\chapter{\bf Linee di trasmissione}

\section{Introduzione}
  
Nelle odierne trasmissioni televisive via satellite si opera a frequenze di
diversi GHz. I segnali che il decoder riceve sono tipicamente dell'ordine
del GHz. Segnali di frequenza similmente elevata sono utilizzati nelle normali
trasmissioni televisive, nonch\'e nei sistemi di trasmissione dati.

I cavi elettrici che trasportano i segnali ai sistemi di decodifica/ricezione 
debbono essere tali da non introdurre distorsioni e da non attenuare 
apprezzabilmente il segnale. Se si adoperassero a tale scopo delle normali
coppie di conduttori elettrici, si avrebbe una certa attenuazione. A questa
si potrebbe pensare di ovviare con un successivo stadio di amplificazione.
Purtroppo ci\'o non aiuterebbe, poich\'e l'attenuazione introdotta da un 
normale cavo elettrico \'e funzione
della frequenza. Ci\'o fa s\'i che il segnale che arriva al ricevitore sia
fortemente distorto.

Nel campo dell'elettronica digitale veloce \'e necessario trasmettere
dei segnali logici costituiti da impulsi molto brevi (dell'ordine del ns), con 
ripidi fronti di salita e di discesa. Anche in tal caso, l'uso di normali
cavi conduttori allungherebbe i fronti di salita e discesa, oltre a deformare
la forma dell'impulso, con conseguenze disastrose per i sistemi di decodifica.
Occorre quindi realizzare degli opportuni conduttori che abbiano bassa
attenuazione (in modo da consentire la trasmissione su cavi molto lunghi)
e sopratutto che non siano tali da introdurre distorsioni. Inoltre, tali
conduttori debbono risultare immuni da disturbi elettromagnetici eventualmente 
presenti nell'ambiente.

I conduttori pi\'u comunemente adoperati a tale scopo sono i cavi coassiali,
il cui uso \'e ormai ampiamente diffuso nel settore della comunicazione, come
in quello della Fisica ed in molti settori dell'Industria.

Un uso importante che di tali cavi si fa in Fisica (specie in Fisica 
subnucleare) \'e quello di ''ritardare'' un segnale elettronico di una
quantit\'a predeterminata. Si parla in tal caso di \emph{linee di ritardo}.

\section{Cavi coassiali: principi generali}
In questa sezione discuteremo il principio di funzionamento di un cavo
coassiale, ammettendo che esso sia privo di perdite, quali potrebbero
nascere da effetti resistivi o da perdite nel dielettrico. Esamineremo
alla fine del capitolo le complicazioni che possono esser causate da
tali fattori.

Schematizzeremo un cavo coassiale come in figura~\ref{coaxial}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=coaxial.eps,width=12.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{coaxial}
\end{figure}


  
Il conduttore interno ha raggio r, quello esterno R. Sappiamo che, ad una 
lunghezza unitaria di cavo \'e associata una capacit\'a $C_0$ data da: 
\[
C_0\:=\:\frac{2\pi \epsilon}{\ln(R/r)}\:\:[F]
\]

 
dove $\epsilon=\epsilon_0 \epsilon_r$ ed $\epsilon_r$ \'e la costante 
dielettrica relativa del mezzo compreso tra il conduttore interno e quello 
esterno.  
Analogamente, ad una lunghezza unitaria di conduttore \'e associata 
un'induttanza L: 

\[
L_0\:=\:\frac{\mu}{2\pi } \ln(R/r)\:\:[H]
\]

dove $\mu\:=\:\mu_0 \mu_r$ \'e il prodotto della permeabilit\'a magnetica del 
vuoto per la permeabilit\'a magnetica relativa.
 
