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\title{\bf Preamplificatori ad amplificatori per rivelatori di particelle}
\author{\small }
\author{}
\date{}
 
\maketitle

\section{Introduzione}

Una particella elettricamente carica che attraversa un mezzo materiale pu\'o, se la sua 
energia \'e sufficientemente elevata (energia cinetica $\ge \,1\,MeV$) dar luogo a processi che 
causano una perdite d'energia della particella, energia depositata nel mezzo attraversato. 
Tra tali processi, particolarmente importanti sono la ionizzazione, il brehmsstrahlung, 
la radiazione di luce $C\check{e}renkov$, la radiazione di transizione ed altri. Tale rilascio di 
energia, la cui natura ed ampiezza dipendono sia dal particolare mezzo attraversato che 
dalla natura della particella carica (elettrone, protone, mesone $\pi^{\pm}$, leptone $\mu^{\pm},\cdots$) pu\'o esser utilizzato per rivelare la particella. In particolare si pu\'o:
\begin{itemize}
\item[(a)] valutare l'istante in cui la particella \'e passata nel mezzo;
\item[(b)] ottenere una stima dell'energia della particella, che \'e spesso legata all'energia che 
essa ha depositato nel mezzo medesimo;
\item[(c)] misurare la posizione della particella nell'istante in cui essa ha attraversato il mezzo;
\item[(d)] ''identificare'' la particella; cio\'e stabilire (entro un predeterminato ''livello di 
confidenza'') se essa sia un elettrone, $\pi$, protone... . In tale tipo di applicazione sono 
molto utili i rivelatori basati sull'emissione di luce $C\check{e}renkov$ e quelli basati sulla 
radiazione di transizione.
\end{itemize}

Non intendiamo qui entrare nei dettagli dei rivelatori, ma limitarci a studiare alcuni dei 
problemi che essi pongono all'elettronica di ''front end'', cio\'e ai circuiti che debbono 
amplificare e rivelare i deboli segnali elettrici prodotti.
Ovviamente, i vincoli posti dall'elettronica cambiano molto a seconda del tipo di 
rivelatore e del tipo di informazione che si vuole estrarre (tempo, energia, posizione 
etc.). Ci\'o vuol dire che una trattazione esauriente dei problemi elettronici da affrontare 
non pu\'o esser disgiunta da una trattazione dei diversi rivelatori. Ci limiteremo qui a 
discutere alcuni dei principali problemi e ad esaminare le soluzioni comunemente 
adottate. Dettagli possono essere trovati nella bibliografia raccolta in fondo al capitolo.
Esamineremo, a titolo di esempio, la struttura di tre rivelatori: lo scintillatore, il tubo 
proporzionale ed il rivelatore a semiconduttore.


\section{Rivelatori a scintillazione}

Una particella carica che attraversa un mezzo materiale pu\'o provocare dei processi di 
eccitazione molecolare. Le molecole eccitate decadono poi al loro stato fondamentale 
con emissione di luce. In alcuni casi il processo di decadimento \'e molto rapido 
($\le 10^{-8}$~s), nel qual caso si parla di ''fluorescenza''. In altri casi il 
processo \'e lento, poich\'e lo stato eccitato raggiunto \'e metastabile. 
In tal caso si parla di ''fosforescenza''. La vita media relativa alla fosforescenza 
pu\'o variare tra qualche microsecondo e diverse ore. Nei rivelatori di particelle, 
dovendosi rivelare processi che si susseguono ad intervalli di tempo molto brevi 
($\approx\,10-100\,ns$) si ricorre a sostanze in cui il tempo di decadimento \'e 
breve, e quindi a quelle in cui \'e soppressa la componente di fosforescenza.

In prima approssimazione, l'evoluzione temporale del processo di emissione pu\'o 
esser descritta da un semplice termine esponenziale:
\[
N(t)dt\:=\:\frac{N_0}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}} d\tau
\]

dove $N(t)$ \'e il numero totale di fotoni emessi nell'intervallo di tempo ($0-t$), 
$N_0$ il numero totale di fotoni emessi e $\tau$ la costante di decadimento (vita media).
 
Il tempo di salita del segnale, dallo zero al valore massimo, \'e di solito molto 
pi\'u rapido del tempo di decadimento.

In alcuni casi le costanti di tempo interessate nel processo di decadimento sono due; 
in tal caso si pu\'o scrivere:
\[
N(t) dt\:-\:\left(A e^{-\frac{t}{\tau_f}}+e^{-\frac{t}{\tau_s}}\right) dt
\]

dove $\tau_f$  \'e la costante di tempo relativa alla componente a breve vita media e
$\tau_f$ quella della componente a vita media lunga.

Per esser concretamente utilizzabile, uno scintillatore deve avere alcune caratteristiche:
\begin{itemize}

\item[(a)] elevata efficienza di conversione di energia in radiazione;
\item[(b)] trasparenza alla radiazione emessa;
\item[(c)] spettro di emissione adatto alla rivelazione della luce (che tipicamente utilizza dei 
fotomoltiplicatori);
\item[(d)] breve costante di tempo.
\end{itemize}

Esistono svariati tipi di materiali scintillanti che possiedono in maggiore o minore 
misura tali caratteristiche. I pi\'u comunemente usati sono degli scintillatori organici in 
soluzioni organiche liquide o plastiche (come plastiche sono adoperate il polistirene, 
il poliviniltoluene o il polifenil-benzene). Le costanti di decadimento vanno da 
1.7 a 4~ns. Essendo la costante di decadimento cos\'i breve, non \'e sempre possibile trascurare 
rispetto a questo il tempo di salita. Una parametrizzazione spesso adoperata per tener 
conto di ci\'o \'e una convoluzione di una gaussiana con un termine esponenziale:
\[
N(t)\:=\:N_0 f(\sigma,t) e^{-t/\tau}
\]

dove $\sigma \approx 0.5\;ns$.

Lo spettro di emissione di queste sostanze \'e nella regione 400-500~nm.

L'efficienza di conversione \'e definita come l'energia che una particella deve perdere 
in media perch\'e sia prodotto un fotone. Nelle plastiche tale energia \'e dell'ordine di 
1000~eV. Tale efficienza \'e piuttosto bassa rispetto a quella che si ha in altri tipi di 
rivelatore. Poich\'e la risoluzione in energia di un rivelatore \'e tanto migliore quanto 
pi\'u bassa \'e la soglia minima di energia che esso pu\'o rivelare, si vede che la 
risoluzione in energia di uno scintillatore non \'e molto buona. In effetti, fatta eccezione 
per gli scintillatori a cristalli inorganici, che hanno una buona risoluzione in energia, gli 
scintillatori comunemente adoperati (liquidi e plastici) hanno principalmente il pregio di 
una elevatissima velocit\'a di risposta e di un costo contenuto.

