

\chapter{\bf Oscillatori sinusoidali}

\section{Introduzione}
Consideriamo un amplificatore a banda larga (vedi figura~\ref{boxes}), 
seguito da un circuito
(attivo o passivo) che fornisce in uscita una frazione ($\beta$) del
segnale presente al suo ingresso.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=boxes.eps,width=12.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{boxes}
\end{figure}

Avremo all'uscita: $Y(t)\:=\:A \beta X(t)$. Se il segnale presente all'ingresso
\'e sinusoidale, l'uscita $Y(t)$ sar\'a anch'essa sinusoidale. L'effetto
della funzione di trasduzione $A\beta$ \'e quello di modificare fase ed
ampiezza del segnale presente in ingresso.

Se $A \beta$ \'e tale da non modificare, ad una certa frequenza $f_0$,
n\'e l'ampiezza n\'e la fase del segnale presente in ingresso, cio\'e se
per $f\:=\:f_0$ \'e $A \beta = 1$ (reale), allora potremo pensare di
utilizzare $Y(t)$ al posto dell'ingresso $X(t)$ ed aspettarci che il
sistema mantenga delle oscillazioni (eventualmente smorzate) di
frequenza $f_0$. 

Ci\'o \'e quanto in realt\'a avviene. Il circuito descritto dalla
funzione di trasferimento $\beta$ \'e il circuito di feedback (o di
reazione). La condizione $A \beta =1$ \'e nota come "condizione di
Barkhausen". Essa deve essere verificata ad una sola frequenza.

Il circuito di feedback nel caso generale pu\'o esser disegnato
come in figura~\ref{twobox}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=twobox.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{twobox}
\end{figure}

Avremo:
\[
e(t)\:=\:X(t)\:+\:\beta X'(t)
\]

\[
X'(t)\:=\:A e(t)\:=\:A X(t)\:+\:A \beta X'(t)
\]
da cui:
\[
X'(t)(1-A\beta)\:=\:A X(t)
\]
\begin{equation}
X'(t)\:=\:\frac{A}{1-A\beta}X(t)
\end{equation}
Se definiamo un "guadagno con feedback", $A_f$, come:
\begin{equation}
A_f\:=\:\frac{X'(t)}{X(t)}
\end{equation}
vediamo che:
\begin{equation}
A_f\:=\:\frac{A}{1-A\beta}
\end{equation}
che va ad infinito per $A\beta = 1$. Ci\'o implica che, con $X(t)\:=\:0$,
il sistema avr\'a un valore finito del segnale in uscita $X'(t)$.

La condizione di Barkhausen dovr\'a essere soddisfatta ad una sola frequenza
$f_0$ (frequenza di oscillazione) che \'e quella che annulla la parte
immaginaria di $A \beta$. La condizione che $A \beta = 1$ per
$f = f_0$ (che cio\'e sia uguale ad 1 la parte reale), viene poi adoperata
per determinare gli altri parametri dell'amplificatore e della rete di
reazione.
\section{Realizzazione di un oscillatore sinusoidale}