Se il cavo ha lunghezza x, la sua capacit\'a ed induttanza saranno:  
\[ 
C\:=\:C_0 x
\]
\[ 
L\:=\:L_0 x
\]
  
 
Ammettiamo ora che ad un estremo del cavo sia applicato un segnale di tensione 
V. Il cavo, inizialmente scarico, comincer\'a caricarsi ed una corrente I 
fluir\'a nel conduttore. Potremo schematizzare la propagazione dei segnali di 
tensione e corrente nel cavo come mostrato in figura~\ref{i(x+dx)}. 

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=i(x+dx).eps,width=12.0 cm,
height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{i(x+dx)}
\end{figure}

 
 
Qui si deve immaginare che sia stata fatta un'''istantanea'' ad un preciso 
istante t. Infatti sia V(x) che I(x) saranno in genere anche funzioni del tempo.  
Sappiamo che un'induttanza percorsa da una corrente variabile genera una 
differenza di potenziale ai propri capi data da:
\[
\Delta V\:=\:-L\:\frac{dI}{dt} 
\]
 
Nel nostro caso, l'induttanza  $L \Delta x$ associata al tratto $\Delta x$ di 
cavo genera una differenza di potenziale tra i suoi estremi (i punti a e b) data 
da:  
\[
V(x+\Delta x)-V(x)\:=\:-L_0 \Delta x \frac{\partial I}{\partial t}
\]
 
dove abbiamo usato il simbolo ($\partial$) di derivata parziale, poiche I e' 
funzione di x oltre che di t. 
 
Questa , al limite $\Delta x \rightarrow 0$ fornisce:   
\begin{equation}
\frac{\partial V}{\partial x}\:=\:-L_0 \frac{\partial I}{\partial t} 
\label{diffequation1}  
\end{equation}

La capacit\'a associata al tratto di cavo compreso tra a e b ($C_0 \Delta x$) 
possiede una carica Q data da:  
\[
Q\:=\:C V \:=\:C_0 \Delta x V
\]

dove V \'e la differenza di potenziale media tra conduttore interno e conduttore 
esterno nel tratto $\Delta x$. Poich\'e prenderemo il limite $\Delta x 
\rightarrow 0$, questa sar\'a la differenza di potenziale tra i due conduttori 
nel punto x.  
La corrente netta uscente dal tratto di lunghezza $\Delta x$ \'e:  
\[
\Delta I \:=\:I(x+\Delta x)-I(x)\:=\:-\frac{dQ}{dt}\:=\:-C \:
\frac{\partial V}{\partial t}\:=\:-C_0 \Delta x \:\frac{\partial V}{\partial t}
\]
Al limite $\Delta x \rightarrow 0$ questa fornisce:  
\begin{equation}
\frac{\partial I}{\partial x}\:=\:-C_0 \frac{\partial V}{\partial t} 
\label{diffequation2}  
\end{equation}

L'equazione~\ref{diffequation1} ci dice che la corrente variabile genera un
gradiente  di tensione; la~\ref{diffequation2} ci dice che la tensione variabile 
genera un gradiente di corrente.
  
Derivando la~\ref{diffequation1} rispetto a t e la~\ref{diffequation2} rispetto 
ad x, si trova:
  
\begin{equation}
\frac{\partial^2 V}{\partial x \partial t}\:=\:-L_0 \frac{\partial^2 I}{\partial 
t^2}  
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial^2 I}{\partial x^2}\:=\:-C_0 \frac{\partial^2 V}{\partial 
t \partial x}  
\end{equation}

Da queste si ottiene poi:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 I}{\partial x^2}\:=\:C_0 L_0 \frac{\partial^2 I}{\partial t^2}  
\label{waveequation1}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}\:=\:C_0 L_0 \frac{\partial^2 V}{\partial t^2}  
\label{waveequation2}
\end{equation}


  
 
Cio\'e troviamo l'importante risultato che sia V che I soddisfano l'equazione 
delle onde con $u=\sqrt{\frac{1}{L_0 C_0}}$. La costante u \'e la velocit\'a di 
propagazione dell'onda. Il suo inverso \'e il ritardo per unita' di lunghezza.
La soluzione, sia per V che per I, sar\'a quindi della forma $f(x\pm u t)$. 
 