Come accennato, il piccolo numero di fotoni prodotti quando una particella attraversa 
uno scintillatore, pu\'o esser rivelato facendo uso di un fotomoltiplicatore.

Un fotomoltiplicatore \'e un dispositivo che converte un (debole) segnale luminoso in 
un impulso di corrente. Esso \'e costituito di un tubo a vuoto, come schematizzato in 
figura, sulla cui faccia frontale \'e depositato (all'interno) un materiale fotosensibile, 
cio\'e un materiale con una bassa soglia per l'effetto fotoelettrico.



Un certo numero di elettrodi sono posti all'interno del tubo (dinodi) con il compito di 
''moltiplicare'' il numero di elettroni prodotti per effetto fotoelettrico dalla radiazione 
che investe il fotocatodo. Infine un ulteriore elettrodo (anodo) raccoglie la nuvola di 
elettroni prodotta dalla moltiplicazione, fornendo in uscita un breve impulso di corrente.
Il fotocatodo \'e tenuto ad un potenziale negativo rispetto all'anodo, mentre i vari dinodi 
sono tenuti a potenziali (negativi) via via decrescenti andando dal fotocatodo verso 
l'anodo.

Un elettrone prodotto nel processo di interazione del fotone incidente con il materiale 
che costituisce il fotocatodo, \'e accelerato verso il primo dinodo dal potenziale 
applicato. Qui essi pu\'o liberare 2 o pi\'u elettroni, che vengono accelerati verso  il 
secondo dinodo e cos\'i di seguito. Si ha cos\'i un processo di moltiplicazione che causa 
una nuvola di elettroni raccolta poi dall'anodo.

Si definisce ''fattore di emissione secondaria'' il numero medio di elettroni emessi da un 
dinodo colpito da un elettrone. Il ''guadagno'' di un fotomoltiplicatore, definito come la 
carica all'anodo per unit\'a di carica all'uscita del fotocatodo (o equivalentemente come 
il numero di elettroni che raggiungono l'anodo per un elettrone emesso dal fotocatodo) 
dipende ovviamente dal fattore di emissione secondaria   e dal numero di dinodi 
(numero di stadi). I fotomoltiplicatori disponibili in commercio hanno tra 10 e 14 stadi, 
con guadagni tipici di $10^7$.

Un altro parametro caratteristico dei fotomoltiplicatori \'e legato alla probabilit\'a che 
un fotone al fotocatodo dia luogo ad un elettrone:
\[
n(\lambda)\:\equiv \frac{n^o\,di\, fotoelettroni}{n^o\,di\,fotoni\,incidenti}
\]

che dipende dalla lunghezza d'onda $\lambda$ della radiazione incidente. 
Valori tipici di n vanno dal $10$ al $25\%$ al picco della distribuzione di $n(\lambda)$.


\section{Forma dell'impulso all'uscita del fotomoltiplicatore}

Il segnale all'uscita del fotomoltiplicatore \'e un breve impulso di corrente, il cui 
integrale \'e la carica totale, proporzionale al numero di fotoelettroni liberati al catodo 
del fotomoltiplicatore. Il fotomoltiplicatore \'e, con ottima approssimazione, un 
generatore di corrente, in parallelo con la capacit\'a vista dal catodo guardando verso 
massa e con una resistenza R.


La capacit\'a \'e quella intrinseca dell'anodo pi\'u eventuali capacit\'a associate al cavo 
utilizzato per prelevare il segnale. La resistenza R \'e la resistenza intrinseca del catodo 
pi\'u le eventuali resistenze associate al cavo ed al carico.

Esaminiamo ora l'andamento del segnale all'uscita del fotomoltiplicatore. Ammettendo 
che il segnale luminoso al fotocatodo sia quello emesso dallo scintillatore e che questo 
si possa approssimare con una singola costante di tempo, la corrente anodica sar\'a data 
da:
\[
i(t)\:=\:G \frac{N_e}{\tau_s} e^{-t/\tau_s}
\]

dove G \'e il guadagno del fotomoltiplicatore; $N_e$ il numero di fotoelettroni emessi dal 
catodo; $e$ la carica dell'elettrone; $\tau_s$ la costante di decadimento dello scintillatore.
L'equazione del nostro circuito \'e:
\[
\tilde{v}\:=\:\tilde{i}\tilde{Z}\:=\:A\frac{R/sC}{R + 1/sC}\;\frac{1}{s + 1/\tau_s}\:=\:
\frac{R}{\tau}\,\frac{A}{(s+1/\tau)(s+1/\tau_s)}
\]
con:
\[
A\:=\:G \frac{N_e e}{\tau_s}
\]

Se $\tau \ne \tau_s$, l'antitrasformata pu\'o essere calcolata con facilit\'a. Si trova:
\[
v\:=\:\frac{R A}{\tau}\left\{\left[\frac{e^{st}}{s+1/\tau_s}\right]_{s=-1/\tau}\;+\;
\left[\frac{e^{st}}{s+1/\tau_s}\right]_{s=-1/\tau_s}\right\}\:=
\]
\[=
\frac{R A}{\tau}\left\{\frac{e^{-t/\tau}}{1/\tau_s-1/\tau}\;+\;
\frac{e^{-t/\tau_s}}{1/\tau-1/\tau_s}\right\}\:=\:\frac{G N_e e R}{\tau- \tau_s}\left\{e^{-t/\tau}-e^{-t/\tau_s}\right\}
\]

Se    , cio\'e se la costante di tempo del circuito \'e uguale a quella dello scintillatore, 
l'antitrasformata di Laplace si pu\'o calcolare facendo uso della (12) nel medesimo 
capitolo.

