
\chapter{\bf Il rumore nei circuiti elettronici}

\section{Introduzione}

\newcommand{\gnat}{\mbox{$\overline{w(t)^{2}}$}}

Anche in assenza di segnale applicato in ingresso, una tensione o
corrente di rumore \`{e} sempre presente all'uscita di un amplificatore.
 Tale segnale pu\`{o} aver origine nei componenti dell'amplificatore medesimo 
(transistori, FET, resistenze, diodi etc.) o pu\`{o} avere origini esterne 
(disturbi
di natura elettromagnetica nell'ambiente, insufficiente filtraggio della
tensione di alimentazione ottenuta dalla rete elettrica, rumore gi\`{a} presente
all'ingresso dell'amplificatore). 
 
 Se si osserva il segnale all'uscita 
dell'amplificatore con un oscilloscopio, si vedr\`{a} una successione di
impulsi di forma irregolare, positivi e negativi, come e' possibile
vedere in figura~(\ref{noise}). 

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=noise.eps,width=9.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{noise}
\end{figure}

L'altezza degli impulsi \`{e}  spesso molto piccola e la loro distribuzione nel tempo \`{e}  nella piu' gran parte dei casi, casuale (non lo sara' ovviamente se il rumore ha  origine nella rete elettrica a 220 V, in emissioni elettromagnetiche da parte di


 motori elettrici nell'ambiente etc).
 
 Ci limiteremo qui allo studio del rumore di tipo casuale, che ha 
prevalentemente origine nei componenti del circuito o negli elementi che
lo precedono.

 Lo studio del rumore \`{e} particolarmente importante in quelle applicazioni
in cui \`{e} necessario amplificare dei segnali la cui ampiezza \`{e} molto
piccola. In tali circostanze, l'ampiezza del rumore pu\`{o} divenire una
frazione apprezzabile di quella del segnale e diviene importante adottare
accorgimenti particolari per amplificare il segnale e non il rumore.
 \`{E} necessario, a tale scopo, conoscere le caratteristiche del rumore,
quali ad esempio il suo spettro di frequenza.

 I tre tipi principali di rumore sono:
\begin{itemize}
\item {il rumore termico} 
\item {il rumore di tipo "shot"}
\item {il rumore 1/f}
\end{itemize}
 
 Nei paragrafi che seguono esamineremo le caratteristiche principali
di tali tipi di rumore, cominciando con una breve descrizione
dei metodi adoperati per caratterizzarlo.
\section{Processi stocastici stazionari}

Ci occuperemo qui dei processi stocastici che si ripetono nel tempo 
e che possono
essere considerati, su lunghi intervalli di tempo, stazionari.
Nella pi\'{u} gran parte dei casi essi hanno origine in fluttuazioni
che hanno luogo a livello microscopico. In tal caso risulta
opportuno affrontare il problema studiando la distribuzione di tali
processi nel tempo. Dal punto di vista sperimentale \'{e} invece comodo
effettuare misure nel dominio della frequenza.
 Ci occuperemo ora dei metodi adoperati per la caratterizzazione nel
dominio temporale. Si vedr\'{a} successivamente come le due descrizioni
siano legate l'una all'altra da utili relazioni matematiche.

\subsection{Descrizione nel dominio del tempo}
\subsubsection{Distribuzioni}

Consideriamo un sistema fisico soggetto a fluttuazioni statistiche casuali.
Sia x(t) la grandezza della variabile che fluttua, all'istante t, relativamente
al sistema in esame. Tale variabile potrebbe essere una tensione, una corrente, 
una carica, un numero di fotoni etc.
Per caratterizzare le propriet\'a del sistema si introducono delle opportune
medie effettuate su di esso. Pi\'u dettagliatamente, si supponga di considerare
un gran numero N di sistemi identici a quello sotto esame, ciascuno dei quali
sia soggetto alle medesime fluttuazioni, ma \emph{indipendentemente dagli 
altri}.
Fissato un certo istante $t_1$, sia $x_i(t_1)$ il valore che la variabile
relativa all'ie-mo sistema ha in tale istante. Sia ora $\Delta N$ il numero
dei sistemi per i quali la variabile ha, nell'istante considerato, un valore
compreso tra $x$ e $x+\Delta x$. Per $N\rightarrow \infty$ si prenda ora
il rapporto $\Delta N/N$. Tale rapporto esprime la probabilit\'a che il
sistema abbia il valore della variabile x compreso nell'intervallo suddetto,
al tempo $t_1$. Chiameremo tale probabilit\'a $\Delta P$. Il rapporto tra
tale probabilit\'a e l'ampiezza $\Delta x$ dell'intervallo scelto per
la variabile x \'e, per $\Delta x \rightarrow 0$, la funzione \emph{densit\'a di
probabilit\'a}:
\[
\frac{dP}{dx}\:\equiv\:\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta P}{\Delta 
x}=\:f(x,t_1)
\]
La probabilit\'a che il sistema abbia, all'istante $t_1$, un valore della
variabile compreso in un intervallino dx \'e esprimibile in funzione
della f(x,t):
\[
dP\:=\:f(x,t)dx
\]
Se la funzione f(x,t) \'e indipendente da t, il sistema si dice 
\emph{stazionario}.
La pi\'u gran parte dei processi di rumore che si incontrano sono stazionari.

Nota la densit\'a di probabilit\'a, \'e facile calcolare valori medi di 
variabili
che siano funzioni della variabile casuale x. Le medie che si ottengono sono
\emph{medie sull'insieme dei sistemi identici} considerati. Ad esempio, si
possono calcolare i \emph{momenti}:
\[
\overline{x^m}\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}{x^m f(x)dx}
\]

Data una generica funzione g(x) della variabile casuale x, il suo valor
medio sull'insieme \'e:
\[
\overline{g(x)}\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}{g(x) f(x)dx}
\]
Se f(x) \'e simmetrica (f(x)=f(-x)) ed x pu\'o variare tra valori uguali ed
opposti ($-x_0\:,\:+x_0$) allora il valor medio di tutte le potenze dispari
di x sar\'a nullo. Se il valor medio di x (cio\'e il momento di ordine 1) \'e
diverso da zero, si pu\'o introdurre la grandezza:
\[
\Delta x\:=\:(x-\overline{x})
\]
il cui valor medio \'e nullo.

Si definisce la \emph{varianza} di x come:
\[
var(x)\:\equiv\:\overline{\Delta x^2}\:=\:\overline{(x-\overline{x})^2}\:=\:
\overline{x^2}-\overline{x}^2
\]
Abbiamo fatto implicitamente l'ipotesi che la funzione f(x) fosse normalizzata
ad 1:
\[
\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}\:=\:1
\]
Se questa condizione non fosse soddisfatta, sarebbe comunque possibile definire
una nuova funzione, legata alla f(x) da una semplice relazione di 
proporzionalit\'a,
normalizzata ad 1.

Abbiamo finora effettuato l'operazione di media ammettendo di disporre di
un numero (teoricamente infinito) di sistemi \emph{identici a quello che si
sta studiando} e soggetti a fluttuazioni indipendenti. Questo \'e chiaramente
un artificio di calcolo. Nella realt\'a disponiamo di un solo sistema soggetto
a fluttuazioni che si ripetono nel tempo. Ammettiamo di studiare le fluttuazioni
del sistema sull'intervallo di tempo (0-T). Sia x(t) la variabile che 
caratterizza le fluttuazioni del sistema e sia g(x) una funzione della x. 
Possiamo definire il valor medio, sull'intervallo di tempo T, della g(x):
\[
<g(x)>\:=\:\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{g(x(t))dt}
\]  
Se questa media temporale \'e uguale alla media effettuata sull'insieme, cio\'e
a $\overline{g(x)}$, allora il processo di rumore in esame si dice 
\emph{ergodico}.
La pi\'u gran parte dei processi di rumore sono ergodici.

Le considerazioni precedenti sono facilmente estendibili al caso di pi\'u 
variabili.
Se infatti $x_1(t)$ ed $x_2(t)$ sono variabili stocastiche indipendenti 
possiamo,
analogamente a quanto fatto nel caso di una singola variabile, definire la
probabilit\'a che la variabile $x_1$ abbia un valore compreso nell'intervallo
($x_1,x_1+dx_1$) e la variabile $x_2$ abbia un valore compreso nell'intervallo
($x_2,x_2+dx_2$):
\[
dP\:=\:f(x_1,x_2,t) dx_1 dx_2
\]
Se tale funzione non dipende dal tempo, il sistema si dice \emph{stazionario}.
In modo analogo a quello seguito nel caso della funzione f(x), possiamo definire
i valori medi di funzioni delle variabili $x_1,x_2$. Ad esempio, i momenti 
saranno:
\[
\overline{x_1^n x_2^m}\:=\:\int \int {x_1^n x_2^m\:f(x_1,x_2)dx_1 dx_2}
\]
Particolarmente importante \'e la \emph{correlazione}:
\[
\overline{x_1x_2}\:=\:\int \int {x_1 x_2\:f(x_1,x_2)dx_1 dx_2}
\] 
che \'e uguale a zero se le due variabili non sono correlate. Si definisce poi
il \emph{coefficiente di correlazione}:
\[
C\:=\:\frac{\overline{x_1 x_2}}{\sqrt{\overline {x_1^2} \:\overline {x_2^2}}}
\]
Si pu\'o facilmente vedere che $-1\leq C\leq 1$. Basta far uso del
fatto che l'espressione:
\[
\overline{(a x_1+b x_2)^2}\: \geq \:0
\]
per tutti i valori di a e b.

Il coefficiente di correlazione vale 0 se le variabili sono non correlate 
e $\pm 1$ se la correlazione \'e massima. 
Se il modulo di C \'e minore di 1 (ma non nullo) si dice che la correlazione
\'e parziale.

\subsubsection{Autocorrelazione}

Se nel calcolo della correlazione definita sopra, facciamo uso di x(t) al
posto di $x_1$ e di $x(t+\tau)$ al posto di $x_2$, otteniamo quella che \'e
nota come \emph{funzione di autocorrelazione}
\begin{equation}
\Phi(\tau)\:=\:\overline{x(t)x(t+\tau)} \label{eq:autocorrel}
\end{equation}



La funzione di autocorrelazione fornisce una misura della durata temporale
di una fluttuazione.


Essa ha le seguenti propriet\`{a}:
\begin{itemize}
\item{$\Phi(\tau)$ \'e indipendente da t se x(t) \'e stazionaria}
\item {$\Phi(\tau)$ \`e o continua (anche se x(t) \`e discontinua) o \`e
una funzione $\delta$ di $\tau$. Infatti, se $\Phi(\tau)$ non \'e una funzione
$\delta(\tau)$, generiche discontinuit\'a in x(t) e in $x(t+\tau)$ avranno luogo
ad istanti diversi nei diversi elementi dell'insieme. Ne segue che
tali discontinuit\'a daranno una media finale nulla}
\item {$\Phi(\tau) = \overline{x(t)^2}$ per $\tau = 0$, a meno che  $\Phi(\tau)$
non sia una funzione $\delta$}
\item  {$\Phi(\tau) =  \Phi(-\tau)$ se x(t) \'e stazionaria}
\end{itemize}
L'ultima relazione scritta si pu\'o dimostrare come segue:
\[
\Phi(\tau)\:\equiv\overline{x(t)x(t+\tau)}\:=\:\overline{x(u-\tau)x(u)}\:=\:
\overline{(x(u)x(u-\tau))}\:=\:\overline{x(t)x(t-\tau)}
\]
Dove il primo passaggio \'e ottenuto ponendo $u=(t+\tau)$, il secondo scambiando
i due termini che figurano nella media ed il terzo sostituendo u con t, il che 
\'e consentito dal fatto che la x(t) \'e stazionaria.


Ulteriori propriet\'a della funzione di autocorrelazione sono:
\begin{itemize}
\item{Per $\tau \rightarrow \infty $, $ \Phi(\tau)$ va a zero abbastanza
rapidamente che l'integrale: \[\int_{-\infty}^{+\infty}{\Phi(\tau)d\tau}\]
esiste. Tale condizione pu\'o non esser verificata in alcuni casi.}
\item{Dalla correlazione si pu\'o, se $\Phi(\tau)$ non \'e una
funzione $\delta(\tau)$, ottenere il coefficiente di autocorrelazione 
normalizzato: $c(\tau)\:=\:\frac{\overline{x(t)x(t+\tau)}}{\overline{x^2}}$ }
\end{itemize}

Nel caso in cui  $\Phi(\tau)$ \`{e} una funzione $\delta$:
\begin{center}
\begin{equation}
\Phi(\tau) = A \cdot \delta (\tau) \label{eq:bianco}
\end{equation}
\end{center}
il rumore si dice {\em bianco}.

 Consideriamo ora alcuni esempi di sorgenti di rumore. Consideriamo una sequenza
di impulsi (funzioni $\delta$) positivi e negativi, distribuiti in modo casuale
nel tempo, come mostrato in figura~(\ref{delta}); la probabilit\`{a} che un 
impulso abbia luogo  nell'intervallo di tempo (t, t+dt) sia cio\`{e} costante ed 
indipendente da t. Sia inoltre A  l'ampiezza degli impulsi, cio\'e l'integrale 
di ciscuna delle funzioni $\delta$ che li descrivono.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=delta.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{delta}
\end{figure}

%\begin{figure}
%  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=v(t)vst.eps,width=10.0 cm,
%height=7 cm}}\end{center}
%\caption{ }
%\protect\label{v(t)vst}
%\end{figure}



Sappiamo che in
tal caso la distribuzione del numero n di impulsi in un tempo finito T 
\`{e} una Poissoniana.
 La funzione di autocorrelazione $\Phi(\tau)$ sar\`{a} allora
nulla per tutti i valori di $\tau$, tranne che nel punto $\tau$=0. Pi\'u
precisamente, essa sar\'a una funzione $\delta(0)$ di ampiezza pari ad
$A^2$ 



Se ora tale sorgente di rumore viene applicata ad un filtro passa-basso avente
una costante di tempo $\tau_{1}$, la funzione w(t) all'uscita avr\`{a}
la forma mostrata in figura~(\ref{w(t)}) e la corrispondente funzione di 
autocorrelazione
avr\`{a} la forma mostrata in figura~(\ref{correl}).