Ne segue che un qualsiasi segnale sinusoidale si propagher\'a lungo il cavo con 
la medesima velocit\'a u,  qualunque sia la frequenza f del segnale. Di qui 
segue, facendo uso dello sviluppo in  serie di Fourier di un segnale periodico 
qualsiasi, che il sistema non introduce distorsioni.  
Si noti che il risultato raggiunto \'e vero per un qualsiasi cavo coassiale a 
condizione di trascurare le perdite .  

Esaminiamo ora la propagazione di un gradino di tensione come quello indicato in 
figura~\ref{frontedonda}, lungo un cavo coassiale.  

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=frontedonda.eps,width=12.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{frontedonda}
\end{figure}
 
Se il gradino di tensione \'e applicato ad una estremit\'a della linea al tempo 
t=0, esso comincer\'a a caricare la linea, ed un impulso di corrente si 
propagher\'a lungo questa con velocit\'a u. Il fronte di tensione si propaghera 
con la medesima velocit\'a. Al tempo t, la carica totale accumulata in un tratto 
di linea di lunghezza $x=u t$ sar\'a:
\[
Q =I t
\]
  
con $Q =C V\:=\:C_0 x V\:=\:C_0 u  t V$. 
 
Notiamo che  V \'e l'altezza del fronte di tensione, che \'e costante.  
Quindi:  
\[
I\:=\:\frac{dQ}{dt}\:=\:C_0 u V\:=\:\sqrt{\frac{C_0}{L_0}} V
\]

 
Il rapporto in ogni punto tra tensione e corrente sar\'a:  

\begin{equation}
Z_0\:=\:\frac{V}{I}\:=\:\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}   \label{Z0_Impedance}
\end{equation}
 
Questa va sotto il nome di impedenza caratteristica della linea.
  
Notiamo che $Z_0$ ha le dimensioni di una resistenza, ma ci\'o non deve far 
pensare che la linea sia assimilabile ad una impedenza di valore $Z_0$. Il 
significato di $Z_0$ \'e solo quello del rapporto tra tensione  e corrente per 
un'onda che viaggi lungo la linea. A destra del fronte d'onda la tensione \'e 
nulla, come nulla \'e la corrente.
  
Per un'onda che si propaghi in verso contrario adotteremo la convenzione di 
scegliere il segno negativo per la corrente, con che:  

\begin{equation}
\frac{V}{I}\:=\: -Z_0 \:=\:-\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}   \label{Rev_Z0_Impedance}
\end{equation}

 
Valori tipici di $Z_0$ sono nel campo ($50-200~\Omega$).  

Valori di Z pi\'u elevati (fino a qualche $k\Omega$) possono essere ottenuti 
aumentando L. 
Ci\'o si pu\'o realizzare con un cavo che utilizzi un conduttore interno avvolto 
a spirale, eventualmente su di un supporto centrale di materiale ferromagnetico. 
Se il solenoide \'e fittamente avvolto, il campo magnetico nella zona compresa 
tra i due conduttori \'e trascurabile rispetto a quello nel conduttore centrale. 
L'induttanza \'e quindi determinata dal conduttore interno solenoidale e vale:  
 
\[
L_0\:=\:\frac{\mu n^2 \pi a^2}{4}\:=\:\mu_r n^2 \pi^2 a^2 \cdot 10^{-
7}\:\:\left(H/m\right)
\]

Essendo il ritardo per unit\'a di lunghezza della linea proporzionale, a 
parit\'a di $C_0$, alla $\sqrt{L_0}$, ne segue che questo tipo di linea ad alto 
$Z_0$ avr\'a anche un elevato valore del ritardo per unit\'a di lunghezza.  

\section{Riflessioni alle estremit\'a di una linea di trasmissione}. 

