
\chapter{\bf Preamplificatori ad amplificatori per rivelatori di particelle}

\section{Introduzione}

Una particella elettricamente carica che attraversa un mezzo materiale pu\'o, se la sua 
energia \'e sufficientemente elevata (energia cinetica $\ge \,1\,MeV$) dar luogo a processi che 
causano una perdite d'energia della particella, energia depositata nel mezzo attraversato. 
Tra tali processi, particolarmente importanti sono la ionizzazione, il brehmsstrahlung, 
la radiazione di luce $C\check{e}renkov$, la radiazione di transizione ed altri. Tale rilascio di 
energia, la cui natura ed ampiezza dipendono sia dal particolare mezzo attraversato che 
dalla natura della particella carica (elettrone, protone, mesone $\pi^{\pm}$, leptone $\mu^{\pm},\cdots$) pu\'o esser utilizzato per rivelare la particella. In particolare si pu\'o:
\begin{itemize}
\item[(a)] valutare l'istante in cui la particella \'e passata nel mezzo;
\item[(b)] ottenere una stima dell'energia della particella, che \'e spesso legata all'energia che 
essa ha depositato nel mezzo medesimo;
\item[(c)] misurare la posizione della particella nell'istante in cui essa ha attraversato il mezzo;
\item[(d)] ''identificare'' la particella; cio\'e stabilire (entro un predeterminato ''livello di 
confidenza'') se essa sia un elettrone, $\pi$, protone... . In tale tipo di applicazione sono 
molto utili i rivelatori basati sull'emissione di luce $C\check{e}renkov$ e quelli basati sulla 
radiazione di transizione.
\end{itemize}

Non intendiamo qui entrare nei dettagli dei rivelatori, ma limitarci a studiare alcuni dei 
problemi che essi pongono all'elettronica di ''front end'', cio\'e ai circuiti che debbono 
amplificare e rivelare i deboli segnali elettrici prodotti.
Ovviamente, i vincoli posti dall'elettronica cambiano molto a seconda del tipo di 
rivelatore e del tipo di informazione che si vuole estrarre (tempo, energia, posizione 
etc.). Ci\'o vuol dire che una trattazione esauriente dei problemi elettronici da affrontare 
non pu\'o esser disgiunta da una trattazione dei diversi rivelatori. Ci limiteremo qui a 
discutere alcuni dei principali problemi e ad esaminare le soluzioni comunemente 
adottate. Dettagli possono essere trovati nella bibliografia raccolta in fondo al capitolo.
Esamineremo, a titolo di esempio, la struttura di tre rivelatori: lo scintillatore, il tubo 
proporzionale ed il rivelatore a semiconduttore.


\section{Rivelatori a scintillazione}

Una particella carica che attraversa un mezzo materiale pu\'o provocare dei processi di 
eccitazione molecolare. Le molecole eccitate decadono poi al loro stato fondamentale 
con emissione di luce. In alcuni casi il processo di decadimento \'e molto rapido 
($\le 10^{-8}$~s), nel qual caso si parla di ''fluorescenza''. In altri casi il 
processo \'e lento, poich\'e lo stato eccitato raggiunto \'e metastabile. 
In tal caso si parla di ''fosforescenza''. La vita media relativa alla fosforescenza 
pu\'o variare tra qualche microsecondo e diverse ore. Nei rivelatori di particelle, 
dovendosi rivelare processi che si susseguono ad intervalli di tempo molto brevi 
($\approx\,10-100\,ns$) si ricorre a sostanze in cui il tempo di decadimento \'e 
breve, e quindi a quelle in cui \'e soppressa la componente di fosforescenza.

In prima approssimazione, l'evoluzione temporale del processo di emissione pu\'o 
esser descritta da un semplice termine esponenziale:
\[
N(t)dt\:=\:\frac{N_0}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}} d\tau
\]

dove $N(t)$ \'e il numero totale di fotoni emessi nell'intervallo di tempo ($0-t$), 
$N_0$ il numero totale di fotoni emessi e $\tau$ la costante di decadimento (vita media).

Il segnale consiste in un brusco impulso, caratterizzato da un ''tempo di salita'' brevissimo, che
poi scende in modo esponenziale.

In alcuni casi le costanti di tempo interessate nel processo di decadimento sono due; 
in tal caso si pu\'o scrivere:
\[
N(t) dt\:=\:\left(A e^{-\frac{t}{\tau_f}}+B e^{-\frac{t}{\tau_s}}\right) dt
\]

dove $\tau_f$  \'e la costante di tempo relativa alla componente a breve vita media e
$\tau_f$ quella della componente a vita media lunga.

Per esser concretamente utilizzabile, uno scintillatore deve avere le seguenti caratteristiche:
\begin{itemize}

\item[(a)] elevata efficienza di conversione di energia in radiazione;
\item[(b)] trasparenza alla radiazione emessa;
\item[(c)] spettro di emissione adatto alla rivelazione della luce (che tipicamente utilizza dei 
fotomoltiplicatori);
\item[(d)] breve costante di tempo.
\end{itemize}

Esistono svariati tipi di materiali scintillanti che possiedono in maggiore o minore 
misura tali caratteristiche. I pi\'u comunemente usati sono degli scintillatori organici in 
soluzioni organiche liquide o plastiche (come plastiche sono adoperate il polistirene, 
il poliviniltoluene o il polifenil-benzene). Le costanti di decadimento vanno da 
1.7 a 4~ns. Essendo la costante di decadimento cos\'i breve, non \'e sempre possibile trascurare 
rispetto a questo il tempo di salita. Una parametrizzazione spesso adoperata per tener 
conto di ci\'o \'e una convoluzione di una gaussiana con un termine esponenziale:
\[
N(t)\:=\:N_0 f(\sigma,t) e^{-t/\tau}
\]

dove $\sigma \approx 0.5\;ns$.

Lo spettro di emissione di queste sostanze \'e nella regione 400-500~nm.

L'efficienza di conversione \'e definita come l'energia che una particella deve perdere 
in media perch\'e sia prodotto un fotone. Nelle plastiche tale energia \'e dell'ordine di 
1000~eV. Tale efficienza \'e piuttosto bassa rispetto a quella che si ha in altri tipi di 
rivelatore. Poich\'e la risoluzione in energia di un rivelatore \'e tanto migliore quanto 
pi\'u bassa \'e la soglia minima di energia che esso pu\'o rivelare, si vede che la 
risoluzione in energia di uno scintillatore non \'e molto buona. In effetti, fatta eccezione 
per gli scintillatori a cristalli inorganici, che hanno una buona risoluzione in energia, gli 
scintillatori comunemente adoperati (liquidi e plastici) hanno principalmente il pregio di 
una elevatissima velocit\'a di risposta e di un costo contenuto.

Come accennato, il piccolo numero di fotoni prodotti quando una particella attraversa 
uno scintillatore, pu\'o esser rivelato facendo uso di un fotomoltiplicatore.

Un fotomoltiplicatore \'e un dispositivo che converte un (debole) segnale luminoso in 
un impulso di corrente. Esso \'e costituito di un tubo a vuoto, come schematizzato in 
figura~\ref{photomultiplier_structure}, sull'interno della cui faccia frontale \'e depositato 
un materiale fotosensibile, cio\'e un materiale con una bassa soglia per l'effetto fotoelettrico.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=photomultiplier_structure.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{photomultiplier_structure}
\end{figure}


Un certo numero di elettrodi sono posti all'interno del tubo (dinodi) con il compito di 
''moltiplicare'' il numero di elettroni prodotti per effetto fotoelettrico dalla radiazione 
che investe il fotocatodo. Infine un ulteriore elettrodo (anodo) raccoglie la nuvola di 
elettroni prodotta dalla moltiplicazione, fornendo in uscita un breve impulso di corrente.
Il fotocatodo \'e tenuto ad un potenziale negativo rispetto all'anodo, mentre i vari dinodi 
sono tenuti a potenziali (negativi) via via decrescenti andando dal fotocatodo verso 
l'anodo.

Un elettrone prodotto nel processo di interazione del fotone incidente con il materiale 
che costituisce il fotocatodo, \'e accelerato verso il primo dinodo dal potenziale 
applicato. Qui esso pu\'o liberare 2 o pi\'u elettroni, che vengono accelerati verso  il 
secondo dinodo, e cos\'i di seguito. Si ha cos\'i un processo di moltiplicazione che genera 
infine una ''nuvola'' di elettroni, raccolta poi dall'anodo.