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=w(t).eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{w(t)}
\end{figure}


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=correl.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{correl}
\end{figure}

Infatti la risposta di un circuito caratterizzato da una funzione di 
trasferimento
h(t) ad un segnale v(t) \'e data dalla convoluzione:
\begin{equation}
v_o(t)\:=\:\int_0^t{v(t-\tau)h(\tau)d\tau}   \label{convoluzione}
\end{equation}
la cui trasformata di Laplace \'e:
\[
\tilde{v}_o(s)\:=\:\tilde{v}(s)\cdot \tilde{h}(s)
\]
Per dimostrare tale relazione, L-trasformiamo entrambi i membri 
della~(\ref{convoluzione}):
\[
\tilde{v}_o(s)\:=\:\int_0^\infty{e^{-st}dt\int_0^t{v(t-\tau)h(\tau)d\tau}}
\]
Trasformiamo ora l'integrale interno, estendendo l'integrazione fino ad 
$\infty$. 
Ci\'o pu\'o esser ottenuto moltiplicando l'integrando per la funzione gradino
unitario $u(t-\tau)$, che \'e nulla per $\tau > t$:
\[
\tilde{v}_o(s)\:=\:\int_0^\infty{e^{-st}dt\int_0^\infty{v(t-\tau)h(\tau)
u(t-\tau)d\tau}}\:=\:\int_0^\infty{h(\tau)d\tau\int_0^\infty{v(t-\tau)
u(t-\tau)e^{-st}dt}}
\]
dove nell'ultimo passaggio abbiamo scambiato l'ordine delle due integrazioni.
L'integrale interno \'e nullo per $t<\tau$. Possiamo quindi limitare 
l'integrazione
fra $\tau$ ed $\infty$, dove \'e $u(t-\tau)=1$. Ponendo $t'=t-\tau$ otteniamo:
\[
\tilde{v}_o(s)\:=\:\int_0^\infty{h(\tau)d\tau\int_0^\infty{v(t')
e^{-s(t'+\tau)}dt'}}\:=\:\int_0^\infty{h(\tau)e^{-s\tau}d\tau\int_0^\infty{v(t')
e^{-s t'}dt'}}\:=\:\tilde{h}(s)\cdot\tilde{v}(s)
\]
che \'e quanto volevamo dimostrare.
Nel nostro caso (circuito passa-basso) la trasformata della funzione di
trasferimento del circuito (cio\'e della h(t)) \'e:
\[
\tilde{h}(s)\:=\:\frac{1}{s+a}\:\:\:\:con: a=\frac{1}{\tau_1}
\]
e la trasformata dell'eccitazione (funzione $\delta$) \'e 1. Ne segue per 
la risposta:
\[
v_o(t)\:=\:e^{-t/\tau_1}
\]
Cio\'e la risposta \'e un esponenziale. Poich\'e gli impulsi hanno luogo ad
istanti casuali, ed inoltre possono essere sia positivi che negativi, la
correlazione tra impulsi diversi sar\'a nulla e l'unico contributo che rimane
all'autocorrelazione \'e quella del generico impulso con se stesso, la cui
forma \'e quella mostrata in figura~(\ref{correl}).



Come si vede $\Phi(\tau)$ \'e diverso da zero per valori di $\tau$ $\neq$0.
\subsubsection{Funzione di autocorrelazione all'uscita di un circuito}

Il procedimento formale per trovare la funzione di autocorrelazione 
$\Phi_{2}(\tau)$ all'uscita di un circuito quando sia nota la funzione di
autocorrelazione $\Phi_{1}(\tau)$ all'ingresso \`{e} il seguente. Sia h(t)
la funzione che esprime la risposta del circuito ad una funzione
$\delta$(t). Definiamo allora la funzione di autocorrelazione
del circuito:
\begin{equation}
\rho(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t)*h(t+\lambda)\,dt \label{eq:rho}
\end{equation}
che esprime la 'memoria' del circuito al tempo $\lambda$. Si dimostra allora che
$\Phi_{2}(\tau)$ \'e dato da:
\begin{equation}
\Phi_{2}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty}
\rho(\lambda)*\Phi_{1}(t-\lambda)\,d\lambda \label{eq:phi2}
\end{equation} 


\subsection{Analisi nel dominio della frequenza}

Lo sviluppo in serie di Fourier di una tensione di rumore v(t) pu\`{o}
essere effettuato su di un intervallo di tempo definito (0-T):
\begin{equation}
v(t)\:=\:\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_{n}\exp(j \omega_{n} t)\label{eq:fourier}
\end{equation}
dove:
\begin{equation}
a_{n}\:=\:\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t) \cdot \exp(-j \omega_{n} 
t)\,dt\label{coeff}
\end{equation}
ed:

\[
\omega_{n}\,=\, \frac{2 \pi n}{T}\; , n\,=\,0,\pm 1, \pm 2 , \pm n
\]
Notiamo che dalla~(\ref{coeff}), con v(t) reale, segue che:
\[
a_n^*\:=\:a_{-n}
\]
I primi termini ($|n|\leq 2$) dello sviluppo~(\ref{eq:fourier}) sono:
\[
v(t)\:=\:a_{-2}exp(-j4\pi\frac{t}{T})+a_{-1}exp(-j2\pi\frac{t}{T})+a_0+a_1 exp(j 
2\pi\frac{t}{T})+
a_2 exp(j 2\pi \frac{t}{T})
\]
Per un dato T, la componente di Fourier di pulsazione $\omega_n$ \'e:
\[
v_n(t)\:=\:a_n exp(j \omega_n t)+a_{-n}exp(-j \omega_n t)
\]
Applichiamo ora questo sviluppo separatamente a ciascun elemento di un insieme
di sistemi identici, soggetti a fluttuazioni. Calcoliamo il valore quadratico
medio di $v_n$ sugli elementi dell'insieme:
\begin{equation}
\overline{v_n^2}\:=\:\overline{a_n^2} exp(2 j \omega_n t)+\overline{a_{-n}^2} 
exp(-2j \omega_n t)+
2 \overline{a_n a_n^*} \label{quadmedio}
\end{equation}
Notiamo che $a_n$ \'e un vettore nel piano complesso:
\[
a_n\:=\:|a_n|exp(j \phi_n)
\]
ed $a_n^2$:
\[
a_n^2\:=\:|a_n|^2 exp(2j \phi_n)
\]
I vettori che rappresentano $a_n^2$ per due diversi elementi dell'insieme sono
mostrati in figura~(\ref{vectors}).


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=vectors.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{vectors}
\end{figure}



I due vettori possono avere moduli e fasi diverse. Dato per\'o il carattere
casuale della fluttuazione, dato un elemento del sistema che ha, ad un dato
istante, un certo modulo e fase, esister\'a nell'insieme un elemento con
uguale modulo e fase uguale a quella del primo, aumentata di $\pi$. Per
tale coppia di elementi, la somma dei relativi vettori (uguali ed opposti)
\'e nulla. Poich\'e ci\'o \'e vero per qualunque valore di $a_n$, ne segue che:
\[
\overline{a_n^2}\:=\:0
\]
Analogamente si vede che \'e:
\[
\overline{a_{-n}^2}\:=\:0
\]
Invece non \'e nullo l'ultimo dei termini che compaiono nella~(\ref{quadmedio}). 
Ci\'o
segue dal fatto che esso \'e reale:
\[
a_n a_n^*\:=\:|a_n|exp(j \phi_n)\:|a_n| exp(-j \phi_n)\:=\:|a_n|^2
\]
Di conseguenza, la cancellazione tra elementi diversi ora non ha luogo. Avremo
in definitiva:
\begin{equation}
\overline{v_n^2}\:=\:2 \overline{a_n a_n^*}  \label{vn2}
\end{equation}

Quanto detto finora si applica sia al caso $\overline{v}=0$ che al caso
$\overline{v}\neq 0$. Poich\'e siamo comunque liberi di ridefinire
$v(t)-\overline{v}$ come la quantit\'a che fluttua, potremo sempre
assumere, senza perdere generalit\'a, che sia $\overline{v}=0$.

\subsubsection{Densit\'a spettrale}

Nello sviluppo~(\ref{eq:fourier}), alla componente di pulsazione 
$\omega_n\:=\:\frac{2\pi n}{T}$ \'e associata una frequenza:
\[
f_n\:=\:\frac{n}{T}
\]
Considerando l'intervallo di frequenza:
\[
\Delta f\:\equiv f_{n+1}-f_{n}\:=\:\frac{1}{T}
\]
definiremo la \emph{densit\'a spettrale} come:
\begin{equation}
S_v(f_n)\:=\:\frac{\overline{v_n^2}}{\Delta f}   \label{intspett}
\end{equation}
Questa rappresenta la potenza quadratica media di rumore per
unit\'a di intervallo di frequenza, in prossimit\'a della frequenza $f_n$, 
sviluppata su di una resistenza di $1 \Omega$ cui sia applicato 
tale segnale di tensione.

Per $T \rightarrow \infty$ l'equazione~(\ref{intspett}) si pu\'o riscrivere,
facendo uso della~(\ref{vn2}), come:
\[
S_v(f)\:=\:\lim_{T \rightarrow \infty} 2 T \overline{a_n a_n^*}
\]






Essa esprime l'importanza  delle singole componenti nello sviluppo in 
serie di Fourier. 

Il teorema di Wiener-Khintchine (vedi appendice A) lega la densit\`{a} 
spettrale cos\`{i}
definita alla funzione di autocorrelazione:
\begin{equation}
S_{v}(f)\:=\:2\int_{-\infty}^{+\infty} \overline {v(t)\, v(t+\tau)} \exp(j 
\omega
\tau) d\tau \:=\:4\int_{0}^{+\infty} \overline {v(t)\, v(t+\tau)} \cos(\omega
\tau) d\tau\label{wiener}
\end{equation}

Dove il termine $\overline {v(t)\, v(t+\tau)}$ \`{e} la funzione di 
autocorrelazione 
$\Phi(\tau)$
L'ultima uguaglianza segue dal fatto che $\exp(j \omega \tau) = \cos(\omega 
\tau)+j
\sin(\omega \tau)$, che $\cos(\omega \tau)$ \`{e} una funzione pari e  
$\sin(\omega
\tau)$  una funzione dispari di $\tau$ e che la funzione di autocorrelazione
gode della propriet\'a che:  $\Phi(\tau)=\Phi(-\tau)$. 
Quindi scriveremo:
\begin{equation}
S_{v}(f)\:=\:4\int_{0}^{+\infty} \Phi(\tau)  \cos(\omega \tau) 
d\tau\label{eq:Sv}
\end{equation}
Questa equazione pu\`{o} essere invertita, per esprimere la funzione di
autocorrelazione in termini della densit\`{a} spettrale:
\begin{equation}\Phi(\tau)\:=\:\int_{0}^{+\infty}S_{v}(f) \cos(\omega \tau) 
df\label{eq:Phi}
\end{equation}
Si vede da ci\'o che $S_{v}(f)$ e $\Phi (\tau)$ sono l'una la trasformata
di Fourier dell'altra. Attraverso queste equazioni \`{e} possibile ricavare la 
densit\`{a}
spettrale dalla funzione di autocorrelazione e viceversa.
 Nelle misure si determina la densit\`{a} spettrale, da cui si ricava poi la
funzione di autocorrelazione. I calcoli forniscono invece la funzione di
autocorrelazione, da cui si ricava poi la densit\`{a} spettrale facendo uso
della~\ref{eq:Sv}.

 Notiamo subito che nel caso di una sorgente di rumore {\em bianco}, che ha
una funzione di autocorrelazione  $\Phi(\tau)\,=\,A \cdot \delta(\tau)$ (con A
una costante), si trova $S_{v}(f)\:=\:2\cdot A$, cio\`{e} la densit\`{a} 
spettrale
\`{e} costante.

 Ponendo $\tau = 0$ la~\ref{eq:Phi} fornisce:
\[\Phi(0) \:=\: \int_{0}^{+\infty}S_{v}(f) df\]
e, poich\`{e} $\Phi(0)\,=\,\overline {v^2(t)}$, si trova:
\begin{equation}
\overline{v^{2}(t)}\:=\:\int_{0}^{+\infty}S_{v}(f) df\label{eq:vquadro}
\end{equation}
Cio\`{e} il valor medio del quadrato della tensione di rumore \`{e} dato da
un'integrale sull'intero spettro di frequenze, della densit\`{a} spettrale.
La tensione quadratica media {\em per unit\`{a}} di intervallo di frequenza \'e
semplicemente $S_{v}(f)$.

\subsubsection{Banda di rumore di un amplificatore}
 Ammettiamo ora che un segnale casuale v(t) sia applicato all'ingresso di un
generico sistema lineare, caratterizzato da una funzione di trasferimento
g(f). Sia w(t) il segnale all'uscita del sistema. Siano $S_{v}(f)$ e  $S_{w}(f)$
le corrispondenti densit\`{a} spettrali ed $a_{n}$ e $b_{n}$ i relativi
coefficienti di Fourier. La linearit\`{a} del sistema porta a:

\[b_{n} \:=\: g(f) \cdot a_{n}\]

e quindi:

\[S_{w}(f)\:=\:S_{v}(f)\cdot \mid g(f) \mid^{2}\]
Per cui:
\[\overline{w^{2}(t)}\:=\:\int_{0}^{\infty} S_{v}(f) \cdot \mid g(f)
\mid^{2} \,df\] 
Se il sistema lineare \`{e} un amplificatore con una banda passante molto
stretta centrata sulla frequenza $f_{0}$, avremo:
\begin{equation}
\overline{w^{2}(t)}\:=\:S_{v}(f_{0})\cdot \int \mid g(f) \mid^{2}\,df\:=
\:S_{v}(f_{0})\cdot g_{0}^{2}\cdot B_{eff} \label{eq:ww2}
\end{equation}
dove $g_{0}$~=~g($f_{0})$ \`{e} la risposta a met\`{a} banda del sistema lineare
e $B_{eff}$ \`{e} la larghezza di banda effettiva (nota anche come {\em banda
di rumore}), definita da:
\begin{equation}
B_{eff}\:=\:\frac{1}{g_{0}^{2}}\int_{0}^{\infty}{\mid g(f)
\mid}^2\,df \label{eq:filt}   
\end{equation} 
\subsection{Determinazione sperimentale della densit\`{a} spettrale}.

