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% ----------------------------------------------------------------------
\begin{document}
{\Large Compito di Fisica Generale I (5 ottobre 1998)}

\section{Meccanica}


Una particella $A$ di massa $M$ si muove inizialmente con velocit\`a $\vec{V}_A$ e
si avvicina ad una particella $B$ di uguale massa che si muove con velocit\`a
$\vec{V}_B =c\vec{V}_A$ con $-1\leq c < 1$. Inizialmente la loro distanza
relativa \`e infinita e il parametro d'impatto \`e $d$.
Fra le particelle si esercita una forza di tipo coulombiano,
cio\`e la forza che risente la particella A \`e
\begin{equation}
\vec{F}_A = {k\over r^2} \hat{r},\qquad \vec{r} = \vec{r}_A - \vec{r}_B.
\end{equation}
Quando, dopo l'urto, la distanza relativa 
diventa di nuovo grande (infinita) 
la direzione del moto della particella $A$ forma un angolo
$\phi_A$ (angolo di diffusione) rispetto alla direzione iniziale 
$\vec{V}_A/|\vec{V}_A|$.
\begin{itemize}
\item[1.] Nel caso $c<0$,  assumendo noto l'angolo di diffusione  $\phi_A$,
calcolare il modulo della velocit\`a finale di $A$.
\item[2.] Nel caso $c>0$,  esiste un valore massimo che pu\`o
assumere $\phi_A$ compatibilmente con le sole leggi
di conservazione? In caso affermativo calcolarlo.
\item[3.] Calcolare la minima distanza tra le due particelle 
durante il loro moto.
\end{itemize}

In realt\`a le informazioni sopra elencate permettono di calcolare
l'angolo di diffusione $\phi_A$. 
\begin{itemize}
\item[4.]  Calcolare $\phi_A$.
\end{itemize}
A questo fine pu\`o essere utile il seguente risultato.
In un problema di diffusione da sorgente fissa, dove una particella di massa 
$m$ si avvicina dall'infinito con velocit\`a $v$ e parametro d'impatto $b$, 
ed \`e soggetta ad una forza centrale  
$\vec{F} = \hat{r} {\alpha\over r^2}$,
l'angolo di diffusione $\varphi$ 
(cio\`e l'angolo tra la direzione del moto iniziale
e quella finale) \`e dato dalla formula
%$$ \varphi= 2 \, {\rm Arcctg} {m v^2 b \over \alpha}. $$
%NOTA di Riccardo: perch\'e non dire invece (mi pare la stessa cosa, no?)
$$ \varphi = 2 \, \arctan \frac{\alpha}{m b v^{2}}. $$
%cio\`e sostituire l'arcocotangente con l'arcotangente.

\section{Relativit\`a}

Due particelle $A$ e $B$  si muovono in direzioni perpendicolari con 
le velocit\`a nel laboratorio $v_{A}=0.6 c$ e $v_{B}=0.8 c$. 
Determinare:
\begin{itemize}
\item[1.] il modulo di $\vec v_{B} - \vec v_{A}$.
\item[2.] il modulo della velocit\`a di $B$ nel riferimento di quiete 
di $A$.
\end{itemize}
Le due particelle, che hanno masse uguali, si incontrano e formano 
un'unica particella $C$. Determinare:
\begin{itemize}
\item[3.] la velocit\`a di $C$ nel riferimento di quiete di $A$.
\end{itemize}

\section{Termodinamica}

Un recipiente cilindrico, chiuso alle estremit\`a, 
\`e diviso in due parti $A$ e $B$ da un 
pistone scorrevole, con attrito trascurabile, lungo l'asse 
orizzontale
del cilindro. Le due parti contengono ciascuna una mole di gas 
perfetto mantenuto in contatto termico con una sorgente ideale a 
temperatura $T=300 K$. Cilindro e pistone sono indeformabili. Il pistone 
pu\`o essere manovrato dall'esterno e, nello stato di equiibrio 
iniziale, i volumi delle due parti sono $V_{A}=\frac{1}{2} V_{B}$. Il 
pistone \`e quindi spostato reversibilmente in modo che nello stato 
finale sia $V'_{A}=\frac{3}{4} V'_{B}$. Determinare:
\begin{itemize}
\item[1.] la quantit\`a totale di calore scambiata dal gas con la 
sorgente durante la trasformazione.
\end{itemize}
Il pistone viene rilasciato e raggiunge una nuova posizione di 
equilibrio. Determinare, per il complesso delle due trasformazioni:
\begin{itemize}
\item[2.] la variazione totale di entropia del gas;
\item[3.] la variazione di entropia della sorgente.
\end{itemize}

\end{document}