\chapter{\bf Amplificatori operazionali}

\section{Introduzione}

Ci occuperemo in questa sezione degli amplificatori operazionali, 
iniziando con un breve sommario delle principali caratteristiche di un tipico 
amplificatore operazionale ideale ed esaminandone alcune semplici applicazioni.
Passeremo a discutere in un secondo tempo i limiti degli amplificatori 
operazionali reali, quali le correnti e tensioni di offset, lo "slew rate" e via 
dicendo. 
\newline \indent
Questo tipo di amplificatore si presta ad un gran numero di applicazioni 
diverse, che vanno dall'amplificazione di segnali di tensione o
corrente, alla realizzazione di integratori/derivatori di precisione, a quella
di circuiti oscillanti, di filtri analogici, di sistemi di trigger e via 
dicendo. Vari tipi di operazionali, con diverse caratteristiche e prestazioni 
(impedenza d'ingresso pi\'u o meno elevata, guadagno pi\'u o meno grande, banda 
passante pi\'u o meno ampia etc), sono disponibili in commercio. Di questi, 
quello che \'e stato per decenni il pi\'u noto \'e il $\mu A741$

\section{Propriet\'a degli amplificatori operazionali}
Con riferimento allo schema indicato in figura~\ref{opamp}, un amplificatore 
operazionale ha due ingressi di segnale, due alimentazioni (nella pi\'u gran 
parte dei casi una positiva ed una negativa, ma a volte una positiva ed una 
massa) ed  un'uscita. In molti casi esistono degli ulteriori terminali, 
adoperati per il controllo dell'offset.


I due ingressi, noti come `ingresso non-invertente' ed `ingresso invertente',
sono tali che ad essi corrispondano, come vedremo tra un attimo, guadagni uguali
ed opposti. In altre parole, l'amplificatore operazionale ha ingressi 
differenziali. 
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=opamp.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{opamp}
\end{figure}
Le principali caratteristiche di un amplificatore operazionale ideale sono le 
seguenti:
\begin{itemize}
\item{Impedenza d'ingresso infinitamente  grande}
\item{Ingressi differenziali}
\item{Guadagno nel modo differenziale infinito}
\item{Larghezza di banda infinita} 
\item{Sfasamento nullo tra ingresso ed uscita}
\item{Guadagno nel modo comune nullo}
\item{Impedenza di uscita nulla}
\end{itemize}
Un amplificatore operazionale reale avr\'a caratteristiche che si  discosteranno 
pi\'u o meno dalle caratteristiche ideali appena descritte. Di tali differenze 
ci occuperemo nel seguito. 


Esaminiamo adesso le caratteristiche di un amplificatore tipico. Un circuito che 
si incontra frequentemente \'e quello mostrato in figura~\ref{opamp}. 
Notiamo l'ingresso invertente indicato con un segno meno e quello non 
invertente indicato con un segno pi\'u. 

Se tra i due terminali d'ingresso applichiamo una differenza di potenziale, la 
tensione al terminale di uscita sar\'a, a causa del guadagno infinito 
dell'operazionale, anch'essa infinita.
Da un punto di vista pratico la tensione di uscita non potr\'a superare quella 
delle alimentazioni. Se, ad esempio, l'amplificatore \'e alimentato con tensione 
positiva di +15  Volt e tensione negativa di  -15  Volt, la tensione di uscita 
sar\'a all'incirca uguale a +15 Volt se la tensione applicata al terminale non 
invertente \'e maggiore di quella applicata al terminale invertente, sar\'a -15 
Volt nel caso contrario.
 Notiamo che sia il terminale invertente che quello non invertente sono riferiti 
a massa. Avremo quindi un'impedenza tra terminale invertente e massa, una tra 
terminale non invertente e massa ed una tra i due terminali invertente e non 
invertente. Ammetteremo che tutte e tre queste  impedenze siano infinite. 
\section{Ingresso differenziale}
Prima di passare ad esaminare alcuni circuiti tipici che fanno uso di A.O., 
ricordiamo alcune definizioni relative all'amplificatore differenziale, che ne 
costituisce lo stadio d'ingresso.

Indichiamo con $v_+$ e $v_-$ le tensioni applicate rispettivamente all'ingresso
non invertente ed a quello invertente, con $v_o$ la tensione d'uscita, con $A_+$ 
e con $A_-$ i guadagni dell'A.O. per segnali applicati rispettivamente 
all'ingresso non invertente ed a quello invertente. Per il principio di 
sovrapposizione avremo:
\begin{equation}
v_0\:=\:A_+ v_+\:+\:A_- v_-      \label{eq:one}
\end{equation}
e, ponendo:
\[ 
v_{d}\:=\:v_+\:-\:v_-
\]
\[
v_c=\:\frac{1}{2}(v_+ \: + \: v_-)
\]
cio\'e
\begin{equation}
v_+\:=\:v_c\:+\:\frac{v_d}{2}   \label{eq:two}
\end{equation}

\begin{equation}
v_-\:=\:v_c\:-\:\frac{v_d}{2}    \label{eq:three}
\end{equation}

questa diventa:
\begin{equation}
v_o \: = \: A_+ \: (v_c + \frac{v_d}{2})\: + \: A_- \: (v_c - \frac{v_d}{2}) 
\:=\:
(A_+ \: + \: A_-) v_c \: + \: \frac{1}{2}(A_+ - A_-) v_d  \label{eq:four}
\end{equation}
che, con le definizioni:
\begin{equation}
A_c\:=\:(A_+ + A_-)    \label{eq:five}
\end{equation}
\begin{equation}
A_d\:=\:\frac{1}{2}(A_+ - A_-)  \label{eq:six}
\end{equation}
pu\'o essere scritta come:
\begin{equation}
v_o\:=\:A_cv_c\:+\:A_dv_d    \label{eq:seven}
\end{equation}

La grandezza $A_d$ \'e nota come il \emph{guadagno nel modo differenziale}, 
mentre $A_c$ \'e il \emph{guadagno nel modo comune}. Un buon A.O. dovr\'a avere 
un valore di $A_c$ prossimo a zero ed un valore di $A_d$ prossimo ad $\infty$.
Normalmente i produttori quotano il valore del cosiddetto \emph{rapporto di 
reiezione per il modo comune} (Common Mode Rejection Ratio o CMRR), definito da:
\[
\rho\:=\:|A_d/A_c|
\]
che deve essere il pi\'u grande possibile.

Dalla~(\ref{eq:seven}) si ha poi:
\begin{equation}
v_o\:=\:A_d v_d\:(1\:+\:\frac{1}{\rho}\frac{v_c}{v_d}) \label{eq:eight}
\end{equation}
Ad esempio, se $v_c~$=1~mV, $v_d$~=~1~$\mu$V e $\rho$~=1000, avremo:
\[v_o\:=\:A_d v_d\:(1\:+\:\frac{1}{\rho}\frac{v_c}{v_d})\:=\:2\:A_d v_d
\]
anzich\'e semplicemente $A_d v_d$ come si vorrebbe da un buon A.O.. Se vogliamo
che ci\'o accada, occorre che $\rho$ sia abbastanza pi\'u grande di $v_c/v_d$ da 
rendere trascurabile il secondo termine in parentesi nell'ultima espressione 
scritta. Nel nostro esempio, $\rho$ dovr\'a essere maggiore di $10^5$ se si 
vuole che $v_o$ differisca da $A_d v_d$ per meno dell'$1\%$.

\section{Amplificatori Operazionali: alcune applicazioni}
Gli A.O. hanno numerosissime applicazioni. Queste possono essere divise in due 
grandi categorie. Nella prima di queste l'A.O. viene adoperato in modo che esso 
esca dalla zona lineare e vada in saturazione. Se infatti si applica una piccola
differenza di potenziale tra ingresso invertente ed ingresso non-invertente, 
l'uscita si porter\'a tipicamente a $\pm V_{cc}$ dove $V_{cc}$ \'e la tensione 
di alimentazione. Nel realizzare tale funzione si fa spesso uso di una
reazione positiva tra uscita ed ingresso dell'A.O.. Fanno parte di questa 
categoria molti circuiti logici, generatori di onde quadre, generatori di
rampa, circuiti di trigger (Schmitt) etc..

Nel secondo tipo di applicazioni si fa invece uso di una reazione negativa, 
realizzando un funzionamento lineare dell'A.O.. Fanno parte di questa categoria
i circuiti amplificatori (invertenti e non invertenti), i circuiti di somma e
di sottrazione, gli inseguitori di tensione, i convertitori tensione-corrente
e corrente-tensione e molti altri.

Inzieremo nella prossima sezione un'analisi di quest'ultima classe di 
applicazioni.

Esiste in realt\'a una terza classe di applicazioni, in cui il feedback positivo
applicato \'e quasi esattamente uguale all'inverso dell'amplificazione 
dell'operazionale e quindi il \emph{guadagno a catena aperta} $A \beta$ \'e 
circa uguale ad uno. In tale categoria rientrano i cosiddetti "oscillatori 
sinusoidali" che sono trattati in un capitolo a se.

\section{Amplificatori invertenti e non-invertenti realizzati con operazionali}

Abbiamo specificato in precedenza tra le caratteristiche di un A.O. ideale:
\begin{itemize}
\item{Impedenza d'ingresso $R_i$ infinita}
\item{Guadagno in tensione $A_v$ infinito}
\item{Impedenza d'uscita $R_o$ nulla}
\end{itemize}
Esamineremo ora, a titolo di esempio, alcuni amplificatori reazionati che 
utilizzano un A.O. e ne studieremo il funzionamento.

Cominceremo con l'esaminare la configurazione invertente mostrata in 
figura~\ref{invert}.
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=invert.eps,width=10.4 cm,
height=6.4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{invert}
\end{figure}


Ammetteremo che $R_i$, $A_v$ ed $R_o$ (vedi figura~\ref{opsimple}) abbiano valori finiti; faremo poi tendere $R_i$ ed $A_v$ ad infinito ed $R_o$ a zero.

Facendo uso del teorema di Miller, lo schema di figura~\ref{opsimple} pu\'o esser trasformato in quello 
di figura~\ref{miller}, dove $k=v_o/v_i$.
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=miller.eps,width=14.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{miller}
\end{figure}


Dall'analisi della maglia d'uscita di tale circuito troviamo:
\[
v_o\:=\:\frac{-A_v v_i}{Z'+R_o}Z'
\]
dove:
\[Z'\:=\:-\frac{R_2 k}{1-k}
\]

Si ottiene di qui una relazione tra $v_o$ e $v_i$:
\begin{equation}
\frac{v_o}{v_i}\:=\:\frac{R_o\:-\:A_v R_2}{R_2+R_o}  \label{eq:nine}
\end{equation}
Dall'analisi della maglia d'ingresso si ottiene invece:
\[
v_i\:=\:v_s\:\frac{R_{\parallel}}{R_1+R_{\parallel}}  \label{eq:ten}
\]
dove:
\[
R_{\parallel} \:=\: \frac{R_i R_2}{R_i(1-k)+R_2}
\]
per cui:
\[
\frac{R_{\parallel}}{R_1+R_{\parallel}}=\frac{R_i R_2}{R_i R_2+R_1 [R_2+R_i(1-
k)]}
\]
Dall'equazione~(\ref{eq:nine}) si ottiene allora:
\[
\frac{v_o}{v_s}\:=\:\frac{v_o}{v_i} \:\frac{v_i}{v_s}\:=\:\frac{R_i(R_o-A_v 
R_2)}{R_1(R_i+R_2+R_o)+R_i(R_2+R_o)+A_vR_1R_i}
\]
Dividendo ora numeratore e denominatore per $R_i$, otteniamo poi:
\[
\frac{v_o}{v_s}\:=\:\frac{ R_o-A_v R_2}{(R_1/R_i)(R_i+R_2+R_o)+R_2+R_o+A_v R_1}
\]
che, per $R_i$ che tende ad infinito, diventa:
\[
\frac{v_o}{v_s}\:=\:\frac{R_o-A_vR_2}{R_1+R_2+R_o+A_vR_1}
\]
e, per $A_v$ che tende ad infinito ed $R_0$ che tende a zero:
\begin{equation}
\frac{v_o}{v_s}\:=\:-\frac{R_2}{R_1}  \label{eq:eleven}
\end{equation}
Vediamo da tale relazione che il guadagno dell'amplificatore reazionato 
invertente \'e, nel limite $R_i\:=\:\infty$, $R_0\:=\:0$ ed $|A_v|\:=\:\infty$,
uguale al rapporto tra la resistenza di reazione $R_2$ e quella che collega il 
generatore di segnali all'ingresso invertente.