La densit\`{a} spettrale $S_{v}(f)$ pu\`{o} esser misurata ad una generica 
frequenza
$f_{0}$, facendo uso di un filtro di cui si conosca il guadagno a met\`{a} banda
$g_{0}$ e $B_{eff}$, nonch\`{e} di un rivelatore quadratico (cio\`{e} di un 
rivelatore in
grado di fornire $\overline{w(t)^{2}}$ ) all'uscita del filtro. 
\\La densit\`{a}
spettrale sar\`{a} ottenibile invertendo l'equazione~\ref{eq:ww2} :

\[S_{v}(f_{0})\:=\:\frac{\gnat}{g_{0}\cdot B_{eff}}\]

Variando la frequenza $f_{0}$ del filtro si potr\`{a} in tal modo ottenere una
misura della densit\`{a} spettrale su di un ampio campo di frequenze.
Si noti che spesso, al posto della densit\`{a} spettrale, espressa in $V^{2}/Hz$
si fa uso della sua radice quadrata (in $V/\sqrt{Hz}$).  
\section{Rumore termico}

Il rumore termico (noto anche come rumore Johnson) \`{e} quello misurabile
ai capi di una resistenza. Se misuriamo la differenza di potenziale
ai capi della resistenza, troveremo che essa fluttua attorno allo zero, ma ha
un valore quadratico medio diverso da zero. Si pu\`{o} pensare al rumore
termico come dovuto al moto di agitazione termica degli elettroni nel
materiale di cui \`{e} fatta la resistenza. Esso \'e analogo al moto Browniano,
le cui propriet\'a erano state ottenute da Einstein nel 1906.

Il rumore osservato agli estremi della resistenza pu\'o esser descritto come
il risultato di una serie di impulsi casuali. Ciascun impulso \'e
un \emph{evento}, costituito dal transito di un elettrone tra collisioni
successive con atomi del materiale. Tale evento produce una modifica nella
distribuzione di carica all'interno del materiale, e causa quindi una
fluttuazione nella differenza di potenziale alle estremit\'a. A tale 
evento segue un \emph{rilassamento}, che riporta il sistema in equilibrio.

Segue da questa descrizione che ciascun elettrone presente produce un
treno casuale di impulsi di tensione alle estremit\'a del materiale
resistivo, via via che esso si muove nel materiale. La forma d'onda
di rumore osservata \'e la somma delle successioni di impulsi associati
al complesso degli elettroni nel dispositivo.

La distribuzione temporale degli eventi \'e casuale, nel senso che
la probabilit\'a che un evento (il moto di un elettrone) abbia luogo
in un intervallino di tempo $\delta t$ \'e indipendente dalla storia
precedente ed \'e proporzionale a $\delta t$:
\[
dP\:=\:\nu\:\delta t
\]
dove $\nu$ (numero medio di eventi per unit\'a di tempo) non dipende da t.
Si pu\'o vedere (vedi appendice B) che la P \'e una distribuzione
di Poisson e che quindi la probabilit\'a di osservare m collisioni
in un intervallo di tempo finito t \'e data da:
\begin{equation}
P(m)\:=\:\frac{(\nu t)^m}{m!}\:e^{-\nu t}   \label{poisson}
\end{equation}

Per tale distribuzione si dimostra che \'e:
\[
\overline{m}\:=\:\nu t
\]
la quale mostra che il parametro $\nu$ ha il significato del numero medio
di eventi per unit\'a di tempo. Inoltre si dimostra che la varianza $\sigma^2$
\'e:
\[
\sigma^2\:=\:\overline{(m-\overline{m})^2}\:=\:\overline{m^2}-
\overline{m}^2\:=\:\overline{m}
\]
Cio\'e la varianza \'e uguale al valor medio. Questa \'e una caratteristica
importante della distribuzione di Poisson.



Si pu\`{o} dimostrare che lo
spettro di potenza del rumore \`{e} bianco, e pi\`{u} precisamente che
la potenza di rumore in un intervallo di frequenza df \`{e}:
\begin{equation}
W\:=\:\frac{h\,f\,df}{\exp(\frac{h\,f}{K\,T})\,-\,1}\label{eq:johnson}
\end{equation}
dove h \`{e} la costante di Planck $(h=6.6262\:10^{-34}\: J\:s)$, 
K quella di Boltzmann $K=1.38\:10^{-23}\:J/^oK)$ e T la temperatura
assoluta.

A temperatura ambiente $(T=300 ^oK)$ l'esponente nel denominatore di
questa espressione vale $\approx \:1.6\:10^{-13}\:f\:(Hz)$.

Vediamo quindi che per frequenze f non troppo alte 
(e/o temperature non troppo basse), l'esponente
$\frac{hf}{KT}\: \ll \: 1$ e quindi:
\begin{equation}
W\:=\:K\,T\,df   \label{eq:simple}
\end{equation}
Che \`{e} l'espressione comunemente adoperata nella pi\`{u} gran parte
delle applicazioni. Essa mostra che si tratta in effetti di rumore bianco: la
potenza di rumore \`{e} proporzionale all'ampiezza della banda di frequenze 
scelta.
Ci\'o almeno per frequenze $\leq 10^{12}\: Hz$, quando le deviazioni
previste dalla~(\ref{eq:johnson}) da un andamento costante cominciano
a farsi sentire.

Notiamo che l'andamento dato dalla~(\ref{eq:simple}) porterebbe ad
una potenza di rumore totale (integrata su tutte le frequenze) infinitamente
grande. La correzione quantistica contenuta nella~(\ref{eq:johnson}) rende
finito l'integrale della potenza sull'intero campo di fequenze.


Per calcolare il valor medio del quadrato della tensione di rumore,
consideriamo ora il circuito di figura~(\ref{termico}), 
dove la resistenza $R_{1}$ \`{e}
quella che genera il rumore (schematizzato dalla sorgente di tensione
di rumore $v_{1}$) mentre la resistenza $R_{2}$ assorbe la potenza $W_{1}$
che la prima fornisce.
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=termico.eps,width=8.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{termico}
\end{figure}


 Ammettiamo che le due resistenze siano uguali, ma che
la seconda sia priva di rumore~\footnote{Basta immaginare che la
resistenza $R_2$ sia stata posta in un bagno termico ad una
temperatura prossima allo zero assoluto}. La tensione
ai capi della resistenza $R_{2}$ sar\`{a} $\frac{1}{2} v_{1}$ e 
la potenza media sviluppata
sar\`{a} $\frac{1}{4} \frac{v_{1}^{2}}{R}$. Poich\`{e} questa quantit\`{a} deve
uguagliare $W_{1}$, si trova: 
\begin{equation}
W_{1}\:=\:\frac{1}{4} \frac{\overline{v_1^2}}{R}
\end{equation}

dove si \`{e} posto: 
\[R\,=\,R_{1}\,=\,R_{2}\]
e quindi:
\[\overline{v_{1}^{2}}\:=\:4 R W_{1}\:=\:4KRT df\]
Da questo risultato si vede che il valor medio del quadrato della tensione
di rumore e quello della corrente di rumore sono dati da:
\begin{equation}
\overline{v^{2}}\:=\:4 K T R df \label{eq:v2rms}
\end{equation}
\begin{equation}
\overline{i^{2}}\:=\:\frac{4 K T df}{R} \label{eq:i2rms}
\end{equation}
Il rumore termico f\`{u} scoperto nel 1927-1928 da Johnson~\cite{kn:johnson}, 
il quale osserv\`{o}
che una tensione non periodica esisteva alle estremit\`{a} di tutti i
conduttori e che tale effetto dipendeva dalla temperatura.
Successivamente Nyquist~\cite{kn:nyquist} ne dette una spiegazione teorica, 
basata su di un argomento termodinamico, che descriveremo brevemente
nella prossima sezione. 

Notiamo che le propriet\'a statistiche del rumore Johnson possono anche
essere studiate seguendo un approccio basato sul comportamento del moto
degli elettroni a livello microscopico e facendo uso della distribuzione di
Poisson, che caratterizza il succedersi temporale degli eventi elementari.
Tale metodo \'e  analogo a quello seguito da
Einstein e poi da Langevin~\cite{kn:langevin}per lo studio del moto Browniano.
Per una dimostrazione si veda la referenza~(\cite{buckingham}).

\subsection{Metodo di Nyquist}

Ammettiamo di avere due resistenze identiche, alla medesima temperatura T,
connesse fra di loro da una linea di trasmissione ideale avente impedenza
caratteristica R, uguale a quella delle resistenze~(vedi figura~\ref{nyqui}).

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=nyqui.eps,width=8.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{nyqui}
\end{figure}


Sia L la lunghezza della linea. In condizioni di equilibrio, la prima delle
due resistenze cede alla linea una potenza W nell'intervallo di frequenza
df. Tale potenza \`{e} poi assorbita dall'altra resistenza. Nel medesimo tempo, 
la seconda resistenza cede alla linea una potenza W che \`{e}
poi assorbita dalla prima. Nell'intervallo di tempo $\Delta t = L/v$ (dove
v \`{e} la velocit\`{a} di propagazione di un'onda e.m. lungo la linea) che
il segnale impiega a propagarsi lungo la linea, quest'ultima ha ricevuto
quindi una energia 
\begin{equation}
2 W \Delta t = 2 W L/v   \label{eq:energy}
\end{equation}
dalle resistenze, nell'intervallo di frequenza df.


Se ora, chiudendo simultaneamente i due interruttori $I_1$ ed $I_2$, mettiamo in cortocircuito le estremit\`{a} della linea, si formeranno
onde stazionarie e l'energia rimarr\`{a} intrappolata nella linea stessa.
 
Le onde stazionarie presenti nella linea avranno frequenze:

\[f_{1}\:=\:\frac{v}{2L}\]
\[f_{2}\:=\:2f_{1}\]
\[f_{3}\:=\:3f_{1}\]

etc.

La spaziatura tra frequenze consecutive \`{e} $\delta f = \frac{v}{2L}$. Se L
\`{e} grande, la spaziatura sar\`{a} piccola ed il numero di modi di
vibrazione in un intervallo di frequenza df sar\`{a}:
\[\frac{df}{\delta f}\:=\:df \cdot \frac{2L}{v}\]
Per il principio di equipartizione, a ciascun modo di vibrazione compete
un'energia:
\[\overline{E}\:=\:\frac{hf}{\exp(\frac{hf}{KT}) - 1}\]
L'energia nell'intervallo di frequenza df sar\`{ a} quindi:
\[\frac{2L}{v}\cdot df \cdot 
\overline{E}\:=\:\frac{2L}{v}\frac{hf}{\exp(\frac{hf}{KT})
-1}\cdot df\]
Uguagliando questa espressione all'energia~(\ref{eq:energy}) ceduta dalle 
resistenze alla linea nell'intervallo di frequenza df, cio\`{e} a: 
\[2W \frac{L}{v}\]
troviamo:
\vskip 0.2cm
\[W\:=\:\frac{hf}{\exp(\frac{hf}{KT})-1}\]
\vskip 0.2 cm 
che \`{e} quanto intendevamo dimostrare.
\section{Il rumore di tipo \emph{shot}}

Questo rumore ha origine nelle fluttuazioni statistiche del numero di
portatori di carica. \`{E} stato osservato da Schottky in valvole
termoioniche e fu da lui attribuito al fatto che la corrente nei tubi
a vuoto \`{e} costituita da un flusso discreto di cariche elettriche.
Esso si osserva in numerosissimi dispositivi elettronici; ad esempio
nella corrente in un diodo, nella corrente di gate in un FET, nei
fotomoltiplicatori etc. In tutti questi casi, ed in molti altri analoghi,
la distribuzione temporale del flusso delle cariche \'e, analogamente
a quanto accade nel caso del rumore termico, una Poissoniana.


Il valore che si trova per la deviazione quadratica media della
corrente dal suo valor medio, cio\`{e} per la quantit\`{a}:
\[\overline{i^{2}}\:\equiv \overline{I^{2}}-\overline{I}^{2}\]
\'{e}
\begin{equation}
\overline{i^{2}}\:=\:2\,e\,\overline{I}\,df\label{eq:shot}
\end{equation}
dove $\overline{I}$ \`{e} la corrente media.
La grandezza $2 e \overline{I}$ \'e quindi la densit\`{a} spettrale $S_{i}(f)$ 
relativa alla corrente.
Vediamo che anche in questo caso abbiamo a che fare con un rumore
bianco.

Che la fluttuazione quadratica media della corrente attorno al valor medio 
($\overline{i^2}$)
sia \emph{proporzionale} al prodotto $\overline{I}e$ pu\'o esser compreso 
facilmente
facendo uso della distribuzione di Poisson. Infatti la corrente media 
$\overline{I}$
\'e uguale al prodotto del numero di cariche elementari che attraversano
nell'unit\'a di tempo la sezione del conduttore, per la carica elementare:
\[
\overline{I}\:=\:\overline{n} e
\]
La fluttuazione quadratica media della corrente attorno al valor medio \'e:
\[
\overline{(I-\overline{I})^2}\:=\:\overline{i^2}\:=\:\overline{(n-
\overline{n})^2}\:e^2\:
=\: \sigma_n^2 e^2\:=\:\overline{n} e^2
\]
dove l'ultimo passaggio segue dal fatto che la distribuzione di n \'e una
Poissoniana. Da questa segue poi:
\[
\overline{i^2}\:=\:\frac{\overline{I}}{e}\:e^2\:=\:\overline{I}e
\]

Una dimostrazione completa della~(\ref{eq:shot}), che rende conto del
fattore 2,  \'e la seguente.
\\Ammettiamo che un certo fenomeno sia determinato dalla somma di un
gran numero di eventi che avvengono in modo casuale, con un rate medio 
$\lambda$. Sia $F(t-t_i)$ la funzione che descrive l'evoluzione temporale
di una certa variabile fisica, originata dal verificarsi di uno
degli eventi al tempo $t_i$. La funzione Y(t) che descrive l'andamento
temporale macroscopico, risultante dal verificarsi di un numero N di eventi
elementari in un certo tempo \'e allora data dalla somma:
\[Y(t)\:=\:\sum_{i}\,F(t-t_{i})\]
dove $F(t-t_{i})$~=~0 per $t<t_{i}$ ed $F(t-t_{i})$ rappresenta l'effetto di 
un evento che ha luogo nell'istante $t_{i}$. Definiamo la trasformata di Fourier
di $F(u)$ come:
\[\Psi(f)\:=\:\int_{-\infty}^{+\infty}\,F(u)\cdot\exp(-j\omega u) du\]
Si dimostra allora (teorema di Carson-vedasi appendice~C) che la densit\`{a} 
spettrale $S_{y}(f)$ di $Y(t)$ \`{e} data da:
\begin{equation}
S_{y}(f)\:=\:2\,\lambda\,\mid \psi(f) \mid^{2}
\end{equation}
Applichiamo ora tale teorema al problema dell'emissione di elettroni da
parte di un catodo riscaldato, dove il numero di elettroni emessi per unit\`{a}
di tempo \`{e} una variabile Poissoniana. 