L'andamento della    \'e qualitativamente mostrato in figura:

Se   \'e    l'ampiezza del segnale \'e ridotta, ma essa riproduce fedelmente la forma del 
segnale dallo scintillatore. Il tempo di solito \'e rapido ed \'e determinato 
essenzialmente dal valore di   del circuito. In tali condizioni si dice che si lavora nel 
''modo corrente'', poich\'e V8t) \'e in tali condizioni una replica della corrente 
attraverso la resistenza R.
Per     l'ampiezza del segnale aumenta, ma contemporaneamente l'impulso si allunga. 
La durata dell'impulso in tali condizioni \'e determinato essenzialmente dalla costante 
di tempo del circuito. Il tempo di salita \'' invece determinato da   , ed \'' quindi breve. 
Si dice che si lavora nel ''modo tensione'', poich\'e ora V(t) \'e essenzialmente la 
differenza di potenziale ai capi di C, che ''integra'' la corrente.
In genere si preferisce lavorare nel modo tensione, poich\'e in tali circostanze si hanno 
impulsi pi\'u elevati      . Il  prezzo che si paga \'e che gli impulsi sono molto pi\'u 
lunghi e che, come conseguenza, ad elevati ratei di conteggio si pu\'o avere 
sovrapposizione di impulsi generati da arrivi successivi di particelle sul rivelatore. Tale 
fenomeno \'e noto come ''pile-up''. Su questo torneremo in seguito. Lavorando nel 
modo corrente si pu\'o eliminare tale inconveniente e si ha inoltre il vantaggio di un 
segnale che riproduce la forma del segnale emesso dalla scintillatore (che \'e utile in 
alcune applicazioni particolari). Il prezzo che si paga \'e quello di un segnale di pochi 
mV, quindi fortemente influenzato dal rumore.

Per una trattazione esauriente dei rivelatori a scintillazione e dei fotomoltiplicatori si 
veda il libro di W.R. Leo: ''Techniques Nuclear and Particle Physics Experiments'' 
Spring-Verlag 1987. Vedasi anche la ref. 1 in fondo.


\section{Rivelatori a gas}

Una particella che attraversi una regione in cui sia presente un gas, pu\'o liberare delle 
cariche (elettroni e ioni) nella zona attraversata. Se un'opportuna differenza di 
potenziale \'e applicata tra elettrodi posti nella medesima regione, nascer\'a una corrente 
di drift degli elettroni verso l'elettrodo tenuto a potenziale positivo e degli ioni verso 
quello tenuto a potenziale negativo. Su tali elettrodi si avr\'a quindi una corrente, 
proporzionale al numero di ioni-elettroni prodotti e quindi all'energia che la particella 
ha perduto nell'attraversare il mezzo.
Il primo rivelatore a fas, la camera a ionizzazione, ha ora un limitato campi di 
applicazione. Un notevole progresso in questo tipo di rivelatori si \'e avuto con lo 
sviluppo dei contatori proporzionali, il cui prototipo, mostrato in figura, \'e costituito da 
un cilindro metallico, avente un diametro dell'ordine del centimetro. Lungo l'asse del 
cilindro \'e tenuto sotto una leggera tensione un sottile filamento metallico avente un 
diametro di poche decine di    , isolato elettricamente dalle pareti del cilindro.

Il cilindro \'e chiuso alle estremit\'a e riempito con un gas a pressione atmosferica. In 
genere si adopera un gas nobile (Argon) con l'aggiunta di una piccola percentuale (  
10%) di un gas quali    o    .
La differenza di potenziale applicata tra il filamento centrale (anodo) e l'involucro 
metallico (catodo) \'e di diverse centinaia di volts.
Gli elettroni liberati dal passaggio di una particella nel rivelatore sono accelerati verso 
l'anodo dal campo elettrico (   1/r, con r distanza dall'anado) ed, in prossimit\'a di 
questo hanno ormai acquistato abbastanza energia da ionizzare a loro volta, producendo 
altri elettroni che sono accelerati a loro volta. Il processo si ripete molte volte fino a 
generare una carica apprezzabile che \'e poi raccolta dall'anodo. Gli ioni positivi 
prodotti migreranno invece verso il catodo producendo una trazione(*) all'uscita (anodo 
nell'esempio) del rivelatore.
Si pu\'o dimostrare che la forma dell'impulso di tensione \'e data da:

dove:
L = lunghezza del rivelatore
  = costante dielettrica del gas
C = capacit\'a per unit\'a di lunghezza del condensatore cilindrico.
   = mobilit\'a degli ioni nel gas (ricordiamo che la mobilit\'a \'e il rapporto tra la 
velocit\'a di drift ed il campo elettrico)
   = potenziale applicato
q = carica prodotta dalla ionizzazione primaria
a = raggio del cilindro
t = tempo (misurato a partire dall'istante in cui la particella \'e passata.
L'aumento della v(t) \'e mostrato in figura:

Il segnale 1'e intrinsecamente lungo. Occorrer\'a quindi differenziarlo, ad esempio 
utilizzando un circuito CR. A causa del processo di moltiplicazione a valanga che ha 
luogo nel gas, i segnali prodotti da tale tipo di rivelatore sono intrinsecamente alti e 
pongono quindi delle richieste di non grande entit\'a sull'elettronica che \'e posta a 
valle.


\section{Rivelatore a semiconduttore}

In un normale diodo realizzato mediante una giunzione p-n si ha una corrente 
apprezzazbile solo se la polarizzazione applicata \'e diretta. L'applicazione invece di 
una polarizzazione inversa dar\'a luogo ad una corrente molto piccola (la corrente 
inversa   ) dovuta alla generazione termica di coppie elettrone-lacuna nella zona P ed in 
quella n.