Notiamo che al medesimo risultato si potrebbe arrivare in modo pi\'u semplice, 
con le seguenti considerazioni:
\begin{enumerate}
\item{poich\'e $R_i=\infty$, la corrente che pu\'o fluire nell'operazionale
\'e trascurabile. Ametteremo che essa sia nulla.}
\item{in presenza della reazione negativa causata dalla resistenza $R_2$, 
l'operazionale non satura: cio\'e il segnale in uscita ha un valore inferiore
a quello dell'alimentazione.}
\item{essendo $A_v = \infty$ e $v_o $ finito, la relazione: 
$|v_i|\:=\:|v_o/A_v|$ ci dice che la differenza di potenziale tra i terminali 
d'ingresso: $v_i$ deve essere vicina a zero. Ammetteremo che essa sia nulla.}
\end{enumerate}
In definitiva avremo (vedi figura~\ref{opsimple}):
\[
v_-\:=\:v_i\:=\:\frac{v_o}{A_v}\:\approx\:0
\]
e quindi $v_- = 0$ (essendo $v_+$ collegato a massa). Si dice che il terminale
invertente \'e una "massa virtuale", poich\'e esso si trova ad un potenziale
molto prossimo a quello di massa. \'E tuttavia da tenere ben presente che non 
esiste alcun collegamento fisico o "corto circuito" tra terminale invertente e
non-invertente.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=opsimple.eps,width=8.6 cm,
height=5.6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{opsimple}
\end{figure}

Vediamo ora come le condizioni esaminate portino facilmente al risultato
espresso dall'equazione~(\ref{eq:eleven}). Infatti, per quanto detto, nessuna 
corrente entra nell'operazionale; ne segue che la corrente che attraversa
la resistenza $R_1$ \'e uguale a quella che attraversa $R_2$. Inoltre \'e
$v_- = 0$. Ne segue:
\[
i\:=\:\frac{v_s}{R_1}\:=\:-\frac{v_o}{R_2}
\]
da cui:
\begin{equation}
\frac{v_o}{v_s}\:=\:-\frac{R_2}{R_1}  \label{eq:twelve}
\end{equation}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=opamint.eps,width=9.36 cm,
height=6.4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{opamint}
\end{figure}

Potrebbe apparire che l'ipotesi aggiuntiva ($R_o=0$) che \'e stata necessaria
per dimostrare la relazione~(\ref{eq:eleven}), non giochi pi\'u alcun ruolo. In 
realt\'a ci\'o non \'e vero. 
Se infatti $R_o$ fosse, diciamo, grande rispetto
ad $R_2$ (o confrontabile ad essa), allora la tensione d'uscita $v_o$ sarebbe
uguale a quella ($v'_o$) presente all'uscita del generatore dipendente che 
schematizza l'uscita dell'A.O., 
diminuita della caduta attraverso $R_o$. Con ci\'o l'equazione 
ottenuta~(\ref{eq:twelve}) 
non sarebbe pi\'u vera, ma il rapporto $v_o/v_s$ dipenderebbe anche da $R_o$.

La figura~\ref{sinout} mostra i segnali in ingresso ed in uscita da un 
amplificatore invertente, in cui
\'e stato scelto un rapporto $R_2/R_1$ pari a 2. Il segnale in ingresso \'e una 
sinusoide di ampiezza pari
ad 1~V. Si vede come il segnale in uscita sia una sinusoide invertita, di 
ampiezza doppia.

\section{Impedenza d'ingresso dell'amplificatore invertente}

L'impedenza d'ingresso $r_i$ dell'amplificatore appena esaminato pu\'o esser 
calcolata facilmente facendo uso dello schema di figura~\ref{miller}. 
Si vede da tale figura che l'impedenza d'ingresso \'e:
\[
r_i\:=\:R_1\:+\:\frac{R_iR_2}{R_i(1-k)+R_2}
\]
dove k \'e dato dalla relazione~(\ref{eq:nine}). Si ottiene quindi:
\[
r_i\:=\:R_1+\frac{R_i(R_o+R_2)}{R_i(1+A_v)+(R_o+R_2)}
\]
Questa pu\'o essere riscritta come:
\[
r_i\:=\:R_1+\frac{R_i(R_o+R_2)/(1+A_v)}{R_i+(R_o+R_2)/(1+A_v)}
\]
che, ponendo:
\[
r_f\:=\:\frac{R_2+R_o}{1+A_v}
\]
pu\'o essere scritta nella forma pi\'u concisa:
\[
r_i\:=\:R_1+R_i \parallel r_f
\]
dove in genere $r_f$ \'e molto minore di $R_i$ per cui, nel parallelo, 
quest'ultima pu\'o essere trascurata. 
Essendo inoltre in genere $r_f$ molto piccola, si trova che
l'impedenza d'ingresso dell'amplificatore invertente esaminato \'e con ottima
approssimazione uguale ad $R_1$.

Ad esempio, per $R_1 = 100k$, $R_2 = 10k$, $R_o = 100 \Omega$ ed $A_v = 10^5$, 
troviamo:
$r_f=0.1 \Omega$ e quindi $r_i = R_1 = 100 k$.

\section{Impedenza d'uscita dell'amplificatore invertente}
Per calcolare l'impedenza d'uscita $r_o$ dell'amplificatore immaginiamo di 
cortocircuitare i terminali d'ingresso, ponendo $v_s = 0$, di applicare
tra i terminali d'uscita una tensione $v_o$ e di calcolare la corrente $i_o$
immessa dal generatore di tensione $v_o$. 
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=outimp.eps,width=9.1 cm,
height=4.2 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{outimp}
\end{figure}



Definiremo poi impedenza d'uscita il rapporto $v_o/i_o$.
Lo schema equivalente che adopereremo \'e quello di figura~\ref{outimp}.
Avremo:
\[
i_o\:=\:\frac{v_o-A_v v_i}{R_o}\:+\:\frac{v_o}{R_1+R_2}
\]
poich\'e $R_i \gg R_1$. Inoltre \'e:
\[
-v_i\:=\:v_o\frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
Sostituendo quest'equazione nella precedente, si trova:
\[
i_o\:=\:\frac{v_o+A_vv_oR_1/(R_1+R_2)}{R_o}\:+\:\frac{v_o}{R_1+R_2}
\]
cio\'e:
\[
v_o[\frac{1}{R_o}+\frac{1}{R_1+R_2}+\frac{A_v R_1}{R_o(R_1+R_2)}]\:=\:i_o
\]
ed infine:
\[
\frac{1}{r_o}\:=\:\frac{i_o}{v_o}\:=\:\frac{1}{R_1+R_2}\:+\:\frac{1}{R_o}
\: + \: \frac{A_v R_1}{R_o(R_1+R_2)}
\]
per cui $1/r_o$ \'e all'incirca uguale a:
\[
\frac{1}{r_o}\:=\:\frac{1}{R_o}[1+\frac{A_vR_1}{R_1+R_2}]\:\approx\:\infty
\]
ed $r_o$ \'e praticamente nullo.


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=sinout.eps,width=9.6 cm,
height=6.4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{sinout}
\end{figure}

\section{Amplificatore non-invertente}

Un amplificatore che fornisce un segnale in uscita in fase con il segnale
applicato in ingresso \'e quello mostrato in figura~\ref{noninvert}.
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=noninvert.eps,width=10.4 cm,
height= 6.4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{noninvert}
\end{figure}

Per calcolare il guadagno in tensione di tale amplificatore ricordiamo che,
a causa della reazione negativa avremo, come prima, $v_+ = v_-$, ed inoltre
$v_i = v_+$ per cui:
\[
v_- \:=\:v_o \frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
e:
\[
A_v\:=\:\frac{v_o}{v_i}\:=\:\frac{v_o}{v_-
}\:=\:\frac{R_1+R_2}{R_1}\:=\:1\:+\:\frac{R_2}{R_1}
\]
Il guadagno, come si vede, \'e indipendente dalle caratteristiche 
dell'operazionale, ma dipende solo dai valori delle resistenze $R_1$ e $R_2$.
Esso diviene uguale ad 1 se $R_2 = 0$ e $R_1=\infty$. Si ottiene cos\'i la 
configurazione di figura~\ref{follower} nota come "inseguitore di tensione".

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=follower.eps,width=6.5 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{follower}
\end{figure}



\section{Impedenza d'ingresso dell'amplificatore non-invertente}
L'impedenza d'ingresso dell'amplificatore nella configurazione esaminata,
cio\'e l'impedenza vista dalla sorgente $v_s$ guardando nel terminale
non invertente, \'e teoricamente infinita. Vediamo di esprimerla in termini
del guadagno $A_v$, della resistenza d'ingresso dell'operazionale $R_i$
e dei valori delle resistenze. Chiamando $r_i$ la resistenza dell'amplificatore
completo, avremo per la corrente d'ingresso nel terminale non invertente:
\[
i_i\:=\: \frac{v_i}{R_i}\:=\:\frac{v_o}{A_v}\frac{1}{R_i}
\]
dove:
\[
v_o\:=\:(1+\frac{R_2}{R_1})\:v_i
\]
per cui:
\[
i_i\:=\: (1+\frac{R_2}{R_1})\:\frac{v_i}{A_v}\frac{1}{R_i}
\]
ed infine:
\[
r_i\:=\:\frac{v_i}{i_i}\:=\:\frac{A_v R_i}{1+R_2/R_1}
\]
Come si vede, tale impedenza \'e estremamente grande. Per $A_v = 10^5$,
$R_i = 1M\Omega$ ed $R_2/R_1 = 1$ questa vale $50,000~M\Omega$.

\section{Impedenza d'uscita dell'amplificatore non-invertente}
Si pu\'o facilmente verificare che l'impedenza d'uscita in questa configurazione
\'e identica a quella della configurazione invertente. In effetti lo
schema equivalente adoperato nella sezione~7 (vedi figura~\ref{outimp}) \'e
applicabile senza modifiche a questa situazione.

\section{Amplificatore della differenza di due segnali}
Un amplificatore operazionale pu\'o facilmente essere adoperato per
amplificare la differenza tra due segnali di tensione. Un possibile schema \'e 
quello di figura~\ref{ampdiff}.
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ampdiff.eps,width=10.4 cm,height=6.0 
cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{ampdiff}
\end{figure}

Ancora una volta usiamo il fatto che l'ingresso invertente e quello non-
invertente sono in corto-circuito virtuale, cio\'e $v_- = v_+$. D'altronde,
dal partitore costituito dalle resistenze poste sull'ingresso non-invertente,
otteniamo:
\[
v_+ \: = \: v_- \: = \: v_2\:\frac{R_2}{R_1+R_2}
\]
Poich\'e nell'operazionale non entra corrente, le correnti nelle due resistenze
superiori sono uguali, per cui:
\[
\frac{v_1-v_+}{R_1}\:=\:\frac{v_+-v_o}{R_2}
\]
da queste due equazioni segue poi subito:
\[
v_o\:=\:\frac{R_2}{R_1}(v_2\:-\:v_1)
\]
Immaginiamo ad esempio che il segnale all'ingresso 1 sia una sinusoide di 
ampiezza pari ad 1~V e frequenza 6~kHz, e quello all'ingresso 2 sia un segnale
sfasato rispetto al primo di $\pi$. In tal caso il segnale in uscita sar\'a 
quello mostrato in figura~\ref{diffout}, dove si \'e utilizzato lo schema di 
figura~\ref{ampdiff} con $R_1 = 1~k\Omega$ e $R_2 = 2~k\Omega$.
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=diffout.eps,width=10.4 cm,
height=6.4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{diffout}
\end{figure}

\section{Amplificatore della somma di due o pi\'u segnali}
Un A.O. in configurazione invertente pu\'o essere adoperato per ottenere
la somma (cambiata di segno) di pi\'u tensioni applicate agli ingressi, \emph{in 
modo tale che le sorgenti risultino peraltro disaccoppiate tra loro}.
Un circuito che realizza tale funzione \'e quello mostrato in 
figura~\ref{ampsum}.
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ampsum.eps,width=10.4 cm,
height=6.4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{ampsum}
\end{figure}
La relazione che lega la tensione in uscita alle tensioni $v_1$, $v_2$ in
ingresso \'e facilmente ottenibile in base alla considerazione che la corrente
che passa nella resistenza $R$ deve essere uguale alla somma delle correnti
nelle resistenze $R_1$ ed $R_2$, unitamente al fatto che la tensione al
terminale invertente \'e nulla ($v_- = v_+ = 0$). Si ha cio\'e:
\[
i_1\:+\:i_2\:=\:\frac{v_1}{R_1}+\frac{v_2}{R_2}\:=\:-\frac{v_o}{R}
\]
da cui si ottiene poi:
\[
v_o\:=\:-R(\frac{v_1}{R_1}+\frac{v_2}{R_2})
\]

Se poniamo $R=R_1=R_2$ abbiamo, come detto, la somma cambiata di segno dei segnali applicati
in ingresso. Altrimenti avremo una combinazione lineare di questi, con coefficienti
dipendenti  dai valori delle tre resistenze.