Se $V_a$ \'e il potenziale dell'anodo (il catodo sia a potenziale nullo),
d la distanza catodo-anodo, $\tau$ il tempo di transito dell'elettrone
dal catodo all'anodo, si ha:
\[
\tau\:=\:\frac{2d}{v_a}\:=\:\frac{2d}{\sqrt{2eV_a/m}}
\]
dove m \'e la massa dell'elettrone, \emph{e} la sua carica e $v_a$ la velocit\'a 
massima che esso raggiunge (all'anodo). 
La corrente i(t) associata ad un singolo elettrone emesso all'istante $t_i$ \'e:
\[
i(t)\:=\:\frac{2e(t-t_i)}{\tau^2} \:\:\:\:(t_i\leq t \leq t_i + \tau)
\]
La correttezza di questa equazione \'e facilmente verificabile:
\[
\int_0^{\infty}{i(t)dt}\:=\:\int_{t_i}^{t_i+\tau}{\frac{2e(t-
t_i)}{\tau^2}dt}\:=\:
\frac{2e}{\tau^2}\int_{0}^{\tau}{t' dt'}\:=\:e
\]
Quindi:
\[
\Psi_i(f)\:=\:\int_o^{\tau}{\frac{2eu}{\tau^2}\:e^{j\omega u}\:du}\:=\:e 
\Phi(j\omega \tau)
\]
con:
\[
\Phi(j\omega \tau)\:=\:\frac{2}{(j\omega \tau)^2}
[1-e^{-j\omega \tau}-j\omega \tau e^{-j \omega \tau}]
\]
Ne segue che, essendo:
\[
\overline{I}\:=\:\overline{n}e
\]
dove $\overline{n}$ \'e il numero medio di elettroni emessi per unit\'a
di tempo:
\[
S_I(f)\:=\:2 \overline{n}\:|\Psi_i(f)|^2\:=\:\frac{2 
\overline{I}}{e}|\Psi_i(f)|^2
\:=\:\frac{2 \overline{I}{e}}e^2 |\Phi|^2
\]
Poich\'e $\tau$ \'e dell'ordine di $10^{-9}\: s$ e $|\Phi|^2$ \'e dell'ordine
di 1 per $\omega \tau < 
\pi$,
 ne segue che:
 \[
 S_I(f)\:=\:2 e \overline{I}
 \] 
 per frequenze fino a qualche centinaio di Mhz
(teorema di Schottky)
\\
Lo shot noise si riscontra non soltanto nelle valvole termioniche, ma anche
nei semiconduttori, quando la corrente \`{e} dovuta a portatori minoritari
ed a condizione che l'intrappolamento e la ricombinazione siano
trascurabili. Questo \`{e} ad esempio il caso di una giunzione pn con
polarizzazione inversa. Ci\`{o} continua ad esser vero in polarizzazione
diretta, ma a basse tensioni dirette comincia ad essere apprezzabile
l'effetto delle ricombinazioni nella zona di svuotamento. 

Lo shot-noise \'e ridotto quando un qualche meccanismo intervenga a ridurre
le fluttuazioni nel numero dei portatori di carica. Ad esempio, in un
tubo termoionico in cui si formi una zona di carica spaziale tra
catodo ed anodo, questa agisce da \emph{buffer}, smussando le fluttuazioni
nel flusso delle cariche verso l'anodo e quindi riducendo lo shot-noise.

\section{Rumore 1/f}

Questo \'e un tipo di rumore che \'e presente in un'ampia variet\'a di sistemi
(elettronici, biologici, musicali, geologici etc.) ed in particolare
nei dispositivi a semiconduttore, dove \'e stato ampiamente studiato, ma
solo parzialmente compreso. Nel caso dei transistor
tale rumore \`{e} legato ad imperfezioni delle superfici delle giunzioni.
Esso \'e noto sotto vari nomi: ''rumore 1/f'', 
''flicker-noise'', ''contact-noise'', ''excess-noise''.
La denominazione ''1/f'' \'e legata al fatto che la sua densit\'a spettrale
varia come $1/f^{\alpha}$ con $\alpha$ nel range (0.8-1.5).
 
Tale dipendenza \'e stata osservata fino a frequenze bassissime ($10^{-6} Hz$).
Si noti che l'andamento 1/f non pu\'o continuare fino a frequenza zero, poich\'e
in tal caso la potenza totale di rumore risulterebbe divergente.

A frequenze molto alte il suo effetto \'e mascherato dalla presenza di
altre sorgenti di rumore, quali quello termico.
Scriveremo in generale, per questo tipo di rumore:

\[
\overline{v^2}\:=\:A_f \frac{df}{f^{\alpha}}
\]
con $A_f$ una costante, dipendente dal particolare dispositivo.
Una immediata conseguenza dell'andamento come 1/f di questo tipo di rumore, \'e
quella che la potenza di rumore in ciascuna decade di frequenza \'e la stessa. 
In altra parole, la potenza di rumore nella banda compresa tra 10 e 100~Hz \'e
uguale a quella nella banda tra 0.01 e 0.1~Hz.
 


\section{Circuiti equivalenti per il rumore}

Agli effetti del rumore Johnson una resistenza reale alla temperatura T
pu\`{o} essere
sostituita da una ideale (cio\`{e} priva di rumore) in serie con un
generatore di tensione di rumore la cui f.e.m. sia quella del
rumore termico:
\[\overline{v^{2}}\:=\:4 K T R \Delta f \]
dove $\Delta f$ \'e l'intervallo di frequenza su cui si effettua la misura.

Ne segue per la tensione di rumore:
\[v_{n}\:=\:\sqrt{\overline{v^{2}}} \:=\: \sqrt{4 K T R \Delta f}\]
Come mostrato in figura~\ref{rnoise}.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rnoise.eps,width=3.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{rnoise}
\end{figure}


Si pu\`{o} anche, facendo uso del teorema di Norton, assimilare tale
resistenza ad una ideale in parallelo con un generatore di corrente $i_{n}$, 
con:
\[i_{n}\:=\:\frac{v_{n}}{R} \:=\: \sqrt{\frac{4KT\Delta f}{R}}\]
Un sistema di due resistenze in serie, $R_{1}$ ed  $R_{2}$ potr\`{a}
essere assimilata ad una resistenza di valore $R_{1}+R_{2}$ in serie con
un generatore di tensione di rumore pari a $v_{n}\,=\,v_{n1}+v_{n2}$.
Il quadrato del valore efficace sar\`{a}:
\[
\overline{v_{n}^{2}}\:=\:\overline{(v_{n1}+v_{n2})^2}\,=\,\overline{v_{n1}^2}+
\overline{v_{n2}^2}\,=\,2\cdot \overline{v_{n1}\cdot v_{n2}}\]
Poich\`{e} $v_{n1}$ e $v_{n2}$ sono indipendenti, avremo:
\[\overline{v_{n1}\cdot v_{n2}}\:=\:\overline{v_{n1}}\cdot\overline{v_{n2}}\]
che \`{e} nullo, poich\`{e} sono nulli i singoli valori medi. Quindi:
\[\overline{v_{n}^{2}}\:=\:\overline{v_{n1}^{2}}+\overline{v_{n2}^2}\:=\:4KT
\Delta f
\cdot(R_{1}+R_{2})\]
Nel caso di due resistenze in parallelo si pu\`{o} analogamente verificare
che la corrente quadratica media di rumore \`{e} data da:
\[\overline{i_{n}^{2}}\:=\:4KT\Delta f \cdot (\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}})\]

Il rumore presente ai capi di un diodo pu\'o, in modo analogo, esser descritto
introducendo un generatore di corrente di rumore (shot) in parallelo al diodo 
(supposto privo di rumore) tale che la corrente quadratica media di rumore sia:
\[
\overline{i_n^2}\:=\:2 e I \Delta f
\]
dove I \'e la corrente nel diodo, \emph{e} la carica dell'elettrone e $\Delta f$
l'intervallo di frequenza.

Pi\'u in generale, dato un generico dispositivo a due terminali alla temperatura
T, il rumore (qualunque la sua origine) pu\'o esser descritto introducendo
una f.e.m. ai suoi capi, in serie con la sua impedenza Z=R+jX, di valore:
\begin{equation}
\overline{v_n^2}\:=\:4 K T R_n \Delta f   \label{serie}
\end{equation}
Ad $R_n$ si da il nome di ''resistenza equivalente di rumore'' (equivalent noise
resistence) del dispositivo. Se abbiamo a che fare con un circuito passivo
in cui le sorgenti di rumore siano esclusivamente termiche a temperature T,
allora:
\[
R_n \:=\:R
\]
Se sono presenti altre sorgenti di rumore, $R_n$ pu\'o differire da R.

Alternativamente possiamo descrivere il rumore ai capi di un dispositivo
a due terminali, di ammettenza $Y=1/Z=g+jb$, introducendo un generatore
di corrente di rumore in parallelo ad Y:
\begin{equation}
\overline{i_n^2}\:=\:4 K T g_n \Delta f   \label{parallelo}
\end{equation}
dove $g_n$ \'e la \emph{conduttanza equivalente di rumore} (equivalent noise
conductance) del dispositivo.

Se il rumore ha origine esclusivamente termica, allora $g_n=g$, mentre
se altre sorgenti di rumore sono presenti, $g_n$ pu\'o differire da g.

Un concetto che appare comunemente nella letteratura \'e quello 
di ''temperatura di rumore equivalente'' (equivalent noise temperature).

Questa esprime il rumore come se esso fosse puramente termico e fosse
generato da una resistenza pari a quella del dispositivo, ma ad una
temperatura $T_n \neq T$. Il rumore risulta espresso in termini di tale
temperatura come:
\begin{equation}
\overline{v_n^2}\:=\:4 K T_n R \Delta f   \label{vequivalent}
\end{equation}

Si pu\'o alternativamente esprimere il rumore come una corrente
in parallelo al dispositivo, di valore pari alla corrente di rumore
generata da una resistenza pari alla resistenza del dispositivo, 
alla temperatura $T_n$:
\begin{equation}
\overline{i_n^2}\:=\:4 K T_n g \Delta f   \label{iequivalent}
\end{equation}
confontando la~(\ref{serie}) con la~(\ref{vequivalent}) e la~(\ref{parallelo})
con la~(\ref{iequivalent}) si ottiene nei due casi, rispettivamente:
\[
T_n\:=\:\frac{R_n}{R} T
\]
\[
T_n \: = \: \frac{g_n}{g} T
\]
Sul concetto di temperatura di rumore e di resistenza equivalente di rumore
torneremo quando discuteremo del rumore negli amplificatori.

\section{Rumore in un quadripolo}
Il rumore prodotto in un quadripolo \`{e} convenzionalmente descritto tramite
un generatore di tensione di rumore $v_n$ in serie alla maglia d'ingresso e da 
un generatore di corrente di rumore $i_n$ in parallelo alla medesima maglia.
\\Il primo render\`{a} conto del rumore presente in uscita quando l'ingresso
\`{e} in cortocircuito, il secondo del rumore presente ad ingresso aperto.
La configurazione \`{e} illustrata in figura~(\ref{quadri1}). 

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=quadri1.eps,width=8.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{quadri1}
\end{figure}

Poich\`{e} il rumore nell'amplificatore \`{e} determinato prevalentemente
da processi di un determinato tipo, le due sorgenti $i_{n}$ e $v_{n}$ non
sono del tutto indipendenti. Per tener conto di questo fatto si introduce
un coefficiente di correlazione $\gamma$. Un valore zero per questo parametro
vuol dire che le due sorgenti sono totalmente non correlate; $\gamma\,=\,1$
vuol dire che esse sono massimamente correlate.


Ammettiamo ora che l'ingresso del quadripolo sia chiuso su di una resistenza R
come mostrato in figura~(\ref{quadri2}).

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=quadri2.eps,width=10.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{quadri2}
\end{figure}



Se tale resistenza non genera rumore, la tensione di rumore complessiva 
all'ingresso del quadripolo sar\`{a}: $v_{ne}\,=\,v_{n}\,+\,R\,i_{n}$. Tale 
tensione va sotto
il nome di \emph{tensione di rumore in eccesso} poich\`{e} rappresenta la 
tensione di rumore che occorre sommare a quella $v_{ns}$ della sorgente 
(di resistenza R) per ottenere il rumore totale: 
\[
v_{nt}\:=\:v_{ns}\,+\,v_{ne}\: = \: v_{ns}\,+\,v_{n}\,+\,i_{n}\,R
\]
Il valore quadratico medio di $v_{ne}$ vale:
\[
\overline{v_{ne}^{2}}\:=\:\overline{v_n^2}\,+\,R^{2}\overline{i_n^2}\,
+ \, 2 R \, \overline{v_{n} i_{n}}
\]
L'ultimo termine in questa espressione dipende da $\gamma$ e si annulla per
$\gamma = 0$. Per $\gamma \ne 0$ esso vale:
\[
2R\gamma\sqrt{\overline{v_{n}^{2}}}\sqrt{\overline{i_{n}^{2}}}\,=
\,2R\gamma I_{n}\,V_{n}
\]
Con ovvio significato dei nuovi simboli $I_{n}$ e $V_{n}$. Quindi:
\[\overline{v_{ne}^{2}}\:=\:V_{n}^{2}\,+\,R^{2}I_{n}^{2}\,+\,
2 R\,\gamma\,V_{n}\,I_{n}\]
Vediamo che se R=0, $\overline{v_{ne}^{2}}\,=\,\overline{v_{n}^{2}}$. Se R
\`{e} grande dominer\`{a} invece l'effetto di $I_{n}$ ed avremo:
\[\overline{v_{ne}^{2}}\,=\,R^{2}I_{n}^{2}\]
In definitiva avremo per il rumore totale:
\[
\overline{v_{nt}^2}\:=\:\overline{v_{ns}^2} + \overline{v_n^2} + R^2 
\overline{i_n^2}+2 R \overline{v_n i_n}
\]


\section{Dipendenza del rapporto segnale/rumore in un quadripolo 
dalla resistenza della sorgente}
Consideriamo dapprima il caso di una sorgente costituita da un generatore 
di tensione $v_{s}$ in serie con la propria resistenza $R_{s}$. Ammettiamo
che un generatore in serie $v_{ns}$ renda conto del rumore introdotto dalla
sorgente. Lo schema \`{e} quello di figura~(\ref{dipsorg1}). 


