
\documentclass{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{sw20bams}
\usepackage{latexsym}

%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Created=Fri May 31 16:03:16 2002}
%TCIDATA{LastRevised=Sun Feb 17 18:04:00 1980}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="Journal Articles\Similar to Bulletin of the American Mathematical Society">}
%TCIDATA{Language=American English}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX article (bright).cst}

\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\input{tcilatex}

\begin{document}

\author{Filippo Banti}
\title{Solitoni ed applicazioni nei plasmi}
\date{1 Giugno 2002}
\maketitle

\begin{abstract}
Sono passati quasi trenta anni da quando per la prima volta ha fatto
l'ingresso nell'ambito della terminologia scientifica il termine \textbf{%
solitone.} Da quel momento in poi grazie all'uso di macchine calcolatrici
sempre pi\`{u} veloci e al maggior numero di studiosi che cominciarono ad
indagare nel campo delle equazioni non lineari, gli sviluppi sono stati
notevolissimi ed ancora oggi in atto.

In questo documento mostrer\`{o} le caratteristiche generali di un'onda
solitonica, fornendo anche alcuni esempi. In seguito passer\`{o} ad
analizzare alcune delle pi\`{u} recenti applicazioni di questa teoria nei
plasmi.

\newpage
\end{abstract}

\tableofcontents

\bigskip

\bigskip

\bigskip \newpage

\section{Aspetti generali dei Solitoni}

\subsection{La scoperta delle onde solitarie}

Un'onda solitaria,o grande onda di traslazione, fu osservata per la prima
volta sul canale tra Edimburgo e Glasgow nel 1843 da J. Scott Russell.

Russel descrisse cos\`{i} la sua scoperta alla British Association nel 1844:

\begin{quotation}
''\textit{I belive I shall best introduce this phaenomenon by descibing the
circumstances of my first acquintance with it. I was observing the motion of
a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair of horses,
when the boat suddenly stopped- not so the mass of water in the channel
which it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel in a
state of violent agitation, then suddenly leaving it behind, rolled forward
with great velocity assuming the form of a large \textbf{solitary}
elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of water, wich continued
its course along the channel apparently without change of form or diminution
of speed. I followed it on horseback, and overtook it still rolling on at a
rate of some eight or nine miles an hour, preserving its original figure
some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height. Its height
gradually diminished, and after a chase of one or two miles i lost it in the
windings of the channel.''}

\bigskip
\end{quotation}

Russel esegu\`{i} anche alcuni esperimenti in laboratorio; gener\`{o} onde
solitarie facendo cadere dei pesi in un piccolo canale d'acqua.

\bigskip

\FRAME{ftbpFU}{4.5896in}{2.2157in}{0pt}{\Qcb{L'onda solitaria di Russel: un
diagramma del suo sviluppo. (a) L'inizio. \ \ \ \ \ \ \ \ \ (b) In seguito.
(After Russel 1844)}}{\Qlb{Russel1}}{onderussel1.jpg}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file "F";width
4.5896in;height 2.2157in;depth 0pt;original-width 9.0935in;original-height
3.2811in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'OndeRussel1.JPG';file-properties "XNPEU";}}

\bigskip

Egli dedusse empiricamente che il volume di acqua nell'onda era uguale a
quello spostato dal peso, e che la velocit\`{a} stabile c dell'onda era data
da:

\begin{equation}
c^{2}=g(h+a)  \label{velocità}
\end{equation}

dove g \`{e} l'accelerazione di gravit\`{a}, a l'ampiezza dell'onda e h il
livello dell'acqua non perturbata, come mostrato in (\ref{Russel2}).
Osserviamo che un'onda pi\`{u} alta viaggia pi\`{u} velocemente di una bassa.

Russel prov\`{o} anche a generare onde di depressione, sollevando un peso
dall'acqua piuttosto che lasciandovelo cadere. Not\`{o} per\`{o} che in tal
modo si generavano dei treni d'onda la cui lunghezza aumentava col tempo, e
l'ampiezza diminuiva. (\ref{Russel3}).

Matematicamente si defin\`{i} quindi \textbf{onda solitaria }la soluzione $%
u(x,t)\in R$ di una equazione alle derivate parziali tale che la sua
dipendenza da $x\in R$ e $t\in R$ sia della forma $u(x,t)=u(x-ct)$ ; con le
propriet\`{a} che $\forall t$ fissato $\lim_{x\rightarrow -\infty }=a$ e $%
\lim_{x\rightarrow \infty }=b$ , dove $a$ e $b$ sono due costanti che alcune
volte in letteratura vengono richieste essere uguali a zero(ma ci\`{o}
comporta soltanto una restriziopne della classe di queste soluzioni).