Se l'onda di tensione \'e progressiva (cio\'e si propaga nel verso crescente 
delle x) essa sar\'a del tipo:  
\[
V\:=\:f\left(t-\frac{x}{u}\right)
\]
 
Se essa \'e regressiva:  

\[
V\:=\:f\left(t+\frac{x}{u}\right)
\]

 
L'onda di corrente sar\'a:  
 
\[
I\:=\:\frac{1}{Z_0}f\left(t \pm \frac{x}{u}\right)
\]


Agli estremi della linea debbono per\'o essere soddisfatte delle condizioni al 
contorno. Ammettiamo infatti che la linea sia chiusa su di una resistenza R, di 
valore diverso da $Z_0$. In tal caso, all'estremit\'a della linea dovr\'a esser 
soddisfatta la condizione:  
\[
\frac{V}{I}\:=\:R\:\neq \:Z_0
\]
 

che l'onda incidente non pu\'o soddisfare. Dovr\'a allora aver origine un'onda 
riflessa (di tensione e corrente) tale che la somma delle onde incidente e 
riflessa soddisfi la condizione.
  
Se indichiamo con $\rho$ il coefficiente di riflessione, cio\'e se $\rho V$ ($-1 
\le \rho \le 1$) \'e l'ampiezza di tensione dell'onda riflessa, l'ampiezza di 
corrente della stessa sar\'a:

\[
I_r\:=\:-\rho \frac{V}{Z_0}
\]
  
Le ampiezze complessive di tensione e di corrente all'estremit\'a della linea 
saranno allora:  

\[
V_t\:=\:V(1+\rho)
\]
\[
I_t\:=\:I+I_r\:=\:\frac{V}{Z_0}(1-\rho)
\]

 
Il rapporto $V_t/I_t$ sar\'a quindi:  

\[
\frac{V_t}{I_t}\:=\:Z_0\frac{1+\rho}{1-\rho}
\]
 

che deve uguagliare  R. Ne segue  
\[
\frac{R}{Z_0}\:=\:\frac{1+\rho}{1-\rho}
\]

 
da cui:  
 
\begin{equation}\rho\:=\:\frac{R-Z_0}{R+Z_0}  \label{reflection_coefficient}
\end{equation}

cio\'e l'onda riflessa avr\'a ampiezza pari a $\rho$V. Il parametro $\rho$ \'e 
noto come \emph{coefficiente di riflessione}.

Esaminiamo ora i seguenti casi particolari:  
\begin{description}
\item[(a)]{$R=0 \rightarrow \rho=-1$. In tal caso l'onda di tensione riflessa 
\'e 
capovolta rispetto a quella incidente}
\item[(b)]{$R=\infty \rightarrow \rho = +1$. In tal caso l'onda riflessa \'e 
uguale a quella incidente}
\item[(c)]{$R=Z_0 \rightarrow \rho = 0$. In tal caso non c'\'e onda riflessa. Si 
dice che la linea \'e \emph{chiusa sulla sua impedenza caratteristica}}
\end{description}

Consideriamo ora un generatore di segnali, avente una impedenza d'uscita $R_s$,
chiuso su di una linea di trasmissione avente impedenza caratteristica $R_0$, 
come mostrato in figura~\ref{delayline}. 
 
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=delayline.eps,width=12.0 cm,height=5 
cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{delayline}
\end{figure}




L'impedenza vista tra i terminali d'uscita (a-b) del generatore guardando verso 
destra \'e $R_0$.
Se u(t) \'e un gradino di tensione, $V_i$ sar\'a:  
\[
V_i = \frac{R_0}{R_0+R_s}u(t)
\]
ad esempio, se la linea \'e adattata all'ingresso cio\'e se $R_s=R_0$, si 
avr\'a:  
\[
V_i\:=\:\frac{1}{2}u(t)
\]

Guardiamo ora cosa accade al gradino di tensione quando esso, dopo un tempo T, 
raggiunge l'altra estremit\'a della linea. Ci\'o dipender\'a ovviamente dal 
valore di R. Ammettiamo per cominciare che sia R =0 . 
In tal caso avremo $\rho=-1$.  
Quindi, dopo un tempo T (pari alla lunghezza L della linea divisa per la 
velocit\'a di propagazione del segnale lungo la linea) dall'estremo 
di questa partir\'a un segnale di tensione $V_r\:=\:-V_i\:=\:-u(t)/2$.
  