Per realizzare un oscillatore sinusoidale dobbiamo costruire un
circuito con retroazione positiva che, ad una ben determinata frequenza,
soddisfi le due condizioni seguenti:
\begin{itemize}
\item{lo sfasamento complessivo lungo l'intera maglia deve essere uguale
a zero}
\item{il guadagno in tensione lungo l'intera maglia deve valere 1}
\end{itemize}
Queste due condizioni possono poi esser ottenute in due modi diversi:
\begin{itemize}
\item{facendo uso di un amplificatore a larga banda ed una rete passiva
di reazione che abbia una buona selettivita', che cio\'e realizzi la
condizione di Barkhausen alla frequenza desiderata $f_0$}
\item{adoperando un elemento (amplificatore o altro) che, alla frequenza $f_0$, 
introduca uno sfasamento di $\pi/2$ seguito da un secondo elemento che, alla
stessa frequenza, introduca uno sfasamento di $-\pi/2$}
\end{itemize}
Ci occuperemo ora degli oscillatori sinusoidali del primo tipo. Questi
possono a loro volta essere suddivisi in due classi:
\begin{itemize}
\item{quelli in cui la rete passiva introduce uno sfasamento di
$\pi$. In tal caso l'amplificatore dovr\'a essere invertente}
\item{quelli in cui la rete passiva non introduce alcuno sfasamento.
In tal caso l'amplificatore dovr\'a essere non-invertente}
\end{itemize}
Va infine notato che la condizione $|A \beta| = 1$ non sar\'a
mai rigorosamente soddisfatta da un circuito reale. Anche se essa
lo fosse "a circuito spento", la variazione dei parametri
fisici della rete con la temperatura potrebbe far si che la condizione
non fosse pi\'u soddisfatta a circuito acceso. Se $|A \beta|$ \'e
minore di 1 l'oscillazione si estinguer\'a rapidamenente. Se
$|A \beta| > 1$, l'oscillazione tender\'a ad esaltarsi e con ci\'o
mander\'a il sistema fuori dalla zona lineare. Tale non-linearit\'a diverr\'a
sempre pi\'u marcata via via che l'ampiezza delle oscillazioni aumenta.
L'effetto della non-linearit\'a sar\'a quello di \emph{limitare}
l'escursione delle oscillazioni e riportare il circuito in zona
lineare.

Si vede da quanto detto che \'e opportuno che $|A \beta|$ sia, anche
se poco, superiore ad 1. Una buona regola \'e che $|A \beta|$
sia maggiore di 1 di circa il $5\%$.

\section{L'oscillatore a sfasamento}

In tale tipo di oscillatore viene adoperato un amplificatore
invertente, seguito da tre celle RC (o RL) in cascata, tali da
fornire uno sfasamento complessivo di $180^o$. La necessit\'a di
adoperare tre celle \'e dovuta al fatto che lo sfasamento
introdotto da ciascuna cella \'e sicuramente inferiore a $90^o$.

Il circuito appare come in figura~\ref{sfasamento1}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=sfasamento1.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{sfasamento1}
\end{figure}


Se ammettiamo che l'impedenza d'ingresso dell'amplificatore sia
infinitamente grande e quella d'uscita nulla, il circuito equivalente
sar\'a quello di figura~\ref{sfasamento2}, dove compare il generatore dipendente
$A_v v_1$.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=sfasamento2.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{sfasamento2}
\end{figure}



Per questo circuito, con le notazioni indicate in figura, abbiamo
le seguenti equazioni:
\[
i''\:=\:\frac{v_1}{Z_2}
\]
\[
v'' \: = \: (Z_1+Z_2)i'' \:=\: (Z_1+Z_2)\frac{v_1}{Z_2}
\]
\[
i'\:=\:\frac{v''}{Z_2}\:=\:(Z_1+Z_2)\frac{v_1}{Z_2^2}
\]
\[
v'\:=\:v''+Z_1(i'+i'')\:=\:(Z_1+Z_2)\frac{v_1}{Z_2}\:+\:
[\frac{Z_1+Z_2}{Z_2^2}+\frac{1}{Z_2}]Z_1 v_1
\]
da cui:
\[
v'\:=\:v_1[3(\frac{Z_1}{Z_2})+(\frac{Z_1}{Z_2})^2 + 1]
\]
\[
i\:=\:\frac{v'}{Z_2}\:=\:\frac{v_1}{Z_2}[(\frac{Z_1}{Z_2})^2 + 3 (\frac{Z_1}{Z_2})+1]
\]
\[
i_{Z_1}\:=\:i+i'+i''\:=\:\frac{v_1}{Z_2}[(\frac{Z_1}{Z_2})^2 + 3 (\frac{Z_1}{Z_2})+
1]\:+ \:\frac{v_1}{Z_1}[(\frac{Z_1}{Z_2})+(\frac{Z_1}{Z_2})^2]\:+\:\frac{v_1}{Z_2}
\]