Come mostrato in figura, gli elettroni generati nella zona di svuotamento sul lato P sono 
accelerati dal potenziale esterno V applicato affluiscono verso la zona n. Analogamente, 
le lacune generate nella zona n in prossimit\'a della giunzione vengono accelerate dal 
potenziale V e fluiscono verso la zona P.
Coppie elettrone-lacuna possono essere generate nella zona di svuotamento dal 
passaggio di una particella ionizzata; si avr\'a cos\'i un momentaneo aumento della 
corrente inversa attraverso il diodo. La misura di tale corrente pu\'o essere utilizzata per 
rivelare il passaggio della particella ed eventualmente anche per valutare l'energia che 
la particella ha depositato nell'attraversare il mezzo (nel nostro caso, la ziona di 
svuotamento).
La generazione di coppie elettrone-lacuna in una giunzione  p-   attraversata da una 
particella carica \'e, per molti rispetti, simile alla produzione di coppia elettrone-ione nei 
rivelatori a gas, con una importante differenza. Mentre nel caso dei rivelatori a gas 
l'energia necessaria a produrre una coppia era   30 eV, nel caso di un semiconduttore 
sono sufficienti 3-4 cV, cio\'e un ordine di grandezza meno. Poich\'e la rivoluzione in 
energia del rivelatore \'e tanto migliore quanto maggiore il numero di coppia prodotta, 
ne segue un indubbio vantaggio nel caso dei rivelatori a semiconduttore.
I materiali adoperati per realizzare i diodi da usare come rivelatori sono principalmente 
il silicio ed il germanio. Rivelatori al germanio sono adoperati in misura che richiedano 
una elevata risoluzione energetica (fino a 150-200 eV). Ci\'o \'e possibile grazie al fatto 
che si riesca a produrre    con elevatissima purezza (concentrazioni di impurezza che 
raggiungono i   atomi/cm  ) il che consente di realizzare diodi al    che possono operare 
con tensioni inverse molto elevate e conseguentemente con zone di svuotamento molto 
ampie (fino a    10mm). Purtroppo, tali rivelatori debbono essere operati a bassissime 
temperature (  80 °K) a causa della bassissima (0.7 eV) differenza di energia tra bande 
di conduzione e banda di valenza nel   . Se un rivelatore al   fosse adoperato a 
temperatura ambiente, la corrente inversa risultante sarebbe inaccettabilmente elevata.
Un uso molto pi\'u diffuso hanno i rivelatori al Si, che possono essere adoperati a 
temperatura ambiente.
I diodi utilizzati come rivelatori in fisica nucleare e subnucleare sono di regola drogati 
in modo fortemente sbilanciato: un materiale di tipo p viene fortemente drogati   da un 
lato (o viceversa). In tali condizioni la zona di svuotamento verr\'' ad estendersi in 
profondit\'' nel lato P, come mostrato in figura.

La zona di svuotamento si estender\'a tanto pi\'u in profondit\'a all'interno della zona p 
quanto pi\'u elevata sar\'a la polarizzazione inversa applicata.
Si pu\'o dimostrare (vedasi ref. 2, pag. 277 o anche ref. 4, pag. 357) che la profondit\'a 
della zona di svuotamento \'e data da:

dove    \'e la tensione inversa applicata,   la concentrazione degli accettori (nell'ipotesi    
) ed   la costante dielettrica.
Come vediamo, la profondit\'a della zona di svuotamento cresce con la radice quadrata 
della tensione inversa applicata.
Se il rivelatore \'e di piccolo  spessore sar\'a facile raggiungere una tensione tale da far 
si che d divenga praticamente uguale allo spessore del detector. Si dice che il rivelatore 
\'e allora completamente svuotato. Questa condizione di lavoro \'e spesso adoperata.
Si pu\'o facilmente vedere che, per un rivelatore completamente svuotato, il campo 
elettrico decresce linearmente in funzione della distanza X della giunzione. Se la 
tensione inversa applicata \'e maggiore di quella che corrisponde al completo 
svuotamento, il campo elettrico sar\'a la somma di tale ''tensione in eccesso'' e di quella 
linearmente decrescente che corrisponde al completo svuotamento. Se la tensione 
inversa vien fatta aumentare ulteriormente, il termine costante diverr\'a quello 
dominante. Useremo nel seguito tale modello.
Dobbiamo ora esaminare i processi che hanno luogo nel rivelatore quando questo \'e 
attraversato da una particella carica. Sono possibili due situazioni estreme:
a)	la particella deposita tutta la sua energia in un punto determinato, caratterizzato da 
un determinato valore di X;
b)	la particella attraversa tutto il rivelatore, depositando energia a tutti i possibili valori 
di X.
Calcoleremo la risposta temporale del rivelatore nel caso a).
La risposta nel caso b) potr\'a poi essere ottenuta, effettuando una opportuna 
integrazione, da quella relativa al caso a). Notiamo che il diodo svuotato pu\'o essere 
assimilato ad un condensatore piano, di spessore pari allo spessore d della zona di 
svuotamento che, nel caso in esame, coincide in pratica con lo spessore fisico del 
rivelatore. Esaminiamo l'effetto che il moto di drift delle cariche (elettroni e lacune) 
liberate nella zona di svuotamento, ha sulla carica presente sulle ''armature'' del 
condensatore-diodo.
La capacit\'a del condensatore \'e:

dove A \'e la superficie delle armature.
Se la differenza di potenziale ai capi del condensatore \'e V, la sua energia sar\'a:

Una carica q, posta ad una distanza X dalla giunzione, avr\'a un'energia:

dove E \'e il campo elettrico, costante nel caso in esame. Essendo poi:    , avremo:

Se ora la carica si sposta di un tratto infinitesimo dx, la conseguente variazione della sua 
energia (cio\'e il lavoro che il campo avr1'a fatto su di essa) sar\'a:

A questo dovr\'a corrispondere una variazione dell'energia totale del condensatore:

Uguagliando le espressioni (1) e (2) si trova:
; da cui:

Nel caso in esame, le cariche che si spostano per effetto del campo elettrico sono 
l'elettrone e la lacuna prodotta nel punto di ascissa X. Esse si muoveranno in versi 
opposti ma, avendo cariche opposte, i loro effetti saranno concordi.
L'elettrone si muover\'a in direzione opposta a quella del campo elettrico (cio\'e verso 
sinistra nella figura), la lavuna nella direzione del campo.
La rispettiva velocit\'a di drift   e   (costanti se il campo \'e costante) sono date da:

dove    e    sono la rispettiva mobilit\'a (che, per il silicio a temperatura ambiente, 
valgono     1350   e     ).
La carica totale indotta dal moto dell'elettrone al tempo t sar\'a allora:

al tempo     l'elettrone avr\'a raggiunto la giunzione (che, nel modello in esame, 
rappresenta una delle armature del condensatore). La carica finale sar\'a quindi:

Analogamente, la carica indotta dal moto della lacuna al tempo  t, sar\'a:

Al tempo     essa avr\'a raggiunto l'altra armatura. La carica finale indotta dal moto 
della lacuna sar\'a allora:

La carica complessiva raccolta sar\'a:

L'andamento temporale della carica raccolta sar\'a allora quello indicato in figura (si \'e 
fatto l'ipotesi che sia   ).