Si definisce ''fattore di emissione secondaria'' il numero medio di elettroni emessi da un 
dinodo colpito da un elettrone. Il ''guadagno'' di un fotomoltiplicatore, definito come la 
carica all'anodo per unit\'a di carica all'uscita del fotocatodo (o equivalentemente come 
il numero di elettroni che raggiungono l'anodo per un elettrone emesso dal fotocatodo) 
dipende ovviamente dal fattore di emissione secondaria   e dal numero di dinodi 
(numero di stadi). I fotomoltiplicatori disponibili in commercio hanno tra 10 e 14 stadi, 
con guadagni tipici di $10^7$.

Un altro parametro caratteristico dei fotomoltiplicatori \'e legato alla probabilit\'a che 
un fotone al fotocatodo dia luogo ad un elettrone:
\[
n(\lambda)\:\equiv \frac{n^o\,di\, fotoelettroni}{n^o\,di\,fotoni\,incidenti}
\]

che dipende dalla lunghezza d'onda $\lambda$ della radiazione incidente. 
Valori tipici di n vanno dal $10$ al $25\%$ al picco della distribuzione di $n(\lambda)$.


\section{Forma dell'impulso all'uscita del fotomoltiplicatore}

Il segnale all'uscita del fotomoltiplicatore \'e un breve impulso di corrente, il cui 
integrale \'e la carica totale, proporzionale al numero di fotoelettroni liberati al catodo 
del fotomoltiplicatore. Il fotomoltiplicatore \'e, con ottima approssimazione, un 
generatore di corrente, in parallelo con la capacit\'a vista dal catodo guardando verso 
massa e con una resistenza R, come mostrato in figura~\ref{photomultiplier_rc_integral}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=photomultiplier_rc_integral.eps,width=5.0 cm,
height=3 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{photomultiplier_rc_integral}
\end{figure}

La capacit\'a \'e quella intrinseca dell'anodo pi\'u eventuali capacit\'a associate al cavo 
utilizzato per prelevare il segnale. La resistenza R \'e la resistenza intrinseca del catodo 
pi\'u le eventuali resistenze associate al cavo ed al carico.

Esaminiamo ora l'andamento del segnale all'uscita del fotomoltiplicatore. Ammettendo 
che il segnale luminoso al fotocatodo sia quello emesso dallo scintillatore e che questo 
si possa approssimare con una singola costante di tempo, la corrente anodica sar\'a data 
da:
\[
i(t)\:=\:G \frac{N_e}{\tau_s} e^{-t/\tau_s}
\]

dove G \'e il guadagno del fotomoltiplicatore; $N_e$ il numero di fotoelettroni emessi dal 
catodo; $e$ la carica dell'elettrone; $\tau_s$ la costante di decadimento dello scintillatore.
L'equazione del nostro circuito \'e:
\[
\tilde{v}\:=\:\tilde{i}\tilde{Z}\:=\:A\frac{R/sC}{R + 1/sC}\;\frac{1}{s + 1/\tau_s}\:=\:
\frac{R}{\tau}\,\frac{A}{(s+1/\tau)(s+1/\tau_s)}
\]
con:
\[
A\:=\:G \frac{N_e e}{\tau_s}
\]

Se $\tau \ne \tau_s$, l'antitrasformata pu\'o essere calcolata con facilit\'a facendo uso della
relazione~(\ref{polisingoli}) a pagina~\pageref{polisingoli}. 

Si trova:
\[
v\:=\:\frac{R A}{\tau}\left\{\left[\frac{e^{st}}{s+1/\tau_s}\right]_{s=-1/\tau}\;+\;
\left[\frac{e^{st}}{s+1/\tau_s}\right]_{s=-1/\tau_s}\right\}\:=
\]
\[=
\frac{R A}{\tau}\left\{\frac{e^{-t/\tau}}{1/\tau_s-1/\tau}\;+\;
\frac{e^{-t/\tau_s}}{1/\tau-1/\tau_s}\right\}\:=\:\frac{G N_e e R}{\tau- \tau_s}\left\{e^{-t/\tau}-e^{-t/\tau_s}\right\}
\]

Se $\tau=\tau_s$, cio\'e se la costante di tempo del circuito \'e uguale a quella dello scintillatore, 
l'antitrasformata di Laplace si pu\'o calcolare facendo uso della~(\ref{polidoppi}) a pagina~\pageref{polidoppi}. Si ha in tal caso:
\[
\tilde{v}\:=\:\frac{R A}{\tau}\frac{1}{(s+1/\tau)^2}
\]
da cui:
\[
v(t)\:=\:\frac{R A}{\tau}t e^{-t/\tau}\:=\:\frac{R G N_e e}{\tau^2} t e^{-t/\tau}
\]


L'andamento della v(t) \'e qualitativamente mostrato in figura~\ref{uscita_pm_polodoppio}, nel caso in cui
sia $\tau\ne\tau_s$ ed in figura~\ref{uscita_pm_polodoppio_a} nel caso $\tau\ = \tau_s$:

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=uscita_pm_polodoppio.eps,width=9.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{uscita_pm_polodoppio}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=uscita_pm_polodoppio_a.eps,width=9.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{uscita_pm_polodoppio_a}
\end{figure}


Se caso in cui \'e  $\tau \ll \tau_s$ l'ampiezza del segnale \'e ridotta, ma essa 
riproduce fedelmente la forma del segnale dallo scintillatore. Il tempo di salita \'e rapido 
ed \'e determinato essenzialmente dalla costante di tempo $\tau$ del circuito. 
In tali condizioni si dice che si lavora nel ''modo corrente'', poich\'e V(t in tali condizioni 
\'e una replica della corrente attraverso la resistenza R.

Per $\tau \gg \tau_s$  l'ampiezza del segnale aumenta, ma contemporaneamente l'impulso si allunga. 
La durata dell'impulso in tali condizioni \'e determinato essenzialmente dalla costante 
di tempo del circuito. Il tempo di salita \'e invece determinato da $\tau_s$, ed \'e 
quindi breve. 
Si dice che si lavora nel ''modo tensione'', poich\'e ora V(t) \'e essenzialmente la 
differenza di potenziale ai capi di C, che ''integra'' la corrente.

In genere si preferisce lavorare nel modo tensione, poich\'e in tali circostanze si hanno 
impulsi pi\'u elevati $\approx\;1\,V$. Il  prezzo che si paga \'e che gli impulsi sono molto pi\'u 
lunghi e che, come conseguenza, ad elevati rates di conteggio si pu\'o avere 
sovrapposizione di impulsi generati da arrivi successivi di particelle sul rivelatore. Tale 
fenomeno \'e noto come ''pile-up'' e su di esso torneremo in seguito. 

Lavorando nel modo corrente si pu\'o eliminare tale inconveniente e si ha inoltre il vantaggio di un 
segnale che riproduce la forma del segnale emesso dalla scintillatore (che \'e utile in 
alcune applicazioni particolari). Il prezzo che si paga \'e quello di un segnale di pochi 
mV, quindi fortemente influenzato dal rumore.


Per una trattazione esauriente dei rivelatori a scintillazione e dei fotomoltiplicatori si
consulti le referenze~\cite{leo} o~\cite{phillips}. 



\section{Rivelatori a gas}

Una particella che attraversi una regione in cui sia presente un gas, pu\'o liberare delle 
cariche (elettroni e ioni) nella zona attraversata. Se un'opportuna differenza di 
potenziale \'e applicata tra elettrodi posti nella medesima regione, nascer\'a una corrente 
di drift degli elettroni verso l'elettrodo tenuto a potenziale positivo e degli ioni verso 
quello tenuto a potenziale negativo. Su tali elettrodi si avr\'a quindi una corrente, 
proporzionale al numero di ioni-elettroni prodotti e quindi all'energia che la particella 
ha perduto nell'attraversare il mezzo.

Il pi\'u antico dei rivelatori a gas, la camera a ionizzazione, ha ora un limitato campo di 
applicazioni. Un notevole progresso in questo tipo di rivelatori si \'e avuto con lo 
sviluppo dei contatori proporzionali, il cui prototipo, mostrato in figura~\ref{contatore_proporzionale}, 
\'e costituito da un cilindro metallico, avente un diametro dell'ordine del centimetro. 