Con riferimento alla figura~\ref{sfasamento2} , il feedback $\beta$ \'e nel nostro caso:
$\beta=\frac{v_1}{\overline{v_1}}$. Calcoliamo $\overline{v_1}$:
\[
\overline{v_1}\:=\:v'+Z_1 i_{Z_1}\:=\:v_1[(\frac{Z_1}{Z_2})^3 + 5 (\frac{Z_1}{Z_2})^2
+6 (\frac{Z_1}{Z_2})+1]
\]
da cui:
\[
\beta\:=\:\frac{1}{(\frac{Z_1}{Z_2})^3 + 5 (\frac{Z_1}{Z_2})^2+6 (\frac{Z_1}{Z_2})+1}
\]
e quindi:
\[
A \beta\:=\:-\frac{A_v}{(\frac{Z_1}{Z_2})^3 + 5 (\frac{Z_1}{Z_2})^2+6 (\frac{Z_1}{Z_2})+1}
\]
La condizione: $A\beta = 1 \:(reale)$ implica:
\[
-A_v\:=\:(\frac{Z_1}{Z_2})^3 + 5 (\frac{Z_1}{Z_2})^2+6 (\frac{Z_1}{Z_2})+1
\]
e che entrambi i membri di tale equazione siano reali (essendo $A_v$ reale). Poich\'e d'altronde $Z_1$ e $Z_2$ sono uno reale e l'altro immaginario, ne segue
che solo le potenze dispari di $Z_1/Z_2$ possono contribuire alla parte immaginaria dell'espressione. La condizione di risonanza \'e allora:
\[
(\frac{Z_1}{Z_2})^3 + 6 (\frac{Z_1}{Z_2})\:=\:0
\]
che implica:
\[
(\frac{Z_1}{Z_2})^2\:=\:-6
\]
Da questa si ottiene per $A_v$:
\[
-A_v\:=\: 5 (\frac{Z_1}{Z_2})^2 +1\:=\:-30+1\:=\:-29
\]
\[
A_v\:=\:29
\]
Cio\'e l'amplificatore invertente deve avere un guadagno pari a 29, indipendentemente dal tipo di elemento reattivo considerato.

L'equazione:
\[
(\frac{Z_1}{Z_2})^2\:=\:-6
\]
ci da inoltre il valore della frequenza di oscillazione. Se ad esempio \'e:
\[
Z_1\:=\:\frac{1}{j\omega C}
\]
\[
Z_2\:=\:R
\]
si ha:
\[
(\frac{Z_1}{Z_2})^2\:=\:-\frac{1}{(\omega R C)^2}\:=\:-6
\]
da cui:
\[
\omega^2\:=\:\frac{1}{6(RC)^2}
\]
\[
\omega\:=\:\frac{1}{\sqrt{6}RC}
\]
Se invece \'e:
\[
Z_1\:=\:R
\]
\[
Z_2\:=\:\frac{1}{j \omega C}
\]
si ha:
\[
\omega\:=\:\frac{\sqrt{6}}{RC}
\]
Notiamo che oscillatori di questo tipo sono convenienti finch\'e sono trascurabili gli effetti reattivi dell'elemento attivo. Essi vengono
pertanto adoperati fino a qualche centinaio di kHz.

Un esempio di oscillatore a sfasamento che utilizza un amplificatore
operazionale \'e quello di figura~\ref{sfasamento3}.


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=sfasamento3.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{sfasamento3}
\end{figure}


Notiamo che l'amplificatore, costituito dall'operazionale con la resistenza
di feedback $R_1$ e la resistenza d'ingresso R, ha l'uscita collegata alla
rete CR-CR-CR (la terza resistenza R \'e quella sull'ingresso invertente
dell'operazionale, che \'e una massa virtuale).

Il guadagno dell'amplificatore indicato dal rettangolo tratteggiato \'e: 
$A_v\:=\:-R_1/R$. La condizione $|A_v|\:=\:29$ richiede che sia $R_1\:=\:29R$.
In realt\'a, come gi\'a detto, \'e bene che tale condizione sia soddisfatta
con un qualche margine (e.g. se R=1k dovr\'a essere $R_1\simeq 31k$).