Rivelatore  (pag. 18)
elettroni: La carica totale indotta dal moto dell'elettrone al tempo  t  sar\'a allora:

...
Se indichiamo con    il numero di elettroni prodotti, la corrente relativa sar\'a:

Questa sar\'a diversa da zero fino al tempo     in cui gli elettroni raggiungono l'armatura 
positiva.
...
Analogamente, la carica indotta dal moto delle lacune al tempo t sar\'a:

e la relativa corrente, per    lacuna:

Questa sar\'a diversa da zero fino all'istante

Se la radiazione incidente perde tutta la propria energia appena al di l\'a della giunzione       
, se sar\'a molto piccolo ed il contributo degli elettroni sar\'a trascurabile (la relativa 
corrente si annulla in tempi molto brevi). Sopravvive in tal caso solo il contributo delle 
lacune.



Tale risultato \'e vero nell'ipotesi in cui la polarizzazione inversa applicata al diodo sia 
sufficientemente elevata da poter considerare il campo elettrico costante nell'intera zona 
attiva.
Qualora invece la polarizzazione applicata fosse giusta quella sufficiente ad ottenere il 
completo svuotamento del rivelatore, il campo avrebbe un andamento linearmente 
decrescente andando dalla giunzione (valore massimo del campo) all'estremit\'a della 
zona attiva del rivelatore (campo nullo). In tal caso la formula ottenuta subisconoi una 
modifica. Il risultato (vedasi ref. 2) \'e:

dove     ;   \'e la costante dialettica,   la conduttivit\'a.
La forma dell'impulso di carica \'e ora quella mostrata in figura (pagina seguente).
Il parametro   determina ora il tempo di salita del segnale. In silicio abbiamo:              , 
con   espresso in .
Per

Notiamo che, non essendo presente nel caso dei rivelatori a semiconduttore alcun 
processo di moltiplicazione come quello incontrato nel caso dei tubi proporzionali, il 
segnale prodotto da un rivelatore a semicondutture \'e molto piccolo.
Si dovr\'a quindi ricorrere ad una preamplificazione del segnale prima di ogni ulteriore 
elaborazione/trasmissione dello stesso.
Si dovr\'a quindi trasformare il segnale in carica in un segnale in tensione ed a tale 
scopo si ricorrer\'a ad un amplificatore di carica.
Questo \'e illustrato nella figura che segue.

In questo circuito   sschematizza la capacit\'a associata al detector pi\'u eventuali cavetti 
di collegamento con l'amplificatoree. Poich\'e   pu\'o cambiare con la temperatura, 
scelta del punto di lavoro etc., \'e importante realizzare un circuito che fornisca una 
risposta indipendente da   . Ci\'o \'e quanto avviene nel circuito disegnato. Per vederlo, 
ammettiamo che il segnale in ingresso sia un impulso di corrente:

Facendo uso del teorema di Miller, trasformiamo il circuito nel seguente:

dove:

e X rappresenta l'impedenza del parallelo R//C:

Il parallelo di Z' e   un'impedenza (trasformata) data da:

La risposta sar\'a indipendente da    se:

In tal caso, l'espressione precedente diventa:

La tensione all'ingresso dell'operazionale sar\'a:

(poich\'e la trasformata di   di    \'e   ).
Da qui segue:

Quindi la risposta di tale amplificatore dipende solo dalla capacit\'a di feedback C. Il 
tempo di caduta del segnale dipende dal prodotto   .


\section{Il concetto di equivalent-noise-charge}

Se il segnale all'uscita del rivelatore \'e di piccola ampiezza il rumore elettronico 
introdotto dal preamplificatore diviene importante. E' questo il caso dei rivelatori a 
semiconduttore, ma anche di altri (ad esempio quelli ad Argon liquido) che non 
possiedono un meccanismo interno di moltiplicazione della carica, quale quello presente 
invece nei tubi proporzionali.
Poich\'e il segnale di tensione all'uscita del preamplificatore corrisponde ad una carica 
all'uscita del rivelatore (la carica accumulata sul condensatore d'ingresso del 
preamplificatore) si esprime il rumore osservato in uscita, cio\'e il valore quadratico 
medio    della tensione in uscita, come quella carica che dovrebbe esser presente 
all'uscita del rivelatore perch\'e si abbia all'uscita del preamplificatore una tensione pari 
a    .
Cos\'i, se indichiamo con    la capacit\'a d'ingresso del preamplificatore,   
l'amplificatore ed ENC  la equivalent noise charge avremo:

cio\'e vediamo che la ''equivalent noise charge'' \'e proporzionale a   , che quindi \'e 
opportuno abbia un valore piccolo.
Le dimensioni della ENC sono Coulomn. E\' per\'o uso comune quello di quotarla in 
''elettroni'', dividendo il valore in Coulomb per la carica dell'elettrone (1.6     Coulomb).
Nel caso di un rivelatore al silicio (o al germanio) la ENC \'e legata alla risoluzione in 
energia. Infatti, per produrre una coppia elettrone- lacuna nel silicio sono necessari 3.66 
eV. Se osservo un gran numero di eventi in ciascuno dei quali una particella di energia 
E deposita (per produzione di coppia elettrone-lacuna) tutta la sua energia nel materiale, 
il numero di coppia sar\'a:

La carica all'uscita del detector sar\'a:

e la tensione all'uscita del preamplificatore:

Se possono essere trascurate le fluttuazioni statistiche sul numero   dato dalla (*), la 
tensione in uscita dovr\'a avere un valore ben definito, uguale per tutti gli eventi. La 
distribuzione sarebbe cio\'e una funzione    . Il rumore del preamplificcatore altera 
questa situazione. Non avremo pi\'u una funzione   ma una gaussiana, la cui larghezza a 
met\'a altezza \'e legata al rumore introdotto dall'amplificatore.
Se, facendo uso della (**) e della conoscenza dei parametri   ,    , calcoliamo la 
distribuzione in energia E per il campione di eventi, la alrghezza a met\'a altezza di tale 
distribuzione sar\'a data da:

dove il fattore 2.36 \'e quello che lega la larghezza a met\'a altezza alla   della 
gaussiana.