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=contatore_proporzionale.eps,width=9.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{contatore_proporzionale}
\end{figure}


Lungo l'asse del cilindro \'e tenuto sotto una leggera tensione un sottile filamento metallico 
avente un diametro di poche decine di $\mu m$, isolato elettricamente dalle pareti del cilindro.

Il cilindro \'e chiuso alle estremit\'a e riempito con un gas a pressione atmosferica. In 
genere si adopera un gas nobile (Argon) con l'aggiunta di una piccola percentuale 
($\approx\,10\%$) di un gas quale $CO_2$  o $CH_4$.
La differenza di potenziale applicata tra il filamento centrale (anodo) e l'involucro 
metallico (catodo) \'e di diverse centinaia di volts.
Gli elettroni liberati dal passaggio di una particella nel rivelatore sono accelerati verso 
l'anodo dal campo elettrico ($\sim \,1/r$, con r distanza dall'anodo) ed, in prossimit\'a di 
questo hanno ormai acquistato abbastanza energia da ionizzare a loro volta, producendo 
altri elettroni che sono nuovamente accelerati. Il processo si ripete molte volte fino a 
generare una carica apprezzabile che \'e poi raccolta dall'anodo. Gli ioni positivi 
prodotti migreranno invece verso il catodo producendo un impulso di tensione~\footnote{In realt\'a
il moto degli ioni verso il catodo induce un segnale in corrente. Questo \'e per\'o integrato
dalla capacit\'a del rivelatore, producendo cos\'i un segnale in carica, e quindi una tensione
ai capi di tale capacit\'a} all'uscita (anodo nell'esempio) del rivelatore.

Si pu\'o dimostrare che la forma dell'impulso di tensione \'e data da:
\[
v(t)\:=\:-\frac{q}{4 \pi \epsilon L} \ln \left(1 + \frac{\mu C V_0}{\pi \epsilon a^2}t\right)
\]

dove:
\begin{itemize}
\item L = lunghezza del rivelatore
\item $\epsilon$ = costante dielettrica del gas
\item C = capacit\'a per unit\'a di lunghezza del condensatore cilindrico.
\item $\mu$ = mobilit\'a degli ioni nel gas (ricordiamo che la mobilit\'a \'e il rapporto tra la 
velocit\'a di drift ed il campo elettrico)
\item $V_0$  = potenziale applicato
\item q = carica prodotta dalla ionizzazione primaria
\item a = raggio del cilindro
\item t = tempo (misurato a partire dall'istante in cui la particella \'e passata)
\end{itemize}

L'andamento tipico della v(t) \'e mostrato in figura~\ref{rivelatore_gas_output_a}:

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatore_gas_output_a.eps,width=9.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{rivelatore_gas_output_a}
\end{figure}


Il segnale \'e intrinsecamente lungo. Occorrer\'a quindi differenziarlo, ad esempio 
utilizzando un circuito CR. Il segnale risultante dalla differenziazione \'e mostrato nella
stessa figura. 

A causa del processo di moltiplicazione a valanga che ha 
luogo nel gas, e del fatto che \'e possibile realizzare rivelatori in cui la zona di gas
attraversata dalla particella \'e relativamente spessa ($\approx \;cm$), 
l'ampiezza dei segnali prodotti da tale tipo di rivelatore \'e intrinsecamente elevata e 
pone quindi richieste di non grande entit\'a sull'elettronica posta a 
valle.


\section{Rivelatori a semiconduttore}

In un normale diodo realizzato mediante una giunzione p-n si ha una corrente 
apprezzabile solo se la polarizzazione applicata \'e diretta. L'applicazione invece di 
una polarizzazione inversa dar\'a luogo ad una corrente molto piccola (la corrente 
inversa $I_0$) dovuta alla generazione termica di coppie elettrone-lacuna nella zona p ed in 
quella n (vedi figura~\ref{struttura_diodo}). Attorno alla giunzione si forma quella che
\'e nota come ''zona di svuotamento'', dove \'e presente un accumulo di cariche negative
sul lato ''p' della giunzione e positive su quello ''n''.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=struttura_diodo.eps,width=11.0 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{struttura_diodo}
\end{figure}


Se una particella ionizzante attraversa la zona di svuotamento, essa liberer\'a coppie
elettrone-lacuna lungo il percorso.
Come mostrato in figura, gli elettroni generati nella zona di svuotamento sul lato p saranno 
allora accelerati dal potenziale esterno V applicato e fluiranno verso la zona n. Analogamente, 
le lacune generate nella zona n in prossimit\'a della giunzione saranno accelerate dal 
potenziale V e si muoveranno verso la zona p.

Si avr\'a in tal modo un improvviso aumento della corrente inversa attraverso il diodo. 
La misura di tale corrente pu\'o essere utilizzata per rivelare il passaggio della particella 
ed eventualmente per valutare l'energia che essa ha depositato nell'attraversare il mezzo 
(la zona di svuotamento).

La generazione di coppie elettrone-lacuna in una giunzione  p-n   attraversata da una 
particella carica \'e, per molti rispetti, simile alla produzione di coppie elettrone-ione 
nei rivelatori a gas, con una importante differenza. Mentre nel caso dei rivelatori a gas 
l'energia necessaria a produrre una coppia era $\approx 30$~eV, nel caso di un semiconduttore 
sono sufficienti 3-4~eV, cio\'e un ordine di grandezza meno. Poich\'e la risoluzione in 
energia del rivelatore \'e tanto migliore quanto maggiore il numero di coppie prodotte, 
ne segue un indubbio vantaggio nel caso dei rivelatori a semiconduttore. A ci\'o contribuisce
anche la maggior densit\'a del materiale nel caso di un semiconduttore, rispetto al caso
del gas. Per farci un'idea del segnale che possiamo aspettarci in un tipico rivelatore,
consideriamo ad esempio il caso di un rivelatore al silicio dello spessore di 300~$\mu m$. 
Una particella ultrarelativistica che attraversa tale spessore, deposita un'energia di circa
116~KeV. Poich\'e bastano circa 3.6~KeV per produrre una coppia elettrone-lacuna, il numero
di coppie prodotte sar\'a:
\[
n_p\:=\:\frac{116}{3.6}\cdot 1000\:\approx 32200
\]
corrispondenti ad una carica di:
\[
32200 \cdot 1.6 \,10^{-19}\;C\:=\:5.16 \; 10^{-15}\;C
\]
cio\'e circa 5.1~fC.
 

I materiali adoperati per realizzare i diodi da usare come rivelatori sono principalmente 
il silicio ed il germanio. Rivelatori al germanio sono adoperati in misure che richiedano 
una elevata risoluzione energetica (fino a 150-200 eV). Ci\'o \'e possibile grazie al fatto 
che si riesce a produrre Ge  con elevatissime purezze (concentrazioni di impurezze che 
scendono fino a $10^{10}$~$atomi/cm^3$) il che consente di realizzare diodi al Ge che possono 
operare con tensioni inverse molto elevate e conseguentemente con zone di svuotamento molto 
ampie (fino a  $\approx\,10\,mm$). Purtroppo, tali rivelatori debbono essere operati a bassissime 
temperature ($\approx\, 80\,^oK$) a causa della bassissima (0.7~eV) differenza di energia tra banda 
di conduzione e banda di valenza nel Ge. Se un rivelatore al Ge fosse adoperato a 
temperatura ambiente, la corrente inversa risultante sarebbe inaccettabilmente elevata.

Un uso molto pi\'u diffuso hanno i rivelatori al Si, che possono essere adoperati a 
temperatura ambiente.
I diodi utilizzati come rivelatori in fisica nucleare e subnucleare sono di regola drogati 
in modo fortemente sbilanciato: un materiale di tipo p viene fortemente drogato n  da un 
lato (o viceversa). Inoltre, lo spessore del materiale di tipo p \'e molto minore di quello
drogato in modo inverso. In tali condizioni la zona di svuotamento verr\'a ad estendersi in 
profondit\'a nel lato p (quello di maggiore spessore), come mostrato in figura~\ref{silicon_diode}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=silicon_diode.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{silicon_diode}
\end{figure}


La zona di svuotamento si estender\'a tanto pi\'u in profondit\'a all'interno della zona p 
quanto pi\'u elevata sar\'a la polarizzazione inversa applicata.
Si pu\'o dimostrare (ref.~\cite{leo}, pag. 217, \cite{knoll}, pag. 357, \cite{Green} pag. 181) che la profondit\'a della zona di svuotamento \'e data da:
\[
d\:\simeq\:\sqrt{\frac{2 \epsilon V_0}{e N_A}}
\]


dove $V_0$ \'e la tensione inversa applicata, $N_A$ la concentrazione degli accettori 
(nell'ipotesi $N_D \gg N_A$) ed $\epsilon$ la costante dielettrica del materiale.