Un oscillatore a sfasamento analogo a questo \'e indicato nella figura~\ref{sfasamento4}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=sfasamento4.eps,width=11.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{sfasamento4}
\end{figure}


Analizziamo il funzionamento di questo circuito. La condizione di Barkhausen
\'e evidentemente: $v_1\:=\:v_2$ (a catena aperta).

Procedendo in modo analogo a quello seguito nell'analizzare il caso generale
discusso in precedenza e facendo uso della variabile complessa s, avremo:
\[
v_2\:=\:-R_2 i'
\]
\[
v'\:=\:\frac{i'}{s C}\:=\:-\frac{v_2}{s R_2 C}
\]
\[i_2\:=\:\frac{v'}{R_1}\:=\:-\frac{v_2}{s R_1 R_2 C}
\]
\[
i''\:=\: i_2+i' \: = \: -\frac{v_2}{R_2} (1+\frac{1}{s R_1 C})
\]
\[
v''\:=\:v'+\frac{i''}{s C}\:=\:-\frac{v_2}{s R_2 C}(2+\frac{1}{s R_1 C})
\]
\[
i_1\:=\:\frac{v''}{R_1}\:=\:-\frac{v_2}{sR_1R_2 C}(2+\frac{1}{s R_1 C})
\]
\[
i'''\:=\:i''+i_1\:=\:-\frac{v_2}{R_2}(1\:+\:\frac{3}{s R_1 C}\:
+\:\frac{1}{(s R_1 C)^2)})
\]
\[
v_1\:=\:v''+\frac{i'''}{sC}\:=\:-\frac{v_2}{s R_2 C}(3+\frac{4}{s R_1 C}+
\frac{1}{(s R_1 C)^2})
\]
imponendo la condizone che questo sia uguale a $v_2$, otteniamo:
\[
R_2\:=\:-\frac{1}{sC}(3 + \frac{4}{s R_1 C}+ \frac{1}{(s R_1 C)^2}))
\]
Poniamo ora: $s=j \omega$. La parte immaginaria dell'espressione scritta
per $R_2$ \'e:
\[
-\frac{3}{\omega C}\:+\:\frac{1}{R_1^2 C^3 \omega^3}
\]
che si annulla per:
\[
\omega \:=\:\omega_0\:\equiv\:\frac{1}{\sqrt{3}R_1 C}
\]
Per tale valore di $\omega$, $R_2$ vale:
\[
R_2\:=\:\frac{4}{\omega^2 R_1 C^2}\:=\:12 R_1
\]
In pratica si sceglier\'a un valore di $R_2$ leggermente pi\'u alto di questo,
diciamo del $5\%$, se si vuole evitare un rapido smorzamento delle oscillazioni.
L'ampiezza di queste sar\'a limitata dal fatto che, per effetto del feedback, il
dispositivo attivo uscir\'a rapidamente dalla zona lineare.

\section{Oscillatore a sfasamento a transistor bipolare}

Sappiamo che in un amplificatore a transistor ad emettitore comune l'uscita
\'e sfasata di $180^o$ rispetto all'ingresso. Se quindi inseriamo una rete passiva
di feedback che introduca un ulteriore sfasamento di $180^o$ e dimensioniamo
opportunamente l'attenuazione introdotta dalla rete, possiamo realizzare
un oscillatore sinusoidale.