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=dipsorg1.eps,width=9.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{dipsorg1}
\end{figure}

Il rapporto segnale-rumore (riferito all'ingresso) sar\`{a}:
\[\frac{S}{N}\:=\:\frac{\overline{v_{s}^{2}}}{\overline{v_{nt}^{2}}}\:=\:\frac
{\overline{v_{s}^{2}}}{\overline{v_{ns}^{2}}+\overline{v_{n}^{2}}+\overline
{i_{n}^{2}}R_{s}^{2}}\]
avendo trascurato i termini di correlazione. 
\\Vediamo che il rapporto $\frac{S}{N}$ diminuisce all'aumentare di $R_{s}$,
poich\`{e} aumenta il termine $\overline{i_{n}^{2}}R_{s}^{2}$.
\\
Consideriamo ora il caso di un generatore di corrente $i_{s}$ in parallelo
con $R_{s}$. Anche in questo caso continueremo a parametrizzare il rumore
introdotto dalla sorgente mediante un generatore di tensione di rumore
$v_{ns}$ in serie, come mostrato in figura~(\ref{dipsorg2}).  

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=dipsorg2.eps,width=9.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{dipsorg2}
\end{figure}

In questo caso avremo:
\[\frac{S}{N}\:=\:\frac{\overline{i_{s}^{2}}R_{s}^{2}}
{\overline{v_{nt}^{2}}}\:=\:\frac{\overline{i_{s}^{2}}}
{\frac{\overline{v_{ns}^{2}}+\overline{v_{n}^{2}}}{R_{s}^{2}}+\overline{i_{n}^{2
}}}\]
Vediamo che ora, all'aumentare di $R_{s}$ il rapporto $\frac{S}{N}$ aumenta.
Al limite di $R_{s}\rightarrow \infty$ esso tende a:
\[\frac{S}{N}\:=\:\frac{\overline{i_{s}^{2}}}{\overline{i_{n}^{2}}}\]
che dipende solo dalla sorgente di corrente di rumore.






\section{Cifra di rumore}
Se indichiamo con $G_{P}$ il guadagno in potenza di un amplificatore, 
con $S_{0}$ la potenza del segnale presente in uscita, in una stretta
banda di frequenza df, con $S_{i}$ quella presente in ingresso nella
medesima banda di frequenza, avremo:

\begin{equation}
S_{0}\:=\:G_{P}\,S_{i} \label{eq:signal}
\end{equation}
Se ora applichiamo in ingresso, al posto di $S_i$, un segnale di rumore di 
potenza $N{i}$ (nella medesima banda di frequenza), il segnale di rumore $N_{o}$ 
all'uscita sar\`{a} ottenibile da una  relazione analoga:
\[N_{0}\:=\:G'_{P}\,N_{i}\]
dove per\'o $G'_P>G_P$, poich\'e l'amplificatore introduce di suo un
ulteriore contributo al rumore in uscita.

Si scrive in generale:

\begin{equation}
N_{o}\:=\:F\,G_{P}\,N_{i} \label{eq:noise}
\end{equation}

dove F \`{e} un fattore sicuramente maggiore di 1. Ad F si da il nome di
\emph{figura di rumore puntiforme} alla frequenza f (spot-noise figure). 
Tenendo conto delle relazioni scritte possiamo definire F come:

\begin{equation}
F\:=\:\frac{S_{i}/N_{i}}{S_{o}/N_{o}}            \label{eq:signoise}
\end{equation}

F \'e in generale funzione, oltre che della frequenza, della resistenza
d'uscita del generatore.

Dalla~(\ref{eq:noise}) segue anche che:

\[
F\:=\:\frac{N_o}{G_P N_i}
\]

Sia ora:
\[
N_o\:=\:G_P(N_i+N_d)
\]
dove $N_i$ \'e la potenza di rumore in ingresso nell'intervallo df ed $N_d$ \'e 
la potenza di rumore introdotta dall'amplificatore, nella medesima
banda di frequenza df, \emph{riportata in ingresso}. 

Si ha quindi:
\[
F\:=\:\frac{G_P(N_i+N_d)}{G_P N_i}\:=\:1+\frac{N_d}{N_i}
\]
e quindi:
\[
N_d\:=\:N_i(F-1)
\]
La grandezza $F_e\:=\:F-1$ \'e detta \emph{cifra di rumore in eccesso}. 
Dall'ultima relazione scritta si vede che il rumore $N_d$ introdotto
dall'amplificatore \'e uguale a quello presente in ingresso, moltiplicato
per la cifra di rumore in eccesso.

La cifra di rumore (NF) espressa in dB \`{e} poi:
\[NF\:=\:10\,\log F\:=\:10\,\log \frac{N_{o}}{G_{P}\,N_{i}}\]

Dalla~(\ref{eq:signoise}) si ha poi:

\begin{equation}NF\:=\:10\,\log 
{\frac{N_{o}/S_{o}}{N_{i}/S_{i}}}\label{eq:sinoisdb}
\end{equation}

Come si vede, la cifra di rumore esprime l'aumento del rapporto rumore/segnale 
($\frac{N}{S}$) passando dall'ingresso all'uscita del quadripolo, cio\`{e} 
fornisce una misura del contributo che al rumore ha aggiunto il quadripolo.

\section{Rumore nel caso di una catena di pi\'u amplificatori in cascata}

Se pi\'u amplificatori sono collegati in serie, allo scopo di ottenere un
maggior guadagno, si pu\'o facilmente vedere che il contributo al rumore
portato dai diversi elementi della catena pu\'o essere molto diverso. Infatti,
il rumore introdotto dal primo amplificatore della catena sar\'a amplificato
dai successivi elementi; quello introdotto dall'ultimo elemento della catena
avr\'a un'importanza decisamente inferiore. \'E quindi critico scegliere
per i primi amplificatori della catena degli elementi a basso rumore.

Calcoliamo la cifra di rumore relativa ad una catena di pi\'u amplificatori.
Ammetteremo che l'impedenza d'uscita di ciascun amplificatore sia uguale
all'impedenza d'ingresso del successivo; ci\'o assicura il massimo trasferimento
di potenza tra elementi consecutivi.

Abbiamo definito la cifra di rumore F nel caso di un amplificatore come il
rapporto tra la potenza di rumore presente in uscita (per unit\'a di intervallo
di frequenza, come sar\'a sempre sottinteso nel seguito), divisa per il
guadagno $G_P$ dell'amplificatore, e  quella ($N_i$) presente in ingresso:
\begin{equation}
F\:=\:(\frac{N_o}{G_P})/N_i   \label{fdef}
\end{equation}
Il numeratore di questa espressione (il rumore totale presente in uscita, 
''traslato'' all'ingresso) \'e la somma del rumore $N_i$ presente
in ingresso e di quello introdotto dall'amplificatore, che chiameremo 
$N_o^e/G_P$ (rumore in eccesso, traslato all'ingresso dell'amplificatore):
\[
\frac{N_o}{G_P}\:=\:N_i+\frac{N_o^e}{G_P}
\]
Possiamo quindi riscrivere la~(\ref{fdef}) nella forma:
\begin{equation}
F\:=\:1+\frac{N_o^e}{G_P}/N_i\:=\:1+F_e   \label{feccess}
\end{equation}
dove compare la \emph{cifra di rumore in eccesso} $F_e$ gi\'a introdotta:
\[
F_e\:=\:\frac{N_o^e}{G_P}/ N_i
\]
Se immaginiamo che $N_i$ sia unitario (1 W/Hz) le equazioni~(\ref{fdef}) 
e~(\ref{feccess}) si scrivono rispettivamente:
\[
F\:=\:\frac{N_o}{G_P}\:=\:1+F_e
\]
\[
F_e\:=\:\frac{N_o^e}{G_P}
\]
La prima di queste ci dice che la cifra di rumore \'e pari alla potenza di
rumore totale presente in uscita, divisa per il guadagno dell'amplificatore,
per unit\'a di rumore in ingresso. La seconda ci dice che la cifra di rumore
in eccesso \'e il rumore introdotto dall'amplificatore diviso per il guadagno
del medesimo.

Esaminiamo ora il caso di due amplificatori collegati in serie. Siano
$F_1$ ed $F_2$ le rispettive cifre di rumore; siano analogamente $F_{e1}$ ed
$F_{e2}$ le corrispondenti cifre di rumore in eccesso. Il rumore
all'ingresso del primo amplificatore, dovuto a questo soltanto, \'e $F_{e1}$.
Il rumore totale all'ingresso del medesimo \'e: $F_{e1}+1\:=\:F_1$. Il
rumore introdotto dal secondo stadio \emph{riportato all'ingresso di questo}
\'e $F_{e2}\:=\:F_2-1$. Questo stesso rumore, traslato all'ingresso del primo
stadio \'e:
\[
\frac{F_{e2}}{G_{P1}}\:=\:\frac{F_2-1}{G_{P1}}
\]
Abbiamo quindi per il rumore totale (sempre riportato all'ingresso del primo
stadio):
\[
F\:=\:F_1+\frac{F_2-1}{G_{P1}}
\]
Questa \'e quindi la cifra di rumore relativa al caso considerato.

\'E facile estendere le considerazioni svolte al caso di un numero generico
di amplificatori. Ad esempio, nel caso di una catena di tre amplificatori, 
avremo:
\[
F\:=\:F_1+\frac{F_2-1}{G_{P1}}+\frac{F_3-1}{G_{P1}G_{P2}}
\]
Questa \'e nota come \emph{formula di Friiss}

\section{Espressione analitica della cifra di rumore}

Possiamo far uso dei generatori $v_{n}$ ed $i_{n}$ che descrivono il
rumore introdotto dal quadripolo, per calcolare la cifra di rumore F.
\\Calcoliamo $N_{i}$, potenza di rumore in ingresso, ammettendo che siano:
\begin{itemize}
\item $R_{s}$ resistenza d'uscita della sorgente di rumore
\item $v_{ns}$ tensione efficace di rumore della sorgente
\item $R_{i}$ resistenza d'ingresso del quadripolo\end{itemize}
Con riferimento alla figura~(\ref{quadri3}) avremo:

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=quadri3.eps,width=8.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{quadri3}
\end{figure}


\[v_{in}\:=\:v_{ns}\,\frac{R_{i}}{(R_{s}+R_{i})}\]
per cui la potenza di rumore in ingresso $N_i$ \'e:

\[
N_i\:=\:\frac{\overline{v_{in}^{2}}}{R_{i}}\:=\:\frac{\overline{v_{ns}^{2}}}
{R_{i}}\,
\frac{R_{i}^{2}}{(R_{s}+R_{i})^{2}}\:=\:\overline{v_{ns}^{2}}
\frac{R_{i}}{(R_{s}+R_{i})^{2}}
\]

Calcoliamo ora la potenza di rumore complessiva facendo uso dell'espressione
gi\`{a} ricavata per $\overline{v_{nt}^2}$ (tensione
quadratica media di rumore all'ingresso):
\[\overline{v_{nt}^{2}}\:=\:\overline{v_{ns}^{2}}\,+\,\overline{v_{n}^{2}}\,+
\,R_{s}^{2} \overline{i_{n}^{2}}\,+\,2 R_{s}\overline{ v_{n}i_{n}}\]
Troviamo in tal modo:
\[N_{o}\:=\:\overline{v_{nt}^{2}} \frac{R_{i}}{(R_{s}+R_{i})^{2}}\,G_{P}\]
Sostituendo in questa espressione quella di $\overline{v_{nt}^{2}}$ e dividendo 
poi $N_{o}$ per $G_{P}N_{i}$, troviamo:
\begin{equation}
F\:=\:\frac{N_{o}}{G_{P} N_{i}}\:=\:\frac{\overline{v_{nt}^{2}}}
{\overline{v_{ns}^{2}}}\:=\:1\,+\,\frac{\overline{v_{n}^{2}}\,+
\,R_{s}^{2} \overline{i_{n}^{2}}\,+\,2 R_{s}\overline{ v_{n}i_{n}}}
{\overline{v_{ns}^{2}}}
\end{equation}
Il secondo termine nell'ultima espressione scritta \`{e} il rapporto
tra la potenza di rumore dovuta al solo quadripolo e quella in ingresso.
Esso \'e quindi la {\em cifra di rumore in eccesso} $F_{e}$:
\[F_{e}\:=\:F\,-\,1\]
Ammettendo che la tensione di rumore all'ingresso sia
quella dovuta alla resistenza $R_{s}$ (data da $\sqrt{4KTR_{s}\Delta f}$,
avremo:
\begin{equation}
F\:=\:1\,+\,\frac{1}{4KT\Delta f}\,(\frac{V_{n}^{2}}{R_{s}}\,+\,
R_{s} I_{n}^{2}\,+\,2 \gamma V_{n} I_{n}) \label{eq:FvsR}
\end{equation}
Il valore fornito da tale equazione per una frequenza determinata \'e
la  {\em cifra di rumore puntiforme}. Esso dipende dalla frequenza
se non si tratta di rumore bianco.

La cifra di rumore espressa in decibel \'e poi:
\[
NF\:=\:10 \:log F
\]

 L'andamento (qualitativo) 
del NF in funzione di $R_{s}$ descritto dalla~(\ref{eq:FvsR}) \`{e} mostrato in 
figura~(\ref{nfrs}).

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=nfrs.eps,width=10.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{nfrs}
\end{figure}



Per bassi valori di $R_{s}$ domina il termine $V_{n}^{2}/R_{s}$ e quindi
la sorgente di tensione di rumore. Per grandi valori di $R_{s}$ domina
invece l'effetto del generatore di corrente.
Si pu\`{o} facilmente vedere, derivando la~(\ref{eq:FvsR}) rispetto ad $R_{s}$
che il NF \`{e} minimo quando ciascun generatore contribuisce in ugual
misura al rumore complessivo.
\\Ci\'o avviene per:
\[R_{s}\:=\:\frac{V_{n}}{I_{n}}\]
che fornisce il valore ottimale della resistenza $R_{s}$. Il corrispondente
valore della cifra di rumore F \`{e}:
\[F_{min}\:=\:1\,+\,(1+\gamma)\frac{V_{n}I_{n}}{2KT\Delta f}\]
L'equazione: $NF\,=\,10\,\log F$ ci dice che per un valore di 5 del parametro
NF il contributo del rumore all'uscita del quadripolo \`{e} 3.2~volte 
quello della sorgente. All'altro estremo, un NF di 0.4 ci dice che
il contributo della tensione di rumore all'uscita \`{e} 1.05 volte quello 
della sorgente, che ha quindi aggiunto un modesto 5\% (in tensione efficace). 