Come vediamo, la profondit\'a della zona di svuotamento cresce con la radice quadrata 
della tensione inversa applicata.
Se il rivelatore \'e di piccolo  spessore sar\'a facile raggiungere una tensione tale da far 
si che la larghezza della zona svuotata, d, divenga praticamente uguale allo spessore del detector. 
Si dice che il rivelatore \'e allora completamente svuotato. Nei rivelatori comunemente adoperati,
il completo svuotamento si raggiunge per tensioni di 50-100~V.

Questa condizione di lavoro \'e quella adoperata quasi sempre.

Si pu\'o facilmente vedere che, per un rivelatore completamente svuotato, il campo 
elettrico decresce linearmente in funzione della distanza x dalla giunzione. Se la 
tensione inversa applicata \'e maggiore di quella che corrisponde al completo 
svuotamento, il campo elettrico sar\'a la somma di tale ''tensione in eccesso'' e di quella 
linearmente decrescente che corrisponde al completo svuotamento. Se la tensione 
inversa vien fatta aumentare ulteriormente, il termine costante diverr\'a quello 
dominante. Useremo nel seguito tale modello.

Dobbiamo ora esaminare i processi che hanno luogo nel rivelatore quando questo \'e 
attraversato da una particella carica. Sono possibili due situazioni estreme:
\begin{itemize}
\item[(a)] la particella deposita tutta la sua energia in un punto determinato, caratterizzato da 
un determinato valore di x;
\item[(b)] la particella attraversa tutto il rivelatore, depositando energia a tutti i possibili valori 
di x.
\end{itemize}

Calcoleremo la risposta temporale del rivelatore nel caso a).
La risposta nel caso b) potr\'a poi essere ottenuta, effettuando una opportuna 
integrazione, a partire da quella relativa al caso a), dove si intenda per ''energia depositata''
quella della singola coppia elettrone-lacuna, nel dato punto del campo presente all'interno del diodo. 

Notiamo che il diodo svuotato pu\'o essere assimilato ad un condensatore piano, di spessore 
pari allo spessore d della zona di svuotamento che, nel caso in esame, coincide in pratica con lo spessore fisico del rivelatore. 

Esaminiamo l'effetto che il moto di drift delle cariche (elettroni e lacune) liberate nella 
zona di svuotamento, ha sulla carica presente sulle ''armature'' del condensatore-diodo.
La capacit\'a del condensatore \'e:

\[
C\:=\:\epsilon \frac{A}{d}
\]

dove A \'e la superficie delle ''armature''.

Se la differenza di potenziale ai capi del ''condensatore'' \'e V, la sua energia sar\'a:
\[
\mathcal{E}\:=\:\frac{1}{2} C V^2 \:=\:\frac{Q^2}{2 C}
\]

Una carica q, posta ad una distanza x dalla giunzione, avr\'a un'energia:
\[
\mathcal{E}\:=\:q x E(x)\:=\:q x E
\]

dove E \'e il campo elettrico, che nel caso in esame non dipende da x. 
Essendo poi $E=V/d$, avremo:

\[
\mathcal{E}\:=\:q x E\:=\:q x \frac{V}{d}
\]

Se ora la carica si sposta di un tratto infinitesimo dx, la conseguente variazione della sua 
energia (cio\'e il lavoro che il campo avr\'a fatto su di essa) sar\'a:
\begin{equation}
d\mathcal{E}\:=\:q \frac{V}{d} dx   \label{rivelatori_deq}
\end{equation}


A questa dovr\'a corrispondere una variazione dell'energia totale del condensatore:
\begin{equation}
d\left(\frac{Q^2}{2C}\right)\:=\:\frac{Q}{C} dQ   \label{rivelatori_decondensa}
\end{equation}

Uguagliando le espressioni~\ref{rivelatori_deq} e~\ref{rivelatori_decondensa} si trova:
\[
\frac{Q}{C} dQ\:=\:\frac{q}{d} V dx
\]
da cui:
\[
dQ\:=\:\frac{q}{d} dx
\]

Nel caso in esame, le cariche che si spostano per effetto del campo elettrico sono 
l'elettrone e la lacuna prodotta nel punto di ascissa x. Esse si muoveranno in versi 
opposti ma, avendo cariche opposte, i loro effetti saranno concordi.

L'elettrone si muover\'a in direzione opposta a quella del campo elettrico (cio\'e verso 
sinistra nella figura), la lacuna nella direzione del campo.

La rispettiva velocit\'a di drift $v_e$  e $v_h$  (costanti se il campo \'e costante) 
sono date da:
\[
v_e\:=\:\mu_e E
\]
\[
v_h\:=\:\mu_h E
\]

dove $\mu_e$ e $\mu_h$ sono le rispettive mobilit\'a (che, per il silicio a temperatura ambiente, 
valgono: $\mu_e \simeq 1350 cm^2/(V s)$   e $\mu_h \simeq 480 cm^2/(V s)$).

La carica totale indotta dal moto dell'elettrone al tempo t sar\'a allora:
\[
Q_e(t)\:=\:\frac{q}{d} v_e t
\]

Se indichiamo con $N_e$ il numero di elettroni prodotti, la relativa corrente sar\'a:
\[
I_e(t)\:=\:\frac{N_e q}{d} v_e
\]

al tempo $t=x/v_e$ l'elettrone avr\'a raggiunto la giunzione (che, nel modello in esame, 
rappresenta una delle armature del condensatore). La carica finale sar\'a quindi:
\[
Q_e\left(\frac{x}{v_e}\right)\:=\:\frac{q}{d} x
\]

Analogamente, la carica indotta dal moto della lacuna al tempo t sar\'a:

\[
Q_h(t)\:=\:\frac{q}{d} v_h t
\]

e la relativa corrente, per un numero $N_h$ di lacune prodotte, sar\'a:

\[
I_h(t)\:=\:\frac{N_h q}{d} v_h
\]

Questa sar\'a diversa da zero fino all'istante:
\[
t'\:=\:\frac{d-x}{v_h}
\]

Al tale istante la carica $Q_h$ avr\'a raggiunto l'altra armatura. 
La carica finale indotta dal moto della lacuna sar\'a allora:
\[
Q\left(\frac{d-x}{v_h}\right)\:=\:q \frac{d-x}{d}
\]

La carica complessiva raccolta sar\'a:
\[
\frac{q}{d} x + \frac{q}{d}(d-x)\:=\:q
\]

Se la radiazione incidente perde tutta la propria energia appena al di la della giunzione
$n^+-i$, x sar\'a molto piccolo ed il contributo degli elettroni sar\'a trascurabile (la
relativa corrente si annulla in tempi molto brevi). Sopravvive in tal caso il solo contributo
delle lacune.

L'andamento temporale della carica raccolta sar\'a allora quello indicato in figura~\ref{carica_raccolta}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=carica_raccolta.eps,width=9.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{carica_raccolta}
\end{figure}

dove si \'e fatto l'ipotesi che sia:

\[
\frac{d-x}{v_h} \gg \frac{x}{v_e}
\]


Ci\'o \'e vero nell'ipotesi che la polarizzazione inversa applicata al diodo sia 
sufficientemente elevata da poter considerare il campo elettrico costante nell'intera zona 
attiva.

Qualora invece la polarizzazione applicata fosse giusto quella sufficiente ad ottenere il 
completo svuotamento del rivelatore, il campo avrebbe un andamento linearmente 
decrescente andando dalla giunzione (valore massimo del campo) all'estremit\'a della 
zona attiva del rivelatore (campo nullo). In tal caso le formule ottenute vanno 
modificate. Il risultato (vedasi~\cite{leo} e~\cite{knoll}) \'e:

\[
Q_e(t)\:=\: \frac{q}{d} x \left(1 - e^{\mu_e t/\mu_h \tau}\right)
\]
\[
Q_h(t)\:=\:-\frac{q}{d} x \left(1 - e^{-t/\tau}\right)
\]


dove $\tau=\epsilon/\sigma$, con $\epsilon$ la costante dialettica e $\sigma$ la conduttivit\'a.
Ricordiamo che x \'e la distanza dalla giunzione del punto dove la coppia \'e stata prodotta.

