della serie di Fourier, dove i coefficienti a_{n} hanno un T a denominatore, mentre nella trasformata di Fourier:

F (ω) = ∫_{−∞}^{∞} f(t)e^{−jωt}dt

il T a denominatore é assente.

Dalla (9.43), dividendo entrambi i membri per T, effettuando una media su di un insieme (infinito) di sistemi identici e prendendo poi il limite per T → ∞, si ottiene:

lim_{T →∞} \frac{1}{T} ∫_{−∞}^{∞} \overline{v(t)v(t + τ)}dτ = lim_{T →∞} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{∞} 2\frac{\overline{|V (ω)|^{2}}}{T} cos(ωτ)dω

dove abbiamo fatto uso della simmetria della |V (ω)|^{2}.

Il termine a sinistra di questa equazione é la funzione di autocorrelazione Φ(τ). Invertendo nel termine a destra il limite con l’integrazione, otteniamo:

Φ(τ) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{∞} S_{v}(ω)cos(ωτ)dω = ∫_{0}^{∞} S_{v}(f)cos(ωτ)df

Questa é una trasformata di Fourier, la cui inversa é:

S_{v}(f) = 4 ∫_{0}^{∞} Φ(τ)cos(ωτ)dτ

Le ultime equazioni scritte costituiscono il teorema di Wiener-Khintchine.

9.16 Appendice B

Ci proponiamo in questa appendice di studiare la funzione di distribuzione temporale relativa ad eventi elementari che avvengano in modo casuale ed indipendente. Un esempio é quello di un elettrone che si muove in un materiale conduttore, subendo urti con gli atomi che incontra. Ciascun urto é un evento casuale, intendosi con ció il fatto che la probabilitá che un evento abbia luogo in in piccolo intervallo di tempo compreso tra t e t + δt é piccola ed indipendente da t. Quando diciamo ”piccola” intendiamo che la probabilitá di osservare due eventi nell’intervallo di tempo considerato é trascurabile. Chiamando νδt la probabilitá che un evento abbia luogo nell’intervallo di tempo suddetto, ci proponiamo di calcolare la probabilitá p(m, t)che esattamente m eventi abbiano luogo in un intervallo di tempo finito t.

Per calcolare tale probabilitá, partiamo dalla considerazione che vi sono solo due modi per ottenere esattamente m eventi nell’intervallo di tempo (0-t). Potremo cioé avere (m-1) eventi nell’intervallo di tempo (0, t − δt) ed uno nell’intervallo δt o m eventi nell’intervallo di tempo (0, t − δt) e nessuno nell’intervallino δt. In formule:

p(m, t) = p(m − 1, t − δt)νδt + p(m, t − δt)(1 − νδt)

Sviluppando i termini a secondo membro di questa espressione in serie di Taylor, otteniamo:

p(m − 1, t − δt)νδt = p(m − 1, t)νδt − \frac{∂p(m − 1, t)}{∂t}ν(δt)^{2}

p(m, t − δt) · (1 − νδt) = p(m − 1, t)νδt + p(m, t) − \frac{∂p(m, t)}{∂t}δt − p(m, t)νδt + ....(δt)^{2}

Per cui l’ultima espressione scritta si puó scrivere:

p(m, t) = p(m − 1, t)νδt + p(m, t) − \frac{∂p(m, t)}{∂t}δt − p(m, t)νδt

da cui segue:

lim_{δt→0} \frac{dp(m, t)}{δt} = \frac{dp(m, t)}{dt} = ν[p(m − 1, t) + p(m, t)] (9.44)

Per m=0 questa é (essendo p(-m,t)=0):

\frac{dp(0, t)}{dt} = νp(0, t)

che ha come soluzione:

p(0, t) = e^{−νt}

Per m generico possiamo riscrivere la (9.44) come:

e^{−νt} \frac{d}{dt}[e^{νt}p(m, t)] = νp(m − 1, t)

che, integrata tra i limiti (0,t) (con p(0,0)=1), ci da:

e^{νt}p(m, t) = ν ∫_{0}^{t} e^{νt}p(m − 1, t)dt

Questa é una formula di ricorrenza che ci consente di calcolare p(m,t) a partire da p(m-1,t). Conoscendo p(0,t) otteniamo cosí:

e^{νt}p(1, t) = ν ∫_{0}^{t} e^{νt}e^{−νt}dt = νt

da cui:

p(1, t) = νte^{−νt}

Si trova in generale:

p(m, t) = \frac{(νt)^{m}e^{−νt}}{n!}

Possiamo da questa calcolare la distribuzione della distanza temporale tra due eventi successivi. La probabilitá che due eventi abbiano luogo separati da un tempo t é pari alla probabilitá che, dato un evento, nessun evento abbia luogo per un tempo pari a t ed un evento abbia luogo nel successivo intervallino temporale δt. Cioé:

f(t) = p(0, t)νδt

dove:

p(0, t) = e^{−νt}

e quindi:

f(t) = νe^{−νt}δt

Il valor medio di m (cioé il momento di ordine 1 della distribuzione)é:

\overline{m} = ∑_{m=0}^{∞} mp(m, t) = e^{−νt}νt[1 + \frac{νt}{1} + \frac{(νt)^{2}}{2!} + \frac{(νt)^{3}}{3!} + ....] = e^{−νt}νte^{νt} = νt

Analogamente si puó dimostrare che il momento di ordine 2 (la varianza) é:

σ^{2} = \overline{(m − \overline{m})^{2}} = ∑_{m=0}^{∞} m^{2}p(m, t) − \overline{m}^{2} = \overline{m}

9.17 Appendice C

Teoremi di Campbell e di Carson

Consideriamo un rumore casuale, originato da un gran numero di eventi indipendenti. Ciasun evento produca un impulso di una certa forma, descritta da una funzione (uguale per tutti) f(t − t_{1}), dove t_{i} é l’istante in cui si é verificato l’evento ie-mo. L’evento potrá essere generico: un elettrone che urta con un atomo, una goccia di pioggia che cade, un soffio di vento durante un temporale, la ricombinazione di una coppia elettrone-lacuna in un semiconduttore, etc. La f(t) é la funzione che descrive la conseguenza percettibile dell’evento, funzione del tempo. Ció che in realtá percepiamo é la risultante di un gran numero di eventi indipendenti. Essa puó esser descritta facendo uso del principio di sovrapposizione:

x(t) = ∑_{k=1}^{N} a_{k}f(t − t_{k})

dove a_{k} rappresenta l’ampiezza dell’ie-mo evento, t_{k} é l’istante in cui tale evento ha avuto luogo, N é il numero totale di eventi nel tempo di osservazione T e la funzione f(t) é nulla per t < 0. Faremo l’ipotesi che la funzione f(t) sia diversa da zero solo per tempi molto minori del tempo di osservazione T.

Poiché gli eventi sono indipendenti, la distribuzione dei tempi t_{k} soddisfa alla statistica di Poisson, con un numero medio di eventi al secondo dato da:

ν = lim_{T →∞} \frac{N}{T}

Il valore medio aspettato per la variabile x(t) é allora:

\overline{x(t)} = ν\overline{a} ∫_{−∞}^{∞} f(t)dt

dove \overline{a} é il valor medio dell’ampiezza a_{k}. Il risultato espresso dalla (9.17) é noto come teorema di Campbell del valor medio.

La trasformata di Fourier della x(t) é:

X(jω) = ∑_{k=1}^{N}[a_{k}e^{−jωt_{k}} F (jω)] = F (jω) ∑_{k=1}^{N} a_{k}e^{−jωt_{k}}

La densitá spettrale della potenza é:

\overline{S_{x}(ω)} = lim_{T →∞} \frac{\overline{|X(jω)|^{2}}}{T} = lim_{T →∞} \frac{2|F (jω)|^{2}}{T} ∑_{k,m=1}^{N} \overline{a_{k}a_{m}e^{−jω(t_{k}−t_{m})}}

La sommatoria a secondo membro di questa espressione puó essere riscritta, separandola nella parte con k = m e in quella con k ≠ m. Quest’ultima, essendo gli a_{k} indipendenti tra loro ed indipendenti da t_{k}, puó esser riscritta come:

∑_{k≠m=1}^{N} \overline{a_{k}a_{m}}e^{−jω(t_{k}−t_{m})} = \overline{a}^{2} ∑_{k≠m=1}^{N} e^{−jω(t_{k}−t_{m})}

avendo posto:

\overline{a_{k}a_{m}} = \overline{a}^{2}

Se la distribuzione delle ampiezze a_{k} é simmetrica attorno a zero, il termine in questione si annulla, poiché \overline{a} = 0. Ne segue che in tal caso é:

\overline{S_{x}(ω)} = 2ν\overline{a^{2}} |F (jω)|^{2}

dove \overline{a^{2}} é il valore quadratico medio delle a_{k}. Questo é il teorema di Carson.

Se i coefficienti a_{k} non sono distribuiti simmetricamente attorno allo zero, il termine prima ignorato sará presente. In tal caso si puó dimostrare che é:

\overline{x^{2}(t)} − \overline{x(t)}^{2} = ν\overline{a^{2}} ∫_{−∞}^{∞} f^{2}(t)dt

Questo é il teorema di Campbell del valor quadratico medio.

Convertitori Digitale-Analogico ed Analogico-Digitale

10.1 Introduzione

L’informazione digitale che viene elaborata da un generico processore é in molti casi successivamente convertita in un segnale analogico, quale la corrente che alimenta le bobine di un altoparlante, quella che accende dei LED, la tensione che controlla un condizionatore d’aria etc. Sull’altro versante, se abbiamo la necessitá di analizzare l’andamento di un fenomeno, quale ad esempio l’andamento della corrente di collettore in un transistor al variare della corrente di base, la corrente anodica in un fotomoltiplicatore al variare della tensione d’alimentazione, la pressione in un certo volume di gas al variare della temperatura etc., incontriamo la necessitá di convertire un segnale analogico (in genere, una corrente o una tensione fornita da uno strumento o da un trasduttore) in un segnale digitale, ovvero in una stringa di bits.

I circuiti che effettuano la conversione di un segnale analogico in uno digitale sono noti appunto come ”convertitori Analogico-Digitale” o brevemente ”ADC”. Circuiti di questo genere sono disponibili in commercio in un’ampia varietá di tipi diversi.

Un’applicazione che si incontra spesso in fisica é quella di fornire una rappresentazione numerica di un segnale dipendente dal tempo. In tale applicazione, la forma d’onda che caratterizza il segnale viene ”campionata” ad intervalli di tempo estremamente ravvicinati (fino a qualche picosecondo) e l’ampiezza del segnale in ciascuno di tali intervalli di tempo viene convertita in un numero binario. Si parla in tal caso di ”digitizzatori di forme d’onda” (waveform digitizers). In tale categoria rientrano gli oscilloscopi digitali, che stanno rapidamente sostituendo quelli analogici.

Un’altra applicazione degli ADC che ha avuto un’ampia diffusione negli ultimi anni é nelle fotocamere digitali.

I circuiti che effettuano la conversione opposta, di un segnale digitale in uno analogico sono noti come ”DAC”.

Nel seguito ci occuperemo di una rassegna dei principi che sono alla base del funzionamento di entrambi questi tipi di convertitori. Premetteremo una breve discussione dei circuiti che effettuano il ”campionamento” del segnale (circuiti di sample-and-hold).

Figura 10.2:

10.2 Circuiti di Sample-and-Hold

Per convertire un segnale analogico in uno digitale occorre disporre di un circuito che ”campioni” (sample) il segnale analogico all’istante voluto e ne trattenga (hold) il valore, in attesa che il successivo circuito abbia la possibilitá di ”leggere” e convertire il segnale analogico in una sequenza di bit, cioé in un numero. I circuiti che realizzano tale funzione vanno sotto il nome di circuiti di ”sample and hold” (S&H). Il piú semplice circuito di S&H é un condensatore la cui carica é comandata da un interruttore, come mostrato in figura 10.1.

La chiusura dell’interruttore ad un dato istante consente al condensatore C di caricarsi alla tensione del segnale da campionare V_{i}, applicato all’ingresso. La carica del condensatore non sará ovviamente istantanea, ma dipenderá dalla corrente I che la sorgente V_{i} é in grado di erogare, oltre che dal valore di C. Una volta carico, il condensatore manterrá il potenziale V_{i} anche dopo che l’interruttore sia stato aperto. Tuttavia, perdite attraverso il dielettrico causeranno una diminuzione della tensione ai capi del condensatore in tempi relativamente brevi. Se poi il condensatore é collegato, come sempre avviene, ad un carico, tale tempo sará ulteriormente ridotto. L’interruttore puó esser realizzato facendo uso di un transistor ad effetto di campo (FET) o di una porta a diodi. Di norma, sia la sorgente V_{i} che l’uscita prelevata ai capi del condensatore sono accoppiate tramite operazionali in configurazione ”inseguitore di tensione”. Un esempio é quello mostrato in figura 10.2.

Nell’esempio l’interruttore é realizzato tramite un FET. Se il segnale di gate é applicato ad un certo istante t_{0}, la conseguente chiusura dell’interruttore dá inizio al processo di carica del condensatore. All’intervallo di tempo che intercorre tra la chiusura dell’interruttore e la carica del condensatore alla tensione v_{i}(t_{0}) si dá il nome di ”tempo di acquisizione”. Al termine del segnale di gate, l’apertura dell’interruttore non é istantanea, ma ha luogo con un certo ritardo, detto ”tempo di

Figura 10.4:

apertura”. Il tempo di apertura é dell’ordine di 50-100 ns se si fa uso di un interruttore a FET, mentre puó essere inferiore ad 1 ns se si fa uso di un interruttore realizzato con diodi veloci. La figura 10.3 mostra l’effetto del tempo di apertura e di quello di acquisizione sul segnale letto.

Esaminiamo, con riferimento alla figura, l’effetto di questi ritardi. Nell’intervallo di tempo A il gate era alto (interruttore chiuso). Il segnale campionato dovrebbe essere quello presente all’istante dell’apertura del gate, cioé all’inizio dell’intervallo di tempo B, che é v_{1}. Il ritardo nell’apertura dell’interruttore fa si che questo sia invece v_{2}. Quando noi chiudiamo l’interruttore, la tensione ai capi del condensatore sale, come mostrato in figura, con legge esponenziale e raggiunge il suo valore asintotico quando la tensione del segnale in ingresso é passata dal valore v_{3} che essa aveva al momento della chiusura dell’interruttore, ad un nuovo valore v_{4}.

Come accennato, un interruttore veloce puó esser ottenuto da una porta a diodi. Un semplice esempio é quello di figura 10.4.

Il segnale da campionare é v_{i} , mentre i segnali +V e −V costituiscono il gate. Se V é posto ad un valore positivo di ampiezza sufficiente, entrambi i diodi D_{1} e D_{2} saranno in conduzione. In tali condizioni possiamo verificare che v_{o} = v_{i}. Infatti, essendo in tali condizioni il ramo b-c-d essenzialmente un corto circuito, il circuito equivalente é quello mostrato in figura 10.5:

dove si vede che é:

v_{o} = v_{i} \frac{R_{L} ∥ (R_{2}/2)}{R_{1} + R/2 + R_{L} ∥ (R_{2}/2)} = v_{i} \frac{2R_{L}R_{2}}{2R_{L}R_{2} + (R_{2} + 2R_{L})(R + 2R_{1})}

notiamo che per v_{i} = 0 é v_{o} = 0, cioé non é presente alcun offset. Se invece il segnale di controllo V é negativo, entrambi i diodi saranno interdetti. In tali condizioni é facile vedere che v_{o} = 0.

Il tempo di acquisizione é limitato dalla massima corrente che l’operazionale é in grado di erogare. (I ∼ 25 mA). Se C é la capacitá, tale tempo sará all’incirca: t_{A} = CV/I. Questa, con una capacitá di 100 nF ed una tensione di 1 V, dá t_{A} ≈ 4 μs. Il tempo di acquisizione puó esser ridotto diminuendo C o aumentando I. Ora, una diminuzione di C provocherebbe una diminuzione del tempo di scarica del condensatore, legato alle perdite dielettriche dello stesso. Rimane quindi solo l’alternativa di aumentare la corrente I. Ció puó esser ottenuto inserendo all’uscita dell’operazionale un emitter-follower complementare, come mostrato in figura 10.8.

Apriamo a questo punto una breve parentesi per comprendere il funzionamento dell’emitter-follower complementare indicato in figura.

Gli amplificatori a transistor possono essere classificati come amplificatori di classe A, di classe B, di classe AB e di classe C. Un amplificatore é di classe A se esso lavora attorno ad un punto posto all’incirca al centro delle curve caratteristiche del transistor, e quindi questo opera all’incirca in modo lineare. In tali condizioni un segnale sinusoidale applicato in ingresso dará ancora un segnale sinusoidale in uscita, con buona linearitá. Un amplificatore lavora in classe B se il transistor opera attorno ad un punto che é molto vicino ad un estremo delle curve caratteristiche. In queste condizioni, un segnale sinusoidale applicato in ingresso sará amplificato e presente in uscita solo durante un semiciclo. Per un amplificatore che funzione in classe A, la corrente fluisce nel circuito in ogni istante, anche in assenza di segnale applicato in ingresso, mentre per uno che funzioni in classe B la corrente fluisce solo durante una semionda. Un amplificatore é di classe AB se lavora in una zona intermedia tra la classe A e quella B. É infine di classe C se il punto di lavoro é scelto in modo tale che la corrente (o tensione) in uscita sia nulla per piú di una semionda. Il vantaggio di un amplificatore che lavori in classe B, rispetto ad uno che operi in classe A, é che in assenza di segnale non c’é dissipazione di potenza. Per questo motivo gli amplificatori di classe B sono adoperati in tutte quelle circostanze in cui si deve fare attenzione a dissipare poca potenza (impianti posti su satelliti,

Figura 10.7:

radioline a batteria etc.). Lo svantaggio é una maggiore distorsione armonica. Un tipico amplificatore (di corrente) che opera in classe B é un emitter follower:

Per avere amplificazione durante entrambe le semionde, si ricorre ad un dispositivo costituito da due emitter-follower in serie, uno dei quali utilizza un transistor NPN e l’altro PNP. Questo prende il nome di amplificatore di classe B push-pull (o emitter follower complementare) come schematicamente indicato in figura 10.7.

Si vede facilmente che quando v_{i} é positivo, Q_{1} conduce e Q_{2} é interdetto. La corrente é i_{1} e viene da Q_{1}. Durante l’altro semiciclo, Q_{1} é interdetto e Q_{2} in conduzione. La corrente in R_{L} sará ora −i_{2}, dove i_{2} é la corrente in Q_{2}.

Vediamo ora come un amplificatore di questo tipo possa essere utilizzato come generatore di corrente in un sistema di sample-and-hold ad operazionali (vedi figura 10.8):

Quando un segnale positivo é presente sul gate, il FET conduce tutte le volte che v_{i} > 0, a condizione che sia v_{i} > v_{o}. Notiamo che il secondo A.O. é connesso come inseguitore di tensione, con v_{o} unito all’ingresso invertente del primo A.O. Quindi v_{o} é forzato a seguire v_{i} durante il ”sampling time”. Notiamo che la corrente che carica il condensatore é erogata dal push-pull e non dall’A.O..

Quando il gate é basso (intervallo di hold) v_{o} rimane uguale al valore che esso aveva raggiunto durante l’intervallo di sample, a parte un piccolo drift dovuto alla corrente di bias dell’A.O. di uscita ed alle correnti di leakage dell’emitter follower e del FET. Maggiore il valore della capacitá C, minore sará il drift della tensione durante la fase di hold. Tuttavia, all’aumentare di C, come si é visto, aumenta il tempo di acquisizione. La soluzione sará quindi un compromesso tra le due diverse esigenze.

10.3 Convertitori Digitale-Analogico

I convertitori Digitale-Analogico (DAC) son dispositivi attraverso i quali un sistema digitale puó comunicare con il mondo analogico. Anche se l’uso piú diffuso di tali convertitori consiste, come vedremo, nella realizzazione di convertitori Analogico-Digitale, essi hanno un’ampia gamma di applicazioni, che va dalla realizzazione di sistemi di display per tubi a raggi catodici a sintetizzatori musicali, generatori di forme d’onda, attenuatori, e trasmettitori digitali quali quelli adoperati nei piú recenti sistemi di comunicazione.

Immaginiamo di voler convertire in un segnale analogico, ad esempio in una tensione, un’informazione binaria, e che questa sia disponibile all’uscita di un circuito digitale. Possiamo ad esempio pensare che l’informazione digitale consista nei livelli d’uscita di un registro costituito da N Flip-Flops. Se indichiamo in generale con a_{0} l’uscita del FF0 (corrispondente al bit meno significativo), con a_{1} quella di FF1, e via di seguito fino al FF(N-1) cui associamo il bit a_{N−1}, vogliamo realizzare un circuito che fornisca in uscita un livello di tensione V_{0} dato da:

V_{0} = V (a_{0} + 2^{1}a_{1} + 2^{2}a_{2} + ⋯ + 2^{N−1}a_{N−1})

dove V é un coefficiente di proporzionalitá, legato al range di valori analogici che si desidera avere in uscita, ed i coefficienti a_{0}, a_{1}, ⋯, a_{N−1} valgono 0 o 1 a seconda che l’uscita del corrispondente FF sia bassa o alta. Un metodo per realizzare tale funzione é suggerito dal sommatore per segnali analogici, ottenuto con un’operazionale (in configurazione invertente) come nell’esempio di figura 10.9, relativo al caso di due soli bit:

Se in tale circuito scegliamo R_{0} = R e R_{1} = R/2 avremo:

V_{out} = −(V_{0} + 2V_{1}) e se ora immaginiamo che V_{0} e V_{1} siano le uscite di un registro a 2 bit:

V_{i} = 0 ⇒ livello basso ⇒ numero binario 0

V_{i} = 1 ⇒ livello alto ⇒ numero binario 1

vediamo che abbiamo realizzato un convertitore digitale-analogico a due bit. Infatti, se é:

V_{0} = 1, V_{1} = 0

avremo

V_{out} = −1

Se é:

V_{0} = 0, V_{1} = 1

avremo:

V_{out} = −2

e cosí via.

L’estensione ad un numero maggiore di bit é immediata. Uno schema di massima per il caso di N bit é mostrato in figura 10.10, dove potrebbe ad esempio essere: V_{R} = −10 V, R = 1k, R′ = 5k.

Il circuito é un sommatore dove:

V_{o} = − (\frac{R′}{R} a_{N−1} + \frac{R′}{2R}a_{N−2} + ⋯ + \frac{R′}{2^{N−1}R}a_{0}) V_{R} =

= 5 (a_{N−1} + \frac{1}{2}a_{N−2} + ⋯ + \frac{1}{2^{N−1}} a_{0})

Se il coefficiente a_{i} é zero, il corrispondente interruttore S_{i} é collegato a massa ed il termine corrispondente nell’espressione ora scritta sará 0. Gli interruttori S_{0}, S_{1}, ⋯, S_{N−1} hanno il ruolo di collegare l’uscita a massa o a V_{R}, a seconda che sul gate di ingresso sia presente uno 0 oppure un 1. Tali interruttori possono essere realizzati in molti modi diversi. Una possibilitá é quella mostrata in figura 10.11, che rappresenta un ”totem pole MOSFET drive”

Gli input Q e \overline{Q} al MOSFET vengono da un registro dove é stata preventivamente immagazzinata l’informazione digitale da convertire in segnale analogico. Assumiamo di lavorare in una logica negativa, dove lo 0 é rappresentato da 0 V e l’1 Figura 10.10: Figura 10.11: da -10 V. Un 1 in ingresso ad un opportuno FLIP-FLOP che precede il MOSFET manda Q → 1 e \overline{Q} → 0. Con ció il MOSFET Q_{1} sará ON. La resistenza R_{1} sará cosí collegata alla tensione −V_{R}, mentre Q_{2} sará OFF. Analogamente, con un segnale in ingresso uguale a 0, avremo Q = 0 e \overline{Q} = 1, con che Q_{1} sará OFF e Q_{2} ON. Cioé la resistenza R_{1} verrá ad essere collegata a massa.

L’accuratezza e stabilitá dei DAC ora illustrati dipende in primo luogo dall’accuratezza dei valori delle resistenze, nonché dalla variazione che ciascuna di esse subisce con la temperatura. Un limite importante di questo tipo di DAC é costituito dal grande range di valori di resistenza necessario. Per un DAC a 10 bit, se la piú piccola delle resistenze é 10kΩ, la piú grande dovrá essere 5.12MΩ (cioé 2^{N−1} volte la piú piccola, con N=10), che comincia ad essere un valore troppo grande. Inoltre, la tolleranza sulla resistenza da 10kΩ, che nella somma ha un peso pari a 2^{9} volte quello della resistenza piú grande, dovrá essere 2^{9} volte piú piccola! Se quindi la resistenza da 5.12MΩ é al 10%, quella da 10kΩ dovrá essere allo 0.002%, che é praticamente impossibile da realizzare. Per questo motivo, i circuiti del tipo mostrato sono poco adoperati e sono invece sostituiti dai DAC a ”ladder” (cioé a scala) che ora esamineremo.

Questo circuito, di cui mostriamo in figura 10.12 la configurazione non-invertente, usa solo due valori di resistenza: R e 2R.