\section{Temperatura di rumore}

Sappiamo che una resistenza ad una temperatura assoluta $T_s$ \`{e} sorgente
di rumore Johnson (termico) con densit\`{a} spettrale data da:
\[
S_{v}(f)\:=\:4KT_sR
\]
cio\`{e}:
\[\overline{v^{2}}\:=\:4KT_sR\Delta f\]
nell'intervallo di frequenza $\Delta f$.
\\Se una resistenza R \`{e} collegata all'ingresso di un amplificatore
avente cifra di rumore in eccesso $F_{e}$ e quindi cifra di rumore $F=F_{e}+1$,
il rumore effettivo all'ingresso dell'amplificatore (privo di rumore,
essendosi "traslato" il rumore all'ingresso) sar\`{a}:
\[\overline{w^{2}}\:=\:F \overline{v^{2}}\]
Spesso conviene, per motivi pratici, ragionare come se l'amplificatore fosse
del tutto esente da rumore e l'intero rumore fosse attribuibile alla
medesima resistenza R, ora per\`{o} ad una temperatura $T_n$, tale che:
\[4KT_n R\Delta f\:=\:\overline{w^{2}}\]
Dalle equazioni scritte segue:
\[\overline{w^{2}}\:=\:(F_{e}+1)\,\overline{v^{2}}\:=\:F_{e}\overline
{v^{2}}+\overline{v^{2}}\:=\]
\[=\:\:4 F_{e} K T_{s} R \Delta f\,+\,4K T_{s} R \Delta f\:
=\:4 K R (F_{e} T_{s}) \Delta f\,+\,4K R T_{s} \Delta f\:=\]
\[=\:4KRT_{n}\Delta f+4KRT_{s}\Delta f\]
Alla quantit\`{a} $T_{n} = F_{e}T_{s}$ si da il nome di {\em temperatura di 
rumore}
dell'amplificatore.
L'equazione:
\[T_{n}\:=\:F_{e}T_{s}\:=\:(F-1)T_{s}\]
ci da poi:
\[F\:=\:1\,+\,\frac{T_{n}}{T_{s}}\]
Da cui vediamo che, nota la temperatura della sorgente e la temperatura
di rumore, si pu\`{o} facilmente ricavare la cifra di rumore.






\section{Esempio: Transistor bipolare}
Ricordiamo il modello a parametri h in cui si trascuri $h_{re}$. Questo
\`{e} mostrato in figura~(\ref{bipol1}).

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipol1.eps,width=9.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{bipol1}
\end{figure}


Esso pu\`{o} essere trasformato nello schema di figura~(\ref{bipol2}).

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipol2.eps,width=9.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{bipol2}
\end{figure}


Basta infatti scrivere:

\[i_{c}\,=\,h_{fe}i_{b}\,=\,\frac{h_{fe}}{h_{ie}}\,(h_{ie}\,i_{b})\,=\,
        \frac{h_{fe}}{h_{ie}}\,v\,\equiv\,g_{m}\,v\]

con: 
\[g_{m}\equiv\,\frac{h_{fe}}{h_{ie}}\]

Il generatore di corrente $h_{fe}i_{b}$ viene cos\`{i} sostituito da un
generatore a transconduttanza $g_{m}\,v$. 
\\Si ha: 
\[r_{\pi}\equiv\,\frac{h_{fe}}{g_{m}}\]

Introduciamo in tale circuito la sorgente di corrente di rumore $i_{nb}$ nella
maglia d'ingresso e quella $i_{nc}$ nella maglia d'uscita, come mostrato in 
figura~(\ref{bipol3}).

Queste sorgenti di rumore hanno origine nelle fluttuazioni nel numero di 
portatori di carica attraverso la giunzione base-emettitore ($i_{nb}$) e
collettore-emettitore ($i_{nc}$). Esse 
sono attribuibili in larga misura al rumore shot, per cui:
\[
\overline{i_{nb}^2}\:=\:2 e I_b \Delta f
\]

\[
\overline{i_{nc}^2}\:=\:2 e I_c \Delta f
\]
dove $I_b$ ed $I_c$ sono rispettivamente le correnti (quiescenti) di base
e di collettore.

\begin{figure}
\begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipol3.eps,width=9.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{bipol3}
\end{figure}

Determiniamo ora i parametri del quadripolo equivalente, cio\`{e} $v_{n}$
e $i_{n}$.
Cominciamo con il determinare il generatore di tensione $v_{n}$. Ricordiamo
che questo \`{e} l'unico ad avere un effetto sulla tensione di rumore in
uscita, quando l'ingresso sia in cortocircuito.
\\Se ammettiamo quindi di aver cortocircuitato l'ingresso e supponendo che
l'uscita sia chiusa su di un carico $R_{p}$, avremo per la tensione di
uscita:

\[v^{'}_{o}\:=\:(g_{m}v\,+\,i_{nc})\;R_{eq}\]
con: 
\[R_{eq}\,=\,R_{p}//r_{o}\]
dove v~=~0 (i morsetti d'ingresso nel circuito di figura~(\ref{bipol3}) 
sono in cortocircuito). 
\\Quindi:
\[v^{'}_{o}\:=\:i_{nc}\,R_{eq}\]
Nel corrispondente quadripolo con terminali d'ingresso in cortocircuito
avremmo:
\[v^{'}_{o}\:=\:A_{v}\,v_{n}\]
Quindi:
\[v_{n}\:=\:\frac{R_{eq}}{A_{v}}\,i_{nc}\]
Rimane da determinare $A_{v}$ nel nostro amplificatore a parametri h. Abbiamo:
\[v_{o}\:=\:g_{m}\,R_{eq}\,v\]
da cui:
\[A_{v}\:\equiv \frac{v_{o}}{v}\:=\:g_{m}\,R_{eq}\]
Ne segue:

\[v_{n}\:=\:\frac{R_{eq}i_{nc}}{g_{m}R_{eq}}\:=\:\frac{i_{nc}}{g_{m}}\]
Determiniamo ora $i_{n}$. A tale scopo supponiamo che i terminali
d'ingresso siano aperti. In tal modo il generatore di tensione di rumore
nel quadripolo non potr\`{a} dare alcun contributo. Avremo:
\[v^{"}_{o}\:=\:(g_{m} v + i_{nc})\,R_{eq}\]
con:
\[v\:=\:i_{nb}\,r_{\pi}\]
Da cui:
\[v^{"}_{o}\:=\:(g_{m}i_{nb}r_{\pi}\,+\,i_{nc})\,R_{eq}\:=\:
(h_{fe}i_{nb}\,+\,i_{nc})\,R_{eq}\]
Nel caso del quadripolo con gli ingressi aperti, avremmo:
\[v^{"}_{o}\:=\:A_{i}i_{n}R_{eq}\]

Dove $A_{i}$ \'{e} l'amplificazione in corrente che nel nostro caso
vale $h_{fe}$. Quindi:
\[v^{"}_{o}\:=\:h_{fe}i_{n}R_{eq}\:=\:(h_{fe}i_{nb}\,+\,i_{nc})\,R_{eq}\]
da cui:
\[i_{n}\:=\:i_{nb}\,+\,\frac{i_{nc}}{h_{fe}}\]
Sostituendo ora ai due generatori di rumore $(i_{n},v_{n})$ presenti 
all'ingresso
del quadripolo un unico generatore in serie con la resistenza $R_{s}$ del
generatore (facendo uso del teorema di Thevenin):
\[v_{ne}\:=\:v_{n}\,+R_{s}i_{n}\]
troviamo:
\[v_{ne}\:=\:\frac{i_{nc}}{g_{m}}\,+\,R_{s}\,(i_{nb}+\frac{i_{nc}}{h_{fe}})\:
=\:\frac{i_{nc}}{g_{m}}\,+\,R_{s}\,(i_{nb}+\frac{i_{nc}}{g_{m}r_{\pi}})\:=\:
\frac{i_{nc}}{g_{m}}\,(1+\frac{R_{s}}{r_{\pi}})\,+\,R_{s}\,i_{nb}\]
da cui:
\[\overline{v_{ne}^{2}}\:=\:\overline{i_{nc}^{2}}\,\frac{1}{g_{m}^{2}}\,
(1+\frac{R_{s}}{r_{\pi}})^{2}\,+\,R_{s}^{2}\,\overline{i_{nb}^{2}}\]
dove $\overline{i_{nb}^{2}}$ ed $\overline{i_{nc}^{2}}$ sono date dal
rumore shot:
\[\overline{i_{n}^{2}}\:=\:2eI\Delta f\]
dove e \'{e} la carica dell'elettrone, I~la corrente nel circuito (di base
o di collettore) e $\Delta f$ la banda di frequenza. Quindi:

\[\overline{v_{ne}^{2}}\:=\:(1\,+\,\frac{R_{s}}{r_{\pi}})^{2}\cdot\frac{1}
{g_{m}^{2}}\cdot 2 e I_{C} \Delta f\;+\:R_{s}^{2} \cdot 2 e \cdot I_{b}\cdot 
\Delta f
\]
Poich\`{e} inoltre \`{e} $I_{c}\,=\,h_{FE}\,I_{b}$ , segue:
\[\overline{v_{ne}^{2}}\:=\:[(1+\frac{R_{s}}{r_{\pi}})^{2}\;\frac{1}
{g_{m}^{2}}\;+\;\frac{R_{s}^{2}}{h_{FE}}]\cdot 2 e I_{c} \Delta f\]
Utilizziamo ora le relazioni\footnote{La transconduttanza g \'e definita come
\[g\:=\:dI_c/dV_{BE}\] dove, per il diodo base-emettitore in zona attiva \'e: 
\[I_c=I_0[exp(e\: V_{BE}/KT)\:-1] \] Ne segue: \[g\:=\:dI_c/dV_{BE}\:=\:I_c 
e/KT\]}:
\[I_{c}\:=\:g_{m}V_{T}\:=\:g_{m}\frac{KT}{e}\]
ed otteniamo:
\begin{equation}
\overline{v_{ne}^{2}}\:=\:[(1+\frac{R_{s}}{r_{\pi}})^{2}\;\frac{1}
{g_{m}}\;+\;\frac{R_{s}^{2}}{h_{FE}}\,g_{m}]\cdot 2 K T \Delta f  
\label{vn2excess}
\end{equation}
Determiniamo ora il valore ottimale di $R_{s}$, cio\`{e} quello che rende
minimo il rumore. Questo, come gi\`{a} visto \`{e} dato da:

\[(R_{s}^{opt})^{2}\:=\:\frac{\overline{ v_{n}^{2}}}{\overline{ i_{n}^{2}}}\]

Sostituendo in questa i valori trovati per $\overline{ v_{n}^{2}}$ ed 
$\overline{ i_{n}^{2}}$, si trova:

\[
(R_{s}^{opt})^{2}\:=\:
\frac{\frac{\overline{i_{nc}^2}}{g_{m}^2}}{\overline{
i_{nb}^2}+\frac{\overline{i_{nc}^2}}{h_{fe}^2}}\:=\:
\frac{\frac{1}{g_{m}^2}}{\frac{\overline{i_{nb}^2}}
{\overline{i_{nc}^2}}+\frac{1}{h_{fe}^2}}\:=\:\frac{\frac{1}{g_{m}^2}}
{\frac{I_b}{I_c}+\frac{1}{h_{fe}^2}}\:=\: \frac{1}
{g_{m}^2}\frac{1}{\frac{1}{h_{FE}}+\frac{1}{h_{fe}^2}}\approx\:\frac
{h_{FE}}{g_{m}^2}\]

dove si \`{e} fatto uso delle relazioni:
\[\overline{i_{nb}^{2}}\:=\:2 e I_{b} \Delta f\]
\[\overline{i_{nc}^{2}}\:=\:2 e I_{c} \Delta f\]
Vediamo che il valore ottimale della resistenza $R_{s}$ dipende da $h_{FE}$
e da $g_{m}$.

Utilizziamo ora il risultato ottenuto~(\ref{vn2excess}) per la tensione
quadratica media in eccesso $(\overline{v_{ne}^{2}})$ per il transistor
bipolare, per ottenere la corrispondente temperatura di rumore:
\[T_{n}\:=\:F_{e}T_{s}\]
dove:
\[F_{e}\:=\:\frac{\overline{v_{ne}^{2}}}{\overline{v_{ns}^{2}}}\:=\:\frac{
[(1+\frac{R_{s}}{r_{\pi}})^{2}\;\frac{1}{g_{m}}\;
+\;\frac{R_{s}^{2}}{h_{FE}}\,g_{m}]}{2 R_{s}}\]
Otteniamo:
\[\frac{T_{n}}{T_{s}}\:=\:\frac{
[(1+\frac{R_{s}}{r_{\pi}})^{2}\;\frac{1}{g_{m}}\;
+\;\frac{R_{s}^{2}}{h_{FE}}\,g_{m}]}{2 R_{s}}\]

cio\'e:

\[
\frac{T_{n}}{T_{s}}\:=\:\frac{1}{2g_{m}R_{s}}+\frac{1}{h_{fe}}+\frac{R_{s}}
{2}(\frac{g_{m}}{h_{FE}}+\frac{g_{m}}{h_{fe}^{2}})
\]
Trascurando l'ultimo termine in parentesi:
\[\frac{T_{n}}{T_{s}}\:=\:\frac{1}{2g_{m}R_{s}}+\frac{1}{h_{fe}}+\frac{R_{s}g_{m
}}
{2 h_{FE}}\]
Per $R_{s}\,=\,R_{s}^{opt}\,=\,\frac{\sqrt{h_{FE}}}{g_{m}}$ si trova:
\[\frac{T_{n}}{T_{s}}^{min}\:=\:\frac{1}{\sqrt{h_{FE}}}+\frac{1}
{h_{fe}}\:\approx\:\frac{1}{\sqrt{h_{FE}}}\]
Per $h_{FE}=100$ questa fornisce:
\[T_{n}^{min}\:=\:\frac{T_{s}}{10}\]
che, alla temperatura ambiente ($27^{o}C=300^{o}K$) vuol dire una temperatura
di rumore di $30^{o}K$.