Tale segnale arriver\'a all'ingresso della linea dopo un ulteriore tempo T.  
A partire da tale istante il segnale di tensione fra i punti a e b sar\'a  
$u/2-u/2\:=\:0$. In definitiva  il segnale di tensione in a-b avr\'a l'andamento 
mostrato in figura~\ref{riflessioni_linea}(a). 
 
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=riflessioni_linea.eps,width=12.0 cm,
height=20 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{riflessioni_linea}
\end{figure}



Se la lunghezza della linea \'e molto piccola il segnale sar\'a un impulso 
stretto, come mostrato in figura~\ref{riflessioni_linea}(b).  

 
Tale metodo \'e adoperato talvolta per generare un segnale di breve durata a 
partire da un segnale lungo, il quale abbia un brusco fronte di salita (o di 
discesa).
 
Un esempio \'e mostrato in figura~\ref{riflessioni_linea}(c),(d).  
 
\section{Riflessioni multiple}  
 
Ammettiamo ora che n\'e l'impedenza  d'uscita del generatore che alimenta la 
linea (avente lunghezza L) n\'e l'impedenza che chiude la linea
all'estremit\'a di ricezione siano 
adattate. Siano cioe esse entrambe diverse dall'impedenza caratteristica della 
linea.  
Chiamiamo $\rho'$ il coefficiente di riflessione all'estremit\'a di ingresso e 
$\rho$ quello all'estremit\'a d'uscita.  
Esaminiamo l'andamento temporale del segnale alla estremit\'a d'ingresso, per un 
segnale a gradino u(t).  
Quando il segnale parte, a $t=0^+$, esso vale u. Al tempo $t_D=L/u$, un
segnale 
riflesso, pari a $\rho u$ comincia a muoversi dall'estremo d'uscita verso 
sinistra.  
Per $t=2t_D$ il segnale $\rho u$ arriva al punto d'ingresso (x=0). In tale 
istante il segnale in  x=0 passa dal valore u  al valore $u+\rho 
u\:=\:(1+\rho)u$. 
In questo stesso istante,un segnale riflesso pari a $\rho' \rho u$ parte 
dall'estremit\'a di ingresso verso destra.  
Al tempo $t=3t_D$ questo segnale arriva all'estremit\'a della linea e viene 
nuovamente riflesso.  
Il nuovo segnale riflesso vale: $\rho \rho' \rho u$. Questo arriva in x=0 al 
tempo $4 t_D$ e viene a sommarsi ai precedenti.  
In definitiva, se osserviamo il segnale in x=0 avremo:  

\begin{itemize}
\item{per $t < 2 t_D$ ; $V=u$}
\item{per $2t_D < t < 4 t_D$ ; $V=u+\rho u$}
\item{per $4 t_D < t < 6 t_D$ ; $V=u+\rho u + \rho' \rho u$}
\item{per $6 t_D < t < 8 t_D$ ; $V=u + \rho u + \rho' \rho u + \rho \rho' \rho 
u$}
\end{itemize}

 
 Notiamo che, essendo  $\rho$ e $\rho'$ entrambi minori di 1, i successivi 
termini saranno sempre pi\'u piccoli.  
 