L’esempio di figura é relativo ad un convertitore a 4 bit. Cominciamo con l’osservare che, da un generico nodo, si ”vede” la medesima resistenza sia che ”guardi” verso sinistra, sia che si ”guardi” verso destra o verso il basso. Cosí, dal nodo 0, guardando verso sinistra si vede una resistenza 2R, verso il basso si vede sempre 2R, sia che l’interruttore a_{0} sia collegato a massa, sia che esso sia collegato a V_{R} (ricordiamo che un generatore di tensione ideale ha una resistenza interna nulla). Guardando dal nodo 0 verso destra si vede una resistenza R in serie con altre resistenze che, come é facile verificare, valgono ancora R, comunque siano disposti gli interruttori a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{3}. Verifichiamolo: la resistenza vista dal nodo 3 guardando a destra é 2R, verso il basso é ancora 2R; di conseguenza la resistenza totale vista dal nodo 3 guardando verso destra e verso il basso é il parallelo di 2R con se stessa, cioé R. Ora, guardando dal nodo 2 verso destra vediamo una resistenza R in serie con questa, cioé una resistenza 2R. Poiché dal nodo 2 verso il basso c’é una resistenza 2R, é chiaro che dal nodo 2 verso il basso + destra c’é una resistenza R. Il ragionamento é facilmente estendibile a tutti i nodi labellati 0, 1, 2, 3.

Se ora un generico interruttore é connesso a V_{R} e tutti gli altri a massa, la tensione nel nodo corrispondente sará V_{R} meno la caduta ai capi della resistenza 2R che collega il nodo all’interruttore. Cioé:

V_{i} = V_{R} − 2RI

dove la corrente é quella che é erogata dal generatore V_{R} verso il nodo. Lo schema equivalente utilizzabile per calcolare tale corrente é mostrato in figura 10.13.

Dalla figura é immediato vedere che:

I = \frac{V_{R}}{3R}

per cui:

V_{i} = V_{R} − \frac{2R}{3R}V_{R} = \frac{1}{3}V_{R}

Quindi un generico nodo il cui interruttore sia chiuso su V_{R} é ad un potenziale V_{R}/3. Se questo fosse il nodo 3, avremmo:

V_{i} = V_{3} = \frac{1}{3}V_{R} = V_{+} = V_{−}

dove si é fatto uso del principio del corto-circuito-virtuale all’ingresso dell’operazionale. Ne seguirebbe, dall’uguaglianza delle correnti nelle resistenze R_{1} ed R_{2}:

(V_{o} − \frac{V_{R}}{3} ) \frac{1}{R_{2}} = \frac{V_{R}}{3R_{1}}

da cui segue:

V_{o} = \frac{V_{R}}{3} \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}} ≡ \overline{V}

Se invece fosse collegato a V_{R} l’interruttore a_{2}, e tutti gli altri fossero collegati a massa, la tensione al terminale non invertente dell’A.O. sarebbe determinata dal partitore costituito dalla resistenza R posta tra i nodi 2 e 3 e da quella costituita dal parallelo delle due resistenze pari a 2R poste tra il nodo 3 e massa. Tale tensione sarebbe quindi la metá di quella presente al nodo 3. La tensione in uscita sarebbe quindi la metá di quella calcolata in precedenza:

V_{o} = \frac{1}{2} \frac{V_{R}}{3} \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}} = \frac{1}{2}\overline{V}

In modo analogo, se a V_{R} fosse collegato l’interruttore a_{1} e tutti gli altri fossero collegati a massa, troveremmo una tensione in uscita pari alla metá di quella precedente, e cosí via.

Facendo ora usa del principio di sovrapposizione, troveremo nel caso generale:

V_{o} = \overline{V} (a_{3} + \frac{1}{2}a_{2} + \frac{1}{4}a_{1} + \frac{1}{8}a_{0}) =

= \frac{1}{8}\overline{V} (2^{3}a_{3} + 2^{2}a_{2} + 2^{1}a_{1} + a_{0})

cioé, con una fattore moltiplicativo \overline{V} /8, la rappresentazione analogica del numero binario: a_{3}, a_{2}, a_{1}, a_{0}. Un problema che é presente nel tipo di DAC appena discusso é quello legato al ritardo nella propagazione del segnale associato alla chiusura degli interruttori. Se infatti gli ingressi a_{3}, ⋯ a_{0} valgono 1000 e si commutano tutti simultaneamente in 0111 (ricordiamo che il bit piú significativo é quello piú vicino all’ingresso non-invertente dell’A.O.) l’effetto del cambiamento del bit piú significativo si fará sentire per primo ed il sistema passerá nello stato 0000. Successivamente si sentirá l’effetto del cambiamento del secondo bit ed il sistema passerá nello stato 0100, etc. Cosí, per un breve intervallo di tempo, l’uscita dell’operazionale acquisterá la successione di valori (decimali) 8,4,6,7. Per ovviare a questo inconveniente conviene adottare uno schema in cui gli interruttori sono collegati tutti direttamente all’ingresso dell’operazionale. Uno schema (invertente) che realizza questo scopo é quello mostrato in figura 10.14.

Notiamo che gli interruttori a_{3}, a_{2}, a_{1}, a_{0} sono collegati o a massa o comunque alla massa virtuale dell’operazionale. La resistenza vista da un generico nodo (0-3), guardando verso destra o verso il basso é sempre pari a 2R. La corrente erogata dal generatore sará quindi quella che attraversa due resistenze in parallelo, ciascuna uguale a 2R. Tale corrente é quindi: I = V_{R}/R. Se ora a_{3} é collegato all’ingresso invertente dell’A.O. e gli altri interruttori sono collegati a massa, una corrente pari ad I/2 fluirá nella resistenza di feedback (2R) e quindi avremo:

V_{o} = −2R\frac{I}{2} = −RI = −V_{R}

Se ad esser collegato all’ingresso invertente é invece a_{2}, la corrente nella medesima resistenza sará la metá di quella precedente, e quindi:

V_{o} = −\frac{1}{2}V_{R}

e cosí via per a_{1}, a_{0}. Il funzionamento di questo circuito é quindi analogo a quello discusso in precedenza, ma ora il problema dei ritardi é eliminato.

Uno dei vantaggi di un circuito di conversione a ”ladder” del tipo esaminato é costituito dal fatto che una ”scala” di resistenze R-2R puó esser realizzata industrialmente con tecniche di deposizione di film sottili su di un singolo substrato. Ció fa si che le variazioni di temperatura siano le stesse per tutte le resistenze del ladder; si ottengono in tal modo variazioni delle resistenze relative, con la temperatura, inferiori ad una parte per mille per ^{o}C.

I convertitori D/A esaminati rientrano nella categoria del tipo moltiplicatore (Multiplying D/A converter o MDAC). Un MDAC é un convertitore D/A che accetta una V_{R} (tensione di riferimento) variabile nel tempo. L’ouput é quindi proporzionale alla V_{R}(t) secondo una costante di proporzionalitá che dipende dal numero binario impostato sull’ingresso digitale. Un dispositivo di questo tipo puó esser utilizzato quindi per moltiplicare due segnali, uno dei quali sia disponibile in forma digitale e l’altro in forma analogica. Ad esempio, essi possono essere adoperati per effettuare una conversione da coordinate polati (r, θ) a coordinate cartesiane realizzando la moltiplicazione: r cos θ. Esistono versioni ultraveloci di MDAC, quali il modello AD668 (Analog Devices) che é estremamente veloce ed é disponibile sotto la forma di circuito integrato.

10.4 Convertitori Digitale-Analogico pilotati in corrente

I DAC che abbiamo esaminato hanno l’inconveniente di far uso di interruttori basati su transistor bipolari, che vengono portati dall’interdizione alla saturazione e viceversa. Questo rappresenta un limite alla velocitá di conversione poiché, come sappiamo, un transistor impiega tempi relativamente lunghi per uscire dalla saturazione. L’alternativa di far uso di interruttori basati su FET presenta altri problemi, legati all’impedenza dei FET e delle resistenze necessarie per polarizzarli.

Un tipo di DAC che non risente di questi problemi é quello che sostituisce il generatore di tensione V_{R} con generatori di corrente posti in ciascuno dei rami della rete R-2R, e che adopera interruttori in logica ECL, attraverso i quali le correnti possono essere indirizzate verso l’opportuno nodo della rete, o verso massa. Lo schema di principio di tale circuito é mostrato in figura 10.15.

Come si vede, ciascuno degli interruttori puó esser chiuso sul nodo i^{mo} della rete R-2R o su di una resistenza di valore 2/3R. É facile vedere che la resistenza vista guardando dall’interruttore verso il nodo i^{mo} é anch’essa pari a 2/3 R. Infatti, come é facile verificare relativamente, ad esempio, al nodo a_{0} il circuito equivalente é quello di figura 10.16.

Si vede da tale figura che la resistenza ”vista” dal generatore di corrente che alimenta tale nodo é: 2/3R. Lo stesso é vero per gli altri nodi. Se ora ammettiamo

Figura 10.16:

che l’interruttore che é collegato al nodo a_{3} sia in posizione tale da collegare il generatore alla rete, la corrente nella resistenza R_{1} sará uguale a:

I_{1} = \frac{1}{3}I

e la tensione all’uscita dell’operazionale:

V_{o} = −R_{2}I_{1} = −\frac{R_{2}}{3} I

Se invece l’interruttore a_{3} é chiuso sulla resistenza 2/3R e ad essere collegato alla rete é invece il generatore che alimenta a_{2}, é facile vedere che la corrente in R_{1} sará la metá di quella precedente, e quindi la tensione in uscita sará:

V_{o} = −R_{2}I_{1} = −\frac{R_{2}}{3} I · \frac{1}{2}

Vediamo cosí che i generatori collegati ai nodi a_{2}, a_{1}, a_{0} compaiono nella tensione d’uscita con pesi che é ciascuno la metá di quello del nodo di indice immediatamente piú elevato. Il circuito é quindi un convertitore digitale-analogico a 4 bit.

Come accennato, gli interruttori in tale circuito sono realizzati con porte ECL, ciascuna delle quali é costituita da una coppia di transistor accoppiati, come mostrato in figura 10.17. Il segnale di tensione applicato alla base del transistor TB di figura fa’ si che la corrente fluisca nello stesso transistor, e quindi verso massa, o nel transistor TA, che alimenta il relativo nodo della rete R-2R. É chiaro che in tale circuito la corrente non viene mai interrotta, ma semplicemente incanalata su uno o l’altro dei due rami.

Per un’analisi dettagliata di tale switch, si consulti le referenze [7] o [8].

10.5 Convertitori Analogico-Digitale (ADC)

10.5.1 ADC a contatore (Counting ADC)

Se il segnale analogico da convertire é disponibile all’uscita di un sistema di Sample-And-Hold, la conversione puó essere realizzata in vari modi. Di questi, il piú semplice ed economico (anche se probabilmente il piú lento) é quello che fa uso di un contatore, un DAC ed un comparatore. Il principio su cui tale circuito si basa é quello di generare, facendo uso del contatore, una sequenza di numeri binari, del numero di bit che si intende adoperare per la conversione, partendo da zero, fino al massimo valore che il numero dei bit consente. Tale numero viene convertito dal DAC in un livello di tensione e questo é poi confrontato dal comparatore con il segnale che si desidera convertire. Ammettendo che questo sia positivo e che esso sia applicato all’ingresso non-invertente del comparatore, al cui ingresso invertente é inviata l’uscita del DAC, il segnale in uscita dal comparatore sará positivo fino a quando il numero binario generato dal contatore non sia tale da far si che il segnale all’uscita del DAC superi in ampiezza il segnale da convertire. Qualora invece il confronto dia un’uscita negativa, un opportuno segnale blocca il contatore. Il numero letto all’uscita del contatore a questo punto é una stima (approssimata per eccesso) del segnale da convertire. Lo schema di funzionamento é quello mostrato in figura 10.18.

Un impulso di clear resetta il contatore binario, che conta il numero di impulsi che vengono dal clock. L’uscita del contatore é quindi un numero binario che aumenta linearmente (nel nostro caso, in cui abbiamo ipotizzato 4 bit, l’uscita varierá da 0 a 15). Questo numero binario viene convertito dal DAC in un segnale di tensione V, proporzionale al numero binario stesso, secondo una costante di proporzionalitá nota, dipendente dalle caratteristiche del DAC. La tensione V viene poi confrontata, tramite il comparatore C, con la tensione da convertire, V_{a}. Fino a che é V_{a} > V, l’uscita del comparatore sará alta. Di conseguenza l’input b della porta AND sará alto ed i segnali di clock continueranno a fare avanzare il contatore. Si noti che V_{a} non potrá superare il massimo valore che V puó assumere, che nel nostro esempio di un contatore a quattro bit vale 15V_{R}, dove V_{R} é la tensione di fondo scala del DAC.

Quando V supera V_{a}, l’uscita del comparatore va al livello basso ed il gate AND viene ad essere disabilitato. Ora il clock si arresta ed il numero binario presente sui canali di output corrisponde al numero binario immediatamente piú alto (di 1 bit) del valore binario di V_{a}.

Notiamo che tale convertitore é affetto da un ”errore di quantizzazione” legato al numero di bit adoperato. L’errore é tipicamente uguale a metá del bit meno significativo. Cosí ad esempio, ammettendo di avere un ADC a 4 bit, con una risoluzione di 1 bit/100 mV, l’errore sará di ±50 mV.

Questo tipo di ADC é intrinsecamente lento. Se infatti l’impulso V_{a} in ingresso é vicino al fondo scala, occorreranno quasi 15 impulsi di clock ed altrettanti confronti per realizzare la conversione. Se il numero di bit fosse 12 e V_{a} fosse vicino al fondo scala, dovremmo aspettare 4095 impulsi di clock. Se la frequenza del clock fosse 50 ns, dovremmo aspettare circa 200 μs per ottenere una conversione.

Un circuito che, pur basandosi, come il precedente, sull’idea del confronto del livello di tensione con tutta una serie di livelli di tensione generati da un DAC, realizza lo stesso scopo in tempi molto inferiori, é quello noto come ”ADC ad approssimazioni successive”, discusso nella prossima sezione.

10.5.2 ADC ad approssimazioni successive

Per comprendere il principio su cui é basato questo ADC, ammettiamo di voler convertire in binario un numero compreso tra 0 e 15, ad esempio il numero 8.5. Nel metodo descritto in precedenza noi facciamo avanzare un contatore, partendo da 0, confrontando l’uscita analogica con il numero. Il confronto viene prima effettuato con il numero 0, poi con l’1 e via dicendo fino a 9. Il numero di confronti, e quindi di cicli di clock, é 10. Ammettiamo di fare il confronto in modo diverso, ponendoci cioé le seguenti domande:

a) é il numero maggiore o uguale (≥) della metá del range totale? (cioé di 8). Se la risposta é positiva, il valore é compreso tra 8 e 16 (estremo superiore escluso); altrimenti esso é compreso tra 0 e 8. Nel primo caso il bit piú significativo del numero cercato é 1, nel secondo 0

b) Nel caso in cui il primo bit sia risultato essere 1, (é il nostro caso, poiché il nostro numero é 8.5) confrontiamo il numero con il valore che divide a metá il range (8-16), cioé con 12. Se il risultato del confronto é positivo (numero ≥ 12) il secondo bit del numero cercato é 1, altrimenti é 0. Infatti notiamo che 12_{10} = 1100_{2}. Ammettiamo che il risultato del confronto sia negativo e che quindi il secondo bit sia 0, allora:

c) Confrontiamo il numero con quello che divide a metá il range 8-12, cioé con 10. Se il risultato del confronto é positivo (cioé il numero é ≥ 10) il terzo bit é 1, altrimenti esso é 0. Infatti 10_{10} = 1010_{2}. Nel nostro caso troveremo che il terzo bit é 0

d) Confrontiamo infine il numero con quello che divide a metá il range (8-10), cioé con 9. Se il risultato del confronto é positivo, il quarto bit dovrá essere 1, altrimenti esso é 0. Nel nostro esempio il bit é 0

A questo punto la conversione é terminata. Il numero di confronti é stato solo 4, anziché 10. Ciascun confronto effettuato determina il valore di uno dei bit, a cominciare da quello piú significativo fino a quello meno significativo. Si puó dimostrare in generale che la conversione di un numero di N bit con questo sistema richiede solo N confronti e non piú 2^{N}, come nel caso precedente. Ad esempio, per un numero di 12 bit il numero dei confronti é 12 anziché 2^{12} = 4096. Lo schema di massima del circuito é mostrato in figura 10.19.

Si inizia con l’impostare i bit all’ingresso del DAC in modo che solo il bit piú significativo A_{3} sia 1. L’uscita del DAC é quindi una tensione corrispondente al numero 1000 = 8_{10}. Si confronta V_{b} con V_{a}. Se V_{a} ≥ V_{b} la logica di controllo lascia a 1 il bit piú significativo, altrimenti lo mette a 0. Il successivo impulso del contatore ad anello (ring-counter) pone A_{2} = 1 mentre lascia invariati gli altri bit.

Nel nostro esempio, in cui il numero (tensione in ingresso) era 8.5 V, il primo confronto avrebbe posto A_{3} = 1. Ora la configurazione presente nel registro é:

\begin{matrix}A_{3} & A_{2} & A_{1} & A_{0} \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}

Quindi la tensione V_{b} all’uscita del DAC é 12V. Un ulteriore confronto troverá quindi V_{a} = 8.5 V e V_{b} = 12 V, per cui l’uscita del comparatore sará bassa. Ora la logica di controllo pone a 0 il bit A_{2} e ad 1 il bit A_{1}. Quindi ora avremo:

\begin{matrix}A_{3} & A_{2} & A_{1} & A_{0} \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}

Corrispondente a 10_{10}. Il successivo confronto trova ancora una volta un livello basso all’uscita del comparatore. Ora la logica di controllo pone A_{1} = 0 e A_{0} = 1:

\begin{matrix}A_{3} & A_{2} & A_{1} & A_{0} \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}

corrispondente a 9_{10}. Il successivo impulso di clock pone A_{0} = 0, lasciando invariati A_{3}, A_{2}, A_{1}:

\begin{matrix}A_{3} & A_{2} & A_{1} & A_{0} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

corrispondente a V_{b} = 8. Ora il ciclo di arresta. La conversione é terminata. Una possibile implementazione di un convertitore di questo tipo, limitato, per evitare eccessive complicazioni, a 3 bit, é mostrata in figura 10.20. I cinque FF di tipo D (A, B, C, D, E) sono connessi in modo da realizzare un anello modulo 5. Le cinque uscite vengono a trovarsi una alla volta al livello logico 1. I tre FF (F F 0, F F 1, F F 2) servono a registrare i bit, con F F 0 che registra il bit meno significativo ed F F 2 quello piú significativo.

Si inizia con Q_{A} = 1, Q_{B} = 0, Q_{C} = 0, Q_{D} = 0, Q_{E} = 0. Il F F 2 é quindi nello stato di SET mentre F F 0, F F 1 sono in quello di RESET. Avremo quindi Q_{2} = 1, Q_{1} = Q_{0} = 0. In tal modo il numero binario 100 viene dato in ingresso al DAC. L’uscita del comparatore sará C_{0} = 0 se V_{a} ≥ V_{0}, sará C_{0} = 1 se V_{a} < V_{0}. Nel successivo ciclo Q_{B} sará uguale ad 1, mentre tutti gli altri saranno 0. Con ció la porta G_{2} risulterá abilitata ed FF2 verrá a trovarsi nello stato di RESET se C_{0} = 1, di SET se C_{0} = 0. Ció che in sostanza abbiamo fatto é stato di provare ad assegnare il valore 1 al bit piú significativo; l’abbiamo lasciato uguale ad 1 se il risultato del confronto dava un valore di C_{0} = 0 (cioé se V_{a} ≥ V_{0}) mentre l’abbiamo posto uguale a 0 nell’altro caso. Con il successivo impulso di clock, il livello 1 si sposta da Q_{B} a Q_{C}. Con ció sará ora abilitata G_{1}.

Q_{2} rimane al valore che aveva in precedenza. Il nuovo numero binario presente sui FF (Q_{2}, Q_{1}, Q_{0}) viene ora convertito dal DAC e fornito al comparatore. Se V_{0} ≤ V_{a}, C_{0} = 0 e le porte (G_{A}, G_{B}, G_{C}) rimangono disabilitate. Quindi Q_{1} non sará resettato. Se invece C_{0} = 1, la porta G_{1} sará abilitata e Q_{1} sará resettato. Il confronto prosegue fino a quando Q_{E} non diventi uguale ad 1. A quel punto vengono abilitate le porte G_{A}, G_{B}, G_{C} e l’uscita digitale sará disponibile per la lettura.

10.5.3 Convertitore ADC a rampa singola

In tale convertitore si misura il tempo necessario affinché una sorgente di corrente costante carichi un condensatore di capacitá nota ad una tensione pari a quella che si vuol digitizzare. Il relativo schema é mostrato in figura 10.21:

Ammettiamo che C sia inizialmente scarico e che V_{a} sia una tensione positiva. L’uscita del comparatore sará bassa. Il segnale di inizio conversione porrá ad 1 l’uscita Q del FF, con che la porta AND sará abilitata ed il contatore conterá gli impulsi di clock. Nel frattempo la corrente costante i carica il condensatore C e dopo un tempo tale che:

V_{+} = \frac{i}{C} Δt = V_{a}

l’uscita del comparatore si porterá al suo livello alto, resettando con ció il F.F.. Ora \overline{Q} passerá al livello alto e Q a quello basso. La porta AND sará disabilitata ed il registro indicherá un conteggio N proporzionale a Δt e quindi a V_{a}. Il livello alto di \overline{Q} resetterá contatore e registro, oltre a chiudere l’interruttore, scaricando cosí il condensatore. Il sistema é cosí pronto ad un nuovo ciclo di conversione. Questo tipo di ADC, pur molto semplice, non é altrettanto accurato. L’accuratezza é determinata dall’accuratezza e stabilitá della capacitá C, del generatore di corrente e del comparatore. Per questo motivo si preferisce ricorrere all’ADC a doppia rampa, descritto nel paragrafo successivo.

10.5.4 L’ADC a doppia rampa

In questo tipo di ADC l’idea base é la seguente. Un convertitore tensione-corrente viene utilizzato per fornire ad un condensatore una corrente rigorosamente proporzionale alla tensione V_{a} applicata all’ingresso (tensione che si vuol digitizzare). Ció vien fatto per un intervallo di tempo T_{1} fisso e ben definito. Il condensatore si carica fino a raggiungere una tensione \overline{V} come indicato in figura 10.22.

Successivamente, il condensatore viene scaricato a corrente costante, fino a che, dopo un tempo T_{2}, non si annulli la tensione ai suoi capi. Un contatore misura il numero di impulsi forniti dal clock nel tempo T_{2}. L’uscita del contatore sará quindi proporzionale a T_{2}, che a sua volta é proporzionale a \overline{V} (essendo la pendenza β una costante) determinata da V_{a}.

Prima di esaminare i dettagli di un tipico circuito di questo tipo, notiamo che il risultato ora non dipende dal preciso valore C della capacitá. Infatti, se C aumenta, nell’intervallo di tempo T_{1} la corrente i caricherá il condensatore ad una tensione piú bassa. Questa sará comunque tale che il prodotto C\overline{V} sia costante. Nella successiva scarica del condensatore (a corrente costante i) il tempo T_{2} sará determinato dalla condizione:

T_{2} = Δt = \frac{C\overline{V}}{i}

e sará quindi il medesimo di prima, essendo \overline{V} diminuito in modo tale che C\overline{V} rimanesse costante.

Notiamo inoltre che, essendo il conteggio espresso in numero di impulsi di clock, il risultato non dipende dal valore esatto della frequenza del clock. Infatti, ammettiamo che il clock sia un po’ piú lento del ”normale”. Essendo T_{1} espresso in numero di cicli di clock, l’intervallo T_{1} sará fisicamente piú lungo del ”normale” e di conseguenza \overline{V} sará maggiore. Il processo di scarica impiegherá quindi un tempo corrispondentemente piú lungo. Ma, essendo alla fine tale tempo espresso in unitá di cicli di clock, che sono piú lenti del ”normale”, il numero risultante risulterá invariato.

Veniamo ora ad un’implementazione schematica di tale convertitore, come quella di figura 10.23.

Ammettiamo che V_{a} sia > 0 e V_{R} < 0. L’interruttore S_{1} é inizialmente aperto, S_{2} é chiuso ed il contatore é azzerato. Ammettiamo ora che all’istante t = t_{1} S_{1} sia portato in posizione V_{a} ed S_{2} venga aperto. L’operazionale dará un segnale di tensione V in uscita proporzionale all’integrale di V_{a} (che ammettiamo rimanga costante durante il tempo di conversione). Inoltre tale segnale sará negativo. Ammettendo che il contatore sia congegnato in modo da azzerarsi dopo 2^{N} impulsi di clock (dove N é il numero di bit in uscita) e che dopo tale tempo esso dia un segnale di clear che agisce su S_{1} portandolo in posizione V_{R}, avremo che, a partire da tale istante il condensatore comincia a scaricarsi e V comincia a risalire, come mostrato in figura 10.24.

Vediamo dalla figura che V prima decresce e poi cresce linearmente nel tempo. Al tempo t = t_{3} l’uscita V dell’integratore ripassa per lo zero. Fino a che V rimane negativo, l’uscita del comparatore sará al suo livello alto e la porta AND permetterá il conteggio degli impulsi di clock. In t = t_{3} V diviene uguale a zero, il gate AND é disabilitato ed il conteggio si arresta. Possiamo ora far vedere che la lettura del contatore al tempo t = t_{3} é proporzionale al segnale in ingresso. Questo puó essere compreso intuitivamente, se si pensa che la pendenza del segmento di retta che rappresenta V nell’intervallo di tempo t_{1}−t_{2} é proporzionale all’ampiezza del segnale in ingresso. Di conseguenza, l’altezza massima raggiunta da V é proporzionale al segnale in ingresso. D’altronde, il tempo che il segnale impiega a ritornare a zero é proporzionale all’altezza massima che esso aveva raggiunto, e tale tempo é quello che il contatore ha sulla propria uscita digitale alla fine, cioé al tempo t_{3}. In modo piú formale; il valore di V per t = t_{3} é dato da:

V = −\frac{1}{RC} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} V_{a}dt − \frac{1}{RC} ∫_{t_{2}}^{t_{3}} V_{R}dt = 0

da cui:

V_{a}(t_{2} − t_{1}) + V_{R}(t_{3} − t_{2}) = 0

e quindi:

V_{a} · T_{1} + V_{R} · T_{2} = 0

Se il numero di impulsi nel tempo t_{2}−t_{3} é n_{2}, allora T_{2} = n_{2}T; inoltre: T_{1} = n_{1}T; per cui:

V_{a}2^{N}T + V_{R}n_{2}T = 0

V_{a} = n_{2} \frac{|V_{R}|}{2^{N}} = kn_{2}

10.5.5 Flash ADC

Un tipo di ADC estremamente veloce é quello a comparatori paralleli, noto anche come Flash ADC. L’idea base di questo convertitore é quella di confrontare la tensione da convertire con un insieme finito di livelli di tensione predeterminati, corrispondenti ciascuno ad un diverso numero binario in uscita. Il confronto vien fatto contemporaneamente con tutti tali livelli di tensione; ció che rende il circuito estremamente veloce. Esaminiamo la struttura base di un convertitore a 3 bit, quale quello mostrato in figura 10.25.