\section{Il rumore nei componenti elettronici}

\subsection{Introduzione}
Ci siamo gi\`{a} occupati del rumore termico nelle resistenze. Questa \`{e} la
principale sorgente di rumore nei componenti passivi. Condensatori ed induttanze
non sono sorgente di rumore se non per quel che concerne la loro componente
resistiva.
\\Un'altra componente di rumore \`{e} dovuta ai contatti tra componenti ed alle
giunzioni interne dei diodi e/o transistor. Si tratta di un rumore $1/f$ La
corrente di rumore per unit\`{a} di radice quadrata di larghezza di banda
\`{e}:
\[\frac{I_{f}}{\sqrt{\Delta f}}\:=\:\frac{kI}{\sqrt{f}}\]
dove I \`{e} la corrente media, f la frequenza, $\Delta f$ la larghezza di banda
centrata sulla frequenza f e k una costante che dipende dai materiali
e dalla geometria.

Ricordiamo che che il rumore $1/f$ continua fino frequenze bassissime, 
dell'ordine di pochi cicli/giorno. 
\\In aggiunta al rumore termico, a quello shot ed a quello $1/f$, una
ulteriore variet\`{a}, chiamato "popcorn noise" \`{e} stato osservato
nei diodi a semiconduttore e nei circuiti integrati. Se esso \`{e}
amplificato ed inviato ad un altoparlante si sente un rumore simile
al caratteristico scoppiettare del granturco, da cui il nome.
Questo tipo di rumore \`{e} dovuto a difetti di fabbricazione e pu\'{o} essere
eliminato con opportuni accorgimenti nel processo di produzione. 
\\Anche questo tipo di rumore ha uno spettro del tipo $1/f^n$ con n tipicamente
uguale a 2. L'ampiezza \`{e} compresa tra 2 e 10 volte quella del rumore
termico nel medesimo dispositivo.
\\Ci occuperemo ora del rumore nei transistor a giunzione e successivamente
in quello nei FET.
\subsection{Il rumore nel transistor bipolare}
La figura di rumore per un tipico transistor bipolare \`{e} mostrata in 
figura~(\ref{fig16}).

\begin{figure}
\begin{center}\mbox{\epsfig{file=fig16.eps,width=11.0 cm,
height=6.5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{fig16}
\end{figure}



Si ha una regione di basse frequenze, in cui il rumore dominante \`{e} quello
$1/f$. Tale regione si estende fino a frequenze $f_1$ che variano, a seconda
del tipo di transistor, tra 1 e 50 KHz. Si ha poi una regione di rumore bianco,
costituito da rumore termico nella resistenza della base e rumore shot nelle
giunzioni, che si estende fino a frequenze di circa 1 MHz. Si ha infine una
regione di frequenze pi\`{u} elevate (superiori ad un certo valore $f_2$) 
in cui il rumore aumenta come $f^2$.
Questo aumento del NF \`{e} legato alla diminuzione del guadagno del transistor
alle alte frequenze ed al fatto che il rumore prodotto alla giunzione di
collettore rimane costante.
\\Alcuni speciali transistor, prodotti per essere adoperati ad alte frequenze,
hanno un valore di $f_2$ molto pi\`{u} elevato.
\\Sono stati sviluppati modelli che, partendo dal circuito a parametri h o 
da altri analoghi, ed aggiungendo sorgenti di rumore nei rami del circuito,
consentono di calcolare con ragionevole accuratezza il rumore nel transistor
bipolare nel campo di frequenze di interesse~\cite{kn:Ott}. 
Le caratteristiche di rumore dei transistor sono fornite generalmente dalle
case costruttrici.
\\Ricordiamo che il noise-factor F \`{e} definito come:
\small
\[
F\:=\:\frac{Potenza\;di\;rumore\;in\;uscita}{Guadagno\;in\;potenza\;\times
\;Potenza\;di\;rumore\;dovuto\;alla\;resistenza\;della\;sorgente}
\]
\normalsize
Se indichiamo con $R_s$ la resistenza della sorgente, con $i_n$ ed $e_n$
i generatori di rumore nel quadripolo equivalente gi\`{a} incontrato e con
$\Delta f$ la banda passante, avremo:

\newcommand{\nameit}{\overline{i_{t}^{2}}}

\newcommand{\nameir}{\overline{i_{R_{s}}^{2}}}

\newcommand{\kt}{4KT \Delta f}

\newcommand{\nameen}{\overline{e_{n}^2}}

\newcommand{\namein}{\overline{i_{n}^{2}}}

\[F\:=\:\frac{{\nameit}}{{\nameir}}\]

dove $i_t$ \`{e} la corrente totale di rumore ai terminali d'ingresso
ed $i_{R_s}$ quella dovuta alla sola resistenza $R_s$. Quest'ultima vale:
\[{\nameir}\:=\:\frac{{\kt}}{R_s}\]
Quindi avremo, come gi\`{a} visto in precedenza:
\[{\nameit}\:=\:\frac{{\kt}}{R_s}\,+\,\frac{{\nameen}}{R_s}\,+\,{\namein}\]
da cui:
\[F\:=\:1\,+\,\frac{{\nameen}}{{\kt} R_s}\,+\,\frac{{\namein R_s}}{{\kt}}\]
Ponendo ora:
\[R_{eq}\:=\:\frac{{\nameen}}{{\kt}}\]
\[I_{eq}\:=\:\frac{{\namein}}{2e\Delta f}\]
dove e \`{e} la carica dell'elettrone, l'ultima equazione scritta diventa:
\[F\:=\:1\,+\,\frac{R_{eq}}{R_s}\,+\,\frac{2eI_{eq}}{4KT}R_s\]
e, poich\`{e} $\frac{e}{2KT}=20~V^{-1}$ alla temperatura di $290^{o}K$ avremo:
\begin{equation}
F\:=\:1\,+\,\frac{R_{eq}}{R_s}\,+\,20I_{eq}R_{s}\label{eq:Fbipol}
\end{equation}
Il valore ottimale di $R_s$, cio\`{e} quello per cui la cifra di rumore
\`{e} minima, si ottiene derivando quest'espressione rispetto ad $R_s$. Si 
trova:
\begin{equation}
R_{s(opt)}^2\:=\:\frac{R_{eq}}{20I_{eq}}\,=\,
\frac{{\nameen}}{{\namein}}\label{eq:rsopt}
\end{equation}
da cui:
\[F_{opt}\:=\:1\,+\,2 \sqrt{20 R_{eq} I_{eq}}\]
Facciamo ora uso delle ultime due equazioni per esprimere $R_{eq}$ ed $I_{eq}$ 
in
funzione di $F_{opt}$ ed $R_{s(opt)}$. Si trova:
\[R_{eq}\:=\:\frac{1}{2}(F_{opt}-1)\,R_{s(opt)}\]
\[I_{eq}\:=\:\frac{1}{2} \frac{(F_{opt}-1)}{20 R_{s(opt)}}\]
Sostituendo questa nella~\ref{eq:Fbipol}, si trova:
\[F\:=\:1\,+\,\frac{1}{2}(F_{opt}-
1)\,[\frac{R_{s(opt)}}{R_s}\,+\,\frac{R_s}{R_{s(opt)}}]\]
Si vede da questa espressione che, noti $F_{opt}$ ed $R_{s(opt)}$, si pu\`{o}
ottenere il NF per una generica resistenza $R_s$.
\\
Definendo un fattore K:
\begin{equation}
K\:=\:\frac{1}{2}\,[\frac{R_{s(opt)}}{R_s}\,+\,\frac{R_s}{R_{s(opt)}}]
\label{eq:kvalue}
\end{equation}
L'ultima equazione si pu\`{o} riscrivere come:
\[F\:=\:1\,+\,K\,[F_{opt}-1]\]
Ammettiamo ora di sapere che $F_{opt} = 1.4$ e che $R_{s(opt)}=1 K\Omega$. Ci 
chiediamo quale sar\`{a} F in un circuito in cui la resistenza $R_s$ valga 
$8K\Omega$. Vediamo che  $\frac{R_s}{R_{s(opt)}}=8$ 
e quindi, dalla~\ref{eq:kvalue} si vede che $K\cong 4$. Quindi F sar\`{a}:
\[F\:=\:1\,+\,4(1.4-1)\:=\:2.6\]
ed il noise factor NF varr\'a:
\[NF\:=\:4.1 dB\]
I valori di ${\nameen}$ ed ${\namein}$ sono poi entrambi funzioni 
della corrente di collettore
e crescono al crescere di questa. Tuttavia ${\namein}$ cresce pi\`{u} 
rapidamente
di ${\nameen}$. Di conseguenza $R_{s(opt)}$ diminuisce al crescere della 
corrente
di collettore. Ne segue che, come si pu\`{o} vedere in
figura~(\ref{nfvsrtran}), 
la curva che descrive l'andamento della cifra di rumore al variare di $R_{s}$ 
cambia, spostandosi
verso sinistra (cio\`{e} verso valori decrescenti di $R_s$) all'aumentare
di $I_c$.
  
\begin{figure}
\begin{center}\mbox{\epsfig{file=nfvsrtran.eps,width=12.0 cm,
height=7.5 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{nfvsrtran}
\end{figure}

\subsection{Il rumore nei FET}
L'andamento complessivo della cifra di rumore in un FET in funzione della
frequenza \`{e} qualitativamente simile a quello dei transistor bipolari.
Si ha cio\`{e} una regione di rumore $1/f$ alle basse frequenze, seguita
da una regione di rumore bianco a frequenze intermedie ed infine da una
zona di alta frequenza in cui il rumore cresce al crescere di f.
\\
Il rumore $1/f$ \`{e} molto pi\`{u} elevato nei MOSFET che nei FET.
\\
Ci occuperemo ora del rumore in questi ultimi. Le principali sorgenti di
rumore in essi sono:
\begin{itemize}
\item rumore termico nella resistenza di polarizzazione del gate $R_g$
\item rumore shot associato alla corrente di gate $I_g$ (diodo Gate-Source con
polarizzazione inversa)
\item {rumore termico nel canale}
\item {rumore shot nel canale}
\item {rumore $1/f$ nel canale}
\end{itemize}


Tra questi contributi, il penultimo \`{e} fortemente soppresso a causa
della elevata densit\`{a} di cariche nel canale. Discutiamo ora in
dettaglio gli altri contributi.
\\
\emph{Rumore termico nella resistenza di gate}
\\
La corrente quadratica media di rumore nell'intervallo di frequenza df
in $R_g$ \`{e}:
\[\overline{i^2_{R}}\:=\:\frac{4 K T df}{R_g}\]
Se indichiamo con $C_{in}$ la capacit\`{a} d'ingresso del FET, la tensione
quadratica media ai capi di questa sar\`{a}:

\newcommand{\namevr}{\overline{v_{R}^2}}
\newcommand{\namezc}{Z_{c}^2}
\newcommand{\namecin}{C_{in}^2}

\[{\namevr}\:=\:{\nameir}{\namezc}\:=\:\frac{4KTdf}{R_{g}}\,\frac{1}{\omega^{2}
{\namecin}}\:=\:\frac{2KT}{\pi R_{g} {\namecin}} \frac{d\omega}{\omega^2}\]
Vediamo che la tensione di rumore \`{e} tanto pi\`{u} piccola quanto pi\`{u} 
\`{e}
grande $R_g$.

\emph{Rumore di tipo shot associato alla corrente di gate}

Esso \`{e} dato da:
\[\overline{i^2}\:=\:2 e I_{g} df\]
con ovvio significato dei simboli. Tale corrente scorre in $C_{in}$ se $R_{g}$
\`{e} molto grande. La tensione quadratica media ai capi di $C_{in}$ sar\`{a}:
\[\overline{v_{g}^2}\:=\:\frac{2eI_{g} df}{\omega ^{2} C_{in}^{2}}\:=\:\frac{e 
I_{g} d\omega}
{\pi \omega^{2} C_{in}^{2}}\]

\emph{Rumore termico nel canale}

La corrente di rumore associata a questo \`{e}:
\[\overline{i_{c}^{2}}\:=\:\frac{4KT df}{R_{0}}\]
dove $R_{0}$ \`{e} la resistenza del canale nella parte iniziale delle 
caratteristiche
(cio\`{e} nella zona ohmica). La corrispondente tensione $\overline{v_{c}^{2}}$ 
al gate (l'ingresso, cui riferiamo  tutte le sorgenti di rumore) \`{e}:
\[\overline{v_{c}^{2}}\:=\:\frac{\overline{i_{c}^{2}}}{g_m^2}\]
dove $g_m$ \`{e} la transconduttanza del FET.
\\
Si trova quindi:
\[\overline{v_{c}^{2}}\:=\:\frac{2KT}{\pi R_{0} g_{m}^{2}} d\omega\]
Ponendo: 
\[R_{eq}=\frac{1}{R_{0}g_{m}^{2}}\]
questa si scrive:
\[\overline{v_{c}^{2}}\:=\:2KT R_{eq} \frac{d \omega}{\pi}\]
dove si pu\`{o} dimostrare che $g_{m}=\frac{1}{R_{0}}$, con che:
\[R_{eq}\:=\:\frac{1}{g_{m}}\]

\emph{Rumore 1/f nel canale}

Questo \`{e} dato da:
\[\overline{v_{F}^{2}}\:=\:A_{f} \frac{d \omega}{\omega}\]

\emph{Rumore complessivo}

Questo sar\`{a} la somma dei contributi elencati sopra, cio\`{e}:
\[\overline{v_{t}^2}\:=\:\frac{2KT}{\pi R_{g} {\namecin}} 
\frac{d\omega}{\omega^2}+\:\frac{e I_{g} d\omega}
{\pi \omega^{2} C_{in}^{2}}+\:2KT R_{eq} \frac{d \omega}{\pi}+\:A_{f} \frac{d 
\omega}{\omega}\]
Il rumore totale nell'amplificatore a FET pu\'o ora esser calcolato, 
moltiplicando ciascuno dei precedenti contributi per la funzione $f(\omega)$
che descrive la risposta in frequenza dell'amplificatore, integrando su
$\omega$ da 0 ad $\infty$ e sommando infine tutti i contributi. La funzione
$f(\omega)$ rappresenta il guadagno \emph{in potenza} dell'amplificatore, legato
al guadagno in tensione $A_v$ da: $f(\omega)\:=\:|A_v|^2$.