Come negli esempi precedenti, la rete passiva potr\'a essere ottenuta
tramite tre elementi CR-CR-CR, come mostrato in figura~\ref{sfasamento_tran}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=sfasamento_tran.eps,width=11.0 cm,
height=6.0 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{sfasamento_tran}
\end{figure}

Notiamo che la resistenza associata al terzo gruppo CR \'e costituita dalla resistenza
 $R'$ in serie con il parallelo di $R_b$ ed $h_{ie}$. 
 Ammetteremo che sia $R_b \gg h_{ie}$.
Per esaminare il comportamento di questo circuito, sostituiamo al transistor
il suo modello a parametri h, ottenendo in tal modo il circuito equivalente
mostrato in figura~\ref{sfasamento_equiv} (dove abbiamo trascurato $h_{re}$ ed 
$h_{oe}$) e dove $R\:\simeq\:R'+h_{ie}$.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=sfasamento_equiv.eps,width=11.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{sfasamento_equiv}
\end{figure}

Calcoliamo la corrente i a partire da $i_b$, come fatto negli esempi precedenti.
\[
i'''\:=\:i_b
\]
\[
v'''\:=\:(R'+h_{ie})i_b\:\approx\: R i_b
\]
\[
v''\:=\:v'''+\frac{i_b}{sC}\:=\:i_b[R+\frac{1}{sC}]
\]
\[
i_{R_2}\:=\:\frac{v''}{R}\:=\:i_b[1+\frac{1}{sRC}]
\]
\[
i''\:=\:i'''+i_{R_2}\:=\:i_b+i_{R_2}\:=\:i_b[2+\frac{1}{sRC}]
\]
\[
v'\:=\:v''+\frac{i''}{sC}\:=\:i_b[R+\frac{3}{sC}+\frac{R}{(sRC)^2}]
\]
\[
i_{R_1}\:=\:\frac{v'}{R}\:=\:i_b[R+\frac{3}{sRC}+\frac{1}{(sRC)^2}]
\]
\[
i'\:=\:i''+i_{R_1}\:=\:i_b[3+\frac{4}{sRC}+\frac{1}{(sRC)^2}]
\]
\[
v\:=\:v'+\frac{i'}{sC}\:=\:i_b[R+\frac{6}{sC}+\frac{5R}{(sRC)^2}+\frac{R}{(sRC)^3}]
\]
\[
i_{R_c}\:=\:\frac{v}{R_c}\:=\:\frac{i_bR}{R_c}[1+\frac{6}{sRC}+\frac{5}{(sRC)^2}+
\frac{1}{(sRC)^3}]
\]
La corrente nel circuito di collettore \'e allora:
\begin{equation}
-h_{fe}i_b\:=\:i\:=\:i'+i_{R_c}\:=\:i_b[3+\frac{4}{sRC}+\frac{1}{(sRC)^2}+
\frac{R}{R_c}+\frac{6}{sR_c C}+\frac{5}{R_c R(sC)^2)}+\frac{1}{R_c R^2(sC)^3}] \label{eq:hfe}
\end{equation}
L'espressione in parentesi quadra deve, come visto in precdenza, essere reale.
Uguagliando a zero la parte immaginaria (cio\'e la somma dei termini che contengono
potenze dispari di s), otteniamo:
\[
\frac{4}{sR}+\frac{6}{(sR_c)}+\frac{1}{s^3 R^2 R_c C^2}\:=\:0
\]
cio\'e, ponendo $s=j\omega$:
\[
\frac{4}{R\omega}+\frac{6}{R_c \omega}-\frac{1}{R_cR^2C^2 \omega^3}\:=\:0
\]
da cui si ottiene dopo qualche passaggio:
\[
\omega^2\:=\:\frac{1}{(6+4\frac{R_c}{R})R^2 C^2}
\]
La frequenza di risonanza $f_0=\omega_0/(2 \pi)$ sar\'a quindi:
\begin{equation}
f_0\:=\:\frac{1}{2 \pi RC \sqrt{6+4\frac{R_c}{R}}} \label{eq:f0}
\end{equation}
dalla~\ref{eq:hfe}, sostituendo il valore ottenuto per $\omega_0$, si ha:
\[
h_{fe}\:=\:-[3-\frac{1}{R^2C^2\omega_0^2}+\frac{R}{R_c}-\frac{5}{R_cR C^2 \omega_0^2}]
\]
che, con qualche passaggio si riduce a:
\[
h_{fe}\:=\:23+29\frac{R}{R_c}+4\frac{R_c}{R}
\]
Ponendo $k\equiv \frac{R}{R_c}$, questa diventa:
\[
h_{fe}\:=\:23+29k+\frac{4}{k}
\]
Da questa possiamo ricavare k:
\[
k\:=\:\frac{R}{R_c}\:=\:\frac{h_{fe}-23}{58}\:+\:\sqrt{(\frac{23-h_{fe}}{58})^2-\frac{4}{29}}
\]
Dati $h_{fe}$ ed $\omega_0$ si pu\'o ricavare $R/R_c$ da quest'ultima equazione
e poi RC dalla~\ref{eq:f0}.