 
\section{Effetti resistivi nelle linee di trasmissione}  
 
Le linee fin qui considerate erano caratterizzate da una capacit\'a $C_0$ ed un 
induttanza $L_0$ per unit\'a di lunghezza ma erano altrimenti prive di perdite 
ohmiche. Se degli elementi resistivi sono anche presenti, un elemento di linea 
potra essere schematizzato come in figura~\ref{resistive_line}:
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=resistive_line.eps,width=12.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{resistive_line}
\end{figure}
  
  
Qui in aggiunta ad una capacit\'a $C_0$ ed induttanza $L_0$ per unit\'a di 
lunghezza, abbiamo una resistenza $R_0$ (serie) ed una conduttanza  $G_0$ 
(parallelo) per unit\'a di lunghezza.
  
Le equazioni diventano ora, indicando al solito con  $\Delta V$ la differenza di 
potenziale fra i punti B e A, con $\Delta I$ la differenza tra la
corrente uscente da B e quella entrante in A e con z la coordinata
misurata lungo la linea:
  
\begin{equation}
\Delta V \:=\: -R_0 \Delta z I(z,t)-L_0 \Delta z \frac{\partial I(z,t)}{\partial 
t}  \label{passive_line_8a}
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta I\:=\:-G_0 \Delta z V(z,t)-C_0 \Delta z \frac{\partial V(z,t)}{\partial 
t}  \label{passive_line_8b}
\end{equation}

Cio\'e:
\begin{equation}
\frac{\partial V}{\partial z}\:=\:-R_0 I(z,t)-L_0 \frac{\partial 
I(z,t)}{\partial t}  \label{passive_line_9a}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\partial I}{\partial z}\:=\:-G_0 V(z,t)-C_0 \frac{\partial 
V(z,t)}{\partial t}  \label{passive_line_9b}
\end{equation}


da cui si ottiene:

\begin{equation}
\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}\:=\:L_0 C_0 \frac{\partial^2 V}{\partial 
t^2}\:+\:\left(L_0 G_0 + R_0 C_0\right)\frac{\partial V}{\partial t} \:+\:R_0 
G_0 V \label{passive_line_10}
\end{equation}  
 
Questo ovviamente si riduce alla equazione~\ref{waveequation2} se $R_0=G_0=0$.  
 
Una equazione analoga pu\'o essere facilmente ottenuta per la corrente I(z,t).  
 

Esaminiamo ora la risposta di tale linea ad un segnale sinusoidale:  

\begin{equation}
V\:=\:V(z) e^{j \omega t}  \label{passive_line_11}
\end{equation}
 
Sostituendo nella~\ref{passive_line_10} si trova:
\[
\frac{d^2 V}{d z^2}\:=\:V(z)[R_0 G_0-L_0 C_0 \omega^2 +j \omega \left(L_0 G_0 
+ R_0 C_0\right)]\:\equiv \gamma^2 V(z)
\]  
 
con:
\begin{equation}
\gamma^2 \: \equiv \: -L_0 C_0 \omega^2 + j \omega \left(L_0 G_0 + R_0 C_0 
\right) + R_0 G_0\:=\:\left(R_0 + j \omega L_0 \right) \left(G_0 + j \omega C_0 
\right) \label{passive_line_12}   
 \end{equation}

La variabile:  
\begin{equation}
\gamma \equiv \alpha + j \kappa \equiv \sqrt{(R_0 + j \omega L_0)(G_0 + j \omega 
C_0)}  \label{passive_line_13}
\end{equation}
 
\'e detta costante di propagazione.  
  
La soluzione generale dell'equazione differenziale~\ref{passive_line_10} \'e 
quindi del tipo:  

\begin{equation}
V(z,t)\:=\:V_1 e^{-\alpha z} \:e^{j(\omega t-k z)}\:+\:V_2 e^{\alpha z} 
e^{j(\omega t + kz)}  \label{passive_line_14}
\end{equation}
 
Questa \'e nuovamente la somma di un'onda progressiva e di una regressiva.  
Ciascuna delle due onde \'e per\'o moltiplicata per un esponenziale $(e^{\pm 
\alpha z})$ che introduce un'attenuazione con costante $\lambda = 1/\alpha$.  
 