L'estensione al caso di N sorgenti \'e immediata.

Come accennato, nella configurazione esaminata le sorgenti sono fisicamente
disaccoppiate l'una dall'altra, poich\'e le estremit\'a destre delle resistenze
$R_1$, $R_2$ sono collegate a massa (cio\'e alla massa virtuale del terminale
invertente). In altre parole, la sorgente $v_1$ non interagisce in alcun modo
con la sorgente $v_2$.
\section{Integratore realizzato tramite un operazionale}
Un integratore ideale fornisce una tensione in uscita proporzionale 
all'integrale della tensione applicata in ingresso:
\begin{equation}
v_{out}\:=\:K\:\int{v_{in} \:dt}      \label{eq:thirteen}
\end{equation}
In termini della trasformata di Laplace, dovremo avere:
\begin{equation}
\tilde{v}_{out}\:=\:\frac{K}{s}\:\tilde{v}_{in}    \label{eq:fourteen}
\end{equation}
Notiamo che il circuito passa-basso di figura~\ref{pasbas} ha un funzione di 
trasferimento
data da:
\begin{equation}
\frac{1}{\tau}\:\frac{1}{s+\frac{1}{\tau}}   \label{eq:fifteen}
\end{equation}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=pasbas.eps,width=6.5 cm,
height=3.6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{pasbas}
\end{figure}



che diviene quella di un integratore ideale espresso 
dall'equazione~(\ref{eq:fourteen}) per $\tau \rightarrow \infty$. Notiamo che in 
tale limite la funzione di trasferimento tende a zero, a causa del termine 
moltiplicativo $1/\tau$.

La configurazione mostrata in figura~\ref{integrat} realizza con ottima 
approssimazione un integratore ideale. Ci\'o pu\'o esser visto semplicemente
adottando il principio della massa virtuale. 

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=integrat.eps,width=10.4 cm,
height=5.8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{integrat}
\end{figure}




Infatti, per tale principio, la
corrente nella resistenza R, uguale a quella che carica il condensatore C, \'e 
data da:
\[
i\:=\:\frac{v_{in}}{R}\:=\:\frac{dQ}{dt}\:=\:-C \frac{d v_{out}}{dt}
\]
da cui:
\[
v_{in}\:=\:-RC\:\frac{d v_{out}}{dt}
\]
e:
\[
v_{out}\:=\:-\frac{1}{RC}\:\int{v_{in} dt}
\]
Si pu\'o arrivare al medesimo risultato, senza far uso in modo esplicito
del principio della massa virtuale, ma adoperando il teorema di Miller.
Sostituiamo infatti all'impedenza capacitiva $Z_c$ presente tra ingresso
invertente ed uscita, una impedenza pari a $Z_c/(1+A_v)$, posta tra ingresso
invertente e massa, ed una pari a $A_v Z_c/(1+A_v)$, posta tra uscita e massa.
Si ottiene in tal modo il circuito equivalente mostrato in 
figura~\ref{capmiller}, dove \'e $V_{out}\:=\:-A_v v_1$,con $v_1$ la differenza 
di potenziale tra ingresso invertente e massa. 
Dalla definizione di trasformata dell'impedenza capacitiva segue che le 
capacit\'a $C$ e $C'$ indicate in figura valgono:
\[
C' \:=\: C(1+A_v)\:\:\:;\:\:\:C''\:=\:\frac{C(1+A_v)}{A_v}
\]

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=capmiller.eps,width=7.2 cm,
height=4.0 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{capmiller}
\end{figure}


La funzione di trasferimento che cos\'i si ottiene \'e:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{-A_v /\tau'}{s + 1/\tau'}  \label{eq:sixteen}
\end{equation}
con:
\[
\tau'\:=\:RC(1+A_v)
\]Poich\'e ora $\tau'$ contiene il grosso termine $A_v$, avremo che il termine
$1/\tau'$ a denominatore della~(\ref{eq:sixteen}) sar\'a trascurabile e G(s) 
diventa con ottima approssimazione la funzione di trasferimento di un 
integratore ideale:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\ -\frac{A_v}{s \tau'}\:=\:-\frac{A_v}{RC(1+A_v)s}\:\approx\:-
\frac{1}{RC}\frac{1}{s}   \label{eq:seventeen}
\end{equation}


Il motivo per cui il circuito esaminato si comporta come un ottimo integratore
pu\'o anche esser compreso intuitivamente, partendo dall'analisi del non-
perfetto integratore costituito da un normale R-C passa-basso (vedi 
figura~(\ref{pasbas}). Ammettiamo che
in tale circuito sia applicato in ingresso un segnale di tensione che sia, in
un certo (breve) intervallo di tempo, costante. L'uscita sar\'a l'integrale
dell'ingresso se essa \'e una rampa crescente linearmente nell'intervallo di 
tempo specificato. Ci\'o richiederebbe
per\'o che il condensatore fosse caricato con una corrente costante nel tempo.
Infatti solo in tal caso si avrebbe:
\[
V_{out}(t)\:\propto \: \frac{1}{C}\int_0^t{i \:dt'}\: \propto \:i\:t
\]Ora, la corrente che carica il condensatore \'e quella che attraversa la
resistenza R ed essa \'e pari alla differenza di potenziale ai capi della
resistenza divisa per la resistenza stessa. A sua volta, la differenza di
potenziale ai capi della resistenza NON \'e costante, poich\'e essa \'e
la differenza tra la tensione (costante) applicata in ingresso e la tensione
presente sul condensatore, che sta via via aumentando. Se si vuole che
la corrente che carica il condensatore sia costante occorre che la tensione
all'altro estremo della resistenza R sia tenuta costante. A questo ruolo
provvede l'operazionale, poich\'e l'ingresso invertente di questo (cio\'e
quello cui \'e collegato l'estremo della resistenza) \'e tenuto ad un potenziale 
vicino a zero dalla reazione negativa causata dal collegamento capacitivo
tra l'uscita e l'ingresso invertente. Notiamo la strana configurazione
in cui si trova il condensatore, che \'e caricato da una corrente che
viene da un punto che \'e praticamente a massa !


Il circuito esaminato non \'e realistico, poich\'e, una volta che la capacit\'a 
C sia carica, essa non ha modo di scaricarsi. Se quindi il segnale inviato
in ingresso \'e un'onda rettangolare, il primo impulso sar\'a integrato e
dar\'a in uscita una rampa, ma subito dopo la tensione in uscita rimarr\'a
al livello alto anche quando l'ingresso sia tornato a a zero. Il successivo
impulso trover\'a il condensatore ancora carico e l'integrazione fornir\'a
un'uscita che continuer\'a a salire, fino a che l'operazionale non sia
andato in saturazione. 

Per ovviare a questo problema si pone, in parallelo al condensatore, una
resistenza, di valore adeguatamente elevato, che consenta al condensatore
di scaricarsi tra un impulso ed il successivo.
Il circuito cos\'i ottenuto \'e mostrato in figura~\ref{realinteg}(a).
Il calcolo della risposta di questo circuito pu\'o essere effettuato
facilmente tenendo conto del fatto che l'ingresso invertente \'e una
massa virtuale e ricordando che le correnti nei rami $Z_1$ e $Z_2$ della
figura~\ref{realinteg}(b) sono uguali. 
Si ottiene quindi per la trasformata del  guadagno in figura~\ref{realinteg}(b):
\[
G(s)\:=\:-\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)}
\]
dove:
\[
Z_1\:=\:R
\]
\[
Z_2(s)\:=\:\frac{R_1}{1+R_1 C s}\:=\:\frac{R_1/\tau}{s+1/\tau}
\]
con
\[
\tau\:=\:R_1 C
\]
Si ha quindi:
\[
G(s)\:=\:-\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)}\:=\:-\frac{R_1}{R}\frac{1/\tau}{s+1/\tau}
\]
Se il segnale applicato in ingresso \'e un gradino di tensione:
\[
\tilde{v}_{in}(s)\:=\:\frac{1}{s}
\]
avremo:
\[
\tilde{v}_{out}(s)\:=\:-\frac{1}{s}\frac{R_1}{R \tau}\frac{1}{s+1/\tau}\:=\:
-K\frac{1}{s(s+1/\tau)}
\]
dove si \'e posto:\[
K\:=\:\frac{R_1}{\tau R}\:=\:\frac{\rho}{\tau}
\]
con $\rho \:=\:R_1/R$.
La frazione che moltiplica K pu\'o essere espressa come:
\[
\frac{\tau}{s}-\frac{\tau}{s+1/\tau}
\]
per cui:
\[\tilde{v}_{out}(s)\:=\:-\rho[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1/\tau}]\:=\:-
\frac{R_1}{R}[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1/\tau}]
\]
la cui antitrasformata \'e:
\[
v_{out}(t)\:=\:-\frac{R_1}{R}(1-e^{-t/\tau})
\]
con: $\tau=R_1 C$.
Sviluppiamo l'esponenziale in parentesi in serie di Taylor, ottenendo:
\[
v_{out}(t)\:=\:-\frac{R_1}{R}(1-1+\frac{t}{\tau}-\frac{t^2}{2\tau^2}...)\:=\: -
\frac{R_1}{R}(\frac{t}{\tau}-\frac{t^2}{2\tau^2}+...)
\]
Se $t \ll \tau$ il termine quadratico e quelli di ordine superiore in parentesi 
diventano trascurabili rispetto a quello lineare, ed otteniamo un integratore
ideale:
\[
v_{out}(t)\:=\: -\frac{R_1}{\tau R} \:t
\]



\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=realinteg.eps,width=14.0 cm,
height=7.2 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{realinteg}
\end{figure}


\section{Derivatore realizzato tramite un operazionale}

Il circuito passa-alto mostrato in figura~\ref{pasalt} si comporta 
approssimativamente da derivatore.

\begin{figure}[h]
\begin{center}\mbox{\epsfig{file=pasalt.eps,width=6.5 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{pasalt}
\end{figure}


Possiamo verificarlo facilmente. La corrente che carica il condensatore C \'e:
\[
i \:=\: \frac{dq}{dt} \: = \: C \frac{dV}{dt}
\]
dove V \'e la differenza di potenziale ai capi del condensatore, data da:
$V \: = \: v_i-v_o$. 
Si ha quindi:
\begin{equation}
i \:=\:C \frac{d}{dt}(v_i-v_o)\:=\:\frac{v_o}{R} \label{eq:der}
\end{equation}
come \'e immediato verificare.