Notiamo che, affinch\'e il radicando sia positivo occorre che sia:
\[
(\frac{h_{fe}-23}{58})^2 > \frac{4}{29}
\]
cio\'e:
\[
h_{fe}\:>\:23+\sqrt{464}\:=\:44.6
\]
Se $h_{fe}$ \'e minore di tale valore, il circuito non potr\'a oscillare.

Un esempio concreto di oscillatore a sfasamento a transistor bipolare \'e
quello di figura~\ref{sfasamento_darli}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=sfasamento_darli.eps,width=12.0 cm,
height=7.0 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{sfasamento_darli}
\end{figure}



Notiamo che i due transistor BC107 sono adoperati nella configurazione Darlington,
con che l'impedenza d'ingresso \'e estremamente elevata.

\section{L'oscillatore sinusoidale in quadratura}

La condizione di Barkhausen $A\beta = 1$ (reale) implica che lo sfasamento
complessivo dell'amplificatore con reazione positiva debba essere nullo.
Ci\'o pu\'o esser ottenuto utilizzando un amplificatore che introduca uno
sfasamento di $+90^o$ ed una rete di reazione costituita da un secondo
amplificatore che introduca uno sfasamento di $-90^o$. Si parla allora
di \emph{oscillatore in quadratura}.

Un sistema basato su tale schema pu\'o esser realizzato facendo uso di un
integratore invertente seguito da uno non-invertente. Un integratore
non-invertente \'e quello mostrato in figura~\ref{quadrat_1}

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=quadrat_1.eps,width=10.0 cm,
height=6.0 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{quadrat_1}
\end{figure}



La condizione $v_-=v_+$ fornisce:
\[
\frac{\tilde{v_1}}{R_1+\frac{1}{sC_1}}\frac{1}{sC_1}\:=\:\frac{\tilde{v_2}}{R_2+\frac{1}{sC_2}}R_2
\]
dove la soprascritta $\tilde{ }$ sta ad indicare la trasformata di Laplace.
Da questa segue:
\[
\tilde{v_2}\:=\:\frac{\tilde{v_1}(1+s C_2 R_2)}{s C_2 R_2(1+s C_1 R_1)}
\]
che, per $R_1 C_1\:=\:R_2 C_2$ ci da:
\[
\tilde{v_2}\:=\:(\frac{1}{C_2 R_2})\frac{\tilde{v_1}}{s}
\]
che \'a appunto la trasformata della risposta di un integratore non-invertente.

Se ora a tale circuito facciamo seguire un integratore invertente, otteniamo il
circuito di figura~\ref{quadrat_2} che, come vedremo, si comporta da oscillatore sinusoidale.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=quadrat_2.eps,width=12.0 cm,
height=7.0 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{quadrat_2}
\end{figure}


