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\begin{document}
\begin{center}
\textbf{
\Large{Compito di Fisica Generale I (17 gennaio 2000)} 
}
\end{center}

\section{Meccanica}
Una pallina \`e schematizzata come una sfera omogenea, rigida, di massa $M$ e
raggio $R$. La pallina si sta muovendo su un piano verticale
$x-z$, e ruota con velocit\`a angolare $\omega_0$ attorno ad un asse
parallelo al versore dell'asse $y$. Ad un certo istante, la pallina
urta un piano orizzontale $x-y$, con un angolo di
$45^\circ$. Subito prima dell'urto il C.M. della pallina ha 
velociti\`a $v_x = v = - v_z$. 
L'urto \`e caratterizzabile con due
coefficienti di restituzione, cos\`{\i} definiti: indicando 
con $\vec w$ la velocit\`a del punto di contatto subito prima
dell'urto e
con $\vec w'$  la velocit\`a del punto di contatto subito dopo l'urto,
si ha
$ w'_x = - e_x w_x$ e  $w'_z = - e_z w_z$.
Si supponga per il momento che $e_x = e$, $e_z = 1$.
\begin{enumerate}
\item
Si calcolino la velocit\`a angolare e la velocit\`a del C.M. dopo un
urto, 
per $e=1$.
\item
Si calcolino la veloct\`a angolare e la velocit\`a del C.M. dopo un
urto, per $e=0$.
\item Calcolare la variazione di energia cinetica, nei due casi $e=1$ e
$e=0$.
\item Calcolare l'impulso trasferito al piano nell'urto, nei due casi
$e=1$ e $e=0$. Scrivere la relazione tra la variazione di energia
cinetica e impulso trasferito.
\item Per $0 < e <1$, la pallina dopo un certo numero di rimbalzi
tende a una velocit\`a di traslazione e di rotazione limite:
calcolarle.

\end{enumerate}

\section{Relativit\`a}

Una particella di massa $m_1=4m/5$ in moto con energia $E_1$ lungo
l'asse $x$
collide elasticamente con una particella di massa $m_2=m$ ferma.
Dopo l'urto la particella di massa $m_1$ ha energia $E'_1$ e direzione
ortogonale
all'asse $x$;
la particella di massa $m_2$ si muove lungo una direzione che forma un
angolo
$\theta$ rispetto all'asse $x$.
\begin{enumerate}
\item Quanto vale $E'_1$?
\item Quanto vale  $\theta$?
\end{enumerate}




\section{Termodinamica}

Consideriamo una pellicola sottile, ad esempio la superficie di una
bolla di sapone. Si sa che il lavoro effettuato dal sistema in una
espansione dell'area pari a $d A$ vale $\delta {\cal L} = - \sigma(T)
d A$, dove $T$ \`e la temperatura del sistema e $\sigma$  \`e legata
alla tensione superficiale della pellicola.
\begin{enumerate}
\item Usando il primo ed il secondo principio della Termodinamica (esistenza
dell'entropia) trovare l'espressione dell'energia interna in funzione di
$\sigma(T)$ e delle sue derivate rispetto a $T$. (Si consiglia di 
parametrizzare $U$ come $U(T,A) = \alpha(T) A$).
\item Scrivere l'espressione per l'entropia del sistema.
\item Supponiamo che $\sigma(T) = \sigma_a - \sigma_bT$. Tracciare nel piano
$T-A$ un ciclo di Carnot che operi tra due sorgenti a temperatura $T_1$ e
$T_2$, con $T_1 > T_2$. Derivare esplicitamente il rendimento del
ciclo, verificando che obbedisca la relazione nota. 
\end{enumerate}

\end{document} 