La forma del corrispondente impulso di carica \'e quella mostrata in figura~\ref{silicon_detector_real_response}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=silicon_detector_real_response.eps,width=11.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{silicon_detector_real_response}
\end{figure}

Il parametro $\tau$  determina ora il tempo di salita del segnale. In silicio abbiamo $\tau=\rho \,10^{-12}\;s$, con $\rho$  espresso in $\Omega \,cm$.

Per $\rho\simeq 1000\, \Omega \,cm$, $\tau= 1\;ns$.

Notiamo che nel grafico $Q_h(t)$ satura asintoticamente al valore $q x/d$, mentre $Q_e(t)$ satura
al valore $-(q/d) x (1-d/x)$.

Notiamo poi che, non essendo presente nel caso dei rivelatori a semiconduttore alcun 
processo di moltiplicazione come quello incontrato nel caso dei tubi proporzionali, il 
segnale prodotto da un rivelatore a semiconduttore \'e relativamente piccolo.
Si dovr\'a quindi ricorrere ad una preamplificazione del segnale prima di ogni ulteriore 
elaborazione/trasmissione dello stesso.
Si dovr\'a quindi trasformare il segnale in carica in un segnale in tensione ed a tale 
scopo si ricorrer\'a ad un amplificatore di carica.

Questo \'e illustrato nella figura~\ref{rivelatori_semic_ampl_carica}(a).

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rivelatori_semic_ampl_carica.eps,width=10.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{rivelatori_semic_ampl_carica}
\end{figure}

In questo circuito $C_d$ schematizza la capacit\'a associata al detector pi\'u eventuali cavetti 
di collegamento con l'amplificatoree. Poich\'e $C_d$  pu\'o cambiare con la temperatura, 
scelta del punto di lavoro etc., \'e importante realizzare un circuito che fornisca una 
risposta indipendente da tale capacit\'a. Ci\'o \'e quanto avviene nel circuito di figura. 
Per vederlo, ammettiamo che il segnale in ingresso sia un impulso di corrente:
\[
i(t)\:=\:Q \delta(t)
\]
con:
\[
\int_0^{\infty} i(t) dt \:=\:Q
\]

Facendo uso del teorema di Miller, trasformiamo il circuito in quello mostrato in figura~\ref{rivelatori_semic_ampl_carica}(b), dove \'e:
\[
Z'\:=\:\frac{Z}{1+A}
\]
con A il modulo del guadagno dell'operazionale e Z il parallelo di R con l'impedenza capacitiva 
associata a C:
\[
Z\:=\:\frac{1}{C(s + 1/RC)}\:=\:\frac{1}{C(s + 1/\tau)}
\]
dove $\tau=RC$.

La trasformata dell'impedenza del parallelo di Z' e $Z_{Cd}$ \'e:
\[
\frac{1}{C(1+A)/\tau + \left[C(1+A) + C_d\right]}
\]

La risposta sar\'a indipendente da $C_d$ se \'e:
\[
C_d \ll C(1+A)
\]

In tal caso, l'espressione precedente diventa:
\[
\frac{1}{C(1+A)}\frac{1}{s+1/\tau}\:\equiv \:Z_{Tot}
\]

La tensione all'ingresso dell'operazionale sar\'a ora:
\[
\tilde{v}_{in}\:=\:Z_{Tot} \cdot \tilde{i}(s)\:=\:Z_{Tot} \,Q
\]


(poich\'e la trasformata di Laplace di $Q \delta(t)$   \'e giusto Q).

Da qui segue:
\[
v_{in}\:=\:\frac{Q}{C(1+A)} e^{-t/\tau}
\]
\[
v_{out}\:=\:\frac{A Q}{C(1+A)} e^{-t/\tau} \:\approx \:\frac{Q}{C} e^{-t/\tau}
\]

Quindi la risposta di tale amplificatore dipende solo dalla capacit\'a di feedback C. Il 
tempo di caduta del segnale dipende dal prodotto $\tau=RC$.


\section{Il concetto di equivalent-noise-charge}

Se il segnale all'uscita del rivelatore \'e di piccola ampiezza il rumore elettronico 
introdotto dal preamplificatore diviene importante. E' questo il caso dei rivelatori a 
semiconduttore, ma anche di altri (ad esempio quelli ad Argon liquido) che non 
possiedono un meccanismo interno di moltiplicazione della carica, quale quello presente 
invece nei tubi proporzionali.

Poich\'e il segnale di tensione all'uscita del preamplificatore corrisponde ad una carica 
all'uscita del rivelatore (la carica accumulata sul condensatore d'ingresso del 
preamplificatore) si esprime il rumore osservato in uscita, cio\'e il valore quadratico 
medio $v_{rms}$  della tensione in uscita, come quella carica che, se presente 
all'uscita del rivelatore, darebbe all'uscita del preamplificatore una tensione pari 
a $V_{rms}$.

Cos\'i, se indichiamo con $C_{in}$ la capacit\'a d'ingresso del preamplificatore,   
$A_0$ l'amplificazione ed ENC  la ''equivalent noise charge'' avremo:
\[
(ENC)\:=\:Q\:=\:C_{in} \frac{V_{rms}}{A_0}
\]

cio\'e vediamo che la ENC \'e proporzionale a $C_{in}$, che quindi \'e 
opportuno abbia un valore piccolo.

Le dimensioni della ENC sono Coulomb. E\' per\'o uso comune quello di quotarla in 
''elettroni'', dividendo il valore in Coulomb per la carica dell'elettrone ($1.6\;10^{-19}$ Coulomb).

Nel caso di un rivelatore al silicio (o al germanio) la ENC \'e legata alla risoluzione in 
energia. Infatti, per produrre una coppia elettrone- lacuna nel silicio sono necessari 
3.66~eV. Se osserviamo un gran numero di eventi in ciascuno dei quali una particella di energia 
E deposita (per produzione di coppie elettrone-lacuna) tutta la sua energia nel materiale, 
il numero di coppie sar\'a:
\begin{equation}
n_p\:=\:\frac{E\; (eV)}{3.66}  \label{numero_di _coppie}
\end{equation}

La carica all'uscita del detector sar\'a:
\begin{equation}
q\:=\:n_p \,1.6 \;10^{-19}\:=\:\frac{E \,1.6\;10^{-19}}{3.66} \;(Coulomb) \label{carica_in_uscita}
\end{equation}

e la tensione all'uscita del preamplificatore:
\begin{equation}
v\:=\:\frac{q}{C_{in}}A_0\:=\:E \frac{A_0}{C_{in}}\;\frac{1.6}{3.66} \;10^{-19}\;(Volt)\label{tensione_in_uscita}
\end{equation}

Se possono essere trascurate le fluttuazioni statistiche sul numero $n_p$ di coppie, la 
tensione in uscita dovr\'a avere un valore ben definito, uguale per tutti gli eventi. La 
distribuzione sar\'a cio\'e una funzione $\delta(V)$. 
Il rumore del preamplificcatore altera questa situazione. 
Non avremo pi\'u una funzione $\delta$  ma una gaussiana, la cui larghezza a 
met\'a altezza \'e legata al rumore introdotto dall'amplificatore.
Se, facendo uso della~\ref{tensione_in_uscita} e della conoscenza dei parametri $A_0$, $C_{in}$, calcoliamo la distribuzione in energia E per il campione di eventi, la alrghezza a met\'a altezza di tale distribuzione sar\'a data da:
\begin{equation}
\Gamma \:=\equiv\:fwhm\:=\:ENC \left(\frac{3.66 \cdot 2.36}{1.6 \; 10^{-19}}\right)
\end{equation}
dove il fattore 2.36 \'e quello che lega la larghezza a met\'a altezza alla $\sigma$  della 
gaussiana.


\section{Struttura della catena di rivelazione ed amplificazione}

La funzione principale di un amplificatore di impulsi in fisica nucleare/subnucleare \'e 
quella di trasformare il debole segnale generato dal rivelatore, dopo averlo amplificato 
ed opportunamente ''sagomato'' in un impulso pi\'u adatto per la successiva 
elaborazione. Il primo passo di tale elaborazione consiste nell'immagazzinamento 
(sample and hold) del segnale analogico e nella successiva conversione dell'altezza 
dell'impulso in un numero (conversione analogico-digitale mediante ADC) ed eventualmente del 
tempo associato al fronte di salita del segnale in un numero (conversione tempo-
digitale mediante un TDC).