\FRAME{ftbpFU}{4.6259in}{1.9882in}{0pt}{\Qcb{La configurazione ed i
parametri per la descrizione di un'onda solitaria.}}{\Qlb{Russel2}}{%
onderussel2.jpg}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width
4.6259in;height 1.9882in;depth 0pt;original-width 8.8124in;original-height
3.7706in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'OndeRussel2.JPG';file-properties "XNPEU";}}

\FRAME{ftbpFU}{3.7983in}{2.4846in}{0pt}{\Qcb{L'osservazione di Russel delle
onde oscillanti: stadi successivi del loro sviluppo. (Dopo Russel 1844.)}}{%
\Qlb{Russel3}}{onde-russel3.jpg}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width
3.7983in;height 2.4846in;depth 0pt;original-width 10.5524in;original-height
6.8856in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'Onde-Russel3.JPG';file-properties "XNPEU";}}

\subsection{L'equazione di Korteweg-De Vries}

Boussinesq (1871) e Rayleigh (1876) scoprirono indipendentemente che le onde
solitarie erano di lunghezza molto superiore alla profondit\`{a} dell'acqua,
e dedussero la formula (\ref{velocità}) che Russel aveva ottenuto
empiricamente per la velocit\`{a} c dalle equazioni del moto di un fluido
incompressibile e non viscoso.

Nel 1895 Korteweg e De Vries svilupparono questa teoria, e trovarono una
equazione che regolava il moto di un'onda lunga, debolmente non lineare:

\begin{equation}
\frac{\partial \zeta }{\partial t}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{g}{h}}(\zeta \frac{%
\partial \zeta }{\partial x}+\frac{2}{3}\alpha \frac{\partial \zeta }{%
\partial x}+\frac{1}{3}\sigma \frac{\partial ^{3}\zeta }{\partial x^{3}})%
\text{ \ \ ,}  \label{KdV}
\end{equation}
dove $\alpha $ \`{e} una piccola costante arbitraria, $\sigma =\frac{1}{3}%
h^{3}-\frac{Th}{g\rho }$, e T \`{e} la tensione superficiale del liquido di
densit\`{a} $\rho .$ Questa \`{e} la forma originale dell'equazione di
Korteweg-De Vries (KdV). Osserviamo che nell'approssimazione usata per
derivare questa equazione l'onda \`{e} considerata propagarsi nel verso
crescente delle x. Del resto \`{e} sufficente cambiare il segno del termine
a sinistra in $-\frac{\partial \zeta }{\partial t}$\textit{\ }per descrivere
la propagazione nell'altro verso\textit{.}

Prima di ricavare la soluzione esplicita di (\ref{KdV}) facciamo qualche
osservazione di carattere pi\`{u} generale. Innanzitutto risscriviamo tale
equazione nella forma standard

\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}+(1+u)\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{%
\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}=0  \label{KdVstandard}
\end{equation}

\noindent e vediamo le propriet\`{a} di onde di piccola ampiezza. Per fare
ci\`{o} linearizziamo la precedente ottenendo

\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial
^{3}u}{\partial x^{3}}=0
\end{equation}

Per questa equazione linearizzata la soluzione pu\`{o} essere rappresentata
come sovrapposizione di componenti di Fourier. Dunque eseguiamo la
sostituzione $u\propto e^{i(kx-\omega t)}$ ; ne segue

\begin{equation}
\omega =k-k^{3}\text{ \ \ ,}
\end{equation}

Questa \`{e} la relazione di dispersione, che lega la frequenza $\omega $ al
modulo del vettore d'onda $k$. Da essa si pu\`{o} dedurre la velocit\`{a} di
fase c,

\begin{equation}
c=\frac{\omega }{k}=1-k^{2}
\end{equation}

che ci d\`{a} la velocit\`{a} del fronte d'onda di un singolo modo, e la
velocit\`{a} di gruppo c$_{g}$,

\begin{equation}
c_{g}=\frac{d\omega }{dk}=1-3k^{2}
\end{equation}

che ci fornisce la velocit\`{a} del pacchetto d'onde, ovvero di un gruppo di
onde che hanno circa la stessa lunghezza $\frac{2\pi }{k}$ .

Poich\`{e} la velocit\`{a} di fase dipende da $k$ , componenti di grande
lunghezza d'onda viaggeranno pi\`{u} velocemente, causando una dispersione
del pacchetto. Osservando la relazione di dispersione si capisce che il
termine responsabile della dispersione \`{e} proprio quel k$^{3}$, e dunque
il termine $\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}$ nella KdV. Invece
generalmente le nonlinearit\`{a} conducono ad una concentrazione delle
perturbazioni. Per vedere questo scriviamo la (\ref{KdVstandard}) senza la
parte dispersiva:

\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}+(1+u)\frac{\partial u}{\partial x}=0
\label{nonlineare}
\end{equation}

Basti sapere che utilizzando il metodo delle caratteristiche,(la cui
trattazione matematica esula dallo scopo del testo), si pu\`{o} mostrare che
la soluzione generale di (\ref{nonlineare}) \`{e} data da:

\begin{equation}
u(x,t)=f\left[ x-(1+u)t\right]
\end{equation}

con $f$ funzione arbitraria determinata con l'assegnazione della condizione
iniziale a $t=0$.