V_{a} é la tensione da convertire, V_{o} una tensione fissa di riferimento. Il partitore costituito dalle resistenze R/2, R, fa si che l’ingresso non invertente del comparatore C_{7} sia ad una tensione pari a 13V_{o}/14, quello di C_{6} a 11V_{o}/14 , e via dicendo, fino a C_{1} che ha l’ingresso non invertente a V_{o}/14. L’uscita dei comparatori é collegata all’ingresso di altrettanti flip-flop di tipo D, che a loro volta sono collegati alla logica di decodifica (costituita di porte AND) che genera i bit A_{0}, A_{1}, A_{2}.

Ammettiamo che V_{a} sia compresa tra 5/14V_{o} e 7/14V_{o}. L’uscita dei comparatori C_{1}, C_{2}, C_{3} sará allora al livello 0, mentre quella dei restanti sará al livello 1. Notiamo che tutti i comparatori C_{i} con i > 3 hanno le uscite al livello 1, mentre tutti i comparatori C_{i} con i ≤ 3 hanno le uscite al livello 0. Se ora V_{a} aumentasse e salisse ad esempio al di sopra di 7/14V_{o}, il numero delle uscite che sono al livello 0 aumenterebbe, cioé la colonna degli 0 salirebbe. Quindi l’altezza di tale colonna é una misura della tensione V_{a} applicata in ingresso. Per tale motivo é invalso l’uso di riferirsi all’output della colonna dei comparatori come ”thermometer code”, poiché sale e scende come la colonnina di mercurio in un termometro. La logica di controllo, la cui struttura interna non é indicata, é essenzialmente un decodificatore. Alla configurazione del nostro esempio dovranno corrispondere in uscita i bit 011. Tale ADC richiede 2^{N−1} comparatori per convertire una tensione in un numero di N bits; cioé 4095 comparatori per un numero di 12 bit.

10.6 Caratteristiche dei DAC ed ADC commerciali

In questa sezione accenneremo brevemente alle caratteristiche dei DAC disponibili in commercio, discutendo quelli che sono i parametri piú importanti tra quelli quotati dai produttori. Tale terminologia si applica, con le dovute precisazioni, anche ai convertitori analogico-digitale. Per ulteriori dettagli si consiglia di consultare i manuali forniti dai produttori. Ad esempio, si consulti il sito WEB della National Semiconductor [9]

• Risoluzione Questa é determinata dal numero di bits del convertitore. Un convertitore a 8 bit puó ”distinguere” 256 numeri diversi ed ha quindi una risoluzione di 1/256 ≈ 4%. Un convertitore a 12 bit puó distinguere 4086 livelli (numeri) diversi ed ha una risoluzione di circa lo 0, 24%.

• Linearitá

Se applichiamo all’ingresso di un DAC una serie di numeri binari da 0 a 2^{N−1}, dove N é il numero di bit, la tensione in uscita avrá un andamento a scala, come mostrato in figura 10.26.

Se effettuiamo un fit con una retta a tale andamento e valutiamo poi lo scostamento di ciascun gradino da tale retta, si definisce di solito ”non-linearitá” la massima deviazione trovata. Idealmente questa dovrebbe essere inferiore alla variazione di tensione corrispondente ad una variazione di metá del bit meno significativo. Ad esempio, se il convertitore é a 12 bit e quindi il numero dei livelli possibili é 4096, la deviazione dalla linearitá dovrebbe idealmente essere inferiore a \frac{1}{2} \frac{1}{4096} = 1.2 10^{−4}.

• Linearitá differenziale

É in genere quotata una non-linearitá differenziale, definita come la differenza tra la variazione di tensione letta in uscita e quella ideale, cioé quella corrispondente alla variazione di 1 LSB (bit meno significativo) in ingresso. Ad esempio, un DAC per il quale, variando l’ingresso di un LSB si osservi una variazione della tensione in uscita che corrisponda ad 1.5 LSB, ha una non-linearitá differenziale di 1/2 LSB.

• Monotonicitá

All’aumentare del numero binario impostato sull’ingresso di un DAC, la tensione in uscita deve salire in corrispondenza. Se per un certo incremento dell’input, l’uscita subisce una diminuzione, il DAC non é monotono. La non-monotonicitá é quindi legata alla non-linearitá.

• Offset Questo é il segnale che é presente in uscita quando l’ingresso digitale é zero. Questo é in genere specificato in mV o μV o come frazione del bit meno significativo.

• Precisione (Scale error)

Questa é la differenza tra la tensione analogica reale in uscita e quella ideale. La mancanza di linearitá contribuisce a diminuire la precisione. La precisione é in genere quotata ad esempio come ”0.1% di fondo scala ±\frac{1}{2} del bit meno significativo”.

• Errore di offset

É la tensione all’uscita del DAC quando tutti gli ingressi zero. Questo á causato in genere dalla tensione o corrente di offset degli operazionali impiegati. In genere é aggiustabile regolando un trimmer o potenziometro esterno al DAC.

• Tempo di assestamento

Questo é definito come l’intervallo di tempo necessario, dopo l’applicazione dell’input, perché l’uscita si assesti sul suo valore asintotico.

Il feedback negli amplificatori

11.1 Introduzione

Le caratteristiche di un amplificatore, quali la dipendenza del guadagno dai valori dei componenti, la banda passante, le impedenze d’ingresso e d’uscita etc., possono essere modificate attraverso l’accorta introduzione di una reazione o feedback tra uscita ed ingresso.

Si definisce in generale reazione un qualsivoglia meccanismo (elettrico, meccanico, biologico, chimico etc) attraverso il quale il comportamento di un sistema é modificato attraverso l’osservazione degli effetti che il precedente comportamento del sistema stesso ha determinato. Meccanismi di reazione, tendenti a correggere, ad esempio, il movimento, sono presenti in tutti gli esseri viventi. Analoghi meccanismi sono utilizzati nei sistemi elettromeccanici e sono estremamente diffusi in elettronica.

Piú un particolare, il feedback di cui si parla in questo contesto é, come preciseremo piú avanti, un feedback negativo. In tale tipo di feedback il segnale in uscita (o una funzione di questo) viene continuamente confrontato con il segnale presente in ingresso, in modo tale da ottenere, nel campo di frequenze interessanti, un segnale in uscita dell’ampiezza desiderata. La differenza tra il segnale in ingresso e quello di feedback, nota come segnale di errore é quella che é fornita all’input dell’amplificatore.

In questo capitolo discuteremo solo gli aspetti di base del feedback. Per una trattazione piú esauriente si consulti le referenze ([7]),([8]).

11.2 Classificazione degli amplificatori

a) Amplificatore di tensione Un amplificatore é detto di tensione se esso amplifica una tensione v_{in} applicata

in ingresso, dando in uscita un segnale di tensione v_{out}. L’amplificazione é definita in tal caso da:

A_{v} = \frac{v_{out}}{v_{in}}

La condizione che l’uscita sia un segnale di tensione implica che la resistenza d’uscita sia nulla. In caso contrario la tensione d’uscita verrebbe a dipendere dalla corrente erogata e quindi dal carico. Con riferimento alla figura 11.1, avremmo in tal caso:

v_{L} = A_{v}v_{in} \frac{R_{L}}{R_{o} + R_{L}}

Figura 11.2:

che é uguale ad A_{v}v_{in} se R_{o} = 0.

Per ció che riguarda il segnale di tensione presente in ingresso, se vogliamo che esso sia quello ”nominale” erogato dal generatore, occorre che la resistenza d’ingresso dell’amplificatore R_{i} sia infinita. In caso contrario avremmo per v_{in} la situazione di figura 11.2

v_{in} = v_{s} \frac{R_{i}}{R_{s} + R_{i}}

Avremo v_{in} = v_{s} solo se R_{i} é infinitamente grande o R_{s} = 0. In definitiva potremo dire che un amplificatore di tensione deve avere resistenza d’ingresso infinita e resistenza d’uscita nulla.

b)Amplificatore di corrente

Un amplificatore sará detto di corrente se esso amplifica una corrente i_{in} applicata in ingresso, dando in uscita un segnale di corrente:

i_{out} = A_{i}i_{in}

dove A_{i} é il guadagno dell’amplificatore.

Considerazioni analoghe a quelle presentate nel discutere l’amplificatore di tensione ci portano ora a concludere che un amplificatore di corrente deve avere resistenza d’uscita R_{o} infinitamente grande e resistenza d’ingresso uguale a zero.

R_{o} = 0

R_{i} = 0

c) Amplificatore a transconduttanza

Il termine ”transconduttanza” indica che l’amplificazione ha le dimensioni di una conduttanza, cioé:

G_{m} = \frac{i_{out}}{v_{in}}

G_{m} é la ”conduttanza di trasferimento”. Un tale amplificatore dará un segnale di corrente in uscita quando in ingresso sia applicato un segnale di tensione. La condizione che il segnale d’uscita sia una corrente impone che la resistenza d’uscita sia infinitamente grande; la condizione che il segnale applicato sia di tensione impone che la resistenza d’ingresso sia anch’essa infinita:

R_{i} = ∞

R_{o} = ∞

d) Amplificatore a transresistenza

Il termine ”transresistenza” indica che l’amplificazione ha le dimensioni di una resistenza, cioé:

R_{m} = \frac{v_{out}}{i_{in}}

R_{m} é nota come ”resistenza di trasferimento”. Analogamente ai casi esaminati in precedenza, ora l’amplificatore dovrá avere una resistenza d’uscita nulla ed una resistenza d’ingresso anch’essa nulla.

R_{i} = 0

R_{o} = 0

Nessun amplificatore ha le caratteristiche di uno o l’altro degli esempi ideali appena descritti. Nel progetto di un amplificatore si puó fare in modo che il suo comportamento approssimi il piú possibile quello di uno dei tipi descritti.

Nei paragrafi che seguono faremo vedere come l’introduzione di circuiti di feedback in un amplificatore possa essere vantaggiosamente adoperata per modificarne il comportamento. In particolare per cambiare la sua impedenza d’ingresso e quella d’uscita.

Vedremo anche come il feedback migliori la risposta dell’amplificatore, nel senso di renderla poco dipendente da variazioni nelle caratteristiche degli elementi attivi presenti nel circuito, oltre a ridurre le distorsioni ed il rumore. In questo capitolo tratteremo esclusivamente quello che é comunemente chiamato ”feedback negativo”. Il feedback positivo é un elemento di disturbo negli amplificatori, ma ha interessanti applicazioni in circuiti progettati per innescare e mantenere oscillazioni.

11.3 Il concetto di feedback

Un esempio di feedback (reazione) si é giá incontrato nello studiare l’amplificatore ad un transistor con una resistenza sull’emettitore. Si é visto nell’analizzare il circuito che l’effetto della resistenza di emettitore R_{e} é quello di trasferire, cambiandolo di segno, una parte del segnale di corrente presente nello stadio d’uscita del transistor (dove é presente la resistenza di carico R_{L}) convertendolo in un segnale di tensione applicato alla base dello stesso. Come risultato l’amplificazione in tensione viene ad essere approssimativamente uguale a −R_{L}/R_{e}, indipendentemente dalle caratteristiche dettagliate del transistor.

In generale si intende per feedback quella particolare configurazione circuitale che preleva una parte del segnale (corrente o tensione) presente all’uscita di un amplificatore e la rinvia all’ingresso dell’amplificatore, sotto forma di un segnale di tensione o di corrente. Si ha feedback negativo se il segnale viene rinviato in ingresso con polaritá tale da opporsi alla variazione del segnale giá presente. Nel caso contrario si parla di feedback positivo. In generale il feedback negativo viene utilizzato per migliorare la risposta di un amplificatore e per renderla meno dipendente dai parametri degli elementi attivi (transistor o FET) presenti nell’amplificatore, oltre che dalle condizioni ambientali (temperatura o altri).

11.4 Tipi di feedback

Il primo tipo di feedback che discuteremo é quello noto come ”tensione-serie”, che é schematicamente indicato in figura 11.3.

In questo circuito, il segnale di tensione v_{o} = A_{v}v_{i} é prelevato all’uscita dell’amplificatore (di cui A_{v} rappresenta il guadagno in tensione in assenza di feedback) ed inviato ad un circuito di feedback caratterizzato da una funzione di trasferimento β. L’uscita di questo: v_{f} = βv_{o} é poi invertita e sommata al segnale di tensione v_{s} fornito dal generatore (la cui impedenza d’uscita é R_{s}). Come si vede dalla figura, la polaritá di v_{f} é opposta a quella di v_{s}, per cui il segnale v_{f} é effettivamente sottratto a v_{s}. Il segnale v_{i} all’ingresso dell’amplificatore é cioé:

v_{i} = v_{s} − v_{f} = v_{s} − βv_{o}

Il fatto che il segnale prelevato in uscita sia una tensione é indicato comunemente con il termine ”campionamento di tensione” (voltage sampling) o anche ”campionamento nodale” (node sampling). Il fatto che il segnale v_{f} = βv_{o} all’uscita del circuito di feedback sia sommato in ingresso a v_{s} é indicato comunemente con il termine ”input seriale” (serial input) o anche ”input di maglia” (loop input). Tale tipo di feedback puó quindi esser brevemente riassunto come ”tensione-serie” (voltage-series; dove il primo dei termini si riferisce all’uscita ed il secondo all’ingresso dell’amplificatore).

La figura 11.4 illustra un secondo tipo di feedback.

In questo circuito, il segnale di corrente i_{o} = A_{i}i_{i} all’uscita di un amplificatore é l’input al circuito di feedback. L’uscita di questo, i_{f} = βi_{o} viene poi sommata al segnale di corrente fornito dal generatore. Perché il feedback sia, come vogliamo, negativo, occorrerá che β sia negativo. A tale configurazione si dá il nome di feedback ”corrente-parallelo” (current-shunt). Ció poiché il segnale prelevato in uscita é un segnale di corrente e questo é, dopo esser passato attraverso il circuito di feedback che lo moltiplica per β, inviato in parallelo al segnale di corrente i_{s} giá presente. Si ha cioé:

i_{i} = i_{s} + i_{f} = i_{s} + βi_{o}

dove β é negativo.

Notiamo che, sia in questo caso che in quello precedente, il parametro β é adimensionale. Consideriamo ancora un ulteriore tipo di feedback, mostrato in figura 11.5.

In questo circuito, il segnale di corrente i_{o} = G_{m}v_{i} ( G_{m} é la transconduttanza dell’amplificatore) é inviato al circuito di feedback caratterizzato dal parametro β (che ora é una ”transresistenza”). L’uscita in tensione di questo: v_{f} = βi_{o}, viene sommata al segnale v_{s} presente in ingresso ed il segnale risultante: v_{i} = v_{f} + v_{s} é inviato all’ingresso dell’amplificatore. Si parla ora di un feedback ”corrente-serie” (current-series) o anche ”corrente-tensione”. Infatti il segnale prelevato all’uscita dell’amplificatore é un segnale di corrente e quello inviato (in serie) all’ingresso dell’amplificatore é una tensione.

L’ultimo dei tipi di feedback da considerare é quello mostrato nella figura 11.6. In questo circuito, il segnale di tensione v_{o} = R_{m}i_{i} (con R_{m} la transresistenza

dell’amplificatore) é inviato al circuito di feedback. Il parametro β ora sará una Figura 11.5: Figura 11.6: transconduttanza ed avremo: i_{f} = βv_{o}. L’uscita i_{f} del circuito di feedback viene sommata al segnale di corrente i_{s} giá presente ed il segnale risultante:

i_{i} = i_{s} + i_{f} = i_{s} + βv_{o}

viene inviato all’ingresso dell’amplificatore. Anche in questo caso abbiamo una reazione negativa se β < 0. Si parla in questo caso di un feedback ”tensioneparallelo” (voltage-shunt) o anche ”tensione-corrente”.

Come visto, il parametro β che caratterizza il circuito di feedback é adimensionale nel caso in cui la reazione sia del tipo tensione-serie o corrente-parallelo, mentre esso ha le dimensioni di una transresistenza per un feedback tensione-parallelo e di una transconduttanza nel caso di un feedback corrente-serie.

Ammetteremo nel seguito che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

a il segnale applicato in ingresso é trasmesso all’uscita attraverso l’amplificatore e non attraverso il circuito di feedback. In altre parole, il circuito di feedback deve essere unidirezionale.

b il segnale di feedback é trasmesso all’ingresso attraverso la rete caratterizzata dal parametro β e non attraverso l’amplificatore.

c β é indipendente dall’impedenza di carico R_{L} e da quella del generatore R_{s}.

11.5 Feedback: considerazioni generali

Le considerazioni che faremo in questa sezione e le formule che otterremo sono del tutto generali e valgono per uno qualsiasi dei tipi di feedback esaminati. Sia x_{o} il segnale all’uscita dell’amplificatore il cui guadagno é A. Sia x_{i} il segnale all’ingresso dell’amplificatore ed x_{s} il segnale fornito dal generatore. Sia ancora x_{f} = βx_{o} il segnale di feedback. Esaminiamo lo schema generale di figura 11.7:

Si vede facilmente che:

x_{i} = x_{s} + x_{f} = x_{s} + βx_{o}

Il guadagno con feedback, che indicheremo con A_{f}, é dato da:

A_{f} = \frac{x_{o}}{x_{s}} = \frac{x_{o}}{x_{i}} \frac{x_{i}}{x_{s}} = A\frac{x_{s} + βx_{o}}{x_{s}} = A (1 + β \frac{x_{o}}{x_{s}} ) = A (1 + βA_{f})

da cui:

A_{f} = \frac{A}{1 − βA}

Se βA é reale e negativo avremo:

|A_{f}| = \frac{|A|}{1 + |βA|}

quindi il guadagno con feedback é minore di quello senza feedback: |A_{f}| < |A|. Il prodotto βA é noto come ”guadagno a catena aperta”. Per un amplificatore con feedback negativo il guadagno a catena aperta é reale e negativo. Il feedback riduce il guadagno dell’amplificatore. Se é |βA| ≫ 1, il guadagno con reazione sará:

|A_{f}| = \frac{|A|}{1 + |βA|} ≈ \frac{|A|}{|βA|} = \frac{1}{|β|}

Vediamo quindi che in tali circostanze il guadagno dell’amplificatore non dipende piú da A, ma solo dal parametro β che caratterizza la maglia di reazione.

Il feedback negativo ha numerosi aspetti che migliorano le prestazioni degli amplificatori. Questi sono descritti nelle prossime sezioni.

11.5.1 Proprietá della retroazione negativa

Esistono numerosi aspetti della retroazione negativa che possono essere utilizzati per migliorare la risposta di un amplificatore. A seconda delle esigenze, uno degli aspetti puó prevalere sugli altri e puó dettare determinate modifiche progettuali. Gli aspetti principalmente utilizzati sono i seguenti:

• stabilizzazione del punto di lavoro

• ottimizzazione della resistenza d’ingresso e d’uscita

• stabilizzazione del guadagno rispetto a variazioni di temperatura e/o dei parametri dei componenti

• modifica della banda passante

• riduzione dei disturbi

• miglioramento della linearitá.

11.5.2 Funzione di sensibilitá di un amplificatore con feedback

Vediamo ora come il guadagno di un amplificatore con reazione dipenda dal guadagno intrinseco dell’amplificatore senza feedback, che abbiamo chiamato A.

Ammettiamo che il guadagno A subisca, per cause non previste, una variazione dA. Calcoliamo la conseguente variazione di A_{f} = A/(1 − βA):

dA_{f} = \frac{dA}{1 − βA} + \frac{AβdA}{(1 − βA)^{2}} = \frac{dA}{(1 − βA)^{2}}

per cui la variazione relativa di A_{f} = dA_{f}/A_{f} é:

\frac{dA_{f}}{A_{f}} = \frac{dA}{A} \frac{1}{1 − βA}

Poiché, in presenza di feedback negativo, la frazione che moltiplica dA/A é minore di 1, vediamo che la variazione percentuale di A_{f} é inferiore alla variazione percentuale di A. Il rapporto delle variazioni percentuali:

\frac{dA_{f}/A_{f}}{dA/A} = \frac{1}{1 − βA} (11.1)

é noto come ”sensibilitá” dell’amplificatore con feedback. Vediamo quindi che, se la grandezza −Aβ é molto maggiore di 1, una variazione percentuale di A si riflette in una variazione percentuale |Aβ| volte piú piccola in A_{f}. Ovviamente, il guadagno dell’amplificatore risulta ridotto della stessa quantitá.

11.6 Effetto del feedback negativo sull’impedenza d’ingresso e su quella d’uscita degli amplificatori

11.6.1 Impedenze d’ingresso

In questa sezione esamineremo l’effetto che ciascuno dei tipi di feedback esaminati ha sulle impedenze d’ingresso. Come vedremo, ció che é importante agli effetti di tali impedenze non é il tipo di campionamento effettuato all’uscita dell’amplificatore, ma solo il tipo di confronto effettuato all’ingresso.

Feedback tensione-serie

Cominciamo con il considerare il caso di un feedback tensione-serie, come mostrato^{1} in figura 11.8.

1Nella figura abbiamo esplicitamente indicato la polaritá del feedback v_{f}, cioé ora β é positivo, mentre il feedback continua ad esser negativo

Figura 11.9:

A_{v} indica il guadagno in tensione dell’amplificatore. L’impedenza d’ingresso é definita come il rapporto tra la tensione del generatore e la corrente da esso erogata:

R_{if} = \frac{v_{s}}{i_{i}}

Dall’esame della maglia d’ingresso otteniamo:

v_{s} = i_{i}R_{i} + v_{f} = i_{i}R_{i} + βv_{o} (11.2) La maglia d’uscita fornisce:

v_{o} = A_{v}v_{i} \frac{R_{L}}{R_{o} + R_{L}} = A_{V} v_{i}

dove abbiamo introdotto il guadagno senza feedback:

A_{V} = A_{v} \frac{R_{L}}{R_{o}}

che tiene conto della resistenza di carico R_{L}. Poiché é: v_{i} = R_{i}i_{i}, si ha poi:

v_{o} = A_{V} R_{i}i_{i} che, sostituita nella 11.2, ci dá:

v_{s} = i_{i}R_{i} (1 + βA_{V}) ed infine:

R_{if} = \frac{v_{s}}{i_{i}} = R_{i}(1 + βA_{V})

Vediamo cosí che, in questo tipo di reazione, l’impedenza d’ingresso viene ad essere accresciuta di un fattore 1 + βA_{V}. Per βA_{V} → ∞, R_{if} → ∞.

Feedback corrente-serie

Esaminiamo ora il feedback corrente-serie, mostrato in figura 11.9.

Conviene in questo caso, come abbiamo fatto in figura, schematizzare l’amplificatore tramite la sua transconduttanza G_{m} = i/v_{i}. Il coefficiente di feedback β é ora una transresistenza.

Dalla maglia d’uscita troviamo:

i_{o} = G_{m}v_{i} \frac{R_{o}}{R_{o} + R_{L}} = G_{M}v_{i}

dove:

G_{M} = G_{m} \frac{R_{o}}{R_{o} + R_{L}}

é la transconduttanza dell’amplificatore che tiene conto del carico R_{L}. Inoltre é:

v_{i} = R_{i}i_{i}

per cui:

i_{o} = G_{M}v_{i} = G_{M}R_{i}i_{i}

La maglia d’ingresso fornisce:

v_{s} = v_{i} + v_{f} = R_{i}i_{i} + βi_{o} = R_{i}i_{i} + βG_{M}R_{i}i_{i} = R_{i}i_{i} (1 + βG_{M})

da cui:

R_{if} = \frac{v_{s}}{i_{i}} = R_{i} (1 + βG_{M})

Vediamo quindi che anche in questo caso l’impedenza d’ingresso aumenta per effetto del feedback; il fattore di cui essa aumenta é ancora una volta uguale a (1 + βG_{M}), analogamente a quanto accadeva nel caso precedente. Vediamo cosí che l’impedenza d’ingresso aumenta di (1 + βG) (dove G é, in generale, il guadagno dell’amplificatore) se il feedback riporta in ingresso un segnale di tensione, cioé se il confronto all’ingresso avviene in una maglia, qualunque sia il tipo di campionamento in uscita. Vedremo invece che quest’ultimo ha un effetto sull’impedenza d’uscita.

Feedback tensione-parallelo

Esaminiamo infine il feedback di tipo tensione-parallelo, schematizzato in figura 11.10.

L’impedenza d’ingresso é:

R_{if} = \frac{v_{i}}{i_{s}} = \frac{R_{i}i_{i}}{i_{s}}

con:

i_{s} = i_{i} + βv_{o}

Dalla maglia d’uscita si ha:

v_{o} = R_{m}i_{i} \frac{R_{L}}{R_{o} + R_{L}} = R_{M}i_{i}

Figura 11.11:

con:

R_{M} = R_{m} \frac{R_{L}}{R_{o} + R_{L}}

Si ha con ció:

i_{s} = i_{i} (1 + βR_{M})

e quindi:

R_{if} = \frac{R_{i}i_{i}}{i_{s}} = \frac{R_{i}}{1 + βR_{M}}

Cioé, anche in questo caso, come in quello precedente, la resistenza d’ingresso diminuisce del fattore 1 + βA, con A (uguale ad R_{M} nel caso attuale) il guadagno dell’amplificatore senza reazione.