In tale processo, il rivelatore ha il compito di convertire l'energia depositata in una 
carica elettrica, che pu\'o dar luogo ad un segnale in corrente, se la costante di tempo 
associata al rivelatore ed al successivo preamplificatore \'e piccola rispetto alla durata 
del processo che d\'a luogo al deposito di energia nel rivelatore; ad un segnale in carica 
nel caso opposto. 

Il rivelatore \'e seguito da un preamplificatore, che converte il segnale 
di carica (o, pi\'u raramente, il segnale di corrente) in un segnale di tensione, con un 
minimo contributo di rumore. Questo \'e seguito da un amplificatore-formatore, di cui ci 
occuperemo nei prossimi paragrafi. Segue poi la catena di lettura. 

L'informazione contenuta nell'impulso iniziale deve essere preservata in tale processo. 
A tale scopo il sistema preamplificatore-formatore-amplificatore deve preservare 
la relazione lineare tra l'altezza del segnale prodotto dal rivelatore e quella del 
segnale all'uscita dell'amplificatore, conservando al medesimo tempo l'informazione temporale. 
La forma, ampiezza e contenuto in rumore del segnale che il preamplificatore fornisce all'amplificatore sono determinati dal rivelatore e dal preamplificatore. 

La carica totale generata da ciascuna particella assorbita nel rivelatore \'e direttamente 
proporzionale all'energia che essa ha perduta. Si tratta di cariche molto piccole, che variano 
tra $10^{-15}$ e $10^{-10}$ Coulomb/impulso (cio\'e tra 1~femtoCoulomb e 100~pico-Coulomb).

La durata dell'impulso varia a seconda del rivelatore e, per un dato rivelatore, pu\'o 
variare con il tipo di particella e con la sua energia.
La durata pi\'u breve si ha nel caso dei rivelatori a scintillazione e nei rivelatori a 
semiconduttore aventi una zona di svuotamento poco profonda. In tali casi, le durate 
tipiche variano tra 0.1 e 10~ns. Le durate pi\'u lunghe si hanno nel caso dei rivelatori a gas (10~ns-5~$\mu$s).

Per ci\'o che concerne l'energia convertita in carica, i fattori di conversione ($\epsilon$) 
nel caso dei rivelatori a semiconduttore sono 3.6 eV/coppia elettrone-lacuna nel silicio e 
2.9~eV nel caso del Germanio. Non si ha moltiplicazione.

Nei rivelatori a scintillazione il valore effettivo di $\epsilon$ varia tra 3 e 30 eV/elettrone, 
con guadagni dell'ordine di $10^7$ nel fotomoltiplicatore.

Nei rivelatori a gas i fattori di conversione valgono 25-35~eV/coppia~elettrone-ione. I 
fattori di moltiplicazione sono dell'ordine di $10^4$ nel caso dei contatori proporzionali.

Notiamo ancora che, anche nei casi in cui il segnale all'uscita del rivelatore \'e una 
corrente, \'e l'integrale di questa, cio\'e la carica, che \'e direttamente legata 
all'energia rilasciata nel rivelatore. \'E quindi necessario in tal caso integrare il segnale.

Se la costante di tempo del rivelatore \'e piccola rispetto alla durata della corrente, la 
forma del segnale in uscita sar\'a preservata ed avremo un segnale del tipo ''current-
mode''.
Se viceversa la costante di tempo \'e grande, il segnale in corrente sar\'a integrato dal 
detector ed avremo un segnale di tensione in uscita: V=Q/C, dove Q \'e la carica totale 
rilasciata nel detector e C \'e la capacit\'a d'uscita.
L'impulso di tensione avr\'a poi un decadimento esponenziale con costante di tempo determinata 
dal rivelatore. Il tempo di salita sar\'a invece coincidente con il tempo di salita 
dell'impulso di corrente e non dipender\'a dalla costante di tempo del rivelatore.


\section{''Formazione'' dei segnali prodotti da rivelatori di particelle}

Sa quanto si \'e visto nei paragrafi precedenti, il segnale all'uscita del rivelatore \'e nella 
pi\'u gran parte dei casi un segnale in carica che, opportunamente integrato, fornisce un 
segnale in tensione. Tale segnale ha in genere un piccolo tempo di salita (determinato 
dalla piccola costante di tempo del rivelatore) ma un tempo di decadimento molto lungo 
(qualche decina di $\mu s$). In prima approssimazione possiamo approssimare il segnale 
come mostrato in figura~\ref{detector_pile_up}(a):



L'altezza del segnale \'e proporzionale all'energia rilasciata.

Il problema che qui si incontra \'e costituito dal fatto che, lavorando a rates elevati, i 
successivi impulsi vengono a sommarsi, di modo che l'altezza di un impulso \'e la 
somma di questo e delle code di quelli che lo hanno preceduto, come illustrato in 
figura~\ref{detector_pile_up}(b)

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=detector_pile_up.eps,width=10.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{detector_pile_up}
\end{figure}

Tale fenomeno \'e noto come ''pile-up''.

Per risolvere tale problema occorre trasformare il segnale originale in uno abbastanza 
stretto da evitare il problema del pile-up, conservando per\'o l'informazione sull'altezza 
d'impulso.
Un metodo spesso adoperato a tale scopo \'e quello noto come CR-RC shaping, tramite 
un circuito che effettua prima una differenziazione e poi un'integrazione del segnale.
Un circuito che realizza tale funzione \'e mostrato in figura~\ref{cr_rc_shaping}.


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=cr_rc_shaping.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{cr_rc_shaping}
\end{figure}

Gli inseguitori di tensione con amplificazione unitaria hanno lo scopo di disaccoppiare 
in continuo.
La funzione di trasferimento del circuito \'e:

\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{s C_1 R_1}{1 + R_1 C_1 s}\;\frac{1}{1 + R_2 C_2 s}\:=\:\frac{1}{\tau}\frac{s}{(s + 1/\tau_1)(s + 1/\tau_2)}  \label{cr_rc_transfun_a}
\end{equation}

Se l'impulso di tensione all'uscita del rivelatore (o dell'integratore alla sua uscita) \'e un 
esponenziale caratterizzato da una costante di tempo molto grande, possiamo 
schematizzarlo approssimativamente con un gradino di tensione. Ricordando che la trasformata
del gradino unitario \'e $1/s$, la tensione in uscita dal formatore sar\'a data 
dall'antitrasformata di:

\begin{equation}
\tilde{v}_{out}\:=\:A \frac{1}{s \tau_2} \frac{s}{(s + 1/\tau_1)(s + 1/\tau_2)} \label{cr_rc_transfun_b}
\end{equation}

L'antitrasformata pu\'o essere ricavata seguendo il procedimento adottato in precedenza in questo
capitolo.
Si trova:

a)	per $\tau_1 \ne \tau_2$:

\begin{equation}
v_{out}(t)\:=\:\frac{A \tau_1}{\tau_1 - \tau_2}\left[e^{-t/\tau_1}-e^{-t/\tau_2}\right] \label{cr_rc_transfun_c}
\end{equation}

b) per $\tau_1 = \tau_2\:\equiv\:\tau$:

\begin{equation}
v_{out}(t)\:=\:\frac{A}{\tau} t e^{-t/\tau} \label{cr_rc_transfun_d}
\end{equation}

La forma di tali impulsi, simile nei due casi indicati, \'e qualitativamente indicata in figura~\ref{cr_rc_shaping_out}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=cr_rc_shaping_out.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{cr_rc_shaping_out}
\end{figure}

Nella figura, la curva (a) \'e stata ottenuta facendo uso di valori $\tau_1=1\,\mu s$, $\tau_2=2\,\mu s$;
la (b) per $\tau_1=2\,\mu s$, $\tau_2=1\,\mu s$ e la (c) per $\tau_1=\tau_2=1 \mu s$.