Evidentemente questa non \`{e} un'espressione analitica esplicita della
soluzione. Si pu\`{o} per\`{o} notare che la velocit\`{a} di propagazione
dipende dall'ampiezza del profilo; di conseguenza i punti dove $u$ ha valori
pi\`{u} alti si muoveranno pi\`{u} velocemente. Ci\`{o} causer\`{a}
l'aumento della perturbazione, fino a generare una discontinuit\`{a}, o
''Shock wave''. (\ref{Shock})

Per concludere questa analisi qualitativa possiamo quindi anticipare l'idea
di fondo; ovvero che gli effetti combinati di vari termini (dispersione,
nonlinearit\`{a}, dissipazione) possono bilanciarsi tra loro, dando luogo a
profili che rimangono inalterati durante l'evoluzione temporale.

\FRAME{ftbpFU}{5.0012in}{2.9801in}{0pt}{\Qcb{Schizzo dell'allargamento non
lineare di un'onda mentre si sviluppa. (a) t=0. (b) Successivamente}}{\Qlb{%
Shock}}{shock-wave.jpg}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width
5.0012in;height 2.9801in;depth 0pt;original-width 10.4997in;original-height
6.2396in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'Shock-wave.JPG';file-properties "XNPEU";}}

\bigskip

\subsection{Interazioni solitoniche}

\bigskip

\bigskip Nel 1955 E. Fermi, J. Pasta e S: Ulam affrontarono un problema
legato alla fisica dello stato solido, che consisteva nel capire perch\`{e}
la conducibilit\`{a} termica nei solidi avesse un valore finito. Per far
ci\`{o} essi pensarono di simulare numericamente, attraverso l'uso di un
calcolatore, una catena unidimensionale di atomi tra i quali le forze oltre
alla parte armonica avessero anche un contributo non lineare. Loro pensavano
che proprio a causa della non-linearit\`{a} delle forze interatomiche da
loro simulate se si fosse partiti da una condizione in cui l'energia era
concentrata in un solo modo, essa avrebbe dovuto redistribuirsi anche su
tutti gli altri. Con sorpresa invece le loro aspettative furono disattese.
Cio\`{e} l'energia che inizialmente veniva fornita al modo pi\`{u} basso
della catena lineare si distribuiva sugli altri senza tendere ad un
equilibrio, e spesse volte si raccoglieva di nuovo sul modo di partenza. La
conclusione era che il sistema non termalizzava.

\subsubsection{Il lavoro di Zabusky e Kruskal}

Esaminando il modello di Fermi-Pasta-Ulam di fononi in un reticolo
anarmonico, Zabusky e Kruskal (1965) riuscirono a dedurre l'equazione KdV
Essi considerarono il seguente problema ai valori iniziali, in un dominio
periodico:

\begin{equation}
u_{t}+uu_{x}+\delta u_{xxx}=0
\end{equation}

dove $u(2,t)=u(0,t)$ , $u_{x}(2,t)=u_{x}(0,t)$ , $u_{xx}(2,t)=u_{xx}(0,t)$ \
\ \ per tutti i t,

e $u(x,0)=\cos (\pi x)$ \ per 0 $\leq $ x $\leq 2.$

\bigskip

\bigskip La figura (\ref{ottosoli}) mostra la soluzione a vari $t$ fissati.
Si nota come inizialmente i termini dominanti siano i primi due, per cui si
nota il progressivo formarsi di una discontinuit\`{a}. Successivamente
per\`{o} il peso del termine dispersivo $u_{xxx}$ inizia ad avere il ruolo
di stabilizzazione della soluzione, evitando la formazione di tale
singolarit\`{a}. Anzi iniziano a delinearsi dei profili sotto forma di
impulsi localizzati simili a quelle che vedremo essere le soluzioni della
KdV.

Scoprirono quindi che,dopo un certo tempo, la soluzione era costituita da un
treno di otto onde solitarie (vedi \ref{ottosoli}) , ognuna del tipo Sech(x)$%
^{2}$ , e che queste onde si muovevano le une attraverso le altre, fino a
che lo stato iniziale, (o uno molto vicino ad esso) ritornava.L'unico
effetto notato a seguito delle interazioni tra le varie onde era la comparsa
di uno sfasamento. L'evidenza di una interazione non lineare derivava poi
dal fatto che nella loro sovrapposizione l'ampiezza risultante era minore
della somma dei singoli impulsi separati. Kruskal e Zabusky assegnarono a
tali impulsi il nome di \textit{solitoni.} Proprio questa scoperta che onde
fortemente nonlineari possano interagire e poi proseguire come se non lo
avessero mai fatto , port\`{o} ad un intenso studio delle propriet\`{a}
analitiche e numeriche di molti tipi di solitoni.

\bigskip

\QTP{Body Math}
\bigskip Un \textbf{solitone }non \`{e} pertanto precisamente definito, ma
\`{e} usato per descrivere ogni soluzione di equazione o sistema non lineare
che (i) rappresenta un'onda di forma permanente; (ii) \`{e} localizzata,
decadendo o diventando costante ad infinito; e (iii) pu\`{o} interagire
fortemente con altri solitoni cos\`{i} che dopo l'interazione mantenga la
sua forma, come se il principio di sovrapposizione fosse valido.