Da questa si ottiene poi:
\[
v_o\:=\:RC\frac{dv_i}{dt}\:-\:RC\frac{dv_o}{dt}\]
se ora il secondo dei due termini a secondo membro fosse trascurabile rispetto
al primo, avremmo un derivatore ideale:
\begin{equation}
v_o\:=\:RC\frac{dv_i}{dt} \label{eq:eighteen}
\end{equation}
Tuttavia, in un normale circuito passa-alto, il termine $dv_o/dt$ non \'e
necessariamente trascurabile, e quindi esso non sar\'a un derivatore ideale.

Possiamo vedere ci\'o facendo uso delle trasformate di Laplace. Un derivatore
ideale deve dare un segnale in uscita proporzionale alla derivata di quello
in ingresso:
\[
v_o\:=\:K \frac{dv_i}{dt}
\]
Prendendo la trasformata di Laplace di entrambi i membri:
\begin{equation}
\tilde{v}_o \: = \:K s \tilde{v}_i    \label{eq:nineteen}
\end{equation}
Per il circuito passa-alto di figura~\ref{pasalt}, otteniamo:
\[
\tilde{v}_o\:=\:\tilde{v}_i\:\frac{R}{R+1/sC}\:=\:\tilde{v}_i \:
 \frac{s}{s+1/\tau}
\]
con $\tau=RC$. Perch\'e questa acquisti la forma della~(\ref{eq:nineteen}) 
occorre che sia $1/\tau$ molto grande, in modo tale che il termine in s a 
denominatore risulti trascurabile. Ci\'o richiede che sia $\tau$ molto piccolo. 
Un modo per realizzare tale scopo \'e quello di usare un operazionale, come 
mostrato nella figura~\ref{derive}.


\begin{figure}[h]
\begin{center}\mbox{\epsfig{file=derive.eps,width=10.4 cm,
height=6.4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{derive}
\end{figure}


La risposta di questo circuito, che \'e caratterizzato, analogamente 
all'integratore, da una reazione negativa dovuta alla presenza del
condensatore tra uscita ed ingresso invertente, \'e calcolabile in
modo facile, ricordando la condizione $v_-\:=\:v_+\:=\:0$ ed il fatto
che la corrente che attraversa la capacit\'a C deve uguagliare quella che
attraversa la resistenza R:
\[
i\:=\:C\frac{dv_i}{dt}\:=\:-\frac{v_o}{R}
\]
da cui si ottiene:
\[
v_o\:=\:-RC\frac{dv_i}{dt}
\]
Cio\'e abbiamo un derivatore ideale (o quasi).


Per comprendere il motivo per cui adesso il circuito si comporta da derivatore, 
possiamo far uso del teorema di Miller, ottenendo il circuito equivalente 
mostrato in figura~\ref{millersecond}, dove \'e $R'=R/(1+A_v)$ ed  
$R''=RA_v/(1+A_v)$.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=millersecond.eps,width=9.75 cm,
height=4.7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{millersecond}
\end{figure}


Dal circuito equivalente vediamo che ora la maglia d'ingresso \'e caratterizzata
da una costante di tempo $R' C$, con $R'=R/(1+A_v)$, cio\'e una costante di
tempo molto piccola, che \'e giusto quello che occorre per ottenere un
derivatore ideale.

Possiamo comprendere intuitivamente ci\'o che ora accade, riandando 
all'equazione~(\ref{eq:der}). Dall'analisi del nuovo circuito vediamo che il 
termine nell'espressione della corrente, che prima era:
\[C \frac{d}{dt}(v_i-v_o)
\]
ora \'e semplicemente:
\[
C\frac{dv_i}{dt}
\]
poich\'e l'operazionale mantiene fissa a zero la tensione sull'armatura
destra del condensatore. Di conseguenza questo viene ora caricato da
una differenza di potenziale che \'e giusto $v_i$.

\section{Amplificatore di carica}

I segnali generati da un gran numero di dispositivi elettronici (cellule 
fotoelettriche, rivelatori di particelle nucleari/subnucleari a semiconduttore, 
fotomoltiplicatori, diodi etc.) consistono in impulsi di corrente di breve 
durata. Se indichiamo con i la corrente media e con dt la sua durata, l'impulso 
di corrente accumula una piccola carica $dQ\:=\:i\:dt$ sulla capacit\'a 
d'ingresso del circuito adoperato per amplificarlo (ed eventualmente 
trasformarlo in uno di tensione). La capacit\'a in questione pu\'o consistere 
della capacit\'a
d'ingresso di uno stadio a transistor e/o di eventuali altre capacit\'a inserite
nel circuito amplificatore nonch\'e delle capacit\'a associate ai cavetti di
collegamento. 

\'E opportuno amplificare il segnale di carica dQ in modo tale che il segnale
di tensione (o corrente) in uscita non risulti dipendente da tale capacit\'a, 
che potrebbe variare in diverse applicazioni del dispositivo.

Un sistema in grado di fornire un segnale di tensione in uscita, indipendente 
dalla capacit\'a effettiva presente in ingresso, \'e quello basato sullo schema
mostrato in figura~\ref{chargeamp}(a).

$C_{in}$ \'e la capacit\'a effettiva in ingresso, su cui viene accumulata
la carica $\int{dQ}\:=\:\int{i\:dt}\:=\:Q$ in un piccolo intervallo di tempo
$\Delta t$.
Per ottenere la relazione tra la carica Q in ingresso e la tensione $v_o$
in uscita, facciamo uso del teorema di Miller, ottenendo lo schema di 
figura~\ref{chargeamp}(b). 

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=chargeamp.eps,width=13.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{chargeamp}
\end{figure}

La capacit\'a d'ingresso in tale schema \'e:
\[
C'\:=\:C_{in}+C_f(1+A)\:\approx \:C_f(1+A)
\]
dove A \'e il guadagno dell'operazionale.
Si ha quindi:\[
v_-\:=\:\frac{Q}{C_f(1+A)}
\]
per cui:
\[
v_o\:=\:-A \:v_-\:=\:-\frac{A Q}{C_f(1+A)}\:\approx\:-\frac{Q}{C_f}
\]
In un normale operazionale senza capacit\'a di feedback avermmo avuto:
\[
v_{in}\:=\:\frac{Q}{C_{in}}  
\]
e quindi:
\[
v_{out}\:=\:-A\:\frac{Q}{C_{in}}
\]
Vediamo che il guadagno sarebbe quindi stato maggiore, di un fattore $\approx 
A$. Paghiamo quindi il prezzo di una notevole diminuzione del guadagno, ma 
otteniamo il vantaggio di una indipendenza della risposta dalla capacit\'a
$C_{in}$.

Perch\'e il condensatore possa scaricarsi dopo l'arrivo di un impulso di 
corrente, in attesa del successivo, \'e opportuno (come nel caso 
dell'integratore) porre in parallelo a $C_f$ una resistenza $R_f$. Il circuito 
diventa allora quello di figura~\ref{chargeampres}(a).
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=chargeampres.eps,width=14.0 cm,
height=7.2 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{chargeampres}
\end{figure}


Utilizzando nuovamente il teorema di Miller, otteniamo il circuito equivalente
mostrato in figura~\ref{chargeampres}(b).
dove:
\[
Z\:=\:\frac{R_f}{1+s\tau_f}
\]
e:
\[
\tau_f\:=\:R_f C_f
\]
Trascurando $C_{in}$ ed ammettendo che il segnale in ingresso sia 
schematizzabile con un gradino di corrente:
\[
\tilde{i}\:=\:\frac{i_0}{s}
\]
avremo:
\[
\tilde{v}_o \: = \: -A \tilde{v}_- \:=\: -A \: \frac{Z}{1+A}\frac{i_0}{s} \:=\: 
-\frac{A i_o R_f}{(1+A)s(1+s\tau_f)} \: \approx \:- \frac{i_0 R_f}{s(1+s 
\tau_f)} \:=\: -\frac{i_0 R_f}{\tau} \frac{1}{s(s+1/\tau_f)}
\]
che \'e uguale a:
\[
\tilde{v}_o \:=\: -i_0 R_f[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1/\tau_f}]
\]
Da questa si ottiene poi:
\[
v_0 \:=\: -i_0 R_f(1-e^{-t/\tau_f})
\]
con $\tau_f=R_f C_f$

\section{Tensione di riferimento}
Si supponga di aver bisogno di un generatore che eroghi corrente, ad una
tensione costante, rigorosamente determinata. Se si adopera una batteria
di precisione, che fornisce una tensione fissa, una volta che questa sia
collegata ad un carico, potr\'a non avere pi\'u la medesima tensione.
Il circuito di figura~\ref{refvolt}, che adopera un operazionale, risolve il 
problema.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=refvolt.eps,width=9.75 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{refvolt}
\end{figure}



Se $V_R$ \'e la tensione di riferimento fornita dalla batteria, il principio
della massa virtuale ed il fatto che l'operazionale non assorbe corrente, ci 
danno:
\[
\frac{V_R-v_o}{R_2}\:=\:-\frac{v_o}{R_1+R_2}
\]
da cui segue:
\[
v_o\:=\:V_R\:(1+\frac{R_2}{R_1})
\]
Notiamo che in questo circuito la batteria non eroga alcuna corrente, che \'e
invece fornita dall'operazionale.

Un circuito equivalente \'e quello di figura~\ref{refvolt_other}, per il quale 
valgono le medesime relazioni.
 \begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=refvolt_other.eps,width=7.8 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{refvolt_other}
\end{figure}

\section{Convertitori corrente-tensione e tensione-corrente}

Un circuito che fornisce un segnale in tensione a partire da uno in corrente
\'e quello di figura~\ref{corrente_v}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=corrente_v.eps,width=8.025 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{corrente_v}
\end{figure}

Il funzionamento di questo circuito si pu\'o facilmente comprendere facendo
uso del principio della massa virtuale. Infatti, essendo il terminale invertente
effettivamente a massa, nessuna corrente fluisce nella resistenza R. Tutta la 
corrente erogata dal generatore fluisce in $R_1$. Si ha quindi:
\[
v_o\:=\:-R_1 I
\]

Esaminiamo ora alcuni convertitori tensione-corrente. Il primo esempio \'e
quello  gi\'a esaminato nella sezione precedente e mostrato
nella figura~\ref{refvolt_other}, che riportiamo nuovamente in
figura~\ref{tensione_i}. 

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=tensione_i.eps,width=8.025 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{tensione_i}
\end{figure}



Vediamo che la corrente I in $R_2$ \'e uguale a quella
in $R_1$ che vale:
\[
I\:=\:\frac{v_{in}}{R_1}\]
Questa corrente non dipende dal \emph{carico} $R_2$, ma solo da $v_{in}$ e da
$R_1$.

Il circuito appena esaminato ha l'inconveniente che il \emph{carico} $R_2$ non
ha alcuna delle estremit\'a direttamente collegata a massa, il che \'e
insoddisfacente in molte applicazioni.
Un convertitore tensione-corrente in cui uno dei terminali del carico \'e
a massa \'e quello di figura~\ref{tensione_itran}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=tensione_itran.eps,width=9.75 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{tensione_itran}
\end{figure}

Notiamo che la tensione al terminale non invertente, determinata da $V_{cc}$
e dal partitore $R_1-R_2$, vale:
\[
V_+\:=\:V_{cc}\:\frac{R_2}{R_1+R_2}
\]
e questa \'e, per il principio del corto-circuito virtuale all'ingresso
dell'operazionale, uguale a $V_-$ e quindi alla tensione dell'emettitore del
transistor (che \'e un pnp). Il motivo per cui possiamo anche in questo
caso utilizzare il principio del corto-circuito virtuale, deriva dal fatto
che l'uscita dell'operazionale \'e separata dall'ingresso invertente solo
dal $V_{BE}$ del transistor. Abbiamo quindi anche in questo caso una reazione
negativa. Che poi il transistor sia in conduzione pu\'o esser facilmente
compreso. Se infatti immaginiamo di partire da una situazione in cui esso
sia interdetto, avremo che la tensione V' (uguale a $V_-$) sar\'a uguale a 
$V_{cc}$ mentre la tensione del terminale non invertente \'e sicuramente
minore di $V_{cc}$. La tensione V all'uscita dell'A.O. tender\'a quindi ad 
andare a valori molto bassi, il che polarizzer\'a direttamente la giunzione 
(B-E) del transistor. 
Una volta che ci\'o sia avvenuto, questo comincer\'a a condurre
ed innescher\'a la reazione negativa tra l'uscita dell'operazionale, a tensione
$V=V'-V_{BE}$ e l'ingresso invertente. In definitiva vediamo che in
condizioni di funzionamento normale \'e: 
\[
V'\:=\:V_-\:=\:V_+\:=\:V_{cc}\frac{R_2}{R_1+R_2}
\]
e quindi la corrente in $R_L$, uguale alla corrente nel transistor, cio\'e alla 
corrente nella resistenza R, sar\'a:
\[
I\:=\:\frac{V_{cc}-V'}{R}
\]
Questa corrente non dipende dal carico $R_L$.