\section{Struttura della catena di rivelazione ed amplificazione}

La funzione principale di un amplificatore di impulsi in fisica nucleare/subnucleare \'e 
quella di trasformare il debole segnale generato dal rivelatore, dopo averlo amplificato 
ed opportunamente ''sagomato'' in un impulso pi\'u adatto per la successiva 
elaborazione. Il primo passo di tale elaborazione consiste nell'immagazzinamento 
(sample and holding) del segnale analogico e nella successiva conversione dell'altezza 
dell'impulso in un numero (conversione analogico-digitale: ADC) ed eventualmente del 
tempo associato al fronte di salita del segnale in un numero (conversione tempo-
digitale: TDC).
In tale processo, il rivelatore ha il compito di convertire l'energia depositata in una 
carica elettrica, che pu\'o dar luogo ad un segnale in corrente, se la costante di tempo 
associata al rivelatore ed al successivo preamplificatore \'e piccola rispetto alla durata 
del processo che d\'a luogo al deposito di energia nel rivelatore; ad un segnale in carica 
nel caso opposto. Il rivelatore \'e seguito da un preamplificatore, che vonverte il segnale 
di carica (o, pi\'u raramente, il segnale di corrente) in un segnale di tensione, con un 
minimo contributo di rumore. Questo \'e seguito da un amplificatore-formatore, di cui ci 
occuperemo nei prossimi paragrafi. Segue poi la catena di lettura. L'informazione 
contenuta nell'impulso iniziale deve essere preservata in tale processo. A tale scopo il 
sistema preamplificatore-formatore-amplificatore deve preservare la relazione lineare 
tra l'altezza del segnale nel rivelatore e quello del segnale all'uscita dell'amplificatore, 
conservando al medesimo tempo l'informazione temporale. La forma, ampiezza e 
contenuto in rumore del segnale che il preamplificatore fornisce all'amplificatore sono 
determinati dal rivelatore e dal preamplificatore. La carica totale generata da ciascuna 
particella assorbita nel rivelatore \'e direttamente proporzionale all'energia perduta dalla 
particella che lo ha attraversato. Si tratta di cariche molto piccole, che variano tra     e     
Coulomb/impulso.
La durata dell'impulso varia a seconda del rivelatore e, per un dato rivelatore, pu\'o 
variare con il tipo di particella e con la sua energia.
La durata pi\'u breve si ha nel caso dei rivelatori a scintillazione e nei rivelatori a 
semiconduttore aventi una zona di svuotamento poco profonda. In tali casi, le durate 
tipiche tra 0.1 e 10 ns. Le durate pi\'u lunghe si hanno nel caso dei rivelatori a gas (10 
ns – 5  ).
Per ci\'o che converne l'energia convertita in carica, i fattori di conversione e nel caso 
dei rivelatori a semiconduttore sono 3.6 eV / coppia elettrone-lacuna nel silicio e 2,9 eV 
nel caso del Germanico. Non si ha processo di moltiplicazione.
Nei rivelatori a scintillazione il valore effettivo di   varia tra 3 e 30 eV/elettrone, con 
guadagni dell'ordine di     nei fotomoltiplicatori.
Nei rivelatori a gas i fattori di conversione valgono 25-35 eV/coppia elettrone-ione. I 
fattori di moltiplicazione sono dell'ordine di    nel caso dei contatori proporzionali.
Notiamo ancora che, anche nei casi in cui il segnale all'uscita del rivelatore \'e una 
corrente, \'e l'integrale di questa, cio\'e la carica, che \'e direttamente legata 
all'energia rilasciata nel rivelatore. \'E quindi necessario in tal caso integrare il segnale.
Se la costante di tempo del rivelatore \'e piccola rispetto alla durata della corrente, la 
forma del segnale in uscita sar\'a preservata ed avremo un segnale del tipo ''current-
mode''.
Se viceversa la costante di tempo \'e grande, il segnale in corrente sar\'a integrato dal 
detector ed avremo un segnale di tensione in uscita: V=Q/C, dove Q \'e la carica totale 
rilasciata nel detector e C \'e la capacit\'a d'uscita.
L'impulso di tensione avr\'a poi un decadimento esponenziale con la costante di tempo 
del rivelatore. Il tempo di salita sar\'a invece coincidente con il tempo di salita 
dell'umpulso di corrente e non dipender\'a dalla costante di tempo del rivelatore.


\section{''Formazione'' dei segnali prodotti da rivelatori di particelle}

Sa quanto si \'e visto nei paragrafi precedenti, il segnale all'uscita del rivelatore \'e nella 
pi\'u gran parte dei casi un segnale in carica che, opportunamente integrato, fornisce un 
segnale in tensione. Tale segnale ha in genere un piccolo tempo di salita (determinato 
dalla piccola costante di tempo del rivelatore) ma un tempo di decadimento molto lungo 
(qualche decina di   ) . In prima approssimazione possiamo approssimare il segnale 
come mostrato in figura:

L'altezza del segnale \'e proporzionale all'energia rilasciata.
Il problema che qui si incontra \'e costituito dal fatto che, lavorando a rates elevati, i 
successivi impulsi vengono a sommarsi, di modo che l'altezza di un impulso \'e la 
somma della propria e delle code di quelli che lo hanno preceduto, come illustrato nella 
figura che segue:

Tale fenomeno \'e noto come ''pile-up''.
Ci\'o che occorrerebbe \'e la possibilit\'a di trassformare i segnali in impulsi abbastanza 
stretti da evitare problemi di pile-up, conservando per\'o l'informazione sull'altezza 
d'impulso.
Un metodo spesso adoperato a tale scopo \'e quello noto come CR-RC shaping, cio\'e 
un circuito che effettua prima una differenziazione e poi un'integrazione del segnale.
Il circuito che effettua tale operazione \'e mostrato in figura.

Gli inseguitori di tensione con amplificazione unitaria hanno lo scopo di disaccoppiare 
in continuo.
La funzione di trasferimento del circuito \'e:

Se l'impulso di tensione all'uscita del rivelatore (o dell'integratore alla sua uscita) \'e un 
esponenziale caratterizzato da una costante di tempo molto grande, possiamo 
schematizzarlo approssimativamente con un gradino di tensione. La tensione in uscita 
dal formatore sar\'a data dall'antitrasformata di:

L'antitrasformata pu\'o essere ricavata seguendo il procedimento adottato a pag. 7.
a)	per

b)	per

La forma di tali impulsi, simile nei due casi indicati, \'e qualitativamente indicata nella 
figura che segue:

Notiamo che nel primo caso il massimo si ha per:

Il corrispondente valore di    pu\'o facilmente essere ottenuto dalla (1).
Ponendo:            , troviamo:

Per     troviamo invece

La scelta delle costanti di tempo dipende in primo luogo dalla costante di tempo del 
rivelatore, cio\'e dal tempo necessario per la raccolta della carica. Se si vuol ridurre il 
pile-up \'e desiderabile scegliere dei valori il pi\'u piccoli possibile, in modo da 
assicurare un rapido ritorno allo zero del segnale in uscita. D'altro canto, il risultato che 
abbiamo ottenuto era basato sull'ipotesi che il segnale all'ingresso del formatore CR-
RC fosse molto lungo, in modo da poterlo approssimare con un gradino.
Se il segnale ha invece un piccolo tempo di decadimento   , la funzione di trasferimento 
continuer\'a ad esser data dall'equazione (*) a pag. 25, ma la trasformata dell'input (che 
\'e un esponenziale) sar\'a:                    e la trasformata dell'output sar\'a:

Si pu\'o risolvere tale equazione e far vedere che la soluzione ha l'aspetto mostrato in 
figura:

Cio\'e il segnale raggiunge un massimo, ridiscende fino a raggiungere valori negativi e 
poi risale lentamente verso lo zero. Tale discesa a valori negativi (in realt\'a l'impulso 
\'e in genere negativo, e si ha poi una risalita verso valori positivi ed una lenta ridiscesa 
verso lo zero) causa un pil-up di segnali (questa volta il successivo segnale ''siede sulla 
coda di un impulso negativo) ed \'e un difetto da correggere(*).
Notiamo per inciso che la ''coda'' \'e dovuta alla costante di tempo   dell'amplificatore.
La ( ) a pagina 27 ha uno zero a numeratore e tre poli in
Se si riesce a trasformare la () in una funzione priva di zeri e con solo due poli (come 
era la ** a pag. 25, il problema sar\'' risolto. La soluzione \'e stata trovata da Nowlin e 
Blankenship (Review of Scientific Instruments, 36, 1830 (1965) ed \'e nota come ''pole-
zero cancellation''.
La modifica da apportare al circuito consista nel porre una resistenza in parallelo al 
condensatore che effettua la differenziazione, come mostrato nella figura che segue:

La funzione di trasferimento \'e:

che, ponendo:


pu\'o essere messa nella forma:

La trasformata della risposta all'esponenziale:      sar\'a:

Scegliendo ora R e   in modo tale che   si ottiene:

Cio\'e abbiamo una risposta del tipo desiderato.
Possiamo scegliere ancora    in modo tale che   sia uguale al vecchio valore di   , ed il 
risultato sar\'a esattamente quello voluto.
Notiamo che, con il procedimento adottato abbiamo ''spostato'' la posizione dello zero 
della funzione di trasferimento iniziale (  a pagina 27) in uno zero nel punto      ed 
abbiamo fatto in modo che   fosse giusto uguale alla costante di tempo    
dell'esponenziale in ingresso, in modo tale da ''cancellare'' lo zero con il polo in:       . 
Di qui l'origine del nome.


\section{Altri metodi di ''shaping'' dei segnali}

Esistono molti altri metodi per la formazione (shaping dei segnali). Dettagli possono 
esser trovati nelle referenze:
(1) a pagg. 91 e seguenti (trattazione dettagliata)
(2) a pagg. 272-275 (pochi cenni qualitativi)
(3) 
(4) pagg. 564-582) (trattazione dettagliata).
Ci limiteremo qui ad accennare ad alcuni dei metodi seguiti.
a) Shaping                 (o Gaussiano)
Se facciamo seguire ad un singolo circuito CR (differenziatore)      circuito RC 
(integratori) si ottiene un impulso in uscita che \'e, con buona approssimazione, una 
gaussiana. Se tutte le costanti di tempo sono uguali a     , la soluzone \'e:

In pratica, un circuito       da gi\'a dei buoni risultati.
In tale circuito, il tempo necessario perch\'e il segnale raggiunga il suo valore massimo 
\'e     , ed \'e quindi pi\'u lungo di quello ottenibile con un semplice circuito CR-RC. 
Tuttavia la discesa a zero  \'e molto pi\'u rapida ed il ppileup \'e quindi ridotto. Il 
metodo dello shaping gaussiano ha inoltre anche il vantaggio di migliorare il rapporto 
segnale/rumore.

b) Shaping triangolare
\'E stato dimostrato che l'ottimo dal punto di vista del rapporto segnale-rumore \'e 
ottenibile con un circuito che fornisca un segnale triangolare. \'E possibile approssimare 
tale comportamento facendo uso di filtri attivi.


\section{Spostamento della linea di zero}

Con tale termine si intende il fatto che un segnale periodico (o all'incirca periodico) il 
cui valor medio sia diverso da zero, acquista un valor medio zero se lo si fa passare 
attraverso un condensatore. Ci\'o \'e legato al fatto che un condensatore non pu\'o 
trasmettere una componente continua. Poich\'e i formatori (shapers) che abbiamo 
descritto utilizzano tutti dei condensatori in serie per effettuare la differenziazione del 
sengale, questo sar\'a inevitabilmente spostato in modo che il valor medio sia nullo 
(vedi figura).

Tale fwenomeno (comunemente indicato come ''baseline shift'' causa un'alterazione 
dell'ampiezza dei singoli impulsi, normalmente riferita allo zero. Si pu\'o inoltre vedere 
che lo spostamento dipende dalla frequenza di arrivo degli impulsi, il che lo rende 
ancora pi\'u noioso.
Si pu\'o ovviare a tale problema essenzialmente con due tecniche diverse.
La prima di queste, nota come ''baseline restoration'' consiste nell'utilizzo di appositi 
circuiti che ''riportano'' il segnale a zero dopo ciascun impulsio.
Per dettagli, si vedano le ref. 1 e 4.
La seconda tecnica consiste nel trasformare l'impulso unipolare come quello fin qui 
ipotizzato, in un impulso bipolare. Questo ha gi\'a un valor medio nullo e non subisce 
quindi alcuno ''shift'' nell'attraversare un condensatore. L'impulso bipolare \'e ottenuto 
da quello unipolare  facendo in modo che questo subisca una ''riflessione'' e facendo poi 
segnare al segnale iniziale quello riflesso, come qualitativamente indicato in figura.