\QTP{Body Math}
\bigskip

Infatti in greco la parola ''$\omega \nu "$ significa ci\`{o} che esiste,
solitario. Da quanto detto segue che un'onda solitaria pu\`{o} essere
definita in maniera pi\`{u} generale che la soluzione della KdV; anzi, ogni
soluzione di un sistema non lineare di forma permanente lo \`{e} , anche se
non deve necessariamente avere caratteristiche solitoniche.

\begin{example}
L'equazione $u_{tt}-u_{xx}-u-u^{3}=0$ ammette come soluzioni onde solitarie
del tipo: $u(x-vt)=\pm \tanh \left[ \gamma (x-vt)/\sqrt{2}\right] $ ; dove $%
\gamma =1/\sqrt{1-v^{2}}.$
\end{example}

\bigskip Tuttavia esse non sono dei solitoni. Infatti se si fanno interagire
due di esse dopo il processo si interazione non hanno pi\`{u} gli stessi
profili iniziali.

\FRAME{ftbpFU}{4.4642in}{2.8055in}{0pt}{\Qcb{Evoluzione temporale del
profilo ondoso, soluzione del problema con valori al bordo di Zabusky e
Kruskal. }}{\Qlb{ottosoli}}{otto solitoni.jpg}{\special{language "Scientific
Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file
"F";width 4.4642in;height 2.8055in;depth 0pt;original-width
7.4581in;original-height 4.6769in;cropleft "0";croptop "1";cropright
"1";cropbottom "0";filename 'Otto solitoni.JPG';file-properties "XNPEU";}}

\newpage

\section{\protect\bigskip Esempi di equazioni non lineari aventi soluzioni
solitoniche}

\bigskip

Le equazioni aventi la propriet\`{a} di possedere soluzioni solitoniche
possono essere divise in due categorie: equazioni relativisticamente
invarianti e \textit{non }relativisticament invarianti. Alla prima classe
appartiene, per esempio, l'equazione di Sine-Gordon; alla seconda la KdV,
l'equazione di Burges, etc...

\bigskip

\subsection{\protect\bigskip Soluzione esatta della KdV}

Partiamo dall'equazione KdV in forma standard

\bigskip 
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}-6u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial
^{3}u}{\partial x^{3}}=0
\end{equation}

e cerchiamo soluzioni che abbiamo un profilo e una dimensione permanenti,
cio\`{e} tali che:

\begin{equation}
u(x,t)=f(X)\text{ \ e \ }X=x-ct
\end{equation}

per certe funzioni f, con velocit\`{a} costante c. Sostituendo nella (\ref
{KdVstandard}) otteniamo

\begin{equation}
-cf^{\prime }-6ff^{\prime }+f^{\prime \prime \prime }=0
\end{equation}

dove l'apice indica la derivazione rispetto ad $X.$ Integrando ambo i membri:

\begin{equation}
f^{\prime \prime }=3f^{2}+cf+A
\end{equation}

con A costante di integrazione. Integrando una seconda volta, dopo aver
moltiplicato per $f^{\prime }$ tutti i termini:

\begin{equation}
\frac{1}{2}f^{\prime ^{2}}=f^{3}+\frac{c}{2}f^{2}+Af+B
\end{equation}

\bigskip dove B \`{e} un'altra costante di integrazione.

Per risolvere questa equazione imponiamo le condizioni al contorno $%
f,f^{\prime },f^{\prime \prime }\rightarrow 0$ per $X\rightarrow \pm \infty
. $

Deve perci\`{o} essere $A=B=0$ ; quindi risulta che:

\begin{equation}
\int \frac{df}{f\sqrt{(2f+v)}}=\pm X  \label{KdVintegrale}
\end{equation}

dove si suppone $2f+v>0$ per ottenere soluzioni reali. Se calcoliamo
l'integrale (\ref{KdVintegrale}) otteniamo il profilo

\begin{equation}
u(x-vt)=f(x-vt)=-\frac{v}{2}Sech^{2}\left[ \frac{\sqrt{v}}{2}(x-vt-x_{0})%
\right]  \label{profiloKdV}
\end{equation}

con $v\geq 0$ ; $X_{0}$ \`{e} una costante di integrazione che rappresenta
la posizione della massima ampiezza dell'onda solitaria a $t=0.$

Nella figura (\ref{Sech}) \`{e} rappresentato il profilo (\ref{profiloKdV})

\bigskip \FRAME{ftbpFU}{259.5pt}{160.25pt}{0pt}{\Qcb{Profilo della soluzione
con v=1,x$_{0}=0$ e t=0.}}{\Qlb{Sech}}{Figure }{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"FULL";valid_file "T";width 259.5pt;height 160.25pt;depth 0pt;original-width
256.0625pt;original-height 157.375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright
"1";cropbottom "0";tempfilename '5AAWOT00.wmf';tempfile-properties "XPR";}}

\bigskip

Dal fatto che la velocit\`{a} di propagazione dell'onda solitaria sia
positiva ne segue che tali onde possono propagarsi solo in una direzione.
L'altro aspetto importante da notare \`{e} che, come abbiamo gi\`{a}
osservato in precedenza, la velocit\`{a} cresce al crescere dell'ampiezza.
Questo \`{e} un comportamento tipico di alcune equazioni non lineari e non
ha un corrispondente nel caso lineare, in cui le velocit\`{a} di
propagazione sono del tutto indipendenti dall'ampiezza dell'onda.

