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%\draft
%\begin{title}
{\Large Compito di Fisica Generale I ( 14 Ottobre 1997 )}
%\end{title}

\section{Meccanica}

Consideriamo il moto di un corpo di massa $m$ nel
campo gravitazionale di due corpi fissi di uguale massa $M$ posti ad una
distanza $2d$ l'uno dall'altro. Per la soluzione del problema  si 
usi un sistema di coordinate cilindriche $(r,\theta,z)$
in cui i corpi $M$ hanno coordinate $r=0$, e $z=-d,+d$ rispettivamente 
(vedi figura).

{\tt    \setlength{\unitlength}{0.92pt}
\begin{picture}(138,150)
\thinlines    \put(109,43){z}
              \put(105,40){\line(0,1){12}}
              \put(55,60){\vector(0,1){63}}
              \put(55,60){\vector(1,0){65}}
              \put(54,59){\vector(-1,-1){34}}
              \put(56,89){\circle*{8}}
              \put(56,29){\circle*{8}}
              \put(55,59){\line(0,-1){49}}
              \put(64,97){M}
              \put(65,18){M}
              \put(10,35){x}
              \put(121,67){y}
              \put(50,132){z}
              \put(55,60){\line(5,-2){49}}
              \put(106,54){\circle*{6}}
              \put(93,51){m}
              \put(78,37){r}
\end{picture}}


Le quantit\`a richieste dovranno essere scritte
in funzione delle coordinate cilindriche specificate.
\begin{itemize}
\item[(1)] Scrivere l'energia potenziale del corpo $m$.
\item[(2)] Tra le seguenti quantit\`a: $E$, $p_x$, $p_y$, $p_z$,
$L_x$, $L_y$ e $L_z$ (dove le componenti $x$ e $y$ si riferiscono
al piano perpendicolare all'asse $z$) quali sono costanti del moto? 
Scrivere esplicitamente le costanti del moto.
\end{itemize}
Consideriamo le condizioni iniziali $r(0)=r_{0}$, 
$\theta(0)=\theta_{0}$, $z(0)=0$, $\dot{r}(0)=v_{r}$, 
$\dot{\theta}(0)=\omega$, e $\dot{z}(0)=0$.
\begin{itemize}
\item[(3)] Mostrare (molto brevemente) che la traiettoria del corpo $m$ 
\`e piana. Calcolare le componenti $F_r$ e $F_\theta$ della forza
in funzione della posizione nel piano del moto.
\item[(4)] Dare la condizione necessaria e sufficiente 
a cui devono soddisfare $r_0$,$\theta_0$,$v_{r}$ e $\omega$
affinch\'e il corpo non passi per l'origine.
\item[(5)] Dare la condizione  
a cui devono soddisfare $r_0,\theta_0,v_{r},\omega$ 
affinch\'e il moto del corpo $m$ sia circolare.
\item[(6)] Determinare la distanza minima dall'origine
raggiunta dal corpo, sapendo che le condizioni iniziali sono tali per 
cui $E=0$, nell'ipotesi in cui tale distanza \`e maggiore di zero.
\end{itemize}

\section{Relativit\`a}
Una particella di massa $m$ si muove con velocit\`a costante di 
modulo $v_{A}=c/4$. Quando si trova alla minima distanza da un punto 
$O$ non appartenente alla retta su cui si muove, da $O$ viene emessa 
una particella $B$ di massa $m$ e velocit\`a, che si mantiene 
costante, di modulo $v_{B}=c/2$. La particella $B$ incide su $A$ e 
d\`a luogo alla reazione $A+B\rightarrow C+D$. Determinare:
\begin{itemize}
\item[(1)] In quale direzione deve essere emessa la particella $B$ 
per colpire $A$.
\item[(2)] L'energia di $A$ e $B$.
\item[(3)] L'energia del sistema formato da $A$ e $B$ nel riferimento 
del loro centro di massa.
\item[(4)] il valore delle masse $m_{C}=m_{D}$ delle particelle $C$ e 
$D$ al di sopra del quale la reazione citata non \`e possibile.
\end{itemize}

\section{Termodinamica}

{\tt    \setlength{\unitlength}{0.92pt}
\begin{picture}(96,88)
\thinlines    \put(78,-116){\line(0,0){0}}
              \put(18,78){\line(0,-1){15}}
              \put(13,55){\framebox(12,8){}}
              \put(50,-50){\line(0,0){0}}
              \put(40,10){\framebox(46,42){}}
              \put(25,28){\vector(1,0){14}}
              \put(25,26){\line(0,1){48}}
              \put(12,26){\line(1,0){13}}
              \put(12,74){\line(0,-1){48}}
\end{picture}}

Si consideri il sistema in figura, modellizzazione di una pompa.
Il contenitore di sinistra (``pompa'') \`e un cilindro 
chiuso in alto da un pistone
senza massa e libero di muoversi senza attrito; il pistone ha 
un'area $A$ e il gas nel contenitore sinistro ha un volume iniziale $V_S$. 
Il contenitore 
di destra si assuma indeformabile, di volume $V_D$. I 
due recipienti sono collegati da un tubetto di volume trascurabile,
con una valvola che consente il passaggio di gas quando la forza 
esercitata su di essa dal gas a sinistra supera quella esercitata 
a destra. Inizialmente il gas all'interno del sistema ha
la stessa temperatura $T_0$ dell'ambiente, la pressione nel contenitore di
sinistra eguaglia la pressione esterna $P_0$, mentre la pressione nel
contenitore di destra vale $P_D > P_0$. Si assuma che il gas nei 
contenitori sia perfetto e di calore molare a volume costante $C_{V}$.

\begin{itemize}
\item[(1)] Si aggiunge sul pistone di sinistra la forza costante $F$ 
($F/A+P_{0} > P_D$) e 
si lascia evolvere il sistema. Che temperatura raggiunger\`a il gas? 
Si assuma trascurabile il
calore scambiato con l'esterno in questa trasformazione, che il 
volume raggiunto a sinistra sia maggiore di zero e che il gas, alla 
fine della trasformazione, possa 
essere considerato in equilibrio.
\end{itemize}
Si tiene chiusa la valvola e si blocca il pistone 
nella posizione raggiunta, lasciando che i due contenitori vadano 
all'equilibrio termico con l'ambiente.
\begin{itemize}
\item [(2)] Quale sar\`a la pressione finale del gas? 
\item [(3)] Di quanto \`e variata l'entropia dell'ambiente nel complesso
di tutte le trasformazioni?
\end{itemize}

\end{document}