Notiamo che nel caso $\tau_1 \ne \tau_2$, il massimo si ha per:
\[
t\:=\:\frac{\tau_1 \tau_2}{\tau_2 - \tau_1}\ln \frac{\tau_2}{\tau_1}
\]
Il corrispondente valore di $v_{max}$ pu\'o facilmente essere ottenuto dalla~\ref{cr_rc_transfun_c}.
Ponendo $r=\tau_2/\tau_1$, troviamo:
\[
v_{max}\:=\:\frac{A}{1-r}\left[(-r)^{r/(r-1)}-(-r)^{1/(r-1)}\right]
\]

Per $\tau_1=\tau_2=\tau$  troviamo invece:
\[
t(v_{max})\:=\:\tau
\]
e
\[
v_{max}\:=\:\frac{A}{e}
\]

La scelta delle costanti di tempo dipende in primo luogo dalla costante di tempo del 
rivelatore, cio\'e dal tempo necessario per la raccolta della carica. 
Se si vuol ridurre il pile-up \'e desiderabile scegliere dei valori il pi\'u piccoli 
possibile, in modo da assicurare un rapido ritorno allo zero del segnale in uscita. 
D'altro canto, il risultato che abbiamo ottenuto era basato sull'ipotesi che il segnale 
all'ingresso del formatore CR-RC fosse molto lungo, in modo da poterlo approssimare con un gradino.

Se il tempo di decadimento del segnale \'e invece corto, la funzione di trasferimento 
continuer\'a ad esser data dall'equazione~\ref{cr_rc_transfun_a}, ma la trasformata dell'input 
(che \'e un esponenziale) sar\'a ora:
\[
\frac{1}{s+1/\tau}
\]

e la trasformata dell'output sar\'a:
\begin{equation}
\tilde{v_{out}}\:=\:\frac{s}{\tau_2 (s + 1/\tau)(s+1/\tau_1)(s+1/\tau_2)} \label{cr_rc_transfun_e}
\end{equation}

Si pu\'o risolvere tale equazione e far vedere che la soluzione~\ref{cr_rc_out_short_tau_solution}:

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=cr_rc_out_short_tau_solution.eps,width=12.0 cm,
height=1.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{cr_rc_out_short_tau_solution}
\end{figure}

ha l'aspetto mostrato in figura~\ref{cr_rc_out_short_tau}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=cr_rc_out_short_tau.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{cr_rc_out_short_tau}
\end{figure}


Cio\'e il segnale raggiunge un massimo, ridiscende fino a raggiungere valori negativi e 
poi risale lentamente verso lo zero. Tale discesa a valori negativi (in realt\'a l'impulso 
\'e in genere negativo, e si ha poi una risalita verso valori positivi ed una lenta ridiscesa 
verso lo zero) causa un pile-up di segnali (questa volta il successivo segnale ''siede'' sulla 
coda di un impulso negativo) ed \'e un difetto da correggere~\footnote{Questo \'e noto come ''undershoot''}.

Notiamo per inciso che la ''coda'' \'e dovuta alla costante di tempo $\tau$ dell'amplificatore.

La~\ref{cr_rc_transfun_e} ha uno zero a numeratore e tre poli in $s=-1/\tau$, $s=-1/\tau_1$,
$s=-1/\tau_2$.
Se si riesce a trasformarla in una funzione priva di zeri e con solo due poli (come 
era la~\ref{cr_rc_transfun_b}, il problema sar\'a risolto. 

La soluzione \'e stata trovata da Nowlin e Blankenship (Review of Scientific Instruments, 36, 1830 (1965)) ed \'e nota come ''pole-zero cancellation''.

La modifica da apportare al circuito consiste nel porre una resistenza in parallelo al 
condensatore che effettua la differenziazione, come mostrato in figura~\ref{cr_rc_pole_zero}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=cr_rc_pole_zero.eps,width=10.0 cm,
height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{cr_rc_pole_zero}
\end{figure}

La funzione di trasferimento \'e:
\[
G(s)\:=\:\frac{R_1 (1+R C_1 s)}{R_1(1+R_1 C_1 s) + R} \cdot \frac{1}{s C_2 R_2 +1}
\]

che, ponendo:
\[
\tau'\:=\:R C_1 \;\;,\;\;\tau''=\tau' \frac{R_1}{R_1+R_2}\;\;,\;\;\tau_2=R_2 C_2
\]


pu\'o essere messa nella forma:
\[
G(s)\:=\:\frac{s + 1/\tau'}{s+1/\tau''}\frac{1}{s + 1/\tau_2}
\]

La trasformata della risposta all'esponenziale:
\[
A e^{-t/\tau}
\]
sar\'a:
\[
\tilde{v}_{out}\:=\:\frac{A}{\tau_2} \frac{1}{s+1/\tau} \frac{s + 1/\tau'}{s+1/\tau''}\frac{1}{s + 1/\tau_2}
\]

Scegliendo ora R e $C_1$  in modo tale che $\tau'=\tau$,  si ottiene:
\[
\tilde{v}_{out}\:=\:\frac{A}{\tau_2}\frac{1}{(s+1/\tau'')(s+1/\tau_2)}
\]


Cio\'e abbiamo una risposta del tipo desiderato.

Possiamo scegliere ancora $R_1$ in modo tale che $\tau''$  sia uguale al vecchio valore di 
$\tau_1$, ed il risultato sar\'a esattamente quello voluto.

Notiamo che, con il procedimento adottato abbiamo ''spostato'' la posizione dello zero 
della funzione di trasferimento iniziale in uno zero nel punto $1/\tau'$ ed 
abbiamo fatto in modo che $\tau'$  fosse giusto uguale alla costante di tempo $\tau$   
dell'esponenziale in ingresso, in modo tale da ''cancellare'' lo zero con il polo in $s=-1/\tau$.       . 
Di qui l'origine del nome.


\section{Altri metodi di ''shaping'' dei segnali}

Esistono molti altri metodi per la formazione (shaping dei segnali). Dettagli possono 
esser trovati nelle referenze:~\cite{Kowalski} (pagg. 91 e seguenti),~\cite{leo} (pagg. 272-275), 
~\cite{knoll} (pagg. 564-582).

Ci limiteremo qui ad accennare sommariamente ad alcuni dei metodi seguiti.
\subsection{Shaping $CR-(RC)^n$}

Questo \'e anche noto come ''shaping gaussiano''.

Se facciamo seguire ad un singolo circuito CR (differenziatore) n circuiti RC 
(integratori) si ottiene un impulso in uscita che \'e, con buona approssimazione, una 
gaussiana. Se tutte le costanti di tempo sono uguali a $\tau$, la soluzione \'e:
\[
v_{out}\:=\:v_0 \left(\frac{t}{\tau}\right)^n e^{-t/\tau}
\]

In pratica, un circuito $CR-(RC)^4$ da gi\'a dei buoni risultati.

In tale circuito, il tempo necessario perch\'e il segnale raggiunga il suo valore massimo 
\'e $n\tau$, ed \'e quindi pi\'u lungo di quello ottenibile con un semplice circuito CR-RC. 
Tuttavia la discesa a zero  \'e molto pi\'u rapida ed il pileup \'e quindi ridotto. Il 
metodo dello shaping gaussiano ha inoltre anche il vantaggio di migliorare il rapporto 
segnale/rumore.

\subsection{Shaping triangolare}

\'E stato dimostrato che l'ottimo dal punto di vista del rapporto segnale-rumore \'e 
ottenibile con un circuito che fornisca un segnale triangolare. \'E possibile approssimare 
tale comportamento facendo uso di filtri attivi.


\section{Spostamento della linea di zero}

Con tale termine si intende il fatto che un segnale periodico (o all'incirca periodico) il 
cui valor medio sia diverso da zero, acquista un valor medio zero se lo si fa passare 
attraverso un condensatore. Ci\'o \'e legato al fatto che un condensatore non pu\'o 
trasmettere una componente continua. Poich\'e i formatori (shapers) che abbiamo 
descritto utilizzano tutti dei condensatori in serie per effettuare la differenziazione del 
sengale, questo sar\'a inevitabilmente spostato in modo che il valor medio sia nullo (vedi figura~\ref{baseline_shift}).

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=baseline_shift.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{baseline_shift}
\end{figure}

Tale fwenomeno (comunemente indicato come ''baseline shift'') causa un'alterazione 
dell'ampiezza dei singoli impulsi, normalmente riferita allo zero. Si pu\'o inoltre vedere 
che lo spostamento dipende dalla frequenza di arrivo degli impulsi, il che lo rende 
ancora pi\'u noioso.

Si pu\'o ovviare a tale problema essenzialmente con due tecniche diverse.
La prima di queste, nota come ''baseline restoration'' consiste nell'utilizzo di appositi 
circuiti che ''riportano'' il segnale a zero dopo ciascun impulso.
Per dettagli, si vedano le referenze~\cite{Kowalski} e~\cite{knoll}.