\subsection{L'equazione di burges}

Ecco un altro esempio di equazione contenente non-linearit\`{a} e
dissipazione:

\begin{equation}
u_{t}+uu_{x}-u_{xx}=0
\end{equation}

Se imponiamo le condizioni al contorno $u\rightarrow u_{0}$ per $%
x\rightarrow -\infty $ e $u\rightarrow 0$ per $x\rightarrow \infty $ ammette
come soluzione la seguente onda solitaria:

\[
u(x)=\frac{u_{0}}{2}[1-Tanh(\frac{u_{0}(x-vt)}{4}+x_{0})] 
\]

\subsection{L'equazione di Sine-Gordon}

Questa equazione storicamente molto importante \`{e} della forma

\begin{equation}
u_{tt}-u_{xx}+\func{Si}n(u)=0  \label{Sine}
\end{equation}

ed ammette le seguenti onde come soluzione

\begin{equation}
u(x,t)=u(x-vt)=4Arc\tan [\exp [\pm (\frac{x-vt-x_{0}}{\sqrt{1-v^{2}}})]]
\end{equation}

dove quella col segno + \`{e} chimata Kink, e quella col - Antikink.

\FRAME{ftbpFU}{3.1592in}{2.3869in}{0pt}{\Qcb{Profilo del Kink per t=0 e v=0.}%
}{\Qlb{kink}}{kink.jpg}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width
3.1592in;height 2.3869in;depth 0pt;original-width 5.0004in;original-height
3.7706in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'Kink.JPG';file-properties "XNPEU";}}

\bigskip

Oltre a queste due soluzioni, l'equazione di Sine-Gordon ne ammette altre,
che descrivono i processi di interazione Kink-Kink o Kink-Antikink(Breather).

L'importanza consiste nel fatto che il Breather \`{e} interpretabile come
uno stato legato solitone anti-solitone. Ne risulta una analogia piuttosto
stringente tra il comportamento dinamico dei solitoni e le particelle
elementari. Riguardo questo argomento pu\`{o} risultare interessante operare
una piccola digressione.

\FRAME{ftbpFU}{3.5094in}{2.821in}{0pt}{\Qcb{Breather}}{}{breather.jpg}{%
\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.5094in;height 2.821in;depth
0pt;original-width 7.4581in;original-height 5.9897in;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'Breather.JPG';file-properties
"XNPEU";}}

\subsubsection{La teoria di De-Broglie della doppia soluzione}

L'idea di fondo pu\`{o} cos\`{i} essere sintetizzata: lo stato di una
particella elementare viene rappresentato da due funzioni

\begin{equation}
\varphi (x,y,z,t)=\exp [i\overline{\theta }(x,y,z,t)]\Phi (x,y,z,t)
\end{equation}

\begin{equation}
\psi (x,y,z,t)=\exp [i\theta (x,y,z,t)]\Psi (x,y,z,t)
\end{equation}

dove $\varphi $ soddisfa una certa equazione di evoluzione non-lineare e $%
\psi $ soddisfa l'equazione di Schroedinger. Inoltre De Broglie suppone che
la relazione $\theta =\overline{\theta }$ tra le fasi delle due onde sia
valida in ogni punto dello spazio tranne che in una piccola regione di esso
localizzabile in un'intorno sferico racchiudente la particella. Ovviamente
l'equazione non.lineare a cui deve ubbidire $\varphi $ deve essere tale che
nella regione esterna al raggio della particella essa debba coincidere con
l'equazione di Schroedinger. De Broglie riteneva che l'onda $\varphi $
dovesse racchiudere le informazioni concernenti la struttura e le
propriet\`{a} della particella in esame. Per\`{o} egli non fu in grado di
proporre l'equazione nonlineare a cui doveva ubbidire la $\varphi .$Queste
idee hanno spinto molti studiosi a cercare delle equazioni nonlineari le
quali rispondano alle richieste formulate dalla teoria di De-Broglie.Esempi
in tale direzione sono stati proposti sulla base dell'equazione di
Sine-Gordon. Possiamo riassumere dicendo che in molti concordano sul
riconoscere il Breather, soluzione della S.G., come un esempio dell'onda $%
\varphi $ di De-Broglie. Tuttavia i contenuti di tali modelli sono stati
elaborati soltanto nel caso di una sola dimensione spaziale e perci\`{o} non
sono direttamente applicabili. Comunque allo stato attuale tali problemi
sono ancora aperti anche se non mancano, da diversi punti di vista, dei
tentativi nella direzione di una migliore comprensione di questi aspetti
legati alle equazioni nonlineari.