L'operazionale A, con le capacit\'a $C_1, C_2$ e le resistenze $R_1, R_2$,
costituisce un integratore non invertente. Questo \'e \emph{alimentato} dall'integratore
invertente costituito dall'operazionale B con la capacit\'a $C_3$ e la resistenza
$R_3$. Poich\'e la funzione di trasduzione dell'integratore invertente \'e data
da:
\[
\tilde{v_1}\:=\:-\frac{1}{C_3 R_3}\frac{\tilde{v_o}}{s}
\]
la funzione di trasduzione della maglia sar\'a:
\[
\tilde{v_1}\:=\:-\frac{1}{s C_3 R_3}\frac{1+s C_2 R_2}{1+s C_1 R_1}\frac{1}{s C_2 R_2}
\tilde{v_1}
\]
Ponendo $C_1=C_2=C_3=R, R_1=R_2=R_3=R$ e quindi:
\[
C_1 R_1 \:=\:C_2 R_2\:=C_3 R_3\:=C R
\]
segue:
\[
\frac{1}{\omega^2 C^2 R^2}\:=\:1
\]
dove si \'e fatto uso della sostituzione $s=j\omega$.
Si ottiene in tal modo per la frequenza angolare di oscillazione:
\[
\omega \:=\:\frac{1}{RC}
\]
Nella pratica \'e necessario che $R_2 C_2$ sia maggiore di $R_1 C_1$ se si vuole
che le oscillazioni persistano.

\section{Circuiti limitatori negli oscillatori sinusoidali}

In tutti gli esempi visti si \'e accennato all'opportunit\'a che $|A \beta|$ sia
leggermente maggiore di 1, per evitare un rapido smorzamento delle oscillazioni.
Ci\'o potrebbe per\'o causare una rapida uscita degli amplificatori dalla loro
zona lineare, con che le oscillazioni sarebbero fortemente deformate.

Per ovviare a tale inconveniente \'e opportuno inserire nella rete di reazione
un elemento che riporti il sistema in zona lineare.

Ci\'o pu\'o esser ottenuto in vari modi. Un metodo spesso adoperato \'e
quello di sostituire una resistenza (ad esempio, nell'oscillatore a sfasamento
di figura~\ref{sfasamento3}, la resistenza R posta all'ingresso invertente dell'operazionale)
con una resistenza che abbia un coefficiente di temperatura positivo (cio\'e
un \emph{sensistore}). In tal modo, se il guadagno dell'amplificatore aumenta,
aumenter\'a la corrente in R con una conseguente diminuzione del guadagno.

Un'alternativa all'uso del sensistore \'e quella di inserire una coppia
di Zener contrapposti, in serie con una opportuna resistenza, in parallelo
alle resistenze $R_1-R$ come mostrato in figura~\ref{limita}.


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=limita.eps,width=8.0 cm,
height=6.0 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{limita}
\end{figure}

In questo circuito, se $v_{out}$ aumenta oltre $v_z+v_{\gamma}$, i diodi
Zener conducono ed il guadagno diminuisce. Un analogo circuito pu\'o essere
utilizzato, nel circuito di figura~\ref{quadrat_1}, in serie con la capacit\'a $C_2$.

\section{Oscillatore a mezzo ponte di Wien}

Questo adopera un amplificatore non-invertente, come indicato in figura~\ref{wien1}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=wien1.eps,width=10.0 cm,
height=6.0 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{wien1}
\end{figure}

Se facciamo l'ipotesi che l'impedenza d'ingresso dell'amplificatore sia
infinita e quella d'uscita sia nulla, possiamo far uso del
circuito equivalente di figura~\ref{wien2} per verificare il funzionamento

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=wien2.eps,width=8.0 cm,
height=5.0 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{wien2}
\end{figure}


Da tale circuito si ottiene facilmente:
\[
v_1\:=\:(A_v v_1)\frac{Z_p}{Z_p+Z_s}
\]
dove $Z_s$ \'e l'impedenza-serie e $Z_p$ quella parallelo di R e C:
\[
Z_p\:=\:\frac{R/sC}{R+1/sC}
\]
\[
Z_s\:=\:R+1/sC
\]
Si ottiene in tal modo:
\[
A_v\:=\:\frac{(sRC)^2+3(sRC)+1}{sRC}
\]
La parte immaginaria di tale espressione si annulla per:
\[
sRC\:+\:\frac{1}{sRC}\:=\:0
\]
cio\'e:
\[
(sRC)^2\:=\:-1
\]
e quindi, ponendo $s=j\omega$, per:
\[
\omega\:=\:\frac{1}{RC}
\]
Per tale valore di $\omega$ si ha $A_v=3$. Questo dovr\'a quindi essere il guadagno
dell'amplificatore.