Feedback corrente-parallelo

Proseguendo con la nostra analisi delle impedenze d’ingresso, consideriamo un feedback del tipo corrente-parallelo, come quello mostrato in figura 11.11

Dalla maglia d’ingresso abbiamo:

i_{s} = i_{i} + i_{f} = i_{i} + βi_{o} e, dalla maglia d’uscita:

i_{o} = A_{i}i_{i} \frac{R_{o}}{R_{o} + R_{L}} ≡ A_{I}i_{i}

dove:

A_{I} = A_{i} \frac{R_{o}}{R_{o} + R_{L}}

é il guadagno in corrente dell’amplificatore, che tiene conto del carico R_{L}. Da queste equazioni si ottiene poi:

i_{s} = i_{i} + βA_{I}i_{i} = i_{i} (1 + βA_{I})

e, poiché R_{if} é definita come:

R_{if} = \frac{v_{i}}{i_{s}} = \frac{i_{i}R_{i}}{i_{s}}

ne segue:

R_{if} = \frac{R_{i}}{1 + βA_{I}}

Vediamo quindi che nel caso attuale l’impedenza d’ingresso é minore di quella in assenza di feedback, del medesimo fattore (1 + βA) che era presente, a fattore moltiplicativo, nei due casi iniziali.

11.6.2 Considerazioni generali

Poiché gli ultimi due casi esaminati avevano come caratteristica comune la reazione in parallelo (cioé di corrente) nella maglia d’ingresso, vediamo che é tale caratteristica a determinare la diminuzione dell’impedenza d’ingresso.

Abbiamo visto quindi che, se il segnale di feedback viene riportato in ingresso sotto forma di un segnale di tensione (cioé in serie) l’impedenza d’ingresso aumenta, mentre essa diminuisce se il feedback é parallelo (corrente). Ció indipendentemente dal tipo di campionamento in uscita (tensione o corrente). Ció puó esser facilmente compreso se si pensa che, nel caso in cui il feedback (negativo) sia di tensione, questo fará si che la tensione ai capi di R_{i} sia minore della tensione del generatore, che ha un valore costante v_{s}. Di conseguenza sará minore la corrente che fluisce in R_{i} e, poiché tale corrente é erogata in ultima analisi dal generatore, il rapporto tra tensione e corrente erogata, cioé la resistenza d’ingresso, sará maggiore.

Se invece si realizza un feedback (negativo) di corrente, avremo una minor corrente in R_{i}, il che implica una minore differenza di potenziale ai capi di R_{i}. Poiché ora ció avviene ad i_{s} costante, la resistenza d’ingresso v_{i}/i_{s} sará minore di quella che si avrebbe in assenza di feedback.

11.6.3 Impedenze d’uscita

Esaminiamo ora la resistenza d’uscita. Vediamo dapprima di capire qualitativamente ció che dobbiamo aspettarci, distinguendo i due casi di un campionamento di tensione e di corrente. Se il campionamento é quello della tensione in uscita, l’effetto del feedback sará, come sappiamo, quello di fornire in uscita, a circuito aperto, una tensione minore di quella dell’amplificatore non reazionato. Poiché l’impedenza d’uscita é definita come il rapporto: tensione a circuito aperto/corrente a circuito chiuso dove la corrente a circuito chiuso non é influenzata dal feedback di tensione, visto che a circuito chiuso non c’é feedback (si annulla cioé la tensione in uscita), vediamo che l’impedenza d’uscita é ridotta dal feedback, della stessa quantitá incontrata prima (cioé 1 + βA). Analogamente, se il campionamento é di corrente, l’effetto del feedback sará quello di fornire, a paritá di tensione in uscita (la tensione a circuito aperto, che non é influenzata dal feedback, poiché a circuito aperto si annulla la corrente e quindi il feedback) una corrente a circuito chiuso minore di quella che si ha in assenza di feedback. Di conseguenza la resistenza d’uscita aumenta del medesimo fattore 1 + βA di cui diminuisce la corrente.

Esamineremo ora in dettaglio i due casi di feedback: campionamento di tensione e campionamento di corrente. Il tipo di confronto effettuato all’ingresso dell’amplificatore é irrilevante.

Feedback con campionamento di tensione

Consideriamo il feedback tensione-serie di figura 11.8.

Per calcolare la resistenza d’uscita R_{of} poniamo v_{s} = 0, eliminiamo R_{L} ed applichiamo tra i terminali d’uscita una differenza di potenziale v_{o}. L’impedenza d’uscita é allora:

R_{of} = \frac{v_{o}}{i_{o}}

dove i_{o} é la corrente che fluisce nella maglia d’uscita. Abbiamo:

i_{o} = \frac{v_{o} − A_{v}v_{i}}{R_{o}} = \frac{v_{o} + A_{v}βv_{o}}{R_{o}}

poiché, avendo posto v_{s} = 0 si ha:

v_{i} = −v_{f} = −βv_{o}

Ne segue:

R_{of} = \frac{v_{o}}{i_{o}} = \frac{R_{o}}{1 + βA_{v}}

La resistenza d’uscita in presenza di R_{L} sará:

R′_{of} = R_{of}||R_{L} = \frac{R_{o}R_{L}}{(R_{o} + R_{L}) (1 + β \frac{R_{L}}{R_{o}+R_{L}} A_{v})}

che, ricordando la definizione di A_{V} e posto R′_{o} = R_{o}||R_{L}, diventa:

R′_{of} = \frac{R′_{o}}{1 + βA_{V}}

Feedback con campionamento di corrente

Consideriamo infine il caso di un feedback corrente-serie, come quello di fig 11.9. Per calcolare l’impedenza d’uscita, immaginiamo di cortocircuitare v_{s}, di applicare tra i terminali d’uscita una differenza di potenziale v_{o} e calcoliamo la corrente i_{o}. Dall’analisi della maglia d’uscita otteniamo per la corrente in R_{o}:

i′ = G_{m}v_{i} − i_{o}

da cui:

v_{o} = R_{o}i′ = G_{m}v_{i}R_{o} − R_{o}i_{o}

mentre dalla maglia d’ingresso si ottiene:

v_{i} = −βi_{o}

(poiché v_{s} é stato cortocircuitato).

Si ottiene quindi:

v_{o} = −G_{m}R_{o}βi_{o} − R_{o}i_{o} = −R_{o}i_{o} (1 + G_{m}β)

e per la resistenza d’uscita :

R_{of} = −\frac{v_{o}}{i_{o}} = R_{o} (1 + βG_{m})

Quindi, come previsto, la resistenza d’uscita con feedback é maggiore di quella senza feedback del fattore 1 + βG_{m}. L’impedenza d’uscita in presenza di R_{L} sará poi il parallelo di R_{of} ed R_{L}.

11.6.4 Effetto del feedback sulle impedenze d’ingresso e d’uscita: sommario

La tabella che segue riassume l’effetto che la reazione negativa ha sulle impedenze d’ingresso e d’uscita nei quattro casi esaminati.

Tipo di reazione  R_{if}  R_{of}
tensione-serie  R_{i}(1 + βA_{V}) R_{o}/(1 + βA_{v})
corrente-serie  R_{i}(1 + βG_{M}) R_{o}(1 + βG_{m})
tensione-parallelo R_{i}/(1 + βR_{M}) R_{o}/(1 + βR_{m})
corrente-parallelo R_{i}/(1 + βA_{I}) R_{o}(1 + βA_{i})

11.7 Individuazione del tipo di reazione

Non é sempre facile determinare il tipo di reazione presente in un circuito.

É utile seguire i seguenti criteri generali per individuare il tipo di segnale (tensione o corrente) prelevato all’uscita di un amplificatore ed il modo (seriale o parallelo) in cui esso viene sommato al segnale in ingresso.

Per quel che concerne il tipo di segnale, é ovvio che se esso é di corrente, continuerá ad esser presente se il carico viene cortocircuitato. Viceversa, se il tipo di segnale é di tensione, esso si annullerá con il carico in cortocircuito.

Alternativamente, se il tipo di segnale é di corrente, esso si annullerá quando l’impedenza del carico divenga infinitamente grande. Con tale valore dell’impedenza il feedback non si annulla se esso é di tensione.

Riassumendo, possiamo dire che il tipo di campionamento é di corrente se esso si annulla quando l’impedenza del carico divenga infinita; é invece di tensione se esso si annulla quando si porti a zero l’impedenza del carico.

Per quel che concerne invece il modo (serie o parallelo) in cui il segnale di feedback viene sommato al segnale in ingresso, si puó facilmente intuire che avremo una somma di tipo ”serie” se essa viene effettuata in una maglia. Avremo invece una somma di tipo ”parallelo” se essa viene effettuata in un nodo. Per chiarire meglio questi concetti vediamo alcuni esempi, a cominciare da quello di figura 11.12.

Qui abbiamo un amplificatore che utilizza un J-FET a canale n. Se v_{gs} aumenta, aumenterá la corrente nel canale e quindi nelle resistenze R_{d} ed R_{s}. Il potenziale del drain diminuirá mentre aumenterá quello del source, il che fará diminuire v_{gs}. Abbiamo quindi un feedback negativo. Vediamo che il campionamento é di corrente; infatti il feedback si annulla se R_{d} diviene infinitamente grande (con che si annulla la corrente). Esso invece continua ad esser presente se R_{d} diviene nullo.

Il segnale di feedback é riportato in ingresso sotto forma di una differenza di potenziale ai capi di R_{s}; questa si somma (con il segno cambiato) a v_{s}. Vediamo che la somma avviene nella maglia d’ingresso. Si tratta quindi di un feedback seriale. In definitiva il circuito disegnato é un esempio di feedback corrente-serie. Debbono quindi aumentare sia l’impedenza d’ingresso R_{i} che quella d’uscita R_{o}.

Consideriamo invece il circuito di figura 11.13:

In questo circuito il segnale di feedback si annullerebbe se la tensione di collettore v_{c} divenisse nulla. Abbiamo quindi un campionamento di tensione. Inoltre il segnale di feedback si somma a quello in ingresso in un nodo; si ha quindi una somma di tipo parallelo. Nel nodo d’ingresso si somma la corrente i_{s} e quella di feedback i_{f}. Avremo quindi che la resistenza d’ingresso R_{i} diminuisce, mentre quella d’uscita R_{o} aumenta.

Esaminiamo come ulteriore esempio quello di figura 11.14.

Vediamo che ora la somma avviene in un nodo (la base del transistor bipolare) e quindi si ha una somma di correnti (confronto di tipo parallelo). Il segnale é prelevato sul source del J-FET. Esso si annullerebbe se la resistenza di carico (R_{d} nel nostro caso) divenisse infinitamente grande (con che si annullerebbe la corrente in T_{2}). Abbiamo in definitiva una reazione di tipo corrente-parallelo (current-shunt). La resistenza d’ingresso R_{i} ora diminuisce, mentre aumenta quella d’uscita R_{o}.

I circuiti di figura 11.15 mostrano infine un esempio di ciascuno dei quattro tipi di feedback, nel caso di un amplificatore operazionale. É facile verificare, facendo uso dei criteri delineati in questa sezione, che il tipo di feedback presente in ciascun caso é quello indicato nella figura.

11.8 Analisi dettagliata dei circuiti con feedback

Esaminiamo ora in dettaglio un esempio di circuito con feedback. Consideriamo il caso di un amplificatore invertente, come quello mostrato in figura 11.16 in cui un segnale di tensione é prelevato in uscita e riportato sull’ingresso tramite una resistenza di feedback R_{f}.

Il segnale riportato in ingresso é tale che la corrente ad esso associata si somma alla corrente erogata dal generatore. Si tratta chiaramente di un feedback ”tensioneparallelo”.

Per semplificare l’analisi di tale circuito, é opportuno sostituirlo con il circuito equivalente di figura 11.17. Qui abbiamo indicato con v_{d} la differenza di potenziale ai capi della resistenza d’ingresso R_{i} dell’operazionale.

Il circuito di feedback potrebbe in realtá esser piú complicato di quello rappresentato da una singola resistenza. Per descrivere tali situazioni potremo sostituire nel circuito equivalente il generatore V_{L} con kV_{L}, dove k é una costante.

Figura 11.14: Figura 11.15:

Figura 11.16: Figura 11.17:

Scriviamo ora le equazioni per il circuito disegnato. Dalla maglia di sinistra si ottiene:

i_{1} = \frac{v_{i} + v_{d}}{R_{s}}

i_{2} = −\frac{v_{d} + v_{L}}{R_{f}}

i_{d} = i_{1} − i_{2} = \frac{v_{i} + v_{d}}{R_{s}} + \frac{v_{L} + v_{d}}{R_{f}} = −\frac{v_{d}}{R_{i}} (11.3)

Dalla maglia di destra:

i = \frac{A_{d}v_{d} + v_{d}}{R_{o} + R_{f}}

v_{L} = A_{d}v_{d} − R_{o}i = A_{d}v_{d} − \frac{R_{o}}{R_{o} + R_{f}} A_{d}v_{d} − \frac{R_{o}}{R_{o} + R_{f}} v_{d} =

= v_{d} (A_{d} − A_{d} \frac{R_{o}}{R_{o} + R_{f}} − \frac{R_{o}}{R_{o} + R_{f}} )

Se R_{o} ≪ R_{f}, il secondo ed il terzo termine in parentesi saranno trascurabili rispetto al primo e si avrá:

v_{L} ≈ A_{d}v_{d} (11.4)

Dall’equazione 11.3:

\frac{v_{i} + v_{d}}{R_{s}} + \frac{v_{L} + v_{d}}{R_{f}} = −\frac{v_{d}}{R_{i}}

si ha:

v_{d} (\frac{1}{R_{s}} + \frac{1}{R_{f}} + \frac{1}{R_{i}} ) = −\frac{v_{i}}{R_{s}} − \frac{v_{L}}{R_{f}}

Trascurando il termine 1/R_{i} rispetto agli altri due termini in parentesi e facendo uso della 11.4, l’ultima equazione scritta diventa:

\frac{v_{L}}{A_{d}} \frac{R_{f} + R_{s}}{R_{f}R_{s}} + \frac{v_{L}}{R_{f}} = −\frac{v_{i}}{R_{s}}

da cui si ottiene:

v_{L} = −\frac{(A_{d}v_{i}/R_{s})R_{fs}}{1 + (A_{d}/R_{f})R_{fs}} (11.5)

dove abbiamo indicato con il simbolo R_{fs} la quantitá:

\frac{R_{f}R_{s}}{R_{f} + R_{s}}

Se il termine:

\frac{A_{d}}{R_{f}} R_{fs}

che compare a denominatore é molto maggiore di 1, la 11.5 si semplifica:

v_{L} = −v_{i} \frac{R_{f}}{R_{s}}

cioé la tensione d’uscita non dipende piú dal parametro A_{d}. Il termine:

−A_{d} \frac{R_{fs}}{R_{f}}

che compare a denominatore della 11.5 va sotto il nome di ”guadagno di maglia” (loop gain). Si puó facilmente verificare che esso coincide con il guadagno della catena quando si supponga nulla l’eccitazione esterna v_{i}.

Infatti, in tal caso il circuito diventa quello della figura 11.18: Qui l’eccitazione é costituita da \overline{v}, mentre l’uscita é, come prima, v_{L}. Nel ramo

destro abbiamo fatto uso dell’approssimazione: v_{L} ≈ A_{d}v_{d}. Il guadagno di maglia (loop gain) sará ora calcolabile facendo uso delle seguenti equazioni:

i_{s} = i_{f} + i_{i}

con:

i_{f} = \frac{\overline{v} + v_{d}}{R_{f}}

i_{i} = −\frac{v_{d}}{R_{i}}

i_{s} = −\frac{v_{d}}{R_{s}}

da cui:

\frac{\overline{v} + v_{d}}{R_{f}} − \frac{v_{d}}{R_{i}} = −\frac{v_{d}}{R_{s}}

e poi:

v_{d} (\frac{1}{R_{f}} − \frac{1}{R_{i}} + \frac{1}{R_{s}} ) = −\frac{\overline{v}}{R_{f}}

Trascurando 1/R_{i} rispetto agli altri termini in parentesi e facendo uso della: v_{L} = A_{d}v_{d}, questa diviene:

\frac{v_{L}}{A_{d}} (\frac{1}{R_{f}} + \frac{1}{R_{s}} ) = −\frac{\overline{v}}{R_{f}}

ed il guadagno di maglia sará:

\frac{v_{L}}{\overline{v}} = −A_{d} \frac{R_{fs}}{R_{f}} ≡ A_{d}β (11.6)

con:

β = −\frac{R_{fs}}{R_{f}}

Il termine che compare a numeratore della 11.5:

−A_{d} \frac{R_{fs}}{R_{s}}

va sotto il nome di ”guadagno a catena aperta” (open loop gain) o anche ”guadagno senza feedback”. Questo é calcolabile a partire dal circuito equivalente di figura 11.19:

L’assenza del feedback consiste qui nell’assenza della sorgente dipendente v_{L} nel ramo sinistro e nella simultanea assenza della sorgente v_{d} in serie con R_{f} nel ramo destro di figura 11.17. Il guadagno di questo circuito é ora ottenibile dalle equazioni:

v_{d} = −\frac{v_{i}}{R_{s} + R_{if}} R_{if} ≈ −v_{i} \frac{R_{f}}{R_{s} + R_{f}} = −v_{i} \frac{R_{fs}}{R_{s}}

dove si é ammesso che sia R_{i} ≫ R_{f}. Inoltre é:

v_{L} = A_{d}v_{d} = −A_{d} \frac{R_{fs}}{R_{s}} v_{i}

Il guadagno a catena aperta é quindi:

A_{o} = ≡ \frac{v_{L}}{v_{i}} = −A_{d} \frac{R_{fs}}{R_{s}} (11.7)

Figura 11.21:

Facendo ora uso delle equazioni 11.5, 11.6 e 11.7, il guadagno complessivo puó esser messo nella forma:

A_{V} = \frac{v_{L}}{v_{i}} = −\frac{A_{d}R_{fs}/R_{s}}{1 + A_{d}R_{fs}/R_{f}} = \frac{A_{o}}{1 − A_{d}β}

Notiamo che il parametro β regola l’ammontare di feedback. Se β = 0 non ci sará feedback. Se −A_{d}β diviene grande rispetto ad 1, il guadagno A_{V} dell’amplificatore con feedback tende a:

A_{V} → −\frac{R_{f}}{R_{s}}

cioé diviene indipendente dal guadagno intrinseco A_{d} dell’amplificatore. Ció fa si che, via via che aumenta il guadagno di maglia, il guadagno con feed-

back divenga sempre meno sensibile a variazioni di temperatura o a variazioni dei parametri dei componenti che costituiscono l’amplificatore.

Esaminiamo, come secondo esempio, quello di un feedback del tipo tensione-serie, come mostrato in figura 11.20:

Il circuito equivalente é quello di figura 11.21, dove:

v′_{L} = v_{L} e dove abbiamo indicato con v_{d} la differenza di potenziale ai capi di R_{i}.

Cominciamo col calcolare il guadagno a catena aperta (guadagno in assenza di feedback), definito da:

A_{o} = (\frac{v_{L}}{v_{i}} )_{v′_{L}=0}

Possiamo scrivere:

(\frac{v_{L}}{v_{i}} )_{v′_{L}=0} = (\frac{v_{L}}{v_{d}} )_{v′_{L}=0} (\frac{v_{d}}{v_{i}} )

dove il primo termine a secondo membro puó esser ottenuto facendo uso della maglia di sinistra ed il secondo di quella di destra. Da quest’ultima otteniamo:

v_{L} = R_{f}i_{1} − v_{d}

con:

i_{1} = \frac{A_{d}v_{d} + v_{d}}{R_{o} + R_{f}} = \frac{v_{d}}{R_{o} + R_{f}} (1 + A_{d})

da cui:

v_{L} = \frac{v_{d}}{R_{o} + R_{f}} (R_{f}A_{d} − R_{o})

(\frac{v_{L}}{v_{d}} )_{v′_{L}=0} = \frac{R_{f}A_{d} − R_{o}}{R_{o} + R_{f}}

Dalla maglia di sinistra otteniamo poi:

(\frac{v_{d}}{v_{i}} )_{v′_{L}=0} = \frac{R_{i}}{R_{s} + R_{i} + R_{f}}

e quindi:

(\frac{v_{L}}{v_{i}} )_{v′_{L}=0} = \frac{R_{f}A_{d} − R_{o}}{R_{o} + R_{f}} \frac{R_{i}}{R_{s} + R_{i} + R_{f}}

Se ora facciamo l’approssimazione:

R_{o} ≪ R_{f}

R_{f} + R_{s} ≪ R_{i}

si ottiene:

A_{o} = (\frac{v_{o}}{v_{i}} )_{v′_{L}=0} ≈ A_{d}

(guadagno a catena aperta) Il guadagno di maglia A_{d}β puó esser ottenuto dal circuito equivalente di figu-

ra 11.22:

Con riferimento ai componenti indicati in figura, otteniamo per il prodotto A_{d}β, definito al solito come:

A_{d}β ≡ (\frac{v_{L}}{v′_{L}} )_{v_{i}=0}

A_{d}β = \frac{v_{L}}{v_{d}} \frac{v_{d}}{v′_{L}} = \frac{R_{f}A_{d} − R_{o}}{R_{o} + R_{f}} (\frac{−R_{i}}{R_{s} + R_{i} + R_{f}} )

che, nella medesima approssimazione giá adottata in precedenza é uguale a −A_{d}. Il guadagno con reazione sará allora:

A_{r} = \frac{v_{L}}{v_{i}} = \frac{A_{o}}{1 − A_{d}β} = \frac{A_{d}}{1 + A_{d}}

Se nell’esempio fatto avessimo avuto un feedback v′_{L} = kv_{L} (anziché v′_{L} = v_{L}) avremmo trovato:

A_{r} = \frac{A_{d}}{1 + kA_{d}}

che tende ad 1/k per A_{d} molto grande.

11.9 Risposta in frequenza di un amplificatore con feedback

L’introduzione della reazione negativa in un amplificatore modifica la risposta in frequenza nel senso di ampliare la banda passante. Vediamo brevemente come ció avvenga.

Ammettiamo che la risposta in frequenza dell’amplificatore non reazionato sia del tipo:

A(s) = \frac{A_{o}}{1 + s/ω_{1}} (11.8)

dove abbiamo adoperato la variabile complessa s al posto di ω. Tale risposta, nel campo della variabile ω, é del tipo mostrato in figura 11.23 (plot di Bode per il modulo di A(s)).

La risposta reale é quella descritta dalla curva tratteggiata. Le rette a tratto continuo indicano l’andamento asintotico per ω ≪ ω_{1} e per ω ≫ ω_{1}. Nel primo caso la risposta é una costante |A(s)| = A_{o}; nel secondo si ha un’andamento decrescente, ad un rate di 6 dB/ottava.

Tale amplificatore é chiaramente un passa-basso, con una pulsazione di taglio superiore ω = ω_{1}. (Per ω = ω_{1} la risposta reale é dimezzata rispetto al valore a bassa frequenza).

Vediamo ora cosa accade se introduciamo un feedback negativo, caratterizzato da un coefficiente β che non dipenda dalla frequenza. Il guadagno sará ora dato da:

A_{f}(s) = \frac{A(s)}{1 + βA(s)} = \frac{A_{o}}{(1 + s/ω_{1}) + βA_{o}} =

= \frac{A_{o}}{(1 + βA_{o}) (1 + \frac{s}{ω_{1}(1+βA_{o})})}

Questa puó esser concisamente riscritta come:

A_{f}(s) = \frac{A_{of}}{1 + s/ω_{1f}} (11.9)

dove:

A_{of} = \frac{A_{o}}{1 + βA_{o}}

ω_{1f} = ω_{1}(1 + βA_{o})

Vediamo dal confronto tra la 11.8 e la 11.9 che il guadagno A_{o} é ridotto del noto fattore 1 + βA_{o}, mentre al posto della pulsazione di taglio ω_{1} ora compare (1 + βA_{o})ω_{1}. La pulsazione di taglio é quindi ora (1 + βA_{o}) volte piú grande di quella che si aveva in assenza di feedback. La banda passante si é cioé allargata. Il nuovo andamento di |A|_{dB} é confrontato con quello senza feedback in figura 11.24.

Notiamo che, come é chiaro dall’equazione 11.9, la pendenza della retta che descrive l’andamento asintotico a frequenze angolari ω ≪ ω_{1} é sempre di 6 dB/ottava.

Notiamo inoltre che:

A_{of}ω_{1f} = A_{o}ω_{1}

Cioé che il prodotto del guadagno (a bassa frequenza) per la larghezza di banda é una costante. Se quindi cerchiamo di allargare la banda passante di un amplificatore, attraverso l’introduzione di una reazione negativa, automaticamente riduciamo il guadagno, del medesimo fattore di cui abbiamo allargato la banda. Per tale motivo é uso comune esprimere la bontá di un amplificatore fornendo quello che é noto come il ”gain-bandwidth product”, cioé il prodotto del guadagno per la banda passante.

Identiche considerazioni potrebbero essere svolte per un amplificatore la cui risposta in frequenza abbia un taglio inferiore ω_{0} anziché un taglio superiore ω_{1}, o anche un taglio superiore ed uno inferiore. In tutti i casi, l’introduzione del feedback allarga la banda passante e riduce il guadagno.

328

Caratteristiche dei FET ed amplificatori a FET

12.1 Introduzione

In questo capitolo discuteremo alcuni semplici esempi dell’uso dei FET come amplificatori. Analizzeremo in particolare la scelta del punto di lavoro e delle reti di polarizzazione, il calcolo della risposta per piccoli segnali, a basse frequenze ed infine i limiti posti dalle capacitá parassite e da quelle di accoppiamento sulla banda passante.