Un'alternativa, che fa uso di un transistor npn, \'e quella di 
figura~\ref{tensione_itranother}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=tensione_itranother.eps,width=9.36 cm,
height=7.2 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{tensione_itranother}
\end{figure}

Anche ora vediamo che se $v_{in} > V_-$, la tensione V all'uscita 
dell'operazionale tender\'a a salire, ma ci\'o mander\'a in conduzione
il transistor, con $V_{BE}\approx 0.6 V$, quindi salir\'a anche la 
tensione $V'$. Avremo ancora una volta una reazione negativa, con:
\[
v_{in}\:=\:V_-\:=\:V'\frac{R_2}{R_1+R_2}
\]
e quindi la corrente I nel carico $R_L$:
\[
I\:=\:V'/R_L\:=\:v_{in}\frac{R_1+R_2}{R_2 R_L}
\]

Un esempio di convertitore tensione-corrente che non fa uso di transistor \'e
infine quello di figura~\ref{tensione_corrente}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=tensione_corrente.eps,width=8.775 cm,
height=6.3 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{tensione_corrente}
\end{figure}

La reazione negativa fa si che sia $V_-=V_+$. Inoltre le correnti in $R_1$ ed
$R_2$ sono uguali, per cui si ha:
\[
\frac{v_{in}-V_-}{R_1}\:=\:\frac{V_- -V_1}{R_2}
\]
da cui si ottiene:
\begin{equation}
V_1\:=\:V_-\frac{R_1+R_2}{R_1}\:-\:v_{in}\frac{R_2}{R_1}  \label{eq:V1}
\end{equation}
D'altronde, la corrente nel carico \'e:
\[
I_L\:=\:\frac{V_+}{R_L}\:=\:\frac{V_-}{R_L}
\]
e la corrente in $R_4$
\[
I_4\:=\:\frac{V_1-V_-}{R_4}\:=\:\frac{V_-}{R_{\parallel}}
\]
dove $R_{\parallel}$ \'e il parallelo di $R_3$ ed $R_L$, per cui:
\[
I_4\:=\:\frac{V_-(R_3+R_L)}{R_3 R_L}\:=\:(\frac{V_-}{R_L}) 
\frac{R_3+R_L}{R_3}\:=\:\frac{I_L(R_3+R_L)}{R_3}
\]
Dalle ultime due equazioni si ottiene una relazione tra $I_L$ e $V_1$:
\[
V_1\frac{R_3}{R_4}\:=\:V_-\frac{R_3}{R_4}\:+\:I_L(R_3+R_L)
\]
Facendo ora uso della~(\ref{eq:V1}) otteniamo poi:
\[
V_-(1+\frac{R_2}{R_1})\frac{R_3}{R_4}\:-\:v_{in}\frac{R_2 R_3}{R_1 R_4}\:=\:V_-
\frac{R_3}{R_4}\:+\:I_L(R_3+R_L)
\]
Scegliamo ora i valori delle resistenze in modo che sia:
\begin{equation}
\frac{R_2}{R_1}\:=\:\frac{R_4}{R_3}    \label{eq:bilancio}
\end{equation}
l'ultima relazione diviene quindi:
\[
V_--v_{in}\:=\:I_L(R_3+R_L)
\]
dove $V_-=R_L I_L$. Si ottiene infine:
\[
I_L\:=\:-\frac{v_{in}}{R_3}
\]
Quindi la corrente nel carico dipende solo da $v_{in}$ e dalla resistenza $R_3$.
L'interesse di questo circuito, noto nella letteratura come 
''Howland current source'' \'e solo teorico, poich\'e esso 
richiederebbe un perfetto bilanciamento delle resistenze $R_1, R_2,R_3, R_4$, 
espresso dall'equazione~(\ref{eq:bilancio}). 
Nella pratica si fa uso dei circuiti con il transistor all'uscita 
dell'operazionale, che abbiamo gi\'a discusso.






\section{Applicazioni non-lineari degli operazionali}
Se in un amplificatore operazionale uno degli ingressi (ad esempio quello
invertente) \'e collegato a massa ed un segnale \'e applicato all'altro, 
l'uscita si porter\'a a $+V_{cc}$  se il segnale applicato \'e positivo
, a $-V_{cc}$ se esso \'e negativo.

Un amplificatore operazionale pu\'o cio\'e funzionare da \emph{comparatore},
effettuando un confronto tra il segnale applicato all'ingresso invertente e 
quello applicato a quello non invertente (la massa nel nostro esempio).
Si dice anche che un A.O. cos\'i adoperato funziona come un convertitore
analogico-digitale ad 1~bit. Il bit, cio\'e l'uscita, \'e 1 se l'uscita \'e
$+V_{cc}$ e 0 se l'uscita \'e $-V_{cc}$.
In un tipico A.O., la transizione tra i due livelli dell'uscita non \'e
netta, ma avviene con continuit\'a mentre l'ingresso differenziale passa
per lo zero, come mostrato in figura~\ref{transition}. Valori tipici del range 
di $V_i$ in cui avviene la transizione sono alcuni mV. Esistono degli A.O. 
progettati appositamente per essere adoperati come comparatori. 
Questi sono in genere molto veloci ed il range di valori della differenza di 
potenziale $V_i$ in cui avviene la transizione \'e molto piccolo 
($\mu$V invece di mV).

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transition.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{transition}
\end{figure}


Ci occuperemo in questa sezione e nelle seguenti di quelle applicazioni in cui
l'A.O. funziona appunto come comparatore, con l'eventuale presenza di una
reazione positiva tra uscita ed ingresso. Dispositivi di questo tipo sono 
utilizzati come comparatori con isteresi (trigger di Schmitt) o come 
multivibratori (per generare onde quadre, triangolari, etc.).

\section{Comparatore con isteresi}

Il circuito di figura~\ref{trschmitt}, costituisce un comparatore con isteresi o 
trigger di Schmitt.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=trschmitt.eps,width=7.5 cm,
height=6.5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{trschmitt}
\end{figure}

Indichiamo con $V_{OH}$ il livello alto dell'uscita (quello che si ha per 
$V_+ > V_-$) e con $V_{OL}$ il livello basso. 
Ammettendo che l'uscita sia alta avremo, per il principio di sovrapposizione:
\[
V_+\:=\:\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{OH}\:+\:\frac{R_2}{R_1+R_2} V \equiv V_{RH}
\]
Questo sar\'a lo stato del circuito se $v_i < V_{RH}$. Se ora $v_i$ comincia a 
salire, l'uscita del circuito si porter\'a al suo livello inferiore $V_{OL}$ 
quando $v_i$ superer\'a $V_{RH}$.
Se $v_i$ continua a salire, $v_o$ manterr\'a il valore raggiunto $V_{OL}$
In questa nuova situazione $V_+$ varr\'a:
\[
V_+\:=\:\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{OL}\:+\:\frac{R_2}{R_1+R_2} V \equiv V_{RL}
\]

Se ora $v_i$ ricomincia a scendere, l'uscita del circuito si porter\'a al suo 
livello superiore solo quando sia: $v_i < V_{RL}$. Vediamo quindi che la 
transizione $V_{OH} \rightarrow V_{OL}$  avviene ad un valore della tensione di 
riferimento pi\'u elevata che non quella corrispondente alla transizione 
opposta. 
Ci\'o \'e mostrato in figura~\ref{isteresi}. Vediamo che, partendo da una 
situazione in cui $v_i$ \'e minore di $V_{RL}$ e quindi l'uscita \'e
alta ($v_o\:=\:V_{OH}$), aumentando $v_i$, l'uscita rimane alta, fino a che
l'ingresso non abbia superato $V_{RH}$. A questo punto l'uscita \'e bassa
($v_o \: = \: V_{OL}$) e rimane bassa all'aumentare di $v_i$. Se torniamo 
indietro, facendo diminuire $v_i$, l'uscita rimane bassa fino a che $v_i$ non 
abbia raggiunto il valore $V_{RL}$. Il punto rappresentativo dello stato del 
sistema nel piano $v_i-v_o$ descrive il perimetro del rettangolo mostrato in 
figura, nel verso indicato dalle frecce. 
Il rettangolo in questione rappresenta il \emph{ciclo d'isteresi} del circuito.

Se quindi all'ingresso del circuito viene applicato un segnale variabile nel
tempo, l'uscita si porter\'a ad un valore \emph{basso} se l'ingresso 
\emph{supera} la soglia \emph{alta} $V_{RH}$, mentre la transizione opposta
potr\'a aver luogo solo se il segnale applicato scende \emph{al di sotto} della 
soglia \emph{bassa} $V_{RL}$. Un esempio \'e quello mostrato in 
figura~\ref{trschout}.


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=isteresi.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{isteresi}
\end{figure}


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=trschout.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{trschout}
\end{figure}
In questo esempio, i valori delle resistenze sono $R_1=5k$ ed $R_2=10k$ mentre
V=0 e l'operazionale \'e alimentato a $\pm 15V$. L'input \'e una sinusoide di frequenza $60\:Hz$ ed ampiezza $\pm\:10\:V$.
Con tale scelta dei parametri si ha:
\[
V_{RH} \: = \: 5 \: V \: \: \:  \: \: \: V_{RL} \: = -5 \: V
\]
L'uscita \'e un'onda rettangolare di periodo uguale a quello della sinusoide.

L'isteresi \'e definita dalla differenza $V_{RH}-V_{RL}$. Essa vale quindi:
\[
V_{RH}-V_{RL} \: = \: \frac{R_1}{R_1+R_2}(V_{OH}-V_{OL})
\]

Il circuito pu\'o esser modificato in modo tale che i due livelli della tensione
d'uscita siano diversi dalle tensioni d'alimentazione. \'E sufficiente 
aggiungere al nodo d'uscita due diodi Zener contrapposti, come mostrato in
figura~\ref{schmitzener}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=schmitzener.eps,width=8.5 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{schmitzener}
\end{figure}


I livelli di tensione in uscita sono ora:
\[
V_{OL} \: = \: -(V_Z+V_D)
\]


\[
V_{OH} \: = \: +(V_Z+V_D)
\]

\section{Multivibratore astabile (generatore di onde rettangolari)}

Il dispositivo mostrato in figura~\ref{quadra} pu\'o essere adoperato per 
generare onde rettangolari. Esso \'e essenzialmente un trigger di Schmitt 
comandato da un integratore.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=quadra.eps,width=8.5 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{quadra}
\end{figure}

Le tensioni di riferimento del comparatore sono:

\[
V_{RH}\:=\:V_{OH}\frac{R_1}{R_1+R_2}\:\:  (\:> 0\:)
\]

\[
V_{RL}\:=\:V_{OL} \frac{R_1}{R_1+R_2}\:\: (\: < 0 \:)
\]