La seconda tecnica consiste nel trasformare l'impulso unipolare come quello fin qui 
ipotizzato, in un impulso bipolare. Questo ha gi\'a un valor medio nullo e non subisce 
quindi alcuno ''shift'' nell'attraversare un condensatore. L'impulso bipolare \'e ottenuto 
da quello unipolare  facendo in modo che questo subisca una ''riflessione'' e facendo poi 
seguire al segnale iniziale quello riflesso, come qualitativamente indicato in figura~\ref{impulso_bipolare_a}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=impulso_bipolare_a.eps,width=10.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{impulso_bipolare_a}
\end{figure}

Il metodo pi\'u ovvio per realizzare tale riflessione dell'impulso \'e quello di ricorrere 
ad una linea di ritardo cortocircuitata ad un'estremit\'a.
Poich\'e il coefficiente di riflessione $\rho$ di una linea avente impedenza caratteristica $Z$, 
chiusa su di una resistenza R \'e:
\[
\rho\:=\:\frac{R-Z}{R+Z}
\]

Si vede che per R=0 si ha $\rho=-1$. 
Un gradino sar\'a quindi trasformato in un segnale rettangolare di durata pari al doppio del ritardo caratteristico della linea.
Uno schema tipico \'e mostrato in figura~\ref{transmission_line_shaping}:

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=transmission_line_shaping.eps,width=12.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{transmission_line_shaping}
\end{figure}

Se a questa prima riflessione se ne fa seguire una seconda, come mostrato nella parte 
destra della figura, si ottiene un impulso bipolare. Questo non presenta pi\'u il 
problema del ''basaline shift'', ma ha l'inconveniente di uno spettro di Fourier molto 
ampio, con conseguente necessit\'a di amplificatori ad ampia banda passante il che 
introduce un elevato livello di rumore.
Per ovviare a tale inconveniente conviene integrare il segnale all'uscita della seconda 
linea di ritardo, ottenendo in tal modo un segnale triangolare, come mostrato 
in figura~\ref{impulso_bipolare_integrato}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=impulso_bipolare_integrato.eps,width=10.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{impulso_bipolare_integrato}
\end{figure}


Il segnale cos\'i ottenuto \'e nuovamente positivo e presenta quindi nuovamente il 
problema della ''baseline shift''. Una seconda differenziazione con una ''delay line'' lo 
trasformer\'a nuovamente in un segnale bipolare, conservando la forma triangolare, che 
\'e molto buona dal punto di vista del rumore.

Un metodo alternativo per ottenere un impulso bipolare \'e quello di effettuare una 
seconda differenziazione dopo la prima formazione CR-RC. Si adoperer\'a cio\'e un 
sistema CR-RC-CR. Questo schema \'e mostrato in figura~\ref{cr_rc_cr_shaping}.  


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=cr_rc_cr_shaping.eps,width=11.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{cr_rc_cr_shaping}
\end{figure}

La forma d'onda che ne risulta, per un impulso esponenziale in ingresso, \'e mostrata in figura~\ref{cr_rc_cr_shaping_out}.


\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=cr_rc_cr_shaping_out.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{cr_rc_cr_shaping_out}
\end{figure}

Vediamo che ora lo spostamento dello zero \'e meno severo di quello che si ha con 
segnali unipolari.
Tuttavia le aree sopra e sotto l'asse non sono esattamente uguali, quindi un piccolo 
spostamento dello zero \'e sempre presente.


\section{Deficit balistico e scelta delle costanti di tempo}

Il segnale ottenuto facendo uso di  uno shaping CR-RC ha un andamento temporale dato 
dalla~\ref{cr_rc_transfun_c}, che possiamo riscrivere nella forma:
\[
v_{out}(t)\:=\:A\frac{\tau_F}{\tau_F+\tau_R}\left(e^{-t/\tau_F}-e^{-t/\tau_R}\right)
\]

dove abbiamo posto:
\[
\tau_F\equiv\tau_1 \;\;,\;\;\tau_R=\tau_2
\]

Possiamo vedere che $\tau_F$ \'e legato al tempo di discesa del segnale e $\tau_R$ a 
quello di salita. 
Vediamo infatti che per $\tau_F\rightarrow \infty$, l'espressione in parentesi diventa:
\[
1-e^{-t/\tau_R}
\]

che descrive un esponenziale crescente con costante $\tau_R$.

Analogamente, per $\tau_R\rightarrow 0$ l'espressione in parentesi si riduce a :
\[
e^{-t/\tau_F}
\]

cio\'e ad un esponenziale decrescente con costante di tempo $\tau_F$.

Ammettiamo ora che il tempo di salita $\tau_R$ sia quello caratteristico del rivelatore 
medesimo. L'altezza dell'impulso associato al segnale \'e proporzionale all'energia 
rilasciata dalla particella nel rivelatore. Il segnale di tensione tenderebbe a divenire 
asintoticamente uguale a tale valore, se il termine $exp(-t/\tau_F$ non intervenisse a 
farlo scendere verso lo zero. Ci\'o \'e illustrato nella figura che segue. 



Alla differenza tra il valore asintotico che il segnale tenderebbe ad acquistare per effetto dell'integrazione ed il valore massimo che esso effettivamente raggiunge prima di ricominciare a scendere per effetto della differenziazione, si d\'a il nome di ''deficit balistico''.

Si potrebbe pensare di ridurre il deficit balistico scegliendo un valore di $\tau_F$ molto grande. 
Tale scelta va per\'o contro l'esigenza di avere dei segnali corti, per evitare il fenomeno 
del ''pile-up''.

Nella figura che segue \'e mostrato l'andamento ottenuto facendo uso della (*) a pag. 36 
(con A=1) fissando $\tau_R$  a $1\,\mu s$ e facendo variare $\tau_F$ tra $2\cdot \tau_R$ (curva inferiore) e $20 \cdot \tau_R$  (curva superiore) in steps di $2\,\mu\,s$.







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Se si fa uso di una shaping triangolare, con:  e poniamo
la risposta in frequenza dell'am...... sar\'a:

La tensione quadratica media di rumore \'e allora:

Ammettiamo ora che Q sia la carica che il rivelatore deposita sulla capacit\'a d'ingresso 
dell'amplificatore ( ). Se   \'e il guadagno dell'amplificatore, il segnale in uscita sar\'a:

Tuttavia, in presenza di uno shoping triangolare, con     , il guadagno \'e ridotto di un 
fattore   . Cio\'e:

La ENC si ottiene uguagliando la (1) ed il quadrato della 2:


I primi due termini non dipendono da   , i restanti due ne dipendono.
Ci\'o \'e legato al fatto che per i primi due termini la sorgente di rumore, come il 
segnale, pu\'o esser considerata in parallelo alla capacit\'a

Per i rimanenti due la sorgente di rumore \'e in serie.
Esaminiamo ora la dipendenza del rumore da  .
Riserviamo a tale scopo la (3) nella forma:

Avremo un minimo quando la derivata prima si annulla:

(La derivata seconda \'e:
Sostituendo questo    nella (4) si trova il minimo valore del ENC:

Vediamo che con questa scelta i primi due termini contribuiscono in ugual misura. Essi 
corrispondono rispettivamente al rumore termico nella resistenza di gate ed allo shot 
noise nella corrente di gate.
Sostituendo valori numerici tipici si trova che    deve essere almeno dell'ordine dei   . 
Questo valore \'e troppo alto se si lavora a ratei elevati.
Scegliendo valori di    molto minori di quello ottimale, il contributo del rumore termico 
nel canale diviene dominante sui primi due. Se il rumore 1/f pu\'o essere trascurato, il 
rumore complessivo avviene:

o anche:

Inoltre     pu\'o esser diviso in due pezzi: la capacit\'a esterna    all'amplificatore (cavi, 
rivelatore, etc.) e quella     del FET:

Nel caso dei preamplificatori commerciali, i produttori quotano le costanti   e    (per 
valori dati di  ), in opportune unit\'a (vedi sotto).

ENC \'e espressa in Coulomb e anche in numero di elettroni.
Nel caso dei rivelatori a semiconduttore    FWHM Kev (Silicio)

(*) In realt\'a il moto degli ioni verso il catodo induce un segnale in corrente. Questo \'e per\'o integrato 
dalla capacit\'a del rivelatore, producendo cos\'i un segnale di tensione.
(*) Questo \'e noto come ''undershoot''.
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