Anche se le considerazioni che faremo saranno limitate ai JFET, che sono dei tipici dispositivi a svuotamento, queste possono facilmente essere generalizzate al caso dei MOSFET, sia a svuotamento che ad arricchimento. Nel seguito di questo capitolo adopereremo il termine FET per JFET.

Per una trattazione piú dettagliata dell’argomento, si consulti le referenze ([10]),([7]),([11]),([22]).

12.2 Caratteristiche dei FET

Le curve caratteristiche di un tipico FET a canale n sono mostrate in figura 12.1 dove vá notato che, per un dispositivo a svuotamento quale il JFET, V_{gs} deve esser negativo.

I punti indicati con la labels A,B,C,.., sono i punti di pinchoff corrispondenti ai vari valori di V_{GS}.

La zona di saturazione inizia per V_{DS} = V_{A} se V_{GS} = 0, per V_{DS} = V_{B} se V_{GS} = V_{1}, etc..

La caratteristica che esprime l’andamento di I_{D} in funzione di V_{GS} nella zona di saturazione é mostrata in figura 12.2.

Questa é a volte espressa analiticamente nella forma:

I_{DS} = I_{DSS} [1 + 3\frac{V_{GS}}{V_{P 0}} + 2 (−\frac{V_{GS}}{V_{P 0}} )^{3/2}] (12.1)

che é spesso approssimata con un andamento quadratico:

I_{DS} = I_{DSS} (1 + \frac{V_{GS}}{V_{P 0}} )^{n} (12.2)

con n ≈ 2.

Come sappiamo, un FET é un dispositivo che controlla una corrente (la corrente nel canale, I_{DS})mediante una tensione (la differenza di potenziale V_{GS} tra gate e source). Un parametro importante é quindi la transconduttenza g_{m}:

g_{m} ≡ \frac{ΔI_{DS}}{ΔV_{GS}} (12.3)

Facendo uso dell’ultima equazione (con n=2) si trova:

g_{m} = −\frac{2}{V_{P 0}} \sqrt{I_{DS}I_{DSS}} (12.4)

La corrente I_{DS} nella zona di saturazione non é rigorosamente costante per V_{GS} fissato, ma dipende leggermente ^{1} anche da V_{DS}. Scriveremo allora:

I_{D} ≡ I_{DS} = f (V_{GS}, V_{DS})

e, per piccole variazioni di V_{GS} e V_{DS}:

δI_{D} = \frac{∂I_{D}}{∂V_{GS}} δV_{GS} + \frac{∂I_{D}}{∂V_{DS}} δV_{DS}

cioé, indicando con lettere minuscole le componenti variabili di correnti e tensioni:

i_{d} = g_{m}v_{gs} + g_{d}v_{ds} (12.5)

dove:

g_{d} = \frac{∂I_{D}}{∂V_{DS}} (12.6)

é la conduttanza differenziale del canale nella zona di saturazione: g_{d} = 1/r_{d}. Valori tipici di g_{m} ed r_{d} sono:

g_{m} ≈ 3 mS

1Ció é analogo a quanto accade nel caso dei transistor bipolari, a causa dell’effetto ”Early”

r_{d} ≈ 100 kΩ

Spesso r_{d} é cosí elevato da poter esser trascurato.

Confrontiamo la 12.5 con l’analoga equazione per il transitor bipolare:

i_{c} = h_{fe}i_{b} + h_{oe}v_{ce}

con:

v_{be} = h_{ie}i_{b}

da cui:

i_{c} = \frac{h_{fe}}{h_{ie}} v_{be} + h_{oe}v_{ce}

vediamo che il parametro h_{fe}/h_{ie} del transitor bipolare corrisponde al g_{m} del JFET, mentre h_{oe} corrisponde a g_{d}.

Il g_{m} tipico del FET é (1 − 5) mS, mentre il parametro h_{fe}/h_{ie} del transitor bipolare vale (40 − 400) mS.

12.3 Circuito equivalente del FET

L’equazione 12.5 della sezione precedente porta in modo immediato al circuito equivalente di figura 12.3.

Notiamo che l’impedenza d’ingresso é effettivamente infinita, il che é rappresentato dal gate che risulta isolato nello schema equivalente. Usando poi il teorema di Thevenin, possiamo sostituire, come mostrato in figura 12.4, al generatore dipendente di corrente, in parallelo con la resistenza r_{d}, un generatore di tensione, −μv_{gs}, in serie con r_{d}.

Il parametro g_{d} = 1/r_{d} é noto come ”conduttanza di drain” o ”conduttanza d’uscita”. Il parametro μ é anche uguale a:

μ = \frac{∂V_{DS}}{∂V_{GS}} |_{I_{DS}=cost.}

Figura 12.4:

12.4 Schemi di polarizzazione per il FET

Uno schema tipico in cui un FET a canale n viene adoperato come amplificatore é quello mostrato in figura 12.5.

Figura 12.5:

Le resistenze R_{g} ed R_{s} servono a tenere il gate ad una tensione negativa rispetto al source. Indicando con I_{D} = I_{DS} la corrente quiescente nel FET, si ha infatti:

V_{GS} = V_{G} − V_{S} = −R_{S}I_{D} (12.7) É anche:

V_{DD} = R_{d}I_{D} + V_{DS} + R_{s}I_{D} = (R_{d} + R_{s}) I_{D} + V_{DS} (12.8) Il condensatore C é un corto circuito per la componente variabile, mentre é un

interruttore aperto per la corrente che polarizza il source.

Se sono dati V_{DD}, R_{d}, R_{s}, R_{g}, é immediato trovare il punto di lavoro, facendo uso delle caratteristiche di uscita o dell’espressione analitica di I_{D} vs V_{GS}:

I_{D} = I_{DS} = I_{DSS} (1 − \frac{V_{GS}}{V_{P 0}} )^{2} (12.9)

Infatti, dall’equazione 12.7 si ha: I_{D} = −V_{GS}/R_{s} e, uguagliando questa al secondo membro della 12.9, si ottiene:

I_{DSS} (1 − \frac{V_{GS}}{V_{P 0}} )^{2} = −\frac{V_{GS}}{R_{s}}

che é un’equazione quadratica nella variabile V_{GS}. Risolta tale equazione si ottiene V_{GS}. Noto cosí V_{GS}, I_{D} si ottiene facendo uso della 12.9 e V_{DS} facendo uso della 12.8.

Consideriamo il seguente esempio:

V_{DD} = 15 V , R_{d} = 620 Ω , R_{s} = 380 Ω

R_{g} = 10 MΩ , I_{DSS} = 13 mA , V_{P 0} = −4.4 V

Troviamo facilmente:

V_{GS} = −1.77 V

da cui:

I_{D} = 4.65 mA

ed infine:

V_{DS} = V_{DD} − (R_{d} + R_{s})I_{D} = 10.35V

Allo stesso risultato si potrebbe arrivare, fissati i valori dei componenti, facendo uso delle caratteristiche di uscita, mostrate in figura 12.6.

Il valore di V_{DD} fissa il punto della retta di carico corrispondente a I_{D} = 0, mentre il rapporto tra V_{DD} ed (R_{d} + R_{s}) fissa il punto corrispondente a V_{DS} = 0.

Il punto di lavoro Q sará il punto d’intersezione tra la retta di carico e la curva caratteristica per la quale risulti essere:

I_{D} = −\frac{V_{GS}}{R_{s}}

Esaminiamo come secondo esempio il seguente. Si vuol calcolare la rete di polarizzazione di un J-FET a canale n (BFW10) tale

che il punto di riposo abbia:

I_{DSQ} = 6 mA , V_{DSQ} = 10 V , V_{DD} = 20 V

I parametri I_{DSS} e V_{P 0}, forniti dal costruttore, sono:

I_{DSS} = 13 mA , V_{P 0} = −4.5 V

Il circuito di polarizzazione é il medesimo usato nell’esempio precedente. Calcoliamo ora i valori dei componenti. Dall’espressione analitica di I_{D} vs V_{GS}, troviamo:

V_{GS} = V_{P 0} (1 − \sqrt{\frac{I_{D}}{I_{DSS}}} )

cioé:

V_{GSQ} = V_{P 0} (1 − \sqrt{\frac{I_{DQ}}{I_{DSS}}} )

che, con i valori numerici dati, fornisce:

V_{GSQ} = −4.5 (1 − \sqrt{\frac{6}{13}}) = −1.44 V

Con tale valore di V_{GSQ} troviamo:

R_{s} = −\frac{V_{GSQ}}{I_{DQ}} = 250 Ω

R_{d} = \frac{V_{DD} − V_{DSQ} − R_{s}I_{DQ}}{I_{DQ}} = \frac{20 − 10 − 0.25 · 6}{6} ≈ 1.4 kΩ

Il valore della resistenza R_{g} non é molto importante. Esso puó essere scelto in modo da ottimizzare il valore della resistenza d’ingresso dell’amplificatore.

Teniamo ora conto del taglio in frequenza posto dalla presenza del condensatore C. La costante di tempo associata al sistema R_{s}C:

τ = R_{s}C = 250 C

corrispondente ad una frequenza f_{min} = 1/(2πτ).

Se si vuole adoperare l’amplificatore a frequenze f maggiori di 40 Hz, dovremo avere:

40 > \frac{1}{2πτ} = \frac{1}{1500C}

da cui:

C > \frac{1}{40 · 1500} ≈ 16 μF

Per calcolare i valori dei componenti necessari per polarizzare un FET, é possibile alternativamente far uso della caratteristica mutua (I_{DS} − V_{GS}).

Consideriamo ad esempio il caso di un FET per il quale, dalla caratteristica mutua, si possa desumere che per il valore di I_{DSQ} voluto (10mA) sia V_{GS} = −1V. Se inoltre si vuole V_{DSQ} = 10V e V_{DD} = 20V, dalle solite equazioni 12.7 e 12.8 si trova:

R_{s} = 100 Ω

R_{d} = 900 Ω

Uno schema di polarizzazione alternativo é quello che usa un partitore sul gate, come mostrato in figura 12.7.

Figura 12.7:

Si supponga di voler far uso di un J-FET a canale n BF256B, la cui caratteristica di trasferimento é mostrata in figura 12.8.

Si sia inoltre scelto:

R_{s} = 1 kΩ , R_{d} = 3 kΩ , R_{1} + R_{2} = 2 MΩ , V_{DD} = 25 V

e fissato V_{G} a +2 V. Dalla maglia d’ingresso si ha:

V_{GS} = V_{G} − R_{s}I_{D} (12.10)

dove:

V_{G} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} V_{DD}

Figura 12.8:

da cui:

R_{2} = (R_{1} + R_{2})\frac{V_{G}}{V_{DD}} = 160 kΩ

Per cui:

R_{1} = 2 MΩ − R_{2} = 1840 kΩ Tracciamo ora sulla caratteristica, la retta di carico data dalla 12.10. Questa

passa per i punti (0, V_{G}/R_{s}) e (V_{G}, 0); cioé, nel nostro caso, per i punti: (0, 2 mA) e (2V, 0). Le coordinate del punto d’intersezione con la caratteristica mutua sono:

I_{DQ} = 3.5 mA

V_{GSQ} = −1.5 V Si ha poi per la tensione di drain:

V_{DSQ} = V_{DD} − (R_{d} + R_{s})I_{DQ} = 25 − (3 + 1) 3.5 V = 11 V Al medesimo risultato si sarebbe potuti arrivare facendo uso delle caratteristiche

”di drain” (I_{DS}, V_{DS}) anziché di quelle di trasferimento.

12.5 Amplificatori a FET

Il parametro piú importante nel calcolare la risposta di un FET adoperato come amplificatore é la transconduttanza g_{m}. Abbiamo giá visto (equazione 12.4) che essa é data da:

g_{m} = −\frac{2}{V_{P 0}} \sqrt{I_{DS}I_{DSS}}

Se ora definiamo:

g_{m0} = g_{m}(I_{DS} = I_{DSS}) = −\frac{2}{V_{P 0}} I_{DSS}

avremo:

g_{m} = g_{m0}\sqrt{\frac{I_{DS}}{I_{DSS}}} (12.11)

o, alternativamente:

g_{m} = g_{m0} (1 − \frac{V_{GS}}{V_{P 0}} ) (12.12)

Vediamo cosí che la transconduttanza aumenta come la radice quadrata di I_{DS}. Facciamo ora uso del modello del FET discusso in precedenza per calcolare il

guadagno in tensione di un amplificatore a FET come quello mostrato in figura 12.9.

Figura 12.9:

Se ammettiamo di potere, alle frequenze di lavoro, assimilare tutti i condensatori a dei cortocircuiti, lo schema equivalente utile per il calcolo del guadagno in tensione, definito come il rapporto tra v_{ds} e v_{gs}, é quello di figura 12.10.

Figura 12.10:

Da questo si ottiene:

i_{d} = g_{m}v_{gs} + g_{d}v_{ds}

v_{ds} = −R_{d}i_{d}

con: g_{d} = 1/r_{d}. da cui:

v_{ds} = −R_{d}g_{m}v_{gs} − R_{d}g_{d}v_{ds}

v_{ds} (1 + R_{d}g_{d}) = −R_{d}g_{m}v_{gs}

ed infine:

A_{v} ≡ \frac{v_{ds}}{v_{gs}} = −\frac{R_{d}g_{m}}{1 + R_{d}g_{d}} (12.13)

Essendo poi:

1 + R_{d}g_{d} = 1 + R_{d}/r_{d} = \frac{r_{d} + R_{d}}{r_{d}}

il guadagno A_{v} puó anche essere espresso come:

A_{v} ≡ −\frac{g_{m}R_{d}r_{d}}{R_{d} + r_{d}} = −g_{m}R_{d}^{∗} (12.14)

dove R_{d}^{∗} é il parallelo di R_{d} ed r_{d}. Il circuito d’uscita puó quindi essere schematizzato come un generatore di ten-

sione pari a −g_{m}R_{d}^{∗}v_{gs} in serie con la resistenza R_{d}^{∗}, come mostrato in figura 12.11:

Figura 12.11:

dove abbiamo anche specificato la resistenza di polarizzazione sul gate e l’eventuale carico R_{L}.

Se ad esempio ammettiamo di far uso di un FET con g_{m} = 2 mS ed una resistenza di drain R_{d} = 10 kω, avremo un guadagno in tensione di 20.

Calcoliamo ora l’impedenza d’uscita di questo amplificatore. Per farlo usiamo la definizione:

Z_{out} = \frac{v_{out (circuito aperto)}}{i_{out (corto circuito)}}

dove:

v_{out (circuito aperto)} = [−\frac{R_{d}g_{m}}{1 + R_{d}g_{d}} ]_{R_{d}=∞} v_{gs} = −\frac{g_{m}}{g_{d}} v_{gs}

e:

i_{out (corto circuito)} = −g_{m}v_{gs}

Ne segue:

Z_{out} = \frac{1}{g_{d}} = r_{d}

12.6 Inseguitore di source

Il circuito di figura 12.12, analogo all’inseguitore di emettitore, é un inseguitore di source.

Figura 12.12:

La relazione tra segnale in uscita e segnale in ingresso é ottenibile facilmente se si ricorda che:

i_{d} = i_{s} = g_{m}v_{gs} Essendo poi:

v_{out} = R_{s}i_{s} = R_{s}g_{m}v_{gs} e:

v_{gs} = v_{in} − v_{out} si ha:

v_{out} = R_{s}g_{m}v_{in} − R_{s}g_{m}v_{out} da cui:

v_{out} (1 + R_{s}g_{m}) = R_{s}g_{m}v_{in} ed infine:

A_{v} ≡ \frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{R_{s}g_{m}}{1 + R_{s}g_{m}} ≈ 1 (12.15)

poiché R_{s}g_{m} ≫ 1 (in realtá questa disuguaglianza non é sempre vera: se R_{s} = 1 kΩ e g_{m} = 3mS segue che R_{s}g_{m} = 3).

Consideriamo ad esempio un amplificatore che adopera un FET 2N3819, con: g_{m} = 2mA/V R_{s} = 4.7 kΩ Si trova:

A_{v} = \frac{9.4}{10.4} ≈ 0.9

L’impedenza d’ingresso dell’inseguitore di source é determinata essenzialmente da R_{g}, che puó esser scelto di valore molto alto (> 20 MΩ). L’impedenza d’uscita é ottenibile dalla definizione:

R_{out} = \frac{v_{out (circuito aperto)}}{i_{out (circuito chiuso)}}

in questa espressione, il numeratore é:

v_{out} = A_{v}v_{in} = \frac{R_{s}g_{m}}{1 + R_{s}g_{m}} v_{in}

mentre il denominatore é semplicemente: g_{m}v_{in}.

Si ha cioé:

R_{out} = \frac{R_{s}g_{m}}{(1 + R_{s}g_{m})g_{m}} ≈ \frac{1}{g_{m}} (12.16)

Nell’esempio fatto, R_{out} = 1/(2mA/V) = 500 Ω.

Negli esempi visti, l’impedenza d’ingresso dell’amplificatore a FET é ridotta, rispetto all’impedenza della giunzione di gate, dalla presenza delle resistenze di polarizzazione. Un fenomeno analogo si incontra nell’amplificatore a transistor bipolare, dove, peraltro, l’impedenza d’ingresso ”intrinseca” non é altrettanto elevata.

Un metodo per ridurre l’effetto della resistenza di polarizzazione nell’inseguitore di source é quello noto come ”bootstrap”, di cui un esempio é quello di figura 12.13.

Figura 12.13:

Prima di esaminare quantitativamente il problema, vediamo di capire intuitivamente ció che, in tale circuito, causa l’aumento dell’impedenza d’ingresso. La tensione del source, come sappiamo, ”insegue” quella del gate. La tensione del punto P, se R_{s1} é piccola rispetto ad R_{s2}, ”insegue” anch’essa la tensione di gate. La corrente i che attraversa la resistenza R_{g} é pari alla differenza di potenziale ai suoi capi divisa per R_{g}. Ora, la differenza di potenziale ai capi di R_{g}, per l’effetto di ”inseguimento” menzionato, é molto piccola: se v_{g} aumenta, cosí fa anche v_{p}; di conseguenza il rapporto v_{g}/i, che é appunto la resistenza vista guardando dal gate verso massa, sará grande. Vediamolo ora quantitativamente. La tensione del punto P é:

v_{p} = \frac{R_{s2}}{R_{s1} + R_{s2}} v_{s}

mentre é:

R_{g}i = v_{g} − v_{p} = v_{g} − \frac{R_{s2}}{R_{s1} + R_{s2}} v_{s}

L’impedenza ”effettiva” di R_{g} é allora:

Z_{eff} = \frac{v_{g}}{i} = \frac{v_{g}}{\frac{v_{g}}{R_{g}} − \frac{R_{s2}}{R_{s1}+R_{s2}} \frac{v_{s}}{R_{g}}} = \frac{R_{g}}{1 − \frac{R_{s2}}{R_{s1}+R_{s2}} \frac{v_{s}}{v_{g}}}

Sostituiamo ora al rapporto v_{s}/v_{g} la sua espressione data dalla 12.15. Troviamo:

Z_{eff} = \frac{R_{g}}{1 − \frac{R_{s2}g_{m}}{1+(R_{s1}+R_{s2})g_{m}}} ≈ \frac{R_{g}}{1 − \frac{R_{s2}}{R_{s1}+R_{s2}}} = R_{g} (\frac{R_{s1} + R_{s2}}{R_{s1}} )

Vediamo cosí che se (R_{s1} + R_{s2}) ≫ R_{s1}, si ha:

Z_{eff} ≫ R_{g}

12.7 Amplificatore a FET: struttura generale

Abbiamo finora studiato le caratteristiche dell’amplificatore a FET nelle configurazioni source-comune o inseguitore di source. Nel primo caso la resistenza di source era ”bypassata” dal condensatore, nel secondo non c’era alcuna resistenza sul drain e mancava il condensatore. Esaminiamo ora il caso generale in cui siano presenti sia R_{d} che R_{s} e che nessuna delle due abbia un condensatore in parallelo.

La struttura é quindi quella di figura 12.14. Il circuito equivalente utile per il calcolo del guadagno e delle impedenze d’uscita e d’ingresso é mostrato nella stessa figura

v_{o2} é l’uscita nel caso in cui si adoperi il circuito come inseguitore di source; v_{o1} quella relativa al caso in cui lo si adoperi come amplificatore common-source. Abbiamo adoperato, nel circuito equivalente, il generatore dipendente di tensione: μv_{gs} = g_{m}r_{d}v_{gs} in serie con r_{d}.

Dall’equazione della maglia d’uscita otteniamo:

i_{d} (R_{d} + r_{d} + R_{s}) = μv_{gs}

v_{gs} = v_{g} − v_{s} = v_{i} − R_{s}i_{d}

Da queste due equazioni segue:

i_{d} (R_{d} + r_{d} + R_{s}) = μv_{i} − μR_{s}i_{d}

da cui:

i_{d} = \frac{μv_{i}}{R_{d} + r_{d} + R_{s}(1 + μ)}

La tensione in uscita sul drain é:

v_{o1} = −R_{d}i_{d} = −\frac{μR_{d}v_{i}}{R_{d} + r_{d} + R_{s}(1 + μ)} (12.17)

La tensione in uscita sul source:

v_{o2} = R_{s}i_{d} = \frac{μR_{s}v_{i}}{R_{d} + r_{d} + R_{s}(1 + μ)} (12.18)

Il guadagno in tensione relativo al primo caso (amplificatore source-comune con resistenza sul source) é allora:

A_{v1} = \frac{v_{o1}}{v_{i}} = −\frac{μR_{d}}{R_{d} + r_{d} + R_{s}(1 + μ)} (12.19)

(dove μ ≫ 1). Questa puó esser riscritta, trascurando 1 rispetto a μ e sostituendo μ = g_{m}r_{d}

nella forma:

A_{v1} = −\frac{g_{m}r_{d}R_{d}}{R_{d} + r_{d} + R_{s}(1 + μ)} = −\frac{g_{m}R_{∥}}{1 + g_{m}(R_{s}/R_{d})R_{∥}} (12.20)

dove:

R_{∥} = \frac{r_{d}R_{d}}{r_{d} + R_{d}}

Se é g_{m}R_{s}/R_{d}R_{∥} ≫ 1, questa diventa A_{v1} = −R − d/R_{s}, cioé il guadagno viene a dipendere solo dalle resistenze R_{d} ed R_{s} e non dal g_{m} del FET. Ció é analogo a quel che si trova nel caso di un amplificatore a transistor bipolare con resistenza sull’emettitore.

Calcoliamo ora, per questa configurazione, l’impedenza d’uscita R′_{o1}. Ricorriamo alla definizione:

R′_{o1} = \frac{v_{o1} _{(circuito aperto)}}{i_{o1} _{(circuito chiuso)}}

dove v_{o1} _{(circuito aperto)} é il segnale di tensione in uscita in assenza di carico (a parte R_{d}), cioé:

v_{o1} _{(circuito aperto)} = −\frac{μR_{d}v_{i}}{R_{d} + r_{d} + (1 + μ)R_{s}}

e la corrente in uscita i_{o1} _{(circuito chiuso)} é ottenibile dal circuito equivalente di figura, ponendo un corto in parallelo ad R_{d}. Si ottiene in tal modo:

i_{o1} _{(circuito chiuso)} = −i_{d} = −\frac{v_{gs}}{r_{d} + R_{s}}

con:

v_{gs} = v_{g} − v_{s} = v_{i} − R_{d}i_{d}

da cui si ottiene poi:

i_{o1} _{(circuito chiuso)} = −i_{d}|_{R_{d}=0} = −\frac{μv_{i}}{r_{d} + R_{s}(1 + μ)}

Si ha cosí per l’impedenza d’uscita:

R′_{o1} = R_{d} \frac{r_{d} + R_{s}(1 + μ)}{r_{d} + R_{d} + R_{s}(1 + μ)} = R_{d} ∥ (r_{d} + R_{s}(1 + μ)) (12.21)

Si vede da quest’ultima espressione che la resistenza d’uscita R′_{o1}, calcolata senza tener conto di R_{d} é:

R_{o1} = r_{d} + R_{s}(1 + μ) (12.22)

Calcoliamo ora la resistenza d’uscita R′_{o2}.

R′_{o2} = \frac{v_{o2} _{(circuito aperto)}}{i_{o2} _{(circuito chiuso)}}

dove:

v_{o2} _{(circuito aperto)} = \frac{μR_{s}v_{i}}{R_{d} + r_{d} + (1 + μ)R_{s}}

i_{o2} _{(circuito chiuso)} = i_{o2}|_{R_{s}=0} = \frac{μv_{i}}{R_{d} + r_{d}}

da cui:

R′_{o2} = \frac{R_{s}(R_{d} + r_{d})}{R_{d} + r_{d} + (1 + μ)R_{s}} (12.23)

Il guadagno in tensione nella configurazione inseguitore di source (con resistenza sul drain) é (facendo uso della 12.18):

A_{v2} = \frac{v_{o2}}{v_{i}} = \frac{μR_{s}}{R_{d} + r_{d} + (1 + μ)R_{s}}

che per R_{d} = 0 diventa:

A_{v2} = \frac{μR_{s}}{r_{d} + (1 + μ)R_{s}} ≈ \frac{g_{m}r_{d}R_{s}}{r_{d} + g_{m}r_{d}R_{s}}

Se ad esempio si sceglie:

R_{s} = 2 kΩ , R_{d} = 1 kΩ , r_{d} = 100 kΩ , g_{m} = 3 mS

e quindi:

μ = g_{m}r_{d} = 300

Avremo:

A_{v2} ≈ 0.85 , R′_{o2} ≈ 290 Ω

12.8 Risposta in frequenza di un amplificatore a FET

Il guadagno dell’amplificatore a FET nella configurazione source-comune, calcolato in precedenza:

A_{v} = −\frac{R_{d}r_{d}}{R_{d} + r_{d}} g_{m} = −g_{m}R_{d}^{∗}

é indipendente dalla frequenza. Ció dipende dal fatto che si sono trascurate le capacitá presenti nel circuito. Queste comprendono sia la capacitá di accoppiamento, che le capacitá parassite interne al FET, nonché quelle associate ai cavi che collegano il generatore dei segnali che si vogliono amplificare all’amplificatore stesso. L’effetto di tutte queste capacitá é quello di ridurre la banda passante e di far sí che essa assuma l’aspetto mostrato in figura 12.15, dove é riportato, in funzione di log(f), il rapporto |v_{out}/v_{in}| espresso in decibel.