L'uscita sar\'a alta fintanto che $V_-$ non abbia raggiunto il valore 
$V_{RH}$. In  tale istante (con $V_-=V_{RH}\:>\:0$) l'uscita passa 
al valore basso $V_{OL}$(negativo). 
Ora il condensatore comincer\'a a caricarsi, con costante di tempo
$\tau = RC$ verso il valore asintotico $V_{OL}$. Se prendiamo come istante
zero quello in cui l'uscita \'e passata al valore basso $V_{OL}$, l'andamento
di $V_C=V_-$ sar\'a:\[
V_-\:=\:(V_{RH}-V_{OL})\:e^{-t/\tau}\:+\:V_{OL}
\]
Un'ulteriore commutazione dell'uscita verso il valore alto avr\'a luogo quando
$V_-=V_{RL}$, cio\'e, usando l'ultima equazione scritta, quando:
\[
V_{RL}-V_{OL}\:=\:(V_{RH}-V_{OL})e^{-t/\tau}
\]
cio\'e:
\[
\frac{V_{RL}-V_{OL}}{V_{RH}-V_{OL}}\:=\:e^{-t/\tau}
\]
da cui si ottiene poi:
\[
T_1\:\equiv\:t\:=\:\tau \ln \frac{V_{RH}-V_{OL}}{V_{RL}-V_{OL}}
\]
In tale istante avremo $V_-=V_{RL}$ e $v_o=V_{OH}$. Ora il condensatore
comincer\'a nuovamente a caricarsi verso il valore asintotico $V_{OH}$, con 
costante di tempo $\tau$. Avremo ora:
\[
V_-\:=\:V_{OH}+(V_{RL}-V_{OH})e^{-t/\tau}
\]
La commutazione dell'uscita verso il valore basso $V_{OL}$ avverr\'a per $V_-
=V_{RH}$. Il nuovo intervallo di tempo $T_2$ sar\'a ora ottenibile 
dall'equazione:
\[
V_{RH}\:=\:V_{OH}+(V_{RL}-V_{OH})e^{-T_2/\tau}
\]
Si ottiene:
\[
T_2\:=\:\tau \ln \frac{V_{RL}-V_{OH}}{V_{RH}-V_{OH}}
\]
Se vogliamo che il segnale in uscita sia un'onda quadra, cio\'e che sia
$T_1=T_2$, deve essere:
\[
\frac{V_{RH}-V_{OL}}{V_{RL}-V_{OL}}\:=\:\frac{V_{RL}-V_{OH}}{V_{RH}-V_{OH}}
\]
che \'e soddisfatta solo se \'e:
\[
V_{OL}\:=\:-V_{OH}
\]
con che \'e anche:
\[
V_{RL}\:=\:-V_{RH}
\]
Il periodo dell'onda quadra varr\'a ora:
\[
T\:=\:T_1+T_2\:=\:2\tau \ln \frac{V_{RL}-V_{OH}}{V_{RH}-V_{OH}}\:=\:2 \tau \ln 
\frac{V_{RH}+V_{OH}}{V_{OH}-V_{RH}}
\]
dove \'e:
\[
V_{RH}\:=\:V_{OH}\ \frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
per cui si ha infine:
\[
T\:=\:2 \tau \ln (1+2\frac{R_1}{R_2})
\]
La figura~\ref{ondaquadra} mostra l'andamento temporale del segnale all'uscita
dell'A.O. e di quello all'ingresso invertente, per un tipico circuito di questo
tipo.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ondaquadra.eps,width=10.0 cm,height=9 
cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{ondaquadra}
\end{figure}


Il generatore di onde quadre appena discusso ha un'ampiezza che dipende dalla
tensione d'alimentazione dell'operazionale. Se si vuole un'ampiezza di tensione
in uscita fissata ad un valore diverso (minore), \'e sufficiente porre in
uscita due diodi Zener contrapposti, come indicato in figura~\ref{quadrazener}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=quadrazener.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{quadrazener}
\end{figure}


Si pu\'o vedere che in tal caso il periodo vale:
\[
T\:=\:2 \tau \ln (1+2\frac{R_1}{R_2})
\]
come nel caso precedente. Il periodo \'e cio\'e indipendente dall'ampiezza.

Se poi si vuol modificare il circuito in modo che sia $T_1 \neq T_2$, \'e
sufficiente fare in modo che la costante di tempo relativa alla \emph{salita}
del segnale sia diversa da quella relativa alla \emph{discesa}. Ci\'o pu\'o
esser ottenuto sostituendo la resistenza R con il circuito mostrato in
figura~\ref{zenerdiode}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=zenerdiode.eps,width=6.5 cm,
height=3.3 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{zenerdiode}
\end{figure}


 Si vede che quando l'uscita \'e positiva, $D_1$ conduce mentre $D_2$ \'e 
interdetto. La costante di tempo ora \'e RC ed il relativo periodo \'e:
\[
T_1 \: = \: RC \ln (1+2\frac{R_1}{R_2})
\]
Quando l'uscita \'e negativa, $D_1$ \'e interdetto e $D_2$ conduce. La relativa
costante di tempo ora \'e R'C ed il relativo semiperiodo \'e:\[
T_1 \: = \: R'C \ln (1+2\frac{R_1}{R_2})
\]
\section{Multivibratore monostabile}

Il multivibratore astabile discusso in precedenza pu\'o esser trasformato
in uno monostabile se si impedisce al condensatore di caricarsi al valore
$V_{RH}$. Ci\'o pu\'o essere ottenuto semplicemente ponendo un diodo in 
parallelo al condensatore, come mostrato in figura~\ref{monostabile}.


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=monostabile.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }\protect\label{monostabile}
\end{figure}


Ora la tensione $V_c$ ai capi del condensatore \'e bloccata al valore
$V_{\gamma}$ della tensione del diodo in conduzione. Di conseguenza non
pu\'o pi\'u aversi la commutazione della tensione in uscita dal livello 
superiore $V_{OH}$ a quello inferiore $V_{OL}$. 
Lo stato stabile del sistema \'e quindi quello in cui $V_+ > V_-$ e 
quindi $V_O = V_{OH}\:>\:0$.
La commutazione allo stato $V_{OL}$ pu\'o aversi solo se si applica all'ingresso
non invertente un segnale negativo di ampiezza maggiore di $V_{RH}-V_{\gamma}$.
Ponendo t=0 nell'istante in cui avviene la commutazione, a partire da tale
istante il condensatore, carico alla tensione $V_{\gamma}$, dovr\'a scaricarsi
con costante di tempo $\tau=RC$ al valore asintotico $V_{OL}$. Cio\'e:
\[
V_- \:=\: V_c\:=\:V_{OL}+(V_{\gamma}-V_{OL})\:e^{-t/\tau}
\]
La commutazione $V_{OL}\rightarrow V_{OH}$ avviene quando $V_-=V_{RL}$, cio\'e:
\[
\frac{V_{RL}-V_{OL}}{V_{\gamma}-V_{OL}}\:=\:e^{-T/\tau}
\]
da cui si pu\'o ricavare la durata T dell'impulso (negativo) di tensione 
all'uscita dell'operazionale:
\[
T\:=\:\tau \:\frac{V_{\gamma}-V_{OL}}{V_{RL}-V_{OL}}
\]
dove:
\[
V_{RL}\:=\:V_{OL}\frac{R_1}{R_1+R_2}\]
da cui si ottiene infine per T:
\[
T\:\approx\:\tau\ln(1+\frac{R_1}{R_2})
\]
La durata dell'impulso generato dipende quindi solo dalle resistenze e dalla
costante di tempo $\tau$.
Per effetto della commutazione la capacit\'a C tender\'a ora a caricarsi con 
legge esponenziale verso la tensione $V_{OH}$. Quando per\'o $V_c$ raggiunge
il valore $V_{\gamma}$, il diodo $D_1$ entra in conduzione ed il sistema
rimane nello stato stabile raggiunto, fino all'arrivo di un nuovo impulso
negativo.
Ovviamente, la foma dell'impulso $V_{in}$ \'e irrilevante, purch\'e la sua
ampiezza sia sufficiente a dar origine alla transizione.
L'escursione del segnale in uscita pu\'o anche ora esser limitata, inserendo
due diodi Zener contrapposti, come gi\'a visto nel caso dell'astabile. 

\section{Generatore di onde triangolari}

Se si esamina il generatore di onde quadre visto in precedenza, si nota
(vedi fig~\ref{ondaquadra}) che la tensione al terminale invertente aumenta
e poi diminuisce con legge esponenziale, con una costante di tempo $\tau=RC$. 
Ci\'o \'e legato al fatto che la corrente che carica il condensatore non
\'e costante, essendo limitata dal simultaneo aumento della differenza di
potenziale tra i terminali del condensatore e conseguente caduta di potenziale
ai capi della resistenza R.
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=resandc.eps,width=4.25 cm,
height=3 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{resandc}
\end{figure}


Con riferimento alla figura~\ref{resandc}, abbiamo:
\[
Ri\:=\:V_R
\]
da cui:
\[
i\:=\:\frac{V_R}{R}\:=\:\frac{(V-V_C)}{R}
\]
Inoltre \'e:
\[
V_C\:=\:\frac{\int{i\:dt}}{C}
\]
ne segue che, con $V_R=V-V_C$, i diminuisce all'aumentare di $V_C$. Se volessimo
un $V_C$ che aumenta \emph{linearmente} con il tempo, dovremmo alimentare C con 
una
corrente costante:
\[
V_C\:=\:\frac{i}{C}dt
\]
Questa situazione pu\'o essere approssimata ragionevolmente bene da un 
integratore RC realizzato con un operazionale, il quale fornisce al
condensatore una corrente approssimativamente costante.

Il circuito \'e quello di figura~\ref{dentisega}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=dentisega.eps,width=11.0 cm,
height=6.6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{dentisega}
\end{figure}



Ammettiamo che la tensione $v_o$ all'uscita del comparatore sia al suo 
limite inferiore: $-v_o=-(V_Z+V_{\gamma})$.
Ora sull'ingresso invertente dell'integratore abbiamo un segnale
negativo. L'uscita V(t) sar\'a una rampa crescente e la tensione al terminale
non invertente del comparatore sar\'a:
\[
V_1\:=\:-v_o\frac{R_2}{R_1+R_2}\:+\:V(t)\frac{R_1}{R_1+R_2}\]Quando $V_1$ 
raggiunge la tensione di riferimento $V_R$, il comparatore cambia
stato: $v_o\:=\:+(V_Z+V_{\gamma})$ e V(t) comincia a decrescere linearmente 
(vedi figura~\ref{denti}).

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=denti.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{denti}
\end{figure}


Il massimo della funzione d'onda triangolare si ha quando $V_1=V_R$, cio\'e:
\[
V_R\:=\: -v_o\frac{R_2}{R_1+R_2}\:+\:V_{max}\frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
da cui:\[
V_{max}\:=\:V_R\frac{R_1+R_2}{R_1}+v_o\frac{R_2}{R_1}
\]
Analogamente:
\[
V_{min}\:=\:V_R\frac{R_1+R_2}{R_1}-v_o\frac{R_2}{R_1}
\]
Ed infine:
\[
V_{max}-V_{min}\:=\:2 v_o \frac{R_2}{R_1}
\]
e:
\[
\overline{V}\:=\:V_{medio}\:=\:V_R\frac{R_1+R_2}{R_1}
\]
Per $V_R=0$ la funzione \'e simmetrica in ampiezza: $V_{max}=-V_{min}$. 
Quindi il valor medio \'e controllabile variando $V_R$ e l'ampiezza variando 
il rapporto $R_2/R_1$.