\section{L'oscillatore a ponte di Wien}

In tale tipo di oscillatore un ponte bilanciato (vedi figura~\ref{wien3}) viene adoperato come circuito
di feedback.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=wien3.eps,width=10.0 cm,
height=7.5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{wien3}
\end{figure}



I quattro rami del ponte sono costituiti dalle impedenze $R_1, R_2, Z_1, Z_2$. L'input
del ponte \'e l'uscita $v_o$ dell'operazionale e l'output del ponte tra i nodi
1 e 2 fornisce l'input differenziale all'amplificatore operazionale (vedi figura~\ref{wien4}).
Se il ponte \'e bilanciato, avremo $v_{1-2}=0$, con un valore finito di $v_o$. Ci\'o
richiede che la tensione nel punto 2, determinata dal partitore $R_1-R_2$, sia uguale a quella
nel punto 1, determinata dal partitore $Z_1-Z_2$, cio\'e che sia:

\[
\frac{R_1}{R_2}\:=\:\frac{Z_1}{Z_2}
\] 

In definitiva, nel circuito di figura~\ref{wien3}, se il ponte \'e bilanciato, la differenza di
potenziale tra l'ingresso invertente e quello non invertente dell'operazionale, sar\'a
nulla. Ci\'o richiede che il feedback negativo introdotto dal ramo $R_1-R_2$ bilanci
quello positivo introdotto dal ramo $Z_1-Z_2$.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=wien4.eps,width=9.0 cm,
height=6.0 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{wien4}
\end{figure}

Il guadagno dell'anello \'e $A\beta$, dove:
\[
\beta\:=\:\frac{v'^f}{v_o}\:=\:\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}
\]
ed:
\[
A\:\equiv \:\frac{v_0}{v'_f}\:=\:1+\frac{R_1}{R_2}
\]

Avremo allora:
\[
\beta A\:=\:\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}(1+\frac{R_1}{R_2})
\]
Cio\'e:
\[
\beta A\:=\:\frac{\alpha}{3\alpha -j(1-\alpha^2)}(1+\frac{R_1}{R_2})
\]
dove: $\alpha\equiv\omega RC$. La condizione di Barkhausen: $A\beta=1$ impone che
sia:
\[
1-\alpha^2\:=\:0
\]
cio\'e $\alpha=\omega R C=1$. Se tale condizione \'e soddisfatta, l'ulteriore vincolo:
\[
\beta A \:=\: 1 \:=\: \frac{1}{3}\left(1 + \frac{R_1}{R_2}\right)
\]
porta a:
\[
1+\frac{R_1}{R_2}\:=\:3
\]
cio\'e:
\[
\frac{R_1}{R_2}\:=\:2
\]
\'E possibile cambiare con continuit\'a la frequenza di risonanza cambiando
simultaneamente i valore dei due condensatori C. \'E possibile poi modificare
il range di frequenza (in modo discontinuo) cambiando i valori delle due
resistenze (uguali) R.

L'uscita di tale circuito, se montato senza ulteriori precauzioni, potrebbe facilmente
saturare al livello alto o a quello basso dell'A.O., o esibire instabilit\'a nelle
oscillazioni. \'E possibile renderlo stabile, come accennato in precedenza, con l'aggiunta
di opportuni diodi. Un esempio \'e quello mostrato in figura~\ref{wien_diodi}. I due
diodi servono a ''bypassare'' la resistenza $R_1$ e quindi a ridurre il guadagno
(dato nell'esempio da $1+(R_1+R_5+f\cdot X_2)/(R_6+f \cdot X_2)$, con f il fattore
di regolazione del potenziometro $X_2$) non appena l'uscita tenda a divenire troppo alta
in valore assoluto.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=wien_diodi.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{wien_diodi}
\end{figure}

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