Vogliamo ora esaminare l’effetto delle varie capacitá e vedere come esse influiscano sulla banda passante. Il circuito base, mostrato in figura 12.16, presenta le seguenti capacitá:

• C_{o}: capacitá d’uscita del generatore

• r_{s}: resistenza d’uscita del generatore

• C_{f}: capacitá associata ai cavi di collegamento

• C_{a}: condensatore d’accoppiamento

• C_{gs}: capacitá parassita tra gate e source nel FET

• C_{gd}: capacitá parassita tra gate e drain nel FET

Esaminiamo ora in dettaglio l’effetto di queste capacitá sulla banda passante, separatamente per le alte e le basse frequenze.

Figura 12.16:

12.8.1 Risposta alle alte frequenze

Cominciamo con l’esaminare la risposta del circuito ad alta frequenza, dove C_{a} puó esser assimilata ad un corto-circuito. In tali condizioni, le capacitá C_{o}, C_{f}, C_{gs} risultano in parallelo, e possono esser sostituite da un’unica capacitá C_{1}. Il circuito diventa allora quello di figura 12.17 (a).

La resistenza R_{g} é in genere molto grande e puó quindi esser trascurata. Sostituiamo inoltre al FET il suo circuito equivalente, costituito da un generatore di tensione −g_{m}R_{d}^{∗}v_{g}, in serie con la resistenza R_{d} ∥ r_{d} ≡ R_{d}^{∗}. Si ottiene cosí lo schema di figura 12.17 (b).

Facciamo ora l’ulteriore approssimazione (che verificheremo tra poco) consistente nel trascurare la caduta ai capi di R_{d}^{∗}. Ammettiamo cioé che sia v_{out} = −g_{m}R_{d}^{∗}v_{g}. Il circuito si trasforma allora ulteriormente in quello di figura 12.17 (c)

Applichiamo ora il teorema di Miller, facendo uso dell’impedenza che collega i terminali d’uscita v_{out} a quelli d’ingresso v_{g}. L’impedenza é quella costituita dalla

Figura 12.17:

serie di C_{gd} ed R_{d}^{∗}:

Z = \frac{1}{jωC} + R_{d}^{∗} = \frac{1 + jωR_{d}^{∗}C}{jωC}

dove abbiamo per brevitá di scrittura posto C ≡ C_{gd}. Il teorema di Miller dá il circuito di figura 12.18, dove si é posto K = −g_{m} R_{d}^{∗} .

Figura 12.18:

Il guadagno in tensione é:

A_{v} = \frac{v_{out}}{v_{in}} = \frac{v_{out}}{v_{g}} \frac{v_{g}}{v_{in}} = −g_{m}R_{d}^{∗} \frac{v_{g}}{v_{in}} (12.24)

Le impedenze Z_{1} e Z_{2} sono date da:

Z_{1} = \frac{Z}{1 − K} = \frac{1 + jωR_{d}^{∗}C}{jωC(1 + g_{m}R_{d}^{∗})}

Z_{2} = \frac{ZK}{K − 1} = \frac{(1 + jωR_{d}^{∗}C)g_{m}R_{d}^{∗}}{1 + g_{m}R_{d}^{∗}}

Facciamo ancora un’approssimazione (la cui validitá sará verificata); ammettiamo che sia:

R_{d}^{∗} ≪ \frac{1}{ωC}

cioé: ωCR_{d}^{∗} ≪ 1.

Con ció Z_{1} diventa:

Z_{1} ≈ \frac{1}{jωC(1 + g_{m}R_{d}^{∗})}

L’impedenza del parallelo Z_{1} ∥ C_{1} é allora:

Z′ = \frac{Z_{1}}{1 + jωC_{1}Z_{1}} = \frac{1}{jω [C_{1} + C(1 + g_{m}R_{d}^{∗})]}

La relazione tra v_{g} e v_{in} é quindi:

v_{g} = v_{in} \frac{Z′}{r_{s} + Z′} = v_{in} \frac{1}{1 + jωr_{s} [C_{1} + C(1 + g_{m}R_{d}^{∗})]}

per cui:

\frac{v_{g}}{v_{in}} = \frac{1}{1 + jωr_{s} [C_{1} + C(1 + g_{m}R_{d}^{∗})]}

Facendo uso della 12.24 si ottiene poi:

A_{v}(ω) = −\frac{g_{m}R_{d}^{∗}}{1 + jωr_{s} [C_{1} + C(1 + g_{m}R_{d}^{∗})]}

Ponendo A_{o} = g_{m}R_{d}^{∗} (guadagno a centro banda), questa puó essere riscritta nella forma:

A_{v}(ω) = −\frac{A_{o}}{1 + jωr_{s} [C_{1} + C(1 + A_{o})]} (12.25)

Vediamo cosí che la capacitá C = C_{gd} risulta moltiplicata per il fattore 1+A_{o}, che é in genere grande. Ció é conseguenza dell’effetto Miller. I FET sono normalmente costruiti in modo che la capacitá C_{gd} (indicata in letteratura come C_{rss}) sia minore di C_{gs} (con il simbolo C_{iss} viene indicata la somma C_{gd} + C_{gs}). Valori tipici di C_{rss} per i FET sono nel range (1-15) pF mentre per C_{iss} troviamo valori nel range (3-70) pF ^{2}.

Il modulo di A_{v} dipende da ω come:

|A_{v}(ω)| = \frac{A_{o}}{\sqrt{1 + (ω/ω_{U})^{2}}} (12.26)

con:

ω_{U} = \frac{1}{r_{s} [C_{1} + C(1 + A_{o})]} (12.27)

2Sia C_{gd} che C_{gs} dipendono molto dalla differenza di potenziale V_{DS} e decrescono all’aumentare di questa, per rimanere appossimativamente costanti per valori di V_{DS} maggiori di (10-15) V

Per valori di C_{gd}, C_{gs} ed r_{s}:

C_{gd} = 2 pF

C_{gs} = 4 pF

r_{s} = 10 Ω

e per un guadagno a centro banda A_{o} = 20, troviamo (ammettendo di poter trascurare C_{1}):

ω_{U} = \frac{1}{10 [2 · 10^{−12} · 21]} ≈ 2.38 · 10^{9} s^{−1}

cioé:

f_{U} = \frac{ω_{U}}{2π} = 379 MHz

L’andamento di |A_{v}| (in dB) in funzione della frequenza f é mostrato, per un tipico amplificatore a FET, in figura 12.19.

Figura 12.19:

Il valore di f_{U} per tale amplificatore é di 26 MHz. A tale frequenza il guadagno si é ridotto di 3 dB rispetto al valore che esso ha a centro banda.

La frequenza f_{U} (26 MHz nel nostro esempio) definisce il taglio superiore della banda passante dall’amplificatore.

Dalla definizione 12.27 di ω_{U} segue che, per aumentare la banda passante occorre:

• diminuire A_{o}

• diminuire r_{s}

• diminuire C_{1} • diminuire C_{gd}

Vediamo che diminuire quest’ultimo parametro é particolarmente importante poiché esso compare moltiplicato per A_{o}.

Un aumento del guadagno A_{o} a frequenze intermedie si accompagna ad una riduzione della banda passante. Si definisce quindi un fattore di merito dell’amplificatore:

F = A_{o}f_{U}

Cioé:

F = \frac{A_{o}}{2πr_{s} [C_{1} + (1 + A_{o})C_{gd}]}

A paritá di F, un aumento di un fattore 10 nel guadagno A_{o} si accompagna (all’incirca) ad una riduzione di un fattore 10 nella banda passante.

L’effetto della capacitá interna al FET tra gate e drain (C_{gd}) é mostrato in figura 12.20. Si vede chiaramente che, all’aumentare di C_{gd} tra 1 pF e 40 pF la frequenza di taglio superiore scende da 220 MHz a 5.5 MHz.

Figura 12.20:

Verifichiamo ora, con un esempio numerico, la validitá delle approssimazioni fatte.

La prima delle approssimazioni é consistita nel trascurare (vedi figura 12.17) la caduta di potenziale ai capi di R_{d}^{∗} rispetto al potenziale del generatore dipendente −g_{m}R_{d}^{∗}v_{g}. La seconda nel trascurare la caduta di potenziale ai capi di R_{d}^{∗} rispetto a quella ai capi della capacitá C_{gd}.

Ammettiamo che sia:

g_{m} = 2 mS , R_{d}^{∗} = 2 kΩ , v_{g} = 0.1 V , C = C_{gd} = 2 pF , f = 1 MHz

Avremo allora:

g_{m}R_{d}^{∗}v_{g} = 0.4 V

La resistenza associata alla capacitá C sará:

Z_{c} = \frac{1}{ωC} = \frac{1}{2πfC} ≈ 80 kΩ

Poiché questa é molto maggiore di R_{d}^{∗}, vediamo che la caduta di potenziale ai capi di R_{d}^{∗} é trascurabile rispetto a quella ai capi di C, il che giustifica la seconda delle approssimazioni fatte (a maggior ragione se la frequenza fosse piú bassa di quella scelta). L’approssimazione verrebbe meno solo a frequenze tali che:

Z_{c} ≈ R_{d}^{∗}

cioé:

f ≈ \frac{1}{2πR_{d}^{∗}C} ≈ 400 MHz

maggiore della frequenza di taglio dell’amplificatore.

Per verificare la prima delle approssimazioni calcoliamo la corrente nella serie C − R_{d}^{∗}:

i = \frac{v_{g}(g_{m}R_{d}^{∗} + 1)}{\sqrt{(R_{d}^{∗})^{2} + 1/(ω^{2}C^{2})}} ≈ ωCv_{g} (g_{m}R_{d}^{∗} + 1)

La caduta di potenziale ai capi di R_{d}^{∗} sará allora:

v = R_{d}^{∗} i = v_{g} (g_{m}R_{d}^{∗} + 1) \frac{R_{d}^{∗}}{1/(ωC)} ≈ 0.025 · (g_{m}R_{d}^{∗} + 1) ≪ (g_{m}R_{d}^{∗} + 1) v_{g}

cioé molto minore della differenza di potenziale ai capi di C.

12.8.2 Risposta alle basse frequenze

Ci siamo fino a questo momento occupati della risposta dell’amplificatore alle alte frequenze. Vediamo ora di esaminarne il comportamento all’altra estremitá dello spettro, a frequenze molto basse. In tale regione si fará ovviamente sentire l’effetto delle capacitá in serie al segnale, cioé essenzialmente della capacitá di accoppiamento C_{a}. Poiché in tale zona di frequenza, l’impedenza capacitativa |1/(jωC_{a})| é grande, potremo trascurare, rispetto a questa, l’impedenza d’uscita r_{s} del generatore.

Il circuito equivalente che adopereremo per calcolare la risposta in questa zona di frequenze é mostrato in figura 12.21.

Figura 12.21:

In tale schema, v_{g} é dato da:

v_{g} = \frac{R_{g}}{R_{g} + \frac{1}{jωC_{a}}} v_{in} = \frac{1}{1 + \frac{1}{jωR_{g}C_{a}}} v_{in}

da cui segue:

v_{out} = −g_{m}R_{d}^{∗}v_{g} = −\frac{A_{o}}{1 + \frac{1}{jωC_{a}R_{g}}} (12.28)

dove abbiamo posto:

A_{o} = g_{m}R_{d}^{∗}

Il modulo della funzione di trasferimento |A_{v}| é quindi:

|A_{v}(ω)| = \frac{A_{o}}{\sqrt{1 + (ω_{L}/ω)^{2}}} (12.29)

dove abbiamo posto:

ω_{L} = \frac{1}{C_{a}R_{g}}

Esso tende a 0 per ω → 0 e si riduce di 3 dB per ω = ω_{L}, cioé per un valore della frequenza f:

f_{L} = \frac{ω_{L}}{2π} = \frac{1}{2πC_{a}R_{g}} (12.30)

Se R_{g} = 1 MΩ e C_{a} = 4 nF; si trova:

f_{L} = \frac{1}{2π 10^{6} 4 10^{−9}} = 40 Hz

La frequenza f_{L} definisce il limite inferiore della banda passante dell’amplificatore. Notiamo ancora che per ω = ω_{L}, la 12.28 ci dá per la quantitá complessa A_{v}:

A_{v} = −\frac{A_{o}(1 − j)}{2} (12.31)

da cui vediamo che alla frequenza f_{L} c’é uno sfasamento di π/2 tra v_{in} e v_{out}.

12.8.3 Risposta sull’intero spettro di frequenze

L’espressione della risposta globale in frequenza puó essere ottenuta combinando la 12.26 con la 12.29. Si trova:

|A_{v}| = \frac{A_{o}}{\sqrt{1 + (ω/ω_{U})^{2}}\sqrt{1 + (ω_{L}/ω)^{2}}} (12.32)

L’andamento del guadagno in funzione della frequenza f é qualitativamente quello mostrato nella figura 12.22. Il grafico superiore si riferisce al modulo del guadagno, espresso in decibel, quello inferiore allo sfasamento (in gradi). Notiamo che agli estremi della banda passante, ad esempio per f = f_{L} o f = f_{U}, il segnale in uscita é non soltanto attenuato, ma anche fortemente fuori fase rispetto al valore che esso ha a centro banda.

Se quindi v_{in} ha componenti di Fourier su di una banda di frequenza che si estende dal centro bando fino ad uno degli estremi, v_{out} avrá componenti di Fourier che, per frequenza prossime all’estremitá della banda, sono ridotte e sfasate. Ció implica che v_{out} sará distorto rispetto a v_{in}.

Figura 12.22: 352

Preamplificatori ad amplificatori per rivelatori di particelle

13.1 Introduzione

Una particella elettricamente carica che attraversa un mezzo materiale puó, se la sua energia é sufficientemente elevata (energia cinetica ≥ 1 MeV) dar luogo a processi che causano una perdite d’energia della particella, energia depositata nel mezzo attraversato. Tra tali processi, particolarmente importanti sono la ionizzazione, il brehmsstrahlung, la radiazione di luce Cěrenkov, la radiazione di transizione ed altri. Tale rilascio di energia, la cui natura ed ampiezza dipendono sia dal particolare mezzo attraversato che dalla natura della particella carica (elettrone, protone, mesone π^{±}, leptone μ^{±}, ⋯) puó esser utilizzato per rivelare la particella. In particolare si puó:

(a) valutare l’istante in cui la particella é passata nel mezzo;

(b) ottenere una stima dell’energia della particella, che é spesso legata all’energia che essa ha depositato nel mezzo medesimo;

(c) misurare la posizione della particella nell’istante in cui essa ha attraversato il mezzo;

(d) ”identificare” la particella; cioé stabilire (entro un predeterminato ”livello di confidenza”) se essa sia un elettrone, π, protone... . In tale tipo di applicazione sono molto utili i rivelatori basati sull’emissione di luce Cěrenkov e quelli basati sulla radiazione di transizione.

Non intendiamo qui entrare nei dettagli dei rivelatori, ma limitarci a studiare alcuni dei problemi che essi pongono all’elettronica di ”front end”, cioé ai circuiti che debbono amplificare e rivelare i deboli segnali elettrici prodotti. Ovviamente, i vincoli posti dall’elettronica cambiano molto a seconda del tipo di rivelatore e del tipo di informazione che si vuole estrarre (tempo, energia, posizione etc.). Ció vuol dire che una trattazione esauriente dei problemi elettronici da affrontare non puó esser disgiunta da una trattazione dei diversi rivelatori. Ci limiteremo qui a discutere alcuni dei principali problemi e ad esaminare le soluzioni comunemente adottate. Dettagli possono essere trovati nella bibliografia raccolta in fondo al capitolo. Esamineremo, a titolo di esempio, la struttura di tre rivelatori: lo scintillatore, il tubo proporzionale ed il rivelatore a semiconduttore.

13.2 Rivelatori a scintillazione

Una particella carica che attraversa un mezzo materiale puó provocare dei processi di eccitazione molecolare. Le molecole eccitate decadono poi al loro stato fondamentale con emissione di luce. In alcuni casi il processo di decadimento é molto rapido (≤ 10^{−8} s), nel qual caso si parla di ”fluorescenza”. In altri casi il processo é lento, poiché lo stato eccitato raggiunto é metastabile. In tal caso si parla di ”fosforescenza”. La vita media relativa alla fosforescenza puó variare tra qualche microsecondo e diverse ore. Nei rivelatori di particelle, dovendosi rivelare processi che si susseguono ad intervalli di tempo molto brevi (≈ 10 − 100 ns) si ricorre a sostanze in cui il tempo di decadimento é breve, e quindi a quelle in cui é soppressa la componente di fosforescenza.

In prima approssimazione, l’evoluzione temporale del processo di emissione puó esser descritta da un semplice termine esponenziale:

N(t)dt = \frac{N_{0}}{τ} e^{− \frac{t}{τ}} dτ

dove N(t) é il numero totale di fotoni emessi nell’intervallo di tempo (0 − t), N_{0} il numero totale di fotoni emessi e τ la costante di decadimento (vita media).

Il segnale consiste in un brusco impulso, caratterizzato da un ”tempo di salita” brevissimo, che poi scende in modo esponenziale.

In alcuni casi le costanti di tempo interessate nel processo di decadimento sono due; in tal caso si puó scrivere:

N(t)dt = (Ae^{− \frac{t}{τ_{f}}} + Be^{− \frac{t}{τs}} ) dt

dove τ_{f} é la costante di tempo relativa alla componente a breve vita media e τ_{f} quella della componente a vita media lunga.

Per esser concretamente utilizzabile, uno scintillatore deve avere le seguenti caratteristiche:

(a) elevata efficienza di conversione di energia in radiazione;

(b) trasparenza alla radiazione emessa;

(c) spettro di emissione adatto alla rivelazione della luce (che tipicamente utilizza dei fotomoltiplicatori);

(d) breve costante di tempo.

Esistono svariati tipi di materiali scintillanti che possiedono in maggiore o minore misura tali caratteristiche. I piú comunemente usati sono degli scintillatori organici in soluzioni organiche liquide o plastiche (come plastiche sono adoperate il polistirene, il poliviniltoluene o il polifenil-benzene). Le costanti di decadimento vanno da 1.7 a 4 ns. Essendo la costante di decadimento cosí breve, non é sempre possibile trascurare rispetto a questo il tempo di salita. Una parametrizzazione spesso adoperata per tener conto di ció é una convoluzione di una gaussiana con un termine esponenziale:

N(t) = N_{0}f(σ, t)e^{−t/τ}

dove σ ≈ 0.5 ns.

Lo spettro di emissione di queste sostanze é nella regione 400-500 nm.

L’efficienza di conversione é definita come l’energia che una particella deve perdere in media perché sia prodotto un fotone. Nelle plastiche tale energia é dell’ordine di 1000 eV. Tale efficienza é piuttosto bassa rispetto a quella che si ha in altri tipi di rivelatore. Poiché la risoluzione in energia di un rivelatore é tanto migliore quanto piú bassa é la soglia minima di energia che esso puó rivelare, si vede che la risoluzione in energia di uno scintillatore non é molto buona. In effetti, fatta eccezione per gli scintillatori a cristalli inorganici, che hanno una buona risoluzione in energia, gli scintillatori comunemente adoperati (liquidi e plastici) hanno principalmente il pregio di una elevatissima velocitá di risposta e di un costo contenuto.

Come accennato, il piccolo numero di fotoni prodotti quando una particella attraversa uno scintillatore, puó esser rivelato facendo uso di un fotomoltiplicatore.

Un fotomoltiplicatore é un dispositivo che converte un (debole) segnale luminoso in un impulso di corrente. Esso é costituito di un tubo a vuoto, come schematizzato in figura 13.1, sull’interno della cui faccia frontale é depositato un materiale fotosensibile, cioé un materiale con una bassa soglia per l’effetto fotoelettrico.

Figura 13.1:

Un certo numero di elettrodi sono posti all’interno del tubo (dinodi) con il compito di ”moltiplicare” il numero di elettroni prodotti per effetto fotoelettrico dalla radiazione che investe il fotocatodo. Infine un ulteriore elettrodo (anodo) raccoglie la nuvola di elettroni prodotta dalla moltiplicazione, fornendo in uscita un breve impulso di corrente. Il fotocatodo é tenuto ad un potenziale negativo rispetto all’anodo, mentre i vari dinodi sono tenuti a potenziali (negativi) via via decrescenti andando dal fotocatodo verso l’anodo.

Un elettrone prodotto nel processo di interazione del fotone incidente con il materiale che costituisce il fotocatodo, é accelerato verso il primo dinodo dal potenziale applicato. Qui esso puó liberare 2 o piú elettroni, che vengono accelerati verso il secondo dinodo, e cosí di seguito. Si ha cosí un processo di moltiplicazione che genera infine una ”nuvola” di elettroni, raccolta poi dall’anodo.

Si definisce ”fattore di emissione secondaria” il numero medio di elettroni emessi da un dinodo colpito da un elettrone. Il ”guadagno” di un fotomoltiplicatore, definito come la carica all’anodo per unitá di carica all’uscita del fotocatodo (o equivalentemente come il numero di elettroni che raggiungono l’anodo per un elettrone emesso dal fotocatodo) dipende ovviamente dal fattore di emissione secondaria e dal numero di dinodi (numero di stadi). I fotomoltiplicatori disponibili in commercio hanno tra 10 e 14 stadi, con guadagni tipici di 10^{7}.

Un altro parametro caratteristico dei fotomoltiplicatori é legato alla probabilitá che un fotone al fotocatodo dia luogo ad un elettrone:

n(λ) ≡ \frac{n^{o} di fotoelettroni}{n^{o} di fotoni incidenti}

che dipende dalla lunghezza d’onda λ della radiazione incidente. Valori tipici di n vanno dal 10 al 25% al picco della distribuzione di n(λ).

13.3 Forma dell’impulso all’uscita del fotomoltiplicatore

Il segnale all’uscita del fotomoltiplicatore é un breve impulso di corrente, il cui integrale é la carica totale, proporzionale al numero di fotoelettroni liberati al catodo del fotomoltiplicatore. Il fotomoltiplicatore é, con ottima approssimazione, un generatore di corrente, in parallelo con la capacitá vista dal catodo guardando verso massa e con una resistenza R, come mostrato in figura 13.2.

Figura 13.2:

La capacitá é quella intrinseca dell’anodo piú eventuali capacitá associate al cavo utilizzato per prelevare il segnale. La resistenza R é la resistenza intrinseca del catodo piú le eventuali resistenze associate al cavo ed al carico.

Esaminiamo ora l’andamento del segnale all’uscita del fotomoltiplicatore. Ammettendo che il segnale luminoso al fotocatodo sia quello emesso dallo scintillatore e che questo si possa approssimare con una singola costante di tempo, la corrente anodica sará data da:

i(t) = G\frac{N_{e}}{τ_{s}} e^{−t/τ_{s}}

dove G é il guadagno del fotomoltiplicatore; N_{e} il numero di fotoelettroni emessi dal catodo; e la carica dell’elettrone; τ_{s} la costante di decadimento dello scintillatore. L’equazione del nostro circuito é:

ṽ = ĩZ̃ = A\frac{R/sC}{R + 1/sC} \frac{1}{s + 1/τ_{s}} = \frac{R}{τ} \frac{A}{(s + 1/τ)(s + 1/τ_{s})}

con:

A = G\frac{N_{e}e}{τ_{s}}

Se τ ≠ τ_{s}, l’antitrasformata puó essere calcolata con facilitá facendo uso della relazione (3.14) a pagina 100.

Si trova:

v = \frac{RA}{τ} \{[\frac{e^{st}}{s + 1/τ_{s}} ]_{s=−1/τ} + [\frac{e^{st}}{s + 1/τ_{s}} ]_{s=−1/τ_{s}} \} =

= \frac{RA}{τ} \{\frac{e^{−t/τ}}{1/τ_{s} − 1/τ} + \frac{e^{−t/τ_{s}}}{1/τ − 1/τ_{s}} \} = \frac{GN_{e}eR}{τ − τ_{s}} \{e^{−t/τ} − e^{−t/τ_{s}}\}

Se τ = τ_{s}, cioé se la costante di tempo del circuito é uguale a quella dello scintillatore, l’antitrasformata di Laplace si puó calcolare facendo uso della (3.15) a pagina 100. Si ha in tal caso:

ṽ = \frac{RA}{τ} \frac{1}{(s + 1/τ)^{2}}

da cui:

v(t) = \frac{RA}{τ}te^{−t/τ} = \frac{RGN_{e}e}{τ^{2}}te^{−t/τ}

L’andamento della v(t) é qualitativamente mostrato in figura 13.3, nel caso in cui sia τ ≠ τ_{s} ed in figura 13.4 nel caso τ = τ_{s}:

Figura 13.3:

Se caso in cui é τ ≪ τ_{s} l’ampiezza del segnale é ridotta, ma essa riproduce fedelmente la forma del segnale dallo scintillatore. Il tempo di salita é rapido ed é determinato essenzialmente dalla costante di tempo τ del circuito. In tali condizioni si dice che si lavora nel ”modo corrente”, poiché V(t in tali condizioni é una replica della corrente attraverso la resistenza R.

Per τ ≫ τ_{s} l’ampiezza del segnale aumenta, ma contemporaneamente l’impulso si allunga. La durata dell’impulso in tali condizioni é determinato essenzialmente dalla costante di tempo del circuito. Il tempo di salita é invece determinato da τ_{s}, ed é quindi breve. Si dice che si lavora nel ”modo tensione”, poiché ora V(t) é essenzialmente la differenza di potenziale ai capi di C, che ”integra” la corrente.