Calcoliamo ora i periodi $T_1$ e $T_2$ indicati in figura~\ref{denti} ammettendo 
che sia $V_s=0$. Possiamo calcolare $T_1$ dalla relazione:
\[
T_1\:=\:(V_{max}-V_{min})/tan\alpha
\]
dove $tan\alpha \:=\:dV/dt$ \'e il rate di salita del segnale in uscita. Questo
\'e $dV/dt\:=\:I/C\:=\:v_o/RC$. Quindi:
\[
T_1\:=\:\frac{V_{max}-V_{min}}{v_o/RC}\:=\:\frac{2 v_o R_2/R_1}{v_o/RC}\:=\:2 
\frac{R_2}{R_1}RC
\]
Notiamo che $|\beta|=|\alpha|$, quindi $T_1=T_2$. Ne segue:
\[
T\:=\:T_1+T_2\:=\:4 \frac{R_2}{R_1}RC
\]
\[
f\:=\:\frac{1}{T}\:=\:\frac{R_1}{R_2}\:\frac{1}{4RC}
\]

\section{Limitatori e rettificatori}

Un A.O. pu\'o esser utilizzato, per realizzare un limitatore. Un esempio \'e 
quello mostrato in figura~\ref{limitatore1}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=limitatore1.eps,width=8.775 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{limitatore1}
\end{figure}
Se il diodo \'e interdetto il circuito si comporta come un normale amplificatore
invertente e la tensione in uscita sar\'a data da:
\[
v_o\:=\:-\frac{R_2}{R_1}v_i
\]
Il diodo comincer\'a a condurre se la differenza di potenziale ai suoi capi
supera $V_{\gamma}$. Ci\'o accade quando la tensione in ingresso $v_i$
soddisfa la condizione:
\[
\frac{v_i}{R_1}\:=\:-\frac{v_o}{R_2}\:=\:\frac{V_{\gamma}}{R_2}
\]
Cio\'e:
\[
v_i\:=\:\frac{R_1}{R_2} V_{\gamma}
\]
In altri termini, il diodo potr\'a condurre se:
\[
v_i \geq \frac{R_1}{R_2} V_{\gamma}
\]
In tali condizioni la tensione in uscita sar\'a uguale a quella presente sul
terminale invertente (0 V) diminuita del $V_{\gamma}$ del diodo:
\[
v_o\:=\:-V_{\gamma}
\]

In definitiva avremo in uscita un segnale di tensione pari a $-V_{\gamma}$ se
$v_i \geq (R_1/R_2) V_{\gamma}$ ed uguale a $-v_i \: R_2/R_1$ se
tale condizione non \'e soddisfatta.

In figura~\ref{limitout} si pu\'o vedere il segnale in uscita da un tale
circuito (con $R_1=R_2$) nel caso in cui il segnale in ingresso sia una
sinusoide.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=limitout.eps,width=8.775 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{limitout}
\end{figure}


Se si vuol limitare ad un livello diverso dal $V_{\gamma}$ del diodo, si pu\'o
sostituire questo con la serie di un diodo ed uno Zener, come mostrato in 
figura~\ref{limitatore2}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=limitatore2.eps,width=8.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{limitatore2}
\end{figure}

Ora la corrente nel ramo contenente i diodi pu\'o circolare solo nel verso
del diodo D, se la differenza di potenziale ai capi del ramo in questione
supera il valore $V_Z+V_{\gamma}$, cio\'e quando la tensione in uscita $v_o$
\'e pari a $-(V_Z+V_{\gamma})$. Ci\'o accade quando \'e:
\[
\frac{v_i}{R_1}\:=\:-\frac{V_Z+V_{\gamma}}{R_2}
\]
Se quindi $v_i$ \'e negativo e maggiore in modulo del valore:
\[
\frac{(V_Z+V_{\gamma})R_1}{R_2}
\]
l'uscita \'e bloccata a $-(V_Z+V_{\gamma})$. Se $v_i$ \'e invece maggiore di
\begin{equation}
-\frac{(V_Z+V_{\gamma})R_1}{R_2}     \label{eq:threshold}
\end{equation}
il ramo contenente i diodi sar\'a interdetto ed il circuito si comporter\'a
come un normale amplificatore invertente, con uscita data da:
\[
v_o\:=\:-\frac{R_2}{R_1}v_i
\]
La funzione di trasferimento di tale circuito \'e mostrata in 
figura~\ref{transfun}, dove abbiamo indicato con $Vg$ il $V_{\gamma}$ del
diodo e con $V_{min}$ la tensione di soglia data 
dall'equazione~(\ref{eq:threshold}).

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transfun.eps,width=8.775 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{transfun}
\end{figure}


Un limitatore a due livelli diversi \'e ottenibile sostituendo nell'ultimo
circuito al diodo D un secondo Zener, con polarit\'a opposta a quella del
primo. Il relativo circuito, il cui funzionamento \'e analogo ai precedenti,
\'e mostrato in figura~\ref{limitatore3}



\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=limitatore3.eps,width=8.775 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{limitatore3}
\end{figure}

%Un circuito rettificatore \'e mostrato in figura~\ref{rettifica}.
%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rettifica.eps,width=8.77 cm,
%height=6 cm}}\end{center}
%\caption{ }
%\protect\label{rettifica}
%\end{figure}

\section{Rivelatori di picco}

In molte applicazioni \'e necessario conoscere e memorizzare il valore di picco 
che un segnale di tensione ha raggiunto in un certo intervallo di tempo.
Ci\'o pu\'o esser ottenuto facendo si che il segnale di tensione in questione
carichi una capacit\'a \emph{durante l'intervallo di tempo in cui il segnale di 
tensione continua a salire} e sia invece disconnesso dalla medesima capacit\'a 
negli intervalli di tempo successivi, quando il segnale di tensione diminuisce.

Un circuito che potrebbe realizzare tale funzione (per segnali d'ingresso 
positivi) \'e quello di figura~\ref{rivpicco0}, costituito da un diodo ed 
una capacit\'a.


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivpicco0.eps,width=6.2 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{rivpicco0}
\end{figure}


Se il diodo \'e ideale, esso \'e polarizzato direttamente quando la differenza
tra la tensione in ingresso $v_i$ e quella ai capi del condensatore $v_o$
rimane superiore al $V_{\gamma}$ del diodo. Se $v_o$ ha raggiunto un certo
valore $V_{max}$ ed ora $v_i$ comincia a diminuire, il diodo viene ad esser
polarizzato inversamente e la tensione d'uscita rimane bloccata al valore
$V_{max}$. Uno degli inconvenienti di questo circuito \'e costituito dal
fatto che la tensione in uscita non \'e uguale a quello in ingresso, ma 
differisce da essa del $V_{\gamma}$ del diodo, che oltretutto dipende dalla
temperatura. Un circuito che ovvia a tale inconveniente \'e quello di 
figura~\ref{rivpicco1}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivpicco1.eps,width=8.775 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{rivpicco1}
\end{figure}

Questo \'e simile ad un limitatore per segnali positivi (senza la resistenza
posta in parallelo al diodo) e con un condensatore posto tra l'uscita dell'A.O.
e massa. 

Esaminiamo il funzionamento di tale circuito. Se $v_i > V_-=v_o = V_c$, il
segnale presente al terminale non invertente \'e maggiore di quello presente
al terminale invertente. In tali condizioni  $V'$ tende a salire ed a portarsi
eventualmente abbastanza al di sopra di $V_c$ da mandare il diodo in conduzione.
Ora il circuito si comporter\'a da inseguitore di tensione ed il condensatore si 
porter\'a allo stesso potenziale $v_i$ dell'ingresso.

Quando $v_i$ scende al di sotto della tensione presente in uscita $V_c$, 
l'uscita dell'A.O. diventa negativa ed il diodo \'e interdetto.
Vediamo cos\'i che il condensatore si carica fino a che la sua tensione non
raggiunge il massimo tra tutti i valori del segnale applicato in ingresso.
Per \emph{resettare} il circuito si dovr\'a far uso di un interruttore, ed 
a tale scopo si pu\'o adoperare un interruttore a JFET o MOSFET posto ai capi 
del condensatore, come mostrato in figura~\ref{rivpiccofet}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivpiccofet.eps,width=8.775 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{rivpiccofet}
\end{figure}



La configurazione del rivelatore di picco appena discussa presenta alcuni
inconvenienti. In primo luogo, se il segnale in ingresso \'e minore di quello ai 
capi del condensatore, l'operazionale satura al suo valore negativo. Inoltre,
l'uscita del circuito dovr\'a essere accoppiata ad un eventuale carico (ad 
esempio, il sistema che dovr\'a essere utilizzato per \emph{leggere} il segnale 
in tensione presente ai capi del condensatore). L'impedenza finita di tale 
carico far\'a si che il condensatore si scarichi. Entrambi gli inconvenienti
possono essere risolti facendo uso del circuito mostrato in 
figura~\ref{rivpicco2}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivpicco2.eps,width=10 cm,
height=5.7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{rivpicco2}
\end{figure}


L'operazionale presente in uscita \'e un inseguitore di tensione. Ora il
condensatore \emph{vede} l'elevata impedenza d'ingresso dell'inseguitore
(che alimenter\'a l'eventuale carico). La costante di tempo di scarica del
condensatore diventa ora molto grande ed il secondo dei problemi menzionati
\'e in tal modo risolto.

Il diodo D1 inserito tra l'uscita dell'operazionale e massa a sua volta 
impedisce che la tensione d'uscita dell'A.O. possa assumere valori negativi 
inferiori a $-V_{\gamma}$ e ci\'o risolve il primo dei problemi menzionati.


\section{Limiti degli amplificatori operazionali}

Abbiamo finora ammesso che l'A.O. abbia le caratteristiche ideali descritte
all'inizio del capitolo. In realt\'a un A.O. reale ha caratteristiche
che differiscono da quelle ideali. Vogliamo ora esaminare alcuni di questi 
\emph{limiti} e valutarne le conseguenze.

Pi\'u in particolare, occorre tener conto dei seguenti effetti:
\begin{itemize}
\item{Amplificazione non infinita}
\item{Banda passante finita}
\item{Correnti d'ingresso e differenza tra le correnti d'ingresso}
\item{Impedenza d'ingresso finita}
\item{Tensione di offset in ingresso}
\item{Slew rate}
\item{Impedenza d'uscita non nulla}
\end{itemize}

Cominciamo ad esaminare le conseguenze dell'amplificazione finita dell'A.O.,
con riferimento all'amplificatore invertente di figura~\ref{ampinv}. 

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ampinv.eps,width=8.775 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{ampinv}
\end{figure}




Se A non \'e infinito, non possiamo pi\'u far uso del principio della massa 
virtuale. 
Calcoliamo l'uscita continuando a considerare infinita l'impedenza d'ingresso, e 
quindi nulla la corrente che entra nel terminale invertente. L'intera corrente
fluisce cio\'e nel ramo $R_1-R_2$. 
Avremo quindi:
\[
i\:=\:\frac{v_i-V_-}{R_1}\:=\:\frac{V_--v_o}{R_2}
\]
da cui:
\[
\frac{v_i}{R_1}\:=\:V_-(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})-\frac{v_o}{R_2}
\]
con:
\[
V_-\:=\:-\frac{v_o}{A}
\]
per cui si ottiene:
\[
v_o\:=\:-\frac{R_2}{R_1}(\frac{1}{1+(R_1+R_2)/AR_1})\:v_i
\]
Ora teniamo conto del fatto che, se $v_o$ \'e la tensione in uscita, la
frazione di questa che il partitore $R_1-R_2$ riporta in ingresso \'e:
\[
\beta\:=\:\frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
a $\beta$ si da il nome di fattore o coefficiente di reazione. L'ultima 
relazione si pu\'o allora scrivere:
\[
v_o\:=\:-\frac{R_2}{R_1}(\frac{1}{1+1/\beta A})\:v_i
\]
Il guadagno con reazione nel caso concreto di un valore finito di A \'e
quindi:
\[
A_{vf}\:=\: -\frac{R_2}{R_1}(\frac{1}{1+1/\beta A})
\]
che, nel caso di un A infinitamente grande ci avrebbe dato il guadagno
\emph{ideale}:
\[
A_v\:=\:-\frac{R_2}{R_1}
\]
Il rapporto tra guadagno reale e guadagno ideale \'e:
\begin{equation}
\frac{A_{vf}}{A_v}\:=\:\frac{1}{1+1/\beta A}   \label{eq:ratio}
\end{equation}
Per un dato valore di A, il guadagno reale differir\'a tanto pi\'u dal guadagno
ideale quanto maggiore \'e il guadagno ideale richiesto, determinato dalla
scelta dei componenti $R_1$ ed $R_2$. Ad esempio, se A=100,000 e chiediamo
un guadagno (ideale), cio\'e un rapporto $R_2/R_1$ pari a 1000, avremo per
il coefficiente di reazione:
\[
\beta\:=\:\frac{R_1}{R_1+R_2}\:=\:\frac{1}{1+R_2/R_1}\:=\:0.001
\]
per cui: $1/(\beta A) = 0.01$ ed il rapporto dato
dall'equazione~(\ref{eq:ratio}) sar\'a uguale a 1/1.01=0.99. 
Se avessimo chiesto un guadagno 10 volte maggiore,
cio\'e un valore del rapporto  $\frac{R_2}{R_1}$ pari a 10,000, $\beta$ sarebbe
stato 10 volte pi\'u piccolo, cio\'e 0.0001, $\beta A$ sarebbe stato pari a
10, ed il rapporto tra quadagno reale ed ideale sarebbe stato pari a 1/1.1=0.91.