Notiamo che sia $\alpha$ che k dipendono da $\omega$. Ci\'o ha l'effetto di 
introdurre una distorsione in un generico segnale applicato. 
Infatti si vede che le diverse componenti di Fourier di un tale segnale sono 
attenuate in modo diverso, come diversa \'e la loro velocit\'a di propagazione: 
$v=\omega/k$.
  
Risolvendo la~\ref{passive_line_12} si trova:  
\begin{equation}
\alpha^2\:=\:\frac{1}{2}[(R_0 G_0 - \omega^2 L_0 C_0)\:+\:\sqrt{(R_0^2+\omega^2 
L_0^2)(G_0^2 + \omega^2 C_0^2)}]    \label{passive_line_15a} 
\end{equation}

\begin{equation}
k^2\:=\:\frac{1}{2}[-(R_0 G_0 - \omega^2 L_0 C_0)\:+\:\sqrt{(R_0^2+\omega^2 
L_0^2)(G_0^2 + \omega^2 C_0^2)}]    \label{passive_line_15b} 
\end{equation}


A frequenze $\omega$ tali che $R_0/\omega L_0 \ll 1$ e $G_0/\omega C_0 \ll
1$, $\alpha$ e k possono essere approssimati con:   

\[
\alpha \approx \frac{1}{2}\left(R_0 \sqrt{\frac{C_0}{L_0}}+G_0
\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}\right)
\]\[
k\:\approx \: \omega \sqrt{L_0 C_0}
\]


Con ci\'o la velocit\'a di propagazione $v=\omega /k \approx
1/\sqrt{L_0 C_0}$, come nel caso di una linea priva di perdite.
  
Inoltre, in tale approssimazione la costante di attenuazione $\alpha$ viene ad 
essere indipendente dalla frequenza.  
Nel caso dei cavi coassiali tale regione di alte frequenze inizia attorno ai 
100 kHz.  
  
A frequenze pi\'u elevate l'effetto pelle fa si che la parte di conduttore
responsabile della conduzione si riduca ad uno strato superficiale tanto
pi\'u sottile quanto pi\'u elevata \'e la frequenza dei segnali trasmessi.
Ci\'o porta ad un aumento della resistenza e di conseguenza ad una lunghezza 
d'attenuazione~\footnote{Definita come la lunghezza dopo la quale il segnale si 
\'e attenuato di un fattore \emph{e}} che diminuisce
all'aumentare della frequenza.

\section{Adattamento d'impedenza per una linea di trasmissione}

Le riflessioni che i segnali possono subire alle estremit\'a di una linea
di trasmissione possono dar luogo ad inconvenienti. Ammettiamo ad esempio
di voler osservare all'oscilloscopio un certo impulso, avente una determinata
altezza e durata, fornito da un generatore d'impulsi avente una bassa
impedenza d'uscita. Se, come quasi sempre accade, facciamo uso di un cavetto
da 50~$\Omega$ per inviare il segnale in esame ad un oscilloscopio, dobbiamo
tener conto del fatto che una tipica impedenza d'ingresso di questo \'e
dell'ordine del M$\Omega$. In tali condizioni il coefficiente di riflessione
all'ingresso dell'oscilloscopio sar\'a circa 1. Il segnale riflesso
arriver\'a, dopo un piccolo ritardo, all'uscita del generatore, dove si 
sommer\'a al segnale che questo sta inviando. In tal modo avremo, in tempi
brevissimi (dell'ordine del ritardo del cavo, cio\'e pochi ns) un gran numero
di riflessioni tra generatore ed oscilloscopio, con il risultato di osservare
un segnale completamente diverso da quello originato dal generatore.

\'E quindi necessario liberarsi delle riflessioni. Ci\'o sarebbe possibile
se l'impedenza d'ingresso dell'oscilloscopio fosse uguale a quella della
linea (50~$\Omega$ nel nostro caso). Alcuni oscilloscopi sono gi\'a predisposti
in modo che si possa ''commutare'' l'impedenza d'ingresso, tra 1~M$\Omega$ e
50~$\Omega$. Nei casi in cui tale predisposizione non esista \'e possibile
''adattare'' l'ingresso, ponendo in parallelo ad esso un
''tappo'' da 50~$\Omega$. Lo schema \'e quello di 
figura~\ref{adattamento_impedenza}.