In genere si preferisce lavorare nel modo tensione, poiché in tali circostanze si hanno impulsi piú elevati ≈ 1 V. Il prezzo che si paga é che gli impulsi sono molto piú lunghi e che, come conseguenza, ad elevati rates di conteggio si puó avere sovrapposizione di impulsi generati da arrivi successivi di particelle sul rivelatore. Tale fenomeno é noto come ”pile-up” e su di esso torneremo in seguito.

Lavorando nel modo corrente si puó eliminare tale inconveniente e si ha inoltre il vantaggio di un segnale che riproduce la forma del segnale emesso dalla scintillatore (che é utile in alcune applicazioni particolari). Il prezzo che si paga é quello di un segnale di pochi mV, quindi fortemente influenzato dal rumore.

Per una trattazione esauriente dei rivelatori a scintillazione e dei fotomoltiplicatori si consulti le referenze [24] o [27].

13.4 Rivelatori a gas

Una particella che attraversi una regione in cui sia presente un gas, puó liberare delle cariche (elettroni e ioni) nella zona attraversata. Se un’opportuna differenza di potenziale é applicata tra elettrodi posti nella medesima regione, nascerá una corrente di drift degli elettroni verso l’elettrodo tenuto a potenziale positivo e degli ioni verso quello tenuto a potenziale negativo. Su tali elettrodi si avrá quindi una corrente, proporzionale al numero di ioni-elettroni prodotti e quindi all’energia che la particella ha perduto nell’attraversare il mezzo.

Il piú antico dei rivelatori a gas, la camera a ionizzazione, ha ora un limitato campo di applicazioni. Un notevole progresso in questo tipo di rivelatori si é avuto con lo sviluppo dei contatori proporzionali, il cui prototipo, mostrato in figura 13.5, é costituito da un cilindro metallico, avente un diametro dell’ordine del centimetro.

Lungo l’asse del cilindro é tenuto sotto una leggera tensione un sottile filamento metallico avente un diametro di poche decine di μm, isolato elettricamente dalle pareti del cilindro.

Il cilindro é chiuso alle estremitá e riempito con un gas a pressione atmosferica. In genere si adopera un gas nobile (Argon) con l’aggiunta di una piccola percentuale (≈ 10%) di un gas quale CO_{2} o CH_{4}. La differenza di potenziale applicata tra il filamento centrale (anodo) e l’involucro metallico (catodo) é di diverse centinaia di volts. Gli elettroni liberati dal passaggio di una particella nel rivelatore sono accelerati verso l’anodo dal campo elettrico (∼ 1/r, con r distanza dall’anodo) ed, in prossimitá di questo hanno ormai acquistato abbastanza energia da ionizzare a loro volta, producendo altri elettroni che sono nuovamente accelerati. Il processo si ripete molte volte fino a generare una carica apprezzabile che é poi raccolta dall’anodo. Gli ioni positivi prodotti migreranno invece verso il catodo producendo un impulso di tensione ^{1} all’uscita (anodo nell’esempio) del rivelatore.

Si puó dimostrare che la forma dell’impulso di tensione é data da:

v(t) = −\frac{q}{4πϵL} ln (1 + \frac{μCV_{0}}{πϵa^{2}} t)

dove:

• L = lunghezza del rivelatore

• ϵ = costante dielettrica del gas

• C = capacitá per unitá di lunghezza del condensatore cilindrico.

• μ = mobilitá degli ioni nel gas (ricordiamo che la mobilitá é il rapporto tra la velocitá di drift ed il campo elettrico)

• V_{0} = potenziale applicato

• q = carica prodotta dalla ionizzazione primaria

• a = raggio del cilindro

• t = tempo (misurato a partire dall’istante in cui la particella é passata)

L’andamento tipico della v(t) é mostrato in figura 13.6:

Il segnale é intrinsecamente lungo. Occorrerá quindi differenziarlo, ad esempio utilizzando un circuito CR. Il segnale risultante dalla differenziazione é mostrato nella stessa figura.

A causa del processo di moltiplicazione a valanga che ha luogo nel gas, e del fatto che é possibile realizzare rivelatori in cui la zona di gas attraversata dalla particella é relativamente spessa (≈ cm), l’ampiezza dei segnali prodotti da tale tipo di rivelatore é intrinsecamente elevata e pone quindi richieste di non grande entitá sull’elettronica posta a valle.

1In realtá il moto degli ioni verso il catodo induce un segnale in corrente. Questo é peró integrato dalla capacitá del rivelatore, producendo cosí un segnale in carica, e quindi una tensione ai capi di tale capacitá

13.5 Rivelatori a semiconduttore

In un normale diodo realizzato mediante una giunzione p-n si ha una corrente apprezzabile solo se la polarizzazione applicata é diretta. L’applicazione invece di una polarizzazione inversa dará luogo ad una corrente molto piccola (la corrente inversa I_{0}) dovuta alla generazione termica di coppie elettrone-lacuna nella zona p ed in quella n (vedi figura 13.7). Attorno alla giunzione si forma quella che é nota come ”zona di svuotamento”, dove é presente un accumulo di cariche negative sul lato ”p’ della giunzione e positive su quello ”n”.

Figura 13.7:

Se una particella ionizzante attraversa la zona di svuotamento, essa libererá coppie elettrone-lacuna lungo il percorso. Come mostrato in figura, gli elettroni generati nella zona di svuotamento sul lato p saranno allora accelerati dal potenziale esterno V applicato e fluiranno verso la zona n. Analogamente, le lacune generate nella zona n in prossimitá della giunzione saranno accelerate dal potenziale V e si muoveranno verso la zona p.

Si avrá in tal modo un improvviso aumento della corrente inversa attraverso il diodo. La misura di tale corrente puó essere utilizzata per rivelare il passaggio della particella ed eventualmente per valutare l’energia che essa ha depositato nell’attraversare il mezzo (la zona di svuotamento).

La generazione di coppie elettrone-lacuna in una giunzione p-n attraversata da una particella carica é, per molti rispetti, simile alla produzione di coppie elettroneione nei rivelatori a gas, con una importante differenza. Mentre nel caso dei rivelatori a gas l’energia necessaria a produrre una coppia era ≈ 30 eV, nel caso di un semiconduttore sono sufficienti 3-4 eV, cioé un ordine di grandezza meno. Poiché la risoluzione in energia del rivelatore é tanto migliore quanto maggiore il numero di coppie prodotte, ne segue un indubbio vantaggio nel caso dei rivelatori a semiconduttore. A ció contribuisce anche la maggior densitá del materiale nel caso di un semiconduttore, rispetto al caso del gas. Per farci un’idea del segnale che possiamo aspettarci in un tipico rivelatore, consideriamo ad esempio il caso di un rivelatore al silicio dello spessore di 300 μm. Una particella ultrarelativistica che attraversa tale spessore, deposita un’energia di circa 116 KeV. Poiché bastano circa 3.6 KeV per produrre una coppia elettrone-lacuna, il numero di coppie prodotte sará:

n_{p} = \frac{116}{3.6} · 1000 ≈ 32200

corrispondenti ad una carica di:

32200 · 1.6 10^{−19} C = 5.16 10^{−15} C

cioé circa 5.1 fC.

I materiali adoperati per realizzare i diodi da usare come rivelatori sono principalmente il silicio ed il germanio. Rivelatori al germanio sono adoperati in misure che richiedano una elevata risoluzione energetica (fino a 150-200 eV). Ció é possibile grazie al fatto che si riesce a produrre Ge con elevatissime purezze (concentrazioni di impurezze che scendono fino a 10^{10} atomi/cm^{3}) il che consente di realizzare diodi al Ge che possono operare con tensioni inverse molto elevate e conseguentemente con zone di svuotamento molto ampie (fino a ≈ 10 mm). Purtroppo, tali rivelatori debbono essere operati a bassissime temperature (≈ 80^{o}K) a causa della bassissima (0.7 eV) differenza di energia tra banda di conduzione e banda di valenza nel Ge. Se un rivelatore al Ge fosse adoperato a temperatura ambiente, la corrente inversa risultante sarebbe inaccettabilmente elevata.

Un uso molto piú diffuso hanno i rivelatori al Si, che possono essere adoperati a temperatura ambiente. I diodi utilizzati come rivelatori in fisica nucleare e subnucleare sono di regola drogati in modo fortemente sbilanciato: un materiale di tipo p viene fortemente drogato n da un lato (o viceversa). Inoltre, lo spessore del materiale di tipo p é molto minore di quello drogato in modo inverso. In tali condizioni la zona di svuotamento verrá ad estendersi in profonditá nel lato p (quello di maggiore spessore), come mostrato in figura 13.8.

La zona di svuotamento si estenderá tanto piú in profonditá all’interno della zona p quanto piú elevata sará la polarizzazione inversa applicata. Si puó dimostrare (ref. [24], pag. 217, [26], pag. 357, [28] pag. 181) che la profonditá della zona di svuotamento é data da:

d ≃ \sqrt{\frac{2ϵV_{0}}{eN_{A}}}

dove V_{0} é la tensione inversa applicata, N_{A} la concentrazione degli accettori (nell’ipotesi N_{D} ≫ N_{A}) ed ϵ la costante dielettrica del materiale.

Come vediamo, la profonditá della zona di svuotamento cresce con la radice quadrata della tensione inversa applicata. Se il rivelatore é di piccolo spessore sará facile raggiungere una tensione tale da far si che la larghezza della zona svuotata, d, divenga praticamente uguale allo spessore del detector. Si dice che il rivelatore é allora completamente svuotato. Nei rivelatori comunemente adoperati, il completo svuotamento si raggiunge per tensioni di 50-100 V.

Questa condizione di lavoro é quella adoperata quasi sempre.

Si puó facilmente vedere che, per un rivelatore completamente svuotato, il campo elettrico decresce linearmente in funzione della distanza x dalla giunzione. Se la tensione inversa applicata é maggiore di quella che corrisponde al completo svuotamento, il campo elettrico sará la somma di tale ”tensione in eccesso” e di quella linearmente decrescente che corrisponde al completo svuotamento. Se la tensione inversa vien fatta aumentare ulteriormente, il termine costante diverrá quello dominante. Useremo nel seguito tale modello.

Dobbiamo ora esaminare i processi che hanno luogo nel rivelatore quando questo é attraversato da una particella carica. Sono possibili due situazioni estreme:

(a) la particella deposita tutta la sua energia in un punto determinato, caratterizzato da un determinato valore di x;

(b) la particella attraversa tutto il rivelatore, depositando energia a tutti i possibili valori di x.

Calcoleremo la risposta temporale del rivelatore nel caso a). La risposta nel caso b) potrá poi essere ottenuta, effettuando una opportuna integrazione, a partire da quella relativa al caso a), dove si intenda per ”energia depositata” quella della singola coppia elettrone-lacuna, nel dato punto del campo presente all’interno del diodo.

Notiamo che il diodo svuotato puó essere assimilato ad un condensatore piano, di spessore pari allo spessore d della zona di svuotamento che, nel caso in esame, coincide in pratica con lo spessore fisico del rivelatore.

Esaminiamo l’effetto che il moto di drift delle cariche (elettroni e lacune) liberate nella zona di svuotamento, ha sulla carica presente sulle ”armature” del condensatore-diodo. La capacitá del condensatore é:

C = ϵ\frac{A}{d}

dove A é la superficie delle ”armature”. Se la differenza di potenziale ai capi del ”condensatore” é V, la sua energia sará:

E = \frac{1}{2}CV^{2} = \frac{Q^{2}}{2C}

Una carica q, posta ad una distanza x dalla giunzione, avrá un’energia:

E = qxE(x) = qxE

dove E é il campo elettrico, che nel caso in esame non dipende da x. Essendo poi E = V/d, avremo:

E = qxE = qx\frac{V}{d}

Se ora la carica si sposta di un tratto infinitesimo dx, la conseguente variazione della sua energia (cioé il lavoro che il campo avrá fatto su di essa) sará:

dE = q \frac{V}{d} dx (13.1)

A questa dovrá corrispondere una variazione dell’energia totale del condensatore:

d (\frac{Q^{2}}{2C} ) = \frac{Q}{C}dQ (13.2)

Uguagliando le espressioni 13.1 e 13.2 si trova:

\frac{Q}{C}dQ = \frac{q}{d}V dx

da cui:

dQ = \frac{q}{d}dx

Nel caso in esame, le cariche che si spostano per effetto del campo elettrico sono l’elettrone e la lacuna prodotta nel punto di ascissa x. Esse si muoveranno in versi opposti ma, avendo cariche opposte, i loro effetti saranno concordi.

L’elettrone si muoverá in direzione opposta a quella del campo elettrico (cioé verso sinistra nella figura), la lacuna nella direzione del campo.

La rispettiva velocitá di drift v_{e} e v_{h} (costanti se il campo é costante) sono date da:

v_{e} = μ_{e}E

v_{h} = μ_{h}E

dove μ_{e} e μ_{h} sono le rispettive mobilitá (che, per il silicio a temperatura ambiente, valgono: μ_{e} ≃ 1350cm^{2}/(V s) e μ_{h} ≃ 480cm^{2}/(V s)).

La carica totale indotta dal moto dell’elettrone al tempo t sará allora:

Q_{e}(t) = \frac{q}{d}v_{e}t

Se indichiamo con N_{e} il numero di elettroni prodotti, la relativa corrente sará:

I_{e}(t) = \frac{N_{e}q}{d} v_{e}

al tempo t = x/v_{e} l’elettrone avrá raggiunto la giunzione (che, nel modello in esame, rappresenta una delle armature del condensatore). La carica finale sará quindi:

Q_{e} (\frac{x}{v_{e}} ) = \frac{q}{d}x

Analogamente, la carica indotta dal moto della lacuna al tempo t sará:

Q_{h}(t) = \frac{q}{d}v_{h}t

e la relativa corrente, per un numero N_{h} di lacune prodotte, sará:

I_{h}(t) = \frac{N_{h}q}{d} v_{h}

Questa sará diversa da zero fino all’istante:

t′ = \frac{d − x}{v_{h}}

Al tale istante la carica Q_{h} avrá raggiunto l’altra armatura. La carica finale indotta dal moto della lacuna sará allora:

Q (\frac{d − x}{v_{h}}) = q \frac{d − x}{d}

La carica complessiva raccolta sará:

\frac{q}{d}x + \frac{q}{d}(d − x) = q

Se la radiazione incidente perde tutta la propria energia appena al di la della giunzione n^{+}−i, x sará molto piccolo ed il contributo degli elettroni sará trascurabile (la relativa corrente si annulla in tempi molto brevi). Sopravvive in tal caso il solo contributo delle lacune.

L’andamento temporale della carica raccolta sará allora quello indicato in figura 13.9.

dove si é fatto l’ipotesi che sia:

\frac{d − x}{v_{h}} ≫ \frac{x}{v_{e}}

Ció é vero nell’ipotesi che la polarizzazione inversa applicata al diodo sia sufficientemente elevata da poter considerare il campo elettrico costante nell’intera zona attiva.

Qualora invece la polarizzazione applicata fosse giusto quella sufficiente ad ottenere il completo svuotamento del rivelatore, il campo avrebbe un andamento linearmente decrescente andando dalla giunzione (valore massimo del campo) all’estremitá della zona attiva del rivelatore (campo nullo). In tal caso le formule ottenute vanno modificate. Il risultato (vedasi [24] e [26]) é:

Q_{e}(t) = \frac{q}{d}x (1 − e^{μ_{e}t/μ_{h}τ} )

Q_{h}(t) = −\frac{q}{d}x (1 − e^{−t/τ} )

dove τ = ϵ/σ, con ϵ la costante dialettica e σ la conduttivitá. Ricordiamo che x é la distanza dalla giunzione del punto dove la coppia é stata prodotta.

La forma del corrispondente impulso di carica é quella mostrata in figura 13.10.

Figura 13.10:

Il parametro τ determina ora il tempo di salita del segnale. In silicio abbiamo τ = ρ 10^{−12} s, con ρ espresso in Ω cm.

Per ρ ≃ 1000 Ω cm, τ = 1 ns.

Notiamo che nel grafico Q_{h}(t) satura asintoticamente al valore qx/d, mentre Q_{e}(t) satura al valore −(q/d)x(1 − d/x).

Notiamo poi che, non essendo presente nel caso dei rivelatori a semiconduttore alcun processo di moltiplicazione come quello incontrato nel caso dei tubi proporzionali, il segnale prodotto da un rivelatore a semiconduttore é relativamente piccolo. Si dovrá quindi ricorrere ad una preamplificazione del segnale prima di ogni ulteriore elaborazione/trasmissione dello stesso. Si dovrá quindi trasformare il segnale in carica in un segnale in tensione ed a tale scopo si ricorrerá ad un amplificatore di carica.

Questo é illustrato nella figura 13.11(a).

Figura 13.11:

In questo circuito C_{d} schematizza la capacitá associata al detector piú eventuali cavetti di collegamento con l’amplificatoree. Poiché C_{d} puó cambiare con la temperatura, scelta del punto di lavoro etc., é importante realizzare un circuito che fornisca una risposta indipendente da tale capacitá. Ció é quanto avviene nel circuito di figura. Per vederlo, ammettiamo che il segnale in ingresso sia un impulso di corrente:

i(t) = Qδ(t)

con:

∫_{0}^{∞} i(t)dt = Q

Facendo uso del teorema di Miller, trasformiamo il circuito in quello mostrato in figura 13.11(b), dove é:

Z′ = \frac{Z}{1 + A}

con A il modulo del guadagno dell’operazionale e Z il parallelo di R con l’impedenza capacitiva associata a C:

Z = \frac{1}{C(s + 1/RC)} = \frac{1}{C(s + 1/τ)}

dove τ = RC.

La trasformata dell’impedenza del parallelo di Z’ e Z_{Cd} é:

\frac{1}{C(1 + A)/τ + [C(1 + A) + C_{d}]}

La risposta sará indipendente da C_{d} se é:

C_{d} ≪ C(1 + A)

In tal caso, l’espressione precedente diventa:

\frac{1}{C(1 + A)} \frac{1}{s + 1/τ} ≡ Z_{T ot}

La tensione all’ingresso dell’operazionale sará ora:

ṽ_{in} = Z_{T ot} · ĩ(s) = Z_{T ot} Q

(poiché la trasformata di Laplace di Qδ(t) é giusto Q).

Da qui segue:

v_{in} = \frac{Q}{C(1 + A)}e^{−t/τ}

v_{out} = \frac{AQ}{C(1 + A)}e^{−t/τ} ≈ \frac{Q}{C}e^{−t/τ}

Quindi la risposta di tale amplificatore dipende solo dalla capacitá di feedback C. Il tempo di caduta del segnale dipende dal prodotto τ = RC.

13.6 Il concetto di equivalent-noise-charge

Se il segnale all’uscita del rivelatore é di piccola ampiezza il rumore elettronico introdotto dal preamplificatore diviene importante. E’ questo il caso dei rivelatori a semiconduttore, ma anche di altri (ad esempio quelli ad Argon liquido) che non possiedono un meccanismo interno di moltiplicazione della carica, quale quello presente invece nei tubi proporzionali.

Poiché il segnale di tensione all’uscita del preamplificatore corrisponde ad una carica all’uscita del rivelatore (la carica accumulata sul condensatore d’ingresso del preamplificatore) si esprime il rumore osservato in uscita, cioé il valore quadratico medio v_{rms} della tensione in uscita, come quella carica che, se presente all’uscita del rivelatore, darebbe all’uscita del preamplificatore una tensione pari a V_{rms}.

Cosí, se indichiamo con C_{in} la capacitá d’ingresso del preamplificatore, A_{0} l’amplificazione ed ENC la ”equivalent noise charge” avremo:

(ENC) = Q = C_{in} \frac{V_{rms}}{A_{0}}

cioé vediamo che la ENC é proporzionale a C_{in}, che quindi é opportuno abbia un valore piccolo.

Le dimensioni della ENC sono Coulomb. Eṕeró uso comune quello di quotarla in ”elettroni”, dividendo il valore in Coulomb per la carica dell’elettrone (1.6 10^{−19} Coulomb).

Nel caso di un rivelatore al silicio (o al germanio) la ENC é legata alla risoluzione in energia. Infatti, per produrre una coppia elettrone- lacuna nel silicio sono necessari 3.66 eV. Se osserviamo un gran numero di eventi in ciascuno dei quali una particella di energia E deposita (per produzione di coppie elettrone-lacuna) tutta la sua energia nel materiale, il numero di coppie sará:

n_{p} = \frac{E (eV)}{3.66} (13.3)

La carica all’uscita del detector sará:

q = n_{p} 1.6 10^{−19} = \frac{E 1.6 10^{−19}}{3.66} (Coulomb) (13.4)

e la tensione all’uscita del preamplificatore:

v = \frac{q}{C_{in}} A_{0} = E \frac{A_{0}}{C_{in}} \frac{1.6}{3.66} 10^{−19} (V olt) (13.5)

Se possono essere trascurate le fluttuazioni statistiche sul numero n_{p} di coppie, la tensione in uscita dovrá avere un valore ben definito, uguale per tutti gli eventi. La distribuzione sará cioé una funzione δ(V). Il rumore del preamplificcatore altera questa situazione. Non avremo piú una funzione δ ma una gaussiana, la cui larghezza a metá altezza é legata al rumore introdotto dall’amplificatore. Se, facendo uso della 13.5 e della conoscenza dei parametri A_{0}, C_{in}, calcoliamo la distribuzione in energia E per il campione di eventi, la alrghezza a metá altezza di tale distribuzione sará data da:

Γ =≡ fwhm = ENC (\frac{3.66 · 2.36}{1.6 10^{−19}}) (13.6)

dove il fattore 2.36 é quello che lega la larghezza a metá altezza alla σ della gaussiana.

13.7 Struttura della catena di rivelazione ed amplificazione

La funzione principale di un amplificatore di impulsi in fisica nucleare/subnucleare é quella di trasformare il debole segnale generato dal rivelatore, dopo averlo amplificato ed opportunamente ”sagomato” in un impulso piú adatto per la successiva elaborazione. Il primo passo di tale elaborazione consiste nell’immagazzinamento (sample and hold) del segnale analogico e nella successiva conversione dell’altezza dell’impulso in un numero (conversione analogico-digitale mediante ADC) ed eventualmente del tempo associato al fronte di salita del segnale in un numero (conversione tempodigitale mediante un TDC).

In tale processo, il rivelatore ha il compito di convertire l’energia depositata in una carica elettrica, che puó dar luogo ad un segnale in corrente, se la costante di tempo associata al rivelatore ed al successivo preamplificatore é piccola rispetto alla durata del processo che dá luogo al deposito di energia nel rivelatore; ad un segnale in carica nel caso opposto.

Il rivelatore é seguito da un preamplificatore, che converte il segnale di carica (o, piú raramente, il segnale di corrente) in un segnale di tensione, con un minimo contributo di rumore. Questo é seguito da un amplificatore-formatore, di cui ci occuperemo nei prossimi paragrafi. Segue poi la catena di lettura.

L’informazione contenuta nell’impulso iniziale deve essere preservata in tale processo. A tale scopo il sistema preamplificatore-formatore-amplificatore deve preservare la relazione lineare tra l’altezza del segnale prodotto dal rivelatore e quella del segnale all’uscita dell’amplificatore, conservando al medesimo tempo l’informazione temporale. La forma, ampiezza e contenuto in rumore del segnale che il preamplificatore fornisce all’amplificatore sono determinati dal rivelatore e dal preamplificatore.

La carica totale generata da ciascuna particella assorbita nel rivelatore é direttamente proporzionale all’energia che essa ha perduta. Si tratta di cariche molto piccole, che variano tra 10^{−15} e 10^{−10} Coulomb/impulso (cioé tra 1 femtoCoulomb e 100 pico-Coulomb).

La durata dell’impulso varia a seconda del rivelatore e, per un dato rivelatore, puó variare con il tipo di particella e con la sua energia. La durata piú breve si ha nel caso dei rivelatori a scintillazione e nei rivelatori a semiconduttore aventi una zona di svuotamento poco profonda. In tali casi, le durate tipiche variano tra 0.1 e 10 ns. Le durate piú lunghe si hanno nel caso dei rivelatori a gas (10 ns-5 μs).

Per ció che concerne l’energia convertita in carica, i fattori di conversione (ϵ) nel caso dei rivelatori a semiconduttore sono 3.6 eV/coppia elettrone-lacuna nel silicio e 2.9 eV nel caso del Germanio. Non si ha moltiplicazione.

Nei rivelatori a scintillazione il valore effettivo di ϵ varia tra 3 e 30 eV/elettrone, con guadagni dell’ordine di 10^{7} nel fotomoltiplicatore.

Nei rivelatori a gas i fattori di conversione valgono 25-35 eV/coppia elettroneione. I fattori di moltiplicazione sono dell’ordine di 10^{4} nel caso dei contatori proporzionali.

Notiamo ancora che, anche nei casi in cui il segnale all’uscita del rivelatore é una corrente, é l’integrale di questa, cioé la carica, che é direttamente legata all’energia rilasciata nel rivelatore. É quindi necessario in tal caso integrare il segnale.

Se la costante di tempo del rivelatore é piccola rispetto alla durata della corrente, la forma del segnale in uscita sará preservata ed avremo un segnale del tipo ”currentmode”. Se viceversa la costante di tempo é grande, il segnale in corrente sará integrato dal detector ed avremo un segnale di tensione in uscita: V=Q/C, dove Q é la carica totale rilasciata nel detector e C é la capacitá d’uscita. L’impulso di tensione avrá poi un decadimento esponenziale con costante di tempo determinata dal rivelatore. Il tempo di salita sará invece coincidente con il tempo di salita dell’impulso di corrente e non dipenderá dalla costante di tempo del rivelatore.