Vediamo in definitiva che l'effetto del guadagno finito dell'A.O. \'e tanto
maggiore quanto pi\'u forte si fa la richiesta sul guadagno dell'amplificatore
invertente.
Notiamo per inciso che la richiesta di un guadagno elevato si traduce
in un piccolo fattore di reazione $\beta$.

Una situazione analoga si riscontra nel caso dell'amplificatore in 
configurazione non-invertente. \'E facile verificare, in modo analogo
a quello seguito in precedenza, che il guadagno in questione, nel caso
di un'amplificazione A finita, \'e dato da:
\[
A_{vf}\:=\:(1+\frac{R_2}{R_1})\frac{1}{1+1/A\beta}
\]
mentre quello ideale sarebbe stato:
\[
A_v\:=\:1+\frac{R_2}{R_1}
\]
Il rapporto tra guadagno reale ed ideale \'e allora:
\[
\frac{A_{vf}}{A_v}\:=\:\frac{1}{1+1/A\beta}
\]
Quindi anche in questo caso l'amplificazione differir\'a da quella ideale
se $\beta$ \'e molto minore di 1, cio\'e se si vuole un guadagno ideale
molto grande.

Il prodotto $A\beta$ v\'a sotto il nome di \emph{guadagno della catena}
o \emph{loop gain}. Questo termine deriva dal fatto che, se un segnale
$v_i$ \'e applicato all'ingresso di un amplificatore di guadagno A, il
segnale presente in uscita \'e $A v_i$ e la catena di reazione \emph{riporta
in ingresso} una frazione $\beta$ di questo, per cui $\beta A$ rappresenta
appunto il guadagno complessivo della catena costituita dall'amplificatore
pi\'u la rete di reazione. Il guadagno dell'amplificatore reazionato
sar\'a grande se il ''loop gain'' \'e piccolo. Al guadagno $A_{vf}$ si
da poi il nome di \emph{guadagno a catena chiusa}.
Il guadagno A di un amplificatore indicato dai costruttori \'e di regola
quello misurato a frequenza molto bassa o in DC. 

C'\'e poi da tener conto della banda passante non infinita dell'A.O. 
Il guadagno A diminuisce molto al crescere della frequenza. In molti 
amplificatori, l'andamento di A in funzione della frequenza pu\'o essere 
schematizzato come:
\[
A(s)\:=\:\frac{A_0}{1+s \tau_p}
\]
dove $s=j\omega$ ed $1/\tau_p$ rappresenta la frequenza alla quale 
il guadagno si riduce di un fattore 2 rispetto a quello a basse frequenze.
Questa pu\'o variare tra 1Mhz e 10 Mhz in un tipico amplificatore.
L'andamento del modulo di $A(\omega)$ in funzione di $\omega$ in un
diagramma di Bode \'e caratterizzato da una pendenza negativa di 6~dB/ottava.

Sostituendo questa espressione nella~(\ref{eq:ratio}) troviamo:
\begin{equation}
A_{vf}(s)\:=\:\frac{A_v (ideale)}{1+\frac{1+s\tau_p}{A_0 \beta}}  
\label{eq:avfs}
\end{equation}
che a basse frequenze, dove il termine $s \tau_p \ll 1$ diventa:

\begin{equation}
A_{vf}(DC)\:=\:\frac{A_v (ideale)}{1+\frac{1}{A_0 \beta}}  \label{eq:avfsdc}
\end{equation}

Dividendo la~(\ref{eq:avfs}) per la~(\ref{eq:avfsdc}) si ha poi:
\[
\frac{ A_{vf}(s)}{ A_{vf}(DC)}\:=\:\frac{1}{1+\frac{s \tau_p}{1+\beta A_0}}
\]
In molte applicazioni \'e $A_0 \beta \gg 1$ per cui:
\[
A_{vf}(s)\:=\:\frac{ A_{vf}(DC)}{1+\frac{s \tau_p}{\beta A_0}}
\]
che, ponendo $\omega_T$ uguale al prodotto del guadagno a bassa frequenza
$A_0$ per la larghezza di banda $1/\tau_p$ dell'A.O.:
\[
\omega_T \:=\:\frac{A_0}{\tau_p}
\]
pu\'o essere riscritta come:
\[
A_{vf}(s)\:=\:\frac{ A_{vf}(DC)}{1+\frac{s}{\beta \omega_T}}
\]

Si vede da quest'ultima espressione che la larghezza di banda ai 3 dB (cio\'e
la frequenza in corrispondenza alla quale il modulo dell'ampiezza si \'e ridotto
di un fattore $\sqrt{2}$ rispetto al valore DC) \'e:
\[
\omega_c \:=\: \beta \omega_T
\]

Poich\'e $1/\beta$ \'e all'incirca uguale al guadagno (ideale) $A_{vf}$ 
dell'amplificatore con reazione, vediamo da quest'ultima relazione che:
\[
A_{vf} \: \omega_c\:=\:\omega_T
\]
cio\'e che il prodotto del guadagno per la larghezza di banda \'e costante.

Esaminiamo ora il problema delle correnti di bias, dell'offset di tali correnti
e dell'offset della tensione d'ingresso. Quella che \'e nota come la \emph{Input 
bias current} o in breve $I_i$ \'e la corrente di polarizzazione. Essa \'e
la media aritmetica delle correnti entranti nei terminali non-invertente ed
invertente:
\[
I_i\:=\:\frac{I_{B1} + I_{B2}}{2}
\]
Ad esempio, tale corrente nel caso dell'integrato $\mu A 741$ vale tipicamente
80~nA; nel caso di A.O. con ingresso a FET essa ha valori dell'ordine di
qualche~pA.

La \emph{Input offset current} ($I_{io}$) indica la differenza delle correnti
entranti nei due terminali:
\[
I_{io}\:=\:I_{B1} - I_{B2}
\]
Tale parametro vale circa 20~nA nel caso del $\mu A 741$.
L'\emph{Input offset voltage} ($v_{os}$)indica la differenza di potenziale da 
applicare tra i terminali d'ingresso per azzerare l'uscita. Infatti, a causa 
delle dissimetrie interne all'integrato l'uscita potr\'a andare ad un valore non 
nullo con una identica tensione applicata ai due terminali d'ingresso.
Per il $\mu A 741$ un valore tipico \'e 2~mV. Esistono A.O. con valori della
$v_{os}$ di pochi $\mu V$. Per A.O. con ingresso a FET la $v_{os}$ tipica
\'e di 5~mV.

Esaminiamo ora l'effetto che sull'amplificatore invertente hanno le correnti
d'ingresso e la tensione di offset. Questi possono essere schematizzati
come mostrato in figura~\ref{modello}.
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=modello.eps,width=8.775 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{modello}
\end{figure}


$I_{B1} \:ed\: I_{B2}$ sono le correnti d'ingresso; $v_{os}$ la tensione di 
offset.

Nel caso di un amplificatore invertente
possiamo calcolare l'effetto di questi parametri sull'uscita 
facendo uso del principio di sovrapposizione e della schematizzazione 
di figura~\ref{offset}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=offset.eps,width=8.775 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{offset}
\end{figure}




Avremo:

\begin{enumerate}

\item{Senza correnti o tensioni di offset: $v_o\:=\:-\frac{R_2}{R_1}v_i$}

\item{Con solo $v_{os}$ : $v_o\:=\:(1+\frac{R_2}{R_1})v_{os}$}

\item{Con solo $I_{B1}$: $v_o\:=\:R_2 I_{B1}$}

\item{Con solo $I_{B2}$: $v_o\:=\:-R_3 I_{B2}(1+\frac{R_2}{R_1})$}

\end{enumerate}

In presenza di tutti questi contributi:
\[
v_o\:=\:-\frac{R_2}{R_1}v_i+(1+\frac{R_2}{R_1})v_{os}+ R_2 I_{B1}-R_3 
I_{B2}(1+\frac{R_2}{R_1})
\]
Se scegliamo $R_3$ uguale al parallelo di $R_1$ ed $R_2$, avremo per i due
termini dovuti alle correnti di offset:
\[
R_2 I_{B1}-R_3 I_{B2}(1+\frac{R_2}{R_1})\:=\:R_2(I_{B1}-I_{B2})
\]
Poich\'e la differenza tra le due correnti \'e molto minore di ciascuna singola
corrente, si vede che la scelta fatta riduce in modo sostanziale l'effetto
delle correnti d'ingresso.
Si vede da ci\'o che una buona regola pratica da seguire \'e quella di far
si che entrambi i terminali \emph{vedano} la medesima resistenza.
L'errore dovuto a $v_{os}$ pu\'o esser compensato in alcuni A.O. da un
apposito circuito di compensazione; in altri casi occorre applicare una
differenza di potenziale tra gli ingressi, tale da annullare l'effetto.

Se un ingresso dell'A.O. \'e accoppiato allo stadio precedente in modo
capacitivo, come nel caso dell'amplificatore non invertente di 
figura~\ref{amp_non_inv}, una resistenza addizionale dovr\'a 
essere inserita tra tale ingresso e massa, per consentire un
cammino alla corrente di polarizzazione.




\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amp_non_inv.eps,width=8.775 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{amp_non_inv}
\end{figure}




L'ultimo dei problemi di cui ci occuperemo in connessione con gli A.O. \'e
quello dello \emph{slew-rate}. Questo termine si riferisce al fatto che 
un A.O. pu\'o far variare la tensione in uscita con una rapidit\'a limitata.

Se applichiamo all'ingresso non invertente di un A.O. il cui ingresso
invertente sia collegato a massa, un impulso positivo di tensione, come
indicato in figura~\ref{slewrate}, l'uscita non seguir\'a istantaneamente
l'ingresso, ma salir\'a con una pendenza non-infinita, come indicato
in figura. Ci si riferisce a tale pendenza quando si parla di slew-rate.

Tale parametro \'e comunemente espresso da:
\[
SR\:=\:\frac{\Delta V}{\Delta t}
\]
dove $\Delta V$ \'e la variazione della tensione in uscita e $\Delta t$ 
l'intervallo di tempo in cui tale variazione ha avuto luogo. 

Valori tipici dello SR vanno da circa $0.01 ~V/\mu s$ a qualche migliaio
di $V/\mu s$. Va notato che lo SR per transizioni positive pu\'o differire
da quello relativo a transizioni negative.


Il fatto che il segnale in uscita non segua istantaneamente la variazione
di quello in ingresso fa si che, in presenza di feedback negativo, l'ingresso
invertente non segua quello non-invertente ma nasca una d.d.p. finita
tra i due. Tale differenza di potenziale altera in modo significativo
il funzionamento del circuito.

Lo SR ha origine nella struttura interna degli A.O. e pi\'u in particolare nelle 
capacit\'a adoperate per ottenere una buona risposta in frequenza.
In molti schemi di A.O. l'escursione totale del segnale di tensione in
uscita si presenta ai capi della capacit\'a di compensazione, che ha
un valore tipico di 30~pF. Poich\'e in genere la corrente I che carica
tale capacit\'a \'e dell'ordine di $30~\mu A$, avremo:
\[
I\:=\:C\frac{dV}{dt}
\]
da cui si ottiene come ordine di grandezza dello SR in questo tipo di
A.O.:
\[
SR\:=\:\frac{dV}{dt}\:=\:\frac{I}{C}\:=\:1\:\frac{V}{\mu s}
\]

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=slewrate.eps,width=8.775 cm,
 height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{slewrate}
\end{figure}

\newpage


   