 
\pagebreak
\section{Appendice A}

Dimostriamo ora il teorema di Wiener-Khintchine. A tale scopo premettiamo alcuni
semplici teoremi, che trovano ampia applicazione nello studio del rumore. 
Siano $x_1(t)$ ed $x_2(t)$ due funzioni del tempo, ed indichiamo con 
$F_1(\omega)$
ed $F_2(\omega)$ le rispettive trasformate di Fourier. Si dimostra allora che:
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty}{x_1(t)x_2^*(t)dt}\:=\:\frac{1}{2\pi}\int_{-
\infty}^{+\infty}
{X_1(\omega)X_2^*(\omega)d\omega} \label{parseval}
\end{equation}
(teorema di Parseval)


Per dimostrarlo, sostituiamo a primo membro di questa equazione, ad  $x_2^*(t)$ 
la sua
antitrasformata, ottenendo:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}{x_1(t)x_2^*(t)dt}\:=\:\frac{1}{2\pi}
\int_{-\infty}^{+\infty}dt\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega x_1(t) 
X_2^*(\omega)e^{-j\omega t}
\]
scambiamo ora l'ordine di integrazione sulle variabili t ed $\omega$ a secondo 
membro:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}{x_1(t)x_2^*(t)dt}\:=\:\frac{1}{2\pi}
\int_{-\infty}^{+\infty}X_2^*(\omega) d\omega\int_{-\infty}^{\infty}dt 
x_1(t)e^{-j\omega t}
\]
che \'e uguale a:
\[
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{X_1(\omega)X_2^*(\omega)d\omega}
\]
Questo \'e appunto il secondo membro della~(\ref{parseval}).

Applichiamo ora questo teorema alla funzione di correlazione $\Phi(\tau)$:
\[
\Phi(\tau)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}{v(t)v(t+\tau)dt}
\]
dove $v(t)$ \'e la tensione di rumore.
Troviamo in tal modo:
\begin{equation}
\Phi(\tau)\:=\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{|V(\omega)|^2 
e^{j\omega \tau}d\omega}  \label{plancherel}
\end{equation}
che per $\tau=0$ ci da:
\[
\Phi(0)\:=\:\int_{-\infty}^{+\infty}{|v(t)|^2 dt}\:=\:
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{|V(\omega)|^2 d\omega}
\]
che \'e noto come teorema di Plancherel o teorema dell'energia.
Il termine a destra di questa equazione rappresenta l'energia totale sviluppata,
sull'intero spettro di frequenze. Ne segue che 
$|V(\omega)|^2$
pu\'o essere interpretato come la densit\'a di energia per unit\'a di intervallo
di frequenza. La potenza media \'e l'energia totale divisa per T, o meglio
il limite di tale rapporto per $T\rightarrow \infty$:
\[
\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{+\infty}{|v(t)|^2 dt}\:=\:
\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2 \pi}\int_0^{\infty}\frac{2 
|V(\omega)|^2}{T}d\omega
\]
dove si \'e modificato il limite inferiore d'integrazione nel membro destro
dell'equazione (da $-\infty$ a 0) e si \'e moltiplicato per 2, poich\'e si 
ammette
che $|V(\omega)|^2$ sia una funzione pari di $\omega$. Abbiamo cos\'i
per la densit\'a spettrale di potenza:
\[
S_v(\omega)\:=\:\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{2 |V(\omega)|^2}{T}
\]
Notiamo la differenza tra l'ultima equazione scritta e la~(\ref{intspett}). 
Questa
aveva un T a fattore moltiplicativo, mentre l'ultima equazione scritta ha T
a denominatore. Ci\'o deriva dal fatto che nella~(\ref{intspett}) avevamo fatto
uso della serie di Fourier, dove i coefficienti $a_n$ hanno un T a denominatore,
mentre nella trasformata di Fourier:
\[
F(\omega)\:=\:\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j \omega t}dt
\]
il T a denominatore \'e assente.

Dalla~(\ref{plancherel}), dividendo entrambi i membri per T, effettuando una 
media
su di un insieme (infinito) di sistemi identici e prendendo poi il limite
per $T\rightarrow \infty$, si ottiene:
\[
\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-
\infty}^{\infty}\overline{v(t)v(t+\tau)} 
d\tau
\:=\:\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2 
\pi}\int_{0}^{\infty}{2\frac{\overline{|V(\omega)|^2}}{T} cos(\omega \tau) 
d\omega}
\]
dove abbiamo fatto uso della simmetria della $|V(\omega)|^2$.

Il termine a sinistra di questa equazione \'e la funzione di 
autocorrelazione $\Phi(\tau)$. Invertendo nel termine a destra
il limite con l'integrazione, otteniamo:
\[
\Phi(\tau)\:=\:\frac{1}{2 \pi}\int_0^{\infty}{S_v(\omega)  cos(\omega \tau) 
d\omega}
\:=\:\int_0^{\infty}{S_v(f) cos(\omega \tau) df}
\]
Questa \'e una trasformata di Fourier, la cui inversa \'e:
\[
S_v(f)\:=\:4 \int_0^{\infty}{\Phi(\tau) cos(\omega \tau) d\tau}
\]
Le ultime equazioni scritte costituiscono il teorema di Wiener-Khintchine.
\pagebreak
\section{Appendice B}
Ci proponiamo in questa appendice di studiare la funzione di distribuzione
temporale relativa ad eventi elementari che avvengano in modo casuale 
ed indipendente. Un esempio \'e quello di un elettrone che si muove
in un materiale conduttore, subendo urti con gli atomi che incontra.
Ciascun urto \'e un \emph{evento} casuale, intendosi con ci\'o il
fatto che la probabilit\'a che un evento abbia luogo in in piccolo
intervallo di tempo compreso tra t e $t+\delta t$ \'e piccola ed
indipendente da t. Quando diciamo ''piccola'' intendiamo che la
probabilit\'a di osservare due eventi nell'intervallo di tempo
considerato \'e trascurabile. Chiamando $\nu \delta t$ la probabilit\'a
che un evento abbia luogo nell'intervallo di tempo suddetto, ci
proponiamo di calcolare la probabilit\'a $p(m,t)$che esattamente 
m eventi abbiano luogo in un intervallo di tempo finito t.

Per calcolare tale probabilit\'a, partiamo dalla considerazione che
vi sono solo due modi per ottenere esattamente m eventi nell'intervallo
di tempo (0-t). Potremo cio\'e avere (m-1) eventi nell'intervallo di
tempo $(0,t-\delta t)$ ed uno nell'intervallo $\delta t$ o m eventi
nell'intervallo di tempo $(0,t-\delta t)$ e nessuno nell'intervallino
$\delta t$. In formule:
\[
p(m,t)\: = \: p(m-1,t-\delta t) \nu \delta t \: + \: p(m,t-\delta t)(1-\nu 
\delta t)
\]
Sviluppando i termini a secondo membro di questa espressione in serie di
Taylor, otteniamo:
\[
p(m-1,t-\delta t)\nu \delta t\:=\:p(m-1,t)\nu \delta t-\frac{\partial p(m-
1,t)}{\partial t} \nu (\delta t)^2
\]
\[
p(m,t-\delta t)\cdot(1-\nu \delta t)\:=\:p(m-1,t) \nu \delta t+p(m,t)
- \frac{\partial p(m,t)}{\partial t} \delta t\:-p(m,t) \nu \delta t+....(\delta 
t)^2
\]

Per cui l'ultima espressione scritta si pu\'o scrivere:
\[
p(m,t)\:=\:p(m-1,t)\nu \delta t+ p(m,t) -\frac{\partial p(m,t)}{\partial t} 
\delta t -p(m,t)\nu \delta t
\]
da cui segue:
\begin{equation}
\lim_{\delta t \rightarrow 0}\frac{dp(m,t)}{\delta 
t}\:=\:\frac{dp(m,t)}{dt}\:=\:
\nu [p(m-1,t)+p(m,t)]  \label{general}
\end{equation}
Per m=0 questa \'e (essendo p(-m,t)=0):
\[
\frac{dp(0,t)}{dt}\:=\:\nu p(0,t)
\]
che ha come soluzione:
\[
p(0,t)\:=\:e^{-\nu t}
\]
Per m generico possiamo riscrivere la~(\ref{general}) come:
\[
e^{-\nu t}\frac{d}{dt}[e^{\nu t}p(m,t)]\:=\:\nu p(m-1,t)
\]
che, integrata tra i limiti (0,t) (con p(0,0)=1), ci da:
\[
e^{\nu t} p(m,t)\:=\:\nu \int_0^t{e^{\nu t} p(m-1,t)dt}
\]
Questa \'e una formula di ricorrenza che ci consente di calcolare p(m,t) a
partire da p(m-1,t). Conoscendo p(0,t) otteniamo cos\'i:
\[
e^{\nu t} p(1,t)\:=\:\nu \int_0^t e^{\nu t}e^{-\nu t} dt\:=\:\nu t
\]
da cui:
\[
p(1,t)\:=\:\nu t e^{-\nu t}
\]
Si trova in generale:
\[
p(m,t)\:=\:\frac{(\nu t)^m e^{-\nu t}}{n!}
\]
Possiamo da questa calcolare la distribuzione della distanza temporale tra
due eventi successivi. La probabilit\'a che due eventi abbiano luogo 
separati da un tempo t \'e pari alla probabilit\'a che, dato un evento,
nessun evento abbia luogo per un tempo pari a t ed un evento abbia luogo
nel successivo intervallino temporale $\delta t$. Cio\'e:
\[
f(t)\:=\:p(0,t) \nu \delta t
\]
dove:
\[
p(0,t)\:=\:e^{-\nu t}
\]
e quindi:
\[
f(t)\:=\:\nu e^{-\nu t} \delta t
\]

Il valor medio di m (cio\'e il momento di ordine 1 della distribuzione)\'e:
\[
\overline{m}\:=\:\sum_{m=0}^{\infty}m p(m,t)\:=\:e^{-\nu t}\nu t[1 + \frac{\nu 
t}{1}
+\frac{(\nu t)^2}{2!} +\frac{(\nu t)^3}{3!}+....]\:=\:e^{-\nu t} \nu t e^{\nu 
t}\:=\:
\nu t
\]
Analogamente si pu\'o dimostrare che il momento di ordine 2 (la varianza) \'e:
\[
\sigma ^2\:=\:\overline{(m-\overline{m})^2}\:=\:\sum_{m=0}^{\infty}m^2 p(m,t)-
\overline{m}^2
\:=\: \overline{m}
\]
\pagebreak
\section{Appendice C}
Teoremi di Campbell e di Carson

Consideriamo un rumore casuale, originato da un gran numero di eventi 
indipendenti.
Ciasun evento produca un impulso di una certa forma, descritta da una funzione
(uguale per tutti) $f(t-t_1)$, dove $t_i$ \'e l'istante in cui si \'e
verificato l'evento ie-mo. 
L'evento potr\'a essere generico: un elettrone che
urta con un atomo, una goccia di pioggia che cade, un soffio di vento durante
un temporale, la ricombinazione di una coppia elettrone-lacuna in un 
semiconduttore,
etc. La f(t) \'e la funzione che descrive la conseguenza percettibile 
dell'evento,
funzione del tempo.
Ci\'o che in realt\'a percepiamo \'e la risultante di un gran numero di eventi
indipendenti. Essa pu\'o esser descritta facendo uso del principio di
sovrapposizione:
\[
x(t)\:=\:\sum_{k=1}^{N}{a_k f(t-t_k)}
\]
dove $a_k$ rappresenta l'ampiezza dell'ie-mo evento, $t_k$ \'e l'istante in cui
tale evento ha avuto luogo, N \'e il numero totale di eventi nel tempo di
osservazione T e la funzione f(t) \'e nulla per $t<0$. Faremo l'ipotesi che
la funzione f(t) sia diversa da zero solo per tempi molto minori del tempo
di osservazione T.

Poich\'e gli eventi sono indipendenti, la distribuzione dei tempi $t_k$ soddisfa
alla statistica di Poisson, con un numero medio di eventi al secondo dato da:
\[
\nu\:=\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{N}{T}
\]
Il valore medio aspettato per la variabile x(t) \'e allora:
\[
\overline{x(t)}\:=\:\nu \overline{a}\int_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt} 
\label{camp1}
\]
dove $\overline{a}$ \'e il valor medio dell'ampiezza $a_k$.
Il risultato espresso dalla~(\ref{camp1}) \'e noto come \emph{teorema di 
Campbell del valor medio}.

La trasformata di Fourier della x(t) \'e:
\[
X(j\omega)\:=\:\sum_{k=1}^{N}[a_k e^{-j\omega t_k}\:F(j\omega)]\:=\:F(j\omega)
\sum_{k=1}^{N} a_k e^{-j\omega t_k}
\]La densit\'a spettrale della potenza \'e:
\[
\overline{S_x(\omega)}\:=\:\lim_{T\rightarrow \infty}
\frac{\overline{|X(j\omega)|^2}}{T}\:=\:\lim_{T\rightarrow \infty}
\frac{2|F(j \omega)|^2}{T}\sum_{k,m=1}^{N}\overline{a_k a_m e^{-j\omega(t_k-
t_m)}}
\]
La sommatoria a secondo membro di questa espressione pu\'o essere riscritta, 
separandola nella parte con $k=m$ e in quella con $k\neq m$. 
Quest'ultima, essendo gli $a_k$ indipendenti tra loro ed indipendenti 
da $t_k$, pu\'o esser riscritta come:
\[
\sum_{k \neq m=1}^{N}\overline{a_k a_m} e^{-j\omega(t_k-t_m)}\:=\:\overline{a}^2
\sum_{k \neq m=1}^{N}e^{-j\omega(t_k-t_m)}
\]
avendo posto:
\[
\overline{a_k a_m}\:=\:\overline{a}^2
\]
Se la distribuzione delle ampiezze $a_k$ \'e simmetrica attorno a zero, il 
termine
in questione si annulla, poich\'e $\overline{a}=0$. Ne segue che in tal caso
\'e:
\[
\overline{S_x(\omega)}\:=\:2\nu \overline{a^2}\:|F(j\omega)|^2
\]
dove $\overline{a^2}$ \'e il valore quadratico medio delle $a_k$. Questo \'e
il teorema di Carson.

Se i coefficienti $a_k$ non sono distribuiti simmetricamente attorno allo zero,
il termine prima ignorato sar\'a presente. In tal caso si pu\'o dimostrare che 
\'e:
\[
\overline{x^2(t)}-\overline{x(t)}^2\:=\:\nu \overline{a^2}\int_{-
\infty}^{\infty}f^2(t) dt
\]
Questo \'e il teorema di Campbell del valor quadratico medio.
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