13.8 ”Formazione” dei segnali prodotti da rivelatori di particelle

Sa quanto si é visto nei paragrafi precedenti, il segnale all’uscita del rivelatore é nella piú gran parte dei casi un segnale in carica che, opportunamente integrato, fornisce un segnale in tensione. Tale segnale ha in genere un piccolo tempo di salita (determinato dalla piccola costante di tempo del rivelatore) ma un tempo di decadimento molto lungo (qualche decina di μs). In prima approssimazione possiamo approssimare il segnale come mostrato in figura 13.12(a):

L’altezza del segnale é proporzionale all’energia rilasciata.

Il problema che qui si incontra é costituito dal fatto che, lavorando a rates elevati, i successivi impulsi vengono a sommarsi, di modo che l’altezza di un impulso é la somma di questo e delle code di quelli che lo hanno preceduto, come illustrato in figura 13.12(b)

Figura 13.12:

Tale fenomeno é noto come ”pile-up”.

Per risolvere tale problema occorre trasformare il segnale originale in uno abbastanza stretto da evitare il problema del pile-up, conservando peró l’informazione sull’altezza d’impulso. Un metodo spesso adoperato a tale scopo é quello noto come CR-RC shaping, tramite un circuito che effettua prima una differenziazione e poi un’integrazione del segnale. Un circuito che realizza tale funzione é mostrato in figura 13.13.

Gli inseguitori di tensione con amplificazione unitaria hanno lo scopo di disaccoppiare in continuo. La funzione di trasferimento del circuito é:

G(s) = \frac{sC_{1}R_{1}}{1 + R_{1}C_{1}s} \frac{1}{1 + R_{2}C_{2}s} = \frac{1}{τ} \frac{s}{(s + 1/τ_{1})(s + 1/τ_{2})} (13.7)

Se l’impulso di tensione all’uscita del rivelatore (o dell’integratore alla sua uscita) é un esponenziale caratterizzato da una costante di tempo molto grande, possiamo schematizzarlo approssimativamente con un gradino di tensione. Ricordando che la trasformata del gradino unitario é 1/s, la tensione in uscita dal formatore sará data dall’antitrasformata di:

ṽ_{out} = A\frac{1}{sτ_{2}} \frac{s}{(s + 1/τ_{1})(s + 1/τ_{2})} (13.8)

L’antitrasformata puó essere ricavata seguendo il procedimento adottato in precedenza in questo capitolo. Si trova:

a) per τ_{1} ≠ τ_{2}:

v_{out}(t) = \frac{Aτ_{1}}{τ_{1} − τ_{2}} [e^{−t/τ_{1}} − e^{−t/τ_{2}}] (13.9)

b) per τ_{1} = τ_{2} ≡ τ:

v_{out}(t) = \frac{A}{τ}te^{−t/τ} (13.10)

La forma di tali impulsi, simile nei due casi indicati, é qualitativamente indicata in figura 13.14.

Nella figura, la curva (a) é stata ottenuta facendo uso di valori τ_{1} = 1 μs, τ_{2} = 2 μs; la (b) per τ_{1} = 2 μs, τ_{2} = 1 μs e la (c) per τ_{1} = τ_{2} = 1μs.

Notiamo che nel caso τ_{1} ≠ τ_{2}, il massimo si ha per:

t = \frac{τ_{1}τ_{2}}{τ_{2} − τ_{1}} ln \frac{τ_{2}}{τ_{1}}

Il corrispondente valore di v_{max} puó facilmente essere ottenuto dalla 13.9. Ponendo r = τ_{2}/τ_{1}, troviamo:

v_{max} = \frac{A}{1 − r} [(−r)^{r/(r−1)} − (−r)^{1/(r−1)}]

Per τ_{1} = τ_{2} = τ troviamo invece:

t(v_{max}) = τ e

v_{max} = \frac{A}{e}

La scelta delle costanti di tempo dipende in primo luogo dalla costante di tempo del rivelatore, cioé dal tempo necessario per la raccolta della carica. Se si vuol ridurre il pile-up é desiderabile scegliere dei valori il piú piccoli possibile, in modo da assicurare un rapido ritorno allo zero del segnale in uscita. D’altro canto, il risultato che abbiamo ottenuto era basato sull’ipotesi che il segnale all’ingresso del formatore CR-RC fosse molto lungo, in modo da poterlo approssimare con un gradino.

Se il tempo di decadimento del segnale é invece corto, la funzione di trasferimento continuerá ad esser data dall’equazione 13.7, ma la trasformata dell’input (che é un esponenziale) sará ora:

\frac{1}{s + 1/τ}

e la trasformata dell’output sará:

ṽ_{out} = \frac{s}{τ_{2}(s + 1/τ)(s + 1/τ_{1})(s + 1/τ_{2})} (13.11)

Si puó risolvere tale equazione e far vedere che la soluzione 13.15:

Figura 13.15:

ha l’aspetto mostrato in figura 13.16.

Cioé il segnale raggiunge un massimo, ridiscende fino a raggiungere valori negativi e poi risale lentamente verso lo zero. Tale discesa a valori negativi (in realtá l’impulso é in genere negativo, e si ha poi una risalita verso valori positivi ed una lenta ridiscesa verso lo zero) causa un pile-up di segnali (questa volta il successivo segnale ”siede” sulla coda di un impulso negativo) ed é un difetto da correggere ^{2}.

Notiamo per inciso che la ”coda” é dovuta alla costante di tempo τ dell’amplificatore.

La 13.11 ha uno zero a numeratore e tre poli in s = −1/τ, s = −1/τ_{1}, s = −1/τ_{2}. Se si riesce a trasformarla in una funzione priva di zeri e con solo due poli (come era la 13.8, il problema sará risolto.

La soluzione é stata trovata da Nowlin e Blankenship (Review of Scientific Instruments, 36, 1830 (1965)) ed é nota come ”pole-zero cancellation”.

La modifica da apportare al circuito consiste nel porre una resistenza in parallelo al condensatore che effettua la differenziazione, come mostrato in figura 13.17.

Figura 13.17:

La funzione di trasferimento é:

G(s) = \frac{R_{1}(1 + RC_{1}s)}{R_{1}(1 + R_{1}C_{1}s) + R} · \frac{1}{sC_{2}R_{2} + 1}

che, ponendo:

τ′ = RC_{1} , τ′′ = τ′ \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} , τ_{2} = R_{2}C_{2}

2Questo é noto come ”undershoot”

puó essere messa nella forma:

G(s) = \frac{s + 1/τ′}{s + 1/τ′′} \frac{1}{s + 1/τ_{2}}

La trasformata della risposta all’esponenziale:

Ae^{−t/τ}

sará:

ṽ_{out} = \frac{A}{τ_{2}} \frac{1}{s + 1/τ} \frac{s + 1/τ′}{s + 1/τ′′} \frac{1}{s + 1/τ_{2}}

Scegliendo ora R e C_{1} in modo tale che τ′ = τ, si ottiene:

ṽ_{out} = \frac{A}{τ_{2}} \frac{1}{(s + 1/τ′′)(s + 1/τ_{2})}

Cioé abbiamo una risposta del tipo desiderato.

Possiamo scegliere ancora R_{1} in modo tale che τ′′ sia uguale al vecchio valore di τ_{1}, ed il risultato sará esattamente quello voluto.

Notiamo che, con il procedimento adottato abbiamo ”spostato” la posizione dello zero della funzione di trasferimento iniziale in uno zero nel punto 1/τ′ ed abbiamo fatto in modo che τ′ fosse giusto uguale alla costante di tempo τ dell’esponenziale in ingresso, in modo tale da ”cancellare” lo zero con il polo in s = −1/τ. . Di qui l’origine del nome.

13.9 Altri metodi di ”shaping” dei segnali

Esistono molti altri metodi per la formazione (shaping dei segnali). Dettagli possono esser trovati nelle referenze: [23] (pagg. 91 e seguenti), [24] (pagg. 272-275), [26] (pagg. 564-582).

Ci limiteremo qui ad accennare sommariamente ad alcuni dei metodi seguiti.

13.9.1 Shaping CR − (RC)^{n}

Questo é anche noto come ”shaping gaussiano”.

Se facciamo seguire ad un singolo circuito CR (differenziatore) n circuiti RC (integratori) si ottiene un impulso in uscita che é, con buona approssimazione, una gaussiana. Se tutte le costanti di tempo sono uguali a τ, la soluzione é:

v_{out} = v_{0} (\frac{t}{τ} )^{n} e^{−t/τ}

In pratica, un circuito CR − (RC)^{4} da giá dei buoni risultati.

In tale circuito, il tempo necessario perché il segnale raggiunga il suo valore massimo é nτ, ed é quindi piú lungo di quello ottenibile con un semplice circuito CR-RC. Tuttavia la discesa a zero é molto piú rapida ed il pileup é quindi ridotto. Il metodo dello shaping gaussiano ha inoltre anche il vantaggio di migliorare il rapporto segnale/rumore.

13.9.2 Shaping triangolare

É stato dimostrato che l’ottimo dal punto di vista del rapporto segnale-rumore é ottenibile con un circuito che fornisca un segnale triangolare. É possibile approssimare tale comportamento facendo uso di filtri attivi.

13.10 Spostamento della linea di zero

Con tale termine si intende il fatto che un segnale periodico (o all’incirca periodico) il cui valor medio sia diverso da zero, acquista un valor medio zero se lo si fa passare attraverso un condensatore. Ció é legato al fatto che un condensatore non puó trasmettere una componente continua. Poiché i formatori (shapers) che abbiamo descritto utilizzano tutti dei condensatori in serie per effettuare la differenziazione del sengale, questo sará inevitabilmente spostato in modo che il valor medio sia nullo (vedi figura 13.18).

Figura 13.18:

Tale fwenomeno (comunemente indicato come ”baseline shift”) causa un’alterazione dell’ampiezza dei singoli impulsi, normalmente riferita allo zero. Si puó inoltre vedere che lo spostamento dipende dalla frequenza di arrivo degli impulsi, il che lo rende ancora piú noioso.

Si puó ovviare a tale problema essenzialmente con due tecniche diverse. La prima di queste, nota come ”baseline restoration” consiste nell’utilizzo di appositi circuiti che ”riportano” il segnale a zero dopo ciascun impulso. Per dettagli, si vedano le referenze [23] e [26].

La seconda tecnica consiste nel trasformare l’impulso unipolare come quello fin qui ipotizzato, in un impulso bipolare. Questo ha giá un valor medio nullo e non subisce quindi alcuno ”shift” nell’attraversare un condensatore. L’impulso bipolare é ottenuto da quello unipolare facendo in modo che questo subisca una ”riflessione” e facendo poi seguire al segnale iniziale quello riflesso, come qualitativamente indicato in figura 13.19.

Il metodo piú ovvio per realizzare tale riflessione dell’impulso é quello di ricorrere ad una linea di ritardo cortocircuitata ad un’estremitá. Poiché il coefficiente di riflessione ρ di una linea avente impedenza caratteristica Z, chiusa su di una resistenza R é:

ρ = \frac{R − Z}{R + Z}

Si vede che per R=0 si ha ρ = −1. Un gradino sará quindi trasformato in un segnale rettangolare di durata pari al doppio del ritardo caratteristico della linea. Uno schema tipico é mostrato in figura 13.20:

Figura 13.20:

Se a questa prima riflessione se ne fa seguire una seconda, come mostrato nella parte destra della figura, si ottiene un impulso bipolare. Questo non presenta piú il problema del ”basaline shift”, ma ha l’inconveniente di uno spettro di Fourier molto ampio, con conseguente necessitá di amplificatori ad ampia banda passante il che introduce un elevato livello di rumore. Per ovviare a tale inconveniente conviene integrare il segnale all’uscita della seconda linea di ritardo, ottenendo in tal modo un segnale triangolare, come mostrato in figura 13.21.

Il segnale cosí ottenuto é nuovamente positivo e presenta quindi nuovamente il problema della ”baseline shift”. Una seconda differenziazione con una ”delay line” lo trasformerá nuovamente in un segnale bipolare, conservando la forma triangolare, che é molto buona dal punto di vista del rumore.

Un metodo alternativo per ottenere un impulso bipolare é quello di effettuare una seconda differenziazione dopo la prima formazione CR-RC. Si adopererá cioé un sistema CR-RC-CR. Questo schema é mostrato in figura 13.22.

La forma d’onda che ne risulta, per un impulso esponenziale in ingresso, é mostrata in figura 13.23.

Vediamo che ora lo spostamento dello zero é meno severo di quello che si ha con segnali unipolari. Tuttavia le aree sopra e sotto l’asse non sono esattamente uguali, quindi un piccolo spostamento dello zero é sempre presente.

Figura 13.22:

13.11 Deficit balistico e scelta delle costanti di

tempo

Il segnale ottenuto facendo uso di uno shaping CR-RC ha un andamento temporale dato dalla 13.9, che possiamo riscrivere nella forma:

v_{out}(t) = A\frac{τ_{F}}{τ_{F} + τ_{R}} (e^{−t/τ_{F}} − e^{−t/τ_{R}})

dove abbiamo posto:

τ_{F} ≡ τ_{1} , τ_{R} = τ_{2} Possiamo vedere che τ_{F} é legato al tempo di discesa del segnale e τ_{R} a quello di

salita. Vediamo infatti che per τ_{F} → ∞, l’espressione in parentesi diventa:

1 − e^{−t/τ_{R}} che descrive un esponenziale crescente con costante τ_{R}. Analogamente, per τ_{R} → 0 l’espressione in parentesi si riduce a :

e^{−t/τ_{F}} cioé ad un esponenziale decrescente con costante di tempo τ_{F}. Ammettiamo ora che il tempo di salita τ_{R} sia quello caratteristico del rivelatore

medesimo. L’altezza dell’impulso associato al segnale é proporzionale all’energia rilasciata dalla particella nel rivelatore. Il segnale di tensione tenderebbe a divenire asintoticamente uguale a tale valore, se il termine exp(−t/τ_{F} non intervenisse a farlo scendere verso lo zero. Ció é illustrato nella figura che segue.

Alla differenza tra il valore asintotico che il segnale tenderebbe ad acquistare per effetto dell’integrazione ed il valore massimo che esso effettivamente raggiunge prima di ricominciare a scendere per effetto della differenziazione, si dá il nome di ”deficit balistico”.

Si potrebbe pensare di ridurre il deficit balistico scegliendo un valore di τ_{F} molto grande. Tale scelta va peró contro l’esigenza di avere dei segnali corti, per evitare il fenomeno del ”pile-up”.

Nella figura che segue é mostrato l’andamento ottenuto facendo uso della (*) a pag. 36 (con A=1) fissando τ_{R} a 1 μs e facendo variare τ_{F} tra 2 · τ_{R} (curva inferiore) e 20 · τ_{R} (curva superiore) in steps di 2 μ s.

Se si fa uso di una shaping triangolare, con: e poniamo la risposta in frequenza dell’am...... sará:

La tensione quadratica media di rumore é allora:

Ammettiamo ora che Q sia la carica che il rivelatore deposita sulla capacitá d’ingresso dell’amplificatore ( ). Se é il guadagno dell’amplificatore, il segnale in uscita sará:

Tuttavia, in presenza di uno shoping triangolare, con , il guadagno é ridotto di un fattore . Cioé:

La ENC si ottiene uguagliando la (1) ed il quadrato della 2:

I primi due termini non dipendono da , i restanti due ne dipendono. Ció é legato al fatto che per i primi due termini la sorgente di rumore, come il segnale, puó esser considerata in parallelo alla capacitá

Per i rimanenti due la sorgente di rumore é in serie. Esaminiamo ora la dipendenza del rumore da . Riserviamo a tale scopo la (3) nella forma:

Avremo un minimo quando la derivata prima si annulla:

(La derivata seconda é: Sostituendo questo nella (4) si trova il minimo valore del ENC:

Vediamo che con questa scelta i primi due termini contribuiscono in ugual misura. Essi corrispondono rispettivamente al rumore termico nella resistenza di gate ed allo shot noise nella corrente di gate. Sostituendo valori numerici tipici si trova che deve essere almeno dell’ordine dei . Questo valore é troppo alto se si lavora a ratei elevati. Scegliendo valori di molto minori di quello ottimale, il contributo del rumore termico nel canale diviene dominante sui primi due. Se il rumore 1/f puó essere trascurato, il rumore complessivo avviene:

o anche:

Inoltre puó esser diviso in due pezzi: la capacitá esterna all’amplificatore (cavi, rivelatore, etc.) e quella del FET:

Nel caso dei preamplificatori commerciali, i produttori quotano le costanti e (per valori dati di ), in opportune unitá (vedi sotto).

ENC é espressa in Coulomb e anche in numero di elettroni. Nel caso dei rivelatori a semiconduttore FWHM Kev (Silicio)

(*) In realtá il moto degli ioni verso il catodo induce un segnale in corrente. Questo é peró integrato dalla capacitá del rivelatore, producendo cosí un segnale di tensione. (*) Questo é noto come ”undershoot”.

380

Bibliografia

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Indice

1 Sistemi Logici 1 1.1 Sistemi di numerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Il codice Grey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Porte logiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Algebra di Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Identitá Booleane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Leggi di De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Forme standard di funzioni logiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 Operazioni aritmetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8 Sottrazione binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.9 Rappresentazione dei numeri negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10 Comparatori digitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.11 Paritá di un numero binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.12 Codificatori/Decodificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.13 Multiplexer/Demultiplexer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.14 Registri e memorie: i Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.15 Shift-Registers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.16 Applicazioni degli Shift-Registers e dei Flip-Flop . . . . . . . . . . . . 45

1.16.1 Applicazioni degli shift-registers . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.16.2 Applicazioni dei FF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.17 Alcune applicazioni pratiche di registri e contatori in esperimenti di

fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.18 Decodificatori e Display . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.19 Moltiplicazione e divisione in binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.20 La divisione in binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2 Linee di trasmissione 67 2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2 Cavi coassiali: principi generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3 Riflessioni alle estremitá di una linea di trasmissione . . . . . . . . . . 71 2.4 Riflessioni multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.5 Effetti resistivi nelle linee di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.6 Adattamento d’impedenza per una linea di trasmissione . . . . . . . . 76 2.7 Linee di trasmissione commerciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3 Uso delle trasformate di Fourier e di Laplace nella soluzione di problemi relativi a sistemi elettronici 81 3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2 La trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3 Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4 Esempi di calcolo di antitrasformate di Laplace . . . . . . . . . . . . 90 3.5 Risposta di un circuito ad un’eccitazione di forma generica . . . . . . 94 3.6 Calcolo dell’antitrasformata di Laplace per una funzione esprimibile

come rapporto di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.7 Circuito LCR eccitato da un gradino unitario di tensione . . . . . . . 100 3.8 Risposta di un circuito CR ad un segnale sinusoidale . . . . . . . . . 104 3.9 Riflessione di un impulso rettangolare all’estremitá di una linea di

ritardo chiusa su di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 Rappresentazione grafica di funzioni di trasferimento in elettronica 111 4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2 Diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.3 Quadripoli del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4 Funzioni di trasferimento con due poli complessi coniugati . . . . . . 123 4.5 Diagrammi di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5 Amplificatori operazionali 131 5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.2 Proprietá degli amplificatori operazionali . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.3 Ingresso differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.4 Amplificatori Operazionali: alcune applicazioni . . . . . . . . . . . . . 134 5.5 Amplificatori invertenti e non-invertenti realizzati con operazionali . . 134 5.6 Impedenza d’ingresso dell’amplificatore invertente . . . . . . . . . . . 137 5.7 Impedenza d’uscita dell’amplificatore invertente . . . . . . . . . . . . 138 5.8 Amplificatore non-invertente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.9 Impedenza d’ingresso dell’amplificatore non-invertente . . . . . . . . . 140 5.10 Impedenza d’uscita dell’amplificatore non-invertente . . . . . . . . . . 141 5.11 Amplificatore della differenza di due segnali . . . . . . . . . . . . . . 141 5.12 Amplificatore della somma di due o piú segnali . . . . . . . . . . . . . 142 5.13 Integratore realizzato tramite un operazionale . . . . . . . . . . . . . 143 5.14 Derivatore realizzato tramite un operazionale . . . . . . . . . . . . . . 147 5.15 Amplificatore di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.16 Tensione di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.17 Convertitori corrente-tensione e tensione-corrente . . . . . . . . . . . 153 5.18 Applicazioni non-lineari degli operazionali . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.19 Comparatore con isteresi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.20 Multivibratore astabile (generatore di onde rettangolari) . . . . . . . 159 5.21 Multivibratore monostabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.22 Generatore di onde triangolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.23 Limitatori e rettificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.24 Rivelatori di picco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.25 Limiti degli amplificatori operazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6 Il timer 555 179

6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.1.1 Multivibratore astabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.2 Multivibratore monostabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.3 Trigger di Schmitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.4 Convertitore tensione-frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7 Filtri attivi 187

7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

7.1.1 Caratteristiche di risposta dei filtri . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.2 Generalitá sui filtri attivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 7.3 Funzione biquadratica di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.4 Filtri di Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.5 Filtro di Butterworth del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.6 Alcune considerazioni sulla conversione di impedenze tramite opera-

zionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7.7 Corrispondenze tra tipi diversi di filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.8 Il ”ripple” nei filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.9 Filtri di Bessel e di Chebyshev. Confonto tra diversi tipi di filtro … 205 7.10 Filtri attivi a retroazione multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.11 Filtri notch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.12 Filtri a condensatori commutati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

8 Oscillatori sinusoidali 217 8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.2 Realizzazione di un oscillatore sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.3 L’oscillatore a sfasamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.4 Oscillatore a sfasamento a transistor bipolare . . . . . . . . . . . . . . 224 8.5 L’oscillatore sinusoidale in quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 8.6 Circuiti limitatori negli oscillatori sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . 228 8.7 Oscillatore a mezzo ponte di Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.8 L’oscillatore a ponte di Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9 Il rumore nei circuiti elettronici 235 9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.2 Processi stocastici stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

9.2.1 Descrizione nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.2.2 Analisi nel dominio della frequenza . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.2.3 Determinazione sperimentale della densità spettrale . . . . . . 245

9.3 Rumore termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

9.3.1 Metodo di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 9.4 Il rumore di tipo shot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.5 Rumore 1/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 9.6 Circuiti equivalenti per il rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 9.7 Rumore in un quadripolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.8 Dipendenza del rapporto segnale/rumore in un quadripolo dalla resi-

stenza della sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 9.9 Cifra di rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 9.10 Rumore nel caso di una catena di piú amplificatori in cascata . . . . . 257 9.11 Espressione analitica della cifra di rumore . . . . . . . . . . . . . . . 258 9.12 Temperatura di rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 9.13 Esempio: Transistor bipolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 9.14 Il rumore nei componenti elettronici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 9.14.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 9.14.2 Il rumore nel transistor bipolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 9.14.3 Il rumore nei FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.15 Appendice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 9.16 Appendice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 9.17 Appendice C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

10 Convertitori Digitale-Analogico ed Analogico-Digitale 277 10.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 10.2 Circuiti di Sample-and-Hold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 10.3 Convertitori Digitale-Analogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 10.4 Convertitori Digitale-Analogico pilotati in corrente . . . . . . . . . . 288 10.5 Convertitori Analogico-Digitale (ADC) . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

10.5.1 ADC a contatore (Counting ADC) . . . . . . . . . . . . . . . 290 10.5.2 ADC ad approssimazioni successive . . . . . . . . . . . . . . . 291 10.5.3 Convertitore ADC a rampa singola . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.5.4 L’ADC a doppia rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 10.5.5 Flash ADC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

10.6 Caratteristiche dei DAC ed ADC commerciali . . . . . . . . . . . . . 298

11 Il feedback negli amplificatori 301 11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 11.2 Classificazione degli amplificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 11.3 Il concetto di feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 11.4 Tipi di feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 11.5 Feedback: considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

11.5.1 Proprietá della retroazione negativa . . . . . . . . . . . . . . . 308 11.5.2 Funzione di sensibilitá di un amplificatore con feedback …. 308

11.6 Effetto del feedback negativo sull’impedenza d’ingresso e su quella d’uscita degli amplificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 11.6.1 Impedenze d’ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 11.6.2 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 11.6.3 Impedenze d’uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 11.6.4 Effetto del feedback sulle impedenze d’ingresso e d’uscita: som-

mario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

11.7 Individuazione del tipo di reazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 11.8 Analisi dettagliata dei circuiti con feedback . . . . . . . . . . . . . . . 317 11.9 Risposta in frequenza di un amplificatore con feedback . . . . . . . . 325

12 Caratteristiche dei FET ed amplificatori a FET 329 12.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 12.2 Caratteristiche dei FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 12.3 Circuito equivalente del FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 12.4 Schemi di polarizzazione per il FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 12.5 Amplificatori a FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 12.6 Inseguitore di source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 12.7 Amplificatore a FET: struttura generale . . . . . . . . . . . . . . . . 341 12.8 Risposta in frequenza di un amplificatore a FET . . . . . . . . . . . . 344

12.8.1 Risposta alle alte frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 12.8.2 Risposta alle basse frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 12.8.3 Risposta sull’intero spettro di frequenze . . . . . . . . . . . . 351

13 Preamplificatori ad amplificatori per rivelatori di particelle 353 13.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 13.2 Rivelatori a scintillazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 13.3 Forma dell’impulso all’uscita del fotomoltiplicatore . . . . . . . . . . 356 13.4 Rivelatori a gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 13.5 Rivelatori a semiconduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 13.6 Il concetto di equivalent-noise-charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 13.7 Struttura della catena di rivelazione ed amplificazione . . . . . . . . . 368 13.8 ”Formazione” dei segnali prodotti da rivelatori di particelle . . . . . . 370 13.9 Altri metodi di ”shaping” dei segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

13.9.1 Shaping CR − (RC)^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 13.9.2 Shaping triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

13.10Spostamento della linea di zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 13.11Deficit balistico e scelta delle costanti di tempo . . . . . . . . . . . . 377