\newpage

\subsection{L'equazione di Schroedinger non lineare (NSE)}

\bigskip L'equazione NSE \`{e} definita da

\begin{equation}
iu_{t}+u_{xx}+k\left| u\right| ^{2}u=0  \label{NSE}
\end{equation}

dove k \`{e} una costante assunta positiva. Poniamo u=$\Phi (x,t)e^{i\theta
(x,t)}$ con $\theta $ e $\Phi $ supposte entrambe reali. Sostituendo nella (%
\ref{NSE}) ed eguagliando a zero la parte reale e quella immaginaria
dell'equazione ottenuta si ha il sistema

\begin{equation}
\Phi _{xx}-\Phi \theta _{x}^{2}-\Phi \theta _{t}+k\Phi ^{3}=0
\end{equation}

\begin{equation}
\Phi \theta _{xx}+2\Phi _{x}\theta _{x}+\Phi _{t}=0
\end{equation}

Definiamo dunque du evelocit\`{a}; quella relativa all'inviluppo $\Phi $
della soluzione che chiameremo $v$, l'altra relativa alla funzione $\theta $
che indichiamo con $w.$

Perci\`{o}, ponendo $\Phi (x,t)=\Phi (x-vt)$ e $\theta (x,t)=\theta (x-wt),$
che sostitite nel sistema precedente ci danno:

\begin{equation}
\Phi _{xx}-\Phi \theta _{\eta }^{2}+w\Phi \theta _{\eta }+k\Phi ^{3}=0
\label{gigi}
\end{equation}

\begin{equation}
\Phi \theta _{\eta \eta }+2\Phi _{\xi }\theta _{\eta }-v\Phi _{\xi }=0
\end{equation}

con $\xi =x-vt$ e $\eta =x-wt.$ Ora moltiplicando (\ref{gigi}) per $\Phi $ e
tnendo conto che $\frac{\partial }{\partial \xi }=\frac{\partial }{\partial x%
}$ e $\frac{\partial }{\partial \eta }?\frac{\partial }{\partial x},$ dopo
aver integrato una volta otteniamo

\begin{equation}
\Phi ^{2}(2\theta _{\eta }-v)=C
\end{equation}

con C costante. Poniamo C=0 e ricaviamo $\theta _{\eta }=v/2.$ Sostituendo
nella (\ref{gigi}) dopo una ulteriore integrazione otteniamo

\begin{equation}
\int \frac{d\Phi }{\sqrt{-\frac{k}{2}\Phi ^{4}+\frac{1}{4}(v^{2}-2vw)\Phi
^{2}+D}}=x-vt
\end{equation}

Per semplicit\`{a} poniamo anche D=0 ottenendo la soluzione pi\`{u} nota
dell'equazione:

\begin{equation}
\Phi (x,t)=\sqrt{-\frac{a}{c}}(e^{i\frac{v}{2}\eta }Sech\sqrt{a}\xi )
\label{pippo}
\end{equation}

dove c=-k/2 ed a=(v$^{2}-2vw)/4.$

La soluzione trovata non ha la dipendenza tipica di un'onda solitaria.
Comunque delle simulazioni hanno dimostrato che questa soluzione ha
caratteristiche solitoniche. E' comunque possibile ricavare altre soluzioni
della forma f(x-vt) seguendo un procedimento analogo a quanto fatto per la
KdV. Il profilo della parte reale di (\ref{pippo}) \`{e} mostrato in figura (%
\ref{Graf})

\FRAME{ftbpFU}{3.6019in}{2.61in}{0pt}{\Qcb{Profilo della parte reale della
NSE; con a=0.1, c=-1, v=3.}}{\Qlb{Graf}}{nse.jpg}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "F";width 3.6019in;height 2.61in;depth
0pt;original-width 5.8747in;original-height 4.2497in;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'NSE.JPG';file-properties "XNPEU";}%
}

\bigskip

\newpage

\section{Leggi di conservazione}

Supponiamo che u(x,t) sia la soluzione di una certa equazione differenziale,
e che T ed X siano delle funzioni di u, di u$_{x},$ di $x$ e $t$ tali che

\begin{equation}
\frac{\partial T}{\partial t}+\frac{\partial X}{\partial x}=0
\label{conservazione}
\end{equation}

La (\ref{conservazione}) \`{e} chiamata \textit{legge di conservazione}, di 
\textbf{densit\`{a}}\textit{\ }T, e \textbf{flusso} X.

Un esempio notissimo \`{e} quello dell'equazione di continuit\`{a} della
corrente, che esprime in forma locale la conservazione della carica:

\begin{equation}
\frac{\partial \rho }{\partial t}+\overrightarrow{\nabla }\cdot 
\overrightarrow{j}=0
\end{equation}

Se T ed X sono due funzioni ''buone'', integrabili per -$\infty <x<\infty $
, allora

\begin{equation}
\frac{d}{dt}\int_{-\infty }^{\infty }Tdx=-\left[ X\right] _{-\infty
}^{\infty }=0
\end{equation}

per cui segue

\begin{equation}
\int_{-\infty }^{\infty }Tdx=\text{costante\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ .}
\end{equation}

Questa idea si applica a molte equazioni, e rappresenta la conservazione di
molte quantit\`{a} fisiche.