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=adattamento_impedenza.eps,width=12.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{adattamento_impedenza}
\end{figure}


Esistono dei connettori appositi che svolgono tale funzione. 


Situazioni simili a quella descritta possono verificarsi in altre applicazioni:
pu\'o ad esempio accadere che la linea abbia un'impedenza \emph{maggiore} di
quella del circuito che essa deve alimentare. In tal caso occorrer\'a mettere
\emph{in serie} all'ingresso del circuito un'opportuna impedenza, tale che
la somma dell'impedenza d'ingresso del circuito e di quella aggiunta sia
uguale all'impedenza della linea. In tutti questi casi si dice che si effettua
un \emph{adattamento d'impedenza}.

Il problema delle riflessioni pu\'o essere ulteriormente complicato dalla
presenza, all'ingresso del circuito che la linea deve alimentare, di impedenze
di tipo induttivo o capacitivo. Un'analisi di questo tipo di riflessioni
\'e discussa nel capitolo dedicato alle trasformate di Laplace, come
applicazione di queste.

\section{Linee di trasmissione commerciali}

Sono comunemente disponibili in commercio un'enorme variet\'a di cavi coassiali,
che differiscono per il diametro dei conduttori, la natura del materiale, lo
spessore e natura del dielettrico che separa il conduttore interno da quello
esterno etc.. 

Normalmente il materiale adoperato per i conduttori \'e rame, rame/stagno o 
altre leghe speciali. Il dielettrico pu\'o essere polietilene, nylon, 
polipropilene o altre sostanze plastiche.

Nella pratica radiotelevisiva si fa uso di cavi aventi impedenza caratteristica
di 75~$\Omega$. Nei sistemi di telecomunicazione si fa uso di cavi da 
50~$\Omega$. Questo \'e anche il caso delle linee di ritardo adoperate in
esperimenti di Fisica Subnucleare, dove si adoperano cavi gi\'a predisposti,
con opportuni connettori (aventi impedenza di 50~$\Omega$) alle estremit\'a,
e con lunghezze diverse, corrispondenti a ritardi che vanno da 0.5~ns a qualche
decina di~ns.

I cavi maggiormente adoperati in Fisica Subnucleare sono quelli corrispondenti 
allo standard RG-58C/U (50~$\Omega$) con diametro esterno di 2.95~mm, nonch\'e
quelli del tipo RG-174/U (sempre di 50~$\Omega$) con diametro di 1.52~mm.

Nel campo dell'informatica e della telematica si adoperano spesso cavi da
93~$\Omega$ o 105~$\Omega$, come pure cavi da 75~$\Omega$.

Le lunghezze d'attenuazione, come i diametri, variano molto da tipo a tipo di
cavo. Inoltre, come gi\'a accennato, la lunghezza d'attenuazione cambia con
la frequenza. Normalmente tale parametro \'e quotato nei cataloghi in unit\'a
di dB/100~piedi. Un'attenuazione di 1~dB/100~piedi corrisponde all'incirca
ad una diminuzione dell'ampiezza del segnale dell'$80\%$ ogni 30~m.


Lunghezze d'attenuazione tipiche (per cavi coassiali che rientrano nella
standard MIL-C-17) con diametro esterno di 0.86~mm vanno da 15~dB/100~piedi
a frequenze di 100~MHz, a 258~dB/100~piedi a frequenze di 20~GHz.

Cavi coassiali dello stesso tipo, ma con diametro di 3.58~mm, hanno lunghezze
d'attenuazione migliori: esse variano tra 3~dB/100~piedi a 100~MHz e 
68~dB/100~piedi a 20~GHz.
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