Il metodo pi\'u ovvio per realizzare tale riflessione dell'impulso \'e quello di ricorrere 
ad una linea di ritardo cortocircuitata ad un'estremit\'a.
Poich\'e il coefficiente di riflessione    di una linea avente impedenza caratteristica   , 
chiusa su di una resistenza R \'e:

Si vede che per R=0     . Un gradino sar\'a quindi trasformato in un segnale rettangolare 
di durata pari al doppio del ritardo caratteristico della linea.
Uno schema tipico \'e mostrato in figura:

Se a questa prima riflessione se ne fa seguire una seconda, come mostrato nella parte 
destra della figura, si ottiene un impulso bipolaree. Questo non presenta pi\'u il 
problema del ''basaline shift'', ma ha l'inconveniente di uno spettro di Fourier molto 
ampio, con conseguente necessit\'a di amplificatori ad ampia banda passante il che 
introduce un elevato livello di rumore.
Per ovviare a tale inconveniente conviene integrare il segnale all'uscita della seconda 
linea di ritardo, ottenendo in tal modo un segnale triangolare, come mostrato nella 
figura che segue:

Il segnale cos\'i ottenuto \'e nuovamente positivo e presenta quindi nuovamente il 
problema della ''baseline shift''. Una seconda differenziazione con una ''delay line'' lo 
trasformer\'a nuovamente in un segnale bipolare, conservando la forma triangolare, che 
\'e molto buona dal punto di vista del rumore.
Un metodo alternativo per ottenere un impulso bipolare \'e quello di effettuare una 
seconda differenziazione dopo la prima formazione CR-RC. Si asoperer\'a cio\'e un 
sistema CR-RC-CR. Questo schema \'e mostrato in figura, insieme alla forma d'onda 
che ne risulta.

Vediamo che ora lo spostamento dello zero \'e meno severo di quello che si ha con 
segnali unipolari.
Tuttavia le aree sopra e sotto l'asse non sono esattamente uguali, quindi un piccolo 
spostamento dello zero \'e sempre presente.


\section{Deficit balistico e scelta delle costanti di tempo}

Un segnale formato con un sistema CR-RC ha un andamento temporale dato dalla (1) a 
pag. 26, che possiamo riscrivere nella forma (ammettendo      ):

dove abbiamo posto:

Possiamo vedere che    \'e legato al tempo di discesa del segnale e     a quello di salita. 
Vediamo infatti che per     , l'espressione in parentesi diventa:

che descrive un esponenziale crescente con costante    .
Analogamente, per     l'espressione in parentesi si riduce a :

cio\'e ad un esponenziale decrescente con costante di tempo    .
Ammettiamo ora che il tempo di salita     sia quello caratteristico del rivelatore 
medesimo. L'altezza dell'impulso associato al segnale \'e proporzionale all'energia 
rilasciata dalla particella nel rivelatore. Il segnale di tensione tenderebbe a divenire 
asintoticamente uguale a tale valore, se il termine         non intervenisse a farlo scendere 
verso lo zero. Ci\'o \'e illustrato nella figura che segue. Alla differenza tra il valore 
asintotico che il segnale tenderebbe ad acquistare per effetto dell'integrazione ed il 
valore massimo che esso effettivamente raggiunge prima di ricominciare a scendere per 
effetto della differenziazione, si d\'a il nome di ''deficit balistico''.

Si potrebbe pensare di ridurre il deficit balistico scegliendo un valore di    molto grande. 
Tale scelta va per\'o contro l'esigenza di avere dei segnali corti, per evitare il fenomeno 
del ''pile-up''.
Nella figura che segue \'e mostrato l'andamento ottenuto facendo uso della (*) a pag. 36 
(con A=1) fissando   a    e facendo variare    tra      (curva inferiore) e      (curva 
superiore) in steps di 2   .

Se si fa uso di una shoping triangolare, con:
 e poniamo
la risposta in frequenza dell'am...... sar\'a:

La tensione quadratica media di rumore \'e allora:

Ammettiamo ora che Q sia la carica che il rivelatore deposita sulla capacit\'a d'ingresso 
dell'amplificatore ( ). Se   \'e il guadagno dell'amplificatore, il segnale in uscita sar\'a:

Tuttavia, in presenza di uno shoping triangolare, con     , il guadagno \'e ridotto di un 
fattore   . Cio\'e:

La ENC si ottiene uguagliando la (1) ed il quadrato della 2:


I primi due termini non dipendono da   , i restanti due ne dipendono.
Ci\'o \'e legato al fatto che per i primi due termini la sorgente di rumore, come il 
segnale, pu\'o esser considerata in parallelo alla capacit\'a

Per i rimanenti due la sorgente di rumore \'e in serie.
Esaminiamo ora la dipendenza del rumore da  .
Riserviamo a tale scopo la (3) nella forma:

Avremo un minimo quando la derivata prima si annulla:

(La derivata seconda \'e:
Sostituendo questo    nella (4) si trova il minimo valore del ENC:

Vediamo che con questa scelta i primi due termini contribuiscono in ugual misura. Essi 
corrispondono rispettivamente al rumore termico nella resistenza di gate ed allo shot 
noise nella corrente di gate.
Sostituendo valori numerici tipici si trova che    deve essere almeno dell'ordine dei   . 
Questo valore \'e troppo alto se si lavora a ratei elevati.
Scegliendo valori di    molto minori di quello ottimale, il contributo del rumore termico 
nel canale diviene dominante sui primi due. Se il rumore 1/f pu\'o essere trascurato, il 
rumore complessivo avviene:

o anche:

Inoltre     pu\'o esser diviso in due pezzi: la capacit\'a esterna    all'amplificatore (cavi, 
rivelatore, etc.) e quella     del FET:

Nel caso dei preamplificatori commerciali, i produttori quotano le costanti   e    (per 
valori dati di  ), in opportune unit\'a (vedi sotto).

ENC \'e espressa in Coulomb e anche in numero di elettroni.
Nel caso dei rivelatori a semiconduttore    FWHM Kev (Silicio)



Referenze

1.	E. Kowalski: ''Nuclear Eletronics''. Springer-Verlag, 1970.
2.	W.R. Leo: ''Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments''. Springer-
Verlag, 1987.
3.	Hai Hung Chiang: ''Basic Nuclear Electronicas''. Wiley-Interscience, 1969.
4.	Glenn F. Knoll: ''Radiation detection and measurement''; John Wiley and Sons, 
1989.




(*) In realt\'a il moto degli ioni verso il catodo induce un segnale in corrente. Questo \'e per\'o integrato 
dalla capacit\'a del rivelatore, producendo cos\'i un segnale di tensione.
(*) Questo \'e noto come ''undershoot''.
\end{document}