Ad esempio nella KdV si pu\`{o} facilmente vedere che

\begin{eqnarray}
0 &=&u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx} \\
&=&\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}(-3u^{2}+u_{xx})
\nonumber
\end{eqnarray}

Se quindi scegliamo come \textbf{densit\`{a}} e come \textbf{flusso:}

\begin{equation}
T=u\text{ e }X=u_{xx}-3u^{2}
\end{equation}

ne segue che

\begin{equation}
\int_{-\infty }^{\infty }udx=\text{ costante}  \label{conserva}
\end{equation}

e ricordandoci che $u(x,t)$ \`{e} la soluzione della Kdv e indica la
profondit\`{a} della superficie dell'acqua, ne consegue che la (\ref
{conserva}) rappresenta la conservazione della massa d'acqua.

\bigskip

\newpage

\section{Rilevamento di onde solitoniche in plasmi freddi}

\bigskip

Data la complessit\`{a} dell'argomento mi limiter\`{o} soltanto a mostrare i
risultati di alcune ricerche eseguite negli ultimi anni.

Plasmi a bassa temperatura sono stati recentemente fonte di grande interesse
per la loro maggior utilit\`{a} in molte applicazioni teconologiche. Al
contrario dei plasmi caldi, che devono essere confinati da forti campi
magnetici, la maggiorparte dei plasmi a bassa temperatura possono esser
rinchiusi in contenitori con pareti metalliche o dielettriche. Lo spettro
delle onde generate in questi plasmi include dei modi chiamati ''onde di
superficie'' o Surface wave, intimamente legati alla presenza delle
condizioni al contorno(e quindi alla forma delle pareti delimitanti il
palsma). Una caratteristica peculiare di questi modi \`{e} l' attenuazione
esponenziale della loro energia allontanandosi dai bordi. Pertanto esse
possono essere considerate come onde che si porpagano all'interfaccia di due
mezzi, senza irradiare in alcuno di questi.

Le onde di superficie possono essere controllate facilmente modificando il
mezzo che circonda il plasma, e possono agire come trasmettitrici di
informazioni ed energia tra il plasma e il mondo esterno, in modo ad esempio
da creare plasmi dalle caratteristiche specifiche.Esse ci forniscono
informazioni sulla densit\`{a} elettronica e l'effettiva frequenza di
collisione.

Sono anche largamente utilizzate in ottica e nelle comunicazioni a fibre
ottiche; grazie ad esse si possono scoprire lo spessore e le costanti
ottiche di sottili film metallici, investigare fenomeni di scattering di
luce ed elettroni con il mezzo esterno, e le caratteristichge di
assorbimento etc dei nuovi materiali.

Anticipiamo intanto che sebbene le propriet\`{a} lineari siano ormai ben
note, quelle non-lineari sono tutt'ora fonte di studio.

Una prima caratteristica di questo tipo di onde \`{e} la loro natura ibrida;
esse non sono n\`{e} interamente trasversali, n\`{e} interamente
longitudinali, anche se in particolari condizioni uno dei due effetti
pu\`{o} dominare.Ad esempio nel limite di grandi lunghezze d'onda esse sono
per lo pi\`{u} trasversali, nel limite opposto longitudinali.

Il modello pi\`{u} semplice utilizzato per studiare le Surface waves \`{e}
quello di un piano di plasma semi-infinito, limitato da un lato da un
dielettrico. Modelli analoghi includono sottili lamine o interfacce di
plasma. Se la riflessione delle particelle di plasma dal contorno \`{e}
perfettamente elastica si possono in principio ottenere le soluzioni delle
onde senza grosse difficolt\`{a}. Il metodo standard consiste nell'adoperare
un'opportuna espansione (in serie di Fourier o in armoniche sferiche) delle
quantit\`{a} fisiche per la particolare geometria del problema.

Ma Passiamo all'aspetto di maggior interesse nell'ambito di questa
relazione: \`{e} stato dimostrato che in un plasma semi-infinito, come
risultato di instabilit\`{a} modulazionali dovute a perturbazioni della
densit\`{a}, si possono propagare nel palsma onde di superficie con
caratteristiche \textbf{solitoniche.}

In pratica inviando un'onda elettrostatica e monocromatica detta ''Pump
Wave'' si introduce una perturbazione in grado di interagire, a certe
condizioni, con le normali onde di superficie,a loro volta legate
all'esistenza di correnti superficiali non lineari.

.\textbf{\ }L'apparizione di soluzioni solitoniche avviene a livello teorico
solo quando si prendono in considerazione i termini non-lineari del secondo
ordine, cosa che inizialmente era stata trascurata. Si scoprono allora
soluzioni del tipo \emph{KdV}, con velocit\`{a} di propagazione superiore a
quella della luce nel dielettrico di confinamento, e questo potrebbe essere
di interesse nella trasmissione di informazioni in ottica nonlineare.

\bigskip

\subsection{Solitoni di superfice in un plasma semi-infinito completamente
ionizzato}

\bigskip

Tralasciando gran parte dell'apparato matematico alla base di questa teoria,
supponiamo di poter ricavare dalle equazioni di Maxwell questa relazione tra
la densit\`{a} di corrente J ed il campo elettrico E (sviluppati fino al
secondo ordine,e nell'approssimazione di ampiezza lentamente variabile).

\begin{equation}
i\omega \epsilon ZE^{l}=4\pi \int (\alpha _{p}j_{x}^{nl}-ikj_{z}^{nl}+\frac{%
\alpha _{p}j_{x}^{nl}-ikj_{z}^{nl}}{\alpha _{p}+\alpha _{p,1}+\alpha _{p,2}}%
)d\Omega dK
\end{equation}

dove Z \`{e} la legge di dispersione lineare dell'onda di superficie, $%
\alpha _{p}=\sqrt{(k^{2}-\omega ^{2}\epsilon (\omega )/c\symbol{94}2)}$ e $%
\alpha _{d}=\sqrt{[k^{2}-\omega ^{2}\epsilon _{d}/c^{2}]}$

Sostituendo le componenti di fourier del secondo ordine della densit\`{a} di
corrente,e tralasciando i termini di ordine superiore si ottiene:

\begin{equation}
2mc^{2}ZE^{l}=3iek\varepsilon _{d}\int \frac{E_{1}^{l}E_{2}^{l}}{k_{1}k_{2}}%
d\Omega dk
\end{equation}

equazione che pu\`{o} essere antitrasformata sostituendo $\omega $ i$%
\partial _{t\text{ }}$e $k$ con $-i\partial _{x}.$

Definendo uno pseudopotenziale $\varphi $ tale che $E^{l}=-\partial
_{x}\varphi $ abbiamo

\begin{equation}
(\frac{\partial }{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x})\varphi +\frac{1}{%
2}\varepsilon _{d}(\frac{\partial ^{3}}{\partial x^{3}})(\varphi +\varphi
^{2})=0
\end{equation}

Questa equazione governa le \textbf{onde di superficie non lineari. }E'
molto simile alla KdV vista in precedenza, ma qui il termine non lineare
incorpora anche caratteristiche dispersive. Le sue soluzioni sono:

\begin{equation}
\varphi =-\frac{3}{4}Sech^{2}[\xi \pm \frac{3}{2}\sqrt{(\frac{4}{3}\varphi
+1)}]\text{, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\xi =(x-vt)
\label{Simil-kdv}
\end{equation}

Questa soluzione \`{e} un solitone, ed il suo profilo somiglia molto a
quello del tipo Sech$^{2}(x)$ della Korteweg-De Vries, ma \`{e} pi\`{u}
larga al centro a causa del termine addizionale $\frac{3}{2}(\frac{4}{3}%
\varphi +1)^{1/2}$ nell'argomento della Sech$^{2}(x).$

\subsection{\protect\bigskip ''Envelope'' Solitons in un plasma di
elettroni-positroni}

E' stato recentemente osservato che le onde non.lineari in un plasma di
elettroni e positroni si comportano in maniera diversa che in uno di
elettroni e ioni. I plasmi elettroni-positroni sono quelli che si suppone
fossero presenti nelle prime fasi della formazione dell'universo. La loro
peculiarit\`{a} \`{e} che i costituenti hanno all'incirca la stessa massa.

Si \`{e} dunque studiata la formazione di Solitoni in questi ultimi.

Come punto di partenza si suppone l'esistenza di una opportuna relazione di
dispersione non-lineare

\begin{equation}
\varepsilon (k,\omega ,A)=0  \label{displasma}
\end{equation}

k essendo il vettore d'onda, $\omega $ la frequenza ed A l'ampiezza.

Eseguendo una espansione di (\ref{displasma}) in A$^{2}$ e in $\overline{k}%
=k-k_{0}$ si ottiene:

\begin{equation}
\varepsilon (k,\omega ,A)=\varepsilon (k,\omega ,0)+A^{2}\frac{\partial
\varepsilon }{\partial A^{2}}+...=0  \label{displasma2}
\end{equation}

e per $\omega $ abbiamo

\begin{equation}
\omega =\Omega (k)+MA^{2}=\omega _{0}+\Gamma
\end{equation}

Le equazioni (\ref{displasma}) e (\ref{displasma2}) sono state utilizzate da
Fried e Ichikawa per dedurre l'equazione di Schroedinger non lineare NSE

\begin{equation}
i(\frac{\partial \varphi }{\partial t}+v_{g}\frac{\partial \varphi }{%
\partial x})+\frac{v_{g}^{1}}{2}\frac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}%
+q_{1}\varphi \left| \varphi \right| ^{2}=0
\end{equation}

Dove i tre coefficenti v$_{g},v_{g}^{1}$ e $q_{1}$ si possono ricavati
matematicamente.

E da quanto gi\`{a} mostrato sappiamo che anche questa equazione ha come
soluzioni delle onde solitoniche.

\bigskip 

\newpage 

\begin{center}
\emph{Bibliografia}

\bigskip 
\end{center}

\texttt{1) P.G.Drazin, Solitons (1983);}

\bigskip \texttt{2) P.G. Drazin and R.S. Jhonson, Solitons: an introduction
(1990);}

\texttt{3) Tesi di dottorato sulle Onde Solitarie (2000);}

\texttt{4) S.V.Vladimirov, M.Y.Yu and V.N. Tsytovich (1994);}

\texttt{5) S.Burman and A.Roy Chowdhury, On the envelope solitons and
modulational instability in an electron-positron plasma (1999).}

\bigskip

\bigskip

\bigskip

\end{document}
